SIMETRIA CRISTALINASIMETRIA CRISTALINA

Os cristais são meios periódicos que obedecem a uma certa simetria e que se caracterizam pela existência de duas entidades: uma que é aquilo que se repete (MOTIVO OU TEMA) e outra que exprime a lei dessa repetição.

No domínio da cristalografia a simetria é limitada pela lei de Haüy e define-se por OPERAÇÕES DE SIMETRIA através dos seus agentes que são os OPERADORES DE SIMETRIA. 

As operações e operadores de simetria podem ser simples ou compostas. 

Operações fundamentais de simetria simples De 1ª espécie, dão origem a figuras congruentes: Operações Operadores

Translação Vector

Rotação Eixo de rotação ou giro 

2ª espécie, dão origem a figuras enantiomórficas (enantiomorfas), isto é, que não são sobreponíveis.

Operações Operadores

Reflexão Plano de reflexão ou espelho (m) Inversão Centro de inversão ou de simetria (i)  

A translacção, cujo operador é o VECTOR, só é detectável em cristalografia estrutural pois os módulos do vector são da ordem do Å (1 angström =10-8 cm).

A operação de repetição consiste num deslocamento do motivo paralelamente a si próprio. 

Translacção

Rotação:

Operador - eixo de simetria, de rotação ou giro.

Consiste num deslocamento em torno do eixo de tal modo que todos os pontos (TEMA OU MOTIVO) descrevem circunferências concêntricas com centro nesse eixo, obtendo-se assim a partir de um tema inicial A, a repetiçãoda figura em B ou noutro ponto, consoante o grau do eixo. 

Segundo a notação de Hermann-Mauguin os eixos de rotação designam-se por 1, 2, 3, 4 e 6 conforme o grau e definem-se como um operador de simetria a que corresponde a seguinte operação de simetria:  

Rotação de 2/p em torno do eixo,em que p é o grau do eixo.

Designação do eixo O motivo repete-se a cada

Símboloescrito

Símbolo estereográfico

Sem símbolo

O motivo repete-se a cada

Símboloescrito

O motivo repete-se a cada

Símboloescrito

O motivo repete-se a cada

Símboloescrito

O motivo repete-se a cada

Símboloescrito

O motivo repete-se a cada

Símboloescrito

REFLEXÃO

Tem como operador o plano de reflexão, m, espelho, ou, plano de simetria, p.

Obtem-se a imagem ou reflexo de um objecto abc tal que uma está para a outra como a imagem para o objecto num espelho plano (que é o plano de reflexão), isto é, “divide” o objecto em duas imagens especulares, fisicamente iguais.

INVERSÃO:

O operador de simetria é o CENTRO DE SIMETRIA ou CENTRO DE INVERSÃO, que é representado por um ponto que satisfaz a operação de inversão, que diz que:

Qualquer figura deve ter uma figura inversa em relação a esse ponto.

As operações de simetria compostas são: 1) Rotação-reflexão

2) Rotação-inversão

 1) Rotação-reflexão: combinação de rotação em torno de um eixo

seguida de reflexão em relação a um plano normal a esse eixo.

 Tem 2 operadores de simetria: a) Eixo de simetria alternab) Plano de simetria alterna

2) Rotação-inversão: operação de simetria composta que consiste na combinação de rotação em torno de um eixo seguida de inversão em relação a um ponto desse eixo (ponto esse que funciona como centro de inversão-i). Os operadores de simetria correspondente a esta operação de simetria (rotação-inversão) são designados por EIXOS DE INVERSÃO. GIRÓIDES OU GIRÓIS,

que têm a seguinte definição:

operador de simetria composta a que corresponde uma rotação de

2/p em torno do eixo, seguida de inversão em relação a um ponto do eixo, que funciona como centro de inversão (i). Os eixos de inversão podem ser de graus 1, 2, 3, 4 ou 6 e designam-se por:

1, 2, 3, 4, 6 (deve ler-se: um barra; dois barra, etc.).

1

2

1

180°

Existem equivalências entre os diversos operadores de simetria que se provam facilmente.

Exemplos:

2

i

Deste modo ficamos reduzidos só a duas categorias de operadores de simetria:

EIXOS DE ROTAÇÃO (1, 2, 3, 4, 6) e

EIXOS DE INVERSÃO (1, 2, 3, 4, 6).

Teremos portanto 10 operadores de simetria.

Observar animações do Manual de Mineralogia sobre elementos de simetria

TEOREMAS DA INTERDEPENDÊNCIA

O teorema fundamental da simetria morfológica diz que os cristais nunca podem apresentar eixos de grau 5 ou de grau superior a 6 porque tais eixos seriam incompatíveis com a Lei de Haüy.

Com este teorema fundamental relacionam-se outros teoremas chamados TEOREMAS DA INTERDEPENDÊNCIA pelos quais, dada a existência de certos elementos de simetria se conclui, ou exclui da existência de outros.

TEOREMA I

Consideremos os 3 operadores seguintes: eixo de rotação de grau par, espelho (normal ao eixo) e centro de inversão.A existência de dois destes operadores acarreta a do terceiro. 

TEOREMA II

Se os operadores considerados forem: eixo de rotação de grau ímpar (portanto ternário), plano de reflexão normal ao eixo e centro de simetria ou de inversão, a existência de dois deles é incompatível com a do terceiro.

TEOREMA III

Se um eixo de rotação de grau p estiver contido num espelho, esse eixo será a intersecção de “p” espelhos, que formam entre si ângulos iguais. E, reciprocamente, a intersecção de “p” espelhos é um eixo de grau p. 

TEOREMA IV

Se existir um eixo binário de rotação normal a um eixo de rotação de grau “p”, existirão “p” eixos binários complanares normais ao eixo de grau p, os quais formarão entre si ângulos iguais.E, reciprocamente, “p” eixos binários complanares implicam um eixo de grau “p” que lhes seja perpendicular.

TEOREMA V

A associação de 3 eixos rectangulares binários de rotação com espelhos a 45° de dois dos eixos, e definindo por intersecção o terceiro, implica que este último seja um eixo quartenário de inversão (4).

TEOREMA VI

Se existir um feixe de 3 eixos binários de rotação complanares e portanto um eixo de rotação de grau 3 normal ao feixe (teo IV), este último eixo será de inversão, desde que haja espelhos normais aos eixos binários.

TEOREMA VIIQuando existirem três eixos quarternários de rotação e quatro eixos ternários, estarão presentes eixos binários de rotação bissectando os ângulos formados por dois eixos do mesmo grau.Ex: no cubo os E4 são normais às faces; os E3 são diagonais do cubo

e os E2 unem os pontos médios das arestas opostas, sendo portanto

em número de 6. 

Baseados no teorema fundamental da simetria, e nos teoremas da interdependência, o problema fundamental da cristalografia morfológica (problema das classes de simetria ou grupos finitos de simetria) consiste em combinar, de todas as maneiras possíveis, os operadores de simetria compatíveis com a lei de Haüy.

Como vimos estes operadores podem reduzir-se a 2 categorias: EIXOS DE ROTAÇÃO e EIXOS DE INVERSÃO.

Classe de simetria é portanto uma associação de operadores de simetria, em que os operadores são os elementos de simetria compatíveis com a lei de Haüy. Só existem 32 maneiras distintas possíveis de combinar os elementos de simetria dos cristais e portanto só há 32 classes de simetria (grupos finitos de simetria) que, por sua vez, se agrupam em 6 ou 7 sistemas.