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1J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo

Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e Bioquímicos

Capítulo II : Autovalores, Autovetorese Formas Quadráticas

DISCIPLINA

José Luiz de Medeiros e Ofélia Q.F. AraújoEngenharia Química UFRJ

jlm@eq.ufrj.br, ofelia@eq.ufrj.brTel. 21-2562-7535

Sistema Quadrado Homogêneo : n Equações em n Variáveis

Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas1. Sistema Quadrado Homogêneo (SQH)

xnXnxnA

O SQH tem, obviamente, a Solução Trivial X = 0Todavia, Temos Interesse apenas na Possibilidade de Soluções Não-Triviais, para as quais X ≠ 0

Sistema Quadrado Homogêneo n x n Teorema 2.1

=⇔=m

iiim BXABXAAA

121 ]...[

A1 , A2 , ... , Am L.I. e Tem-se B com Posto([A1 A2 ... Am B])=m, Então :

Tem Solução X Única

=⇔=m

iiim BXABXAAA

121 ]...[

A1 , A2 , ... , Am L.I. e Tem-se B com Posto([A1 A2 ... Am B])=m, Então :

Demonstração

Tem Solução X Única

.)..(0

..,...,0000)(

])...([])...[(.

SolUmaHáSóeiXXXXAssim

ILAAAAXXABXABXA

EntãoXXDiferentesSoluçõesDuasháqueAdmitaÚnicaéSolA

BAAAPostopAAAAPostopoisSolTemBXA

=⇒=−

=⇒=⇒=⇒=−⇒

ααα

BsesomenteABseA

BsesomenteeseA

⇒⇒

BABsesomenteAABBseA

O SQH tem Solução Não-Trivial X ≠ 0 Se e Somente Se sua Matriz é Singular.

Demonstração B é Suficiente para A

B é Necessário para A

B é Suficiente para AB é Necessário para A

BsesomenteABseA

BsesomenteeseA

⇒⇒

BABsesomenteAABBseA

Demonstração B é Suficiente para A

B é Necessário para A

B é Suficiente para AB é Necessário para A

BABsesomenteeseABAAB

BsesomenteeseA

⇒⇒

00 =≠∃⇒ XAcomXSingularA

00 =≠∃/⇒ XAcomXSingularNãoA

Demonstração

Suficiência

Necessidade

00 =≠∃⇒ XAcomXSingularA

.....,,)( 21 DLSãoAAAnpAPostoSingularA n⇒<=⇒

Demonstração

Suficiência

=≠∃⇒⇒

≠==⇒ ∑=

XAcomXSingularA

XcomobtidoserpodeXAXAn

00.0,.0

.).0..(.0

])0([)(

=≠∃/⇒⇒==⇒

=−=⇒

===⇒

XAcomXSingNãoAÚnicaéXSolSempreéXComo

LGpncomeiÚnicaSolTemXA

npAPostoAPostoSingularNãoA

00 =≠∃/⇒ XAcomXSingularNãoA

Demonstração

Necessidade

SQH com DA ≠ 0, só possui a Solução Trivial X = 0

Demonstração

000)(0,.0

.).0..(.0

])0([)(0

==⇒≠⇒==⇒

=−=⇒

===⇒⇒≠

XparaapenasXAADETÚnicaéXSolSempreéXComo

LGpncomeiÚnicaSolTemXA

npAPostoAPostoSingularNãoADA

SQH com Posto(A)=n-1, tem Solução Completa X = β.S onde β éConstante Arbitrária

Demonstração [ ]

XcomVXXAVXX

XAVXAXAXAXAXA

AssimúnicoéVTeorPeloAVAcomocolocadoserpodeA

DLColaASejaDLColeILColsnTemAnpAPostoLGpnaSolTemXAnAPostonpAAAAPosto

βββ =

−=⇒−=⇒=+

−⇒−==

=−=⇒−=⇒−===

−−

∑∑∑∑

).,1.2.(

...;..1..11)(..1.01])0([1)(

Por que ?

SQH com Posto(A)=n-1, a Solução Completa é constante vezes o vetor de cofatores de Q.Q. linha com ao menos um cofator ≠ 0

Demonstração Pelo Teor. 2.4, a Sol. Completa é X = β.S onde β é Constante Arbitrária e S é um vetor específico. Como Posto(A)=n-1, DA=0

SQHCompletaSolXSQHdoSoldedireçãoadefine

AEntãoAdecofatoresvetor

Ω=⇒Ω⇒

=Ω≠Ω

SQH com Posto(A)=n-1, a Solução Completa é constante vezes o vetor de cofatores de Q.Q. linha com ao menos um cofator ≠ 0

Exemplo

−=⇒

==Ω−=−=Ω==Ω

ΩΩΩ

,69564

)1(,39765

0975654321

XXDando

XUsamosXXX

Solução Completa do SQH pode ser Obtida pela Estratégia Geral de Pivotamento e Análise de Sistemas Lineares.

Exemplo

0975654321

Sistema Quadrado Homogêneo n x n

Exemplo

630630

321)(1

975654321

−−−−

oNormalizadPivô

AumentadoTableauXXX

−−

2)(..123.])0([2)(

000210101

630210321

XLGtemSolAPostoAPosto

FimNuloPivô

PivôNormaliza

−=12

Sol. Completa

Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas2. Formas Quadráticas (FQ) e Formas Bilineares (FB)

Matriz da Forma Quadrática

)1xn(Y),1xn(X,)nxn(ASejam

∑∑= =

1jjiij XXA)X(QQuandoQuadráticaFormaumaé)X(Q

)1xn(X,Y)1xn(X)nxn(A

Variáveis da Forma Quadrática

Variáveis da Forma Bilinear

∑∑= =

1jjiij YXA)Y,X(FQuandoBilinearFormaumaé)Y,X(F

)1(,)( xnXnxnASejam

( ) XAXXAX)X(Q

XXXXAXXXA)X(Q

XXA)X(QQuandoQuadráticaFormaumaé)X(Q

1jjiij

∑∑∑∑

∑∑

XAXXAXXXAXQ TTn

jjiij∑∑

===1 1

)1xn(Y),1xn(X,)nxn(ASejam

∑∑= =

1jjiij YXA)Y,X(FQuandoBilinearFormaumaé)Y,X(F

XAYYAXYXF

XXYAXYXAYXF

∑∑ ∑∑∑

11 111

YAXXAYXYFXAYYAXYXF

geralemqueNoteTTTTTT ==≠== ),(),(

SimétricaMXMXXAXXQ

MMSimétricaAA

MXMXXAA

XAXXAXXAXXAXXQ

XQXQXQXQXQComo

TTTTTT

2)()()()()(

+=⇒=

Toda FQ é Idêntica a uma FQ com Matriz Simétrica Teorema 2.6

Demonstração

SimétricaMXMXXAXXQ

MMSimétricaAA

MXMXXAA

XAXXAXXAXXAXXQ

XQXQXQXQXQComo

TTTTTT

2)()()()()(

+=⇒=

Demonstração

SimétricaAA

XMXXAXXQT

Devido ao Teor. 2.6, deste Ponto em Diante só Consideramos FQscom Matrizes Simétricas, pois :

0)X(Q0X,realnxnsimétricaMXMX)X(QSeja T =⇒==

Classificação de Formas Quadráticas Definição 2.1

)PD(DefinidaPositiva)X(Q0X0)X(Q −⇒≠∧>1

)0Xumlgapara0)X(Q()PSD(daSemidefiniPositiva)X(Q0X0)X(Q

≠=−⇒≠∧≥2

)ND(DefinidaNegativa)X(Q0X0)X(Q −⇒≠∧<3

)0Xumlgapara0)X(Q()NSD(daSemidefiniNegativa)X(Q0X0)X(Q

≠=−⇒≠∧≤4

Indefinida)X(Q0X0)X(Q0)X(Q0)X(Q

⇒≠∧

Seja Q(X) Definida (PD ou ND), Então DM ≠≠≠≠ 0 Teorema 2.7

)0D(SingularNãoMDefinida)X(Q,LogoDefinidaé)X(QpoisAbsurdo0XMX)X(QEm

)SQH(0Xparaocorre0XMAssim

0)M(DETcomDefinidaXMX)X(QAdmita

≠−⇒

Demonstração

Condição Necessária e Suficiente para Q(X) PD (ND) Teorema 2.8

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

MMMMMMMMMMMM

M,XMX)X(Q

Quantidades abaixo todas Positivas (Alternem Sinal com M11<0 )

M,...,MMMMMMMMM

333231

232221

131211

121111

0XMYYMX TT ==

Vetores Ortogonais e Conjugados Definição 2.2

realnxn,PD,SimétricaM0Y,0X,1xnVetoresY,X ≠≠

( )0,0

XYYXTT

TTX , Y São Ortogonais

X , Y São Conjugados por M

( )0,0 >> YMYXMX TT

U1 , U2 , ..., Un São n Vetores Mutuamente Ortogonais, Então Eles São L.I. Teorema 2.9

Demonstração

≠=⇒⊥⊥⊥⊥

0UU)ji(0UU

n321 L

.]I.LsãoVetores,Absurdo[0n..1kparapetindoRe

00UU0UUU.emultPr

0com0U.e.i.;D.LeU,,UAdmita

0parasó0U.I.LSeremPara

1iiin1

=⇒=⇒=⇒

≠=⊥

ααα

U1 , U2 , ..., Un São n Vetores Mutuamente Conjugados por MSimétrica e P.D. n x n. Então Eles São L.I. Teorema 2.10

Demonstração

≠=⇒

0UMU)ji(0UMU

MporConjugadosU,U,Ui

.]I.LsãoVetores,Absurdo[0n..1kparapetindoRe

00UMU0UMUMU.emultPr

0com0U.e.i.;D.LU,,UAdmita

0parasó0U.I.LSeremPara

1iiin1

=⇒=⇒=⇒

ααα

Construção de Base Ortogonal P1 , P2 , ..., Pn de Vetores via Ortogonalização Schmidt Teorema 2.11

Demonstração

1n1nn22n11nnn

23213133

n21n21

P...PPWP

PPWPPWP

WP:comOrtogonaisP,P,PoduzirPr.,I.LW,W,WCom

−−+++=

ααα

Demonstração

1n1nn22n11nnn

23213133

n21n21

P...PPWP

PPWPPWP

WP:comOrtogonaisP,P,PoduzirPr.,I.LW,W,WCom

−−+++=

ααα

Constantes αααα21, αααα31, ... ααααnn-1 calculadas de modo que P1 , P2 , ..., Pn Sejam Mutuamente Ortogonais.

Demonstração

1n1nnn

0PP,...,PP

...PPWP

0PP,PP

0PP,PPWP

−−

−−− −=⇒=−=⇒=

−=⇒=−=⇒=

−=⇒=

Demonstração

PWPCalc

WPCalc

kiFornkFor

WPFazerWWWEntrarSchmidtocessodosumo

iikikk

∑−

1...1...2

;...,,,:PrRe

Ao Final, os Vetores da Base Ortogonal podem ser Normalizados

EndPPP

n...1kFor

kkk ==

Construção de Base Conjugada P1 , P2 , ..., Pn por Matriz Simétrica e Definida, via Processo Schmidt Teorema 2.11b

Demonstração

1n1nn22n11nnn

23213133

P...PPWP

PPWPPWP

WP:comMporConjugadosP,P,PoduzirPr

.,I.LW,W,WCom;Definida,nxnSimétricaMCom

−−+++=

ααα

Demonstração

1n1nn22n11nnn

23213133

P...PPWP

PPWPPWP

WP:comMporConjugadosP,P,PoduzirPr

.,I.LW,W,WCom;Definida,nxnSimétricaMCom

−−+++=

ααα

Constantes αααα21, αααα31, ... ααααnn-1calculadas de modo que P1 , P2 , ..., Pn Sejam Conjugados pela Matriz

Demonstração

1n1nnn

WMP0PMP,...,

WMP0PMP

WMP0PMP,

WMP0PMP

−−

−−− −=⇒=−=⇒=

−=⇒=−=⇒=

−=⇒=

Demonstração

PWPCalc

EndPMP

WMPCalc

kiFornkFor

WPFazerWWWMEntrarConjugadaBaseparaSchmidtocessodosumo

iikikk

∑−

1...1...2

;...,,,,:PrRe

Ao Final, os Vetores da Base Conjugada podem ser Normalizados

EndPPP

n...1kFor

kkk ==

Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Teorema 2.12

A Transformação de uma Forma Quadrática Geral do tipo

∑∑= =

1jjiij

T XXMXMX)X(Q

Em uma FQ Diagonal de Mesmo Valor, do tipo

)X(YYDYDY)X(Qn

T ∑=

É uma Maneira Rápida de Determinar o Caracter de uma FQ, Pois :

PD)X(Q0Xpara0)X(Q)n...1i(0Dii ⇒≠∀>⇒=>1

)kumlgapara0D(PSD)X(Q0Xpara0)X(Q)n...1i(0D

=⇒≠∀≥⇒=≥2

ND)X(Q0Xpara0)X(Q)n...1i(0Dii ⇒≠∀<⇒=<3

Indefinida)X(Q0Xpara000

)X(Q0D)ns(umlgA0D)ns(umlgA0D)ns(umlgA

⇒≠∀

)kumlgapara0D(NSD)X(Q0Xpara0)X(Q)n...1i(0D

=⇒≠∀≤⇒=≤

=≠≠=

YD))Y(X(Q:YemDiagonalFQEm

XMX)X(QConverteYUXçãoTransformaaEntão

UUUUMatrizaSeja

)ji(0UMU),ji(0UMU

MporConjugados1xnVetoresU...,,U,USejamnxnSimétricaMSeja

:Dando

)ji(0UMU:ConjugadosSãoVetoresosComo

UMUUMUUMU

UMUUMUUMUUMUUMUUMU

YUMUYYUMUYXMX)X(QXUYYUX

:InversíveléçãoTransformaa.I.LSãoU...,,U,UComo

TTTTT1n21

===⇒=∴= −

Demonstração

( ) ∑=

adaDiagonalizFQYUMU)X(Q

0UMU000UMU

YUMUYXMX)X(Q

Demonstração

1n1nn22n11nnn

ki23213133

2112122

etcUMU

IMUUUIU

IMUUIU

IUIIIIcosCanôniVetoresCom

ConjugadaBaseparaSchmidtocessoPrviaUdeCálculo

−−++++=

−=++=

−=−=→+=

ααα

1n1nn22n11nnn

23213133

UUIUUIU

−−++++=

ααα

[ ] [ ]

000000000

UUUIUUU

2n4232

1n413121

n21n21

MOOMMM

ααααααααα

000000000

2n4232

1n413121

MOOMMM

ααααααααα

1413121

100001000

−−−−−−−−−

MOOMMM

ααααααααα

Diagonalização de Forma Quadrática com Transformação de Congruência Exemplo

8631674234531234

aCongruêncideçãoTransformacomXQarDiagonaliz

34324214144

23213133

:Pr..:Re

UUUIUUUIU

CanônicaBaseSchmidtocessoparaILVetoressolução

ααααα

+++=++=

−−

−=−=−=−=−=−=

−=−=−=−=

−=−=

1926829.818181.

909091.181818.

00175.

926829.,818181.,25.

909091.,5.

UMUIMU

ααα

−−−

−−

7073171.20000727273.3000075.200004

000000000000

1000926829.100818181.909091.10

25.181818.75.1

UMUUMU

7073171.2727273.375.24)( 24

DefinidaPositivaéXQ

YYYYYDXQi

+++==∑=

Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas3. Autovalores e Autovetores

Considere a Matriz Quadrada Abaixo e o Vetor X

)1xn(X),nxn(AÉ Razoável Questionar sob que Casos a Multiplicação da Matriz por X Produz Vetor Paralelo a X :

( ) 0XIAXXA =−⇔= λλEm geral, Interessa Obter as Condições de Validade de (1) em Termos de X e de λλλλ. Ora, a condição X=0 é Solução Trivial de (1), de modo que apenas buscamos Soluções X ≠≠≠≠ 0. O Sistema (1) é um SQH, que Terá Sols. Não Triviais Se e Somente Se:

( ) 0IADET =−λ 2

Esta Equação Conhecida como Equação Característica é um Polinômio de Grau n na Variável λλλλ cujas n Raízes (pelo Teor. Fundamental da Álgebra) sempre existirão, sendo expressas como λλλλ1 , λλλλ2 , ... , λλλλn . Esta Lista de Raízes Poderá Conter Números Reais (distintos ou repetidos, parcialmente ou não) e Números Complexos em Pares Conjugados (também com Repetição ou Não). Desta Forma a Eq. (2) Escreve-se:

( ) 0IADET =−λ 2

( )).2()1(

0))...()()((0 321

emdiagonaistermosaosdevidoKonde

KIADETn

=−−−−⇔=− λλλλλλλλλ 3

Fazendo as Multiplicações dos Fatores na Eq. (3), Resulta a Forma Polinomial em λλλλ :

3( )( )

∏∑∑ ∑∑∑∑=

−−−−

=−+−+++−−=−

=−−−−−=−

nnnnnn

,....,,,

0)1()1(...)1(

0))...()()(()1(

λβλλλβλλβλβ

βλβλβλβλλ

λλλλλλλλλ

As n Raízes λλλλ1 , λλλλ2 , ... , λλλλn são os Valores Característicos ou Autovalores da Matriz A. Para λλλλ igual a cada λλλλi destes, o SQH Terá Solução Não Trivial Xi pois o Determinante DA será Nulo. Estas Soluções são os chamados Autovetores ou Vetores Característicos da Matriz A . Com λλλλ=0 na Eq. (4), Vem :

( ) ⇒−= nnADET β2)1( A é Singular (DA=0)

se ao menos um dos Autovalores é Nulo.

ii =∏

Cálculo de Autovetores e Autovalores Exemplo

312101211

XXXsAutovetoresAutovalore

nA λλλ

312101211

AResolução : Equação Característica e Busca

de Autovalores

⇒=−−⇒=−−

=++−−−−−−

−−

−⇒=−

0)34(0340)21(2)23()13)(1(

λλλλλλλλλλλ

λλλ

λλ IADET

312101211

AResolução : Busca de Autovetores no SQH

0312101211

−−

11 0 X⇒=λ

−=⇒

12013211

−−

312101211

17212171

−−−

−−⇒=

−−

22 72 X⇒+=λ

−−−

12721712

Resolução : Busca de Autovetores no SQH

312101211

17212171

+−⇒=

−−

33 72 X⇒−=λ

12721712

−−−

Resolução : Busca de Autovetores no SQH

312101211

ACorrespondência de Autovalores e Autovetores

72720 321 −=+== λλλ

−−

−−−

A é matriz (n x n), então A e AT têm a mesma Equação Característica Teorema 2.13a

)IA(DET)IA(DETLogo

)IA(DET))IA((DET)IA(DET

0)IA(DET:Apara.Carac.Eq

λλλ

−=−

−=−=−

Demonstração

A é matriz (n x n), então A e AT têm a mesma Equação Característica Teorema 2.13a

)IA(DET)IA(DETLogo

)IA(DET))IA((DET)IA(DET

0)IA(DET:Apara.Carac.Eq

λλλ

−=−

−=−=−

Demonstração

A é matriz (n x n), então A e AT têm os mesmos Autovalores. Corolário 2.13a.1

Demonstração

.iguais),...,.e.i(raízescompolinômios)IA(DET)IA(DET n1T λλλλ ⇒−=−

A é matriz (n x n), então os Autovetores de A são Ortogonais aos de AT que correspondem a Autovalores Distintos. Teorema 2.13b

jjjiii

YYA,YYA,XXA,XXA

:éisto;AdeeAdesautovetoresrespectivoossãoY,Y,X,X

AeAdeosintdistsautovaloreésimojeésimoisão

.sautovaloremesmostêmAeA,a13.2.TeorPelo

λλλλ

−−≠

Demonstração

A é matriz (n x n), então os Autovetores de A são Ortogonais aos de AT que correspondem a Autovalores Distintos. Teorema 2.13b

jjjiii

YYA,YYA,XXA,XXA

:éisto;AdeeAdesautovetoresrespectivoossãoY,Y,X,X

AeAdeosintdistsautovaloreésimojeésimoisão

.sautovaloremesmostêmAeA,a13.2.TeorPelo

λλλλ

−−≠

Demonstração

0YX)(YXYXYXYAX

YXYAXXAXXXA

jTiijj

Y.multpósTii

.Transpiii

=−⇒=⇒=

= →= →= −

λλλλλ

λλλ

)ji(0YX0YX)( jTij

ij ≠= →=− ≠λλλλ )ji(YX ji ≠⊥

Se A e B são Matrizes (n x n) Similares, elas têm a mesma Equação Característica Teorema 2.13c

0)IA(DET)IB(DET

0)S(DET).IA(DET)S(DET

1)IB(DET

0)S)IA(S(DET)SISSAS(DET)IB(DET

0)ISAS(DET)IB(DET

0)IB(DET:Bpara.Carac.EqSASBquetalSingularnãoSSimilaresBeA

=−=−

=−=−=−

=−=−

=∃⇒

−−−

λλλ

Demonstração

Se A e B são Matrizes (n x n) Similares, elas têm a mesma Equação Característica Teorema 2.13c

0)IA(DET)IB(DET

0)S(DET).IA(DET)S(DET

1)IB(DET

0)S)IA(S(DET)SISSAS(DET)IB(DET

0)ISAS(DET)IB(DET

0)IB(DET:Bpara.Carac.EqSASBquetalSingularnãoSSimilaresBeA

=−=−

=−=−=−

=−=−

=∃⇒

−−−

λλλ

Demonstração

Portanto, sendo Similares, A e BTêm os Mesmos Autovalores λλλλi

Um Autovetor de A (n x n) Não pode Corresponder a Dois Autovalores Distintos Teorema 2.14

]Absurdo[00XComo0X)(0XI)(

:Subtraindo0X)IA(0X)IA(

:Assim.0XAutovetormesmoaoemCorrespondqueAdmitasAutovalorecom)nxn(A

λλλλλλλλ

λλλλ

=⇒=−⇒≠

=−⇒=−

=−≠≠

Demonstração

Um Autovetor de A (n x n) Não pode Corresponder a Dois Autovalores Distintos Teorema 2.14

]Absurdo[00XComo0X)(0XI)(

:Subtraindo0X)IA(0X)IA(

:Assim.0XAutovetormesmoaoemCorrespondqueAdmitasAutovalorecom)nxn(A

λλλλλλλλ

λλλλ

=⇒=−⇒≠

=−⇒=−

=−≠≠

Demonstração

No entanto, Note que o mesmo Autovalor λλλλpoderá corresponder a Dois (ou mais) AutovetoresDistintos. Bastará que o SQH tenha 2 ou + G.L.

Se X1 , X2 , ..., Xm são Autovetores de A (n x n) correspondendo a Autovalores Distintos λλλλ1 , λλλλ2 , ..., λλλλm (m ≤≤≤≤ n), Então X1 , X2 , ..., Xmsão L.I. Teorema 2.15

m1pp21

X...,,X,X...,,X,X:demaisos.D.L.,I.LsãosAutovetoreprimeirosposapenasqueAdmita)m...1i(0X,0X)IA(oblemasPrdosSoluçõesSãoTodos

m...1i)X,(Autovalor/AutovalordeSoluçõescom)nxn(A

=≠=−

Demonstração

L.I. L.D.

m1pp21

X...,,X,X...,,X,X:demaisos.D.L.,I.LsãosAutovetoreprimeirosposapenasqueAdmita)m...1i(0X,0X)IA(oblemasPrdosSoluçõesSãoTodos

m...1i)X,(Autovalor/AutovalordeSoluçõescom)nxn(A

=≠=−

Demonstração

L.I. L.D.

1iii1p XX:Assim β

0X)IA(

0X)IA(0X)IA(

++λλ

Demonstração

1iii1p XX β

0)XXA(X)IA( i1p

1iii1p =−=−

+ ∑∑ λββλ

0X)IA(

0X)IA(0X)IA(

++λλ

Demonstração

1iii1p XX β

0)XXA(X)IA( i1p

1iii1p =−=−

+ ∑∑ λββλ

1ii1pii =−∑

=+λλβ

⇑0)( 1pii =− +λλβ

Por Quê ?

Demonstração

1iii1p XX β

0XpoisAbsurdo0X 1p1p ≠⇒=

++0)( 1pii =− +λλβ

0Como i1pi =⇒≠ + βλλ

O Absurdo estabelece que Não apenas os p primeiros, mas Todos Autovetores X1 , X2 , ..., Xm de Autovalores Distintos, são L.I.

Se os n Autovalores de A (n x n) são Distintos λλλλ1≠≠≠≠ λλλλ2 ≠≠≠≠ ... ≠≠≠≠ λλλλn , Então os n Autovetores X1 , X2 ,..., Xn são L.I. Corolário 2.15.1

Demonstração

Os Autovalores de A (n x n) Simétrica são Reais. Teorema 2.16

alReLogo.0alResempreéXX

XXXXXXXAX:Xcomanteriora.MultéPr

XXAXXA:ConjugadosCom

XAXXAXXXAAssim

.AdeXAutovetorseueAutovalorumConsidere.wwqueprovamos,alReéwquevaroPrPara

AAeAAAssim.alRe,Simétrica),nxn(ASeja

λλλ

=⇒=−

=⇒=⇒=

Demonstração

Se Xi e Xj são Autovetores correspondentes a Autovalores Distintos λλλλi ≠≠≠≠ λλλλj de A (n x n) Simétrica, Então Xi e Xj são Ortogonais; isto é Xi

TXj = 0. Teorema 2.17

jijTijij

TTjjjj

TTiiii

XX0XXComo,0XX)(

XXXXXXXAX:Xcom.MultéPr

XAXXAXXXA

.XeXsAutovetoreseuseosintDistsAutovaloreosSejamAAAssim.alRe,Simétrica),nxn(ASeja

⊥⇒=⇒≠=−

=⇒=−

=⇒=⇒=

λλλλ

λλλ

Para matriz A Simétrica (n x n), a um Autovalor λλλλ de Multiplicidade r , corresponderão Exatamente r Autovetores L.I.

Teorema 2.18

Toda matriz A Simétrica (n x n), Possui n Autovetores L.I.Corolário 2.18.1

Demonstração

Toda Matriz A (n x n) Simétrica, Admite n AutovetoresOrtonormais (i.e. Ortogonais e Normalizados) Teorema 2.19(Isto ocorre independentemente da repetição ou não de autovalores)

..);18.2.(..

);17.2.(

:)(:2.1.,...,,,17.2.

)....()(:1.1

.)(:1.Re,),(

sautovaloredesautovetoreasãorepautovalordesAutovetoreTeorILapenassãorepetidossautovaloredeosJá

TeorsãosautovaloredesAutovetoreOssAutovaloredequadroseunorepetiçãotemnxnAFase

sãoXXXsautovetoretodosTeorPeloDiferentessAutovalorentemnxnAFase

OrtogonaissAutovetorenAdmitenxnASimétricaTodaFaseAAAssimalSimétricanxnASeja

≠⊥

⊥≠

≠≠≠

λλλ

Demonstração

:)....1(....,,,

SchmidtzaçãoOrtogonaliAplicandokiXXAAssimmúltiplokautovalordesautovetoresãoXXX

repetidoautovalordesautovetoredezaçãoOrtogonaliaviávelÉ

23213133

... −−+++=

kkkkkk WWXW

WWXWWXW

ααα

M kk XXdeLCWW ,...,..,..., 11⇒

Demonstração

WXXXAXAWA

autovalordesautovetorecomoWWWTestamos

λβλλβββ

===== ∑∑∑∑==== 1111

21 :...,,,

jjijikk XWXXdeLCWWW

1121 ,...,.....,, β

⊥TambémSãoWWW k...,, 21

)...1( kiaAssociadoAutovetoréWWWA aiiai =⇒= λλ

Demonstração

Isto é, os Autovetores de Autovalor Repetido, após Ortogonalização Schmidt, Continuam Autovetores, porém, agora apresentando Ortogonalidade.

Em suma, Sempre é possível escrever n Autovetores Ortogonais para uma Matriz A (n x n) Simétrica, mesmo que haja repetição em seus Autovalores.

Demonstração

....,,,,

,...,,,,1Re,:2

PPPsOrtonormaisAutovetorenseTornandoosNormalizad

seragorapodemWWWcomoosSimbolizadeanteriorFasenaunidosOrtogonaissAutovetorenOsFase

)(1),(0

)...1(1,

,...,,)(: 21

jiPPjiPPqueTais

niPPPAcom

PPPsAutovetoreExistemSimétricanxnASumaEm

==≠=

A (n x n) Simétrica, Tem n Autovetores Ortonormais Teor. 2.19

987654321

655433321

53655433321

,,,,,,,,)2(

).2,.3(,,,,,,,,:)16.2.,()1(

)99(:9

PPPPPPPPP

WWWWWWWWW

XXXXXXXXX

PFormaWFormaXFormasAutovetoreemrepemrep

TeorreaistodossãosAutovaloreObterSimétricaxAnparaadaExemplificAçõesdeCadeia

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

↓↓↓↓↓↓

→→

λλλλλλλλλ

987654321

655433321

53655433321

,,,,,,,,)2(

).2,.3(,,,,,,,,:)16.2.,()1(

)99(:9

PPPPPPPPP

WWWWWWWWW

XXXXXXXXX

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

↓↓↓↓↓↓

→→

λλλλλλλλλ

Apenas L.I.

987654321

655433321

53655433321

,,,,,,,,)2(

).2,.3(,,,,,,,,:)16.2.,()1(

)99(:9

PPPPPPPPP

WWWWWWWWW

XXXXXXXXX

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

↓↓↓↓↓↓

→→

λλλλλλλλλ

Já Ortogonais

ii XW =

987654321

655433321

53655433321

,,,,,,,,)2(

).2,.3(,,,,,,,,:)16.2.,()1(

)99(:9

PPPPPPPPP

WWWWWWWWW

XXXXXXXXX

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

↓↓↓↓↓↓

→→

λλλλλλλλλ

λλλλλλλλλλλOrtogonalizarvia Schmidt

987654321

655433321

53655433321

,,,,,,,,)2(

).2,.3(,,,,,,,,:)16.2.,()1(

)99(:9

PPPPPPPPP

WWWWWWWWW

XXXXXXXXX

↓↓↓↓↓↓↓↓↓

↓↓↓↓↓↓

→→

λλλλλλλλλ

Normalização

iii WWP /=

Cap. II : Autovalores, Autovetores e F. Quadráticas4. Transformações em Matrizes

A, B (n x n), P e Q (n x n) Não Singulares Definição 2.1

SimilaresUnitariaBAUnitáriaçãoTransformaQAQB

SimilaresOrtogonalBAOrtogonalçãoTransformaQAQB

sCongruenteBAaCongruêncideçãoTransformaQAQB

SimilaresBAdeSimilaridadeçãoTransformaQAQB

esEquivalentBAiaEquivalêncdeçãoTransformaQAPB

A (n x n), possui n Autovetores L.I., então A é Similar à Matriz de Autovalores em Diagonal Teorema 2.20

Demonstração

[ ] [ ] [ ]

[ ] 12

22112121

,0)(,)(..

.,...,,

=⇒=⇒

∃≠=⇒

PPAPPAPPPPA

PPPPAPAPAPPPAPAPPDETnPPostoILsAutovetoreComo

nxnPPPPMatrizaSejaAdeosNormalizadsAutovetorePPPSejam

λλλ

PPPPA λλλ 11 −− =⇔=

A (n x n) Inversível, então Autovalores de A-1 são o Inverso de Autovalores A e Autovetores são Iguais aos de A. Teorema 2.21

Demonstração

1.,...,,

entesCorrespondsAutovetoremesmososcomAdesAutovaloredeInversosossãoAdesAutovaloreLogo

PPAPAPAAPPA

AdeosNormalizadsAutovetorePPPSejam

iiiiiii

−−− =⇒=⇒=λ

A (n x n) Inversível com n Autovetores L.I.., então A-1 é Similar àMatriz Diagonal de Inversos de Autovalores Corolário 2.21.1

Demonstração[ ]

:.,...,,

−−

−−−−

−−

=⇔=⇒=

PPAPPA

PAPPPAPPA

PPPAPAPPAAdeNormalsAutovetorePPP

λλλ

−−− =

A (n x n) Simétrica, então A é Similar a uma Matriz Diagonal. Teorema 2.22

Demonstração

PAPPPAA

sAutovaloredeDiagonalMatrizàSimilaréATeorpeloLogoILassimeOrtogonaissAutovetorenpossuiSimétricanxnATeorPelo

:,20.2.,..,,)(,19.2.

−− =⇒== λλ

Uma Matriz cujas Colunas são ortogonais entre si, é uma Matriz Ortogonal. Teorema 2.23

Demonstração[ ]

1)(1)(1)(

)(1)(0:

±=⇒=⇒=

==≠=⊥

PDETPDETPPDET

PPPPPP

PPPPPPPPPPPP

jiPPjiPPsãoColunasCujas

PPPPSeja

A Simétrica (n x n) é Ortogonalmente Similar à Matriz Diagonal de Autovalores Teorema 2.24

Demonstração

PPPPAssim

entesCorrespondsAutovaloreosSejamnxnSimétricaAdesAutovetoreosPPPSejam

λλλ

.,...,,

).(...,,,

PAPPPAAPP

OrtogonaléPsãoSimétricaAdesAutovetoreosComoPAPPPAATeorPelo

=⇔==⇒=

=⇒==

−−

:22.2.

Com M Simétrica (n x n), qualquer Forma Quadrática Q(X) pode ser posta igual à Forma Diagonal com Autovalores. Teorema 2.25

Demonstração

sAutovaloreosesAutovetoreosPPPonde

PXYXPYcomXPPXXQAssim

PPPPPPMPPM

SimétricaéMComoXMXXQQuadráticaFormaaSeja

λλλ

,...,...,,,

=⇔==

===⇒=

Com M Simétrica (n x n), a Forma Quadrática Q(X) pode ter seu carácter determinado pelos Autovalores de M. Teorema 2.26

Demonstração

[ ] diagonalemAutovalsosnormalizadAutovetsPPP

XPPXXMXXQTeoreSimétricaMXMXXQCom

,)(:25.2.,)(

0,0)(0),,...,1(0)(

),...,1(0)(0),,...,1(0)(

),...,1(0)(

>≤⇔==≤⇔−

=<⇔−==≥⇔−

=>⇔−

==⇒=⇔= ∑=

ummenospeloummenosPeloIndefinidaXQummenospelonidasemidefiniNegativaXQ

nidefinidaNegativaXQummenospelonidasemidefiniPositivaXQ

nidefinidaPositivaXQ

resultaYYYXQPXYXPYUsando

λλλλ

λλλ

Exemplo

421252123

XMXXQ T

Exemplo

)(],[:

6119.7,6587.2,7295.10421

252123

MeigLambdaPMatlabnosAutovalorecalcularPara

definidaPositivaéXQYXQAssim

sAutovalore

−⇒=

===⇒=−

−−

λλλλ

MØtodos MatemÆticos Aplicados a Processos Químicos e ...J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 1...

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