PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Prof. Luciano Ribeiro

Progressão Geométrica

Existe uma lenda sobre a origem do jogo de xadrez.

O rei perguntou ao inventor do jogo o que ele queria como recompensa por sua criação.

Fonte da imagem: http://www.clubedoxadrez.com.br

O inventor disse que queria receber 1 grão de trigo pela primeira casa do jogo, 2 grãos de trigo pela segunda casa, 4 grãos pela terceira casa, 8 pela quarta casa e assim, sucessivamente.

Fonte da imagem: http://www.cearaagora.com

Essa ideia nos dá a seguinte sequência

(1, 2, 4, 8, 16, 32, ...)

Como o jogo de xadrez possui 64 casas, teríamos que prosseguir os cálculos, dobrando os valores, até o 64o termo.

O rei deveria dar ao inventor do jogo o somatório desses valores.

Esclarecendo os cálculosa1 = 1

a2 = 1 . 2 = 2a3 = (1 . 2) . 2 = 1 . 22 = 4

a4 = 4 . 2 = 1 . 23 = 8...

a64 = 1 . 263 = 9,223372.1018

Logo, podemos escrever o termo geral dessa progressão, para o intervalo dado, como

an = 1 . 2(n-1)

Termo geral: an = 1 . 2(n-1)

De forma análoga à progressão aritmética, para escrever o termo geral de uma progressão geométrica só precisamos do primeiro termo (a1) e do valor que sempre será multiplicado para encontrar o termo seguinte. Esse fator também é chamado de razão e será representado pela letra q.

an = a1 . q(n-1)

Gráfico do número de grãos em função do

número de casas do jogo de xadrez

0

200

400

600

800

1000

1200

0 2 4 6 8 10 12

Número de casas do jogo

Nú

mer

o d

e g

rão

s d

e tr

igo

Podemos perceber que o crescimento do número de grãos não é linear e, sim, exponencial.

Essa idéia também é ratificada quando comparamos o termo geral de uma progressão geométrica com a equação da função exponencial.

an = a1 . q(n-1)

f(x) = ax

Definição Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão. Exemplos:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3

• Fórmula do termo geral

Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:a2 = a1 . qa3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2

a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3

Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.

Exemplos: a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.

Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela fórmula:a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024

2)Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?

Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4 Então q4 =16 e portanto q = 2.

Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.

Propriedades principais P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc. P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2

Uma situação do cotidiano

Clara aplicou 5000 reais na caderneta de poupança, em janeiro de 2009.

Se a taxa de reajuste for de 0,65% ao mês, qual será seu saldo em dezembro de 2009?

Fonte da imagem: http://organismo.art.br

Acompanhando o saldo de ClaraMês Saldo Mês Saldo

Janeiro 5000,00 Julho 5198,20

Fevereiro 5032,50 Agosto 5231,98

Março 5065,21 Setembro 5265,99

Abril 5098,14 Outubro 5300,22

Maio 5131,27 Novembro 5334,67

Junho 5164,63 Dezembro 5369,35

Podemos perceber que o valor acrescido não é o mesmo em todos os meses. Logo, a sucessão não constitui uma progressão aritmética.

Vamos entender como é feito o cálculo...

Determinando o fator de aumento

Dar um aumento de 0,65% equivale a somar ao valor (100%) o equivalente a esse percentual.

100% + 0,65% = 100,65%= 100,65 ∕ 100

= 1,0065↓

fator de aumento

Aplicando o fator de aumento, teremos

a1 = 5000

a2 = 5000 . 1,0065 = 5032,50

a3 = 5032,50 . 1,0065 = 5000 . (1,0065)2 = 5065,21

...

a11 = 5300,22 . 1,0065 = 5000 . (1,0065)10 = 5334,67

a12 = 5334,67 . 1,0065 = 5000 . (1,0065)11 = 5369,35

Podemos perceber que o segundo termo é o produto entre o primeiro termo e o fator de aumento, o terceiro termo é o produto entre o segundo e o fator de aumento, e assim sucessivamente.

Logo, o conjunto dos saldos resultantes da aplicação de um valor na caderneta de poupança constitui uma progressão geométrica.

O mesmo ocorre com empréstimos ou dívidas. Mas, nesse caso, como a taxa de juros é bem superior a 0,65%, o valor devido cresce rapidamente.

Fonte da imagem: http://rsurgente.zip.net

Agora, Clara tem uma dívida com o cartão de crédito, no valor de 5000 reais.

A financeira do cartão cobra 12% de juros, ao mês, sobre o saldo devedor.

A tabela a seguir mostra a evolução do saldo devedor de Clara, ao longo de um ano.

Crescimento do saldo devedor no cartão de crédito

Mês Saldo Mês Saldo

Janeiro 5000,00 Julho 9869,11

Fevereiro 5600,00 Agosto 11053,41

Março 6272,00 Setembro 12379,82

Abril 7024,64 Outubro 13865,39

Maio 7867,60 Novembro 15529,24

Junho 8811,71 Dezembro 17392,75

Crescimento do saldo devedor no cartão de crédito

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

0 2 4 6 8 10 12 14

Meses

Dív

ida

(rea

is)

Agora fica mais fácil entender...

porque as financeiras oferecem tantos cartões de crédito;

porque é tão fácil se endividar usando o cartão de crédito de modo indiscriminado;

porque o setor bancário é o que gerou mais lucro nos últimos anos em nosso país.

Exercícios1)O valor positivo de x que torna a sucessão

(1/2, x, 9/8)uma PG é ?

2) O valor de x para que a sequência(x+1, x, x+2) seja uma PG é ?