Post on 09-Jan-2017
Teoria deCordas e
Aplicacoes
HenriqueBoschi FilhoIF – UFRJ
Introducao
Cordas
Supercordas
Teoria M eDualidades
Teorias deCalibre
BuracosNegros
Branas
Cordas ×Experiencia
AdS/CFT
Aplicacoes
Teoria de Cordas e Aplicacoes
Henrique Boschi Filho
IF – UFRJ
Minicurso apresentado na
2a. Semana da Fısica IF-UFRJ26 a 30 de abril de 2010
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Introducao
Cordas
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Teorias deCalibre
BuracosNegros
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Cordas ×
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Aplicacoes
1 Introducao
2 Cordas
3 Supercordas
4 Teoria M e Dualidades
5 Teorias de Calibre
6 Buracos Negros
7 Branas
8 Cordas × Experiencia
9 AdS/CFT
10 Aplicacoes
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Introducao
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Plano do curso
1a. aula: Motivacao e introducao a Teoria de Cordas.
2a. aula: Acao para cordas relativısticas. Supercordas eTeoria M.
3a. aula: Supergravidade. Teorias de Calibre. Buracos
Negros. Branas. Espacos de de Sitter e anti-de Sitter.D3-branas e AdS.
4a. aula: Uma revolucao na Teoria de Cordas, a
correspondencia AdS/CFT. Aplicacoes na Fısica dePartıculas.
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Livros de divulgacao sobre Cordas
Para uma Introducao qualitativa a Teoria de Cordas, boasleituras sao:
• The Little Book of String Theory,Steven S. Gubser (2010) =⇒
• O Universo Elegante: Supercordas,
dimensoes ocultas e a busca da teoriadefinitiva, Brian Greene (2003);
• Hyperspace: A Scientific Odyssey
Through Parallel Universes, TimeWarps, and the Tenth Dimension,
Michio Kaku (1994).
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Algumas paginas interessantes da web sobre cordas
http://www.sukidog.com/jpierre/strings/index.html
http://superstringtheory.com/index.html
http://www.damtp.cam.ac.uk/research/gr/public/index.html
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Livro de Cordas (graduacao)
Nesse minicurso, veremos algunsaspectos da Teoria de Cordas,
como abordado no livro:
• A First course
in String Theory,Barton Zwiebach.
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Livro de cordas avancado (resumido)
Neste minicurso, tambemusaremos o livro
An Introduction to String Theoryand D-Brane Dynamics
Richard Szabo
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Motivacao: Por que estudar Teoria de Cordas?
• A Natureza e quantica e relativıstica.• A teoria que combina a mecanica quantica e a relatividade
especial e a Teoria Quantica dos Campos (TQC).• Das 4 interacoes fundamentais da Natureza, a TQC descreve
corretamente 3 delas: as interacoes eletromagneticas e asinteracoes nucleares forte e fraca.• De fato, a descricao atual pela TQC das interacoes
eletromagneticas e nuclear fraca e unificada na chamada teoriaeletrofraca.
• As interacoes fortes tambem podem ser unificadas com asinteracoes eletrofracas.
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Motivacao: Por que estudar Teoria de Cordas?
• A TQC nao e compatıvel com a Teoria da Relatividade Geral,
que descreve bem a gravitacao.• A TQC toma como hipotese que existem na Natureza
partıculas elementares puntiformes.A Teoria de Cordas e uma extensao da TQC e toma comohipotese a existencia de objetos unidimensionais, cujas
excitacoes seriam as partıculas que observamos.• A Teoria de Cordas contem naturalmente a gravitacao
(o graviton), alem de poder descrever as outras 3 interacoesfundamentais.
• A Teoria de Cordas e, portanto, a candidata natural a Teoriade Unificacao das interacoes fundamentais.
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Definicao de Cordas
As cordas sao objetos relativısticos unidimensionais que sedeslocam no espaco-tempo.
A superfıcie espaco-temporal descrita por uma corda ao sedeslocar e chamada de folha de mundo (worldsheet):
6
-
Folha de
mundo
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Definicao de Cordas (2)
Originalmente pensou-se que as cordas existiriam numespaco-tempo (relativıstico) de 4 dimensoes (3 espaciais e 1
temporal).Porem, ao quantizar a corda percebe-se nao seria possıvel
presevar a relatividade a menos que o espaco-tempo tenha umacerta dimensao crıtica D.• Para uma corda que so descreve partıculas bosonicas (isto e,
com spin inteiro, s = 0, 1, 2), D = 26.• Para uma corda que descreve tanto bosons quanto fermions
(spin semi-inteiro, s = 1/2, 3/2), D = 10. Essa e a chamadasupercorda, devido a simetria que e imposta entre fermions e
bosons (supersimetria).
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Por que quantizar a corda?
Em geral, as teorias quanticas sao obtidas a partir de teorias
classicas devidamente quantizadas.O que significa quantizar?
Por exemplo, na quantizacao canonica, significa que devemosimpor a relacao de comutacao [x,px] = i~, entre os
observaveis x e px.OBS.: O comutador entre duas quantidades A e B e definido
como [A, B] = AB − BA. Portanto, para duas grandezasclassicas quaisquer ele e identicamente zero.
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Como quantizar?
Um metodo de quantizacao alternativo e o de
integrais de caminho, proposto por Richard P.Feynman (Premio Nobel de Fısica, 1965).
Nesse caso, a quantizacao pode ser pensada co-
mo uma modificacao do princıpio de Hamilton:A trajetoria classica (de uma partıcula ou de um campo) e
aquela que extremiza a integral de acao:
S =
∫
dt L(q, q) ,
onde L(q, q) e a Langrengeana do sistema, em termos das
coordenadas generalizadas q ≡ (q1, q2, ...,qi, ...).
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Acao para Campos
Pode-se mostrar que o Princıpio de Hamilton implica nas
equacoes de Euler-Lagrange, para uma dada Lagrangeana.
Num sistema relativıstico, como e o caso do campoeletromagnetico, e usual escrever a integral de acao em termos
da Densidade de Lagrangeana L, de modo que
S =
∫
dtdD−1x L(φ, ∂µφ) ,ou seja
L(φ, ∂µφ) ≡
∫
dD−1x L(φ, ∂µφ) ,
onde φ ≡ φ(xµ) e o campo, xµ ≡ (ct, x1, x2, ..., xD−1) e
∂µφ ≡∂
∂xµφ
Em quatro dimensoes temos simplesmente xµ ≡ (ct, x, y, z).
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Notacao relativıstica
O produto escalar de dois vetores no espaco-tempo e
a · b ≡ aµbµ = aνbν = a0b0 + a1b1 + a2b2 + ... + aibi + ...
Metrica (espaco de Minkowski): η = diag(+ − − − ...)
(muito usada em cordas) de modo que aµ = ηµνaν. Logo
aµbµ = ηµνaµbν = a0b0 − a1b1 − a2b2 − ... − aibi − ...
OBS.: Em TQC e usual trabalhar com a metricaη = diag(− + + + ...). Neste caso
a · b = ηµνaµbν = −a0b0 + a1b1 + a2b2 + ... + aibi + ...
que difere da definicao anterior apenas por um sinal global.
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Exemplo
Intervalo invariante (3+1d):
ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2
Energia-momento
pµ = (E
c,~p)
pµpµ ≡ p2 =E2
c2− (~p)2
Relacao de Einstein
E2 = c2(~p)2 + m2c4
Logop2 = m2c2
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Equacoes de Euler-Lagrange
As equacoes de Euler-Lagrange usuais sao escritas como
d
dt
∂
∂qiL −
∂
∂qiL = 0
para as coordenadas generalizadas qi.
Para o caso de campos (relativısticos) elas sao substituıdaspelas equacoes
∂µ∂
∂(∂µφi)L −
∂
∂φi
L = 0
onde φi sao as componentes i do campo φ.
Note que os campos, em geral, dependem das coordenadas doespaco-tempo xµ ≡ (x0, x1, x2, ..., xD−1) e nao apenas do
tempo t.
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Integrais de Caminho
Na quantizacao por integrais de caminho de Feynman, todas as
“trajetorias” sao levadas em conta, e nao apenas a trajetoriaclassica que extremiza a integral de acao.
A interferencia entre as trajetorias da conta da quantizacao do
sistema.
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Integrais de Caminho (2)
Feynman postulou que a amplitude de transicao de um sistema
entre dois estados quaisquer e dada por:
A ∼∑
todas astrajetorias
ei~S[x(t)]
onde S[x(t)] e a acao classica escrita em termos das trajetoriasx(t) entre os estados inicial e final do sistema.
• A amplitude A e o chamado Propagador de Feynman entredois estados do sistema e a probabilidade dessa transicao
ocorrer e igual a P = |A|2 .• Feynman mostrou, por exemplo, que essa formulacao paraum sistema nao-relativıstico e equivalente a de Schrodinger.
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Como escrever uma acao para a corda?
Vamos comecar pelo caso de uma partıcula livre nao-relativıs-tica. Como L = T − V , e nesse caso V = 0 , temos que
Spart. nao-rel. =
∫
1
2mv2(t)dt ; v2 = ~v ·~v ; ~v =
d~x
dt.
Note que a dimensao de acao e igual a Energia × Tempo, eportanto igual a dimensao de momento angular, ou seja,
massa × velocidade × distancia.
Como seria a acao para uma partıcula livre relativıstica?
Queremos uma acao que seja invariante relativıstica, ou seja,
invariante por transformacoes de Lorentz.
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Como escrever uma acao para a partıcularelativıstica?
Os ingredientes de que dispomos para isso sao sua massa m, avelocidade da luz c e o comprimento invariante ds, definido por
ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 .
Assim, levando em conta que uma acao deve ter dimensaoigual a dimensao de momento angular, escrevemos entao:
Spart. rel. = −m c
∫
ds .
Reescrevendo ds2 = c2dt2 − (d~x)2 e lembrando que ~v = d~xdt
,
temos
ds
cdt=
√
1 −
(
d~x
cdt
)2
=
√
1 −
(
v
c
)2
,
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A acao para uma partıcula relativıstica
Logo
Spart. rel. = −m c2
∫
dt
√
1 −
(
v
c
)2
.
Isto nos permite inferir que a Lagrangeana da partıcula livre
relativıstica e Lpart. rel. = −mc2√
1 −(
vc
)2.
Podemos determinar o momentum, ~p ≡ ∂L∂~v
= m~vq
1−( vc)
2, e a
Hamiltoniana, H ≡ ~p ·~v − L = mc2q
1−( vc)
2, de uma partıcula
livre relativıstica, a partir da Lagrangeana acima.
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A acao para uma partıcula relativıstica (2)
Podemos tambem escrever a acao em termos de um parametro
temporal τ . Para tal vamos reescrever ds em termos de dτ :
ds2 = −ηµνdxµdxν = −ηµνdxµ
dτ
dxν
dτdτ 2
Logo, a acao da partıcula livre relativıstica S = −mc∫
ds fica
Spart. rel. = −mc
∫
√
−ηµνdxµ
dτ
dxν
dτdτ
Dessa forma vemos que qualquer redefinicao do parametro τ
nao modifica a acao S. Portanto, essa acao e invariante porreparametrizacao (do parametro τ ).
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Como e a acao para a corda?
Por analogia com a partıcula relativıstica, cuja acao e
proporcional ao comprimento proprio∫
ds, postulamos que aacao da corda e proporcional a area da folha de mundo.
A superfıcie da folha de mundo pode ser escrita como aintegral sobre elementos infinitesimais na forma deparalelogramos de lados d~v1 e d~v2:
d~v1
-
d~v2
θ
dA = |d~v1||d~v2||senθ|
= |d~v1||d~v2|√
1 − cos2 θ
=√
|d~v1|2|d~v2|2 − |d~v1|2|d~v2|2 cos2 θ
=√
(d~v1 · d~v1)(d~v2 · d~v2) − (d~v1 · d~v2)2
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Como e a acao para a corda? (2)
Introduzindo os parametros (infinitesimais) dξ1 e dξ2,
podemos reescrever os lados do paralelogramo como
d~v1 =∂~x
∂ξ1dξ1 d~v2 =
∂~x
∂ξ2dξ2
de modo que a area do paralelogramo pode ser escrita como
dA = dξ1dξ2
√
(
∂~x
∂ξ1·
∂~x
∂ξ1
) (
∂~x
∂ξ2·
∂~x
∂ξ2
)
−
(
∂~x
∂ξ1·
∂~x
∂ξ2
)2
Esta expressao e, naturalmente, invariante por reparametriza-coes de dξ1 e dξ2.
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Como e a acao para a corda? (3)
Vamos, agora, passar a notacao padrao das cordas. As
coordenadas ~x chamaremos de Xµ incluindo a coordenadatemporal X0, isto e, Xµ = (X0, X1, X2, ...,XD−1).
Alem disso, vamos batizar os parametros ξ1 e ξ2 de τ e σ.
Usualmente, mas nao obrigatoriamente, τ e associado a umacoordenada temporal e σ a uma espacial, uma distancia
medida ao longo do comprimento da corda, por exemplo.
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Como e a acao para a corda? (4)
6
-
3•Xµ(τ, σ)
σ KK
τ:
Folha de
mundo
corda
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Como e a acao para a corda? (5)
Assim, a area varrida pela corda pode ser escrita como
dA = dτdσ
√
(
∂X
∂τ·
∂X
∂σ
)2
−
(
∂X
∂τ·
∂X
∂τ
) (
∂X
∂σ·
∂X
∂σ
)
onde∂X
∂τ·
∂X
∂τ=
∂Xµ
∂τ
∂Xµ
∂τ
e assim por diante, ja que na notacao relativısticaX · X = XµXµ .
Alem disso, nessa notacao a ordem dos termos na raizquadrada e trocada em relacao a anterior. Isto se deve a uma
diferenca de sinal entre as duas notacoes e para garantir que oradicando e sempre positivo.
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A acao da corda
E usual, ainda, introduzir a notacao compacta:
Xµ ≡∂Xµ
∂τ; Xµ′ ≡
∂Xµ
∂σ
de modo que a acao da corda relativıstica fica:
S = const.
∫
dτdσ
√
(X · X′)2 − (X · X)(X′ · X′)
= const.
∫
dτdσ
√
(X · X′)2 − (X)2(X′)2
onde a constante a frente da integral foi introduzida paragarantir a dimensao correta da acao. Essa constante pode serexpressa, por exemplo, definindo a tensao da corda T e usando
a velocidade da luz c.
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A acao da corda (2)
Para obter a dimensao Energia × tempo, e facil ver que
const. = T/c, ja que a integral acima tem dimensao de area.Assim, chegamos a acao da corda relativıstica
S = −T
c
∫ τf
τi
dτ
∫ σ1
0
dσ
√
(X · X′)2 − (X)2(X′)2
conhecida com acao de Nambu∗-Goto∗∗.(*) Yoichiro Nambu
Premio Nobel de Fısica 2008(**) Tetsuo Goto, Nihon Univ. (JPN)
(http://ptp.ipap.jp/link?PTP/46/1560/)
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Comentarios sobre a acao da corda
Naturalmente, por construcao, a acao de Nambu-Goto einvariante por reparametrizacoes em τ e σ.
E comum tambem escrever a tensao da corda como
T =c
2πα′
A constante α′ aparece na Fısica Hadronica, nas chamadastrajetorias de Regge, que sao relacoes entre a massa quadratica
e spin J de excitacoes hadronicas:
J ∼ α′ M2
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Historicamente...
Historicamente, as cordas foram propostas para explicar oespalhamento desses hadrons (partıculas que interagem via
forca nuclear forte).
Essa descricao, porem, apresentou algumas dificuldades.
Na mesma epoca, surgia a Cromodinamica Quantica (QCD),uma teoria quantica de campos que descreve corretamente as
interacoes fortes.
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Outra acao para a corda relativıstica
Uma outra acao para a corda relativıstica e
S = −1
4πα′
∫
dτdσ√
−g gab∂aXµ∂bXµ
onde a, b = 1, 2 , µ = 0, 1, 2, ...,D − 1 , gab e a metricabidimensional (induzida) na folha de mundo e g = det(gab).
Esta acao e conhecida como a acao de Polyakov (∗).
(∗) Alexander M. Polyakov,Dirac Medal (ICTP), 1986.
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Mais sobre acoes para a corda
A acao de Polyakov e classicamente equivalente a deNambu-Goto, ou seja, as duas geram as mesmas equacoes de
movimento. Porem, esta forma e mais simples de serquantizada por nao conter uma raiz quadrada.
Essa acao e interessante tambem poque ela pode ser estendida
ao caso da supercorda.
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Cordas Abertas e Fechadas
As cordas podem ser abertas ou fechadas:
Figura: http://www.sukidog.com/jpierre/strings/index.html
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Cordas × Partıculas (Interacoes)
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Quantizacao das cordas
A partir da acao das cordas, ou de suas equacoes demovimento, podemos quantiza-las.
A quantizacao dessas cordas leva aos seguintes resultados:(conta longa, caps. 12 e 13, livro do Zwiebach)
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Quantizacao das cordas (2)
Propriedades Corda aberta Corda fechada
Spin 0 taquion dılatonM2 −α′ 0
Spin 1 foton –M2 0 –
Spin 2 – graviton
M2 – 0
Spin=0,1,2,... varios variosM2 ∝ α′ ∝ α′
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Introducao
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Quantizacao das cordas (3)
A quantizacao dessas cordas tambem implica na determinacao
da dimensao crıtrica, neste caso D = 26, para nao violar asimetria de Lorentz (relatividade especial).
Como todas as excitacoes desta corda tem spin inteiro,concluımos que se trata da corda Bosonica.
Do ponto de vista fenomenologico, os modos correspondentesao dılaton, ao foton, e ao graviton sao os mais interessantes.
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Quantizacao das cordas (4)
O modo do taquion (M2 = −α′) e interpretado como um
estado instavel da corda bosonica. Porem, alguns autoresargumentam que ele poderia ser util na descricao de tal
situacao em sistemas fısicos reais.
A instabilidade do modo taquionico pode ser entendida por
uma analogia mecanica: uma partıcula sujeita a uma forca quevaria linearmente com sua posicao. O potencial pode ser
atrativo (M2 > 0) ou repulsivo (M2 < 0).
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Modos massivos × Taquions
6
-
Modos massivos
M2>0-
6
-
Taquions
M2<0
-
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Supercorda
A partir dos resultados acima ficou claro que essa corda naopoderia descrever fermions, que existem na Natureza.
Para permitir que as cordas tivessem modos fermionicos a acaofoi modificada introduzindo coordenadas que anticomutamentre si, analogas ao campo de Dirac.
OBS.: O anticomutador e definido como A, B = AB + BA.
Alem disso, por consistencia e necessario impor uma simetriaque transfoma bosons em fermions e vice-versa, chamadasupersimetria.
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Supercordas
A corda com essas caracterısticas e chamada de Supercorda.
Na verdade, existem 5 tipos diferentes de supercordas,
dependendo das condicoes de contorno que satisfazem e dassuas simetrias:
Tipos I, II A e B, e heteroticas SO(32) e E(8)×E(8).
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Os tipos de Supercordas
• Tipo I: A corda e supersimetrica (usual, N = 1);
• Tipo II: A corda tem supersimetria extendida (N = 2, doisfermions p/ cada boson);
IIA: espinores com quiralidade oposta, teoria nao-quiral
IIB: espinores com mesma quiralidade, teoria quiral
• Heteroticas: sao compostas de dois setores, um supermetricoD = 10 e outro nao com D = 26. A teoria resultante vive em
D = 10. As denominacoes SO(32) e E(8)×E(8) correspondem
aos grupos de simetria dessas cordas.
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Quiralidade
Um sistema quiral difere de sua imagem num espelho.
A quiralidade de uma partıcula e definida pela sua helicidadeque e a projecao de seu spin em relacao ao seu momentum.
Partıculas massivas viajam em velocidades inferiores a da luz etem qualquer quiralidade.
Neutrinos tem massa muito pequena (ainda nao medida) eportanto se movem praticamente na velocidade da luz. Logo
tem quiralidade definida.Neutrinos tem quiralidade esquerda e antineutrinos direita.
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Quiralidade de neutrinos e anti-neutrinos
(Elementary Particle Lecture Notes, Paolo Franzini - Roma U.)
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Teoria M
Existe uma Teoria M (Misterio, Mae, ou Matriz) em D = 11de onde viriam todas as supercordas.
A Teoria M, nao e conhecida por completo, apenas algumas de
suas propriedades.
Por exemplo, nao se conhece uma acao (completa) para essa
Teoria.
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Dualidades
Dualidades sao transformacoes que levam uma teoria em outra,
ou relacionam partes diferentes de uma mesma teoria.• O exemplo classico e do campo eletromagnetico:
As equacoes de Maxwell, no vacuo (em unidades apropriadas)
~∇ · ~E = 0 ~∇ · ~B = 0
~∇ × ~E = −∂~B
∂t~∇ × ~B =
∂~E
∂t
sao invariantes pelas substituicoes ~E → ~B e ~B → −~E.
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Dualidades em cordas
As 5 teorias de supercordas e a Teoria M estao relacionadas pordualidades.
Sao as dualidades S e T.
A dualidade S leva uma corda com acoplamento g1 numaoutra com g2 = 1/g1 , onde g1 e g2 sao adimensionais.
OBS.: (gcorda)2 ∼ GNewton
α′ .
A dualidade T leva uma corda enrolada sobre um cilindro de
raio R1 numa outra com raio R2 = `2/R1, onde ` e ummesmo comprimento fixo para as duas cordas.
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Dualidades entre as Teorias M e de Supercordas
http://www.sukidog.com/jpierre/strings/index.html
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Dualidades entre as Teorias M e de Supercordas
R. Szabo, http://arxiv.org/abs/hep-th/0207142
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Mais uma vez...
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Teorias de Supergravidade
Sao teorias de campo para a gravitacao que sao tambem
supersimetricas.
Sao generalizacoes da Relatividade Geral, de Einstein.
Existem em varias dimensoes: 11, 10, 9, 8, ...
A Teoria M e descrita, em baixas energias, pela supergravidade
em D = 11.
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Mais Supergravidade
As Supercordas sao tambem aproximadas, em baixas energias
(i. e., modos nao-massivos), por teorias de supergravidade emD = 10.
Em particular, as supercordas do tipo IIA sao aproximadas pelasupergravidade IIA.
Analogamente, a supercorda IIB e aproximada em baixasenergias pela supergravidade IIB.
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Simetrias de Calibre
O eletromagnetismo e uma teoria invariante de calibre.Para ver isto, vamos lembrar que os campos eletrico ~E e
magnetico ~B podem ser univocamente determinados pelospotenciais escalar V e vetorial ~A:
~B = ~∇ × ~A ~E = −∂
∂t~A − ~∇V
Note, porem, que podemos modificar os potenciais escalar V e
vetorial ~A
~A′ = ~A + ~∇λ V′ = V −∂
∂tλ
onde λ = λ(x, y, z, t) e uma funcao escalar, sem alterar os
campos ~E e ~B.
Esta propriedade e chamada simetria de calibre.
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Simetrias de calibre (2)
Em notacao relativıstica, ~A e V sao as componentes espacial e
temporal do quadrivetor Aµ
Aµ = (V, ~A)
e a invariancia de calibre e expressa como
Aµ′ = Aµ +∂
∂xµ
λ
ou em notacao compacta
Aµ′ = Aµ + ∂µλ
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Teorias de calibre
Em 1954, C.N. Yang e R. Mills propuseram uma generalizacaodo campo eletromagnetico para um campo com simetria de
calibre estendida
Aaµ′ = Aa
µ + εabcλbAcµ + ∂µλa
onde a, b, c = 1, 2, 3 e portanto temos um conjunto com 3campos Aµ
a .
Note que o termo εabcλbAcµ e analogo a uma rotacao em tres
dimensoes, e portanto com simetria SO(3).
Usando notacao complexa, essa simetria e equivalente a SU(2),analoga a de momentum angular na mecanica quantica.
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Mais Teorias de calibre
Esses campos sao relevantes na descricao das interacoes fracas,associados as partıculas W+, W−, e Z0, descobertas no CERN
em 1983.
Essa simetria de calibre pode ser estendida para rotacoes emespacos complexos de N dimensoes, ou seja, para o grupo
SU(N).
As interacoes fortes sao entendidas hoje como as interacoesentre quarks e gluons, com simetria de calibre SU(3).
Teorias de grande unificacao usam grupos como o SU(5), ou
maiores, porem, sem confirmacao experimental.
Em resumo, as Teorias de Calibre SU(N) sao muito impor-tantes para descrever as interacoes fundamentais.
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Como surgem as Teorias de Calibre SU(N) na
Teoria de Cordas?
Ja vimos que a quantizacao das cordas abertas implica na
existencia de modos nao massivos, entre eles, o foton, que edescrito pela Eletrodinamica Quantica (Teoria Quantica para o
eletromagnetismo).
Como surgem os campos de Yang-Mills na Teoria de Cordas?
Esse problema foi resolvido logo no inıcio da Teoria de cordas,supondo que as pontas das cordas carregam certos fatores,
chamados de Chan-Paton, associados ao grupo SU(N).
Dessa forma, temos varias cordas correspondentes aos varioscampos do grupo SU(N).
Assim, naturalmente, as Teorias de Calibre SU(N) surgem naTeoria de Cordas.
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Cordas e Teorias de Calibre
Alem do fato de cordas gerarem campos de calibre SU(N),
existe uma relacao mais profunda entre essas duas teorias.
Em 1974, Gerardus ’t Hooft (∗) descobriu que amplitudes deespalhamento de cordas sao equivalentes a amplitudes de
espalhamento de teorias de Yang-Mills SU(N) no limiteN → ∞.
Como veremos adiante, este resultado
tera consequencias muito importantespara ambas as teorias.
(∗) Premio Nobel de Fısica, 1999.
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Buracos Negros
Sao solucoes das equacoes de Einstein, da Relatividade Geral,que contem singularidades essenciais (centro do BN) e
removıveis (Horizonte de eventos).
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Mais Buracos Negros
Os Buracos Negros usuais sao definidos em 3+1 dimensoes .A solucao de Schwarzschild pode ser escrita como
ds2 =
(
1 −2MG
r
)
dt2 −
(
1 −2MG
r
)−1
dr2 − r2dΩ2
onde M e sua massa, G = GNewton e dΩ2 = dθ2 + senθ2dφ2.
Essa solucao e estatica e esfericamente simetrica.
• r → 0 e uma singularidade essencial, enquanto r = 2MG euma singularidade de coordenadas (removıvel) e representa ohorizonte de eventos, alem do qual nenhuma informacao pode
ser obtida (classicamente) por um observador externo.
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Buracos Negros Carregados
Existem, tambem, solucoes com carga e/ou momentumangular.
Por exemplo, a solucao de Reissner-Nordstrom e
ds2 = f(r)dt2 − [f(r)]−1 dr2 − r2dΩ2
onde
f(r) = 1 −2MG
r+
Q2G
r2
e Q e a carga eletrica. Essa solucao tem dois horizontes
r± = MG
[
1 ±√
1 − Q2
M2G
]
A solucao extrema ocorre para M2 = Q2
Ge, neste caso, os
horizontes coincidem em r± = MG.
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Buracos Negros na Supergravidade
As teorias de supergravidade tambem admitem solucoes tipo
Buracos Negros.
Por exemplo, nas Teorias de Supergravidade IIA e IIB, surgem
diversas solucoes deste tipo, isto e, com singularidades ehorizontes, em varias dimensoes.
Alguns com simetria planar, que sao as chamadas BranasNegras.
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Membranas e objetos com mais dimensoes
Na Teoria de Cordas, surgem naturalmente objetosbidimensionais como uma Membrana, ou com p dimensoes
espaciais, que chamamos de p-branas.
Esses objetos tem um papel fundamental na moderna teoria decordas.
As pontas das cordas abertas vivem nas p-branas.
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p-Branas
As extremidades de uma supercorda, que se desloca em
D = 10, descrevem hipersuperfıcies em p=9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,ou ainda p= 2, 1 e 0 dimensoes.
Essas hipersuperfıcies (ou hipervolumes) sao as p-branas.
Para p = 0, 0-brana = pontoPara p = 1, 1-brana = linha ou corda
Para p = 2, 2-brana = superfıcie ou membranaPara p = 3, 3-brana = volume (mundo onde vivemos!)
Para p > 3, p-brana = hipervolume
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O que acontece com as extremidades de uma cordaaberta?
No caso nao-relativıstico unidimensional temos duas situacoestıpicas importantes:
• extremidade fixa(condicao de Dirichlet)
• extremidade “livre”(condicao de Neumann)
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O que acontece com as extremidades de uma cordaaberta? (2)
Para as cordas relativısticas, a situacao e analoga, porempode-se ter as condicoes de Neumann e Dirichlet simultanea-mente.
Como a supercorda vive em 9+1 dimensoes, ela pode satisfazer
as condicoes de Neumann para algumas coordenadas e deDirichlet para outras.
Uma Dp-brana e uma p-brana que impoe a corda condicoes de
Neumann para as coordenadas dentro da brana, ou seja,µ = 0, 1, 2, ..., p, enquanto as demais coordenadas
µ = p + 1, p + 2, ..., 9, obedecem condicoes de Dirichlet.
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Dp-Branas e cordas abertas
Cordas abertas podem ter
extremidades livresou presas a D-branas
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Mais Dp-branas e cordas abertas
E possıvel ter varias branas e varias cordas
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Branas e Teorias de Calibre SU(N)
Ja vimos que as cordas abertas tem como uma de suas
excitacoes o foton, e que para obter campos de calibre comsimetria SU(N) devemos impor que as pontas das cordas
carregem os fatores de Chan-Paton.
Por outro lado, as pontas das cordas andam sobre p-branas.
Assim podemos associar os ındices de Chan-Paton do grupoSU(N) com p-branas.
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Mais Branas e Teorias de Calibre SU(N)
Uma corda aberta que comecae termina na mesma branacarrega o grupo U(1)
(eletromegnetismo).
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Ainda sobre Branas e Teorias de Calibre SU(N)
Se uma corda aberta conecta duas branas com diferentes
ındices de Chan-Paton, entao ela carrega o grupo SU(2).
U(1) SU(2) U(1)
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Branas e SU(N)
Cordas abertas comecando e terminando em N branas
Excitacoes das cordas ⇒ Campos de calibre com simetria
SU(N)
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Dp-branas e cordas fechadas
Cordas fechadas tambem interagem com D-branas
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Como surgem as D-branas?
Poderıamos simplesmente postular sua existencia.
Porem, o mais interessante e que as D-branas surgem como
solucoes classicas das acoes das cordas.
De fato as acoes das cordas sao aproximadas em baixasenergias por acoes de supergravidade, e essas acoes tem as
D-branas como solucoes.
Essas D-branas guardam certas relacoes com as teorias decordas (supergravidade) das quais sao solucoes.
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D-branas e cordas
As solucoes encontradas sao:
Supercordas Dp-branas
I p = 1, 5, e 9
IIA p = 0, 2, 4, 6, e 8
IIB p = 1, 3, 5, e 7
Heteroticas —
Para as cordas bosonicas (em 26 dim.) existem Dp-branas parap= 0, 1, 2, ..., 25.
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Como usar a Teoria de Cordas para descrever aFısica que observamos?
A corda bosonica vive em D=26 e contem taquions.
As supercordas contem excitacoes bosonicas e fermionicas evivem em D=10.
Para conectar as cordas com o mundo que observamos com
D=3+1, em geral propoe-se que as dimensoes extras, alem das4 usuais, sejam curvas ou enroladas, com tamanhos muito
pequenos.
Esse procedimento e chamado de compactificacao das
(super)cordas.
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Compactificacao
A compactificacao mais simples para uma supercorda e aquelaque supoe que as 10 dimensoes do espaco-tempo sao decom-postas em um espaco de Minkowski com 4 dim. × hiperesfera
com 6 dimensoes.
Nessa compactificacao, o raio da hiperesfera seria muito menorque um proton ou neutron e por isso nao teria sido ainda
observada em experimentos.
Essa compactificacao, assim como outras, preve ainda aexistencia de uma torre infinita de partıculas, numa situacao
analoga a um poco quantico infinito.
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Poco quantico infinito
Uma partıcula presa num poco
quantico infinito possui infinitosautoestados, n= 1, 2, 3, ...
Essa situacao corresponde a uma
partıcula presa numa caixa comparedes impenetraveis.
Essa situacao e tambemanaloga a corda presa
numa (hiper)esfera.
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Mais compactificacao
Existem compactificacoes menos simetricas e mais sofisticadas
do que a da hiperesrefera.
Os espacos compactos gerais sao as chamadas variedades de
Calabi-Yau e constituem uma area ativa de pesquisa da Fısica eda Matematica.
Uma ideia tambem explorada e considerar cordas em espacoscurvos. Esse problema em geral e bastante complexo. Porem,
para alguns espacos curvos simples (simetricos) e possıvelencontrar alguns resultados interessantes.
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Os espacos de de Sitter
Os espacos de de Sitter sao, juntamente com o espaco de
Minkowski, os espacos mais simetricos, entre as solucoes dasequacoes de Einstein, da Relatividade Geral.
O espaco de de Sitter (dS) usualcorresponde a superfıcie de uma
esfera. A geometria desse espacoe R1 × S3, onde R1 e um eixo
real representando o tempo, e S3
e uma hiperesfera tridimensional.
OBS.: S2 e a esfera usual. =⇒
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O espaco de anti-de Sitter
O espaco chamado de anti-de Sitter (AdS) corresponde asuperfıcie de um hiperboloide
x21
a2+
x22
b2−
x23
c2= 1 ou −
x21
a2−
x22
b2+
x23
c2= 1
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Qual a importancia do espaco AdS para as Cordas?
Ja vimos que as branas sao solucoes da supergravidade quedescrevem as cordas no regime de baixas energias.
As branas tem massa e carga e portanto deformam o espacoonde vivem as as cordas encurvando-o.
Portanto seria importante considerar as cordas nesse espacocurvo produzido pelas branas.Maldacena, em 1997, considerou uma pilha de N D3-branas
extremas justapostas, resultando na seguinte metrica
ds2 = [f(r, R)]−1/2(−dt2 +d~x2) + [f(r, R)]1/2(dr2 +r2dΩ25)
onde f(r, R) = 1 + R4
r4e R4 = N/(2π2T3) , sendo T3 a
tensao de cada D3-brana. Nesta solucao, o horizonte esta emr = 0.
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AdS e Cordas
Na regiao longe do horizonte, r >> R , este espaco reduz-seao espaco chato de Minkowski em 10 dimensoes.
Na regiao proxima do horizonte, r << R , este espaco reduz-se ao espaco de anti-de Sitter em 5 dimensoes vezes uma hi-
peresfera de 5 dimensoes (AdS5 × S5):
ds2 =r2
R2(−dt2 + d~x2) +
R2
r2(dr2 + r2dΩ2
5)
E conveniente introduzir a variavel z ≡ R2/r, de modo que
este espaco pode ser reescrito, nas chamadas coordenadas dePoincare, como:
ds2 =R2
z2(−dt2 + d~x2 + dz2) + R2dΩ2
5
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AdS e Cordas (2)
Dessa forma, as branas produzidas pelas cordas encurvam oespaco, que bem proximo a elas, se aproxima do espaco de
anti-de Sitter vezes uma hiperesfera.A fronteira desse espaco corresponde a regiao z = 0, alem do“ponto”z → ∞.
E importante observar que a fronteira do AdS5, nessascoordenadas, e o espaco de Minkowski com 4 dimensoes.
Como e a fronteira do AdS5 × S5 ?Note que a metrica do AdS “explode”em z → 0, enquanto o
raio R do S5 permanece constante. Dessa forma, o raio dahiperesfera vai a zero quando comparado ao tamanho do AdS.
Assim, efetivamente a fronteira do AdS5 × S5 e um espaco de
Minkowski de 4 dimensoes vezes uma hiperesfera cujo raio vaia zero.
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AdS e Cordas (3)
Este resultado levou Maldacena a deduzir que existe umarelacao entre a teoria de supercordas IIB (que gera asD3-branas) num espaco AdS5 × S5 de 10 dimensoes e
teorias de campo num espaco de Minkowski de 4dimensoes.
Ele deduziu este resultado no limite de baixas energias da
teoria de cordas em que ela e aproximada pela supergravidade,e conjecturou que este resultado vale para qualquer energia.
Essa conjectura ainda nao foi demonstrada, mas existem varias
evidencias de que estaria correta.
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A correspondencia AdS/CFT
Teorias de supercorda em 10d e a teoria M em 11d,
definidas em espacos AdSd+1 × Sn, sao equivalentes ateorias de campo SU(N) supersimetricas, com N → ∞,
no espaco de Minkowski em d dimensoes.
De fato, essas teorias de campo SU(N) supersimetricas temsupersimetria extendida (varios fermions para cada boson) esao conformes (CFT), isto e, nao possuem nenhuma escala
(energia, comprimento, massa, etc) com a qual possamos fazercomparacoes.
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Teorias Conformes
Teorias conformes nao tem qualquer escala.
Ainda assim, tem aplicacao em varias areas da Fısica, porexemplo:
• Teoria das transicoes de fase (materia condensada);
• Cromodinamica quantica em altas energias, isto e, emenergias E >> MProtonc
2.
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AdS/CFT e a Fısica de Partıculas
A correspondencia AdS/CFT abre a possibilidade deinterpretar a teoria de cordas em 10d (AdS5 × S5) como
uma teoria de campos SU(N) supersimetrica em 4d, evice-versa.
Como ja vimos, os campos que descrevem as 3 interacoesfundamentais, exceto a gravidade, sao descritos por teorias de
calibre com grupos de simetria U(1), SU(2) e SU(3).
De fato, o grupo SU(N), com N >> 1 contem os gruposcitados acima como casos particulares.
Ou seja, teorias de calibre SU(N), potencialmente, podem
descrever a Fısica do modelo padrao U(1) × SU(2) × SU(3).
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Mais AdS/CFT
Na proposta original de Maldacena, a teoria M em 11d noAdSd+1 × Sn tambem e equivalente a teorias de calibre SU(N)
supersimetricas em d dimensoes chatas.
Em particular, ele mostrou que a teoria M no espacoAdS7 × S4 e dual a uma teoria de Yang-Mills em 6 dimensoes .
Outro exemplo e o da teoria M no AdS4 × S7 que e dual a
teoria de calibre SU(N) com supersimetria extendida N = 8em 3 dimensoes chatas.
Este exemplo, em particular, tem sido usado em varias
aplicacoes na Fısica da materia condensada onde o sistema deinteresse tem simetria planar, isto e, pode ser descrito
convenientemente em 2+1 dimensoes, como o efeito Hallquantico (inteiro e fracionario) e a supercondutividade.
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Cordas e a Caverna de Platao
No mito da caverna de Platao, algumas pessoas vivem presas aparede de uma caverna, sem nunca ter saıdo dela.
So o que veem sao sombras de objetos e pessoas que vivem
fora da caverna projetadas sobre uma de suas paredes.
So ouvem as vozes e os sons produzidos fora da caverna.
Assim, so percebem o mundo como uma projecao bidimen-
sional do que ocorre fora da caverna.
A partir da correspondencia AdS/CFT, podemos imaginar quenosso mundo de 3+1 dimensoes e uma projecao do mundo das
cordas em 10d.
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O Princıpio Holografico
Bekenstein e Hawking mostraram que buracos negros tem
entropia diferente de zero e que ela e proporcional a area deseu horizonte, e nao ao seu volume.
Inspirado neste resultado, ’t Hooft, enunciou em 1993 o
princıpio holografico:
Toda teoria quantica incluindo a gravitacao num espaco de Ddimensoes e descrita por uma teoria quantica (sem gravitacao)em D − 1 dimensoes.
A correspondencia AdS/CFT pode ser interpretada como uma
realizacao do princıpio holografico.
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Mais AdS/CFT e partıculas
E claro que na proposta de Maldacena, a teoria SU(N) em 4dtem N >> 1, e supersimetrica (N = 4) e conforme.
Portanto, para obter uma teoria mais proxima da Fısica do
modelo padrao das partıculas e preciso quebrar a supersimetriae a simetria conforme, alem de reduzir N.
Algum progresso ja foi conseguido nessa direcao, sem
entretanto, chegar ao modelo padrao.
Vamos, agora, descrever alguns modelos com essas
propriedades e algumas de suas aplicacoes.
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Modelo de Witten para a QCD holografica
Para descrever a QCD, que tem pelo menos uma escala (massa
do Proton, por exemplo), devemos modificar a correspondenciaAdS/CFT de modo a introduzir alguma escala.
Witten propos que a QCD pode ser obtida da Teoria de
cordas num espaco AdS com um buraco negro em seuinterior. Neste caso, o raio do horizonte do buraco negrodefine uma escala de comprimento para o modelo, quebrando a
simetria conforme.Witten tambem propos que os fermions desse modelo satisfa-
riam condicoes antiperiodicas nas dimensoes compatas, en-quanto os bosons satisfariam condicoes periodicas, quebrando a
supersimetria.E possıvel calcular massas para os Glueballs (estados ligados de
gluons) nesse modelo.
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Cordas e o espalhamento de Glueballs
Em 2001, Polchinski e Strassler usaram o fato que uma escalamınima de energia na teoria de calibre SU(N) corresponde auma certa regiao do espaco AdS (fatia) para calcular o espa-
lhamento de glueballs.
Neste trabalho eles reobtiveram a amplitude de Veneziano,corrigida por um fator envolvendo a curvatura do espaco AdS,
de modo a descrever corretamente o espalhamento de hadronsno regime de angulos fixos.
Com isso, uma das objecoes a descricao das interacoes fortes
pela teoria de cordas estava superada.
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O modelo de parede rıgida
Usando a ideia de Polchinski e Strassler, Boschi e Bragapropuseram considerar que as cordas (e os campos) na fatia do
AdS satisfariam uma condicao de contorno (Neumann ouDirichlet, p. ex.) sobre uma “parede”(fim da fatia) e com issocalcular massas para glueballs, sem a necessidade de incluir um
BN no AdS.
Os glueballs escalares no AdS sao descritos pelo campo dodılaton (escalar) e nesse espaco esses campos sao descritos por
funcoes de Bessel J2(kz) onde z e a quinta dimensao.
As massas dos glueballs escalares, vem entao da condicao decontorno imposta sobre as funcoes de Bessel.
Assim, as massas dos glueballs escalares sao determinadaspelos zeros da funcao de Bessel.
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Massas para Glueballs escalares em 3+1d
QCD3+1 Rede, N=3 BN-AdS Fatia AdS
0++ 1.61 1.61 (dado) 1.61 (dado)
0∗++ 2.8 2.38 2.64
0∗∗++ - 3.11 3.64
0∗∗∗++ - 3.82 4.64
0∗∗∗∗++ - 4.52 5.63
0∗∗∗∗∗++ - 5.21 6.62
Rede: Morningstar e Peardon; Teper 1997BN-AdS: Csaki, Ooguri, Oz e Terning, JHEP 1999
Fatia AdS: HBF e N Braga, JHEP 2003.
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Massas para Glueballs escalares em 2+1d
QCD2+1 Rede Rede BN-AdS Fatia AdS
N=3 N→ ∞0++ 4.329 4.065 4.07 (dado) 4.07 (dado)
0∗++ 6.52 6.18 7.02 7.00
0∗∗++ 8.23 7.99 9.92 9.88
0∗∗∗++ - - 12.80 12.74
0∗∗∗∗++ - - 15.67 15.60
0∗∗∗∗∗++ - - 18.54 18.45
Rede: Morningstar e Peardon; Teper 1997BN-AdS: Csaki, Ooguri, Oz e Terning, JHEP 1999
Fatia AdS: HBF e N Braga, JHEP 2003.
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Massas para barions leves
O modelo de parede rıgida foiposteriormente aplicado ao
calculo de massa para barionsleves de spin 1/2 e 3/2
As massas tambem sao deter-minadas pelos zeros de funcoesde Bessel
Teramond e BrodskyPRL 2005, 2006;
0 2L
4 6
2
0
4
6
8
1-2005 8694A7
N (939)N (1520)
N (2220)
N (1535)
N (1650)
N (1675)
N (1700)
N (1680)
N (1720)
N (2190)
N (2250)
N (2600)
2
0
4
6
8
∆ (1232)
∆ (1620)
∆ (1905)
∆ (2420)
∆ (1700)
∆ (1910)
∆ (1920)
∆ (1950)
(b)
(a)
(Ge
V2)
∆ (1930)
S=3/2
S=1/2
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Massas para mesons leves
Idem para mesons leves (Teramond e Brodsky PRL 2005, 2006)
L L
0
2
4
(Ge
V2)
(a) (b)
0 2 4 0 2 4 1-2005 8694A10
ω (782) ρ (770) π (140)
b1 (1235)
π2 (1670)
a0 (1450)
a2 (1320)
f1 (1285)
f2 (1270)
a1 (1260)
ρ (1700) ρ
3 (1690)
ω3 (1670)
ω (1650)
f4 (2050)
a4 (2040)
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Mais mesons leves
O modelo de parede rıgida tambem foi aplicado por Erlich,
Katz, Son e Stephanov (PRL 2005) para calcular as massas demesons vetoriais
0
1
2
3
4
5
6
0 2 3 4 5 6
Experiment0.93*n
1
m2
n, GeV2
nρ(770)
ρ(1450)
ρ(1700)
ρ(1900)
ρ(2150)
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Glueballs de spins mais altos
O modelo de parede rıgida tambem foi usado para calcular as
massas de Glueballs com varios spins:
Dirichlet lightest 1st excited 2nd excitedglueballs state state state
0++ 1.63 2.67 3.69
2++ 2.41 3.51 4.564++ 3.15 4.31 5.40
6++ 3.88 5.85 6.218++ 4.59 5.85 7.00
10++ 5.30 6.60 7.77
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Mais Glueballs de spins mais altos
Neumann lightest 1st excited 2nd excitedglueballs state state state
0++ 1.63 2.98 4.33
2++ 2.54 4.06 5.474++ 3.45 5.09 6.56
6++ 4.34 6.09 7.628++ 5.23 7.08 8.6610++ 6.12 8.05 9.68
Massas dos estados de glueballs JPC (com J par) expressas emGeV. A massa do 0++ e um dado obtido dos resultados darede [H.B.F., Nelson Braga and Hector Carrion PRD 2006]
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Trajetoria de Regge para Glueballs e o Pomeron
Uma vez determinadas as massas para os Glueballs, comoconhecemos seus spins, podemos determinar seus
comportamentos J × M2
As curvas nesses graficos correspondem as trajetorias de Regge.
No caso de trajetorias lineares temos:
J = α0 + α′ M2 .
Para Neumann e estados J++ com J = 2, 4, ..., 10 achamos
α′ = ( 0.26 ± 0.02 )GeV−2 ; α0 = 0.80 ± 0.40
consistente com a do Pomeron
α′EXP = 0.25 GeV−2 ; α0EXP = 1.08
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Trajetoria de Regge para Glueballs e o Pomeron (2)
5 10 15 20 25 30 35 40
2
4
6
8
10
M 2 (GeV
2 )
J
Condicoes de Neumann
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Plasma de quarks e gluons
Em altas temperaturas, as interacoes fortes ficam
desconfinadas, formando um plasma de quarks e gluons.
Esse plasma existe em estrelas muito densas e quentes e ecriado em colisoes de ıons pesados, realizadas no RHIC, em
Brookhaven, EUA.
Os resultados do RHIC indicam que esse plasma se comportacomo um fluido ideal, isto e, um sistema fortemente
interagente porem com viscosidade muito pequena.
O primeiro calculo de viscosidade desse sistema compatıvel comos resultados experimentais foi feito por Policastro, Son e
Starinets (PRL 2001) usando o modelo de Witten (buraconegro no AdS) com temperatura finita ( 6= 0).
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AdS/CFT e Confinamento
Maldacena (PRL 1998) mostrou como usar a correspondenciaAdS/CFT para calcular as linhas de Wilson, que descrevem o
comportamento confinante/desconfinante de teorias de calibre.
Ele calculou essa quantidade para a teoria SU(N) supersi-metrica N = 4 em 4d, a partir de cordas no AdS5 × S5.
O resultado que ele encontrou foi que essa teoria nao e
confinante, isto e, um par partıcula antipartıcula pode serseparado com uma energia finita.
No modelo de parede rıgida, foi mostrado que a teoria e
confinante, como ocorre com quarks e antiquarks num meson(HBF, Braga e Ferreira, PRD 2006).
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Outras aplicacoes
Outros problemas na Fısica de partıculas, como o espalhamento
profundamente inelastico, tambem podem ser descritos atravesde modelos inspirados na correspondencia AdS/CFT. Veja, por
exemplo:
• Polchinski e Strassler, JHEP 2002;
• Ballon Bayona, HBF e Braga, JHEP 2008 a, b, c;
• Miranda, Ballon Bayona, HBF e Braga, JHEP 2009;
• Ballon Bayona, HBF, Braga e Torres, JHEP 2010.
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Para informacoes sobre o grupo de Teoria de Cordasdo IF - UFRJ acesse a pagina:
http : //omnis.if.ufrj.br/∼boschi/grupo−cordas.html