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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA
UNIBAN
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
MAYARA MAIA ESTEVES
ESTRUTURAS ADITIVAS: UMA ANÁLISE DAS SITUAÇÕES E RECURSOS
CONTIDOS EM DIFERENTES COLEÇÕES DE MATERIAIS DIDÁTICOS PARA OS
ANOS INICIAIS
SÃO PAULO
2013
MAYARA MAIA ESTEVES
ESTRUTURAS ADITIVAS: UMA ANÁLISE DAS SITUAÇÕES E RECURSOS
CONTIDOS EM DIFERENTES COLEÇÕES DE MATERIAIS DIDÁTICOS PARA OS
ANOS INICIAIS
Dissertação apresentada como exigência parcial à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante Anhanguera a título de MESTRE em Educação Matemática, sob orientação da Professora Doutora Maria Elisa Esteves Lopes Galvão.
SÃO PAULO
2013
Banca Examinadora
_______________________________
_______________________________
_______________________________
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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total e parcial desta Dissertação por processos de fotocópias ou eletrônicos.
Assinatura Local e data
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AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus pela coragem, determinação e por me
sustentar nos momentos mais difíceis. Que minhas atitudes sejam, diariamente, o
reflexo deste sentimento de gratidão.
Quero agradecer eternamente a todos que contribuíram e me auxiliaram na
relização deste trabalho.
À Profª Drª Maria Elisa Esteves Lopes Galvão, pela sabedoria, incentivo,
críticas, sugestões, paciência e por acreditar no meu trabalho. Tê-la como
professora e poder compartilhar de seus conhecimentos foram um privilégio, muito
obrigada.
À professora Angélica da Fontoura Garcia Silva pelo carinho e apoio no
desenvolvimento deste trabalho. Foi uma honra tê-la como professora desde minha
licenciatura, obrigada.
A todos os professores e colegas do Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática da UNIBAN por todo o aprendizado, experiência e
principalmente pela amizade que proporcionaram. Em especial às professoras Vera
Helena Giusti de Souza, Rosana Nogueira de Lima, Verônica Yumi Kataoka e Maria
Helena Palma de Oliveira por todo carinho.
Aos colegas do grupo de pesquisa Observatório da educação pelos
momentos de discussão e aprendizado.
À Flávia Regina, minha mãe e, acima de tudo minha amiga, que sempre
acreditou em mim, me incentivando e me dando coragem para vencer as barreiras e
enfrentar os obstáculos. Fica aqui o meu obrigado especial.
Ao meu companheiro e amigo Renato Calixto, que me apoiou em todos os
momentos, me dando forças para levantar todas as vezes que eu enfraquecia e não
tinha mais esperança para continuar, muito obrigada.
A todos os familiares e amigos que, direta e indiretamente, me ajudaram
nesta jornada, em especial à minha irmã Nathália, minha querida avó Lúcia, ao Lik,
aos tios Renato, Tuca, Hugo, Graciela, e a todos os outros que não mencionei aqui.
A Capes pela bolsa de estudos concedida a mim.
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“Que os vossos esforços desafiem as
impossibilidades, lembrai-vos de que as grandes
coisas do homem foram conquistadas do que
parecia impossível.”
Charles Chaplin
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RESUMO
ESTRUTURAS ADITIVAS: UMA ANALISE DAS SITUAÇÕES E RECURSOS CONTIDOS EM DIFERENTES COLEÇÕES DE MATERIAIS DIDÁTICOS PARA OS ANOS INICIAIS
A motivação para esse trabalho surgiu nos encontros do projeto Observatório da Educação: Educação continuada de professores das séries iniciais do Ensino Fundamental e resultados de pesquisas em Educação Matemática: uma investigação sobre as transformações da prática docente, do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNIBAN. Nosso objetivo foi analisar, à luz da Teoria dos Campos Conceituais, as situações do Campo Conceitual Aditivo e os recursos didáticos encontrados em quatro Coleções de materiais didáticos de Matemática voltadas aos anos iniciais do Ensino Fundamental. Uma pesquisa documental nos possibilitou uma abordagem qualitativa dos dados. Para isso estruturamos instrumentos a fim de organizar e classificar os problemas propostos e propiciar a elaboração de um detalhamento de cada coleção. Observamos a classificação dos problemas de acordo com as categorias estabelecidas por Vergnaud; analisamos os tipos de problemas, os recursos didáticos oferecidos e também examinamos as coleções em relação às resenhas de avaliação do Programa Nacional do Livro Didático PNLD (2010). Um estudo comparativo nos forneceu subsídios para verificar que as quatro Coleções propõem situações diversificadas, porém, apenas algumas delas oferecem uma quantidade significativa de problemas e uma distribuição equitativa da classificação quanto às categorias, aos tipos de problemas e aos recursos didáticos, de forma a contribuir para a construção de esquemas na resolução dos problemas. Os resultados demonstraram que muitas das situações podem ser classificadas segundo as categorias de relações básicas (elementares) estabelecidas na Teoria dos Campos Conceituais, mas que encontramos também situações que Vergnaud aponta como situações complexas. Esse olhar detalhado para as situações pode contribuir com o trabalho dos docentes da Educação Básica, sugerindo uma forma de análise que os oriente ou os auxilie na seleção de seu material de trabalho.
Palavras-chave: Campo Conceitual Aditivo, materiais didáticos, situações, anos inicias.
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ABSTRACT
ADDITIVE STRUCTURES: AN ANALYSIS OF DIFFERENT CONDITIONS CONTAINED IN COLLECTIONS OF EDUCATIONAL MATERIALS FOR THE EARLY YEARS The motivation for this work arose in project meetings Observatory Education: Continuing education for teachers in the early grades of elementary school and research results in Mathematics Education: an investigation of the transformation of teaching practice, the Graduate Program in Mathematics Education UNIBAN. Our aim was to examine, in the light of the Theory of Conceptual Fields, situations of additive conceptual field and didactic resources found in four collections of mathematics didactic materials aimed at the early years of elementary school. A documentary survey enabled us to approach qualitative data. For this structured instruments to organize and classify the proposed problems and encourage the development of a breakdown of each collection. Observe the classification of problems according to the categories established by Vergnaud, we analyze the types of problems, didactic resources offered and also examine the collections in relation to reviews of evaluation of the National Textbook Program PNLD (2010). A comparative study on subsidies provided to verify that the four Collections propose different situations, but only some of them offer a significant amount of problems and an equitable distribution of classification as the categories, the types of problems and didactic resources in order to contribute for the construction of schemes in solving problems. The results showed that many of the situations can be classified according to the categories of basic relations (elementary) established in the Theory of Conceptual Fields, but we also find situations that Vergnaud points as complex situations. This detailed look at situations can contribute to the work of teachers of basic education, suggesting a form of analysis that orient or assist in the selection of material for labor. Key words: Conceptual Field Additive, instructional materials, situations, initial years.
10
SUMÁRIO
RESUMO..................................................................................................................... 8
ABSTRACT ................................................................................................................. 9
SUMÁRIO ................................................................................................................. 10
LISTA DE ILUSTRAÇÕES ....................................................................................... 12
LISTA DE TABELAS ................................................................................................ 13
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 15
1 REVISÃO DE LITERATURA ................................................................................. 19
2 REFERENCIAL TEÓRICO ..................................................................................... 29
2.1 A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS ...................................................... 29
2.1.1 Campo Conceitual Aditivo ............................................................................. 34
3 PCN E PNLD .......................................................................................................... 47
3.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PCN (1997) .................................................. 47
3.1.1 Os objetivos dos PCN (1997) ........................................................................ 47
3.1.2 Dados estatísticos de avaliação .................................................................... 51
3.1.3 Resolução de problemas e a Teoria dos Campos Conceituais ..................... 51
3.1.4 Recursos didáticos ........................................................................................ 53
3.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PNLD 2010 .................................................. 55
3.2.1. Critérios eliminatórios comuns ...................................................................... 56
3.2.2. Critérios específicos da área de Matemática ................................................. 57
3.2.3. Estruturação das resenhas de avaliação dos livros didáticos ....................... 58
4 METODOLOGIA .................................................................................................... 61
4.1 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ......................................................... 61
4.1.1. Pré-análise ................................................................................................. 62
4.1.1.1 Levantamento das Coleções ...................................................................... 62
4.1.2. Exploração do material ............................................................................... 63
4.1.2.1. Elaboração dos instrumentos de coleta de dados ...................................... 63
4.1.3. Tratamento dos resultados ......................................................................... 64
5 ANÁLISE DOS DADOS ......................................................................................... 67
5.1. COLEÇÃO 1 ............................................................................................... 68
5.1.1. Classificação das situações segundo as categorias de Vergnaud (1982) na TCC ............................................................................................................ 68
5.1.2. Recursos didáticos ............ ........................................................................71
11
5.1.3. Exame da Coleção segundo critérios do Guia de Livros Didáticos PNLD 2010 ................................................................................................................ 72
5.2 COLEÇÃO 2 ............................................................................................... 74
5.2.1. Classificação das situações segundo as categorias de Vergnaud (1982) na TCC............................................................................................................... ..... 74
5.2.2 Recursos didáticos ..................................................................................... 78
5.2.3. Exame da Coleção segundo critérios do Guia de Livros Didáticos PNLD 2010 ............................................................................................................... 79
5.3 COLEÇÃO 3 ............................................................................................... 81
5.3.1. Classificação das situações segundo as categorias de Vergnaud (1982) na TCC.............................................................................................................. ...... 81
5.3.2 Recursos didáticos ..................................................................................... 85
5.3.3. Exame da Coleção segundo critérios do Guia de Livros Didáticos PNLD 2010 ............................................................................................................... 86
5.4 COLEÇÃO 4 ............................................................................................... 88
5.4.1. Classificação das situações segundo as categorias de Vergnaud (1982) na TCC............................................................................................................... ..... 88
5.4.2 Recursos didáticos ..................................................................................... 91
5.4.3. Exame da Coleção segundo critérios do Guia de Livros Didáticos PNLD 2010 ............................................................................................................... 92
5.5 ESTUDO COMPARATIVO ENTRE AS COLEÇÕES ................................. 93
5.5.1 Categorias de Vergnaud (1982) e tipos de problemas .............................. 93
5.5.2 Recursos didáticos ..................................................................................... 98
5.5.3 Critérios de avaliação do PNLD 2010 ..................................................... 101
5.6 SÍNTESE DO CAPÍTULO ......................................................................... 102
CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 104
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 111
APÊNDICE A - CLASSIFICAÇÃO DAS SITUAÇÕES DO CAMPO ADITIVO DE ACORDO COM AS CATEGORIAS DA TCC ........................................................... 114
APÊNDICE B - CLASSIFICAÇÃO DAS SITUAÇÕES DO CAMPO ADITIVO DE ACORDO COM OS RECURSOS DIDÁTICOS ....................................................... 115
APÊNDICE C - EXEMPLOS DE PROBLEMAS TIPO 1 E 2.................................... 116
ANEXO A – CRITÉRIOS RETIRADOS DO GUIA DE LIVROS DIDÁTICOS PNLD 2010 ................................................................................................ 117
ANEXO B – PROBLEMAS QUE NÃO SE ENQUDRAM NAS CATEGORIAS BÁSICAS DE RELAÇÕES ADITIVAS DA TCC ...................................................... 119
12
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 - Códigos estabelecidos por Vergnaud ....................................................... 37
Figura 2 - Relações aditivas elementares ................................................................ 44
Figura 3 - Exemplo de “problema complexo” ............................................................ 45
Figura 4 - Exemplo de “problema complexo” ............................................................ 45
Figura 5 - Abordagem dos conteúdos ..................................................................... 59
Figura 6 - Classificação geral dos problemas, Coleção 1 ........................................ 68
Figura 7 - Classificação dos tipos de problemas e categorias de Vergnaud,
Coleção 1 .................................................................................................................. 70
Figura 8 - Classificação dos recursos didáticos, Coleção 2 (2o ao 5oanos) .............. 71
Figura 9 - Classificação geral dos problemas, Coleção 2 ........................................ 75
Figura 10 - Classificação dos tipos de problemas e categorias de Vergnaud,
Coleção 2 .................................................................................................................. 77
Figura 11 - Classificação dos recursos didáticos, Coleção 2 (2º ao 5º anos) ........... 78
Figura 12 - Classificação geral dos problemas, Coleção 3 ..................................... 81
Figura 13 - Classificação dos tipos de problemas e categorias de Vergnaud,
Coleção 3 ................................................................................................................ 84
Figura 14 - Classificação dos recursos didáticos, Coleção 3 (2º ao 5º anos) ........... 86
Figura 15 - Classificação geral dos problemas, Coleção 4 ....................................... 89
Figura 16 - Classificação dos tipos de problemas e categorias de Vergnaud,
Coleção 4 ................................................................................................................ 90
Figura 17 - Classificação dos recursos didáticos, Coleção 4 (3º ao 5º anos) ........... 91
Figura 18 - Classificação geral dos problemas do 2o ao 5o ano - Coleção 1 a 4 .... 94
Figura 19 - Tipos de situações do 2º ao 5º anos - Coleção 1 a 4 ............................ 97
Figura 20 - Recursos didáticos do 2o ao 5o anos - Coleção 1 a 4 ............................ 99
13
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Classificação geral, Coleção 1 ........................................................................... 68
Tabela 2 - Classificação dos tipos de problemas ..................................................... 69
Tabela 3 - Classificação dos tipos de problemas ................................................................ 69
Tabela 4 - Classificação dos tipos de problemas ................................................................ 69
Tabela 5 - Classificação dos tipos de problemas ................................................................ 69
Tabela 6 - Classificação dos recursos didáticos, Coleção 1 ................................... 71
Tabela 7 - Classificação geral, Coleção 2 ............................................................................... 74
Tabela 8 - Classificação dos tipos de problemas ..................................................... 75
Tabela 9 - Classificação dos tipos de problemas ................................................................ 76
Tabela 10 - Classificação dos tipos de problemas .............................................................. 76
Tabela 11 - Classificação dos tipos de problemas .............................................................. 76
Tabela 12 - Classificação dos recursos didáticos, Coleção 2 .......................................... 78
Tabela 13 - Classificação geral, Coleção 3............................................................................. 81
Tabela 14 - Classificação dos tipos de problemas .............................................................. 82
Tabela 15 - Classificação dos tipos de problemas .............................................................. 82
Tabela 16 - Classificação dos tipos de problemas .............................................................. 82
Tabela 17 - Classificação dos tipos de problemas .............................................................. 82
Tabela 18 - Classificação dos recursos didáticos, Coleção 3 .......................................... 85
Tabela 19 - Classificação geral, Coleção 4 ........................................................................... 88
Tabela 20 - Classificação dos tipos de problemas .............................................................. 89
Tabela 21 - Classificação dos tipos de problemas .............................................................. 89
Tabela 22 - Classificação dos tipos de problemas .............................................................. 90
Tabela 23 - Classificação dos recursos didáticos, Coleção 4 ........................................... 91
Tabela 24 - Classificação geral do 2o ao 5o anos, Coleção 1 a Coleção 4 ................... 93
14
Tabela 25 - Tipos de situações do 2o ao 5o anos, Coleção 1 a 4 .................................... 97
Tabela 26 - Recursos didáticos - 2o ao 5o anos, Coleção 1 a 4 ....................................... 98
15
INTRODUÇÃO
Ensinar conceitos matemáticos que envolvam as estruturas aditivas nos anos
iniciais do Ensino Fundamental é um desafio para professores desta área, como foi
possível vivenciar no contato com os participantes do projeto Observatório da
Educação: “Educação continuada de professores das séries iniciais do Ensino
Fundamental e resultados de pesquisas em educação matemática: uma investigação
sobre as transformações da prática docente” junto ao Programa de Pós-Graduação
em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN.
Neste projeto, analisamos as transformações da prática docente de professores das
séries iniciais do Ensino Fundamental estimulados às inovações didático-
pedagógicas em sala da aula, que são fruto de discussões sobre resultados de
pesquisa em Educação Matemática. Dele participam professores da Educação
Básica, docentes, mestrandos e doutorandos do Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática da UNIBAN das linhas de pesquisa Ensino e Aprendizagem
de Matemática e suas inovações e Formação de Professores que ensinam
Matemática e alunos da Licenciatura em Matemática.
O primeiro módulo do projeto Observatório da Educação tratou do bloco de
conteúdo Números e Operações1, tendo por referencial os estudos da Teoria dos
Campos Conceituais de Gérard Vergnaud, e, mais especificamente, o Campo
Conceitual Aditivo.
Nesses encontros e com nossa experiência na prática docente, observamos a
importância da mobilização de diversos recursos para introduzir os conceitos e
abordar as situações-problema no trabalho com estudantes dos anos iniciais, em
especial, no que se refere ao Campo Conceitual das Estruturas Aditivas.
1 Segundo os PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais), os currículos de Matemática para o
Ensino Fundamental devem contemplar os blocos de conteúdo: Números e Operações (Aritmética e Álgebra); espaço e forma (Geometria); Grandezas e Medidas (interligação entre os campos da Aritmética, Álgebra e geometria) e Tratamento da Informação (Estatística, Probabilidade e Combinatória). (BRASIL, 1997b, p.38).
16
Segundo Vergnaud (2009), o funcionamento cognitivo do sujeito se assenta
sobre seus repertórios de esquemas já formados e as crianças descobrem novos
esquemas ou aperfeiçoam os anteriores em diferentes situações2. Portanto, é
importante que o material didático ofereça essas situações de aprendizagem que
podem propiciar ao aluno uma multiplicidade de experiências para que, ao defrontá-
las e, aos poucos, dominá-las, se dê a formação dos conhecimentos matemáticos.
Essa preocupação e conscientização foram à motivação para o
desenvolvimento desta pesquisa, na qual temos como objetivo principal:
ANALISAR AS SITUAÇÕES DO CAMPO CONCEITUAL ADITIVO E OS
RECURSOS DIDÁTICOS ENCONTRADOS EM QUATRO COLEÇÕES DE
MATERIAIS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA, VOLTADAS AOS ANOS INICIAIS,
OBSERVANDO QUAIS AS POSSIBILIDADES POR ELES OFERECIDAS PARA
FAVORECER A CONSTRUÇÃO DE ESQUEMAS PELO ALUNO AO LONGO DOS
ANOS.
Esse objetivo nos leva a delimitar os seguintes objetivos específicos:
classificar as situações propostas nas Coleções de acordo com as categorias
de relações básicas estabelecidas por Vergnaud e os recursos didáticos
apresentados nos materiais selecionados;
examinar as Coleções de acordo com critérios utilizados nas resenhas de
avaliação dos materiais citados no Guia de Livros Didáticos PNLD 2010;
comparar as quatro Coleções observando a multiplicidade de situações
oferecidas, evolução das situações apresentadas e seus recursos didáticos.
Assim, foram fixadas, em nossa investigação, as seguintes questões
de pesquisa:
1. É POSSÍVEL CLASSIFICAR AS SITUAÇÕES ADITIVAS ENCONTRADAS
EM QUATRO COLEÇÕES DE MATERIAIS DIDÁTICOS DE
MATEMÁTICA, SEGUNDO QUATRO CATEGORIAS DE RELAÇÕES
BÁSICAS DA TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS?
2 Estamos tomando “situação” como sinônimo de “situação-problema”.
17
2. QUE TIPOS DE RECURSOS DIDÁTICOS ESTÃO DISPONÍVEIS NAS
COLEÇÕES DE MATERIAIS DIDÁTICOS?
3. QUAIS OS ASPECTOS EM COMUM E AS DIFERENÇAS ENTRE AS
COLEÇÕES DE MATERIAIS DIDÁTICOS?
Delimitados os objetivos e questões fundamentais de nossa pesquisa, nos
propusemos a segui-los (os objetivos) e respondê-las com base em uma abordagem
qualitativa apoiada na ideia de Dias (2000), citando Bradley (1993), quando aponta
que, em pesquisas com esse tipo de abordagem, “as grandes massas de dados são
quebradas em unidades menores e, em seguida, reagrupadas em categorias que se
relacionam entre si de forma a ressaltar padrões, temas e conceitos” (p. 02).
Nossa análise não prevê um estudo intervencionista com aplicação de uma
sequência de ensino como a pesquisa de Santana (2010) e, de maneira diferente da
de Oliveira Filho (2009), que analisou livros didáticos observando o impacto dos
PNLDs de 2004 e 2007 no tratamento dos problemas de Estrutura Aditiva e
Multiplicativa, trata-se de uma pesquisa documental baseada na ideia de Gil (2010) -
que é um tipo de investigação elaborada a partir de “dados já existentes” (GIL, 2010,
p. 30) - retirados de materiais publicados, na qual pretendemos verificar as
possibilidades oferecidas por diferentes Coleções de materiais didáticos para
favorecer a construção de esquemas por alunos dos anos iniciais do Ensino
Fundamental, examinando as situações aditivas, quanto a sua natureza (de acordo
com as categorias de Vergnaud), e quanto a sua forma de apresentação (de acordo
com os tipos de problemas e seus recursos didáticos).
Cabe ressaltar que dentre as quatro Coleções apuradas para o presente
estudo, os volumes que são destinados aos alunos do 1o ano não foram
selecionados, pois só tivemos acesso a materiais destinados a esse ano de duas
das quatro Coleções selecionadas.
Para atender a nossos objetivos e solucionar a problemática inicial,
embasadas na Teoria dos Campos Conceituais e recomendações dos documentos
oficiais voltados aos anos iniciais do Ensino Fundamental, elaboramos um
detalhamento de cada Coleção, observando a classificação de acordo com as
18
categorias estabelecidas por Vergnaud, os tipos de problemas, os recursos didáticos
oferecidos e de acordo com as resenhas de avaliação do PNLD (2010). Foi realizado
um estudo comparativo entre as Coleções buscando analisar a evolução das
situações, ao longo dos anos.
No delineamento de nosso estudo, tem-se:
No Capítulo I, a apresentação da revisão de literatura, com o objetivo de
destacar pesquisas relacionadas a nosso trabalho, pesquisas, estas, que
contemplam aspectos relativos à análise de livros didáticos de uma forma geral;
avaliação dos vários tipos de atividades neles contidas e propostas de suporte ou
recurso didático para o ensino de Matemática nos anos iniciais do Ensino
Fundamental;
No Capítulo II, são apresentados os principais aspectos do referencial teórico
de nossa pesquisa. Encontramos na Teoria dos Campos Conceituais os subsídios
essenciais para a fundamentação de nosso trabalho;
No Capítulo III, é feita uma breve passagem pelos documentos oficiais: Os
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e o Programa Nacional do Livro Didático
(PNLD). No exame desses documentos, foram selecionados pontos fundamentais
condizentes com os intuitos da pesquisa;
O Capítulo IV refere-se à descrição dos aspectos e dos procedimentos
metodológicos que permeiam o desenvolvimento desta pesquisa;
No Capítulo V, são descritas as análises elaboradas a partir dos dados
coletados acerca das Coleções selecionadas para este estudo.
Por fim, têm-se as considerações finais com discussões e reflexões sobre os
resultados da nossa investigação.
19
CAPÍTULO I
REVISÃO DE LITERATURA
Como subsídio para analisar as situações do Campo Conceitual Aditivo
encontradas em Coleções de materiais didáticos de Matemática, voltadas aos anos
iniciais, buscamos alguns resultados de pesquisa nessa área. Neles, estão
contemplados aspectos relacionados à análise de livros didáticos de uma forma
geral, dos vários tipos de atividades relacionadas às Estruturas Aditivas, às
propostas de suporte ou recurso didático na abordagem desse tipo de atividade,
bem como a utilização de jogos e materiais concretos para o ensino de Matemática
nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Destacamos as pesquisas de: Santana (2010) que buscou analisar, com base
na Teoria dos Campos Conceituais, as contribuições que uma sequência de ensino,
elaborada para a utilização de diferentes suportes didáticos traz para o domínio do
Campo Conceitual Aditivo e para os alunos dos anos iniciais do Ensino
Fundamental; Oliveira Filho (2009), que analisou a abordagem dada aos problemas
de Estruturas Aditivas e Multiplicativas em livros didáticos, quanto aos significados
das operações e quanto às formas de representação simbólicas das situações-
problema, observando o impacto do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) no
tratamento desses problemas; Oliveira (2007), que investigou a maneira como estão
sendo tratados os livros didáticos de Matemática do Ensino Fundamental por
professores da rede municipal do Recife; Campos (2009), que analisou a presença
de jogos e materiais concretos encontrados em livros didáticos de Matemática das
séries iniciais a fim de contribuir para uma discussão na qual considera as diferentes
dimensões e conotações, como a cultural, a política, a pedagógica, dentre outras,
desses jogos e materiais concretos.
Encontramos em Santana (2010) a preocupação com a busca do
esclarecimento de como se dá o processo de aprendizagem das estruturas aditivas
dos alunos das séries iniciais, de quais as dificuldades dos estudantes na resolução
de problemas e de quais materiais didáticos podem ser utilizados com vista a um
melhor aproveitamento para esse processo de aprendizagem. Em sua tese de
doutorado em Educação Matemática, Santana (2010) apontou como objetivo geral:
20
“avaliar as contribuições que uma sequência de ensino, baseada na classificação
proposta pela Teoria dos Campos Conceituais, traz para o domínio do Campo
Aditivo por estudantes da 3ª série do Ensino Fundamental”. (SANTANA, 2010, p.24).
Seu objetivo específico foi: “avaliar se a utilização de suportes didáticos distintos
produz efeitos diferentes no domínio do campo conceitual aditivo”. (SANTANA, 2010,
p.24). Foram definidas as seguintes questões para a pesquisa:
1. Quais as contribuições que uma sequência de ensino baseada na classificação proposta pela Teoria dos Campos Conceituais traz para o domínio do Campo Aditivo por estudantes da 3ª série do Ensino Fundamental?
2. Considerando uma sequência de ensino baseada na classificação proposta pela Teoria dos Campos Conceituais, a utilização de suportes didáticos distintos traz diferença na expansão do Campo Conceitual Aditivo de estudantes da 3ª série do Ensino Fundamental?
3. Existe supremacia na utilização de um desses suportes? Se sim, em quê? (SANTANA, 2010, p.24).
A Teoria dos Campos Conceituais de Gerard Vergnaud (1982, 1996)
subsidiou a elaboração da pesquisa. O foco do estudo de Santana (2010) foi o
Campo Conceitual Aditivo, a autora optou por considerar uma classificação das
situações-problema das Estruturas Aditivas seguindo as propostas por Vergnaud
(1982, 1991, 1996). As categorias de problemas adotadas por (SANTANA, 2010),
foram:
Composição: situações nas quais se têm partes e um todo;
Transformação: situações nas quais se tem um estado inicial, uma
transformação e um estado final;
Comparação: situações nas quais é estabelecida uma relação de
comparação entre duas quantidades;
Composição de várias transformações: situações nas quais são dadas
transformações e a partir da composição dessas se busca uma nova
transformação;
Transformação de uma relação: situações nas quais é dada uma relação
estática e a partir da transformação desta é gerada uma nova relação
estática;
Composição de relações estáticas: duas ou mais relações estáticas se
compõem para dar lugar a outra relação estática.
Seu trabalho consistiu em um estudo intervencionista classificado como
quase-experimental com grupos de controle e experimental e a aplicação de uma
sequência de ensino. Participaram da pesquisa 98 estudantes sendo 46 deles
21
subdivididos em dois grupos experimentais e 52 em dois grupos de controle. Todos
os quatro grupos responderam a pré e pós-testes, os grupos de controle tiveram oito
aulas com suas professoras sobre Estrutura Aditiva, e os experimentais tiveram oito
encontros para a aplicação da intervenção de ensino. Um dos grupos experimentais
trabalhou com situações-problema do tipo aditivo ancorado no material didático: o
material dourado e o ábaco; o trabalho com o outro grupo se ancorou no material
representacional, baseado nos diagramas de Vergnaud. A autora optou pela
utilização desses materiais didáticos por serem de fácil acesso ou de fácil aquisição
para os professores, e por serem passíveis de manipulação.
A pesquisadora enfatizou que
a ideia fundamental de uso do material didático é que esse uso seja reflexivo, que o estudante seja confrontado com situações de forma que não seja atraído apenas pelo uso do material, mas também pelas operações e conceitos envolvidos... (SANTANA, 2010, p. 104).
Os principais resultados, segundo Santana (2010), mostraram que a média de
acertos dos grupos de controle foi de 43% no pré-teste e 42% no pós-teste; já os
experimentais partiram de uma média de 47% no pré-teste e chegaram a 77% no
pós-teste, ou seja, “uma sequência de ensino baseada na classificação proposta na
Teoria dos Campos Conceituais para as situações-problema aditivas melhorou
significativamente o desempenho dos estudantes da 3ª série do Ensino
Fundamental” (p. 270). A autora detectou também que os estudantes que tiveram
contato com a sequência de ensino baseada nos métodos tradicionais da escola,
não obtiveram o mesmo desempenho que os outros. Ela constatou que “a principal
contribuição que a sequência de ensino trouxe para os estudantes foi à apropriação
e consequente expansão das estruturas aditivas.” (SANTANA, 2010, p. 271).
Verificou que a utilização de alguns suportes didáticos, como o material dourado, o
ábaco e um material representacional baseado nos diagramas de Vergnaud não
ofereceram grandes diferenças no avanço dos conhecimentos do Campo Aditivo.
Buscamos, em nosso estudo, observar a maneira como as coleções didáticas
propõem as situações do Campo Aditivo, ou seja, se estas recomendam situações
que podem ser classificadas de acordo com as categorias estabelecidas na Teoria
dos Campos Conceituais (TCC) que têm sua importância no desenvolvimento da
capacidade de resolver situações-problema do Campo Aditivo, conforme os
resultados da pesquisa de Santana (2010).
22
Oliveira Filho (2009) sustentou seus estudos na análise da abordagem de
problemas de Estruturas Aditivas e Multiplicativas em livros didáticos de Matemática
do Ensino Fundamental. O objetivo de sua pesquisa foi analisar coleções de livros
didáticos de Matemática presentes nos Guias do PNLD de 2004 e 2007 (de 1ª à 4ª
séries) e de 2005 e 2008 (de 5ª à 8ª séries), buscando observar o impacto desse
plano no tratamento dos problemas de Estrutura Aditiva e Multiplicativa, quanto aos
significados das operações apresentados e quanto às formas de representação
simbólicas utilizadas em situações-problema. Sua pesquisa foi fundamentada na
Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1987) e em Carpenter e Moser (1982)
no que se refere à classificação dos problemas de Estrutura Aditiva. Oliveira Filho
(2009) adotou a mesma categorização de Carpenter e Moser (1982) para os tipos de
problemas aditivos: “combinação”, “mudança”, “comparação” e “igualização”. Quanto
à classificação dos problemas de Estrutura Multiplicativa baseou-se nos estudos de
Terezinha Nunes e Peter Bryant (1997) que categorizam esses problemas, quanto a
seus significados, como “correspondência um-a-muitos” - subdivididos em:
“multiplicação”, “inverso da multiplicação”, “produto cartesiano” e “distribuição”.
O autor adotou como amostra 12 volumes de livros didáticos de Matemática,
cujas resenhas constaram nos Guias do PNLD de 2004 e 2007 (3ª série) e 2005 e
2008 (5ª série). Posteriormente, elaborou fichas para o levantamento de dados
objetivando uma classificação dos significados das operações e das representações
simbólicas envolvidas nos problemas propostos nos livros escolhidos. A partir dos
dados colhidos
foi efetuado um estudo comparativo quanto aos avanços, ou não, encontrados em termos de significados envolvidos e representações utilizadas e solicitadas, buscando contatar se houve, ou não, influência do PNLD nos problemas apresentados em diferentes edições e níveis de ensino distintos dos Guias do Livro Didático produzidos pelo MEC. (OLIVEIRA FILHO , 2009, p. 74).
O estudo apontou os seguintes resultados:
Quanto à diversidade de tipos de problemas aditivos e multiplicativos
trabalhados e quanto às formas de representação simbólica de apresentação
dos problemas sugeridos para uso por parte dos alunos, não foram
evidenciadas mudanças entre as edições anteriores e posteriores no terceiro
e quinto volumes das coleções analisadas;
Quanto aos problemas aditivos os mais usuais são os de “Combinação” e
também os de “Mudança”, que prevalecem em todos os volumes. As coleções
23
contêm poucos problemas de “igualização” e de “comparação”. O autor
também constatou que não há uma distribuição equitativa das subcategorias
destes tipos de problema, diferentemente dos problemas multiplicativos que,
quando comparados com os aditivos, apresentam-se melhor distribuídos;
essa distribuição não foi considerada ideal, pois não foi encontrado nenhum
problema inverso de “produto cartesiano” nos livros analisados.
Quando se refere às representações simbólicas também não foram
encontradas diferenças significativas em relação às edições anteriores e
posteriores das coleções. Os problemas predominantes são os de que
apenas o enunciado é apresentado sem uso de recursos auxiliares. Não são,
frequentemente, estimuladas atividades com jogos, o uso de calculadora e de
materiais manipulativos, “cujas formas de representação podem ser úteis ao
desenvolvimento do raciocínio aditivo e multiplicativo de alunos do Ensino
Fundamental.” (OLIVEIRA FILHO , 2009, p. 09) Poucas atividades envolvem
o cálculo mental e a utilização de gráficos e tabelas.
Oliveira Filho (2009, p.129) concluiu, pela análise dos documentos, que o
PNLD tem estimulado melhorias na qualidade dos livros didáticos, mas “não se pode
afirmar que o PNLD de Matemática tenha influenciado na distribuição equitativa das
subcategorias dos problemas de estrutura aditiva e multiplicativa”. Também conclui
que o PNLD, evidentemente, não influenciou na variedade de escolha das formas de
representação simbólica dos problemas aditivos e multiplicativos, nem na forma de
apresentação das situações-problema e, não, também, nas sugestões dadas aos
alunos. Segundo o autor, o PNLD é referência para o sucesso da política
educacional brasileira, mas faz uma ressalva:
constata-se que a análise dos livros didáticos não pode estar sujeita apenas a um único tipo de avaliação, e que outras formas de avaliar livros didáticos são necessárias para que possam ser evidenciados outros aspectos das propostas dos livros, de forma que os mesmos possam se adequar às necessidades exigidas pelo atual contexto da educação matemática. (OLIVEIRA FILHO , 2009, p. 129).
Ele constatou que alguns aspectos dos livros didáticos ainda precisam ser
melhorados com vista em avanços no desenvolvimento das Estruturas Aditivas e
Multiplicativas.
Assim como Oliveira Filho (2009), nosso estudo visa analisar as Estruturas
Aditivas propostas em Coleções de materiais didáticos de Matemática voltados ao
Ensino Fundamental. Porém, o autor observou as situações sob dois aspectos: a
classificação de acordo com a sua natureza e a sua forma de representação
simbólica e, em nossa investigação, será considerada a classificação das situações
24
de acordo com as categorias de Vergnaud e os recursos didáticos de apresentação
dessas situações. O estudo de Oliveira Filho (2009) buscou observar o impacto do
PNLD no tratamento dos problemas de e=Estrutura Aditiva e Multiplicativa de 2004 a
2007 e nossa maior preocupação está na maneira como as Coleções propõem
situações que contribuam, ou não, para o favorecimento da construção de
esquemas de ação pelo aluno.
Encontramos essa preocupação, com relação à utilização dos materiais
didáticos em sala de aula, nos estudos de Oliveira (2007). Ela afirma que o livro
didático ao longo da história da educação escolar vem se constituindo como
importante recurso, senão o mais importante, utilizado por professores e alunos, o
que a motivou buscar conhecer como os professores trabalham os conteúdos
matemáticos abordados nesses livros em suas práticas docentes. Neste sentido, o
seu estudo teve por objetivo investigar de que forma estão sendo utilizados os livros
didáticos de Matemática por professores das séries iniciais do Ensino Fundamental,
na Rede Municipal de Ensino do Recife. Seu referencial teórico baseou-se no
histórico e na concepção de livro didático de alguns autores como Batista, Oliveira,
Guimarães e Momény, Cavalcanti, Gatti Júnior, Bittencourt, Plane, dentre outros.
Para análise dos dados tomou como referência as ideias de Bardin sobre análise de
conteúdo temático.
A autora realizou dois estudos com quinze professores que atuam na Rede
Municipal de Ensino de Recife. No primeiro estudo, os professores foram
entrevistados. Nestas entrevistas eles falaram sobre: sua formação, tempo de
magistério, seus objetivos para o ensino de representações gráficas e resolução de
problemas de Estruturas Aditivas, uso do livro didático, dentre outras questões, a fim
de averiguar as práticas de representações gráficas e resolução de problemas de
Estruturas Aditivas desenvolvidas pelos professores. Também foi traçado um perfil
de cada de cada um deles para a identificação das relações existentes ou não, entre
os seus perfis e o uso do livro didático. O estudo mostrou que dez professores
utilizavam o livro didático em suas aulas e cinco não o utilizavam em função da
perspectiva de continuidade na carreira docente, ou seja, esses professores não
tinham mais a intenção de trabalhar com o ensino de Matemática, tinham planos de
outros projetos.
O segundo estudo consistiu em observações das aulas de quatro professores,
sendo quatro aulas sobre tratamento da informação e quatro sobre Estrutura Aditiva,
25
buscando investigar como eram, efetivamente, utilizados os livros didáticos em sala
de aula. A autora se propunha a verificar se o fato de o conteúdo (estatística ou
estrutura aditiva) ser familiar, ou não, aos professores alterava a forma de utilização
dos livros. Constatou que as estratégias mobilizadas pelos professores ao
trabalharem com os dois conteúdos não variaram em função do conteúdo abordado,
apesar de ter observado que os professores apresentaram uma maior variedade de
estratégias didáticas quando trabalharam com estatística. Outra constatação do
estudo é o fato de que o livro didático foi utilizado como referência e como fonte de
exemplos e exercícios. Os dados também mostraram que a utilização do livro
didático em sala de aula exigiu um investimento, por parte do professor, de se
apropriar dos conteúdos e das abordagens didáticas propostas no mesmo, mas nem
sempre o professor se mostra disposto a fazer esse investimento.
Oliveira (2007), após suas análises, chegou à conclusão de que a construção
do processo de ensino e aprendizagem de qualidade é possível se os professores
tiverem uma boa formação inicial e continuada, bem como um vasto número de
suportes dentre os quais estão inclusos bons livros didáticos, manual de professor
compatível com as necessidades deles, além de artigos científicos em periódicos e
anais de congresso.
Assim como a autora, acreditamos que “torna-se necessário assegurar a
qualidade dos livros didáticos, que devem apresentar propostas condizentes com as
necessidades de desenvolvimento do trabalho em sala de aula.” (OLIVEIRA, 2007,
p.138). Nesse sentido o PNLD procura assegurar essa qualidade e a adequação dos
livros didáticos às realidades do dia a dia escolar. Por essa razão, decidimos adotar
em nossa pesquisa, Coleções indicadas pelo programa e outras que não passaram
por essa avaliação, mas que também são utilizadas no ensino de Matemática nos
anos iniciais.
Campos (2009) investigou sobre a presença de jogos e materiais concretos
nos livros didáticos de Matemática voltados ao Ensino Básico. O objetivo geral de
sua pesquisa foi
contribuir para a discussão sobre os jogos e materiais concretos nas coleções de livros didáticos de Matemática das séries iniciais do Ensino Fundamental, considerando a sua complexidade, por ser um objeto composto de diferentes dimensões e conotações: cultural, política, econômica, pedagógica, entre outras. (CAMPOS, 2009, p. 14).
26
A autora buscou estabelecer concepções, ou seja, aspectos relacionados aos
jogos e materiais concretos que conduziram aos objetivos específicos do trabalho:
identificar livros didáticos de Matemática das séries iniciais do Ensino Fundamental, incluídos no PNLD (Programa Nacional do Livro Didático), que se destacam por favorecer o trabalho com jogos e materiais concretos;
identificar e descrever as atividades que envolvem jogos e materiais concretos nos livros didáticos de Matemática para o primeiro segmento do Ensino Fundamental;
investigar as concepções pedagógicas subjacentes à proposição das atividades nos livros. (CAMPOS, 2009, p. 15).
A questão de pesquisa adotada em sua investigação é “Que concepções
estão presentes nas atividades que envolvem jogos e materiais concretos nos livros
didáticos brasileiros atuais de Matemática para os anos iniciais do Ensino
Fundamental?” (CAMPOS, 2009, p. 14).
Os aspectos teóricos que nortearam a pesquisa foram:
Breve histórico da proposição de jogos e materiais concretos no
contexto educacional;
Algumas considerações sobre os livros didáticos de Matemática
brasileiros e sobre a presença de jogos e materiais concretos nessas obras;
O PNLD.
Em relação aos aspectos teórico-metodológicos da pesquisa, a autora,
inicialmente, buscou estabelecer uma conceituação para os termos “jogos” e
“materiais concretos” dentre as diversas que encontrou sobre os mesmos.
Campos (2009) procurou elaborar alguns critérios para considerar o jogo
como uma atividade. O primeiro critério é a existência de uma disputa na atividade,
ou seja, no jogo tem de haver uma competição que visa à vitória. Outro critério
adotado é a presença de regras no jogo para a realização do mesmo, na qual devem
ficar explícitas as condições para se vencer a disputa. A pesquisadora, seguindo os
estudos de Moyer e Reys encontrados no trabalho de Passos, optou por considerar
como materiais concretos os “objetos ou coisas que o estudante é capaz de
manipular sejam de seu cotidiano ou projetados com o objetivo de medir o ensino de
determinados conceitos ou procedimentos matemáticos” (CAMPOS, 2009, p. 35).
Os aspectos metodológicos da pesquisa foram subsidiados pela análise de
conteúdo que, de acordo com Barbin (2004) citado por Campos (2009) são um
27
conjunto de técnicas de análise das comunicações visando obter, por procedimentos sistemáticos e objetivos de descrição do conteúdo das mensagens, indicadores (quantitativos ou não) que permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições de produção/recepção (variáveis inferidas) destas mensagens (BARDIN, 2004, p.24 apud CAMPOS , 2009, p.36).
O trabalho de Campos (2009) foi dividido em: 1) pré-análise; 2) exploração do
material; 3) tratamento dos resultados obtidos e interpretação. A autora escolheu,
com base na análise de conteúdo das resenhas das Coleções no Guia do Livro
Didático do PNLD 2007, três Coleções que conferem especial atenção às atividades
com jogos e materiais concretos. Depois, foi realizado um aprofundamento nos
estudos teóricos, principalmente, em relação às concepções pedagógicas e ao livro
didático e, por fim, foram analisados os jogos e os materiais concretos das três
coleções selecionadas. Campos (2009) adotou alguns procedimentos para a seleção
dos conteúdos e das atividades a serem analisadas e foram confeccionados quadros
para cada uma das obras em estudo. Esses quadros mapearam as atividades
apresentadas nos conteúdos referentes a Números e Operações e Geometria, que
envolvem jogos e materiais concretos. A autora verificou as aproximações e
distanciamentos das três Coleções quanto à presença dos jogos e materiais
concretos.
Os resultados apontaram que as Coleções selecionadas apresentam diversas
atividades relacionadas ao uso de jogos e materiais concretos, também deixam
explícitas, em seus manuais para os professores, a relevância do aspecto lúdico em
suas propostas. “Permeia-se, aí, a concepção da função lúdica do ensino”
(CAMPOS, 2009, p. 101). Os resultados mostraram, ainda, segundo Campos (2009),
algumas considerações a serem apontadas quanto ao tipo de material utilizado nas
Coleções
que inclui tanto objetos de uso cotidiano, quanto materiais estruturados especificamente para a aprendizagem matemática, estes últimos, principalmente, indicando a adesão a uma pedagogia de natureza construtivista [...] (CAMPOS, 2009, p. 101).
A pesquisadora verificou que, em alguns momentos, as Coleções levam em
consideração as diversas realidades sociais brasileiras, mas isso pode restringir
certas práticas pedagógicas pela impossibilidade de, em alguns casos, substituir
determinados materiais.
Frente aos resultados das pesquisas acima mencionadas percebemos a
necessidade de um olhar diferenciado para as Coleções de materiais didáticos de
28
Matemática voltados para os anos iniciais, destacando a importância de propor ao
aluno uma diversidade de recursos na abordagem das situações. Para isso
buscamos uma fundamentação teórica que nos serviu de base para a elaboração
desta pesquisa da qual detalharemos os aspectos principais no capítulo
subsequente.
29
CAPÍTULO II
REFERENCIAL TEÓRICO
Apresentamos a motivação, os objetivos, as questões de pesquisa e algumas
leituras que contribuíram para nosso estudo e, consequentemente, para a
estruturação de nosso trabalho, que visa analisar as atividades do Campo
Conceitual Aditivo encontradas em quatro Coleções distintas de materiais didáticos.
Neste capítulo, serão destacados os principais aspectos do referencial teórico
a ser adotado; encontramos na Teoria dos Campos Conceituais os subsídios
essenciais para a fundamentação de nosso estudo.
2.1 A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
A Teoria dos Campos Conceituais (TCC) é uma teoria cognitivista
desenvolvida pelo professor pesquisador e psicólogo francês Gèrard Vergnaud.
Essa teoria propõe uma sistematização para o estudo e análise do processo de
aquisição do conhecimento e “visa fornecer um quadro coerente e alguns princípios
de base para o estudo do desenvolvimento e da aprendizagem das competências
complexas.” (VERGNAUD, 1996, p. 155). O núcleo do desenvolvimento cognitivo é,
segundo Moreira (2002) citando Vergnaud (1996), a “conceituação do real”, que
permite identificar e estudar as hierarquias, as continuidades e as descontinuidades
entre os diferentes passos da construção de conhecimento. Além disso, permite
compreender as filiações e rupturas entre os conhecimentos nas crianças e nos
adolescentes e leva em conta os próprios conteúdos do conhecimento e a análise
conceitual de seu domínio.
A teoria de Vergnaud (1982, 1996, 1990, 2009) apresenta alguns pontos
herdados das teorias de Piaget e Vygotsky. A ideia piagetiana de esquema foi
essencial para a investigação e desenvolvimento da TCC. Da mesma forma que as
questões da linguagem e da representação simbólica são vestígios da influência de
Vygotsky. Identifica-se também, nesta teoria, a importância de se levar em
30
consideração a influência do meio cultural no processo de ensino e de
aprendizagem da Matemática.
A TCC não é específica da Matemática, mas foi elaborada com o propósito de
explicar o processo de conceituação das Estruturas Aditivas, Multiplicativas, da
álgebra e da relação número-espaço (VERGNAUD, 1996). Moreira (2002) aponta
que é uma teoria complexa, pois tem a necessidade de abarcar o desenvolvimento
do domínio de conceitos e teoremas necessários para operar em diferentes
situações e, também, das palavras e símbolos que representam esses conceitos e
operações para os estudantes, dependendo sempre de seus níveis cognitivos.
O Conhecimento para Vergnaud (1996) é o saber fazer e o saber expresso
pelo aluno, organizado em campos conceituais cujo domínio ocorre por meio da
experiência, maturação e aprendizagem. Segundo Vergnaud (1996) “O
funcionamento cognitivo do sujeito depende do estado dos seus conhecimentos,
implícitos ou explícitos” (VERGNAUD, 1996, p. 190). O conhecimento é considerado
implícito quando os alunos podem utilizá-lo na ação, na escolha das operações mais
adequadas à determinada situação, mas sem que consigam expressar a razão de
suas decisões. O conhecimento é considerado explícito, quando os alunos podem
expressá-lo de forma simbólica (por meio de esquemas e diagramas, de linguagem
natural, sentenças, etc...).
A construção do conhecimento ocorre por meio de situações e problemas
com os quais os estudantes têm certa familiaridade, apresentando assim
características locais e, consequentemente, um domínio de validade restrito variando
de acordo com a experiência e o desenvolvimento cognitivo de cada estudante. “As
competências e concepções dos alunos vão se desenvolvendo ao longo do tempo,
por meio de experiências com um grande número de situações” (MAGINA et al.,
2008, p.05), que podem ser vivenciadas dentro ou fora da escola.
A TCC sugere a formação de um “campo conceitual”, e não apenas de um
conceito. Vergnaud (1996, p.167) define Campo Conceitual como, primeiramente,
“um conjunto de situações”. Em outros trabalhos ele também designa Campo
Conceitual como “um conjunto de problemas e situações cujo tratamento requer
conceitos, procedimentos e representações de tipos diferentes, mas intimamente
relacionados” (MOREIRA, 2002, p. 09). Segundo Souza e Fávero (2002), citando
Vergnaud (1983), o conceito de Campo Conceitual é decorrente de três argumentos:
1. um conceito não se forma dentro de um único tipo de situações;
31
2. uma situação não se analisa com um único conceito; 3. a construção e apropriação de todas as propriedades de um conceito ou de todos os aspectos de uma situação é um processo de muito fôlego que se desenrola ao longo dos anos, às vezes, uma dezena de anos, com analogias e mal-entendidos entre situações, entre concepções, entre procedimentos, entre significantes (SOUZA E FÁVERO, 2002, p. 57).
O Campo Conceitual das Estruturas Aditivas é o conjunto de situações que
requeiram uma ou várias adições, subtrações, ou uma combinação destas duas
operações e os conceitos e teoremas que possibilitem analisar essas situações. Da
mesma forma, o Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas que consiste no
conjunto das situações que requeiram uma ou várias multiplicações, divisões, ou
uma combinação destas duas operações e os conceitos e teoremas que possibilitem
analisar essas situações (VERGNAUD, 1996).
A formação de conhecimento dos estudantes deve-se às “situações” em que
eles defrontam e dominam os problemas. Na TCC, o conceito de situação é remetido
a uma tarefa e uma situação complexa como um conjunto de tarefas. Segundo
Vergnaud (1996) temos duas ideias principais de situação:
1 – a ideia de variedade: existe uma grande variedade de situações num dado campo conceitual, e as variáveis de situação são um meio de gerar de forma sistemática o conjunto das classes possíveis; 2 – a ideia de história: os conhecimentos dos alunos são formados pelas situações com que eles depararam e que progressivamente dominaram, nomeadamente, pelas primeiras situações susceptíveis de dar sentido aos conceitos e aos procedimentos que se pretende ensinar-lhes (VERGNAUD, 1996, p. 171).
São as situações presentes, num determinado Campo Conceitual, que dão
sentido aos conceitos. Para que este se torne significativo é preciso uma diversidade
de situações, assim como a análise de uma única situação requer uma variedade de
conceitos. A descoberta de novos conceitos, pelas crianças, é fruto do contato com
situações diversificadas.
Para Vergnaud (1996) um “conceito” não deve ser reduzido a sua definição,
pelo menos quando tratamos de sua aprendizagem e seu ensino. O conceito adquire
sentido partindo de uma variedade de situações e problemas que o aluno tem de
resolver. Para compreender a construção do conceito, do ponto de vista cognitivo, o
investigador tem de analisar uma diversidade de esquemas e condutas. Em uma
abordagem didática e psicológica, tem-se que o conceito é considerado um conjunto
de invariantes que os estudantes utilizam na ação ou também como uma terna de
três conjuntos C = (S, I, s), em que:
S: conjunto das situações que dão sentido ao conceito (a referência);
32
I: conjunto dos invariantes nos quais assenta a operacionalidade dos esquemas (o significado); s: conjunto das formas pertencentes e não pertencentes à linguagem que permitem representar simbolicamente o conceito, as suas propriedades, as situações e os procedimentos de tratamento (o significante) (VERGNAUD, 1996, p. 166).
O conjunto das situações (S) é conhecido também como o “referente” ou
“referência”; o conjunto de invariantes (I) é o significado do “conceito” e o conjunto
das representações simbólicas (s) é o “significante”.
Em cada situação, está presente uma gama de conceitos e é importante que
o professor proponha ao aluno diversas situações a serem resolvidas, que
possibilitem a ele o reconhecimento e a manipulação dos invariantes operatórios e o
uso das representações simbólicas. Dessa forma, o contato com uma variedade de
situações permite que o aluno dê sentido aos conhecimentos matemáticos que
surgem de situações com distintos significados (ARRAIS, 2006). Na elaboração de
situações-problema, é necessário fazer as escolhas certas que auxiliem os alunos
na construção de novos conceitos. (MAGINA et al., 2008).
O funcionamento cognitivo dos sujeitos, em uma dada situação, repousa
sobre seus repertórios de esquemas disponíveis, anteriormente formados. Ao
mesmo tempo, as crianças podem descobrir novos aspectos, e eventualmente novos
esquemas, em uma dada situação.
Segundo Vergnaud, um Esquema é “a organização invariante da conduta
para uma dada classe de situações” (VERGNAUD, 1996, p. 157). O conceito de
esquema está localizado no centro do processo de adaptação das estruturas
cognitivas, na acomodação e assimilação. Moreira (2002) afirma que esquema:
é o conceito introduzido por Piaget para dar conta das formas de organização tanto das habilidades sensório-motoras como das habilidades intelectuais. Um esquema gera ações e deve conter regras, mas não é um estereótipo porque a sequência de ações depende dos parâmetros da situação (MOREIRA, 2002, p.12).
Os esquemas referem-se às situações, segundo Vergnaud (1996), e estas se
distinguem em duas classes: uma classe de situações em que o sujeito já dispõe
das competências necessárias para o tratamento imediato da situação e, outra
classe de situações em que o sujeito não dispõe de todas as competências
necessárias para o tratamento imediato da situação, fazendo com que ele se veja
obrigado a dispor um tempo maior de reflexão, de exploração, de hesitações, que
podem conduzi-lo ao fracasso ou ao êxito.
33
O conceito de esquema é interessante para as duas classes de situações, mas
funciona de maneira distinta nos dois casos. No primeiro caso, observa-se que a
conduta do aluno está organizada em torno de um único esquema e, esse esquema
passa a se tornar automatizado. Já, para a segunda classe de situações, observa-se
o desencadeamento de vários esquemas nos quais os alunos acabam por acomodá-
los, descombiná-los e recombiná-los.
Quando um esquema é ineficaz em uma determinada situação, os estudantes
alteram o esquema anterior ou mesmo modificam seus esquemas iniciais de modo a
se adaptarem à determinada situação. O processo de aquisição de informações
tanto na leitura de um enunciado quanto em documentos (livros, quadros, tabelas,
etc.) e a combinação dessas informações por meio das operações matemáticas
como adição e subtração, por exemplo, obedecem a esquemas, principalmente entre
os alunos que dominam aquelas situações.
Os ingredientes que o esquema comporta são:
- invariantes operatórios (teoremas-em-ação e conceitos-em-ação) que
possibilitam o reconhecimento dos elementos da situação e o recolhimento das
informações referentes a essa situação;
- antecipação de ação, do objetivo a atingir;
- regras de ação do tipo “se... então...” que é possível gerar sequências de
ação;
- inferências ou raciocínios que possibilitem “calcular” as regras e
antecipações.
Os “invariantes operatórios” são os conhecimentos contidos nos esquemas
que também são conhecidos por ‘conceito-em-ação’ e ‘teorema-em-ação’. “Um
teorema-em-ação é uma proposição que pode ser verdadeira ou falsa. Um conceito-
em-ação é um objeto, um predicado, ou uma categoria de pensamento tida como
pertinente, relevante.” (VERGNAUD, 1998 apud SANTANA, 2010, p. 36). Um
teorema-em-ação não é propriamente um teorema, assim, como um conceito-em-
ação, não é, especificamente, um conceito, pois os conceitos e teoremas são
explícitos, constituem a parte visível da conceituação e pode-se discutir sua
pertinência e veracidade. Mas a parte “escondida”, ou seja, os invariantes
operatórios são fundamentais neste processo de conceituação do real e esses
podem tornar-se verdadeiros conceitos e teoremas no momento que os estudantes
conseguem exprimi-los de forma explícita. Essa é uma função difícil para o ensino,
34
pois, muitas vezes, quando os estudantes resolvem uma situação, utilizam
implicitamente os conceitos-em-ação e os teoremas-em-ação sem que consigam
explicá-los ou expressá-los em linguagem natural.
Como já mencionado acima, na definição de conceito, as “representações
simbólicas” para Vergnaud (1996) são, também, designadas como significantes do
conceito. São os diagramas, as sentenças formais, a linguagem natural, podendo ser
utilizados para representar as situações, auxiliar os estudantes na resolução de
problemas complexos bem como na designação das categorias e estruturas desses
problemas; são também meios para identificar objetos matemáticos decisivos para a
conceituação. As representações simbólicas nem sempre fazem o mesmo sentido
para os estudantes. O sentido de uma representação simbólica, assim como das
palavras e enunciados matemáticos, para certo indivíduo pode não ser o mesmo
para outro. (VERGNAUD, 1996)
Na Teoria dos Campos Conceituais uma das funções da “linguagem” é a de
representação e essa função de representação, é tripla:
- representação dos elementos pertinentes da situação; - representação da ação; - representação das relações entre a ação e a situação (VERGNAUD, 1996, p.181).
Outra função que a linguagem exerce é a de comunicação e de auxílio de
pensamento. Algumas crianças precisam que sua ação, em determinada situação,
seja acompanhada de linguagem verbal, às vezes, falam em voz baixa sua
sequência de ação. Aos poucos, elas deixam de ter essa necessidade. Parece estar
evidente que a atividade da linguagem auxilia na realização de tarefas e na
resolução de problemas, favorece a organização temporal da ação e o seu controle.
2.1.1 Campo Conceitual Aditivo
O Campo Conceitual das Estruturas Aditivas constitui o conjunto das
situações cujo tratamento utiliza uma ou várias adições ou subtrações acrescido do
conjunto dos conceitos e teoremas que permitam uma análise dessas situações
como tarefas Matemáticas. De acordo com Vergnaud (1996) os conceitos que
constituem as Estruturas Aditivas são de:
35
cardinal e de medida;
transformação temporal por aumento ou diminuição;
relação de comparação quantificada;
composição binária de medidas;
composição de transformações e de relações;
operação unitária;
inversão;
número natural e relativo;
abscissa;
deslocamento orientado e quantificado.
Estes conceitos aparecem conjuntamente com verdadeiros teoremas que lhes
atribuem alguma função no tratamento das situações com que se deparam.
Vergnaud aponta a existência de vários tipos de relações aditivas (adições e
subtrações). “As relações aditivas são relações ternárias que podem ser encadeadas
de diversas maneiras e resultar em uma grande variedade de estruturas aditivas.”
(VERGNAUD, 2009, p. 200). As relações ternárias “ligam três elementos entre si”
(VERGNAUD, 2009, p.57), por exemplo: “Sete é quatro a mais que três”.
Em nosso estudo, vamos nos ater às relações aditivas elementares que o
autor classificou em categorias básicas, ou seja, em “seis esquemas ternários
fundamentais” (VERGNAUD, 2009, p. 200).
Tal classificação foi feita com a intenção de auxiliar nas interpretações dos
procedimentos e dos erros que os estudantes cometem na tentativa de resolver as
situações, “oferece uma estrutura teórica que permite entender o significado das
diferentes representações simbólicas da adição e da subtração.” (SANTANA, 2010,
p. 49).
Categorias básicas de relações aditivas
36
Vergnaud (1982) identifica seis categorias, também chamadas de “relações
de base ou relações elementares3”, a partir das quais é possível classificar alguns
problemas de adição e subtração. A distinção na classificação é de origem tanto
psicológica quanto matemática. Essa classificação tem como objetivo:
oferecer uma estrutura teórica que auxilie o professor no entendimento do significado das diferentes representações simbólicas da adição e subtração, e de servir de base para o desenho de experiências sobre esses processos matemáticos na sala de aula. (MAGINA et. al. 2008, p.19).
Essa classificação é capaz também de ajudar os professores a interpretarem
os processos utilizados pelos estudantes na resolução de problemas e entender as
dificuldades desses estudantes para encontrar as resoluções. Vergnaud (1990) diz
ser possível que toda a situação seja interpretada como uma combinação de
relações com dados conhecidos e desconhecidos.
As seis categorias básicas de relações aditivas estabelecidas por Vergnaud
(1982), foram nomeadas da seguinte maneira:
1. Composição;
2. Transformação;
3. Comparação;
4. Composição de duas transformações;
5. Transformação de uma relação.
6. Composição de duas relações.
O quadro a seguir mostra os códigos simbólicos utilizados nos diagramas e
equações estabelecidos por Vergnaud (2009) para representar as categorias de
relações aditivas.
3 São as relações básicas, que ligam três elementos entre si (ternárias).
37
Símbolos Códigos
Representa um número
natural
Representa um número
relativo4
Ou
Representa a composição de
elementos de mesma natureza
Ou
Representa uma
transformação ou uma relação
(composição de elementos de
naturezas diferentes)
Figura 1 - Códigos estabelecidos por Vergnaud Fonte: Vergnaud (2009)
A seguir, serão mencionadas, resumidamente, as categorias de relações
elementares, dando ênfase, principalmente, as quatro primeiras, que serão
fundamentais em nossa pesquisa.
Categoria 1: Composição
Nesta categoria, são tratados problemas referentes às situações que
envolvem parte-todo, ou seja, juntar partes para obter-se o todo ou subtrair uma
parte do todo para obter-se a outra parte. Assim “duas medidas se compõem para
resultar em uma terceira” (VERGNAUD, 2009, p. 200).
Esta categoria dá lugar a duas classes de problemas, de acordo com
Vergnaud (2009):
4 No caso dos anos iniciais o símbolo para o número relativo estará associado aos
problemas de estrutura aditiva.
38
1 – “Conhecendo-se duas medidas elementares, encontrar a composta”
(VERGNAUD, 2009, p. 215), ou seja, conhecendo-se as duas partes se encontra o
todo. Exemplo:
Pedro tem 6 carrinhos azuis e 8 carrinhos amarelos. Quantos carrinhos ele
tem ao todo?
2 – “Conhecendo-se a composta e uma das elementares, encontrar a outra”
(VERGNAUD, 2009, p. 215), ou seja, conhecendo o todo e uma das partes, é
possível encontrar a outra parte. Exemplo:
Ana tem 2 vestidos verdes e alguns brancos. Ao todo ela tem 8 vestidos.
Quantos vestidos são brancos?
Vergnaud também propõe diagramas para as classes de problemas acima
descritas. Para cada um dos exemplos acima, temos, respectivamente, os
diagramas:
Equação correspondente: 6 + 8 = ?
Este é um exemplo de situação na qual temos duas medidas conhecidas (6 e
8) que se compõe para resultar em outra medida desconhecida (?).
Equação correspondente: 2 + ? = 8
Este é um exemplo de situação na qual temos uma medida (2) e o todo (8)
conhecidos e buscamos a outra medida desconhecida (?).
Categoria 2: Transformação
Nesta categoria, são tratados os problemas referentes às situações que
envolvem a ideia temporal, que são caracterizados por um Estado Inicial (Ei) que,
em geral são medidas que sofrem uma Transformação (T) (com perda ou ganho...) e
39
resultam no Estado Final (Ef). Assim, “uma transformação opera sobre uma medida
para resultar em outra medida” (VERGNAUD, 2009, p. 200).
Esta categoria distingue-se em seis grandes classes de problemas:
- conforme seja a transformação b positiva ou negativa; - conforme seja a pergunta concernente ao estado final c (conhecendo-se a e b), à transformação b (conhecendo-se a e c), ao estado inicial (conhecendo-se b e c). (VERGNAUD, 2009, p. 207).
Vejamos alguns exemplos das classes acima. O exemplo a seguir trata de
uma situação de transformação positiva na qual tem o Ei, a transformação e
buscamos o Ef.
Carlos tinha 8 figurinhas antes de jogar. Ganhou 3 durante o jogo. Quantas
figurinhas ele tem agora?
Diagrama correspondente à situação, de acordo com Vergnaud (2009):
Equação correspondente: 8 + 3 = ?
Neste exemplo, tem-se uma medida conhecida, um Ei (8) que sofre uma
transformação (+3) e resulta em uma medida que ainda é desconhecida, no estado
final (?).
O exemplo a seguir trata uma situação de transformação negativa na qual
temos o Ei, o Ef e buscamos a transformação.
Ricardo adora bombons. Ele tinha 15 bombons, mas comeu alguns e ficou
com apenas 9. Quantos bombons ele comeu?
Diagrama correspondente à situação, de acordo com Vergnaud (2009):
Equação correspondente: 15 - ? = 9
40
Neste exemplo, tem-se uma medida conhecida, um Ei (15), que sofre uma
transformação desconhecida (-?) e resulta em outra medida conhecida, no Ef (9).
O exemplo a seguir trata uma situação de transformação positiva na qual
temos a transformação, o Ef e buscamos o Ei.
Mauro coleciona carrinhos, ganhou 4 carrinhos de sua tia e, agora, ficou com
10. Quantos carrinhos Mauro tinha antes?
Diagrama correspondente à situação, de acordo com Vergnaud (2009):
Equação correspondente: ? + 4 = 10
Neste exemplo tem-se uma medida desconhecida, um Ei (?) que sofre uma
transformação positiva (+ 4) e resulta em outra medida conhecida, no Ef (10).
Categoria 3: Comparação
Nesta categoria, são abordados problemas referentes às situações que
envolvem a comparação de duas quantidades, uma denominada de referente (B) e a
outra de referido (A) com base em uma relação (R) positiva ou negativa dessas duas
medidas. Segundo Vergnaud (2009, p. 200), nesta categoria “uma relação liga duas
medidas” e se distingue em seis classes de problemas:
- conforme a relação (R) positiva ou negativa;
- conforme a pergunta busca-se o referente (B) (com o referido (A) e a relação
(R) conhecida), ou o referido (A) (com o referente (B) e a relação (R) conhecida), ou
a relação (R) (com o referido (A) e o referente (B) conhecido).
A seguir, daremos alguns exemplos. No primeiro, trata-se de uma situação de
comparação positiva na qual se tem o referido, a relação e buscamos o referente.
41
Cintia tem 23 anos. Roberta tem 6 anos a mais que Cíntia. Quantos anos tem
Roberta?
O diagrama correspondente à situação, de acordo com Vergnaud (2009):
Equação correspondente: 23 +6 =?
Neste exemplo, tem-se o referido conhecido (23), uma relação positiva
conhecida (+ 6) e um referente desconhecido (?).
O próximo exemplo trata de uma situação de comparação positiva na qual
temos o referido, o referente e buscamos a relação.
Os irmãos Silmara e Renato ganharam dinheiro de seus pais. Silmara ganhou
R$ 10,00 e Renato ganhou R$ 15,00. Quem ganhou mais dinheiro? Quanto a mais?
Diagrama correspondente à situação, de acordo com Vergnaud (2009):
Equação correspondente: 10 + ? = 15
Neste exemplo, tem-se o referido conhecido (10), uma relação positiva
desconhecida (+ ?) e um referente conhecido(15).
O exemplo a seguir apresenta uma situação de comparação negativa na qual
se tem o referente, a relação e se busca o referido.
Ana Carolina tem algumas bonecas. Josiane tem 3 bonecas a menos que
Ana. Sabendo que Josiane tem 2 bonecas quantas bonecas tem Ana Carolina?
42
Diagrama correspondente à situação, de acordo com Vergnaud (2009):
Equação correspondente: ? - 3 = 2
Neste exemplo, se tem o referido desconhecido (?), uma relação negativa (-
3) e um referente conhecido (2).
Categoria 4: Composição de duas transformações
Nesta categoria, são tratados problemas referentes às situações em que são
dadas duas transformações e, por meio de uma composição dessas duas, se
determina a terceira transformação (transformação – transformação –
transformação). (VERGNAUD, 1982). Esta categoria dá lugar a duas classes de
problemas, de acordo com Vergnaud (2009):
1. Conhecendo-se as duas transformações elementares, encontrar a composta.
2. Conhecendo-se a composta e uma das elementares, encontrar a outra. (VERGNAUD, 2009, p.216).
Vergnaud (2009) afirma que é possível diversificar as classes acima, mas não
as detalharemos aqui, pois não serão utilizadas nesta pesquisa.
A situação a seguir é um exemplo de problema desta categoria da classe 1:
Marcelo tem lápis coloridos. Ganhou 5 de sua irmã e deu 3 para seu amigo
Júlio. Ao final o que aconteceu?
Neste exemplo, temos a composição de duas transformações, uma positiva
(+3) e outra negativa (-5), que resulta na terceira transformação de medida
desconhecida (?).
Categoria 5:Transformação de uma relação
Nesta categoria são tratados problemas referentes às situações em que uma
transformação liga duas relações estáticas. É dada uma relação estática e uma
transformação e busca-se uma relação (relação – transformação – relação).
43
(VERGNAUD, 1982). A situação a seguir é um exemplo de problema dessa
categoria:
Marta devia 8 balas à sua amiga Rose e pagou 2. Quantas balas Marta ainda
ficou devendo à Rose?
Nesta situação temos uma relação estática negativa (-8) e uma transformação
positiva (+2) e, por meio desta transformação, buscamos uma nova relação estática,
neste caso, negativa (?).
Categoria 6: Composição de duas relações
Nesta categoria são tratados problemas referentes às situações de
composição de duas relações estáticas. São dadas duas relações estáticas e, por
meio de uma composição dessas duas, se determina a terceira relação. (relação –
relação – relação). (VERGNAUD, 1982). A situação a seguir é um exemplo de
problema dessa categoria:
Antônio deve 11 bolinhas de gude a Pedro e, Pedro deve 5 a Antônio.
Quantas bolinhas de gude, Antônio deve a Pedro?
Nesta situação, é mostrada uma relação estática negativa (-11) e outra
relação estática negativa (-5) que se compõe resultando numa nova relação estática,
neste caso, negativa (?).
Criamos o quadro abaixo com o propósito de resumir e auxiliar a visualização
geral dos diagramas referentes às relações aditivas estabelecidas por Vergnaud.
44
Figura 2 - Relações aditivas elementares Fonte: Adaptado de Vergnaud (2009)
Vamos considerar, em nosso estudo, apenas os problemas que trazem as
categorias de relações elementares, porém, segundo Vergnaud (2009) as relações
aditivas não se limitam apenas às relações básicas, não compreendem apenas os
problemas que se reduzem a uma relação. “A análise das relações elementares [...]
é, assim, insuficiente para dar uma imagem completa das questões que existem na
solução de problemas de aritmética.” (VERGNAUD, 2009, p. 269). Esses problemas,
que correlacionam várias relações elementares, foram designados por Vergnaud
45
como “problemas complexos” e, segundo o autor, não é possível elaborar uma
classificação para essas situações, pois há muitas possibilidades envolvendo
relações elementares distintas. O exemplo a seguir trata de um caso complexo com
várias transformações:
Queremos conhecer o número de habitantes de uma ilha em 1990. Dispomos para isso do número de falecimentos e de nascimentos que ocorreram na ilha desde 1990 (1.253 falecimentos e 1.785 nascimentos) e do número de chegadas e de partidas definitivas por barco, registradas no caderno do porto (342 chegadas e 2.785 partidas). Sabemos também que hoje há 603 pessoas na ilha. (VERGNAUD, 2009, 64).
Figura 3 - Exemplo de “problema complexo” Fonte: Vergnaud (2009)
No exame das coleções, encontramos alguns desses problemas complexos,
exemplo:
Figura 4 – Exemplo de problema complexo Fonte: Coleção 2 (2009)
O problema acima trata de uma composição de medidas com uma relação
que liga mais de três elementos (R$ 26,00 + R$ 9,00 + R$ 7,00 + R$ 12,00 + R$
13,00 + R$ 8,00 = ?), ou seja, não é uma relação ternária e assim não pode se
enquadrar nas categorias de relações elementares. Por esses problemas não serem
nossos objetos de estudo nos limitaremos a apenas mostrar alguns exemplos que
foram encontrados nas quatro Coleções examinadas e seguem em anexo (ANEXO
B).
46
Procuramos, até o momento, apresentar alguns dos conceitos principais
sobre Teoria dos Campos Conceituais, priorizando os aspectos relacionados ao
desenvolvimento da análise dos dados coletados para esta investigação, a seguir
trazemos alguns trechos dos documentos oficiais relativos a aspectos da nossa
investigação.
47
CAPÍTULO III
PCN E PNLD
Neste capítulo, apresentamos algumas considerações sobre os documentos
oficiais Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e o Programa Nacional do Livro
Didático (PNLD) destacando pontos fundamentais para o desenvolvimento do nosso
trabalho.
3.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PCN
Os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN - são as referências para a
educação do Ensino Fundamental no Brasil. O Ministério da Educação e do
Desporto, ao consolidar os PCN, buscaram “apontar metas de qualidade que ajudem
o aluno a enfrentar o mundo atual como cidadão participativo, reflexivo e autônomo,
conhecedor de seus direitos e deveres.” (BRASIL, 1997a, p. 07).
3.1.1 Os objetivos dos PCN
Um dos objetivos dos PCN, Brasil (1997a) referente às séries iniciais do
Ensino Fundamental é “contribuir, de forma relevante, para que profundas e
imprescindíveis transformações, há muito desejadas, se façam no panorama
educacional brasileiro” (p.10). Com o intuito de posicionar o professor, considerado
o principal agente nesta vasta jornada, os PCN se prontificam a
auxiliá-lo na execução de seu trabalho, compartilhando seu esforço diário de fazer com que as crianças dominem os conhecimentos de que necessitam para crescerem como cidadãos plenamente reconhecidos e conscientes de seu papel em nossa sociedade. (BRASIL, 1997a, p.07).
48
Os parâmetros conduzem o currículo e programas de transformação da
realidade da Educação Brasileira, buscando orientar e atentar os professores, a
refletir sobre a necessidade de urgentes mudanças na maneira de ensinar e avaliar
e organizar as situações de ensino e aprendizagem para que tragam mais igualdade
em todo o país.
Segundo esse documento, Brasil (1997a), são consideradas possibilidades
para sua utilização:
• rever objetivos, conteúdos, formas de encaminhamento das atividades, expectativas de aprendizagem e maneiras de avaliar; • refletir sobre a prática pedagógica, tendo em vista uma coerência com os objetivos propostos; • preparar um planejamento que possa de fato orientar o trabalho em sala de aula; • discutir com a equipe de trabalho as razões que levam os alunos a terem maior ou menor participação nas atividades escolares; • identificar, produzir ou solicitar novos materiais que possibilitem contextos mais significativos de aprendizagem; • subsidiar as discussões de temas educacionais com os pais e responsáveis (BRASIL, 1997a, p.10).
Nesse contexto, em relação aos estudantes, os PCN indicam dez objetivos
para o Ensino Fundamental que, resumidamente, citamos. Os alunos devem ser
capazes de:
compreender a cidadania, os direitos e deveres civis, políticos e sociais,
adotando solidariedade, cooperação e respeito com o outro;
posicionar-se de maneira responsável, construtiva e crítica diante das
diferentes situações;
reconhecer características do Brasil que são indispensáveis para a
construção da identidade nacional e pessoal;
conhecer e valorizar a diversidade sociocultural tanto brasileira como de
outras nações de modo a se posicionar contra discriminações;
contribuir para a melhoria do ambiente;
perceber a si mesmo e sentir-se confiante em suas capacidades: afetiva,
física, cognitiva, ética, estética, de inter-relação pessoal e de inserção
social;
cuidar do próprio corpo, adotando hábitos saudáveis e agindo com
responsabilidade em relação à sua saúde e à saúde coletiva. (BRASIL,
1997a).
49
Os PCN enfatizam o importante papel da Matemática no processo
educacional dos alunos do Ensino Fundamental. Ele detém um vasto campo de
relações e regularidades que instigam capacidades como a de generalização,
prevenção e abstração que propicia a estruturação do pensamento, bem como, o
desenvolvimento do raciocínio lógico, que são elementos essenciais para a vida das
pessoas, para o convívio social, político e econômico desde ações mais simples do
dia a dia como contar, comparar, fazer estimativas, no cálculo de faturas,
pagamentos, até as situações mais complexas. “Essa potencialidade do
conhecimento matemático deve ser explorada, da forma mais ampla possível, no
ensino fundamental” (BRASIL, 1997b, p. 25).
Em relação à Matemática destacamos três dentre os objetivos estabelecidos
pelos PCN:
• utilizar as diferentes linguagens — verbal, matemática, gráfica, plástica e corporal — como meio para produzir, expressar e comunicar suas ideias, interpretar e usufruir das produções culturais, em contextos públicos e privados, atendendo a diferentes intenções e situações de comunicação; • saber utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos para adquirir e construir conhecimentos; • questionar a realidade formulando-se problemas e tratando de resolvê-los,utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e verificando sua adequação (BRASIL, 1997a, p.09).
Observamos, dentre os diferentes tipos de linguagem, a importância da
linguagem Matemática na formação do aluno como cidadão consciente, nas
diferentes formas de expressão e de comunicação, na utilização da tecnologia para
construção de conhecimento e no desenvolvimento de outras capacidades como a
formulação e resolução de problemas, análise crítica das situações, nas quais se
utiliza o pensamento lógico matemático.
Em resumo, os PCN da área de Matemática, Brasil (1997b), estão pautados
nos princípios que destacamos a seguir:
a Matemática como componente fundamental na construção da
cidadania, precisando estar ao alcance de todos;
a atividade matemática “não é ‘olhar para coisas prontas e definitivas’”
(BRASIL, 1997b, p.17), mas sim a construção do conhecimento pelo
aluno;
50
em seu ensino, destacam-se dois aspectos: a relação com o mundo
real com representações e a relação entre as representações com
princípios e conceitos matemáticos;
“recursos didáticos, como jogos, livros, vídeos, calculadoras,
computadores e outros materiais têm um papel importante no processo
de ensino e aprendizagem” (BRASIL, 1997b, p.17). Esses recursos
precisar estar ligados a situações que levam o aluno a análises e
reflexões.
a “avaliação”, que faz parte do processo de ensino e aprendizagem, é
também considerado um princípio dessa área.
Para o primeiro ciclo do Ensino Fundamental são explicitados para o ensino
de Matemática os objetivos:
• Construir o significado do número natural a partir de seus diferentes usos no contexto social, explorando situações-problema que envolvam contagens, medidas e códigos numéricos. • Interpretar e produzir escritas numéricas, levantando hipóteses sobre elas, com base na observação de regularidades, utilizando-se da linguagem oral, de registros informais e da linguagem matemática. • Resolver situações-problema e construir, a partir delas, os significados das operações fundamentais, buscando reconhecer que uma mesma operação está relacionada a problemas diferentes e um mesmo problema pode ser resolvido pelo uso de diferentes operações. • Desenvolver procedimentos de cálculo — mental, escrito, exato, aproximado — pela observação de regularidades e de propriedades das operações e pela antecipação e verificação de resultados. • Refletir sobre a grandeza numérica, utilizando a calculadora como instrumento para produzir e analisar escritas. • Estabelecer pontos de referência para situar-se, posicionar-se e deslocar-se no espaço, bem como para identificar relações de posição entre objetos no espaço; interpretar e fornecer instruções, usando terminologia adequada. • Perceber semelhanças e diferenças entre objetos no espaço, identificando formas tridimensionais ou bidimensionais, em situações que envolvam descrições orais, construções e representações. • Reconhecer grandezas mensuráveis, como comprimento, massa, capacidade e elaborar estratégias pessoais de medida. • Utilizar informações sobre tempo e temperatura. • Utilizar instrumentos de medida, usuais ou não, estimar resultados e expressá-los por meio de representações não necessariamente convencionais. • Identificar o uso de tabelas e gráficos para facilitar a leitura e interpretação de informações e construir formas pessoais de registro para comunicar informações coletadas (BRASIL, 1997b, 47).
Alguns pontos indicados nos objetivos acima mencionados são de
fundamental relevância para a presente pesquisa, como a relação entre a
construção do significado das operações fundamentais e a resolução de problemas,
51
o desenvolvimento do cálculo mental e a utilização da calculadora na reflexão sobre
grandezas numéricas.
3.1.2 Dados estatísticos de avaliação
Destacada a importância do papel da Matemática pelos PCN, o documento
traz alguns resultados de pesquisas sobre o ensino brasileiro que evidenciam a
necessidade de melhorias, prioritariamente, na área da Matemática.
Segundo os indicadores da Secretaria de Desenvolvimento e Avaliação
Educacional (Sediae), do Ministério da Educação e do Desporto, que reafirmaram a
necessidade de revisão do projeto educacional do Brasil. Durante as décadas de 70
e 80, os índices de evasão e repetência foram muito elevados causando enorme
insatisfação com o trabalho das escolas em geral de nosso país. Apesar dos
investimentos em educação ao longo desse tempo, os resultados obtidos por meio
de pesquisas realizadas pelo SAEB/955 reafirmam a baixa qualidade no
desempenho dos alunos no Ensino Fundamental, principalmente, na área da
Matemática, mais especificamente nas questões conhecidas como de conhecimento
de procedimentos e resolução de problemas (BRASIL, 1997a).
3.1.3 Resolução de problemas e a Teoria dos Campos Conceituais
Visando a uma melhoria nos resultados das pesquisas que apontam a baixa
qualidade do desempenho dos alunos na área de Matemática, os PCN (1997)
propõem caminhos para se “fazer Matemática” em sala de aula, dando ênfase à
resolução de problemas. O documento afirma que os problemas estão sendo
5 Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica
52
utilizados inadequadamente, ou seja, “apenas como forma de aplicação de
conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos” (BRASIL, 1997b, p.32). Em
geral, a prática consiste em ensinar um conceito e depois apresentar um problema
para avaliar o que foi ou aprendido pelo aluno. Assim, para a maioria dos alunos,
“resolver um problema significa fazer cálculos com os números do enunciado ou
aplicar algo que aprenderam nas aulas” (BRASIL, 1997b, p.32).
Um problema matemático para os PCN de Matemática (Brasil, 1997b, p. 33)
“é uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou
operações para obter um resultado, ou seja, a solução não está disponível de início,
no entanto é possível construí-la.” Resolver um problema não se resume apenas em
compreender o que foi proposto e aplicar métodos adequados, e sim pressupõe que
o aluno elabore um ou mais procedimentos para a resolução fazendo simulações,
demandando tentativas e formulação de hipóteses.
Sobre essa vertente os PCN da área de Matemática defendem uma proposta
para o foco na resolução de problemas que se resume em alguns princípios como:
os conceitos e métodos matemáticos têm de ser abordados sob a
exploração de problemas, que são situações em que os alunos precisam
de alguma estratégia para resolvê-las;
o problema não é sinônimo de exercício de fixação; “o aluno não constrói
um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de
conceitos que tomam sentido num campo de problemas” (BRASIL, 1997b,
p.33);
com a resolução de problemas, se pode apreender conceitos,
procedimentos e também atitudes matemáticas.
É possível perceber, nesses princípios, a presença de definições que são
encontradas na Teoria dos Campos Conceituais, como a construção de um “campo
conceitual”, ou seja, um conjunto de situações que contêm uma gama de conceitos
envolvidos que acabam por dar sentido a essas situações, e não apenas de um
“conceito”, quando o aluno se depara com um problema, ou seja, com uma situação
isolada.
Também encontramos menção à Teoria dos Campos Conceituais no tópico
“Operações com Números Naturais”. Os PCN, Brasil (1997b) apontam os problemas
do Campo Conceitual Aditivo (os problemas aditivos e subtrativos) como aspecto
53
inicial na proposta escolar, no qual se trabalha, conjuntamente, esses problemas e a
construção do significado dos números naturais. Nos Parâmetros, encontramos
também que “a construção dos diferentes significados leva tempo e ocorre pela
descoberta de diferentes procedimentos de solução” (BRASIL, 1997b, p. 69).
As situações que envolvem adição e subtração foram distribuídas em quatro
grupos, que correspondem às quatro primeiras categorias estabelecidas por
Vergnaud (1996) na Teoria dos Campos Conceituais, são eles:
1º grupo: situações com a ideia de “combinar” dois estados para obter um
terceiro, “mais comumente identificada como ação de ‘juntar’” (BRASIL,
1997b, p. 70);
2o grupo: situações com a ideia de “transformação”, na qual se altera um
estado inicial;
3º grupo: situações com a ideia de “comparação”;
4º grupo: situações com “mais de uma transformação”.
3.1.4 Recursos didáticos
Em relação aos recursos tecnológicos utilizados no processo de ensino e
aprendizagem dos alunos do Ensino Fundamental, citados pelos PCN (1997),
destacamos o uso da calculadora (como citado anteriormente) que, segundo o
documento, “estudos e experiências evidenciam que a calculadora é um instrumento
que pode contribuir para a melhoria do ensino da Matemática” (BRASIL, 1997b, p.
34). É considerado um recurso motivador na realização das tarefas, além der ser
entendida como um instrumento valioso de autoavaliação quando utilizada para
verificação de resultados e correção de erros.
Temos, no jogo, outro recurso didático contemplado pelos Parâmetros, alguns
aspectos relevantes com a sua utilização:
é um objeto sociocultural que possibilita compreensão, gera satisfação,
forma hábitos e favorece a percepção de regularidades;
os alunos aprendem a lidar com símbolos e a imaginar o significado das
coisas (pensar por analogia);
54
são produtores de linguagem, capacitando os alunos a se submeterem a
regras e dar explicações que favorecem sua integração num mundo social;
jogos em grupo representam uma conquista cognitiva, emocional, moral e
social e estimula o desenvolvimento do raciocínio lógico;
o desafio do jogo gera interesse e prazer. (BRASIL, 1997b).
Também destacamos os materiais concretos dentre os recursos didáticos que
devem ser utilizados no ensino fundamental, como recomendado no trecho dos
PCN:
Ao explorarem as situações-problema, os alunos deste ciclo precisam do apoio de recursos como materiais de contagem (fichas, palitos, reprodução de cédulas e moedas), instrumentos de medida, calendários, embalagens, figuras tridimensionais e bidimensionais, etc. (BRASIL, 1997b, p. 45).
Os materiais de contagem acima mencionados são recursos importantes no
processo de aprendizagem principalmente quando utilizados nas situações-
problema, assim como os materiais de uso social, tais como jornais, revistas,
computadores e, também, filmes, avaliados como recursos imprescindíveis, pois
inserem o aluno no mundo à sua volta favorecendo o vínculo entre o que ele
aprende na escola e no extraescolar. (BRASIL, 1997a).
Outra menção importante que o documento traz faz referência aos dois tipos
de cálculo que o aluno desenvolve desde os ciclos iniciais: o cálculo mental e o
cálculo escrito; segundo os PCN, o primeiro serve de suporte para o segundo tipo,
assim “é recomendável que a organização do estudo do cálculo privilegie um
trabalho que explore, concomitantemente, procedimentos de cálculo mental e de
cálculo escrito, exato e aproximado...” (BRASIL, 1997b, p.76). O cálculo é
importante, pois estimula a memória, dedução, analogia, generalização, permite a
descoberta de equivalências, igualdades, desigualdades, bem como o
desenvolvimento da criatividade, da capacidade para tomada de decisões e
segurança na resolução de problemas. Porém, as estratégias de cálculo mental são
limitadas, é muito difícil a memorização de um grande número de resultados e a
necessidade do registro desses resultados acaba por originar procedimentos de
cálculo escrito. Assim, trabalhar o procedimento de cálculo mental desde as séries
iniciais é fundamental.
55
3.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PNLD 2010
Segundo as informações do FNDE (Fundo Nacional de Desenvolvimento da
Educação), o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) é o programa mais antigo
voltado à distribuição de livros didáticos para os alunos da rede pública de ensino do
Brasil. Iniciou-se em 1929, quando o Estado cria um órgão para legislar sobre a
política do livro didático, mas tinha outra denominação: Instituto Nacional do Livro
(INL). Ao longo dos anos, o programa foi sendo modificado, aperfeiçoado com
diferentes nomes e formas de execução.
Os principais acontecimentos, reformas administrativas e mudanças do
programa voltado ao livro didático por volta de 80 anos são:
a criação do Ministério da Educação (MEC) em 1930;
em 1938, por meio do Decreto-Lei no 1.006, de 30/12/38, é criada a
CNLD (não encontrei essa sigla) (Comissão Nacional do Livro
Didático);
a concepção da Comissão do Livro Técnico e Livro Didático (COLTED),
em 1966, cujo objetivo era coordenar as ações referentes à produção,
edição e distribuição dos livros didáticos. A criação da COLTED foi
fruto do acordo do Ministério da Educação (MEC) com a Agência
Norte-Americana para o Desenvolvimento Internacional (USAID);
em 1971, o INL desenvolve o PLIDEF (Programa do Livro Didático para
o Ensino Fundamental) que assume a administração e o
gerenciamento dos recursos financeiros, cargo da Colted. Assim,
ocorre o fim do acordo MEC/USAID e a implantação do sistema de
contribuição financeira das unidades federadas para o Fundo do Livro
Didático (FLD).
em 1976, o INL é extinto e é criada a Fundação Nacional do Material
Escolar (FENAME) que fica responsável pela execução do programa
do livro didático. Os recursos provêm do FNDE;
em substituição à FENAME, em 1983, surge a Fundação de
Assistência ao Estudante (FAE), que incorpora o PLIDEF;
Em 1985 com o Decreto nº 91.542, de 19/8/85, o PLIDEF dá lugar ao
PNLD com uma série de mudanças;
56
De acordo com as informações veiculadas pelo FNDE (site), na década de 90
ficam definidos os critérios para avaliação dos livros didáticos e é iniciada a
avaliação pedagógica dos livros inscritos para o PNLD, a responsabilidade pela
política do programa é transferida integralmente para o FNDE. De 1997 aos dias
atuais, o PNLD sofreu diversas mudanças administrativas e em relação a sua forma
de execução.
O PNLD acontece em ciclos trienais sempre alternados e, a cada ano o FNDE
distribui livros para todos os alunos de determinada etapa de ensino dos anos
iniciais e finais do Ensino Fundamental bem como os do Ensino Médio. Após a
utilização desses livros, deve ocorrer a devolução deles para que alunos dos anos
subsequentes possam utilizá-los.
De acordo com Oliveira Filho (2009), os critérios classificatórios e
eliminatórios de avaliação dos livros para o PNLD decorrem de diversas discussões,
eventos e seminários a cerca do assunto desde a década de 90, mais
especificamente, em 1993, quando foi criada uma comissão de especialistas
formados pelo MEC para avaliar a qualidade dos livros e estabelecer critérios gerais
para a avaliação destas obras. Esses critérios foram estruturados da seguinte forma:
critérios eliminatórios comuns;
critérios eliminatórios específicos;
critérios classificatórios comuns;
critérios classificatórios específicos.
Os critérios eliminatórios e classificatórios comuns tratam de todos os livros
do PLND de todas as áreas de conhecimento abrangidas pelo Programa. Os
critérios eliminatórios e classificatórios específicos se referem às especialidades das
áreas do conhecimento. Esses critérios sofreram aperfeiçoamentos ao longo dos
anos. Faremos, então, uma breve descrição dos principais critérios de avaliação no
processo de seleção das obras didáticas de Matemática a serem incluídas no Guia
de Livros Didáticos do 1º ao 5º ano do PLND de 2010 que (BRASIL, 2009):
3.2.1 Critérios eliminatórios comuns
57
(i) correção dos conceitos e das informações básicas;
(ii) coerência e adequação teórico-metodológicas;
(iii) respeito às especificidades do manual do professor;
(iv) observância aos seguintes preceitos legais e jurídicos: Constituição
Federal, Estatuto da Criança e do Adolescente, Lei de Diretrizes e Bases
da Educação Nacional, Lei no 10.639/2003, Diretrizes Nacionais do
Ensino Fundamental, Resoluções e Pareceres do Conselho Nacional de
Educação, em especial, o Parecer CEB no15/2000, de 04/07/2000, o
Parecer CNE/CP no 003/2004, de 10/03/2004;
(v) projeto gráfico editorial adequado aos fins a que se destinam as obras.
As coleções que não atenderem aos critérios acima mencionados serão
eliminadas.
3.2.2 Critérios específicos da área de Matemática
(i) correção dos conceitos e informações básicas devem ser evitados
erros explícitos, indução ao erro, contradições e conceituações
confusas;
(ii) adequação didático-metodológica das coleções de Matemática.
O livro didático de Matemática é adequado quando coopera para a aquisição,
pelo aluno, do saber matemático autônomo e significativo e que favorece o processo
de níveis gradativamente maiores e mais complexos de autonomia do pensar do
aluno. Assim, é importante que o livro didático contribua para:
• concretizar uma escolha pertinente dos conteúdos e uma maneira adequada de sua apresentação; • estimular a identificação e a manifestação do conhecimento que o aluno detém; introduzir o conhecimento novo sem se esquecer de estabelecer relações com o que o aluno já sabe; • favorecer a mobilização de múltiplas habilidades do aluno e cuidar da progressão inerente a esse processo; • estimular o desenvolvimento de competências mais complexas tais como análise, síntese, construção de estratégias de resolução de problemas, generalização, entre outras; • favorecer a integração e a interpretação dos novos conhecimentos no conjunto sistematizado de saberes. (BRASIL, 2009, p. 32).
58
É necessário que o desenvolvimento metodológico dos conteúdos expressos
pelas coleções mobilize o desenvolvimento de competências cognitivas, como
argumentação, organização, observação, compreensão, comunicação das ideias
matemáticas, memorização, saber raciocinar matematicamente, calcular
mentalmente, decodificar a linguagem matemática e saber se expressar por meio
dela, dentre outras. Assim o livro didático deve atender a dois requisitos:
• não privilegiar uma única habilidade ou competência entre aquelas a mobilizar e a desenvolver, visto que raciocínio, cálculo mental, interpretação e expressão em Matemática envolvem necessariamente várias delas; • ser coerente com os preceitos que afirma adotar. No caso de o livro didático recorrer a mais de um modelo metodológico, deve indicar claramente a articulação entre eles. (BRASIL, 2009, p. 33).
Apresentar uma metodologia que se enquadre nesses objetivos é um critério
fundamental para a decisão da eliminação ou classificação de uma coleção no
PNLD.
(iii) Manual do Professor
Para que um manual seja adequado ao dia a dia do professor em sala de aula
é necessário que fiquem explícitos seus princípios teórico-metodológicos e que
apresente, em todas as unidades, atividade por atividade seus objetivos, uma
discussão das escolhas didáticas pertinentes, antecipação dos possíveis caminhos
de desenvolvimento do aluno e de suas dificuldades, indicações de modificações da
atividade a fim de que o professor possa melhor adequar a atividade a sua realidade
local, auxílio ao professor na sistematização dos conteúdos trabalhados, possíveis
estratégias de resolução, indicações sobre a avaliação.
(iv) Construção da Cidadania
O livro didático deve “contribuir para o desenvolvimento da ética necessária
ao convívio social e à construção da cidadania...” (BRASIL, 2009, p. 34).
3.2.3 Estruturação das resenhas de avaliação dos livros didáticos
A seguir, explicitaremos como são as resenhas de avaliações dos livros
didáticos encontrados no Guia de Livros Didáticos do 1o ao 5o ano do PLND de 2010
59
(BRASIL, 2009). A priori, é identificado o nome da obra, código no PNLD (2010),
autoria, editora e capa. Em seguida a síntese avaliativa e os dados da coleção.
A Figura 4 apresenta a “analise” realizada pelos examinadores na avaliação
de uma coleção. Observamos na figura 4 que a abordagem dos conteúdos é feita
com base nos blocos indicados pelos PCN de Matemática.
Figura 5 - Abordagem dos conteúdos Fonte: BRASIL (2009)
Na etapa seguinte, é realizada uma análise da “metodologia de ensino e
aprendizagem” predominante na obra. Alguns aspectos são observados, tais como:
a valorização de atividades contribuintes para a construção de conhecimento e de
competências matemáticas, o uso e a manipulação de materiais didáticos, jogos e
atividades lúdicas. Também se observa os contextos nos quais as atividades são
apoiadas e as contribuições da obra para a formação da cidadania.
No item “linguagem e aspectos gráficos” é analisada a clareza da linguagem
utilizada. Por fim, é analisado o Manual do Professor.
Para servir de base na elaboração das resenhas, estruturadas da maneira
como citamos logo acima, os examinadores dispõem de uma “Ficha de Avaliação”
com os critérios eliminatórios e classificatórios, anteriormente mencionados.
Em relação aos materiais analisados neste estudo, selecionamos quatro
coleções direcionadas a alunos dos anos iniciais, sendo duas aprovadas para o
PNLD 2010 e duas coleções alternativas que não foram submetidas a essa
60
avaliação. Assim, de acordo com os objetivos da pesquisa, compilamos alguns
critérios de avaliação do documento oficial PNLD 20106 para um exame parcial
destas duas coleções alternativas de acordo com alguns parâmetros do PNLD 2010.
Detalharemos essa análise nos capítulos subsequentes.
6 Vide ANEXO A
61
CAPÍTULO IV
METODOLOGIA
Neste capítulo, descreveremos os aspectos metodológicos que serão
utilizados para analisar as situações do Campo Conceitual Aditivo encontradas em
quatro Coleções de materiais didáticos. O estudo se apoia na Teoria dos Campos
Conceituais e nos documentos oficiais Brasil (1997) e PNLD de 2010, no que se
refere às situações do Campo Aditivo e os recursos didáticos utilizados para tratar
das situações.
Nossa investigação é uma pesquisa documental seguindo a definição de Gil
(2010), ou seja, uma pesquisa elaborada a partir de “dados já existentes” (GIL, 2010,
p. 30) retirados de materiais publicados. Pretendemos verificar as possibilidades
oferecidas por diferentes coleções de materiais didáticos para favorecer a
construção de esquemas por alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental,
examinando as situações do Campo Aditivo encontradas nessas Coleções.
Em nosso estudo, foi adotada a abordagem qualitativa apoiada na ideia de
Dias (2000), citando Bradley (1993), quando aponta que em pesquisas com esse
tipo de abordagem “as grandes massas de dados são quebradas em unidades
menores e, em seguida, reagrupadas em categorias que se relacionam entre si de
forma a ressaltar padrões, temas e conceitos” (p. 02).
4.1 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
A nossa proposta de trabalho vale-se de técnicas semelhantes às fases de
desenvolvimento da “análise de conteúdo” que, de acordo com Bardin (1988)
consiste em “um conjunto de técnicas de análise das comunicações, que utiliza
procedimentos sistemáticos e objectivos de descrição do conteúdo das mensagens”
(BARDIN, 1988, p. 38). Existem três fases para o desenvolvimento da análise de
conteúdo:
As diferentes fases da análise de conteúdo, tal como o inquérito sociológico ou a experimentação, organizam-se em torno de três pólos cronológicos:
62
1) a pré-análise; 2) a exploração do material; 3) o tratamento dos resultados, a inferência e a interpretação. (BARDIN,
1988, p. 95).
Desta maneira, de acordo com as fases do desenvolvimento da análise de
conteúdo de Bardin (1988), foram realizados os seguintes procedimentos:
4.1.1 Pré-análise
Foram escolhidas quatro Coleções de materiais didáticos de Matemática
voltados aos anos iniciais do Ensino Fundamental que são utilizados em diferentes
sistemas de ensino.
4.1.1.1 Levantamento das Coleções
Os objetos de nosso estudo são quatro Coleções de materiais didáticos, do 2o
ao 5o ano que foram selecionadas com o objetivo de abranger materiais que são
utilizados em diferentes sistemas de ensino, porém destinados a públicos da mesma
fase escolar. Designaremos as mesmas como: Coleção1, Coleção 2, Coleção 3 e
Coleção 4.
Segue a relação das obras selecionadas:
Duas Coleções de materiais didáticos indicados no Guia de Livros
Didáticos PNLD 2010 – Alfabetização Matemática e Matemática, que
chamaremos de Coleção1 e Coleção2. Essas Coleções são destinadas
tanto às escolas de redes públicas de ensino, pois são indicadas pelo
PNLD, quanto às de redes privadas de ensino;
Uma Coleção de materiais didáticos destinada a redes privadas de
ensino que chamaremos de Coleção 3;
Uma Coleção de materiais didáticos destinada a uma rede de ensino
público que chamaremos de Coleção 4.
63
As duas Coleções indicadas no Guia de Livros Didáticos de 2010 (Coleção 1
e Coleção 2) foram selecionadas pelo nosso conhecimento do trabalho dos autores;
a escolha da outras duas (Coleção 3 e Coleção 4) pela facilidade de acesso da
pesquisadora a esses materiais. Dentre as quatro Coleções apuradas para o estudo,
os volumes que são destinados aos alunos do 1o ano não foram selecionados, pois
só tivemos acesso aos materiais destinados ao 1o ano de duas das quatro Coleções
selecionadas.
A escolha foi realizada com o intuito de analisar o conjunto de propostas para
o Campo Conceitual Aditivo contido em materiais que são utilizados em diferentes
sistemas de ensino, mas destinados a alunos do mesmo nível de escolaridade.
4.1.2 Exploração do material
Foram selecionadas situações referentes ao bloco temático Números e
Operações, mais precisamente o Campo Conceitual Aditivo; classificamos essas
situações quanto a sua natureza (de acordo com as categorias de Vergnaud), e
quanto a sua forma de apresentação (de acordo com os tipos de problemas e seus
recursos didáticos).
4.1.2.1 Elaboração dos instrumentos de coleta de dados
Foram elaboradas fichas para organização e classificação dos problemas do
Campo Aditivo encontradas nas Coleções de acordo com as categorias
estabelecidas por Vergnaud (1982), subdivididos em Problemas tipo 1 e Problemas
tipo 2 e de acordo com os recursos didáticos propostos para estes problemas, a
saber:
APÊNDICE A - Classificação das situações do Campo Aditivo de acordo com
as categorias da TCC
64
APÊNDICE B - Classificação das situações do Campo Aditivo de acordo com
os recursos didáticos
Em nossa pesquisa, foram analisados os problemas compostos por relações
elementares, ou seja, relações aditivas básicas. Segundo Vergnaud (2009) esses
problemas tratam de relações que são sempre ternárias (relacionam três elementos)
e podem ser classificadas de acordo com seis categorias básicas. Os objetos de
nosso estudo são voltados aos anos iniciais do Ensino Fundamental, por esse
motivo, vamos considerar apenas quatro categorias de problemas dentre as seis
estabelecidas por Vergnaud, que são compatíveis com a fase escolar adotada:
“composição”, “transformação”, “comparação” e “composição de duas
transformações”. Porém, as relações aditivas não se limitam apenas às relações
básicas, não compreendem apenas os problemas que se reduzem a uma relação,
existem problemas que correlacionam várias relações elementares e foram
designados por Vergnaud como “problemas complexos”.
4.1.3 Tratamento dos resultados
Os dados colhidos e registrados nos instrumentos foram interpretados e
analisados com o embasamento do referencial teórico e considerações dos PCN e
do PNLD de 2010, procurando atender aos objetivos e responder as questões que
motivaram essa investigação.
No exame dos volumes do 2o ao 5o ano das diferentes coleções encontramos
dois tipos de problemas. O primeiro tipo, que chamaremos de Problemas tipo 1, são
problemas que demandam uma simples ou imediata realização de operações para
se chegar à solução7. Fazendo a associação entre nossa definição para esse tipo de
problema e a classificação dos problemas para Dante tem que os Problemas tipo 1
7 No Apêndice C estão alguns exemplos dos tipos de problema (tipo 1 e tipo 2).
65
se assemelham aos “Problemas-padrão: fixar fatos básicos e algoritmos vinculando
seu emprego a situações do cotidiano; onde é preciso transformar linguagem usual
em linguagem matemática” (DANTE, 2000 apud PAGLIARINI, 2007, p.28).
O segundo tipo a que denominaremos Problemas tipo 2 são problemas mais
contextualizados, que exigem levantamento de dados, são mais desafiadores, cujos
dados podem ser organizados em forma de tabelas ou traçando gráficos. Este tipo
de problema demanda, na maioria das vezes, a realização de diferentes operações
e algoritmos e geralmente requer a resolução de mais de um problema numa mesma
situação8. Dante os considera como “Situações-Problema: levam o estudante a
coletar e organizar dados, matematizar uma situação real vivenciada diariamente e
solucionar o problema utilizando a Matemática” (DANTE, 2000 apud PAGLIARINI,
2007, p.28).
No transcorrer do trabalho foram realizados os seguintes procedimentos:
Detalhamos as Coleções, observando a classificação das situações
quanto a sua natureza, de acordo com as categorias de Vergnaud, e
quanto a sua forma de apresentação, de acordo com os tipos de
problemas e seus recursos didáticos propostos ao longo dos quatro
anos (2o ao 5o) que compõem as coleções.
Destacamos trechos das avaliações nas resenhas do Guia de Livros
Didáticos PNLD 2010 sobre as duas Coleções avaliadas Coleção1 e
Coleção 2 levando em conta os interesses da pesquisa; sobre as outras
duas Coleções: Coleção 3 e Coleção 4, que não passaram por essa
avaliação, elaboramos um breve exame seguindo alguns critérios
adotados nas avaliações do Guia de Livros Didáticos PNLD 2010.
Realizamos um estudo comparativo entre as quatro Coleções buscando
analisar a evolução das situações e seus recursos didáticos e
observando a maneira como conduzem a construção de esquemas
pelo aluno ao longo dos anos.
8 No Apêndice C estão alguns exemplos dos tipos de problema (tipo 1 e tipo 2).
66
Na sequência, será apresentada a análise dos dados colhidos com os
instrumentos de coleta, detalhados neste Capítulo.
67
CAPÍTULO V
ANÁLISE DOS DADOS
Neste capítulo, apresentaremos a análise dos dados obtidos examinando as
Coleções de materiais didáticos selecionadas para o presente estudo com a
utilização dos instrumentos de coleta de dados que foram mencionados e
detalhados no capítulo anterior.
Analisaremos as situações do Campo Conceitual Aditivo observando sua
classificação de acordo com as categorias de Vergnaud (1982); os demais recursos
didáticos propostos por essas Coleções serão analisados tendo em vista os
documentos oficiais: Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) e o Plano Nacional
do Livro Didático (2010).
A classificação a ser utilizada, estabelecida por Vergnaud (1982), será
baseada em quatro categorias de relações básicas do Campo Conceitual Aditivo:
“composição”, “transformação”, “comparação” e “combinação de duas
transformações”. Sobre as demais categorias vale ressaltar que as categorias
encontradas
[...] vão além das quatro séries iniciais do ensino fundamental. De fato, são problemas que, devido a sua complexidade, devem ser trabalhados nos quatro anos finais do ensino fundamental (MAGINA et al, 2008, p.50).
No exame das Coleções de materiais didáticos, encontramos alguns
problemas, com exemplos nos anexos (ANEXO B), que não podem ser classificados
de acordo com as categorias de relações básicas, ou elementares, da TCC e, dentre
outros motivos, o principal deles é o fato de serem problemas complexos, ou seja, as
relações contidas não são ternárias.
Detalharemos cada uma das Coleções, de maneira isolada, também
destacaremos trechos das resenhas do PNLD de 2010 sobre as duas Coleções
avaliadas “Coleção 1” e “Coleção 2” levando em conta os interesses da pesquisa;
sobre as outras duas Coleções, que não passaram por essa avaliação, elaboramos
uma breve análise de acordo com alguns critérios adotados para as avaliações e
elaboração das resenhas pelo PNLD de 2010. Posteriormente, serão observadas as
semelhanças e diferenças entre as quatro Coleções de materiais didáticos. Por fim,
faremos uma análise e discussão dos resultados evidenciando um quadro
68
comparativo, entre as quatro Coleções, no que diz respeito as categorias de
Vergnaud, os tipos de problemas, os recursos didáticos e os critérios de avaliação
do PNLD de 2010.
5.1 COLEÇÃO 1
5.1.1 Classificação das situações segundo as categorias de Vergnaud (1982) na
TCC
Na classificação geral das situações de acordo com as quatro primeiras
categorias do Campo Aditivo compostas de relações elementares, estabelecidas por
Vergnaud (1982), observamos a partir da Tabela 1 e da representação gráfica
abaixo, uma predominância da categoria “transformação” em relação as demais
categorias.
Tabela 1 – Classificação geral, Coleção 1
Categorias 2o ano 3o ano 4o ano 5o ano Total
Composição 44 27 12 9 92
Transformação 42 38 18 30 128
Comparação 19 7 9 6 41
Composição de duas transformações 0 1 1 0 2
Total 105 73 40 45 263 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 1
Figura 6 – Classificação geral dos problemas, Coleção 1 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 1
2º ano
3º ano
4º ano5º ano
0
20
40
60
ComposiçãoTransformação
ComparaçãoComposição de
2 transform.
Coleção 1 Classificação geral - categorias de Vergnaud
69
Em relação à quantidade total das situações, há um número bastante
significativo destas nos quatro volumes desta Coleção, mesmo com a diminuição
dessa quantidade ao longo dos volumes, o que já é esperado, pois as atividades do
Campo Multiplicativo começam a ser introduzidas ao longo dos anos.
Detalhando a subdivisão das situações quanto aos tipos de problemas
encontrados, elaboramos as tabelas seguintes e a Figura 7:
Tabela 2 – Classificação dos tipos de problemas
Coleção 1 – 2o ano
Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total
Composição 15 29 44
Transformação 17 25 42
Comparação 6 13 19
Composição de duas transformações
0 0 0
Total 38 67 105 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 1
Tabela 3 – Classificação dos tipos de problemas
Coleção 1 – 3o ano
Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total
Composição 15 12 27
Transformação 23 15 38
Comparação 2 5 7
Composição de duas transformações
1 0 1
Total 41 32 73 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 1
Tabela 4 – Classificação dos tipos de problemas
Coleção 1 – 4o ano
Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total
Composição 5 7 12
Transformação 9 9 18
Comparação 3 6 9
Composição de duas transformações
1 0 1
Total 18 22 40 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 1
Tabela 5 – Classificação dos tipos de problemas
Coleção 1 – 5o ano
Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total
Composição 3 6 9
Transformação 15 15 30
Comparação 1 5 6
Composição de duas transformações
0 0 0
Total 19 26 45
70
Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 1
Figura 7 – Classificação dos tipos de problemas e categorias de Vergnaud, Coleção 1 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 1
71
Observamos uma boa distribuição das situações quanto ao tipo de problemas.
Os dois tipos são bastante explorados apesar da quantidade numérica dos
Problemas tipo 2 ser maior, com exceção do volume do 3o ano em que sobressaem
os Problema tipo 1. Verificamos também que a quantidade de Problemas tipo 2
correspondentes a categoria “composição” apenas se sobressai, em relação às
outras, no volume do 2o ano.
5.1.2 Recursos didáticos
A Tabela 6 e a Figura 8 a seguir mostram as quantidades dos recursos
didáticos propostos nos materiais desta Coleção.
Tabela 6 – Classificação dos recursos didáticos, Coleção 1
Recursos didáticos 2o ano 3o ano 4o ano 5o ano Total
Apenas enunciado 30 32 13 5 80
Figura 69 34 19 24 146
Calculadora 0 3 0 1 4
Cálculo mental 3 1 8 15 27
Material concreto 0 1 0 0 1
Jogo 0 0 0 0 0
Criação de problema 3 2 0 0 5
Total 105 73 40 45 263 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 1
Figura 8 – Classificação dos recursos didáticos, Coleção 2 (2
o ao 5
oanos)
Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 1
72
O material dispõe de uma quantidade razoável de atividades com o estímulo
ao cálculo mental, recomendado pelos PCN. Porém, jogos e atividades com a
utilização da calculadora, que também são recomendados pelos PCN, são pouco
estimulados.
5.1.3 Exame da Coleção 1 segundo critérios do Guia de Livros Didáticos PNLD 2010
As Coleções avaliadas pelo PNLD 2010 foram subdivididas em dois grupos
no momento da análise e elaboração das resenhas. O primeiro grupo de materiais é
denominado “Alfabetização Matemática” e compreende os materiais do 1o e do 2o
anos e, o segundo grupo, denominado “Matemática”, os materiais do 3o, 4o e 5o anos
do Ensino Fundamental.
Destacamos alguns trechos das resenhas de avaliação do Guia de Livros
Didáticos PNLD 2010 sobre a Coleção 1, no que diz respeito aos interesses da
nossa pesquisa, visando atender a nossos objetivos.
1o e 2o Anos
Síntese avaliativa
Os conteúdos da obra são abordados a partir de situações do cotidiano e de uma grande quantidade de atividades diversificadas. Muitas destas, porém, são dirigidas passo a passo e possuem enunciados longos, o que pode dificultar o acompanhamento de sua leitura por crianças ainda não alfabetizadas. Outras são atividades bastante complexas e relacionadas a conteúdos ainda não explorados, pressupondo-se a aquisição prévia de conhecimentos pelos alunos em contextos sociais extraescolares [...] há uma preocupação excessiva com a sistematização. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 1).
Abordagem dos conteúdos
É feita a partir de situações do cotidiano, o que a torna mais significativa. No entanto, a coleção dá atenção excessiva ao campo dos números e operações. [...] As ideias associadas às operações são corretamente exploradas em aplicações de interesse das crianças. São trabalhados os algoritmos da adição e da subtração. [...] (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 1).
Metodologia de ensino e aprendizagem
Os capítulos se estruturam em sequências de atividades variadas, mas a maioria delas é bastante dirigida e exige pouca reflexão para ser respondida. [...] Porém, as atividades não valorizam o uso de estratégias pessoais ou diferentes possibilidades de abordagem. Algumas articulam
73
adequadamente mais de um campo da Matemática, no entanto, outras pressupõem conhecimentos construídos fora da escola e ainda não explorados pelo livro. [...] A contextualização dos conteúdos é feita nos enunciados das atividades, com a criação de situações relacionadas ao universo infantil e às práticas sociais do cotidiano. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 1).
3o, 4o e 5o Anos
Síntese avaliativa
Os conteúdos são desenvolvidos com base em exemplos e explanações. Estas últimas são acompanhadas de atividades nas quais se conduz o aluno a responder questões ou a realizar procedimentos. A sistematização dos conteúdos é feita, em geral, de forma apropriada, mas há casos em que ela é precoce ou traz excesso de simbologia, o que pode limitar a autonomia e a criatividade do aluno. Por outro lado, em várias situações, o aluno é solicitado a refletir, verificar processos e resultados e a interagir com os colegas e com o professor, o que pode favorecer sua participação ativa na construção do conhecimento. [...] É dada atenção excessiva ao campo de números e operações, particularmente no volume do 3º ano [...] (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 1).
Abordagem dos conteúdos
Os conteúdos de cada campo de conteúdo são tratados adequadamente, sendo retomados em diferentes volumes ou em distintos momentos num mesmo volume. É dada atenção excessiva ao campo de números e operações, particularmente no volume do 3º ano, o que reduz o estudo dos demais, especialmente da geometria e do tratamento da informação. [...] Os conceitos relativos a este campo
9 são adequadamente introduzidos, e há
discussões sobre as diferentes abordagens de um mesmo conteúdo, como o emprego de diversos procedimentos para as operações fundamentais e o apelo à representação gráfica para explicar o algoritmo da divisão. Há diversidade de exercícios e propostas de abordagens e leituras que tornam interessantes os temas apresentados. [...] (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 1).
Metodologia de ensino e aprendizagem
[...] Em várias situações, o aluno é solicitado a refletir, verificar processos e resultados e a interagir com os colegas e com o professor. Assim, a participação ativa do aluno na construção do conhecimento fica favorecida. Há, na coleção, situações que favorecem o desenvolvimento de competências para visualizar, classificar, questionar, expressar e registrar ideias e procedimentos. Há ainda atividades diversificadas que contemplam questões abertas, desafios, problemas com várias soluções e situações em que o aluno é solicitado a verificar processos e resultados. [...] Outro aspecto positivo da obra é a presença de temas interdisciplinares como espaço geográfico, meio ambiente, recursos naturais, fauna e flora
9 Números e operações
74
brasileiras, que podem contribuir para a formação da cidadania. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 1).
Em sala de aula
O aluno é conduzido a adquirir o conhecimento matemático por meio da resolução de atividades, que são ricas e bem diversificadas [...] um dos aspectos positivos da obra é a solicitação para que os alunos registrem suas respostas por escrito e realizem debates em sala de aula com base nessas produções [...] (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 1).
5.2 COLEÇÃO 2
5.2.1 Classificação das situações segundo as categorias de Vergnaud (1982) na
TCC
Na classificação geral das situações desta coleção, observando a Tabela 7 e
a Figura 9, verificamos uma quantidade maior da categoria “transformação” em
relação às demais categorias, seguido da categoria “composição”, depois da
“comparação” e por fim da categoria “composição de duas transformações”.
Encontramos a categoria “composição” em maior quantidade apenas no volume do
3o ano.
Tabela 7 – Classificação geral, Coleção 2
Categorias 2o ano 3o ano 4o ano 5o ano Total
Composição 25 37 21 5 88
Transformação 29 33 25 12 99
Comparação 10 2 12 4 28
Composição de duas transformações 0 1 1 0 2
Total 64 73 59 21 217 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 2
75
Figura 9 – Classificação geral dos problemas, Coleção 2 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 2
Verificamos também que a Coleção apresenta uma boa distribuição na
quantidade total de situações, apesar dessa quantidade se sobressair no volume do
3o ano em relação aos demais volumes: 2o, 4o e 5o anos. Porém a Coleção propõe
mais situações da categoria “comparação” no 2o quando comparado ao 3o ano, e no
4o quando comparado ao 5o ano.
No volume do 5o ano observamos que são pouco exploradas situações de
“comparação” e “composição de duas transformações”; para este ano espera-se que
sejam propostas mais situações desses tipos, pois são consideradas mais
complexas e desafiadoras que os demais, visando a ampliação do domínio do
Campo Conceitual.
Detalhando a subdivisão das situações quanto aos tipos de problemas
elaboramos as tabelas seguintes e a Figura 10:
Tabela 8 – Classificação dos tipos de problemas
Coleção 2 – 2o ano
Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total
Composição 2 23 25
Transformação 2 27 29
Comparação 0 10 10
Composição de duas transformações
0 0 0
Total 4 60 64 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 2
2º ano
3º ano
4º ano
5º ano
0
10
20
30
40
50
ComposiçãoTransformação
ComparaçãoComposição de 2
transform.
Coleção 2 Classificação geral - categorias de Vergnaud
76
Tabela 9 – Classificação dos tipos de problemas
Coleção 2 – 3o ano
Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total
Composição 11 26 37
Transformação 8 25 33
Comparação 0 2 2
Composição de duas transformações
1 0 1
Total 20 53 73 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 2
Tabela 10 – Classificação dos tipos de problemas
Coleção 2 – 4o ano
Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total
Composição 3 18 21
Transformação 5 20 25
Comparação 6 6 12
Composição de duas transformações
0 1 1
Total 14 42 59 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 2
Tabela 11 – Classificação dos tipos de problemas
Coleção 2 – 5o ano
Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total
Composição 4 1 5
Transformação 3 9 12
Comparação 1 3 4
Composição de duas transformações
0 0 0
Total 8 13 21 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 2
77
Figura 10 – Classificação dos tipos de problemas e categorias de Vergnaud, Coleção 2 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 2
78
Outro fato observado diz respeito à variedade dos problemas quanto aos tipos
(1 e 2). A Coleção propõe uma quantidade bem maior de Problemas tipo 1, em
especial no volume do 2o ano que corresponde a apenas 6% do total, esse
percentual é mais equilibrado nos demais volumes.
5.2.2 Recursos didáticos
A Tabela 12 e a Figura 11, a seguir, mostram as quantidades dos recursos
didáticos propostos nos volumes desta coleção.
Tabela 12 – Classificação dos recursos didáticos, Coleção 2
Recursos didáticos 2o ano 3o ano 4o ano 5o ano Total
Apenas enunciado 14 27 19 9 69
Figura 37 37 30 8 112
Calculadora 5 0 1 0 6
Cálculo mental 5 5 7 4 21
Material concreto 0 0 0 0 0
Jogo 2 2 0 0 4
Criação de problema 1 2 2 0 5
Total 64 73 59 21 217 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 2
Figura 11 – Classificação dos recursos didáticos, Coleção 2 (2º ao 5º anos) Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 2
79
A maior parte das situações propostas pela Coleção utiliza figuras em seus
enunciados, as que só utilizam o enunciado em sua apresentação também são
bastante explorados, principalmente no volume do 5o ano.
O recurso didático que contribui para o desenvolvimento do cálculo mental
também é encontrado em uma quantidade razoável. Outros recursos como
calculadora, jogo e criação de problema são propostos com menor frequência. O
único recurso que a Coleção não propõe é a utilização de material concreto para
auxiliar na discussão das situações.
5.2.3 Exame da Coleção segundo critérios do Guia de Livros Didáticos PNLD 2010
Destacamos alguns trechos de resenhas de avaliação do Guia de Livros
Didáticos PNLD 2010 sobre a Coleção 2, no que diz respeito aos interesses da
nossa pesquisa, visando atender a nossos objetivos.
Da mesma forma que a Coleção 1, as atividades desta Coleção foram
subdividas em dois grupos pelo PNLD (2010). O grupo “Alfabetização Matemática”
compreende os volumes do 1o e 2o anos e o grupo “Matemática” refere-se aos
volumes do 3o, 4o e 5o anos do Ensino Fundamental.
1o e 2o Anos
Síntese avaliativa
Sobressai, na obra, a riqueza de contextualizações e a linguagem usada, além da diversidade de gêneros textuais e de recursos gráficos. [...] as noções preliminares e intuitivas sobre os números naturais e as quatro operações aritméticas recebem bastante atenção. [...] páginas arejadas se alternam com outras em que há excesso de informações visuais, textos longos ou tarefas com muitos subitens. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 2).
Abordagem dos conteúdos
Nos dois volumes e ao longo das unidades, os conteúdos de cada campo são distribuídos de maneira equilibrada e com boas articulações. No entanto, há abordagem mais formal das quatro operações apenas no livro 2, o que é acertado. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 2).
Metodologia de ensino e aprendizagem
A obra se caracteriza por valorizar atividades que incentivam a participação ativa dos alunos e sua interação. Destacam-se as seções de resolução de
80
problemas, que não se limitam àqueles que exigem cálculos. Em ambos os volumes valoriza-se o desenvolvimento do raciocínio matemático em situações nas quais a criança é solicitada a refletir sobre as respostas e as estratégias de resolução de problemas. Na maioria dos casos, as sistematizações ficam a cargo do professor, embora haja atividades que trazem definições nos enunciados ou em “balões” com “falas” de personagens. [...] encontram-se também atividades cujos enunciados e ilustrações favorecem a reflexão sobre o cuidado com o meio ambiente e respeito ao outro, em particular ao idoso. Há ainda, atividades que promovem a articulação dos diferentes campos da Matemática e desta com outras áreas do conhecimento.” (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 2).
3o, 4o e 5o Anos
Síntese avaliativa
Os conceitos são abordados e retomados com aprofundamento gradual ao longo da coleção. As atividades são bem formuladas e contribuem para o estabelecimento de significados. São usados textos que ajudam na contextualização e interligam o assunto tratado a questões sociais e culturais. Dessa forma, a obra contribui para a formação de indivíduos críticos e autônomos. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 2).
Abordagem dos conteúdos
Os conteúdos de números e operações, geometria, grandezas e medidas, e tratamento de informação são abordados e sempre retomados por meio de problemas diversificados. Isso é feito em cada unidade e por meio de itens que apresentam enfoques variados, com o cuidado de aprofundar os conteúdos a cada retomada. Em cada uma das quatro unidades dos livros um dos campos é mais enfatizado. Mas os outros também são trabalhados, em menor grau, nas diversas situações-problema propostas [...] [...] se verifica uma diminuição de números e operações no 5º ano, o que é adequado. Os conteúdos deste campo são bem explorados, por meio de atividades diversificadas e bem contextualizadas. Eles são abordados e retomados com ampliações gradativas. No trabalho com as quatro operações, são tratados gradativamente seus diferentes significados e algoritmos. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 2).
Metodologia de ensino e aprendizagem
A resolução das situações-problema, que são diversificadas e instigadoras, dá oportunidade ao aluno para estabelecer relações e, progressivamente, adquirir os conceitos e procedimentos matemáticos. O estímulo ao uso de diferentes estratégias na resolução de problemas e de vários recursos didáticos, como calculadora, ábaco, régua e compasso, auxilia no processo de investigação. Por sua vez, as atividades com textos variados favorecem o desenvolvimento da criatividade. [...] São feitas boas contextualizações dos conteúdos, que são articulados às práticas sociais atuais e ao mundo infantil. Além disso, valorizam-se os conhecimentos prévios e extraescolares dos alunos. Há, também, preocupação em relacionar a Matemática às demais áreas, como Geografia e Ciências. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 2).
Em sala de aula
Ao longo da coleção, são propostas várias atividades para serem resolvidas oralmente, o que incentiva a reflexão, argumentação e a interação entre os
81
alunos. [...] As leituras complementares, sugeridas e comentadas ao final do livro, podem se constituir em excelentes recursos para o docente. (RESENHA DO PNLD, COLEÇÃO 2).
5.3 COLEÇÃO 3
5.3.1 Classificação das situações segundo as categorias de Vergnaud (1982) na
TCC
Na classificação geral das situações desta Coleção, encontramos uma
quantidade maior destas da categoria “composição” em relação às demais
categorias, seguido da categoria “transformação”, “comparação” e por fim
“composição de duas transformações”. A quantidade total de situações diminui
bruscamente nos volumes do 2o para o 5o anos.
Tabela 13 – Classificação geral, Coleção 3 Categorias 2o ano 3o ano 4o ano 5o ano Total
Composição 73 20 10 3 106
Transformação 15 14 6 1 36
Comparação 5 12 1 1 19
Composição de duas transformações 0 1 0 0 1
Total 93 47 17 5 162 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 3
Figura 12 – Classificação geral dos problemas, Coleção 3 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 3
2º ano
3º ano
4º ano5º ano
0
10
20
30
40
50
ComposiçãoTransformação
ComparaçãoComposição de 2
transform.
Coleção 3 Classificação geral - categorias de Vergnaud
82
De acordo com a Figura 12 percebemos que a quantidade de problemas de
“comparação” é maior no 2o e no 3o anos, e a categoria “composição de duas
transformações” não é abordada no 4o e 5o anos. Problemas destas categorias são
mais complexos que os das demais e, assim, espera-se que sejam abordados com
maior ênfase nos anos finais (4o e 5o anos).
Quanto à classificação dos tipos de problemas, elaboramos as tabelas e
figuras abaixo representadas:
Tabela 14 – Classificação dos tipos de problemas
Coleção 3 – 2o ano
Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total
Composição 12 61 73
Transformação 3 12 15
Comparação 0 5 5
Composição de duas transformações
0 0 0
Total 15 78 93 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 3
Tabela 15 – Classificação dos tipos de problemas
Coleção 3 – 3o ano
Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total
Composição 9 11 20
Transformação 2 12 14
Comparação 1 11 12
Composição de duas transformações
1 0 1
Total 13 34 47 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 3
Tabela 16 – Classificação dos tipos de problemas
Coleção 3 – 4o ano
Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total
Composição 5 5 10
Transformação 1 5 6
Comparação 0 1 1
Composição de duas transformações
0 0 0
Total 6 11 17 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 3 Tabela 17 – Classificação dos tipos de problemas
Coleção 3 – 5o ano
Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total
Composição 0 3 3
Transformação 1 0 1
Comparação 0 1 1
83
Composição de duas transformações
0 0 0
Total 1 4 5 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 3
84
Figura 13 – Classificação dos tipos de problemas e categorias de Vergnaud, Coleção 3 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 3
85
Quanto aos tipos de problemas10, os do tipo 2 são mais frequentes que os
problemas do tipo 1, em especial no volume do 2o ano na categoria “composição”
que corresponde a apenas 16% do total, conforme a Figura 13. Os problemas de
“comparação” e “composição de duas transformações” do tipo 1 são os que
aparecem com menor frequência nesta Coleção.
5.3.2 Recursos didáticos
A Tabela 18 e a Figura 14 abaixo mostram as quantidades dos recursos
didáticos propostos por esta coleção.
Tabela 18 – Classificação dos recursos didáticos, Coleção 3
Recursos didáticos 2o ano 3o ano 4o ano 5o ano Total
Apenas enunciado 2 17 9 2 30
Figura 77 9 2 3 91
Calculadora 0 0 0 0 0
Cálculo mental 0 0 0 0 0
Material concreto 4 17 0 0 21
Jogo 3 0 0 0 3
Criação de problema 7 4 6 0 17
Total 93 47 17 5 162 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 3
10
Na figura 13 a escala do primeiro gráfico: Coleção 3 – 2º ano foi alterada para se adequar
aos dados.
86
Figura 14 – Classificação dos recursos didáticos, Coleção 3 (2º ao 5º anos) Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 3
De acordo com os dados acima, verificamos que, no geral, o recurso mais
utilizado pela Coleção é a figura, que enriquece as situações e auxilia na
compreensão deles, seguido dos problemas apenas enunciados.
O destaque está nas situações com a utilização de material concreto e os que
propõem a formulação de problemas pelo aluno, que são recomendados pelos PCN
para esta fase escolar.
Recursos como calculadora e estímulo ao cálculo mental, também
recomendado pelos PCN, não são explorados pela coleção.
5.3.3 Exame da Coleção segundo critérios do Guia de Livros Didáticos PNLD 2010
Elaboramos uma breve análise sobre a Coleção 3, que não foi submetida à
avaliação do PNLD 2010, baseando-nos em alguns critérios de avaliação
estabelecidos no Guia de Livros Didáticos PNLD 2010. Os critérios retirados do
documento original estão presentes nos dois tópicos Aspectos Teórico-
Metodológicos e Estrutura Editorial. Lembramos que a escolha foi realizada
observando os critérios que melhor se adequam aos interesses do trabalho.
87
2o, 3o, 4o e 5o Anos
Os conteúdos do campo números e operações são introduzidos, no 2o ano,
por meio da contagem, usando recursos diversificados como jogos, histórias e
situações do cotidiano, aprofundados ao longo da coleção e inseridos num grande
número de situações.
As atividades propostas na Coleção favorecem o desenvolvimento de
competências como a classificação e generalização e também levam os estudantes
a conjecturar e registrar as ideias e procedimentos, favorecendo a sistematização
dos conteúdos de maneira bem articulada e com aprofundamento gradual ao longo
do ano e em anos consecutivos.
Os diferentes significados de um conceito são articulados, em propostas de
discussões relativas a distintas abordagens de um mesmo conteúdo, contidas nos
enunciados das atividades, em balões com falas de personagens e em situações
com elementos familiares aos alunos.
Uma característica da Coleção é a apresentação de situações que estimulam
a verificação, pelo aluno, dos processos e resultados de problemas, auxiliando,
assim, no processo de investigação. A utilização de diferentes estratégias na
resolução de problemas é bem valorizada, assim como o desenvolvimento da
imaginação e da criatividade, com diversas situações que propõem a formulação de
problemas pelo aluno.
A Coleção se caracteriza ainda por estimular a participação dos alunos na
construção de seus conhecimentos com o uso dos recursos didáticos, como
materiais concretos que incentivam a interação entre os alunos e desenvolvem
competências como a exploração, a argumentação, a tomada de decisões e a
visualização. Algumas atividades propõem a utilização de recursos tecnológicos
como o computador; no entanto, é dada pouca importância ao cálculo mental e a
utilização da calculadora na realização das atividades.
São feitas boas contextualizações e incentivos à relação da Matemática com
as demais áreas do conhecimento. A história da Matemática também é abordada,
principalmente, nos volumes dos anos finais (4o e 5o anos). Porém a coleção pouco
estimula as práticas sociais atuais.
As ilustrações enriquecem a leitura e compreensão dos textos e são
distribuídas de forma adequada e equilibrada nas Coleções.
88
5.4 COLEÇÃO 4
Sobre a Coleção 4 tem-se que:
“[...] este material não é e nem deve ser tratado como um livro didático... Esperamos que este material seja útil, mas não único. Aqui, está contemplada apenas uma parte das atividades que devem compor a rotina de sala de aula[...] As demais propostas[...] [...]não foram incluídas aqui, pois não comportam uma formatação como essa. É fundamental, entretanto, que aconteçam na sua rotina.” (APRESENTAÇÃO DA COLEÇÃO 4)
A Coleção deixa claro que não contempla todas as atividades necessárias
para o ensino em sala de aula, fazendo-se necessária a utilização de outros
recursos concomitantemente a este. Este material está, por vezes, sendo
prioritariamente utilizado no dia a dia escolar, uma das razões pelas quais o
incluímos em nossa análise.
O material do 2o ano desta Coleção contém somente propostas de atividades
relativas a leitura e a escrita; o estudo dos conceitos do Campo Aditivo se inicia
apenas com o material do 3o ano desta Coleção.
5.4.1 Classificação das situações segundo as categorias de Vergnaud (1982) na
TCC
A Tabela 19 e a Figura 15 mostram a classificação geral das situações do
Campo Aditivo desta Coleção. No geral, a quantidade total de problemas não é
muito significativa, são propostos poucos problemas aditivos ao longo dos volumes,
principalmente, porque no 2o ano não encontramos nenhuma situação deste Campo
Conceitual.
Tabela 19 – Classificação geral, Coleção 4 Categorias 2o ano 3o ano 4o ano 5o ano Total
Composição - 7 4 4 15
Transformação - 13 7 5 25
Comparação - 4 2 0 6
Composição de duas transformações - 0 0 1 1
Total - 24 13 10 47 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 4
89
Figura 15 – Classificação geral dos problemas, Coleção 4 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 4
A categoria que se sobressai às outras é a “transformação” de medidas,
principalmente no volume do 3o ano, como mostra a figura acima. As categorias
“comparação” e “composição de duas transformações” são pouco exploradas nos
volumes do 4o e 5o anos.
Detalhando a subdivisão das situações quanto aos tipos de problemas
elaboramos as tabelas seguintes e a Figura 16:
Tabela 20 – Classificação dos tipos de problemas
Coleção 4 – 3o ano
Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total
Composição 2 5 7
Transformação 5 8 13
Comparação 2 2 4
Composição de duas transformações
0 0 0
Total 9 15 24 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 4
Tabela 21 – Classificação dos tipos de problemas
Coleção 4 – 4oano
Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total
Composição 2 2 4
Transformação 3 4 7
Comparação 0 2 2
Composição de duas transformações
0 0 0
Total 5 8 13
2º ano
3º ano
4º ano
5º ano
0
10
20
30
40
50
ComposiçãoTransformação
ComparaçãoComposição de 2
transform.
Coleção 4 Classificação geral - categorias de Vergnaud
90
Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 4
Tabela 22 – Classificação dos tipos de problemas
Coleção 4 – 5o ano
Categorias Problemas tipo 1 Problemas tipo 2 Total
Composição 0 4 4
Transformação 0 5 5
Comparação 0 0 0
Composição de duas transformações
0 1 1
Total 0 10 10 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 4
Figura 16 – Classificação dos tipos de problemas e categorias de Vergnaud, Coleção 4 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 4
91
Verificamos uma distribuição equilibrada quanto aos dois tipos de problemas
1 e 2; no volume do 5o ano não encontramos problemas do tipo 1.
5.4.2 Recursos didáticos
A seguir temos a Tabela 23 e a Figura 17 que mostram as quantidades dos
recursos didáticos propostos por esta Coleção.
Tabela 23 – Classificação dos recursos didáticos, Coleção 4
Recursos didáticos 2oano 3o ano 4o ano 5o ano Total
Apenas enunciado - 16 12 6 34
Figura - 0 0 4 4
Calculadora - 0 1 0 1
Cálculo mental - 0 0 0 0
Material concreto - 1 0 0 1
Jogo - 2 0 0 2
Criação de problema - 5 0 0 5
Total - 24 13 10 47 Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 4
Figura 17 – Classificação dos recursos didáticos, Coleção 4 (3º ao 5º anos) Fonte: Dados da análise realizada na Coleção 4
Os problemas que utilizam apenas o enunciado para apresentar a situação
correspondem mais de 50% do total em todos os volumes desta Coleção, em
especial no volume do 4o ano que representa mais de 90% dos problemas propostos
92
como mostra a figura acima. No geral, a quantidade de situações com o recurso à
criação de problemas pelo aluno se sobressai, quando equiparada aos demais
recursos, mas, em contrapartida, esse recurso só é proposto no volume do 3o ano.
Nos volumes do 4o e 5o anos, foram encontrados poucos problemas que
utilizam os demais recursos. O cálculo mental não é estimulado em nenhum volume
desta Coleção.
5.4.3 Exame da Coleção segundo critérios do Guia de Livros Didáticos PNLD 2010
Esta Coleção também não foi submetida à avaliação do PNLD 2010 e, nos
baseando em alguns critérios de avaliação estabelecidos no Guia de Livros
Didáticos PNLD 2010, elaboramos uma breve resenha.
3o, 4o e 5o anos
Nesta Coleção, as propostas de atividades para o estudo da Matemática
aparecem apenas nos volumes destinados ao 3o ano (segunda série), 4o ano
(terceira série) e 5o ano (quarta série).
Possivelmente, não há um aprofundamento adequado de alguns conteúdos
ao longo dos dois primeiros anos, pois sua introdução ocorre apenas no volume do
3o ano acarretando uma defasagem na proposta para o estudo desta área do
conhecimento. Há equilíbrio entre algoritmos e procedimentos, porém, há pouca
articulação entre os significados de um mesmo conceito e suas representações
Matemáticas. Não há discussões sobre as diferentes abordagens de um mesmo
conteúdo do campo Números e Operações.
O material do 3o ano se destaca por valorizar a utilização, pelo aluno, de
estratégias diversificadas na resolução de problemas e também por estimular sua
criação, incentivando o aluno a observar, conjecturar e utilizar a imaginação e
criatividade. Situações desse tipo também foram encontradas no volume do 5o ano.
Por outro lado, os materiais do 4o e 5o anos apresentam poucas situações que
envolvam a utilização de diferentes estratégias na resolução de problemas.
No geral, a coleção apresenta poucas situações desafiadoras, com nem uma
ou várias soluções, ou situações que incentivem a verificação dos resultados dos
93
problemas pelo aluno, que seriam importantes no desenvolvimento de
competências, como investigar; questionar; argumentar e tomar decisões.
O aluno não é encorajado a realizar leituras complementares e a utilizar de
recursos tecnológicos, por exemplo, o computador e a calculadora.
A Coleção não dispõe de ilustrações que auxiliariam na compreensão dos
textos e atividades e que enriqueceriam e estimulariam a leitura dos mesmos.
Em relação ao critério de contextualização a Coleção não contribui
significativamente para a construção dos conhecimentos matemáticos no que diz
respeito às práticas sociais, à história da Matemática e a outras áreas do
conhecimento. O uso de conhecimentos extraescolares também é pouco estimulado.
5.5 ESTUDO COMPARATIVO ENTRE AS COLEÇÕES
5.5.1 Categorias de Vergnaud (1982) e tipos de problemas
A Tabela 24 e a Figura 18 mostram, de uma maneira geral, todas as
situações do Campo Conceitual Aditivo, presentes nas quatro coleções de materiais
didáticos selecionadas para esta pesquisa e que podem ser classificadas de acordo
com as categorias elaboradas por Vergnaud (1982) na Teoria dos Campos
Conceituais.
Tabela 24 – Classificação geral do 2o ao 5
o anos, Coleção 1 a Coleção 4
Categorias Coleção 1
Coleção 2
Coleção 3
Coleção 4
Composição 92 88 106 15 Transformação 128 99 36 25 Comparação 41 28 19 6 Composição de duas transformações 2 2 1 1
Total 263 217 162 47 Fonte: Dados da análise realizada nas Coleções 1 a 4
94
Figura 18 – Classificação geral dos problemas do 2
o ao 5
o ano - Coleção 1 a 4
Fonte: Dados da análise realizada nas Coleções 1 a 4
Com os dados apresentados na Figura 18 é possível perceber, rapidamente,
que as Coleções que propõem maior número de situações do Campo Aditivo são as
Coleções 1 e 2, com um total de 263 e 217 respectivamente, sobressaindo-se às
totalidades da Coleção 3 que corresponde a 162 situações e por fim a Coleção 4
com 47, como mostra a Tabela 24.
Segundo Vergnaud (1996), a formação do conhecimento pelos alunos deve-
se às situações com as quais eles se defrontam e dominam e, para que o conceito
se torne significativo é preciso que sejam propostas muitas e diversificadas
situações para que o aluno, ao mobilizar seus esquemas de ação na resolução,
consiga representar os invariantes operatórios de forma explícita, ou seja,
transformar os conceitos e os teoremas-em-ação em verdadeiros conceitos e
teoremas matemáticos. Para isso as coleções devem propor inúmeras situações
referentes a este Campo Conceitual ao longo de todos os anos do Ensino
Fundamental. Observamos que a Coleção 4 não disponibiliza uma quantidade
significativa ou desejável de situações, para um possível tratamento dos conceitos
do Campo Aditivo, como as outras coleções. Lembrando que esse material, Coleção
4, não contempla todas as atividades necessárias da rotina em sala de aula, ou seja,
não deve ser tratado como livro didático (APRESENTAÇÃO DA COLEÇÃO 4).
Todas as Coleções selecionadas apresentam situações das quatro
categorias, mas as Coleções 1 e 2 apresentam uma distribuição mais equitativa,
quantitativamente, em torno das quatro categorias, quando comparadas às Coleções
3 e 4. Segundo os resultados da investigação de Santana (2010), observa-se outro
Coleção 1
Coleção 2
Coleção 3
Coleção 4
0102030405060708090
100110120
ComposiçãoTransformação
ComparaçãoComposição de
2 transform.
Coleção 1, 2, 3 e 4 Classificação geral - 2º ao 5º anos
95
benefício na proposta de situações que podem ser enquadradas nas categorias de
Vergnaud:
uma sequência de ensino baseada na classificação proposta na Teoria dos Campos Conceituais para as situações-problema aditivas melhorou significativamente o desempenho dos estudantes da 3ª série do Ensino Fundamental (SANTANA, 2010, p. 270).
A autora constatou que “a principal contribuição que a sequência de ensino
trouxe para os estudantes foi à apropriação e consequente expansão das estruturas
aditivas.” (SANTANA, 2010, p. 271).
No quadro geral, percebemos que a grande maioria das situações propostas
pelas Coleções são do tipo “composição e transformação” de medidas, mais
especificamente, do tipo “composição” na Coleção 3 e, de maneira similar, do tipo
“transformação” nas Coleções 1, 2 e 4, mas em menor quantidade nesta última.
Essas situações são consideradas menos complexas em relação às outras, pois de
acordo com Arrais (2006) citando Vergnaud (1994), são compostas de um raciocínio
que pode ser considerado intuitivo, construído pelos alunos baseado nas
experiências cotidianas, as quais a maioria dos estudantes não tem dificuldade para
resolver. Assim, de acordo com a Teoria dos Campos Conceituais, a partir dessas
situações com os quais os alunos têm certa familiaridade, é possível evoluir na
construção do conhecimento das Estruturas Aditivas. (VERGNAUD, 1996).
Verificamos, também, que, no exame dos dados coletados de todas as
Coleções11, com o passar dos volumes do 2o para o 5o ano a quantidade de
situações do tipo “composição e transformação” não decrescem concomitante ao
gradativo aumento da quantidade de situações do tipo “comparação” e “composição
de duas transformações”, em especial na Coleção 4. Assim os alunos podem utilizar
os teoremas e conceitos-em-ação que já lhes são familiares para tratar destas
situações de “composição e transformação de medidas”, pois apresentam menor
grau de complexidade do que as outras duas. Dessa forma, provavelmente, não há
grande estímulo à construção de novos esquemas, pois os, anteriormente, formados
pelos alunos já são suficientes para lidar com as situações propostas. Por essa
11
Ver Figuras 6; 9; 12 e 18.
96
razão a segunda classe de situações estabelecida na Teoria dos Campos
Conceituais, aquela na qual os alunos precisam desencadear novos esquemas ou
acomodar e recombinar os já existentes, possivelmente não será proposta
significativamente para propiciar a conceituação das Estruturas Aditivas necessárias
no processo de aprendizagem desses alunos.
Uma semelhança geral entre as quatro Coleções é o fato de apresentarem
poucos problemas de “comparação” e “composição de duas transformações” nos
volumes do 4o e 5o anos e, como são categorias mais complexas que as outras
duas, espera-se que sejam trabalhadas com maior ênfase nesses anos finais do
Ensino Fundamental.
Como os resultados de pesquisa de Oliveira (2007) mostraram que o material
didático foi utilizado como referência e como fonte de exemplos e exercícios para os
professores participantes de sua investigação, essa distribuição que deve ser
proposta pelas Coleções é importante “de maneira a não ficar repetindo, ao longo da
formação inicial do estudante, problemas que requeiram dele um único raciocínio.”
(MAGINA et al, 2008, p. 27).
Com a gradativa introdução dos conceitos do Campo Multiplicativo ao longo
dos volumes espera-se uma redução na quantidade de situações do Campo Aditivo,
que devem apenas ser trabalhadas com menor frequência. Dentre os argumentos de
Vergnaud para a formação de um Campo Conceitual e não apenas de um conceito,
é válido ressaltar que
a construção e apropriação de todas as propriedades de um conceito ou de todos os aspectos de uma situação é um processo de muito fôlego que se desenrola ao longo dos anos, às vezes, uma dezena de anos, com analogias e mal-entendidos entre situações, entre concepções, entre procedimentos, entre significantes. (SOUZA E FÁVERO, 2002, p. 57).
Assim, as várias situações que compõem o Campo Aditivo precisam ser
trabalhadas com os alunos ao longo de todos os anos do Ensino Fundamental para
que seja possível propiciar a oportunidade do domínio dos conceitos de do Campo
Conceitual Aditivo. Porém, em algumas Coleções examinadas neste nesta
explanação percebemos grande redução no número de situações aditivas com o
97
passar dos anos escolares, chegando ao 5o ano com uma quantidade pouco
significativa de situações. Por exemplo, a Coleção 312 apresenta uma repentina
queda na quantidade de situações de um ano para o outro, chegando ao 5o ano com
pouquíssimas situações aditivas. Já as Coleções 1 e 213 quando propõem um maior
contato dos alunos com inúmeras situações aditivas do 2º até o 5º ano, pois essa
redução é mais equilibrada, pode favorecer ao melhor domínio e à construção das
propriedades dos conceitos deste Campo Conceitual. A Coleção 4 também propõe
uma redução equilibrada na quantidade de situações de um ano para outro, porém a
quantidade total é muito pequena quando comparada às outras Coleções.
A Tabela 25 e a Figura 19 abaixo foram elaboradas a fim de ilustrar
sucintamente a subdivisão dos problemas em tipo 1 e 2 que foram encontrados nas
quatro Coleções e podem ser classificados de acordo com as categorias da TCC.
Tabela 25 – Tipos de situações do 2o ao 5
o anos, Coleção 1 a 4
Categorias Coleção 1 Coleção 2 Coleção 3 Coleção 4
Problemas tipo 1 116 46 35 14
Problemas tipo 2 147 171 127 33
Total 263 217 162 47 Fonte: Dados da análise realizada nas Coleções 1 a 4
Figura 19 – Tipos de situações do 2º ao 5º anos - Coleção 1 a 4 Fonte: Dados da análise realizada nas Coleções 1 a 4
12
Ver Figura 12 e Tabela 13.
13 Ver Figura 6 e Tabela 1; Figura 9 e Tabela 7.
020406080
100120140160180
Coleção 1Coleção 2
Coleção 3Coleção 4
Tipos de situações, 2º ao 5º anos
Problemas tipo 1 Problemas tipo 2
98
Verificamos que os Problemas tipo 2 predominam em todas as coleções,
principalmente nas Coleções 2 e 3. Esses problemas, geralmente, são mais
contextualizados que os do tipo 1, exigindo pesquisa por parte do aluno com
levantamento e organização de dados, são mais desafiadores, e demandam, na
maioria das vezes, a realização de diferentes operações e algoritmos. Esse tipo de
problema, às vezes, requer a resolução de mais de um problema numa mesma
situação, o que não acontece nos Problemas tipo 1 que demandam uma simples ou
imediata realização de operações para se chegar a solução.
5.5.2 Recursos didáticos
Quanto aos recursos didáticos relacionados ao Campo Aditivo encontrados
nas coleções examinadas temos:
Tabela 26 – Recursos didáticos - 2o ao 5
o anos, Coleção 1 a 4
Recursos didáticos Coleção 1 Coleção 2 Coleção 3 Coleção 4 Total Apenas enunciado 80 69 30 34 213 Figura 146 112 91 4 353 Calculadora 4 6 0 1 11 Cálculo mental 27 21 0 0 48 Material concreto 1 0 21 1 23 Jogo 0 4 3 2 8 Criação de problema 5 5 17 5 32
Total 263 217 162 47 Fonte: Dados da análise realizada nas Coleções 1 a 4
99
Figura 20 – Recursos didáticos do 2
o ao 5
o anos - Coleção 1 a 4
Fonte: Dados da análise realizada nas Coleções 1 a 4
Quando as Coleções se utilizam de diversos recursos didáticos no ensino e
aprendizagem de competências matemáticas, estão abordando os conceitos de um
determinado Campo Conceitual em situações diversificadas, de diferentes maneiras
e, segundo Vergnaud (1996), são as situações, presentes num determinado Campo
Conceitual, que dão sentido aos conceitos. Assim é importante que as Coleções
ofereçam situações com a proposta de diversos recursos didáticos para abordar os
conceitos do Campo Aditivo.
De maneira geral, constatamos em todas as Coleções, a predominância das
situações que utilizam figuras em sua apresentação. Esse recurso pode contribuir
para a visualização e o enriquecimento da leitura e a compreensão das atividades e
textos e favorecer a familiarização do aluno com os elementos do exercício.
Consequentemente, poderá contribuir como auxiliador na construção do
conhecimento das Estruturas Aditivas, de acordo com Vergnaud (1983). As
Coleções que se destacam com a proposta desse recurso visual são: Coleção 1 e
Coleção 3 com 56% de seus problemas e, logo após, a Coleção 2 com 51% das
situações. A Coleção 4 não valoriza a utilização das figuras como as outras
coleções, correspondem a apenas 9% do total, como mostra a Figura 20.
Assim como Oliveira Filho (2009), verificamos também a presença de
diversos problemas apenas enunciados, em especial na Coleção 4, com 72% dos
seus problemas apresentados nesta forma. Outra característica semelhante aos
100
resultados de Oliveira Filho (2009) é a pouca exploração dos jogos e manuseio de
calculadora pelas quatro Coleções. Porém, em relação aos jogos, nossos resultados
se distanciam dos resultados de Campos (2009), que apontou a presença de
divesas atividades relacionadas a esse recurso. Dessa forma, as Coleções
selecionadas em nosso estudo, possivelmente, deixarão a desejar em relação a
aspectos importantes valorizados pelos PCN. Por exemplo, os jogos, que são
considerados objetos socioculturais, geram interesse, prazer e satisfação aos
alunos, auxiliando na formação de hábitos, percepção de regularidades e a se
submeterem a regras e dar explicações que favorecem sua integração em um
mundo social. O uso da calculadora é importante por ser valioso instrumento de
verificação dos resultados e correção de erros pelo aluno (BRASIL, 1997b).
Quanto à utilização de materiais concretos, Campos (2009) também
constatou uma grande quantidade de atividades com essa proposta, distanciando-se
dos resultados de nossa investigação, na qual verificamos que esse recurso é mais
valorizado em apenas uma das quatro Coleções analisadas (Coleção 314). Por outro
lado, lembramos que Santana (2010) concluiu que a utilização de alguns materiais
concretos (que a autora nomeou de suportes didáticos) como material dourado e
ábaco não ofereceram grandes diferenças no avanço dos conhecimentos do Campo
Aditivo.
Em relação ao cálculo mental observa-se uma semelhança entre as
Coleções 1 e 2, pois exploram uma quantidade razoável de situações com esse
recurso, aproximadamente 10% do total destas em cada coleção; segundo os PCN
(1997), é um recurso fundamental para o desenvolvimento do raciocínio lógico,
dedução, analogias, estimula a memória, a segurança na resolução de problemas e,
dentre outros aspectos, serve de suporte para o cálculo escrito, sendo importante
sua introdução desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. As Coleções 3 e 4,
por não indicarem nenhuma situação desse tipo, possivelmente, não oferecerão a
mesma contribuição para o desenvolvimento dos esquemas e habilidades acima
mencionados.
14
Ver Figura 14 e Tabela 18.
101
Outra característica comum entre as Coleções 3 e 4 é a proposta de
aproximadamente 10% de suas situações com o estímulo a criação de problemas
pelo aluno, que, possivelmente, poderão favorecer o desenvolvimento de
competências como conjecturar, argumentar, expressar, além de utilizar a
criatividade e imaginação. Como nas Coleções 1 e 2 foram encontradas poucas
situações com tal proposta, competências como estas provavelmente serão menos
valorizadas.
5.5.3 Critérios de avaliação do PNLD 2010
As Coleções 1, 2 e 3 oferecem uma boa articulação dos conteúdos referentes
ao campo Números e Operações por meio de situações com elementos familiares
aos alunos, que estão presentes em seu cotidiano e se utilizam do repertório de
esquemas pré-existentes desses alunos em suas resoluções. Na Coleção 1, há
discussões sobre as diferentes abordagens de um mesmo conteúdo e na Coleção 2,
segundo as informações do PNLD (2010), eles são distribuídos de maneira
equilibrada, com um aprofundamento gradual ao longo da coleção. Já a Coleção 4
não aborda os conteúdos de maneira adequada, pois o volume do 2o ano não trata
dos conteúdos desta disciplina, e, dessa forma, há uma defasagem na proposta
quando comparada às demais. Nos volumes seguintes, há pouca articulação entre
os significados de um mesmo conceito.
As Coleções 1, 2 e 3 também sugerem um grande número de situações
diversificadas, com boas contextualizações e valorização de atividades que
incentivam a participação ativa dos alunos e sua interação, além de situações em
que são solicitados a refletir sobre suas respostas e estratégias de resolução dos
problemas, verificando processos e resultados.
Na grande maioria dos volumes das Coleções 2 e 3, percebemos a
preocupação em relacionar a Matemática às demais áreas do conhecimento e
valorizar o estímulo ao uso de diferentes estratégias na resolução de problemas,
diferentemente da Coleção 4 que incentiva as diferentes possibilidades de abordar
os problemas apenas no volume do 3o ano.
102
Verificamos maior estímulo no registro de ideias e procedimentos pelos
alunos e o desenvolvimento de competências para visualizar e classificar nas
Coleções 1 e 3.
As Coleções apresentam algumas especificidades, por exemplo, a Coleção 2
é a que mais valoriza os conhecimentos extraescolares dos alunos, da mesma forma
que a Coleção 3 aborda a história da Matemática com maior ênfase que as outras
Coleções. A Coleção 1, por sua vez, contempla questões abertas e desafios, porém
há uma preocupação excessiva com a sistematização. Há casos em que a
sistematização é precoce ou traz excesso de simbologia, o que pode limitar a
autonomia e a criatividade do aluno.
As Coleções 1 e 2 apresentam algumas páginas com excesso de informações
visuais, com enunciados extensos, que podem dificultar a leitura por crianças ainda
não alfabetizadas. Isso não acontece com as Coleções 3 e 4.
5.6 SÍNTESE DO CAPÍTULO
Encontramos, nas Coleções, a proposta de diversas situações que oferecem
subsídios que possibilitam o favorecimento da construção de esquemas de ação na
resolução de problemas aditivos com situações diversificados quanto a sua natureza
(categorias da TCC) e quanto a sua forma de apresentação, que podem ser tanto de
maneira simples ou de mais desafiadora ou com a utilização (ou não) de recursos
didáticos diversificados. Percebemos que as Coleções selecionadas são distintas em
muitos aspectos e, ao mesmo tempo, similares em outros.
Em geral, as Coleções disponibilizam poucos problemas das categorias
“comparação” e “composição de duas transformações”, por outro lado nem todos as
situações encontrados nas Coleções selecionadas podem ser classificados
baseados nas categorias básicas de relações. Elas oferecem problemas que, de
acordo com a definição de Vergnaud (2009), são “problemas complexos”, e as
Coleções que mais propõem problemas desse tipo são as Coleções 1 e 2. Essas
Coleções também indicam uma quantidade total de problemas, correspondentes às
categorias básicas de relação estabelecidas por Vergnaud (1982), mais significativa
que as outras Coleções bem como uma distribuição mais equitativa deles. Por outro
103
lado a Coleção 3 se destaca, de forma proporcional, por ser a Coleção que mais
propõe Problemas tipo 2 e estes, em relação aos do tipo1, são os que podem
melhor contribuir para o aperfeiçoamento ou desencadeamento de novos esquemas
de ação para a resolução de problemas aditivos. Assim, em relação aos tipos,
quantidade e diversidade de problemas, essas três Coleções proporcionam um
contato maior com situações diversificadas e, com isso, podem favorecer a
construção de uma multiplicidade maior de esquemas, em relação a Coleção 4.
Quanto aos recursos didáticos, que também são uma forma diversificada de
abordar as situações e podem colaborar para a construção de esquemas pelos
alunos, verificamos em nossa análise que alguns deles são mais utilizados por
algumas Coleções, como a proposta de criação de problemas pelos alunos pelas
Coleções 3 e 4, assim como o recurso ao cálculo mental que é mais valorizado pelas
Coleções 1 e 2, e a utilização de materiais concretos pela Coleção 3. Quanto aos
critérios adotados pelo PNLD em suas avaliações, selecionados nesta pesquisa, de
maneira geral as Coleções 1, 2 e 3 se assemelham à valorização de atividades que
incentivam a interação dos alunos e o estímulo à verificação de processos e
resultados, levando-os a refletirem sobre suas estratégias de resolução dos
problemas. A Coleção 2 é a que mais estima os conhecimentos extraescolares, a
Coleção 3 aborda a história da Matemática com maior frequência que as demais
Coleções, a Coleção 1 contempla mais questões abertas e desafios e na Coleção 4
há pouca articulação entre os significados de um mesmo conceito.
No capítulo subsequente, apresentaremos nossas reflexões acerca das
questões norteadoras da nossa investigação em acordo com a análise dos dados
coletados.
104
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Acreditamos que a forma de apresentação dos conteúdos é de fundamental
importância no efetivo trabalho do professor em sala de aula, como foi possível
constatar nas discussões dos encontros do projeto Observatório da Educação do
Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da UNIBAN e, em acordo
com os resultados da pesquisa de Santana (2010): “uma sequência de ensino
baseada na classificação proposta na Teoria dos Campos Conceituais para as
situações-problema aditivas melhorou significativamente o desempenho dos
estudantes da 3ª série” (p. 270). A pesquisadora também verificou que os
estudantes que tiveram contato com a sequência de ensino baseada nos métodos
tradicionais da escola, não obtiveram o mesmo desempenho que os outros que
foram selecionados para a intervenção. Frente a essa constatação e assim como
Oliveira Filho (2009), consideramos ser pertinente a discussão sobre a diversificação
das situações em termos de seus significados, graus de complexidade e de sua
forma de representação. “Esta pode ser uma preocupação assumida pelos docentes
responsáveis pelo ensino do Ensino Básico que, certamente, pode facilitar se os
livros didáticos de Matemática levar estas questões em consideração.” (OLIVEIRA
FILHO, 2009, p.129).
Nesse sentido, buscamos analisar as situações do Campo Conceitual Aditivo
e os recursos didáticos encontrados em quatro Coleções de materiais didáticos de
Matemática, voltadas para os anos iniciais, observando as possibilidades oferecidas
para favorecer a construção, pelos alunos, de esquemas ao longo dos anos.
Encontramos, na literatura, resultados de pesquisas que corroboram com
nossa preocupação com a necessidade de as Coleções de materiais didáticos
contribuírem para a prática docente, propondo diferentes formas de apresentação de
um mesmo conteúdo, levando em conta os diferentes significados e graus de
complexidade, bem como a proposta de recursos didáticos para abordar as
situações e, possivelmente, contribuir na formação dos esquemas necessários para
tratar dessas situações do Campo Aditivo.
Tomamos como base teórica para o desenvolvimento de nosso estudo a
Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1982, 1990, 1996, 2009) com
105
enfoque no Campo Conceitual Aditivo e suas categorias básicas de relações, as
quais podemos classificar algumas situações aditivas. Realizamos considerações
sobre os documentos oficiais brasileiros: Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN)
(1997) e Plano Nacional do Livro Didático(PNLD) (2010) no que diz respeito ao
Campo Conceitual Aditivo e aos recursos didáticos necessários para no tratamento
das situações do bloco de conteúdo Números e Operações, e os critérios
eliminatórios e classificatórios contidos no Guia de Livros Didáticos PNLD 2010
destinados à confecção das resenhas de avaliação dos livros indicados no
programa.
A princípio, selecionamos duas Coleções distintas de materiais didáticos de
Matemática com o intuito de analisar como são abordadas as situações do Campo
Aditivo em Coleções destinadas a diferentes sistemas de ensino. Pesquisamos nos
volumes do 2o e 3o anos, pois foi onde detectamos a maior quantidade de situações
do Campo Aditivo, mas, com o avançar de nossos estudos percebemos a
necessidade de incluir os materiais destinados ao 4o e 5o ano destas Coleções, pois
neles também são propostas atividades deste Campo Conceitual, apesar de
predominar o Campo Multiplicativo.
Outro fator decisivo foi o fato da possibilidade de um maior aprofundamento
no momento de verificar a evolução da complexidade dessas atividades ao longo
dos anos; dificultaria olhar para a Coleção, como um todo, se fossem apenas
selecionados os volumes do 2o e 3o anos.
No decorrer do desenvolvimento de nossa pesquisa, percebemos também a
importância da inclusão de Coleções que passaram pela avaliação do Programa
Nacional do Livro Didático (PNLD) que, segundo o FNDE – Fundo Nacional de
Desenvolvimento da Educação, é o programa mais antigo voltado à distribuição de
livros didáticos para os alunos da rede pública de ensino do Brasil e com a garantia
de qualidade dos livros aprovados no programa. Assim, selecionamos mais duas
Coleções, agora indicadas no Guia de Livros Didáticos PNLD 2010.
Ao final, chegamos à escolha de quatro distintas Coleções de materiais
didáticos de Matemática voltados aos anos iniciais do Ensino Fundamental com a
finalidade de analisar as situações do Campo Conceitual Aditivo presentes nesses
materiais, que são destinados a diferentes sistemas de ensino.
Para a coleta de dados elaboramos instrumentos a fim de organizar e
classificar as situações propostas pelas Coleções, de acordo com as categorias
106
estipuladas na Teoria dos Campos Conceituais e com os recursos didáticos
oferecidos para o tratamento das mesmas. Os dados foram analisados com base no
referencial teórico adotado e nos documentos oficiais levando em conta os
interesses da pesquisa.
Sabemos que a utilização de materiais didáticos de Matemática por
professores e alunos em sala de aula é influenciada por diversos fatores.
Em sua pesquisa, Oliveira (2007) constatou que a opção pelo não uso do livro
pelo professor provém da relação entre a “indisposição” deste em desenvolver
práticas com este material e a sua perspectiva na continuidade da carreira docente.
Outro fator que influencia a utilização de recursos didáticos diversificados,
como jogos e materiais concretos é a questão do acesso a esse tipo de material.
Certas Coleções oferecem esses recursos, os chamados livros consumíveis, mas
outras não (os livros não consumíveis) que são livros reutilizáveis e a confecção dos
materiais fica a cargo dos professores e dos alunos. O que demanda habilidades e
disponibilidade de tempo em sala de aula e fora dela e Campos (2009, p.101)
acredita que “esse é um fator muito importante a ser considerado, quando se pensa
nas possibilidades reais de se efetivarem as práticas pedagógicas com jogos e
materiais concretos apresentados pelos livros didáticos”.
Diversos estudos apontam os aspectos positivos e os negativos da utilização
dos materiais didáticos adotados nas práticas docentes acerca do desenvolvimento
de conhecimentos matemáticos dos alunos do Ensino Básico. Esses são apenas
alguns dos vários fatores que compõem o atual panorama do ensino brasileiro, em
especial, relacionados à forma como são propostas as situações referentes aos
diversos Campos Conceituais desta área nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Na sequência, levantamos nossas reflexões acerca das questões de pesquisa
norteadoras deste estudo.
RETOMADA DAS QUESTÕES DE PESQUISA
Voltando às questões norteadoras do nosso estudo, apresentadas no
Capítulo Introdutório, temos:
107
1. É possível classificar as situações aditivas encontradas em quatro
Coleções de materiais didáticos de Matemática, segundo quatro categorias de
relações básicas da Teoria dos Campos Conceituais?
A grande maioria das situações encontradas nas Coleções examinadas pode
ser classificada com base na Teoria dos Campos Conceituais, de acordo com quatro
categorias básicas de relações, estabelecidas por Vergnaud (1982) e recomendadas
pelos Parâmetros Curriculares Nacionais para esta fase escolar:
“composição”;
“transformação”;
“comparação”;
“composição de duas transformações”.
Todas essas categorias, compostas por relações ternárias, são contempladas
nas quatro Coleções; porém, não foi possível classificar todas as situações do
Campo Aditivo encontradas, segundo essas quatro categorias básicas estabelecidas
por Vergnaud (1982).
Nas quatro Coleções verificamos que alguns problemas são complexos, ou
seja, são constituídos por várias relações elementares. Outros problemas não se
enquadram em nenhuma das quatro categorias recomendadas para esta fase
escolar, anos iniciais do Ensino Fundamental.
2. Que tipos de recursos didáticos estão disponíveis nas Coleções de
materiais didáticos?
Os recursos didáticos que foram encontrados nas Coleções examinadas e
que podem oferecer uma abordagem diversificada das situações, favorecendo a
construção de esquemas pelo aluno, são:
figuras que auxiliam a compreensão das situações;
utilização da calculadora;
o procedimento de cálculo mental;
material concreto;
jogo;
criação de problemas pelo aluno.
108
Porém, não são todas as Coleções que oferecem todos esses recursos, como
analisado no capítulo anterior. De maneira geral, o recurso mais disponibilizado é a
utilização de figuras, seguido dos problemas apenas enunciados. Na sequência
verificamos a proposta de situações com estímulo ao cálculo mental, depois a
criação de problemas pelos alunos e utilização de materiais concretos. Por fim, a
proposta de situações com estímulo ao uso da calculadora e jogos.
3. Quais os aspectos em comum e as diferenças entre as Coleções de
materiais didáticos?
As quatro Coleções propõem situações diversificadas, contribuindo para o
progressivo domínio dos conceitos deste Campo Conceitual. Porém, as Coleções1 e
2 podem favorecer um maior contato dos alunos com essas situações ao oferecerem
uma quantidade superior destas e uma distribuição mais equitativa quanto a sua
classificação, comparando-se com as outras Coleções.
Os dados mostram que, na Coleção 3, há uma brusca redução no número de
situações aditivas nos volumes do 2o para o 5o ano, chegando ao final com uma
quantidade pouco expressiva enquanto que, nas outras Coleções foi possível
observar que ocorre uma diminuição mais gradativa nas quantidades dessas
situações.
Há predominância da categoria “composição” sobre as demais na Coleção 3,
da mesma forma que da categoria “transformação” nas Coleções 1, 2 e 4. Um
aspecto comum as quatro Coleções é o fato de apresentarem poucos problemas de
“comparação” e “composição de duas transformações” nos volumes do 4º e 5º anos.
Quanto aos tipos de Problemas, apesar de predominar o de tipo 2 em todas
as Coleções, eles são propostos com maior ênfase nas Coleções 2 e 3, ou seja,
essas Coleções podem conduzir os alunos a uma maior reflexão na resolução dos
problemas, pois, em relação os do tipo 1, são mais desafiadares, exigem
levantamento e organização dos dados e também são mais contextualizados.
Um aspecto em que as Coleções se diferenciam um pouco diz respeito às
propostas de certos recursos didáticos,como a utilização de materiais concretos na
resolução dos problemas, que é valorizada apenas pela Coleção 3 e, o cálculo
mental que é um recurso explorado apenas pelas Coleções 1 e 2. Em relação a
outros recursos, como jogos e manuseio de calculadora as quatro Coleções são
109
símiles ao oferecem poucas situações com a proposta desses recursos. Quanto às
situações que utilizam figuras em sua apresentação, eles são mais valorizados pelas
Coleções 1, 2 e 3. Apenas as Coleções 3 e 4 se aproximam com uma quantidade
razoável de situações com o estímulo à criação de problemas.
As Coleções 1, 2 e 3 são semelhantes ao disponibilizarem boas articulações
dos conteúdos e um grande número de situações diversificadas, bem
contextualizadas e com a valorização de atividades que incentivem a interação dos
alunos e o estímulo à verificação de processos e resultados, levando-os a refletir
sobre suas estratégias de resolução dos problemas. Verificamos uma preocupação
mais considerável em relacionar a Matemática as demais áreas do conhecimento e
valorizar o estímulo ao uso de diferentes estratégias na resolução de problemas nas
Coleções 2 e 3.
A Coleção 2 difere das outras, pois é a que mais valoriza os conhecimentos
extraescolares dos alunos, da mesma forma que a Coleção 3 aborda a história da
Matemática com maior frequência que as outras Coleções. A Coleção 1contempla
mais questões abertas e desafios ao ser confrontada às demais e, na Coleção 4, há
pouca articulação entre os significados de um mesmo conceito.
A apropriação de todos os conceitos do Campo Conceitual Aditivo leva muito
tempo para se dar. Para que o conceito se torne significativo é necessária a
proposta de uma diversidade de situações nas quais o aluno, ao defrontá-las,
mobilize seus esquemas e consiga representar seus invariantes operatórios de
forma explícita, ou seja, transformar os conceitos e os teoremas-em-ação em
verdadeiros conceitos e teoremas matemáticos e, então, se faça a conceitualização
das Estruturas Aditivas (VERGNAUD, 2009).
Com o decorrer da pesquisa e aprofundamento de nossos estudos,
percebemos que essa forma de analisar os problemas nos possibilitou, na atuação
como docente, a visão dessas situações sob outro referencial, de maneira a atentar
questões imprescindíveis: como a valorização dos esquemas em ação dos alunos,
que muitas vezes, inconscientemente, não recebiam a devida atenção no processo
de ensino e aprendizagem de determinados conceitos.
Os materiais utilizados em sala de aula são influenciadores na condução do
ensino dos conceitos referentes aos diversos Campos Conceituais, assim, é
110
importante que esses materiais ofereçam um repertório de situações diversificadas
quanto a sua natureza e sua forma de apresentação para que não estimulem
sempre o mesmo tipo de raciocínio, para que se incite a criação de novos esquemas
de ação e assim os alunos tenham a possibilidade de construir um vasto repertório
desses esquemas para lidar com situações cada vez mais complexas.
No transcorrer deste trabalho, algumas questões que compartilhamos como
proposta para futuras pesquisas provocaram, em nós, um olhar mais atento para as
situações presentes nos materiais didáticos com maior detalhamento das categorias,
como a proposta de Magina et. al. (2008) com a subdivisão das categorias em
“protótipos” e “extensões” e/ou com um foco para os problemas complexos que são
propostos por algumas Coleções.
Este estudo buscou contribuir para a área da Educação Matemática propondo
uma maneira mais abrangente de considerar as Coleções de materiais didáticos,
que atente para os aspectos recomendados nos documentos oficiais e na Teoria dos
Campos Conceituais, relacionados às situações do Campo Aditivo, no sentido de
auxiliar os docentes da Educação Básica, sugerindo uma forma de análise que
oriente ou ajude na seleção de seu material de trabalho.
111
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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APÊNDICE A - CLASSIFICAÇÃO DAS SITUAÇÕES DO CAMPO ADITIVO DE ACORDO COM AS CATEGORIAS DA TCC
Classificação das situações de acordo com as categorias de
Vergnaud
Coleção: ___ Ano: ___
Composição Transformação Comparação Composição de
duas
transformações
Total
Problemas
Tipo 1
Total
Problemas
Tipo 2
Total
APÊNDICE B - CLASSIFICAÇÃO DAS SITUAÇÕES DO CAMPO ADITIVO DE ACORDO COM OS RECURSOS DIDÁTICOS
Classificação das situações de acordo os recursos didáticos
Coleção: ___ Ano: ___
Apenas enunciado
Com figura
Calculadora
Cálculo mental
Criação de problemas
Com material concreto
Jogo
116
APÊNDICE C - EXEMPLOS DE PROBLEMAS TIPO 1 E 2
Exemplo de “Problemas tipo 1”
Em um estojo há 5 lápis de cor e 2 lápis preto. Qual é o total de lápis no estojo?
Exemplos de “Problemas tipo 2”
Exemplo 1:
Um programa de rádio estava promovendo uma competição entre dois
artistas: a atriz Márcia Souza e o ator Jonas Braga. Veja os pontos que eles fizeram:
Perguntas
sobre futebol
Perguntas
sobre música
Márcia 25 30
Jonas 10 30
a) Quantos pontos fez Márcia? ____________
b) Quantos pontos fez Jonas? ____________
c) Quem fez mais pontos? Quantos a mais? _______________
Exemplo 2:
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ANEXO B - PROBLEMAS QUE NÃO SE ENQUADRAM NAS CATEGORIAS BÁSICAS DE RELAÇÕES ADITIVAS DA TCC
Coleção 1 – No total foram 53 problemas
29 situações de composição de medidas nas quais temos quatro elementos ou mais; Subdividimos essas situações em dois grandes grupos:
1 – 15 situações que envolvem soma de dinheiro.
2 – 14 situações que envolvem soma de objetos ou medidas quaisquer. Exemplo retirado do
volume do 2º ano:
2 problemas que envolvem a composição de mais de três elementos. Nestes problemas têm-se algumas das partes e o todo e pede-se a parte que está faltando. Exemplo retirado do volume do 2º ano:
4 problemas que exigem uma comparação dos estados finais de duas transformações. Exemplo retirado do volume do 2º ano:
“Roberto tinha 58 figurinhas e ganhou 3 de seu primo. Pedro tinha 70 figurinhas e deu 10 para seu
irmão. Agora, quem tem mais figurinhas: Roberto ou Pedro? Quantas a mais?”
9 problemas que envolvem mais de três elementos numa mesma situação. Nestes problemas tem-se um estado inicial que sofre duas transformações e pede o estado final.
O problema seguinte envolve uma medida desconhecida que sofre duas transformações e resulta em uma medida final conhecida, pede-se a medida inicial. Exemplo retirado do volume do 2º ano.
“Sandra: Tinha uma quantia, gastou 10 reais depois ganhou 14 reais, ficando com 59 reais. Qual
a quantia que ele tinha?”
4 problemas são introdutórios ao estudo do campo multiplicativo juntamente com a ideia da composição de medidas.
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O problema a seguir, retirado do volume do 5º ano, envolve composições de várias medidas, mas com adições de duas parcelas de cada vez, assim como as relações ternárias.
O problema a seguir não se enquadra nas categorias da TCC e foi retirado do volume do 3º ano:
O problema, retirado do volume do 5º ano, a seguir envolve mais de três elementos numa mesma situação. Tem-se um estado inicial que sofre três transformações e pede o estado final.
“Mariana tinha R$ 1 275,00 em sua conta bancária no início da semana. Durante a semana ela
fez uma retirada de R$ 225,00, um depósito de R$ 492,00 e outra retirada de R$ 166,00. Qual foi
seu saldo bancário no final da semana, considerando apenas esse depósito e essas retiradas?”
O problema a seguir não se enquadra nas categorias da TCC e foi retirado do volume do 5º ano:
“Rui tem 247 figurinhas e Mário tem 129. Quantas figurinhas Rui deve dar a Mário para que eles
fiquem com quantidades iguais?”
Coleção 2 – No total foram 44 problemas
26 situações de composição de medidas que apresentam relações que ligam quatro elementos ou mais. Novamente, subdividimos essas situações em dois grandes grupos:
1 – Dezoito situações que envolvem somas de dinheiro. Exemplo retirado do volume do 3º ano.
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2 – Oito situações que envolvem soma de objetos ou medidas quaisquer. O exemplo a seguir foi
retirado do volume do 2º ano:
“Tashiro trabalha em uma farmácia. Como o estoque de cremes dentais estava acabando, ele encomendou 7 cremes da marca Dente Branco, 5 de marca Bom Dente e 8 da marca Kidente. No total, quantos cremes dentais foram encomendados? Responda escrevendo uma conta só.”
Três problemas envolvem mais de três elementos numa mesma situação. Tem-se um estado inicial que sofre duas transformações e pede o estado final. Exemplo retirado do volume do 3º ano:
“Um ônibus com 43 passageiros partiu da cidade de Teresina com destino à cidade de Floriano.
No percurso, parou na cidade de Amarante, onde desceram 12 pessoas. Nessa mesma cidade
subiram então outros 16 passageiros. Quantos passageiros chegaram a Floriano?”
Cinco problemas envolvem mais de três elementos numa mesma situação. Tem-se uma composição de algumas medidas cujo resultado sofre uma transformação.
Dois problemas envolvem uma medida desconhecida que sofre duas transformações e resulta em uma medida final conhecida, pede-se a medida inicial.
Os problemas a seguir não se enquadram nas categorias básicas da TCC:
Exemplo retirado do volume do 4º ano
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Exemplo retirado do volume do 4º ano
Exemplos retirados do volume do 3º ano:
“Na semana passada, o marceneiro José ficou devendo 215 reais para o vendedor de madeira, porque não tinha dinheiro para pagar. Esta semana, José recebeu uma quantia por um trabalho, pagou o vendedor e ainda lhe sobraram 320 reais. Quanto ele recebeu pelo trabalho?” “No início da semana, um pequeno supermercado recebeu 78 caixas do sabão em pó Brancura, e já havia 19 caixas nas prateleiras. No final da semana, sobravam apenas 35 caixas desse sabão.
a) Quantas caixas de sabão Brancura foram vendidas nessa semana?[...]”
Exemplo retirado do volume do 5º ano:
“Na primeira rodada, a avó de Ana fez 200 pontos. Na segunda, teve muito azar e perdeu 30 pontos. No final da terceira rodada, ele tinha acumulado, ao todo, 500 pontos. Quantos pontos a avó fez na terceira rodada.”
Os problemas a seguir, retirados do volume do 4º ano, propõem diagramas parecidos com os de Vergnaud na TCC:
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Coleção 3 – No total foram 13 problemas
7 situações de composição de medidas que apresentam uma relação que liga quatro elementos ou mais. Subdividimos essas situações em dois grandes grupos:
1 – 2 situações que envolvem quantias de dinheiro. Exemplo retirado do volume do 5º ano:
2 – 5 situações que envolvem soma de objetos ou medidas quaisquer.
1 situação de transformação de medidas que apresenta uma relação que liga quatro elementos ou mais
O problema a seguir, retirado do volume do 5º ano, envolve quatro elementos, ou seja, é uma relação quaternária, mas se assemelha à categoria composição de duas transformações, porém,
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neste caso, encontramos uma composição de três transformações:
“D. Laura comprou um pacote com 546 balas. Deu 146 balas para Bruno, 98 para Carla e 172
para Denise. Quantas balas D. Laura deu ao todo?”
No exemplo abaixo, que foi retirado do volume do 5º ano, tem-se uma composição de três medidas que depois sofre uma transformação e resulta numa medida final; pede-se a medida inicial.
“Jonas comprou um brinquedo por R$12,50, um caderno por R$ 2,30 e uma caneta por R$ 0,89.
Qual a quantia em dinheiro que Jonas possuía, sabendo-se que ele recebeu de troco R$ 34,31?”
2 problemas, retirados do volume do 3º ano, utilizam diagramas parecidos com os de Vergnaud na TCC, nos quais o aluno é conduzido a realizar adições com dois elementos de cada vez (relações ternárias). Exemplo:
O problema a seguir não se enquadra nas categorias da TCC e foi retirado do volume do 4º ano:
“A equipe de basquete do 4º ano A ganhou 52 pontos no primeiro jogo, ganhou 17 no segundo
jogo e perdeu 10 pontos no terceiro. Quantos pontos a equipe de basquete fez?”
Coleção 4 – No total foram 9 problemas
6 situações de composição de medidas que apresentam uma relação que liga quatro elementos ou mais. Exemplo retirado do volume do 3º ano:
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No exemplo abaixo, retirado do volume do 3º ano, pede-se uma comparação dos estados finais de algumas transformações:
“Lígia e Artur estão brincando de um jogo com cartas numeradas. Cada um começou o jogo com
20 cartas. Na primeira rodada, Artur perdeu 3 cartas e Lígia ganhou 2. Ao final do jogo, Artur
tinha perdido 6 cartas e Lígia, ganho 5. Como ficou o placar final?”
O problema a seguir, retirado do volume do 3º ano, envolve mais de três elementos numa mesma situação. Tem-se um estado inicial que sofre duas transformações e se pede o estado final:
“Leia os problemas abaixo e descubra quais os dados que faltam para que possam ser
resolvidos. [...] 3. Um ônibus saiu do primeiro ponto com 42 passageiros. No segundo ponto,
entraram e saíram pessoas. Qual a lotação do ônibus agora, após a segunda parada?”
O problema abaixo, retirado do volume do 4º ano, envolve mais de três elementos numa mesma situação. Tem-se uma composição de algumas medidas que depois sofre uma transformação: “Maria foi à padaria e gastou R$ 1,05 com pãezinhos e R$ 1,30 com um litro de leite. Ela pagou com uma nota de R$ 10,00. Quanto recebeu de troco?”