Mecanica e Ondas, 20 Semestre 2006-2007, LEIC

Anexo

Momentos de Inercia em relacao a um eixo

1. Introducao

Define-se momento de inercia de um sistema discreto de partıculas em relacao a umeixo, como

I =!N

i=1 mi r2in

em que ’rin ’ e a distancia da partıcula ’i’ ao eixo.

No caso de se ter um com corpo, com uma distribuicao contınua de massa, de densidade’!’, a expressao anterior toma a forma:

Icorpo ="

corpo r2n dm =

"corpo r2

n ! dV

em que ’rn’ e a distancia de cada ponto ao eixo considerado e ’dm’ a massa elementar contidano volume ’dV ’.

Conhecido o momento de inercia em relacao a um eixo que passe pelo centro de massade um objecto pode calcular-se o momento de inercia em relacao a qualquer outro eixo a eleparalelo a distancia ’d’ atraves da expressao:

I = M d2 + I(CM)

Demonstracao: Partindo da expressao que relaciona a energia cinetica entre um referencialgenerico e o referencial do centro de massa (que se desloca com velocidade ’"vCM ’):

Ec = 12 M v2

CM + E(CM)c

12 I #2 = 1

2 M (# d)2 + 12 I(CM) #2

e, assim, tem-se a expressao desejada

I = M d2 + I(CM)

Para o calculo do momento de inercia de um sistema constituıdo por diversas partes podeser conveniente calcular o momento de inercia de cada uma dessas partes separadamente.Atendendo a aditividade do somatorio e do integral, tem-se

Itotal =!M

!=1 I!

1

2. Momentos de Inercia

De uma forma breve serao calculados alguns dos momentos de inercia mais frequentes.Para tal serao utilizadas as expressoes referidas no ponto anterior.

2.1 Haste fina

Considera-se uma haste de espessura desprezavel, de comprimento ’L’ e de densidadelinear de massa ’$’.

2.1.1 Eixo que passa pelo centro de massa e perpendicular a haste

I ="

haste r2n dm

I ="

haste r2n $ dx = $

" L/2!L/2 x2 dx = $ [x3

3 ]L/2!L/2

I = "3 (L3

8 ! !L3

8 ) = 112 $ L3 = 1

12 ($ L) L2

I = 112 M L2

2.1.2 Eixo perpendicular ao extremo da haste

I = M d2 + I(CM)

I = M (L2 )2 + 1

12 M L2

I = 13 M L2

2.2 Cilindro (e Disco)

Considere-se um cilindro de raio ’R’, altura ’h’ e de densidade ’!’. No caso de umdisco ter-se-a uma densidade superficial ’%’ e a altura esta contida na passagem da densi-dade volumica a densidade superficial (! = % h). Os calculos serao feitos em coordenadascilındricas (r, &, z)

2.2.1 Cilindro macico, calculo em relacao ao seu eixo

I ="

cil. r2n dm

I ="

cil. r2 ! (r dr d& dz) = !" R0 r3 dr

" 2#0 d&

" h0 dz

I = ! [ r4

4 ]Ro " [&]2#0 " [z]h0 = ! " R4

4 " 2 ' " h = 12 (' R2 h !) R2

I = 12 M R2

2.2.2 Cilindro oco (de raios R1 e R2), calculo em relacao ao seu eixo

Pode considerar o calculo anterior usando como limites da integracao para ’r’ os valoresde R1 e R2. Assim,

I = 12 ' (R4

2 ! R41) h ! = 1

2 ' (R22 + R2

1) (R22 ! R2

1) h !

2

I = 12 (' (R2

2 ! R21) h !) (R2

2 + R21)

I = 12 M (R2

2 + R21)

Nota: Tinha-se obtido o mesmo resultado retirando ao momento de inercia de um cilindromacico de raio R2 o momento de inercia de um cilindro macico de raio R1.

2.2.3 Cilındro macico, calculo em relacao a um eixo perpendicular ao seu eixo epassando pelo centro

I ="

cil. r2n dm =

"cil. (r

2 cos2& + z2) dm ="

cil. (r2 cos2& + z2) ! (r dr d& dz)

I = !"

cil. r (r2 cos2& + z2) dr d& dz

I = !" R0 r3 dr

" 2#0 cos2& d&

" L/2!L/2 dz + !

" R0 r dr

" 2#0 d&

" L/2!L/2 z2 dz

I = ! R4

4 ' h + ! R2

2 2 ' 13

h3

4 = (! ' R2 h) (R2

4 + h2

12 )

I = 14 M R2 + 1

12 M h2

2.3. Esfera

2.3.1 Em relacao a um eixo que passa pelo seu centro

Calculo do momento de inercia de uma esfera homogenea de raio ’R’ e massa especıfica ’!’em relacao a um eixo que passa pelo seu centro:

Iesf. ="

esf. r2n dm

em que ’rn = r sen &’ e a distancia de um ponto da esfera ao eixo considerado e, usandocoordenadas esfericas, tem-se:

dm = ! dV com dV = r2 sen & dr d& d(

Substituindo na expressao do momento de inercia, tem-se

Iesf. ="

esf. (r sen &)2 ! r2 sen & dr d& d(

Iesf. = !" R0 dr r4

" #0 d & sen3&

" 2#0 d(

fazendo o calculo dos integrais," 2#0 d( = [(]2#

0 = 2 '" #0 d & sen3& = [!cos & + 1

3 cos &]#0 = [!23 cos &]#0 = !2

3 (cos ' ! cos 0) = 43

" R0 dr r4 = [ r5

5 ]R0 = R5

5

e substituindo,

Iesf. = ! R5

5 " 43 " 2 ' = 2

5 ! ( 43 ' R3) R2 = 2

5 (! Vesf.) R2

e, finalmente,

Iesf. = 25 M R2

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