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Francisco Bento Lustosa
Paredes de Domnio geradas por kinkscontinuamente deformveis em vriasdimenses
Fortaleza
30 de novembro de 2011
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Francisco Bento Lustosa
Paredes de Domnio geradas por kinkscontinuamente deformveis em vrias
dimensesMonografia de final de curso submetida coordenao do curso de graduao em Fsicada Universidade Federal do Cear como requisito parcial para obteno do diploma deBacharel em Fsica
Orientador:
Carlos Alberto Santos Almeida
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR DEPARTAMENTO DE FSICA
Fortaleza
30 de novembro de 2011
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Francisco Bento Lustosa
Paredes de Domnio geradas por kinkscontinuamente deformveis em vriasdimenses
Monografia de final de curso submetida coordenao do curso de graduao em Fsicada Universidade Federal do Cear como requisito parcial para obteno do diploma deBacharel em Fsica
Aprovada em 30 de novembro de 2011
BANCA EXAMINADORA
____________________________Prof. Dr. Carlos Alberto Santos Almeida
(Orientador)Universidade Federal do Cear
____________________________Prof. Dr. Andr Auto MoreiraUniversidade Federal do Cear
____________________________Prof. Dr. Jos Ramos GonalvesUniversidade Federal do Cear
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Aosqueviro
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AGRADECIMENTOS
Aproveito esta oportunidade para agradecer a todos os que contriburam no s
para este trabalho, mas para toda a minha formao como fsico e como pessoa durante
meus anos na Universidade;
aos meus pais, Isabel Lustosa e Csar Duarte, por terem me proporcionado em
todas as etapas da vida uma educao emancipadora, me ensinando a ver e viver com os
prprios ps e decidir os meus caminhos com liberdade;
ao Centro Educacional Ansio Teixeira e a todos os seus funcionrios, em
especial Denise Laureano, Marcelo S Correa, Cludio Veloso e, mais especialmente
ainda aquele que me fez ver que Fsica vida!, Antonio Csar;
aos meus amigos e familiares que fizeram de Fortaleza minha cidade,
principalmente super Cllia Lustosa e s amigas Lila, Mariana, Louise e Giulianna;
aos meus amigos universitrios de muitos cursos que me proporcionaram
vivenciar este espao como ele deve ser vivenciado, trocando experincias com as
diversas reas, aproveitando os diversos espaos, criando diversos conhecimentos;
em especial aos amigos dos cursos de Arquitetura e Urbanismo Nicole,
Bujinha, Gabriel, Icaro e de Comunicao Social Joo, Iane, Amanda, Raquel que
me permitiram desenvolver muitos outros conhecimentos e experincias;
aos grandes companheiros que fiz no meu curto espao de tempo no movimento
estudantil, que me ensinam a cada dia mais o significado da palavra companheiro,
Ceclia, Poti, Pedrinho, Louise, Germano, Jonas, Monalisa, Renata, Leonardo, Julio e
muitos outros que foram e que viro;
aos muitos amigos com quem tive a oportunidade de conversar e discutir sobre
os problemas mais profundos do conhecimento fsico, biolgico e at social, me
instigando a ir cada vez mais longe na tentativa de entender a Fsica;aos colegas do curso de Fsica (da UFC e da UFRJ), e em especial aos colegas
de Lassco, que em muitos momentos, mesmo sem perceber, me mostraram que eu
estava mesmo no lugar certo, dando conselhos e servindo de exemplo;
aos professores e funcionrios do Departamento de Fsica da UFC, em especial
aos professores Jos Ramos, Andr Auto, Marcos Antonio e ao meu orientador, Carlos
Alberto;
ao CNPQ e UFC pelo apoio financeiro.
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Gnesis
Primeiro no havia nada
Nem gente, nem parafuso
O cu era ento confuso
E no havia nada
Mas o esprito de tudo
Quando ainda no havia
Tomou forma de uma jia
Esprito de tudo
(Caetano Veloso)
Only by pressing on to study the history of the universe at still earlier times can these
final mysteries be resolved. But at earlier times the universe was hotter, and we can extend
the study of the universe to the very earliest times only by considering the behavior
of matter at the very highest energies. Thus, with the deepest questions about particle
physics pointing us to ever smaller distances, and the deepest questions about cosmology
pointing us to ever earlier times, the study of the elementary particle meets the study of
the universecosmology and particle physics are one.
(Jason Preskill)
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RESUMO
Neste trabalho apresentaremos os kinks, analisando suas caractersticas e mostrando que
eles podem representar defeitos topolgicos em teorias quntico-relativsticas.
Abordaremos os princpios bsicos da Relatividade Geral para podermos construir um
cenrio aonde exista uma parede de domnio que tenha sua espessura controlada pelo
parmetro que regula o campo escalar gerador. Localizaremos esse campo neste cenrio
e analisaremos suas caractersticas e interaes com a gravidade.
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ABSTRACT
In this work we will present kinks, analyzing their characteristics and showing that they
could represent topological defects in quantum-relativistic theories. We will approachthe basic principles of General Relativity to construct a model in which exist domain
walls that has its thickness controlled by the parameter that regulates the generating
scalar field. We will then localize this field in this model and analyze its characteristics
and interactions with gravity.
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SUMRIO
INTRODUO p. 09
1 KINKS E PAREDES DE DOMNIO p. 141.1 Teoria Quntica de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 141.2 A Equao de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 151.3 Kinks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 171.4 O Teorema de Derrick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 201.5 O Mtodo de Bogomolny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 211.6 Flutuaes e perturbaes na soluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 221.7 Paredes de Domnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23
2 CONCEITOS BSICOS DA TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL p. 262.1 A Teoria da Relatividade Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 262.2 O Princpio da Equivalncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 282.3 A Acelerao de a curvatura do espao-tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 292.4 Foras Gravitacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 302.5 O Princpio da Covarincia Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 312.6 O tensor de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 322.7 A equao do campo gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 332.7.1 A Identidade de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 342.7.2 O limite newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34
2.7.3 A equao do campo gravitacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 353 GRAVIDADE ACOPLADA A UM CAMPO ESCALAR CONTINUAMENTEDEFORMAVEL p. 393.1 Construindo a equao de movimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 393.2 Solues do tipo Kink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 433.3 Gravidade acoplada ao campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47
CONCLUSO p. 50APNDICE p. 51
1 Superando o Teorema de Derrick p. 51
2 O mtodo de Bogomolny para o potencial p. 52
3 Perturbaes na soluo do tipo kink p. 54REFERNCIAS p. 56
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INTRODUO
A cincia natural tem, desde a sua gnese, tentado juntar elementos para
descrever o Universo como um todo. A partir da anlise de situaes de nosso dia-a-dia
nos interessamos pelo comportamento dos corpos, dos fluidos, da luz, etc. O
desenvolvimento das cincias naturais e de suas ferramentas (experimentais e
matemticas) nos permitiu adquirir uma compreenso profunda de muitos dos
fenmenos fsicos que regem o mundo a nossa volta. Porm, todo esse conhecimento foiproduzido a partir de pequenas experincias, explicando muitos fenmenos
separadamente mas sem nos proporcionar uma viso que permita entender a natureza
como um todo, um nico.
Isaac Newton foi um fsico que dedicou sua vida a estudar diferentes, e
aparentemente desconexos, aspectos da fsica natural. No entanto, apesar de ser capaz
de descrever perfeitamente as foras que movem polias, como os planetas orbitam em
torno do Sol ou com que ngulo determinado feixe de luz sair de um meio ele tevepouco sucesso em descrever a natureza desses fenmenos. Ou seja, com sua teoria da
gravitao ele seria capaz de descrever um determinado acontecimento fsico mas no
seria capaz de explicar o que o originou exausto. Isso porque a origem de todo
acontecimento fsico est na prpria base estrutural da matria, at ento desconhecida.
Outra rea da cincia natural que se desenvolveu separadamente foi a do
Eletromagnetismo. O fsico James Clerk Mawell, a partir dos experimentos de Michael
Faraday, desenvolveu uma srie de equaes que explicavam perfeitamente o
comportamento eltrico e magntico da matria, incluindo suas influncias mutuas.
Porm, segundo essas equaes, a velocidade da luz seria uma constante do Universo,
invarivel sob qualquer referencial. Para a fsica clssica isso apresentou um claro
problema pois, se assumimos que a luz um pulso eletromagntico, ela no poderia ser
invarivel sob transformaes Galileanas de referencial, ou seja, se mudarmos de um
referencial para outro classicamente obteramos velocidades diferentes da luz.
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Analisando este problema o fsico alemo Albert Einstein chegou a concluso
que a teoria clssica de Newton e as transformaes de Galileu no seriam suficientes
para descrever o Universo com as novas concluses do Eletromagnetismo. Assim, ele
props uma nova forma de analisar a mecnica do espao, assumindo a velocidade da
luz como constante absoluta e maior velocidade possvel para todo e qualquer corpo.
Desenvolvendo a Teoria da Relatividade Especial Einstein desenvolveu uma nova
mecnica que no limite apropriado se iguala a mecnica clssica mas explica tambm o
movimento de corpos com velocidade prxima a da luz. Para alm disso, o prprio
conceito de tempo e espao foi modificado, passando o tempo a ser considerado como a
quarta dimenso espacial do continuum quadridimensional. Apesar desta teoria dar
conta de uma variedade de fenmenos fsicos, o comportamento gravitacional, como
apresentado pela mecnica clssica, ainda violava a condio de limitao pela
velocidade da luz. De acordo com a teoria de Newton, se um corpo mudasse a sua
massa, imediatamente os corpos a sua volta sentiriam essa alterao, mas se
imaginarmos a gravidade como um campo este teria que ter seus pulsos com
velocidade mxima igual a da luz.
Ao buscar o entendimento da natureza da fora gravitacional, Einstein foi capaz
de demonstrar que o espao-tempo curvo e que a gravidade a prpria curvaturadeste, e no um campo dentro dele. A Teoria da Relatividade Geral apresentou um
modelo que era capaz de descrever a mecnica clssica, a mecnica relativstica, o
eletromagnetismo e a gravitao atravs da descrio fsica e geomtrica do Universo.
Essa teoria at hoje amplamente aceita, mas atualmente utilizada como base para
novos desenvolvimentos na direo de uma Grande Teoria Unificada.
Simultaneamente ao desenvolvimento da Relatividade Geral, e at com a
contribuio de Einstein, aconteceram grandes avanos em outra rea da cincia natural,a fsica atmica. Os debates levantados pela descoberta do ncleo atmico, do
comportamento dual do eltron e do comportamento quntico da luz foram o motor que
desenvolveu o conhecimento sobre fsica de partculas, ou fsica de altas energias. As
grandes dificuldades experimentais e at mesmo filosficas dos problemas qunticos,
mas ao mesmo tempo o grande xito em descrever o comportamento atmico das
teorias qunticas, fizeram com que a comunidade de fsicos ficasse voltada para essa
rea durante toda a primeira metade do sculo XX. Como no poderia deixar de ser,
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como a fsica de partculas trabalha com altas energias e velocidades, logo foi preciso
desenvolver uma teoria que desse conta de uma quntica relativstica.
Essa teoria surgiu para dar conta de alguns problemas de escala quntica que no
apresentavam solues de acordo com a equao de Schrodinger. Apesar desta equaoser dependente do tempo no era eficaz, por exemplo, em descrever o tomo de
hidrognio. A equao de Dirac, apresentada em 1928, descrevia sistemas de muitas
partculas e tinha covarincia relativstica. Esta a grande motivao do
desenvolvimento da Teoria Quntica de Campos, tentar estudar sistemas com muitas
partculas com altas energias unificando a mecnica quntica, a relatividade e o
eletromagnetismo. Apesar da equao de Dirac apresentar soluo para uma nova
variedade de problemas com partculas de diferentes spins, ela foi apenas o primeiropasso de um desenvolvimento que at o momento continua acontecendo.
No incio dos anos sessenta a fsica de partculas comeou a se aproximar do
estudo de defeitos topolgicos j amplamente conhecidos no estudo da matria
condensada. Tais defeitos esto associados sempre a uma determinada quebra de
simetria que gera estados degenerados. Um bom exemplo o comportamento de
materiais ferromagnticos, aonde a energia magntica minimizada se dividindo em
dois domnios com diferentes magnetizaes. A regio de fronteira entre esses domnios
chamada de parede de domnio e caracterizada como defeito topolgico. No
equilbrio trmico temos apenas uma parede, mas se o material mudar de temperatura
drstica e rapidamente teremos vrias quebras de simetria sem direo privilegiada
formando vrios defeitos localmente. A quebra de simetria na fsica de partculas gera
efeitos parecidos, mas tem consequncias absolutamente revolucionrias para a fsica
como um todo.
O Nobel de Fsica japons Yoichiro Nambu foi um dos primeiros a especular
sobre a possibilidade de que os defeitos pudessem ter uma significncia no s para a
fsica de partculas mas tambm para o prprio entendimento da estrutura do Universo
Seaminhavisoestivercorreta,oUniversopodeterumaespciedeestruturadedomnios.Em
umapartedoUniversovocpodeterumadireopreferencialparaoeixo;naoutraparte,a
direopodeserdiferente.
A partir da comeou a busca por solues do tipo defeito topolgico, ou seja, a sua
possvel existncia em diversos cenrios fsicos. O cenrio de incio do Universo, com
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temperaturas extremamente altas em rpida mudana, foi um dos primeiros a ser
investigado. O fsico americano Steven Weinberg notou, em 1974, a possibilidade de
existncia de paredes de domnio no incio do Universo. Durante toda a dcada de
setenta o estudo sobre os defeitos topolgicos paredes de domnio, cordas e
monopolos - e suas interaes com os diferentes campos presentes no espao
proporcionou o desenvolvimento de diversos modelos e o papel destes objetos se tornou
central no entendimento da cosmologia. A introduo de defeitos topolgicos na
tentativa de descrever o Universo foi um grande passo na construo de uma Grande
Teoria Unificada.
Esta monografia tem como objetivo estudar um determinado tipo de Parede de
Domnio e localiz-la em um modelo com 5-dimenses em que um campo escalarinterage com a gravidade. Para isso, precisamos estudar que tipos de campos so
capazes de gerar solues deste tipo e quais as propriedades de tais campos. A
monografia ser dividida em trs partes;
No captulo 1 estudaremos os campos escalares separadamente. A partir da equao de
Klein-Gordon, que a equao de um campo dependente do tempo e do espao,
veremos que existem uma variedade de campos que so soluo para essa equao e
tem formas parecidas, so as chamas ondas solitrias. Exploraremos as propriedades
dessas ondas e estudaremos um caso especfico delas, os kinks. Essas ondas tem como
caracterstica principal a conservao de sua energia atravs do tempo, mesmo
interagindo com outros kinks eles voltam a sua forma original e conservam a energia.
Analisaremos estas solues para teorias clssicas de campos e ao fim apresentaremos
como elas podem descrever defeitos topolgicos em sistemas de muitas dimenses.
No captulo 2 apresentaremos os conceitos bsicos da Teoria da Relatividade Geral.
Faremos uma discusso terica acerca do desenvolvimento da Relatividade Especial e
dos paradoxos deixados por ela. Em seguida, apresentaremos os princpios bsicos com
os quais Einstein foi capaz de superar esses paradoxos e as ferramentas matemticas que
foram desenvolvidas para tal. Por fim, construiremos a equao para o campo
gravitacional, conhecida como Equao de Einstein. Com ela seremos capazes de
descrever um cenrio relativstico com muitas dimenses, podendo finalmente
apresentar nossa parede de domnio. Como j foi apresentado nesta introduo, o
desenvolvimento da Relatividade Geral foi responsvel por dar as bases para um
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entendimento geomtrico e fsico unificado do Universo. Os desenvolvimentos da
Teoria Quntica de Campos se basearam nos conceitos desta teoria e por isso vital que
possamos entende-la para prosseguir na compreenso de um campo escalar que interaja
com o Universo a sua volta de forma mais geral.
No captulo 3 construiremos o cenrio aonde o campo escalar escolhido ir atuar.
Apresentaremos a mtrica com cinco dimenses e a partir dela construiremos as
equaes de campo. Apresentaremos o campo escalar especfico que iremos estudar e
encontraremos suas solues do tipo kink em vrias dimenses. Em seguida,
localizaremos esse campo em nosso cenrio e na equao de campo, analisando em
seguida seu comportamento e sua interao com a gravidade atravs do fator de warp. O
objetivo final desta monografia oferecer o mximo de informaes possveis sobreesse campo que apresenta solues do tipo kink que so continuamente deformveis e
abre novas possibilidades para o estudo de Paredes de Domnio.
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Captulo 1
Kinks e Paredes de Domnio
Neste captulo iniciaremos fazendo uma apresentao do assunto que nos motivou ao
estudo de kinks, a Teoria Quntica de Campos. A partir da, construiremos a equao
quntico-relativstica para um campo escalar, a equao de Klein-Gordon e, em seguida,
apresentaremos as caractersticas gerais de um determinado tipo de soluo para
equaes no-lineares de movimento para campos escalares, os kinks. Esse tipo de
soluo tem como caracterstica fundamental a sua forma constante. Demonstraremos
alguns exemplos desse tipo de soluo para analisar suas propriedades fsicas quando
representam campos em uma ou mais dimenses espaciais. Quando aparecem em
dimenses espaciais maiores que um, kinks podem ser tratados como paredes de
domnio esfricas. Apresentaremos as caractersticas das solues em mais de uma
dimenso espacial e introduziremos seu papel na descrio de modelos de Universo.
1.1 Teoria Quntica de Campos
Quando Plank apresentou ao mundo a quntica iniciou o estudo sobre uma nova
compreenso da matria e da forma como ela interage. Isso porque a quantizao da luz
(a descoberta dos ftons) implicava que um pulso eletromagntico, a luz, era um grupo
de pacotes de energia. As descobertas posteriores a respeito do comportamento dual do
eltron tambm exigiram dos fsicos da poca uma anlise renovada sobre as prprias
caractersticas fundamentais da matria. Portanto, uma teoria que fosse capaz de
unificar a teoria quntica, que teve imenso sucesso em descrever o tomo, e a teoria que
descreve os campos eletromagnticos e gravitacionais era, e ainda , extremamente
necessria para o entendimento da fsica do Universo como um todo.
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A nova compreenso das partculas e dos campos, iniciada por Plank, e o
formalismo matemtico da mecnica quntica, que culminou na equao de onda de
Schrodinger, proporcionou o entendimento de fato da quantizao do campo
eletromagntico. Porm, a diferena entre uma partcula pontual e um campo contnuo
ficou confusa. Se temos dois eltrons, com massa e carga, interagindo atravs de um
campo eletromagntico, qual a diferena fundamental entre o campo e as partculas?
Para responder a essa pergunta basta analisar a natureza dessa interao. Se tirarmos um
dos eltrons, por exemplo, o campo eletromagntico continuar a existir? Sim, o campo
gerado pelo eltron, obviamente, continua a existir mas no seremos capazes de retirar
nenhuma informao sobre ele (ou sobre o prprio eltron). Ento os eltrons so o
quanta do campo que descreve a interao entre as partculas da matria. Isso no vale
apenas para o eltron, mas para todas as partculas. Ftons, muons, prtons, todos tem
sua interao descrita por um determinado campo. Uma equao de campo para essas
partculas deve ser capaz de descrever seu movimento como um todo. A Teoria
Quntica de Campos tenta descrever o comportamento de toda a matria e todas as suas
possibilidades de interao (campos), portanto a partir da quantizao de campos
podemos analisar sistemas diversos, desde a fsica da matria condensada, passando
pela fsica de partculas at a cosmologia.
1.2 Equao de Klein-Gordon
Uma teoria que estude os fundamentos da prpria matria deve estar de acordo
com a relatividade. Para prosseguir no desenvolvimento da equao de Klein-Gordon
ento, precisamos introduzir a notao relativstica.
Se considerarmos um ponto no espao-tempo (x, y, z, t), podemos dizer que um
elemento de linha ds, que determine a distncia entre esse ponto e outro qualquer, tem a
forma
se exigirmos que ele seja invariante sob transformaes de Lorentz. Podemos tambm
reescrever os pontos no espao-tempo como quadrivetores
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o primeiro chamamos de vetor contravariante e o segundo covariante. O elemento dspode ser escrito ento como
que um invariante. A partir de agora assumiremos a conveno de somatrio para
ndices repetidos, ento podemos dizer que . A relao entre vetores
covariantes e contravariantes definida pela introduo de uma mtrica:
que representa uma matriz diagonal com elementos g = (1, -1, -1, -1). A mtrica
contravariante, ento, ter diagonal (1, 1, 1, 1).
Podemos definir tambm operadores diferenciais como
.
O operador diferencial invariante, conhecido como operador de DAllembert,
,
e o quadri-vetor de momento-energia de uma partcula dado por
,
com invariante
.
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Se considerarmos uma partcula sem spin, podemos afirmar que seu campo ter apenas
uma componente . Podemos ento quantizar a equao acima, substituindo E e ppor
seus operadores qunticos e , respectivamente, para obter a equao de onda do
campo
.
Essa a equao de Klein-Gordon. fcil ver que se fizermos a aproximao no
relativstica da equao para p obtemos . Substituindo pelos operadores
qunticos obtemos a equao de Schrodinger que uma aproximao no-relativstica
da equao de Klein-Gordon.
Partiremos agora para o estudo das possveis solues para a equao de Klein-
Gordon e suas propriedades.
1.3 Kinks
Kinks so funes de onda que mantm sua forma ao longo do tempo, ou seja,
que no dissipam energia. A densidade de energia do kink sempre (ou quase) a mesma
em todos os momentos, quase porque em alguns casos h uma dissipao mas ela ocorre
to lentamente que pode ser considerada como perturbao de uma soluo no-
dissipativa.
O modelo mais simples de kink o conhecido por . Ele tem apenas um
campo escalar em 1 + 1 dimenses e tem como ao
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aonde = 0, 1 e e so parmetros. O potencial para o campo
e m = . Podemos ver que se fizermos V() = 0 encontramos dois mnimos para o
potencial, . Estes so os estados de energia mnima, e tem degenerescncia
dupla j que V() = V(-). Os mnimos do potencial tambm so as solues triviais da
equao de movimento, ou seja, o campo tem duas solues para equao com valores
fixos e simetricamente opostos. Imaginemos agora que diferentes partes do espao
estejam em diferentes vcuos, e . Apesar dos mnimos
serem solues aceitveis para o campo, ele deve ter uma soluo que passe de um
mnimo ao outro. Como V(0) 0, devem existir estados entre os dois mnimos que
tenham energia diferente de zero. A soluo da equao de movimento que atravessa a
regio entre os mnimos chamada de kink.
Assumindo como condio de contorno para a equao de
movimento
aonde exclumos a derivada temporal pois estamos procurando solues estticas (no-
dissipativas). A soluo do tipo kink dada por
se fizermos uma transformao de Lorentz na coordenada x,
, e substituirmos na equao acima, a funo de
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uma onda se movendo com velocidade v. fcil ver que se fizermos uma translao,
fazendo , e expandirmos a soluo em Taylor para pequenos valores de a
a densidade de energia do kink se conservar. Isso quer dizer que o kink tem um modo
zero de flutuao de energia, ou apenas, um modo zero. Podemos tambm fazer uma
flutuao na soluo de modo que
e o campo de flutuao obedea a equao de movimento
e para acharmos os autovalores de assumimos que ele tenha a forma
.
Como a translao deve conservar a energia, deve haver uma soluo com = 0.
Assim, podemos assumir uma translao da forma
.
Comparando com a expanso de Taylor para , vemos que a soluo para o
modo zero, ou seja, a flutuao que corresponde a conservao da energia,
A densidade de energia do kink dada por
.
Podemos ver que , que est de acordo com o princpio de Hamilton
para a ao S.
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Na figura abaixo apresentamos o grfico para o kink e para sua densidade de
energia. Podemos ver que, como esperado, a regio de mxima energia exatamente no
ponto aonde (x) = 0. Isso acontece pois exatamente nessa regio que o campo
atravessa uma fronteira, a barreira de potencial.
Fig 1 A curva variando de -1 a 1 representa o kink com = 2 e = 1. A densidade de energia tambm foi
representada no grfico.
claro a partir da soluo e de sua densidade de energia que a espessura de metade do
kink, a regio de x = 0 at um dos mnimos
no iremos nos aprofundar nesta propriedade agora, mas ser importante no Captulo 3
notarmos que a espessura do kink pode ser regulada pelos parmetros de seu potencial.
Isso ocorre de diferentes formas para diferentes campos.
1.4 Teorema de Derrick
O kink definido por sua forma esttica, sua conservao de densidade de
energia conforme a onda (ou o pacote de energia) se move. Apresentamos na seo
anterior o exemplo bsico de um kink em uma dimenso espacial, agora partiremos para
a anlise da possibilidade de kinks em mais de uma dimenso.
Considere que generalizemos a ao para um campo escalar em n dimenses
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aonde o potencial deve ser maior que zero, e o ndice a representa a possibilidade devrios campos escalares no modelo. Faamos agora a mudana de varivel
Se a densidade de energia de fato esttica, ela deve ser invariante sob transformaes
deste tipo. A energia do campo transformado
aonde a soma sobre a implcita. Se fizermos uma mudana de varivel nas
coordenadas obtemos
E observamos que, se tivermos com , a densidade de energia do campo
original no se conserva para o campo transformado; . Dessa forma, o
Teorema de Derrick afirma que no pode haver configurao de energia esttica finita
para um campo escalar em mais de uma dimenso espacial.
1.5 Mtodo de Bogomolny
Na seo 1.2 encontramos uma determinada soluo do tipo kink a partir de uma
equao de movimento de segunda ordem. Em muitos casos encontraremos equaes de
segunda ordem muito difceis de se resolver e por isso nos seria til reduzi-las a
equaes de primeira ordem. Adicionando um termo no funcional de energia, obtemos
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ento para que a energia seja mnima, basta que
fazendo a energia mnima
Ento, se pudermos minimizar a energia, podemos tambm escrever a equao de
movimento como a equao de primeira ordem
.
Esse resultado nos ser muito til no Captulo 3.
1.6 Flutuaes e perturbaes na soluo
Como analisamos na seo 1.1, o campo nada mais do que a descrio da
interao entre as partculas. Excitaes e perturbaes no contnuo do campo
significam interaes de algum tipo. sempre importante no estudo de campos
quantizados demonstrar como a sua soluo pode ser excitada e qual o estado
fundamental de sua excitao, o estado de mais baixa excitao que permita a
conservao da energia. Vimos na seo 1.3 que para calcular a perturbao no kink,
introduzimos um campo da seguinte forma
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e podemos mostrar, a partir da equao de movimento para quefobedece
no caso do potencial . Porm, se inserirmos a perturbao diretamente na
Lagrangeana (retirada da ao apresentada no incio da seo 1.3)
Obtemos a Hamiltoniana para a funof
aonde
que no caso dos kinks tem uma forma especial que nos permite simplificar essa
Hamiltoniana. J vimos que esta equao tem, para os kinks, um estado de translao
que necessariamente tem a energia conservada com = 0. Assumamos ento que
e tem a equao de movimento
ento U(x) deve ter a forma
aonde todas as derivadas so com respeito ax. Esse potencial nos permite escrever a
Hamiltoniana de outra forma
assim a equao para os demais estados e autovalores fica
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que determina os possveis estados de excitao ao redor do kink. Assim o potencial
U(x) determina todas as perturbaes possveis.
1.7 Paredes de Domnio
As Paredes de Domnios so defeitos topolgicos que existem em regies aonde
h uma quebra de simetria de um determinado campo e ele assume dois valores
diferentes em espaos vizinhos. A Parede de Domnio a regio de transio entre um
valor e outro. Esse tipo de defeito pode aparecer tanto na matria condensada, em
materiais ferromagnticos, como na fsica de partculas, no estudos dos campos e em
modelos cosmolgicos. Neste trabalho estamos interessados principalmente em suascaractersticas em modelos cosmolgicos, portanto nesta seo observaremos suas
principais caractersticas deste ponto de vista usando como exemplo o kink da seo
1.3.
fcil perceber que esse campo poderia ser descrito como um kink, como o
descrito na seo 1.3. Porm, devido ao Teorema de Derrick teremos problemas em
encontrar solues do tipo kink em mais de uma dimenso espacial.
A Parede de Domnio mais simples descrita pelo kink apresentado na seo
1.3, aonde vimos que a espessura da parede
e se usarmos a equao de energia do kink parax = 0 encontramos a densidade de
energia no centro da parede
o que nos d uma densidade superficial da ordem de . Se imaginarmos uma
parede de domnio no vcuo o parmetro definir a densidade de energia da parede e
chamado de parmetro de quebra de simetria. Porm, em paredes de domnio em
cenrios cosmolgicos se ele no for muito pequeno pode afetar a homogeneidade doUniverso.
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No Captulo 2 mostraremos como esse objeto importante para a anlise de
qualquer campo em cenrios com gravidade, mas j podemos afirmar que o tensor de
momento-energia representado por
que nos d
aonde f(x) uma funo com a mesma espessura de forma
.
O tensor de momento-energia tambm invariante sob transformaes de Lorentz no
planoyz, o que implica que a parede ter apenas movimento transversal mas que pode
atingir velocidades relativsticas. E pela importncia dos efeitos relativsticos e
gravitacionais na dinmica desses (e, na verdade, de todos os defeitos topolgicos em
cenrios cosmolgicos) que partimos agora para o estudo da Teoria da Relatividade
Geral.
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Captulo 2
Conceitos Bsicos da Teoria da Relatividade Geral
Neste captulo apresentamos tpicos bsicos do desenvolvimento da Teoria da
Relatividade Geral, partindo dos questionamentos levantados por Albert Einstein aps aformulao da Teoria da Relatividade Especial. Apesar de encontrar a unificao da
mecnica clssica de Newton e do Eletromagnetismo recm-desenvolvido por Maxwell
a Relatividade Especial encontrou problemas na sua relao com outra importante rea
do conhecimento fsico, a gravitao. Veremos aqui os princpios bsicos que levaram a
construo da Relatividade Geral, que prope uma nova viso de universo que altera a
viso da geometria do Universo e abre as portas para a construo de novos modelos
que comportam no apenas a Mecnica Clssica, o Eletromagnetismo e a Gravitao,
mas tambm a Mecnica Quntica.
2.1 A Teoria da Relatividade Especial
O pontap inicial para a construo da Teoria da Relatividade Especial,
apresentada por Einstein em 1905 aos Anais da Fsica, foi dado ainda no sculo XIX
pelo fsico ingls James Clerk Maxwell que formulou a teoria do Eletromagnetismo. Ao
formular sua teoria, a partir de resultados experimentais obtidos por Faraday, Maxwell
demonstrou que a luz um tipo especfico de onda eletromagntica que se move a uma
velocidade constante e imutvel.
Essa afirmao por si s j o paradoxo que tornou necessria a reavaliao de
todos os conceitos da Mecnica Clssica de Newton. Isso porque, para Newton, a
natureza no privilegia nenhum sistema inercial, ou seja, o movimento da matria deve
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obedecer s mesmas leis para todos os sistemas inerciais, sendo as relaes de um
sistema com outro dado pelas transformaes de Galileu.
onde v, d e so constantes reais e R qualquer matriz ortogonal. Essa invarincia sob
transformaes no sistema o que garante a unidade do conhecimento adquirido por
diferentes experimentos em diferentes referenciais. As Leis de Maxwell no so
invariantes sob as transformaes de Galileu, justamente porque a luz no tem a sua
velocidade modificada com a mudana de sistema.
Para solucionar essas questes Einstein props que as transformaes de Galileu
fossem substitudas por outras, desenvolvidas por Lorentz a partir dos resultados do
famoso experimento de Michelson-Morley:
que fazem com que tanto as equaes de Maxwell quanto a velocidade da luz
permaneam invariantes. A segunda Lei de Newton teve de ser modificada para se
adequar a nova concepo de espao e tempo, unificada em 1908 por Minkowski no
espao-tempo quadridimensional.
A Teoria da Relatividade Especial permitiu que estudssemos todas as leis da
natureza em qualquer referencial, mas no especificou nenhum referencial absoluto.
Os sistemas inerciais aos quais nos referimos esto sempre correlacionados pelas
transformaes de Lorentz, mas no sabemos em qual estrutura esses referenciais se
encontram.
Alm disso, com a relatividade especial estabeleceu-se que nenhum sinal poderia
se propagar com velocidade superior a da luz. Portanto, toda a transmisso deinformao deve ter velocidade igual ou menor que a da luz. A interao
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eletromagntica satisfaz essa condio, mas a gravitao de Newton no. Nesta teoria a
interao entre dois corpos depende apenas de sua massa e da distncia entre eles,
assim, se um corpo muda de posio ou aumenta sua massa o outro sentir o efeito
imediatamente. Isso, de acordo com a Relatividade Especial, no seria possvel se a
gravidade fosse transmitida por um sinal que deveria viajar com velocidade menor do
que a da luz.
A partir dessas duas questes, Einstein se debruou sobre o estudo da origem da
interao gravitacional e construiu os princpios da Relatividade Geral.
2.2 O Princpio da Equivalncia
O princpio da equivalncia se baseia na igualdade entre massa inercial e massa
gravitacional, observada experimentalmente com enorme preciso bem antes de
Einstein comear a estudar a gravidade. A massa gravitacional a carga de fora
gravitacional que o corpo carrega, a inercial a que mede a capacidade de resistncia de
um corpo a uma determinada fora.
Einstein percebeu que um sistema acelerado de partculas pode ser estudado
como um sistema inercial se considerarmos um referencial em queda livre. Isso pode serdemonstrado facilmente se considerarmos um sistema de partculas sob o efeito de uma
fora interna F(xn xm) e um campo gravitacional g. A equao de movimento para a
partcula n :
se fizermos a transformao
a gravidade g ser cancelada por uma fora inercial e a equao de movimento fica:
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Os dois observadores percebero as leis da mecnica da mesma forma, com a diferena
de que o observador O sentir o campo gravitacional e o O no. O princpio da
equivalncia diz que a fora gravitacional pode sempre ser cancelada por uma fora
inercial para um referencial em queda livre. Com esse princpio afirmamos que no h
diferena entre um ponto de vista acelerado sem campo gravitacional e um ponto de
vista no acelerado com campo gravitacional. Essa a primeira descoberta sobre uma
relao profunda entre a gravidade e a prpria natureza do movimento.
2.3 A acelerao e a curvatura do espao-tempo
Analisaremos a curvatura do espao-tempo a partir de um exemplo bem simples,considerando a acelerao centrpeta do movimento circular. Digamos que um
observador B percorre uma circunferncia com velocidade munido de uma rgua para
medir seu comprimento. No centro da circunferncia um observador A mede o
comprimento do raio. De acordo com a Relatividade Especial a rgua de B sofrer uma
contrao, de modo que ele obter um resultado maior do que o observador A pois o
instrumento de medida deste est perpendicular ao movimento do crculo. Assim, a
razo do tamanho da circunferncia sobre o raio ser maior que 2 para os observadores
sobre o disco. Conclumos que para um referencial acelerado a geometria euclidiana no
vlida, pelo princpio da equivalncia ento, para um referencial sob efeito de um
campo gravitacional ela tambm no o . Einstein concluiu ento, que a gravidade curva
o espao. Posteriormente veremos que na verdade a gravidade a curvatura do espao-
tempo.
Como j foi dito antes, a partir da Relatividade Especial foi construdo o espao
de Minkowski, aonde espao e tempo se tornam apenas dimenses do sistema de
coordenadas. Portanto, se a gravidade curva o espao, deve curvar o tempo da mesma
maneira.
Retomemos o nosso exemplo anterior, assumindo agora que A e B esto
munidos de relgio. O observador A se desloca no sentido radial em direo a B, que se
move sobre o disco. De acordo com a relatividade especial, quanto mais rpido um
observador mais devagar o tempo passa para ele. Assim, o relgio de B andar mais
devagar que o de A. Porm, a medida que A se afasta do centro do crculo, o ritmo com
que o tempo de seu relgio anda se aproxima do de B. O tempo se curva para A, ou
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seja, o tempo curvo a medida que seu ritmo de passagem difere de um lugar para o
outro. Quanto maior a acelerao, mais devagar a passagem do tempo e mais acentuada
a curvatura do tempo. Portanto, pelo princpio da equivalncia, quanto maior o campo
gravitacional maior a curvatura do espao-tempo.
Essa conexo entre gravidade e movimento e a curvatura do espao o passo
fundamental para entender o papel dessa fora em nosso Universo. Portanto, tambm
o passo fundamental para a construo da Teoria da Relatividade Geral.
2.4 Foras Gravitacionais
A partir do princpio da equivalncia e da curvatura do espao-tempo podemosagora construir a estrutura matemtica que define o nosso espao. Construiremos essa
estrutura a partir das bases matemticas oferecidas pela Relatividade Especial. Neste
captulo no nos deteremos s definies que podem ser encontradas na seo 1.2.
Assumimos agora a existncia de um sistema em queda livre a cuja equao de
movimento dada pela Relatividade Especial:
onde d = ds/c o tempo prprio
Agora escolhamos outro sistema de coordenadas quaisquer x, de modo que a
so funes de x. Reescrevendo a equao de movimento obtemos:
Multiplicamos essa expresso por , obtemos a equao de movimento:
onde a conexo afim definida por
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Podemos agora reescrever o tempo prprio de acordo com o novo sistema:
onde o tensor mtrico definido por
fcil ver a partir dessas ltimas equaes que a conexo afim responsvel por
representar a gravidade no novo sistema de coordenadas. Podemos mostrar que a
mtrica o potencial gravitacional, ou seja, suas derivadas determinam o campo
.
2.5 O princpio da Covarincia Geral
Nas ltimas sees apresentamos o princpio da equivalncia, que nos permitiu
generalizar os resultados da relatividade especial para sistemas com a presena de
gravidade. Porm o mtodo de transformao de coordenadas pode se mostrar muito
trabalhoso quando estudamos sistemas mais complexos com campos eletromagnticos e
gravitacionais. Uma viso alternativa do princpio de equivalncia foi construda e
chamada de Princpio da Covarincia Geral. Segundo ele, as equaes fsicas sero
vlidas em um campo gravitacional se duas condies forem atendidas:
1. As equaes devem ser satisfeitas na ausncia de gravidade;2. As equaes devem possuir covarincia geral, ou seja, elas devem preservar sua
forma sob quaisquer transformaes x x.
De acordo com a segunda condio as equaes devem ser escalares perante as
transformaes, condio obedecida pela contrao de tensores. Porm, a derivada de
tensor em geral no um tensor. Portanto para satisfazer a condio 2 foi preciso
construir uma nova derivada, a covariante.
A derivada covariante de um vetor contravariante definida por:
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e a do vetor covariante:
Ainda podemos generalizar essa definio para tensores mais gerais. A derivadacovariante com respeito a x igual a sua derivada ordinria com respeito a x,
adicionando para cada ndice contravariante um termo com vezes o tensor com
renomeado por e subtraindo para cada ndice covariante um termo com vezes o
tensor com trocado por.
importante destacarmos algumas propriedades da derivada covariante. fcilver que na ausncia de gravidade, quando = 0, ela se converte na derivada ordinria.
Alm disso, ela uma transformao linear que converte tensores em outros tensores.
Ento, para incluirmos os efeitos da gravidade em nossas equaes precisamos
modificar a mtrica e as derivadas para que o princpio da covarincia geral seja
respeitado.
2.6 O tensor de curvaturaJ vimos anteriormente que a gravidade tem ntima conexo com a curvatura do
espao-tempo e vimos tambm que a mtrica o potencial gravitacional.
Comeamos agora a investigar o que podemos construir a partir desta mtrica e de suas
derivadas. Porm, a derivada covariante de zero e portanto no podemos obter
nenhum tensor dela. Como no podemos aplicar a derivada covariante diretamente na
mtrica, aplicaremos em um vetor genrico V:
Os termos com derivadas de Vno nos permitem encontrar um tensor composto apenas
por e suas derivadas, porm, eles so simtricos na troca de por. Podemos
escrever ento:
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como o termo a esquerda da equao um tensor e V um vetor, o termo entre
colchetes um tensor. Este termo constitui o tensor de curvatura de Riemann-
Christoffel
formado somente pela mtrica e suas derivadas at segunda ordem, sendo ainda linear
em suas derivadas segundas. Este o nico tensor com essas propriedades, podem ser
teis a ns tambm suas combinaes lineares como o tensor de Ricci
e a curvatura escalar
Veremos a seguir que o tensor de curvatura tem grande importncia por nos dar
informaes sobre o tensor mtrico. Se o tensor mtrico for constante, o tensor de
curvatura se anula. Mas pelo seu carter tensorial, em um sistema arbitrrio, onde
a mtrica no constante, tambm se anular. Assim, a nulidade do tensor de curvatura
condio necessria e suficiente para que exista um determinado sistema de
coordenadas aonde a mtrica seja constante.
2.7 A equao do campo gravitacional
Apresentamos at aqui alguns dos princpios que foram construdos durante o
desenvolvimento da Teoria da Relatividade Geral. Einstein observou inicialmente os
paradoxos existentes em sua Teoria da Relatividade Restrita e como ela no abarcava a
explicao do comportamento dos campos gravitacionais. A partir da, ele investigou as
relaes existentes entre a gravidade e o movimento, e mais ainda, com o prprio
sistema referencial encontrando a relao do campo gravitacional com a curvatura do
espao-tempo, representada pela mtrica . Se mostrou imperativo ento estudar o
comportamento deste tensor e construir uma equao para o campo gravitacional querespeitasse o princpio da covarincia geral.
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2.7.1 A Identidade de Bianchi
Inicialmente vamos introduzir aqui uma igualdade que nos ser til na
construo da equao do campo gravitacional, a Identidade de Bianchi. Lembrando
que
aplicando novamente a derivada covariante e fazendo permutaes cclicas entre os
ndices covariantes obtemos
Considerando que anti-simtrico, se somarmos as trs equaes obtemos
que deve ser vlida para todo V, ento
que a Identidade de Bianchi. Usando a mtrica, podemos contrair os ndices para obter
contraindo mais uma vez
Como o primeiro e o terceiro termos do lado direito so iguais, podemos escrever:
2.7.2 O limite newtoniano
Retornamos agora a equao de movimento obtida na seo 2.4 com a
introduo da gravidade em um sistema inercial
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e consideraremos o caso aonde as partculas se movem lentamente e o campo fraco, o
limite aonde a teoria newtoniana vlida. Neste caso podemos desprezar , e
utilizar , e considerando o campo estacionrio todas as derivadas temporais da
mtrica sero nulas ento
Lembrando novamente dos clculos da seo 2.4, vamos dessa vez assumir uma mtrica
prxima a minkowskiana
Substituindo na equao de movimento e na equao para a conexo afim levando h a
primeira ordem, obtemos
Lembrando da equao newtoniana para o campo gravitacional
e assumindo constante devido a equao anterior, podemos concluir que
, e portanto que
2.7.3 A Equao do Campo Gravitacional
Dependemos at agora da mtrica para introduzir os efeitos gravitacionais nos
sistemas, mas ainda no temos como determin-la. Se admitimos que ela o potencial
gravitacional, como vimos anteriormente, e que a equao para o campo gravitacional
deve concordar, no limite apropriado, com a equao de Poisson
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aonde a densidade da matria. De acordo com a famosa frmula de Einstein, massa
nada mais do que energia, e esta tem sua representao matemtica no tensor
momento-energia T. Admitindo que T00 e que g o potencial gravitacional,
podemos acreditar que no limite newtoniano vlido escrever
aonde k = -8G, de acordo com o resultado da seo anterior para . Essa equao
descreveria um campo fraco estacionrio gerado por matria no-relativstica, mas da
forma que est no invariante de Lorentz. Porm, a partir dela podemos imaginar que
uma equao para uma distribuio geral de massa para um campo gravitacional
arbitrrio deveria possuir a forma
aonde G um tensor geral formado por g e suas derivadas. Vimos na seo anteriorque o tensor mais geral com essas caractersticas o tensor de Riemann-Christoffel, e
que com ele s podemos formar outros dois tensores, o tensor de Ricci e a curvatura
escalar. Portanto, podemos assumir que a forma mais geral de G ser
Assim como na fsica clssica, a energia deve se conservar, por isso
ento, derivando a equao para o campo gravitacional e utilizando a Identidade de
Bianchi contrada podemos escrever
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Ento, ou C2 = -C1/2 ou R; zero. Porm, dispensaremos a segunda possibilidade pois
R no constante em todos os casos. Obtemos assim
Agora retornaremos ao limite newtoniano, aonde a mtrica e
podemos escrever a conexo afim como
Calculando o tensor de curvatura obtemos
como no limite newtoniano o tensor de momento-energia se resume a densidade de
matria . Nesse limite, consideramos = i, e = j
De modo que, se retornarmos a contrao inicial do escalar de curvatura
Analisando agora a componente aonde = = 0, vemos que
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Dessa forma, C1 = 1. Assim encontramos o tensor de curvatura de Einstein G, e
consequentemente, a equao de Einstein que buscvamos
.
Esse resultado concorda perfeitamente com o desenvolvimento da Teoria da
Relatividade como um todo. Vejamos, do lado esquerdo da equao temos termos
puramente geomtricos, o tensor de curvatura, a mtrica e o escalar. Do lado direito,
temos apenas o tensor de momento-energia do sistema. Assim, como j havamos
percebido antes a gravidade tem uma relao intrnseca com a geometria do universo. A
prpria energia, ento, a fonte da curvatura do espao-tempo e exatamente essacurvatura a responsvel pela interao gravitacional.
Essa concluso fundamental para entender a importncia do campo escalar que
apresentaremos a seguir como defeito topolgico na estrutura do universo. Como
apresentado no captulo anterior, defeitos topolgicos do tipo kink so gerados por
campos escalares, mas se quisermos localiz-los em uma determinada geometria do
universo precisamos analisar como ele interage com a gravidade atravs da equao de
Einstein. A apresentao deste campo e sua localizao so o assunto do prximocaptulo.
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Captulo 3
Gravidade acoplada a um campo escalar continuamente
deformvel
O desenvolvimento da Teoria da Relatividade Geral mostrou a infinita
importncia do estudo da geometria do Universo. Os estudos acerca desse tema se
desenvolveram em conjunto com a teoria quntica e nas ltimas dcadas a Teoria
Quntica de Campos se tornou a principal ferramenta na tentativa de explicar o incio do
Universo e toda a sua constituio geomtrica e fsica. No a inteno deste trabalho
apresentar aprofundadamente nenhum dos modelos propostos pela TQC, mas sim tentar
estudar determinadas caractersticas de um modelo que admita cinco dimenses aonde
possam existir campos escalares e gravitacionais.
Em geral, modelos deste tipo com campos escalares na quinta dimenso
podem apresentar estruturas de membranas. Essas membranas se assemelham s
paredes de domnio ferromagnticas, se caracterizando pela transio entre duas regies
pelas quais um determinado parmetro passa variando de valor. Um campo escalar com
diferentes mnimos de potencial em regies prximas pode gerar um estrutura deste
tipo, como vimos no primeiro captulo. Agora, construiremos o cenrio aonde um
determinado campo escalar, que apresentaremos nas sees seguintes, pode interagir
com a gravidade gerando paredes de domnio com espessura continuamente deformvel.
3.1 Construindo as equaes de movimento
Usaremos uma determinada mtrica que nos permita analisar a interao da
quinta dimenso com as demais
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aonde os ndices e vo de 0 a 3 e os ndices M e N variam de 1 a 5. Podemos ento
escrever
onde
Para construirmos a equao de movimento a partir da equao de Einstein precisamoscalcular o tensor de Ricci e a curvatura escalar para essa mtrica. O tensor de Ricci
obtido atravs da contrao do tensor de curvatura, como visto no captulo anterior, e
este pode ser escrito como
Sabemos que a conexo afim e podemos escrev-la
calculando-a encontramos o tensor de curvatura e o escalar
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Essas informaes nos permitem agora calcular as equaes de movimento para um
campo escalar nesse cenrio. Comearemos analisando a equao de Einstein
.
Para obter o tensor de momento energia precisamos primeiro analisar a ao deste
cenrio. A ao de Einstein-Hilbert geral dada por
,
aplicando o princpio de Hamilton obtemos
.
Como a equao deve ser vlida para qualquer variao de GMN, temos que
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No iremos nos aprofundar nas variaes do escalar de curvatura, pois j chegamos a
equao de Einstein no captulo anterior, mas fcil ver que o tensor de momento e
energia deve ter a forma
.
Escolhemos agora a nossa lagrangeana a ser introduzida na ao e na equao acima
para o tensor de momento-energia
,
substituindo a lagrangeana e o tensor na equao de movimento de Einstein obtemos
agora substitumos nessa equao os valores encontrados para o tensor e o escalar de
curvatura. Para M = N = 5,
,
para M = N = 1, 2, 3, 4
Somando as duas equaes obtemos
que uma equao de segunda ordem linear. Para simplificar ainda mais a obteno da
soluo utilizaremos o mtodo do superpotencial, escolhendo um potencial com a forma
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Comparando com a primeira equao obtida para A e V(), podemos assumir que uma
soluo para aquela equao tambm seria soluo para as seguintes:
aonde W() uma funo suave e lisa de .
3.2 Solues do tipo kink
Existem alguns tipos de campo que so soluo parra essas equaes
dependendo da escolha do superpotencial. Nos interessamos aqui por solues do tipo
kink pois estas descrevem paredes de domnio com espessura na quinta dimenso. Para
isso precisaremos de um determinado tipo de campo que produza um campo topolgico
em qualquer dimenso, contrariando assim uma regra conhecida como teorema de
Derrick, apresentado na seo 1.4 deste trabalho.
A escolha do potencial determinar a superao deste teorema. Escolhendo
que da classe de potenciais utilizados para chegar s equaes de movimento na seo
anterior. , com . A escolha da funo
de x define ento o potencial
onde .
Com esse potencial utilizaremos a condio de finitude da energia para encontrar
a relao entre N e D. Considerando a densidade de energia e supondo a
energia total obtemos
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,
utilizamos agora uma mudana de varivel para superar o supracitado teorema
de Derrick (APNDICE). Se chamarmos o primeiro termo da integral de energia
gradiente e o segundo de energia potencial e fizermos a integrao sob a nova
varivel encontramos
.
Se derivarmos essa equao fazendo = 1, ou seja, retornando varivel ,
encontramos
.
Essas condies impe restries sobre D e N. Para N = 0, s existem solues
estveis fazendo D = 1, fazendo . Para D = 2, N = D necessariamente mas no
retiramos nenhuma informao sobre as energias. Para D 3, temos N = 2(D 1) para
diviso igual de energia entre gradiente e potencial.
importante lembrar que ainda estamos trabalhando no espao plano, ou seja,sem gravidade. Por isso usaremos a lagrangeana para chegar equao de movimento:
que de segunda ordem e de difcil soluo. Para chegarmos a uma equao de primeira
ordem utilizaremos o mtodo de Bogomolny, apresentado na seo 1.5 (APNDICE)
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que vlida apenas se a energia for minimizada para
e N = 2D 2 para campos radiais. Essa equao de movimento nos permitir analisar
diferentes campos em vrias dimenses de acordo com a escolha de D. Para encontrar
algumas dessas solues ser til utilizar a mudana de varivel . Ento,
se fizermos D = 1 teremos
o que nos permitir encontrar uma verso para D dimenses de ondas solitrias
unidimensionais. O superpotencial que iremos estudar neste captulo definido a seguir
aonde b0 > 1 um parmetro continuo. Para D =1, a soluo ser um kink tal que
uma funo suave que varia sua forma de acordo com a variao do parmetro . Se
o parmetro for pequeno o potencial ter dois mnimos e consequentemente gerar
apenas uma parede de domnio. Podemos ver nos grficos, no entanto, que conforme
aumenta o potencial passa a ter trs mnimos gerando assim duas paredes, como vemos
nas figuras abaixo.
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Fig 2 Potencial V como funo do campo para = 2 (linha pontilhada) e = 10 (grfico a esquerda) e o campo
em funo da coordenada espacial x.
Se fizermos agora D = 2 e utilizarmos a mesma mudana de varivel teremos
e a equao de movimento fica
que tem como soluo o campo
.
Para D 3, obtemos
que tem como soluo
.
Se substituirmos a derivada segunda do potencial usado aqui na
Hamiltoniana encontrada na seo 1.6 (APNDICE) obtemos as seguintes equaes
para perturbaes no campo do tipo
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o que nos d autovalores reais em todos os nveis, fazendo as excitaes estveis. Alm
disso, podemos obter o modo zero da soluo a partir do operador de aniquilao
aonde N0 a constante de normalizao. Podemos observar nas figuras abaixo que o
modo zero maior para os pontos de mudana de fase, ou seja, nas superfcies dasparedes de domnio.
Fig 3 A linha slida representa o campo em funo da coordenada espacial e a pontilhada o modo-zero para a) (a =
10, = 20) para D = 2 e b) (a = 4, = 40) para D = 3
Podemos ver que, para D = 2 e suficientemente grande observamos tambm a
formao de dupla parede de domnio. Para D 3 podemos tirar a concluso de que a
forma do campo se mantm a mesma para dimenses iguais ou maiores que 3.
3.3 Gravidade acoplada ao campo escalar
Apresentamos na seo 3.1 o cenrio com 5 dimenses aonde um campo escalar
interage com a gravidade na dimenso extra e obedece s seguintes equaes de
movimento
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aonde A(y) o fator de warp. Na primeira seo apenas apresentamos esse fator
matematicamente e como podemos perceber de nossa mtrica, ele o responsvel pelaconexo ou interao da quinta dimenso com as demais. A partir dos clculos da
seo 3.2 sabemos que a equao para o campo tem soluo do tipo kink dependendo da
escolha de W. Portanto, o superpotencial utilizado na seo anterior pode gerar paredes
de domnio na quinta dimenso e interagir com a gravidade. Como a primeira equao
tem soluo idntica a soluo da seo anterior, basta calcular agora o fator de warp
para terminarmos a construo de nossa mtrica
.
Como queremos analisar o comportamento de A(y) com relao ao campo escolhido ,
preferencial que encontremos o fator de warp em funo do prprio campo. Assim
manipulamos a equao de movimento para encontrarmos A()
Se substituirmos nosso superpotencial nessa equao obtemos
que uma equao de difcil soluo analtica. Porm, a partir dela j somos capazes de
esboar a forma de A() como apresentado nas figuras abaixo. Na figura X observamos
que o fator de warp tambm responde a variaes do parmetro Nas figuras
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seguintes, observamos que alm disso, a variao de proporciona tambm trs
diferentes tipos de paredes de domnio.
Fig 4 O fator de warp para = 2 (linha lisa) e = 200 (pontilhada).
Fig 5 -Da esquerda para direita fatores de warp apresentando paredes de domnio de trs classes diferentes
( ), do tipo II ( e do tipo III (
Podemos ver ento que o fator de warp, um elemento da geometria do modelo 5-dimensional
que escolhemos, tem seu comportamento diretamente modificado pelo campo e, inclusive,
modificado de acordo com a espessura da parede. Dessa forma, terminamos a anlise da
interao dos kinks com a gravidade. Essa interao nos mostra que o comportamento de
paredes de domnio com altas energias pode ter alta influncia em cenrios cosmolgicos o que
nos leva de volta a motivao inicial desse trabalho; o entendimento de caractersticas
particulares de um objeto fundamental no entendimento de um modelo completo de universo
descrito por defeitos topolgicos.
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Concluso
Neste trabalho apresentamos um conjunto de conceitos fsicos e de ferramentas
matemticas fundamentais para duas grandes reas do conhecimento, a Fsica de
Partculas e a Teoria da Relatividade. Assim, a primeira concluso que tiramos de um
trabalho como este aquela que os primeiros fsicos de partculas que imaginaram a
possibilidade de defeitos topolgicos em cenrios cosmolgicos, a de que eles so
fundamentais no entendimento do Universo como um todo, principalmente quando
imaginamos a quantidade de energia e de quebras de simetria existentes em cenrios de
incio do Universo.
Para alm disso, apresentamos um modelo que nos traz muitas novas
possibilidades no estudo das Paredes de Domnio. Conclumos, primeiramente, que era
possvel desenvolvermos um determinado potencial que descrevesse um kink em um
nmero arbitrrio de dimenses, nos permitindo assim assumir a existncia de defeitos
topolgicos em cenrios cosmolgicos. A escolha do superpotencial W nos deu a
possibilidade de estudar um tipo de kink ainda pouco conhecido, que pode ser
continuamente deformado atravs de um parmetro. Essa caracterstica que gera as
concluses mais interessantes sobre a Parede de Domnio. A variao deste parmetro
leva a variao da espessura da parede, causa o aumento de sua energia e modifica o
formato do fator de warp em cenrios com cinco dimenses. A interao deste campo
com outros campos alm do gravitacional poder mostrar se esse parmetro determina
outras informaes, por exemplo, ele poderia nos dar informaes sobre um segundo
kink que viesse a interagir com nosso campo. Como vimos, a variao da energia de
paredes de domnio pode influenciar profundamente a dinmica e a geometria do
Universo e, em nosso modelo principal, o parmetro define a influncia.
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APNDICE
Este apndice destinado ao desenvolvimento de alguns clculos matemticos queavaliamos necessrios para o entendimento completo do captulo 3 deste trabalho,
principalmente no que diz respeito a obteno das solues do tipo kink. A soluo das
equaes diferenciais para obteno do campo no foram obtidas analiticamente e por
isso no apresentamos estes clculos aqui.
1 Superando o Teorema de Derrick
Iremos fazer aqui a transformao necessria para provar que possvel existir um
campo escalar com configurao esttica de energia, ou seja, com densidade de energia
fixa em vrias dimenses. Para isso, utilizamos a equao para a energia
e fazemos a transformao
portanto precisamos transformar os seguintes termos da integral
.
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E assim podemos construir a integral da energia, que deve se conservar sob a
transformao
Se , as energias gradiente e potencial se transformam da seguinte forma
e podemos dizer que a energia total dada por
Como apresentado no captulo 3.
2 O mtodo de Bogomolny para o potencial
Mostraremos aqui que a energia acima pode ser utilizada para construir uma equao de
movimento de primeira ordem para este potencial com o mtodo de Bogomolny,
utilizando apenas uma condio para a energia mnima. Retomando a equao inicial
que estudamos acima
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completamos os quadrados como demonstrado abaixo
se reescrevermos , podemos separar as integrais
como , podemos escrever
ento podemos dizer que, se a energia mnima for da ordem de
obtemos a equao de movimento
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3 Perturbaes na soluo kink
Nesta seo apresentaremos os clculos para obteno da Hamiltoniana que atua
sobre as perturbaes do potencial. Para isso utilizaremos os resultados da seo
1.6 assumindo que a hamiltoniana tenha a forma
aonde
e e . Fazendo a derivada em nosso potencial obtemos
aonde assumimos que . Assim obtemos a equao para a perturbao
que pode ser fatorada e reescrita como
obtendo para ,
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de acordo com os resultados do captulo 3.
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Referncias
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