Profa. Dra. Maria Ivanilde Silva Araújo 1Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde.

Profa. Dra. Maria Ivanilde Silva Araújo

1Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

ProbabilidadeExperimento AleatórioEspaço AmostralEventos

Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde 2

Experimento AleatórioExperimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos varias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.

Espaço AmostralA cada experimento correspondem, em geral, vários resultados possíveis. Assim, ao lançarmos uma moeda, há dois resultados possíveis: ocorrer cara ou ocorrer coroa. Já ao lançarmos um dado há seis resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

Espaço AmostralAo conjunto desses resultados possíveis damos o nome de espaço amostral ou conjunto universo, representados por S ou .

EventosChamamos de eventos qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.

ProbabilidadeProcura quantificar as incertezas existentes em determinada situação.

Não é possível fazer inferências estatísticas sem utilizar alguns resultados da teoria das probabilidades.

Objetiva: ClássicaDef.: Se um evento pode ocorrer em N maneiras mutuamente excludentes e igualmente prováveis, e se m dessas ocorrências tem uma característica E, então a probabilidade de ocorrência de E é:

P(E) = m/N

Freqüência relativaDef.: Se algum processo é repetido um grande número de vezes, n, e se algum evento com característica E ocorre m vezes, a freqüência relativa m/n é aproximadamente igual à probabilidade de E: P(E)

Obs.: m/n é apenas uma estimativa de P(E).

Propriedades GeraisSeja um experimento aleatório e espaço amostral associado a . A cada evento A associa-se um número real representado por P(A) que é denominado probabilidade de A que satisfaça às seguintes propriedades:

0 ≤ P(A) ≤ 1 P() = 1 Se A e B são eventos mutuamente

exclusivos então: P(A U B) = P(A) + P(B)

Probabilidade com EventosVárias conseqüências relacionadas a P(A) decorrem das condições citadas anteriormente. Se A for o evento vazio (), então: P(A) = P() = 0

Se A e B são dois eventos quaisquer, então: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)Se for o evento complementar de A então:

P( ) = 1 – P(A)A

Probabilidade Condicional

Sejam A e B dois eventos associados ao

experimento . Denotaremos por P(B|A) a probabilidade condicionada do evento B, quando A tiver ocorrido.

.0)(,)(

APquedesde

BAPABP

Exemplo:Resultado do desempenho de um novo teste de diagnóstico para câncer de mama em 200 pacientes com nódulo mamário único.

Biópsia

Sensibilidade = P(Novo Teste+| Biópsia +) = 65/100

Especificidade = P(Novo Test -| Biópsia -) = 30/100

VPP (do teste) = P(Biopsia +|NovoTest +) = 65/135

VPN (do teste) = P(Biópsia -|NovoTest -) = 30/65

Positivo Negativo

Positivo 65 70 135

Negativo 35 30 65

100 100 200

Independência de EventosDado dois eventos A e B de um espaço amostral , diremos que A independe de B se:P(A | B) = P(A)Isto é, independe de B se a ocorrência de B não afeta a probabilidade de A. Dois eventos A e B são chamados independentes seP(A B) = P(A) x P(B).

Variável AleatóriaQuando os valores assumidos por uma variável são o produto de fatores casuais e estes não podem ser preditos com exatidão, esta variável é chamada de aleatória.

Exemplo: número de alunos aprovados no primeiro período 2014 da UFAM no curso de Odontologia.

Variável AleatóriaSe a variável aleatória pode assumir somente um particular conjunto de valores (finito ou infinito enumerável), diz-se que é uma variável aleatória discreta.

Uma variável aleatória é dita contínua se pode assumir qualquer valor em um certo intervalo.

Função de ProbabilidadeÉ a probabilidade de que uma variável aleatória “X” assuma o valor “x”. É representada por P(X = x) ou P(x) e pode ser:

Discreta

Contínua

Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta

É a função de probabilidade no ponto, ou seja, é o conjunto de pares

(xi ; P(xi)), para i = 1, 2, ..., n, ...

Para cada possível resultado de x teremos:

(i) 0 ≤ P(x) ≤ 1

Esperança e Variância de uma variável aleatória discreta Esperança de X,

Variância de X,

Var(X) = E(X²) – [E(X)]²

i xPxXE

1ii x.PXExXVar

2 x.PxXEonde

Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Contínua

É uma função de probabilidade quando X é definida sobre um espaço amostral contínuo.

Se quisermos calcular a probabilidade de X assumir um valor x entre “a” e “b” devemos calcular:

dxxfbxaPb

Distribuição de Probabilidade de uma Variável Aleatória Contínua

Onde a curva limitada pela área em relação aos valores de x é igual a 1

Função de Densidade de Probabilidade

A função f(x) é uma função de densidade de probabilidade (f. d. p.) para uma v. a. contínua X, definida nos reais quando

dx.xfbxaP(iii)

1;dxxf(ii)

0;xf(i)

Distribuições de ProbabilidadeBinomialPoissonNormalNormal PadrãoQui-quadradot-studentF de Snedecor

Distribuição Binomial

1) Os ensaios são independentes; 2) Cada resultado do ensaio pode assumir

somente uma de duas possibilidades: sucesso ou fracasso;

3) A probabilidade de sucesso em cada ensaio, denotado por p, permanece constante.

Um experimento aleatório é chamado

binomial se em n repetições:

Distribuição Binomial

A probabilidade de obtermos exatamente x sucessos em n tentativas é:

E(X) = np e Var(X) = np(1 – p)

,...,n.1,0xp)1(pxnxXP xnx

Exemplo:Uma mulher engravida 20 vezes. Qual a probabilidade de nascerem 8 meninas?

Solução:Seja X: número de sucessos (meninas);

m = nascer menina.

X = 0, 1, 2, ..., 20 p = P(m) =

P(X = 8) =

12013,02

20 128

Exemplo:Suponha que 30% dos indivíduos de uma população sejam contrárias a um projeto de saneamento municipal. Se sortearmos 10 indivíduos desta população (amostra) qual é a probabilidade estimada de que exatamente 4 indivíduos sejam favoráveis?

Seja X o nº de indivíduos favoráveis;

P(X = 4) = %7,30,03675693,07,0

Distribuição Normal

A distribuição normal é uma distribuição em

forma de sino que é usada muito

extensivamente em aplicações estatísticas

em campos bem variados. Sua densidade de

probabilidade (f.d.p.) é dada por:

Distribuição NormalSua média é e sua variância é 2. Quando X tem uma distribuição normal com média e variância 2, escrevemos, de forma compacta, X N (,2).

Características:Características:

Simétrica em relação à média ;

A média, moda e mediana são iguais;

A área total sob a curva é igual a 1, 50% à

esquerda e 50% à direita da média.

Distribuição NormalA área entre A área entre - 1- 1 e e + + 1 1 é aproximadamente é aproximadamente

68%68%

95%95%

99,7%99,7%

Distribuição NormalA distribuição normal é completamente A distribuição normal é completamente determinada pelos parâmetros determinada pelos parâmetros e e

Distribuição Normal Padrão

Caracterizada pela média igual a zero e desvio padrão igual a 1.

Se X tem distribuição normal com média e variância 2 então:

Distribuição NormalExemplo: (Predição de uma valor) Suponha uma população normal com colesterol médio de 200mg% e desvio padrão de 20mg%. Qual é a probabilidade de um indivíduo sorteado ao acaso desta

população apresentar um colesterol entre 200 e 225 mg%?

A estatística Z mede quanto um determinado valor afasta-se da média em unidades de desvio padrão

(quando coincide c/ a média, o escore é Z = 0)

Consultando a Tabela de Distribuição normal, ou um

programa estatístico vemos que

a probabilidade de Z assumir valor entre 0 e Z = 1,25

é 0,3944 ou 39,44

Exemplo:

Seja X: N(100, 25). Calcular:

= 100 e = 5 →5

Solução:a) P(100 X 106 )

P(100 X 106 ) =

= P(0 Z 1,2 )

= 0,384930

100-106 Z

100-100P

Solução:

b) P(89 X 107)

P(89 X 107) =

= P(-2,2 Z 1,4)

= P(-2,2 Z 0) + P(0 Z 1,4)

= 0,486097 + 0,419243

= 0,90534

100-107 Z

100-89P

Exemplo:Sendo X: N(50, 16), determinar X tal que: = 50, = 4a) P(X X) = 0,05

Procurando no corpo da tabela 0,45 (0,5 – 0,05), encontramos: Z= 1,64

como →

X= 56,56 P(X 56,56) = 0,05

μXZ α

50X1,64 α

Solução:

b) P(X X) = 0,99

Procurando no corpo da tabela 0,49 (0,5

– 0,01), encontramos: Z= 2,32

X= 59,28

P(X 59,28) = 0,99

50X2,32 α

Distribuição 2 (Qui-quadrado)

Uma v. a. contínua Y, com valores positivos, tem uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade (denotada por χ²(n) ), se sua densidade for dada por

E(Y) = n, Var(Y) = 2n.

y,eynn;yf

A Distribuição 2 (Qui-quadrado) pode ser vista como:

O quadrado de uma v.a. com distribuição normal padrão é uma v.a. com

distribuição 2(1) ( seja Z~N(0,1) e

considere Y = Z2. Então Y~2(1) );

A distribuição 2n é a distribuição da soma

de n variáveis normais independentes padronizadas.

Se X N(0, 1) e Y 2n e X e Y são independentes, então

t = tem densidade dada por

tal v. a. tem distribuição t com n graus de liberdade.

E(t) = 0, Var(t) = .

Distribuição t de Student

.t,ntnn

nn;tf n

A distribuição t é uma distribuição simétrica como a normal, um pouco mais achatada e com caudas mais longas que a normal.

Quando o tamanho da amostra cresce, a distribuição t se aproxima da normal.

Distribuição F

Se Y1 e Y2 e Y1 e Y2 são

independentes, então

W = tem densidade dada por

tal v. a. tem distribuição F com graus de liberdade n1 e n2. Escrevemos WF(v,r).

E(W) = , Var(W) =

.w,nf.n

nnn,n;wg nn

Distribuições de Probabilidade0 1 2 3 4 5 6

0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279

Probabilidade de ocorrer valor entre zero e 1,2549Biostatística/UFAM - Profª Maria Ivanilde

Tipos de Estimações de Parâmetros

i) Estimação Pontualii) Estimação Intervalar

Estimador e estimativa

estimador de πpProporção =

estimador de σ²S²Variância =

estimador de µMédia =Amostra:

πProporção =

σ²Variância =

µMédia =População:

estimador de πpProporção =

estimador de σ²S²Variância =

estimador de µMédia =Amostra:

πProporção =

σ²Variância =

µMédia =População:

Estimação intervalar

Limitação da estimação pontual desconhecimento da magnitude do erro que se está cometendo;

Surge a idéia da construção de um intervalo que contenha, com um nível de confiança conhecido, “ valor verdadeiro do parâmetro”;

baseado na distribuição amostral do estimador pontual.

Erro Máximo da Estimativa

Representa a diferença máxima (erro) que será permitida entre a estimativa pontual ( ) e o valor verdadeiro do parâmetro que está sendo estudado (μ).

Erro Erro

LI – Limite Inferior LS – Limite Superior

Intervalo de Confiança da Média Populacional

LI – Limite Inferior LS – Limite Superior

Intervalo de confiança com variância desconhecida

(µ, σ²)

População

x96,1 x96,1xX S96,11

xX S96,12

xkX S96,1

amostra

95% dos intervalosContêm µ

X(µ, σ²)

x96,1 x96,1xX 96,11

xX 96,12

xkX 96,1

Amostra 1

Amostra 2

Amostra k

95% dos intervalosContêm µ

Estimação Intervalar

É o intervalo definido pela estimativa pontual mais ou menos o erro máximo da estimativa.

Média populacional, quando σ é desconhecido

IC para média;Estatística de t de Student.

Intervalo de confiança da média

Substituindo o t

/ 2 / 2( ) 1P t t t

/ 2 / 2( ) 1X

P t tS

Intervalo de Confiança da média

Na tabela de t de Student

( 1; / 2) ( 1; / 2) 1n n

S SP X t X t

Amostra de tamanho n ≤ 30 Para amostra de tamanho n ≤ 30 da população de

interesse;

Calcule os valores de e S;

Escolha o valor do coeficiente de confiança 1 – α ;

Determine os valores de t(α/2;n – 1) apartir da tabela da distribuição t de Student;

Calcule os limites do intervalo de confiança.

Intervalo de Confiança da média

Com um nível de confiança (1 ) 100%

( 1; / 2) ( 1; / 2);n n

S SX t X t

Encontre: média e desvio padrão

Média

Desvio Padrão

Como calcular o Intervalo de Confiança da média ?

Os intervalos de confiança da média

( 1; / 2)n

Encontre o valor de t de Student

n-1n-1αα

0,050,05 0,010,01

2 4,303 9,925

... ...... ......

88 2,302,3066

3,3553,355

... ... ...

1,960 2,576

Como calcular o intervalo de confiança da média?

Os intervalos inferior e superior

Limite Inferior X

Limite Superior X

Exemplo

Uma amostra de tamanho 9, extraída de uma população normal com = 1,0 e S = 0,264.

Construir intervalos de 95% e 99% de confiança para média populacional.

Resultado

Para 1 – α = 95% α = 0,05; α/2 = 0,025 graus de liberdade = 9 – 1 = 8, = 1,0 e S =

0,264.

0,2642,306 0,2029

[0,797; 1,203].X

ResultadoPara 1 – α = 99% α = 0,01; α/2 = 0,005

graus de liberdade = 9 – 1 = 8.

Intervalo: ∆ [3,355(0,264/3)] =0,088

LI=0,912

LS=1,088

[0,912; 1,088].

Resultado

Para 1 – α = 95% α = 0,05; gl = 9 – 1 = 8.Intervalo: [0,797; 1,203].[0,797; 1,203].

Para 1 – α = 99% α = 0,01; gl = 9 – 1 = 8.Intervalo: [0,705; 1,295].[0,705; 1,295].

NotaNota: aumentando o nível de confiança, o tamanho do intervalo também aumenta.

Estimação da média

Estimativa por ponto, a qual consiste em apenas um valor da média=1;

O intervalo de confiança para o parâmetro (μ), estamos fazendo uma estimativa por intervalo.

Intervalo de 95% de confiança [0,797; 1,203][0,797; 1,203];

Intervalo de 99% de confiança [0,705; 1,295][0,705; 1,295];

Tabela 1 Intervalos de confiança para a média de cada parâmetro Tabela 1 Intervalos de confiança para a média de cada parâmetro (físico e químico), das coletas realizadas em Manaus na época (físico e químico), das coletas realizadas em Manaus na época seca.seca.

Parâmetros Químicos e Parâmetros Químicos e BiológicosBiológicos

São RaimundoSão Raimundo EducandosEducandos TarumãTarumã

Limites do Limites do CONAMA 357CONAMA 357InferiorInferior SuperiorSuperior InferiorInferior SuperiorSuperior Inferior Inferior Superior Superior

pHpH 5,885,88 7,157,15 5,145,14 6,666,66 4,694,69 5,235,23 6 a 96 a 9

Cond. ElétricaCond. Elétrica 73,873,8 233,92233,92 109,46109,46 283,38283,38 8,378,37 10,710,7 --

TurbidezTurbidez 12,3612,36 38,1438,14 4,144,14 21,0321,03 00 23,8423,84 <40unt<40unt

O2O2 0,910,91 3,93,9 1,491,49 2,922,92 5,475,47 6,976,97 >6mg/L>6mg/L

NO3NO3 0,10,1 0,250,25 0,080,08 0,30,3 0,020,02 0,060,06 10,0m/L10,0m/L

NH4NH4 0,370,37 4,114,11 3,483,48 66 00 0,070,07 --

Ferro TotalFerro Total 0,310,31 1,561,56 0,610,61 2,832,83 0,060,06 0,370,37 --

Ferro DissolvidoFerro Dissolvido 0,010,01 0,150,15 00 1,141,14 0,010,01 0,080,08 0,3mg/L0,3mg/L

Tabela 2 Intervalos de confiança para a média de cada parâmetro Tabela 2 Intervalos de confiança para a média de cada parâmetro (físico e químico), das coletas realizadas em Manaus na época (físico e químico), das coletas realizadas em Manaus na época chuvosa.chuvosa.

Parâmetros Químicos e Parâmetros Químicos e BiológicosBiológicos

São RaimundoSão Raimundo EducandosEducandos TarumãTarumã

Limites do Limites do CONAMA 357CONAMA 357InferiorInferior SuperiorSuperior InferiorInferior SuperiorSuperior Inferior Inferior Superior Superior

pHpH 5,325,32 7,17,1 5,155,15 6,666,66 4,64,6 5,245,24 6 a 96 a 9

Cond. ElétricaCond. Elétrica 66,6366,63 218,18218,18 92,8892,88 249,76249,76 6,996,99 13,813,8 --

TurbidezTurbidez 2,992,99 31,6731,67 68,0968,09 274,55274,55 0,190,19 12,9812,98 <40unt<40unt

O2O2 1,161,16 2,692,69 1,521,52 4,654,65 6,656,65 7,737,73 >6mg/L>6mg/L

NO3NO3 0,040,04 0,260,26 0,010,01 0,520,52 0,020,02 0,040,04 10,0m/L10,0m/L

NH4NH4 1,261,26 6,446,44 1,591,59 5,355,35 0,130,13 0,210,21 --

Ferro TotalFerro Total 0,870,87 4,024,02 0,870,87 4,014,01 0,070,07 0,380,38 --

Ferro DissolvidoFerro Dissolvido 0,040,04 0,120,12 0,060,06 0,20,2 0,020,02 0,060,06 0,3mg/L0,3mg/L

Intervalo de confiança para a média da população quando é conhecido.

Intervalo de confiança para a média da população quando é desconhecido.

Intervalo de confiança para a variância da população.

Intervalo de confiança para o desvio-padrão da população.

Intervalo de confiança para uma proporção populacional

Estimação por intervalo

Teoria da estimação

Exercício práticoConsiderando-se que uma amostra de cem

elementos extraídas de uma população aproximadamente normal, cujo desvio-padrão é igual a 2,0, forneceu média =35,6, construir um intervalo de 95% de confiança para a média dessa população

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