Sinal unidimensional 1

X=10

f(x) |F(u)|

espectro centrado em u = 0 espectro centrado em u = 60

Sinal unidimensional 2

f(x) |F(u)|

espectro centrado em u = 0 espectro centrado em u = 60

Sinal unidimensional 2

f(x) |F(u)|

espectro centrado em u = 0 espectro centrado em u = 60

original Fourier

Fourier com shiftFourier com log(1+|F(u)|)

200000

47

Filtro ideal

F

H

Filtro ideal ].[1 HF

F

H

Filtro de Butterworth

Filtro de Butterworth].[1 HF

Filtro passa-altas ideal

F

H

Filtro passa-altas ideal ].[1 HF

Filtro passa-altas Butterworth

F

H

Filtro passa-altas Butterworth ].[1 HF

Convolução espacial

0 200 400 m

f(m)

0 200 400 m

0 200 400 m

h(-m)

h(m)

0 200 400

m

h(x-m)

x

0 200 400 x

f(x)*h(x)

800600

Convolução levando-se em conta a periodicidade da DFT

0 200 400 m

h(m)

0 200 400 m

h(-m)

0 200 400 m

h(x-m)

0 200 400 m

f(m)

m

x

100 400

f(x)*h(x)

x0

Convoluçao com as funções estendidas: T = 800 (400+400)

0 200 400 600 800m

f(m)

0 200 400 600 800m

h(m)

0 200 400 600 800m

h(-m)

0 200 400 600 800m

h(x-m)

x

x

f(x)*h(x)

500 800

Etapas da implementação da filtragem por DFT

• Estender o período MxN de f considerando o período PxQ do filtro h Novo período RxS

MxN:f PxQ :h

1)- QN S e 1-PM (R • Calcular a TF de f estendida

• Gerar a função H do filtro de tamanho RxS

• Multiplicar ponto a ponto a transformada de f estendida pelo filtro G = F.H

• Obter a parte real da transformada inversa discreta de Fourier

• Recortar o canto superior esquerdo de g de dimensão MxN g = crop(g)

(G)g 1

(h) H

)(f F RxS

Exemplo: filtragem sem extensão (padding)

f F

H

].[1 HF

.

.

.

.

.

.

……

sem padding

Exemplo: filtragem com extensão (padding)

f F

H

.

.

.

.

.

.

…

Com padding

].[1 HF

Filtragem gaussiana

original imagem com ruído

imagem com ruído espectro de Fourier

Máscara h de convolução gaussiana 15x15 (sigma = 3)

imagem com ruído f

Filtragem no domínio espacial

imagem filtrada: f*h

espectro de Fourier H da máscara de convolução

H estendido e com origem no centro

H estendido e com origem não transladada

imagem com ruído f

Filtragem no domínio da frequência

).(1 HFg

g = f*h

Comparação dos resultados

).(1 HFg

imagem de diferença entre as filtragens

13-

-13

3.41x10- valor mínimo

1.13x10 valor máximo

H = Espectro máscara de Sobel

1 0 -1

2 0 -2

1 0 -1

h = Sobel

Filtro passa-altas

H = Sobel

imagem f )( fF

g = f * h ).(1 HFg

Contornos após limiarização (10% do maior valor na imagem)

por convolução por TF

Original f

Exemplo: Filtro passa-baixas ideal

Filtros definidos diretamente no domínio da frequência

)( fF

H ideal

Imagem filtrada

F

).(1 HFg

H ideal F

Imagem filtrada

).(1 HFg

H ideal F

Imagem filtrada

).(1 HFg

H = Butterworth

Imagem filtrada).(1 HFg

Filtragem gaussiana passa-baixas

1 máximoseu valor do 0.607 atinge filtro o D D Quando

),(

0

2/),( 20

2

DvuDevuH

0.3M D com H 0

M

M

original f ).(1 HFg

0.05M D com H 0

20

2 2/),(),( DvuDevuH

M

M

original f ).(1 HFg

0.02M D com H 0

M

M

original f ).(1 HFg

Filtragem passa-altas

• Definida também por:

baixas-passa H ; altas-passa H

v)(u,H - 1 v)u,(H

pbpa

pbpa

Passa-altas ideal (ideal) 1 pbH

f

H ideal

).(1 HFg

Filtro passa-altas gaussiano

)(gaussiano 1 pbH

f).(1 HFg

H gaussiano

Filtragem com ênfase nas altas frequências

• restitui parte da componente DC perdida na filtragem passa-altas e reforça as componentes de alta frequência do filtro Hpa.

),(),( vubHavuH paEAF

Exemplo:

Original Equalização

Original Butterworth

Butterworth Equalização

0.5 + 2*Hpa Equalização