Pesquisa operacional 1Modelagem matemática

Ana Paula Fernandes ana.mat.br

Exemplo protótipo

Ver pág. 26 - Hillier & Lieberman - Introdução à Pesquisa Operacional (8a. ed)

Z = 3x1 + 5x2Maximizar

Sujeito às restrições x1 ≤ 42x2 ≤ 12

3x1 + 2x2 ≤ 18e x1 ≥ 0; x2 ≥ 0

Solução Gráficano Geogebra

Descrição verbal

Descrição verbal

A WYNDOR GLASS CO. fabrica produtos de vidro de alta qualidade, entre os quais janelas e portas de vidro.

Descrição verbal

A WYNDOR GLASS CO. fabrica produtos de vidro de alta qualidade, entre os quais janelas e portas de vidro. A empresa possui três fábricas industriais.

Descrição verbal

A WYNDOR GLASS CO. fabrica produtos de vidro de alta qualidade, entre os quais janelas e portas de vidro. A empresa possui três fábricas industriais. As esquadrias de alumínio e ferragens são feitas na Fábrica 1, as esquadrias de madeira são produzidas na Fábrica 2 e, finalmente, a Fábrica 3 produz o vidro e monta os produtos.

Descrição verbal

A WYNDOR GLASS CO. fabrica produtos de vidro de alta qualidade, entre os quais janelas e portas de vidro. A empresa possui três fábricas industriais. As esquadrias de alumínio e ferragens são feitas na Fábrica 1, as esquadrias de madeira são produzidas na Fábrica 2 e, finalmente, a Fábrica 3 produz o vidro e monta os produtos. Em conseqüência da queda nos ganhos, a direção decidiu modernizar a linha de produtos da empresa.

Descrição verbal

A WYNDOR GLASS CO. fabrica produtos de vidro de alta qualidade, entre os quais janelas e portas de vidro. A empresa possui três fábricas industriais. As esquadrias de alumínio e ferragens são feitas na Fábrica 1, as esquadrias de madeira são produzidas na Fábrica 2 e, finalmente, a Fábrica 3 produz o vidro e monta os produtos. Em conseqüência da queda nos ganhos, a direção decidiu modernizar a linha de produtos da empresa. Produtos não rentáveis estão sendo descontinuados, liberando capacidade produtiva para o lançamento de dois novos produtos com grande potencial de vendas:

Produto 1: Uma porta de vidro de 2,5 m com esquadria de alumínio

Produto 1: Uma porta de vidro de 2,5 m com esquadria de alumínioProduto 2: Uma janela duplamente adornada com esquadrias de madeira de 1,20 X 1,80 m

Produto 1: Uma porta de vidro de 2,5 m com esquadria de alumínioProduto 2: Uma janela duplamente adornada com esquadrias de madeira de 1,20 X 1,80 m O produto 1 requer parte da capacidade produtiva das Fábricas 1 e 3, mas nenhuma da Fábrica 2.

Produto 1: Uma porta de vidro de 2,5 m com esquadria de alumínioProduto 2: Uma janela duplamente adornada com esquadrias de madeira de 1,20 X 1,80 m O produto 1 requer parte da capacidade produtiva das Fábricas 1 e 3, mas nenhuma da Fábrica 2. O produto 2 precisa apenas das Fábricas 2 e 3.

Produto 1: Uma porta de vidro de 2,5 m com esquadria de alumínioProduto 2: Uma janela duplamente adornada com esquadrias de madeira de 1,20 X 1,80 m O produto 1 requer parte da capacidade produtiva das Fábricas 1 e 3, mas nenhuma da Fábrica 2. O produto 2 precisa apenas das Fábricas 2 e 3. A divisão de marketing concluiu que a empresa poderia vender tanto quanto fosse possível produzir desses produtos por essas fábricas.

Produto 1: Uma porta de vidro de 2,5 m com esquadria de alumínioProduto 2: Uma janela duplamente adornada com esquadrias de madeira de 1,20 X 1,80 m O produto 1 requer parte da capacidade produtiva das Fábricas 1 e 3, mas nenhuma da Fábrica 2. O produto 2 precisa apenas das Fábricas 2 e 3. A divisão de marketing concluiu que a empresa poderia vender tanto quanto fosse possível produzir desses produtos por essas fábricas. Entretanto, pelo fato de ambos os produtos poderem estar competindo pela mesma capacidade produtiva na Fábrica 3, não está claro qual mix dos dois produtos seria o mais lucrativo. Portanto, foi constituída uma equipe de PO para estudar essa questão.

A equipe de PO começou promovendo discussões com a alta direção para identificar os objetivos da diretoria para tal estudo.

A equipe de PO começou promovendo discussões com a alta direção para identificar os objetivos da diretoria para tal estudo. Essas discussões levaram à seguinte definição do problema:

A equipe de PO começou promovendo discussões com a alta direção para identificar os objetivos da diretoria para tal estudo. Essas discussões levaram à seguinte definição do problema: Determinar quais devem ser as taxas de produção para ambos os produtos de modo a maximizar o lucro total, sujeito às restrições impostas pelas capacidades produtivas limitadas disponíveis nas três fábricas. (Cada produto será fabricado em lotes de 20, de forma que a taxa de produção é definida como o número de lotes produzidos por semana).

A equipe de PO começou promovendo discussões com a alta direção para identificar os objetivos da diretoria para tal estudo. Essas discussões levaram à seguinte definição do problema: Determinar quais devem ser as taxas de produção para ambos os produtos de modo a maximizar o lucro total, sujeito às restrições impostas pelas capacidades produtivas limitadas disponíveis nas três fábricas. (Cada produto será fabricado em lotes de 20, de forma que a taxa de produção é definida como o número de lotes produzidos por semana).É permitida qualquer combinação de taxas de produção que satisfaça essas restrições, inclusive não produzir nada de um produto e o máximo possível do outro.

A equipe de PO também identificou os dados que precisavam ser coletados:

A equipe de PO também identificou os dados que precisavam ser coletados: 1. Número de horas de tempo de produção disponível por semana em cada fábrica para esses novos produtos. (A maior parte do tempo nessas fábricas já está comprometida com os produtos atuais, de modo que a capacidade disponível para os novos produtos é bastante limitada.)

A equipe de PO também identificou os dados que precisavam ser coletados: 1. Número de horas de tempo de produção disponível por semana em cada fábrica para esses novos produtos. (A maior parte do tempo nessas fábricas já está comprometida com os produtos atuais, de modo que a capacidade disponível para os novos produtos é bastante limitada.) 2. Número de horas de tempo de produção usado em cada fábrica para cada lote produzido de cada novo produto.

A equipe de PO também identificou os dados que precisavam ser coletados: 1. Número de horas de tempo de produção disponível por semana em cada fábrica para esses novos produtos. (A maior parte do tempo nessas fábricas já está comprometida com os produtos atuais, de modo que a capacidade disponível para os novos produtos é bastante limitada.) 2. Número de horas de tempo de produção usado em cada fábrica para cada lote produzido de cada novo produto. 3. Lucro por lote produzido de cada novo produto. Foi escolhido o lucro por lote produzido como uma medida apropriada após a equipe de PO ter concluído que o incremento de lucro de cada lote adicional produzido ser aproximadamente constante independentemente do número total de lotes produzidos. Pelo fato de nenhum custo adicional incorrer para o início da produção e a comercialização de tais produtos, o lucro total de cada um deles é aproximadamente esse lucro por lote vezes o número de lotes produzidos.

Obter estimativas razoáveis dessas quantidades exigia conseguir o apoio de pessoal-chave em várias unidades da empresa.

Obter estimativas razoáveis dessas quantidades exigia conseguir o apoio de pessoal-chave em várias unidades da empresa. O pessoal da divisão de manufatura forneceu os dados da primeira categoria citada anteriormente.

Obter estimativas razoáveis dessas quantidades exigia conseguir o apoio de pessoal-chave em várias unidades da empresa. O pessoal da divisão de manufatura forneceu os dados da primeira categoria citada anteriormente. Desenvolver estimativas para a segunda categoria de dados exigia alguma análise por parte dos engenheiros de produção envolvidos no desenvolvimento de processos de produção para os novos produtos.

Obter estimativas razoáveis dessas quantidades exigia conseguir o apoio de pessoal-chave em várias unidades da empresa. O pessoal da divisão de manufatura forneceu os dados da primeira categoria citada anteriormente. Desenvolver estimativas para a segunda categoria de dados exigia alguma análise por parte dos engenheiros de produção envolvidos no desenvolvimento de processos de produção para os novos produtos. Analisando-se os dados de custos obtidos desses mesmos engenheiros e da divisão de marketing, juntamente com uma decisão de preços da divisão de marketing, o departamento de contabilidade desenvolveu estimativas para a terceira categoria.

Obter estimativas razoáveis dessas quantidades exigia conseguir o apoio de pessoal-chave em várias unidades da empresa. O pessoal da divisão de manufatura forneceu os dados da primeira categoria citada anteriormente. Desenvolver estimativas para a segunda categoria de dados exigia alguma análise por parte dos engenheiros de produção envolvidos no desenvolvimento de processos de produção para os novos produtos. Analisando-se os dados de custos obtidos desses mesmos engenheiros e da divisão de marketing, juntamente com uma decisão de preços da divisão de marketing, o departamento de contabilidade desenvolveu estimativas para a terceira categoria. A equipe de PO reconheceu imediatamente que se tratava de um problema de programação linear do clássico tipo mix de produtos e então essa equipe empreendeu a formulação do modelo matemático correspondente.

Formulação como Problema de Programação Linear

Formulação como Problema de Programação LinearManufatura

Formulação como Problema de Programação LinearManufatura

Eng. Produção

Formulação como Problema de Programação LinearManufatura

Eng. Produção

Contabilidade

Formulação como Problema de Programação LinearManufatura

Eng. Produção

Contabilidade x1 Número de lotes do produto 1 produzido semanalmente

Formulação como Problema de Programação LinearManufatura

Eng. Produção

Contabilidade x1 Número de lotes do produto 1 produzido semanalmente

x2 Número de lotes do produto 2 produzido semanalmente

Formulação como Problema de Programação LinearManufatura

Eng. Produção

Contabilidade x1 Número de lotes do produto 1 produzido semanalmente

x2 Número de lotes do produto 2 produzido semanalmente

Z = 3x1 + 5x2

Formulação como Problema de Programação LinearManufatura

Eng. Produção

Contabilidade x1 Número de lotes do produto 1 produzido semanalmente

x2 Número de lotes do produto 2 produzido semanalmente

Variáveis de decisão Z = 3x1 + 5x2

Formulação como Problema de Programação LinearManufatura

Eng. Produção

Contabilidade x1 Número de lotes do produto 1 produzido semanalmente

x2 Número de lotes do produto 2 produzido semanalmente

Variáveis de decisão Z = 3x1 + 5x2

Maximizar o lucro (em milhares de dólares)

Formulação como Problema de Programação LinearManufatura

Eng. Produção

Contabilidade x1 Número de lotes do produto 1 produzido semanalmente

x2 Número de lotes do produto 2 produzido semanalmente

Variáveis de decisão Z = 3x1 + 5x2

Maximizar o lucro (em milhares de dólares)

Função objetivo

Sujeito às restrições

Sujeito às restrições x1 ≤ 4

Sujeito às restrições x1 ≤ 42x2 ≤ 12

Sujeito às restrições x1 ≤ 42x2 ≤ 12

3x1 + 2x2 ≤ 18

Sujeito às restrições x1 ≤ 42x2 ≤ 12

3x1 + 2x2 ≤ 18e x1 ≥ 0; x2 ≥ 0

Solução no R

install.packages(c("lpSolve")) # coeficientes de x1 e x2 na função objetivo func.objetivo <- c(3,5)

Solução no R

install.packages(c("lpSolve")) # coeficientes de x1 e x2 na função objetivo func.objetivo <- c(3,5)

# coeficientes de x1 e x2 nas restrições coeficientes.restricoes <- matrix(c(1,0,0,2,3,2), ncol = 2, byrow = TRUE)

Solução no R

install.packages(c("lpSolve")) # coeficientes de x1 e x2 na função objetivo func.objetivo <- c(3,5)

# coeficientes de x1 e x2 nas restrições coeficientes.restricoes <- matrix(c(1,0,0,2,3,2), ncol = 2, byrow = TRUE)

# sinal das restrições direcao.restricoes <- c("<=","<=","<=")

Solução no R

install.packages(c("lpSolve")) # coeficientes de x1 e x2 na função objetivo func.objetivo <- c(3,5)

# coeficientes de x1 e x2 nas restrições coeficientes.restricoes <- matrix(c(1,0,0,2,3,2), ncol = 2, byrow = TRUE)

# sinal das restrições direcao.restricoes <- c("<=","<=","<=")

# limite das restrições limites.restricoes <- c(4,12,18)

Solução no R

#solucão solucao.problema <- lpSolve::lp( direction = "max", objective.in = func.objetivo, const.mat = coeficientes.restricoes, const.dir = direcao.restricoes, const.rhs = limites.restricoes)

#solucão solucao.problema <- lpSolve::lp( direction = "max", objective.in = func.objetivo, const.mat = coeficientes.restricoes, const.dir = direcao.restricoes, const.rhs = limites.restricoes)

solucao.problema

#solucão solucao.problema <- lpSolve::lp( direction = "max", objective.in = func.objetivo, const.mat = coeficientes.restricoes, const.dir = direcao.restricoes, const.rhs = limites.restricoes)

solucao.problema

# valor da função objetivo na solução solucao.problema$objval

#solucão solucao.problema <- lpSolve::lp( direction = "max", objective.in = func.objetivo, const.mat = coeficientes.restricoes, const.dir = direcao.restricoes, const.rhs = limites.restricoes)

solucao.problema

# valor da função objetivo na solução solucao.problema$objval

# valores para as variáveis solucao.problema$solution

Exercício avaliativo 1Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de 1.000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1.800 unidades monetárias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programação linear para esse caso.

Solução1. Quais as variáveis de decisão?

O que deve ser decidido é o plano de produção, isto é, quais as quantidades anuais que devem ser produzidas de P1 e P2.

Portanto, as variáveis de decisão serão x1 e x2

x1 → quantidade anual a produzir de P1

x2 → quantidade anual a produzir de P2

2. Qual o objetivo?

O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser calculado:

Lucro devido a P1: 1.000 . x1 (lucro por unidade de P1 × quantidade produzida de P1)

Lucro devido a P2: 1.800 . x2 (lucro por unidade de P2 × quantidade produzida de P2)

Lucro total: L = 1.000x1 + 1.800x2

Objetivo: maximizar L = 1.000x1 + 1.800x2

3. Quais as restrições?

As restrições impostas pelo sistema são:

(i) Disponibilidade de horas para a produção

horas ocupadas com P1: 20x1 (uso por unidade × quantidade produzida)

horas ocupadas com P2: 30x2 (uso por unidade × quantidade produzida)

Total em horas ocupadas na produção: 20x1 + 30x2

disponibilidade: 1.200 horas.

Restrição descritiva da situação: 20x1 + 30x2 ≤ 1.200

(ii) Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda)

Disponibilidade para P1: 40 unidades

Quantidade a produzir de P1: x1

Restrição descritiva da situação: x1 ≤ 40

Disponibilidade para P2: 30 unidades

Quantidade a produzir de P2: x2

Restrição descritiva da situação: x2 ≤ 30

Exercício avaliativo 2Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas.

Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo possível? Cada unidade de carne custa 3 unidades monetárias e cada unidade de ovo custa 2,5 unidades monetárias.