Post on 05-Jan-2016
description
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 1 de 21
Centro Universitário do Leste de Minas Gerais Engenharia Elétrica
Circuitos Elétricos III
Projetos de Filtros
Autor: Plínio Fernando Portes Andrade A06149022 Professor Orientador: Lopes, Ramon C.
1 RESUMO
Este artigo descreve a contrução de dois filtros passivos passa-
faixa ligados paralelo formando um filtro principal com duas
faixas de passagens. Para isto será demostrados os passos para a
sua construção e suas definições.
Palavras-Chave: Filtros, Passa-Faixa, Passa-Baixas,
Passa-Altas, Filtros Passivos, Filtros Ativos,
Butterworth, Chebyshev
2 INTRODUÇÃO
Este artigo descreve o projeto de um filtro com duas faixas de
passagens sendo a construção do mesmo feita em quatro etapas
à saber: Etapa 1: Filtro passivo de segunda ordem, Etapa 2: Filtro
ativo de segunda ordem, Etapa 3: Filtro de Butterworth com
inclinação de 300dB/década e, por fim, Etapa 4: Filtro de
Chebyshev com inclinação de 300dB/década.
1. Etapa 1: Filtro passivo de segunda ordem
Esta etapa consiste em projetar o filtro de acordo com as
especificações geradas por um algoritmo disponibilizado pelo
orientador Ramon Lopes. O algoritmo gerou o ganho da função
de transferência do filtro de acordo com a frequência de entrada
a partir daí obteve-se o gráfico de resposta do filtro usando uma
rotina do MatLab. A partir do gráfico gerado pelo MatLab foi
possível obter as especificações de faixa de passagem de cada
filtro já que o gráfico possuía duas faixas de passagem, ou seja,
dois filtros passa-faixas ligados em paralelo.
2. Etapa 2: Filtro ativo de segunda ordem
A segunda etapa consiste em fazer um novo projeto do filtro
baseado nos dados obtidos na Etapa 1 porém com uso de
componentes de circuito ativos (Amplificador Operacionais) e
levando em consideração o ganho na faixa de passagem. Para o
desenvolvimento desta etapa foi aproveitado os dados das
frequências de corte obtidos na etapa anterior e a partir destes
dados foram feitos os cálculos para os valores dos componentes
(Resistores e Capacitores) para o novo circuito.
3. Etapa 3: Filtro de Butterworth com inclinação
de 300dB/década
Nesta etapa do trabalho será usado uma equação matemática
prática para cálculo da ordem de cada filtro de Butterworth para
que a atenuação esteja de acordo o necessário que é
300dB/década. Após o cálculo da ordem do filtro será usado um
algoritmo que irá calcular os coeficientes do polinômio do
denominador da função de transferência (polos)do circuito do
filtro de Butterworth que deverá ser construído.
4. Etapa 4: Filtro de Chebyshev com inclinação
de 300dB/década
A quarta etapa, que é a última etapa do projeto, consiste em obter
a ordem do filtro de Chebyshev a partir do algoritmo
disponibilizado pelo professor orientador. A ordem do filtro é
obtida de forma que a atenuação esteja de acordo o necessário
que é 300dB/década. Após o cálculo da ordem do filtro será
usado um outro algoritmo que irá calcular os coeficientes do
polinômio do denominador da função de transferência (polos)
do circuito do filtro de Chebyshev que deverá ser construído.
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 2 de 21
3 REVISÃO DE LITERATURA
As revisões de literaturas foram divididas de acordo com cada
etapa do trabalho a saber:
1. Etapa 1: Filtro passivo de segunda ordem
Um filtro passa-faixa é um dispositivo que permite a passagem
das frequências de certa faixa e rejeita (atenua) as frequências
fora dessa faixa. Um exemplo de um filtro passa-faixa analógico
é o circuito RLC (um circuito resistor-indutor-capacitor). Estes
filtros também podem ser obtidos através da combinação entre
um filtro passa-baixa e um filtro passa-alta.
Um filtro ideal possui uma banda passante totalmente plana
(sem atenuação), e atenua completamente todas as frequências
fora desta banda. Adicionalmente, a transição para fora da banda
seria instantânea em frequência. Na prática, nenhum filtro passa-
faixa é ideal. O filtro não atenua todas as frequências fora da
faixa desejada; existe uma região em particular fora da banda
desejada em que as frequências são atenuadas, mas não
rejeitadas. Este é conhecido como o roll-off do filtro, e é
geralmente expresso em dB de atenuação por oitava de
frequência. Geralmente, o projeto de um filtro busca tornar o
roll-off o mais seletivo possível para que posteriormente o filtro
trabalhe o mais próximo do desejado. Entretanto, conforme o
roll-off é tornado mais seletivo, a banda passante não é mais
plana, ela começa a produzir um 'ripple'. Este efeito é
particularmente aparente na queda da banda passante, um efeito
conhecido com fenômeno de Gibbs.
Entre a frequência de corte (ω) e a frequência de corte (ω) de um faixa de frequências está à frequência de
ressonância, na qual o ganho do filtro é o máximo. A largura de
banda de um filtro é a diferença entre ω e ω.
2. Etapa 2: Filtro ativo de segunda ordem
Um filtro ativo é um tipo de filtro electrônico analógico,
distinguido dos outros pelo uso de um ou mais componentes
activos, que podem prover alguma forma de amplificação da
potência. Tipicamenta este componente pode ser uma válvula
termoiónica, um transistor ou um amplificador operacional.
Um amplificador operacional ou amp op é um amplificador com
ganho muito elevado. Tem dois terminais de entrada: um
terminal designado por terminal inversor(-) e o outro
identificado por terminal não inversor(+). A tensão de saída é a
diferença entre as entradas + e - , multiplicado pelo ganho em
malha aberta
A saída do amplificador pode ser única ou diferencial, o que é
menos comum. Os circuitos que utilizam amp ops
frequentemente utilizam a realimentação negativa (negative
feedback). Porque devido ao seu ganho elevado, o
comportamento destes amplificadores é quase totalmente
determinado pelos elementos de realimentação (feedback).
3. Etapa 3: Filtro de Butterworth com inclinação
de 300dB/década
O filtro Butterworth é um tipo de projeto de filtros eletrônicos.
Ele é desenvolvido de modo a ter uma resposta em frequência o
mais plana o quanto for matematicamente possível na banda
passante.
Os filtros Butterworth foram descritos primeiramente pelo
engenheiro britânico S. Butterworth (cujo primeiro nome
acredita-se ser Stephen) em sua publicação "On the Theory of
Filter Amplifiers", Wireless Engineer.
A resposta em frequência de um filtro Butterworth é muito plana
(não possui ripple, ou ondulações) na banda passante, e se
aproxima do zero na banda rejeitada. Quando visto em um
gráfico logarítmico, esta resposta desce linearmente até o
infinito negativo. Para um filtro de primeira ordem, a resposta
varia em −6 dB por oitava (−20 dB por década)
O Butterworth é o único filtro que mantém o mesmo formato
para ordens mais elevadas (porém com uma inclinação mais
íngreme na banda atenuada) enquanto outras variedades de
filtros (Bessel, Chebyshev, elíptico) possuem formatos
diferentes para ordens mais elevadas.
Comparado com um filtro Chebyshev do Tipo I/Tipo II ou com
um filtro elíptico, o filtro Butterworth possui uma queda
relativamente mais lenta, e portanto irá requerer uma ordem
maior para implementar um especificação de banda rejeitada
particular. Entretanto, o filtro Butterworth apresentará uma
resposta em fase mais linear na banda passante do que os filtros
Chebyshev do Tipo I/Tipo II ou elípticos.
4. Etapa 4: Filtro de Chebyshev com inclinação
de 300dB/década
Os filtros Chebyshev são filtros analógicos ou digitais que
possuem um aumento na atenuação (roll-off) mais íngreme e
uma maior ondulação (ripple) na banda passante que os Filtros
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 3 de 21
Butterworth. Os filtros Chebyshev possuem a propriedade de
minimizarem o erro entre as características do filtro idealizado e
o atual com relação à faixa do filtro, porém com ripples na banda
passante. Este tipo de filtro recebeu seu nome em honra a
Pafnuty Chebyshev, devido a suas características matemáticas
serem derivadas dos polinômios de Chebyshev.
A ordem de um filtro Chebyshev é igual ao número de
componentes reativos (como os indutores) necessários para a
montagem do filtro utilizando eletrônica analógica.
4 PROCEDIMENTO PRÁTICO
Cada etapa do trabalho possui um sequência de procedimentos
práticos espécifica para a construção do filtro nesta etapa. A
seguir estão os procedimentos práticos para cada etapa:
1. Etapa 1: Filtro passivo de segunda ordem
Todo material de apoio para o projeto foi disponibilizado pelo
professor orientador através do link de acesso:
http://arquivo.eng.br/c3/c3b.zip, rodando o algoritmo com os
parâmetros do Registro Acadêmico do aluno, obteve-se os
valores aprensentados pela Tabela 1.
Frequência ()(/) Ganho () 0.1 0,0470
0.5 0,2329
1 0,4595
5 2,0799
10 3,7336
50 10,6810
100 14,2351
500 19,1765
1000 18,9510
5000 13,3529
10000 9,9834
50000 5,1925
100000 5,4368
500000 11,0483
1000000 14,4172
5000000 19,1906
10000000 18,9228
50000000 13,1237
100000000 9,5258
500000000 3,1131
1000000000 1,7038
5000000000 0,3696
10000000000 0,1868
50000000000 0,0376
100000000000 0,0188
500000000000 0,0037
1000000000000 0,0018
5000000000000 0,0003
Tabela 1: Frequência x Ganho - RA: 149022
Após a obtenção deste valores foi utilizado o software
MATLAB para a construção do gráfico de Bode e partir deste
foi feito a determinação das frequências d ecorte de cada filtro
conforme a Figura 1.
De acordo com o gráfico, apresentado na Figura 1, foi possível
notar que se tratava de um filtro passa-faixa com duas bandas de
passagem sendo a primeira banda de passagem delimitada por
ωc1=2,8*102 rad/s e ωc2=1,3*103 rad/s e a segunda banda de
passagem delimitada por ωc3=2,8*106 rad/s e ωc4=1,5*107
rad/s.
Assim é preciso construir dois filtros passa-faixa ligados em
paralelo para permitir a passagem nas duas faixas de passagem:
1º Filtro passa-faixa:
Como a função transferência H(s) do filtro passa-faixa RLC em
série é dada por:
() = + +
Em que:
= − = ;
= ∗ =! "#
Como $% = , ' ∗ ()/* e $% = , + ∗ +()/*.
Tendo ω c1 e ω c2 determinamos ω,:
=ω ∗ ω =2,8 ∗ 10 ∗ 1,3 ∗ 102= 3+, +4/
5 = ω −ω = 1,3 ∗ 102 − 2,8 ∗ 10 = , ()/*
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 4 de 21
Escolhendo o valor de # = μ7 para calcular os valores de 8 e 9 a partir do valor do capacitor já que as limitações de valores
de capacitores no mercado são maiores. Calculamos o valor de 9 por:
: ;∗∗,<= 603,324; ∗,<=∗; 364 ∗ 102;
9 2@A∗,<B; " , C4D
Calculamos o valor de 8 por:
1020,0 E,FA; G , ' ∗ +Ω , 'IΩ
Assim para o 1º filtro passa-baixa temos a função de
transferência:
D* ** * +34
Figura 1 - Curva do filtro passa-faixa de 2ª ordem
E o circuito:
Figura 2 - Circuito para o primeiro filtro passa-faixa
2º Filtro passa-faixa:
Como a função transferência H(s) do filtro passa-faixa RLC em
série é dada por:
Em que:
;
∗ ! "#
Como ω c3=2,8*106 rad/s e ω c4=1,5*107 rad/s.
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 5 de 21
Tendo ω c3 e ω c4 determinamos ω,:
ω2 ∗ ωA =2,8 ∗ 10@ ∗ 1,5 ∗ 10F= 3, 4' ∗ 3/
5 = ωA −ω2 = 1,5 ∗ 10F − 2,8 ∗ 10@= , ∗ 3()/*
Escolhendo o valor de # = μ7 para calcular os valores de 8 e
9 a partir do valor do capacitor já que as limitações de valores
de capacitores no mercado são maiores. Calculamos o valor de
9 por:
: ;∗∗,<= = 6,48 ∗ 10@; ∗,<=∗; =4,2 ∗ 102;
9 = (A,∗,K); " = +, ' ∗ LMD = +, 'NDCalculamos o valor de 8 por:
12,2 ∗ 10@ = E2,O∗,<P; G = M, 4' ∗ L+Ω = MQΩ
Assim para o 1º filtro passa-baixa temos a função de
transferência:
D(*) = , ∗ 3** + , ∗ 3* + 4, ∗ +
E o circuito:
Figura 3 - Circuito para o segundo filtro passa-faixa
Assim o circuito completo para o filtro passa-faixa com duas
bandas de passagem é a ligação em paralelo dos dois circuitos
anteriores, os dois resistores de 500kΩ(G+RG4) é necessário
para que um circuito não interfira no outro. O circuito final para
esta etapa do trabalho pode ser observado na Figura 4.
E a resposta a uma fonte senoidal de 1V de amplitude, variando
de 1Hz a 159*106 Hz é dado pelo gráfico apresentado pela
Figura 5.
2. Etapa 2: Filtro ativo de segunda ordem
Nesta segunda etapa do projeto um novo circuito será feito com
uso de um componente ativo denominado amplificador
operacional (OpAmp). O filtro principal do projeto será
decomposto em dois filtros passa-faixas ligados em paralelo e
cada um dos dois filtros passa-faixas será decomposto em um
filtro passa-altas e um filtro passa-baixas estes dois últimos
ligados em série para formar o filtro passa-faixa correspondente.
Pela Etapa 1 obtemos as frequências de cortes
ωc1=2,8*102 rad/s (passa-altas) e ωc2=1,3*103 rad/s (passa-
baixas) da primeira faixa de passagem e a segunda faixa de
passagem delimitada por ωc3=2,8*106 rad/s (passa-altas) e
ωc4=1,5*107 rad/s (passa-baixas).
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 6 de 21
Figura 4 - Circuito filtro passivo com duas faixas de passagem
Figura 5 - Diagrama de Bode de resposta ao circuito apresentado na Figura 4
Para a primeira faixa de passagem será construído um filtro
passa-altas e um filtro passa-baixas. O circuito do filtro ativo
passa-altas está apresentado na Figura 6 enquanto o circuito
para o filtro ativo passa-baixas está apresentado na Figura 7. Os
valores de componentes para o filtro passa-altas ativo são
calculados de acordo com a frequência de corte ωc1=2,8*102
rad/s. Os valores de componentes para o filtro passa-baixas
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 7 de 21
ativo são calculados de acordo com a frequência de corte
ωc2=1,3*103 rad/s.
Figura 6 - Filtro ativo passa-altas
Figura 7 - Filtro ativo passa-baixas
Para calcular os valores dos componentes do circuito do filtro
passa-altas referente a primeira faixa de passagem (Figura 6)
de acordo com a frequência de corte ωc1=2,8*102 rad/s Usamos
a equação:
$% G ∗ #
Escolhendo o valor de capacitor S 1TU, temos:
, ' ∗ G ∗ L3
G +. WC4 ∗ +Ω 3,5714YΩ
Como o ganho do filtro deve ser 1 (o ganho da faixa de passagem
será feito por um OpAmp ligado na saída do circuito principal),
temos:
G G 3,5714YΩ
Para calcular os valores dos componentes do circuito do filtro
passa-baixas referente a primeira faixa de passagem (Figura
7) de acordo com a frequência de corte ωc2=1,3*103 rad/s
Usamos a equação:
$% G ∗ #
Escolhendo o valor de capacitor S 1TU, temos:
, + ∗ + G ∗ L3
G C3M, +'Ω
Como o ganho do filtro deve ser 1 (o ganho da faixa de passagem
será feito por um OpAmp ligado na saída do circuito principal),
temos:
G G C3M, +'Ω
Para a segunda faixa de passagem é necessário fazer os mesmos
cálculos considerando ωc3=2,8*106 rad/s para o filtro passa-
altas e ωc4=1,5*107 rad/s para o filtro passa-baixas.
Para calcular os valores dos componentes do circuito do filtro
passa-altas referente a segunda faixa de passagem (Figura 6)
de acordo com a frequência de corte ωc3=2,8*106 rad/s Usamos
a equação:
$%+ G ∗ #
Escolhendo o valor de capacitor S 1ZU, temos:
, ' ∗ 3 G ∗ LM
G 357,1429Ω
Como o ganho do filtro deve ser 1 (o ganho da faixa de passagem
será feito por um OpAmp ligado na saída do circuito principal),
temos:
G G 357,1429Ω
Para calcular os valores dos componentes do circuito do filtro
passa-baixas referente a segunda faixa de passagem (Figura 7)
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 8 de 21
de acordo com a frequência de corte ωc4=1,5*107 rad/s Usamos
a equação:
$%4 G ∗ #
Escolhendo o valor de capacitor S = 1ZU, temos:
, W ∗ C = G ∗ LM
G = 33, 333CΩ
Como o ganho do filtro deve ser 1 (o ganho da faixa de passagem
será feito por um OpAmp ligado na saída do circuito principal),
temos:
G =G = 33, 333CΩ
Por fim fazemos o ganho do projeto de filtro adicionando a saído
do circuito um Amplificador Operacional de ganho K igual ao
ganho observado na faixa de passagem do filtro. De acordo com
a Figura 1 o ganho da faixa de passagem é K = 19 dB. O circuito
para o ganho é mostrado na Figura 8:
Figura 8 - Circuito para ganho K= -Rf/R1
Para calcular os valores dos componentes partimos da ideia: \]Zℎ_`abc = 20 ∗ d_e,(8f/8) Tomando 8 = 5gΩ, calculamos 8f por: 10hPij = klm∗,= ; Rf = 4.4563 ∗10@Ω O circuito final para o filtro ativo de segunda ordem exigido pelo
projeto está apresentado na Figura 9 e a resposta a uma fonte
senoidal de 1V de amplitude, variando de 1Hz a 159*106 Hz é
dado pelo gráfico apresentado pela Figura 10.
Figura 9 - Circuito final para o filtro ativo com duas faixas de passagem com ganho de 19dB nas faixas de passagem
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 9 de 21
Figura 10 - Diagrama de Bode da resposta do Circuito da Figura 9
3. Etapa 3: Filtro de Butterworth com inclinação
de 300dB/década
Para esta etapa do projeto foi utilizado uma fórmula matemática
para calcular a ordem do filtro de Butterworth necessário para se
obter a atenuação de 300dB/década. A fórmula matemática é
dada:
obp 20 ∗ d_e,qrrs 1!1 + tuvw∗xy
zz
Onde a razão ||~ foi tomada como sendo igual a 10 por se tratar
de uma década e obp = 300. Com estes dados e entrada
encontrou n = 15.
Para implementação do circuito é necessário então o
desenvolvimento de quatro filtros Butterworth de ordem 15
separados (ver Etapa 2) que juntos formam o filtro principal com
duas faixas de passagem.
Utilizando o algoritmo disponibilizado pelo professor orientador
para se calcular as n=15 polos da função de transferência de um
filtro Butterworth de ordem 15 obtemos a sequência de polos
dada por:
-0.1045 + 0.9945i
-0.1045 - 0.9945i
-0.3090 + 0.9511i
-0.3090 - 0.9511i
-0.9781 + 0.2079i
-0.9781 - 0.2079i
-0.9135 + 0.4067i
-0.9135 - 0.4067i
-0.8090 + 0.5878i
-0.8090 - 0.5878i
-0.6691 + 0.7431i
-0.6691 - 0.7431i
-0.5000 + 0.8660i
-0.5000 - 0.8660i
-1.0000 + 0.0000i
O algoritmo disponibilizado pelo professor orientador faz ainda
a convolução dos polos complexos conjugados de acordo com a
ordem n=15 e exibe os coeficientes de cada parcela da função
transferência total dividida em funções transferências de 1º e 2º
graus. Assim obteve-se os seguintes coeficientes:
1.0000 0.2091 1.0000
1.0000 0.6180 1.0000
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 10 de 21
1.0000 1.0000 1.0000
1.0000 1.3383 1.0000
1.0000 1.6180 1.0000
1.0000 1.8271 1.0000
1.0000 1.9563 1.0000
0 1.0000 1.0000
Em posse dos coeficientes do denominador da função
transferência passamos ao projeto do primeiro filtro da primeira
faixa de passagem. Este filtro deve ser um filtro passa-altas com
frequência de corte ωc1=2,8*102 rad/s e função transferência H
ωc1 (s):
% * 0.2091 ∗ ∗ % %∗ * 0.6180 ∗ ∗ % % ∗∗ * 1 ∗ ∗ % %∗ * 1.3383 ∗ ∗ % %∗ * 1.6180 ∗ ∗ % %∗ * 1.8271 ∗ ∗ % %∗ * 1.9563 ∗ ∗ % % ∗ %
O circuito de implementação dos termos de 2ª ordem da função
de transferência % acima é mostrado na Figura 11:
Figura 11 – Topologia Sallen-Key passa-altas de 2ª ordem
Para a função transferência % teremos então sete circuitos
como o apresentado na Figura 11 ligados em série onde os
valores de seus componentes serão calculados de acordo com os
coeficientes da parcela de 2º grau que este representa em
% já considerando a frequência de corte %. A fórmula
matemática usada para calcular os valores os componentes do
circuito apresentado na Figura 11 são:
p 28 % 18 ∗ 8
Onde p é o coeficiente que acompanha s. Para a primeira
parcela de 2º grau da função de transferência % temos que:
p 0.2091 ∗ % 58.548
8 2p 0.03416Ω
8 18 ∗ % 3.7332 ∗ 10LAΩ
Uma observação muito importante a se fazer é que os valores de
capacitores calculados acima é válido para o circuito da Figura
11 em que S S 1U. Para se obter valores mais realistas
de componentes, especialmente capacitores, faz-se uso da
técnica denominada “Mudança de Escala”.
Para a função de transferência % ainda temos que fazer a
manipulação da última parcela que representa um filtro passa-
altas de 1ª ordem com frequência de corte dada por %. O
circuito para esta parcela de % é o mesmo mostrado na
Figura 6 e o cálculo de seus componentes está descrito na Etapa
2 da Seção atual.
Como o cálculo dos componentes é exaustivo e repetitivo foi
desenvolvido um algoritmo que faz o cálculo descrito acima que
será usado para os cálculos dos componentes dos circuitos para
cada parcela de %. Assim temos que os componeneste
para este primeiro filtro passa-altas de 15ª ordem de
Butterworth, na ordem de cada parcela de % são:
R1 = 373.3159 Ohms R2 = 34167.0437 Ohms C = 1e-06 F
R1 = 1103.6321 Ohms R2 = 11557.3856 Ohms C = 1e-06 F
R1 = 1785.7143 Ohms R2 = 7142.8571 Ohms C = 1e-06 F
R1 = 2389.7522 Ohms R2 = 5337.4162 Ohms C = 1e-06 F
R1 = 2889.3464 Ohms R2 = 4414.5285 Ohms C = 1e-06 F
R1 = 3262.6623 Ohms R2 = 3909.4153 Ohms C = 1e-06 F
R1 = 3493.3843 Ohms R2 = 3651.2164 Ohms C = 1e-06 F
R1 = 3571.4286 Ohms R2 = 3571.4286 Ohms C = 1e-06 F
O circuito que implementa o filtro já com os valores dos
componentes corretos é mostrado na Figura 12.
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 11 de 21
Partimos agora ao projeto do segundo filtro da primeira faixa de
passagem. Trata-se de um filtro Butterworth passa-baixas de 15ª
ordem portanto utiliza os mesmos coeficientes calculados pelo
algoritmo na função transferência. O que muda aqui é os zeros
da função de transferência e a frequência de corte que passa de
% a % , + ∗ +/. Temos então que H ωc2 (s):
%() = % + 0.2091 ∗ ∗ % +%∗ % + 0.6180 ∗ ∗ % +% ∗∗ % + 1 ∗ ∗ % +%∗ % + 1.3383 ∗ ∗ % +%∗ % + 1.6180 ∗ ∗ % +%∗ % + 1.8271 ∗ ∗ % +%∗ % + 1.9563 ∗ ∗ % +% ∗ % + %
O circuito de implementação dos termos de 2ª ordem da função
de transferência %() acima é mostrado na Figura 13:
Figura 12 - Topologia Sallen-Key passa-baixas de 2ª ordem
Os cálculos dos componentes do circuito que implementa o filtro
Butterworth passa-baixas de 2ª ordem apresentado na Figura 12
são feitos pelas fórmulas matemáticas:
Figura 13 - Circuito Butterworth passa-altas de 15ª ordem para D%(*)
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 12 de 21
p 2S % = 1S ∗ S
Onde p é o coeficiente que acompanha s. Para a primeira
parcela de 2º grau da função de transferência %() temos que: p = 0.2091 ∗ % = 271.83
S = 2p =7.359 ∗ 10L2U
S = 1S ∗ % = 8.04 ∗ 10LmU
Uma observação muito importante a se fazer é que os valores de
capacitores calculados acima é válido para o circuito da Figura
11 em que 8 =8 = 1Ω. Para se obter valores mais realistas
de componentes, especialmente capacitores, faz-se uso da
técnica denominada “Mudança de Escala”.
Usaremos aqui o mesmo algoritmo desenvolvido para calcular
os valores dos componentes para o circuito da Figura 12.
Obtemos então:
R = 1000 Ohms C1 = 7.3591e-06 F C2 = 8.0407e-08 F
R = 1000 Ohms C1 = 2.4893e-06 F C2 = 2.3771e-07 F
R = 1000 Ohms C1 = 1.5385e-06 F C2 = 3.8462e-07 F
R = 1000 Ohms C1 = 1.1496e-06 F C2 = 5.1472e-07 F
R = 1000 Ohms C1 = 9.5082e-07 F C2 = 6.2232e-07 F
R = 1000 Ohms C1 = 8.4203e-07 F C2 = 7.0273e-07 F
R = 1000 Ohms C1 = 7.8642e-07 F C2 = 7.5242e-07 F
R1 = 1000 Ohms R2 = 1000 Ohms C = 7.6923e-07 F
O circuito que implementa o filtro já com os valores dos
componentes corretos é mostrado na Figura 14.
Assim finalizamos a primeira faixa de passagem do nosso
projeto de filtro principal. Por se tratar de um filtro passa-faixa
teremos que ligar os dois circuitos em série para formar o filtro
passa-faixa.
Para a segunda faixa de passagem vamos reduzir o detalhamento
dos cálculos pois o raciocínio é análogo: Temos que projetar um
filtro passa-altas e outro passa-baixas mas agora com as
frequências de corte ωc3=2,8*106 rad/s e ωc4=1,5*107 rad/s,
respectivamente.
Figura 14 - Circuito Butterworth passa-baixas de 15ª ordem para D%(*)
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 13 de 21
A função de transferência %+ para o filtro passa-altas
responsável pela segunda faixa de passagem é idêntica a
% trocando apenas % por %+ e temos os seguintes
valores de componentes calculados pelo algoritmo:
R1 = 37.3316 Ohms R2 = 3416.7044 Ohms C = 1e-09 F
R1 = 110.3632 Ohms R2 = 1155.7386 Ohms C = 1e-09 F
R1 = 178.5714 Ohms R2 = 714.2857 Ohms C = 1e-09 F
R1 = 238.9752 Ohms R2 = 533.7416 Ohms C = 1e-09 F
R1 = 288.9346 Ohms R2 = 441.4528 Ohms C = 1e-09 F
R1 = 326.2662 Ohms R2 = 390.9415 Ohms C = 1e-09 F
R1 = 349.3384 Ohms R2 = 365.1216 Ohms C = 1e-09 F
R1 = 357.1429 Ohms R2 = 357.1429 Ohms C = 1e-09 F
O circuito para %+ é mostrado na Figura 15.
A função de transferência %4 para o filtro passa-altas
responsável pela segunda faixa de passagem é idêntica a
% trocando apenas % por %4 e temos os seguintes
valores de componentes calculados pelo algoritmo:
R = 1000 Ohms C1 = 6.3778e-10 F C2 = 6.9686e-12 F
R = 1000 Ohms C1 = 2.1574e-10 F C2 = 2.0601e-11 F
R = 1000 Ohms C1 = 1.3333e-10 F C2 = 3.3333e-11 F
R = 1000 Ohms C1 = 9.9632e-11 F C2 = 4.4609e-11 F
R = 1000 Ohms C1 = 8.2405e-11 F C2 = 5.3934e-11 F
R = 1000 Ohms C1 = 7.2976e-11 F C2 = 6.0903e-11 F
R = 1000 Ohms C1 = 6.8156e-11 F C2 = 6.521e-11 F
R1 = 1000 Ohms R2 = 1000 Ohms C = 6.6667e-11 F
O circuito para %+ é mostrado na Figura 16.
O circuito final consiste na ligação em série do primeiro passa-
altas (%) ligado em série com o primeiro passa-baixas
(%), formando um filtro passa-faixa que deve ser ligado
ao segundo filtro passa-faixa constituído pelo segundo passa-
altas (%+) ligado em série com o segundo passa-baixas
(%4). Por fim é ligado um Amplificador Operacional pra
gerar o ganho já caluculado na Etapa 2 desta Seção. O circuito
Final é mostrado na Figura 17.
Figura 15 - Circuito Butterworth passa-altas de 15ª ordem para D%+*
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 14 de 21
Figura 16 - Circuito Butterworth passa-baixas de 15ª ordem para D%4*
Figura 17 - Circuito final para o filtro Butterwort h de 15ª ordem com duas faixas de passagem
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 15 de 21
Note que os quadrados exibidos na Figura 17 são os sub-
circuitos exibidos nas Figuras 13, 14, 15 e 16.
E a resposta a uma fonte senoidal de 1V de amplitude, variando de 1Hz a 159*106 Hz é dado pelo gráfico apresentado pela Figura 18.
Figura 18 - Diagrama de Bode de resposta do circuito da Figura 17
Finalizamos assim a Etapa 3 do nosso projeto.
4. Etapa 4: Filtro de Chebyshev com inclinação
de 300dB/década
Nesta etapa do projeto usaremos um algoritmo fornecido pelo
professor orientador para calcular a ordem do filtro de
Chebyshev. Entrando com alguns valores de N e o intervalo de
frequências o algoritmo retorna a atenuação, incrementando N
até que se obtenha o ganho necessário (300dB/década) obtemos
que N deve ser igual a 12 para termos um ganho mais próximo
de 300dB/década que é de 300.0968 dB/década.
Para cálculo da ordem o filtro de Chebyshev o algoritmo faz uso
da seguinte fórmula matemática:
o 10 ∗ d_e10 11 + ∗ _ℎ ∗ acosh ,
Onde: o = Atenuação;
= :10vv, − 1 Após conhecermos a ordem do filtro necessária para termos
uma atenuação de acordo com o projeto calculamos os polos da
função de transferência utilizando um algoritmo
disponibilizado pelo orientador que faz uso da seguinte fórmula
matemática:
−sin t2 ∗ Y − 1 ∗ 2w ∗ sinh t1 ∗ asinh t1ww + ∗ cos t2 ∗ Y − 1 ∗ 2w∗ cosh t1 ∗ asinh t1ww
Encontramos então os seguintes polos: -0.0156 + 0.9985i -0.0456 + 0.9304i -0.0726 + 0.7990i -0.0946 + 0.6131i -0.1102 + 0.3854i -0.1183 + 0.1315i -0.1183 - 0.1315i -0.1102 - 0.3854i -0.0946 - 0.6131i -0.0726 - 0.7990i -0.0456 - 0.9304i -0.0156 - 0.9985i Os polos acima estão situados no hemisfério esquerdo do plano
real X complexo e estão sobre uma elipse com centro na
origem como mostra a Figura 19.
Neste ponto esta etapa do trabalho assemelha-se muito a etapa
anterior. O que temos que fazer aqui é a convolução dos polos
complexo conjugados e então encontrar a função transferência
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 16 de 21
para o filtro normalizado tanto para o filtro passa-altas quanto
para o filtro passa-baixas depois representamos a função
transferência em partes de 1ª e 2ª ordens e utilizamos a mesma
técnica da etapa anterior para se calcular os valores dos
componentes para o circuito que também se assemelha com os
circuitos passa-altas e passa-baixas do filtro Butterworth.
Figura 19 - Polos Chebyshev normalizado de 12ª ordem
Para o filtro de Chebyshev passa-altas de ordem N=12 e
frequência de corte % . ' ∗ ()/*a função
transferência %()é dada por:
%() = 0.9972 ∗ + 0.03114 ∗ ∗ % + 0.9972 ∗ %∗ 0.8678 ∗ + 0.09129 ∗ ∗ % + 0.8678 ∗ % ∗∗ 0.6436 ∗ + 0.1452 ∗ ∗ % + 0.6436 ∗ %∗ 0.3848 ∗ + 0.1893 ∗ ∗ % + 0.3848 ∗ %∗ . 3C ∗ + 0.2204 ∗ ∗ % + 0.1607 ∗ %∗ 0.03126 ∗ + 1.8271 ∗ ∗ % + 0.03126 ∗ %
E, como na seção anterior, o circuito que implementa cada
parcela de 2ª ordem dessa função de transferência está
apresentado na Figura 11 e os valores de seus componentes
são calculados por:
p = 28 ∗ % = 18 ∗ 8
Assim temos os valores de componentes dado pelo algoritmo
da etapa anterior apenas trocando os valores de p e para os
novos valores. Por exemplo: para a primeira parcela de %() temos que p = 0.03114 ∗ % e = 0.9972 ∗%.
Temos então de acordo com as fórmulas matemáticas acima os
valores de componentes para o primeiro filtro passa-altas
responsável pela primeira faixa de passagem de nosso projeto de
filtro dado por:
R1 = 55.7604 Ohms R2 = 229393.0966 Ohms C = 1e-06 F
R1 = 187.8605 Ohms R2 = 78241.7134 Ohms C = 1e-06 F
R1 = 402.9137 Ohms R2 = 49184.7972 Ohms C = 1e-06 F
R1 = 878.2482 Ohms R2 = 37740.8223 Ohms C = 1e-06 F
R1 = 2449.4886 Ohms R2 = 32408.7788 Ohms C = 1e-06 F
R1 = 13508.966 Ohms R2 = 30200.1741 Ohms C = 1e-06 F
Da mesma forma os valores calculados aqui consideram S =S = 1U e a técnica de “Mudança de Escala” deve ser usada
para valores mais realistas de componentes. O circuito já com
valores realistas para o primeiro filtro passa-altas da primeira
faixa de passagem está apresentado na Figura 20.
Para o primeiro filtro passa-baixas da primeira faixa de
passagem o processo é o mesmo da seção anterior, considerando
porém os novos coeficientes da função de transferência %() para que a frequência de corte seja % = . + ∗+()/* :
%() = 0.9972 ∗ % + 0.03114 ∗ ∗ % + 0.9972 ∗ %∗ 0.8678 ∗ % + 0.09129 ∗ ∗ % + 0.8678 ∗ % ∗∗ 0.6436 ∗ % + 0.1452 ∗ ∗ % + 0.6436 ∗ %∗ 0.3848 ∗ % + 0.1893 ∗ ∗ % + 0.3848 ∗ %∗ 0.1607 ∗ % + 0.2204 ∗ ∗ % + 0.1607 ∗ %∗ 0.03126 ∗ % + 1.8271 ∗ ∗ % + 0.03126 ∗ %
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 17 de 21
O circuito que implementa cada parcela de 2ª ordem dessa
função de transferência é o mesmo apresentado na Figura 12 e
os valores de seus componentes é dado por:
p 2S ∗ % = 1S ∗ S
Figura 20 - Circuito Chebyshev passa-altas de 12ª ordem para D%(*)
Figura 21 - Circuito Chebyshev passa-baixas de 12ª ordem para D%(*)
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 18 de 21
Assim temos os valores de componentes dado pelo algoritmo
da etapa anterior apenas trocando os valores de p e para os
novos valores. Por exemplo: para a primeira parcela de
% temos que p 0.03114 ∗ % e = 0.9972 ∗%.
Temos então de acordo com as fórmulas matemáticas acima os
valores de componentes para o primeiro filtro passa-altas
responsável pela primeira faixa de passagem de nosso projeto de
filtro dado por:
R = 1000 Ohms C1 = 4.9408e-05 F C2 = 1.201e-08 F
R = 1000 Ohms C1 = 1.6852e-05 F C2 = 4.0462e-08 F
R = 1000 Ohms C1 = 1.0594e-05 F C2 = 8.6781e-08 F
R = 1000 Ohms C1 = 8.1288e-06 F C2 = 1.8916e-07 F
R = 1000 Ohms C1 = 6.9804e-06 F C2 = 5.2758e-07 F
R = 1000 Ohms C1 = 6.5047e-06 F C2 = 2.9096e-06 F
Da mesma forma os valores calculados aqui consideram 8 =8 = 1Ω a técnica de “Mudança de Escala” deve ser usada
para valores mais realistas de componentes. O circuito já com
valores realistas para o primeiro filtro passa-altas da primeira
faixa de passagem está apresentado na Figura 21.
Para a segunda faixa de passagem vamos reduzir o detalhamento
dos cálculos pois o raciocínio é análogo: Temos que projetar um
filtro passa-altas e outro passa-baixas mas agora com as
frequências de corte ωc3=2,8*106 rad/s e ωc4=1,5*107 rad/s,
respectivamente.
A função de transferência %+() para o filtro passa-altas
responsável pela segunda faixa de passagem é idêntica a %() trocando apenas % por %+ = . W ∗ C()/*e
temos os seguintes valores de componentes calculados pelo
algoritmo:
R1 = 5.576 Ohms R2 = 22939.3097 Ohms C = 1e-09 F
R1 = 18.7861 Ohms R2 = 7824.1713 Ohms C = 1e-09 F
R1 = 40.2914 Ohms R2 = 4918.4797 Ohms C = 1e-09 F
R1 = 87.8248 Ohms R2 = 3774.0822 Ohms C = 1e-09 F
R1 = 244.9489 Ohms R2 = 3240.8779 Ohms C = 1e-09 F
R1 = 1350.8966 Ohms R2 = 3020.0174 Ohms C = 1e-09 F
O circuito para %+() é mostrado na Figura 22.
A função de transferência %4() para o filtro passa-altas
responsável pela segunda faixa de passagem é idêntica a %() trocando apenas % por %4 = . ' ∗ 3()/* e
temos os seguintes valores de componentes calculados pelo
algoritmo:
R = 1000 Ohms C1 = 4.282e-09 F C2 = 1.0409e-12 F
R = 1000 Ohms C1 = 1.4605e-09 F C2 = 3.5067e-12 F
R = 1000 Ohms C1 = 9.1812e-10 F C2 = 7.5211e-12 F
R = 1000 Ohms C1 = 7.045e-10 F C2 = 1.6394e-11 F
R = 1000 Ohms C1 = 6.0496e-10 F C2 = 4.5724e-11 F
R = 1000 Ohms C1 = 5.6374e-10 F C2 = 2.5217e-10 F
O circuito para %4() é mostrado na Figura 23.
O circuito final consiste na ligação em série do primeiro passa-
altas (%()) ligado em série com o primeiro passa-baixas
(%()), formando um filtro passa-faixa que deve ser ligado
ao segundo filtro passa-faixa constituído pelo segundo passa-
altas (%+()) ligado em série com o segundo passa-baixas
(%4()). Por fim é ligado um Amplificador Operacional pra
gerar o ganho já calculado na Etapa 2 desta Seção. O circuito
Final é mostrado na Figura 24.
Note que os quadrados exibidos na Figura 24 são os sub-
circuitos exibidos nas Figuras 20, 21, 22 e 23.
E a resposta a uma fonte senoidal de 1V de amplitude, variando
de 1Hz a 159*106 Hz é dado pelo gráfico apresentado pela
Figura 25.
Finalizamos assim nosso projeto de filtro seguindo todas as
especificações.
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 19 de 21
Figura 22 - Circuito Chebyshev passa-altas de 12ª ordem para D%+*
Figura 23 - Circuito Chebyshev passa-baixas de 12ª ordem para D%4*
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 20 de 21
Figura 24 - Circuito final para o filtro Chebyshev de 12ª ordem com duas faixas de passagem
Figura 25 - Diagrama de Bode da resposta do Circuito da Figura 24
Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 21 de 21
5 COMENTÁRIOS FINAIS
Neste artigo foi possível observar todos os passos envolvidos no
projeto de um filtro mais complexo. O que se observa é o projeto
de um filtro deve atender as especificações do projeto sem deixar
de lado as limitações dos componentes e considerando ainda
aquilo que é mais vantajoso no quisito custo X benefício.
Outra observação importante é com respeito as varieades de
implementação dos filtros: Um filtro Butterworth exije mais
componentes que um filtro Chebyshev com a mesma atenuação.
No entanto o Butterworth tem uma resposta linear tanto na faixa
de passagem quanto na faixa de rejeição enquanto o Chebyshev
tem oscilações chamadas ‘ripple’.
Por último vale observar que com apesar de o filtro Butterworth
de uma ordem N qualquer ter uma inclinação mais íngreme com
relação ao filtro em cascata de mesma ordem N essa
característica não é evidenciada quando o projeto especifica uma
certa atenuação por década pois ambos tem a mesma atenuação
por década o que muda é a velocidade com que essa atenuação
acontece dentro da faixa de rejeição.
Considero então cumprido o objetivo deste artigo fazer uma
análise de projeto de filtros e servir de referência para futuros
projetos.
6 REFERÊNCIAS
http://professores.unilestemg.br/~ramon/c3/c3.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Low-pass_filter
http://en.wikipedia.org/wiki/High-pass_filter
http://en.wikipedia.org/wiki/Butterworth_filter
http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_filter
http://calypso.inesc-id.pt/FCUL/EAD/docs/FUNCAP1.pdf
http://docentes.fam.ulusiada.pt/~d1095/Filtros_Elec_0607.pdf
http://users.ece.gatech.edu/phasler/Courses/ECE6414/Unit1/Di
screte_02.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Sallen%E2%80%93Key_topology