Post on 16-Apr-2015
Variáveis Aleatórias
• Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.
• Mais precisamente…
Variáveis Aleatórias
• Uma variável aleatória é uma função (mensurável) X: R que associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.
Exemplos de variáveis aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes
= {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
Quando se observa cck:
X = 2
Y = 1
Exemplos de variáveis aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes
= {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
x 0 1 2 3
P(X=x)
Exemplos de variáveis aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes
= {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
função de massa de probabilidade (fmp) de X
Exemplos de variáveis aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes
= {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
y 0 1 2
P(Y=y)
Exemplos de variáveis aleatórias
• Moeda honesta lançada 3 vezes
= {ccc, cck, ckc, …}
X = número de caras
Y = número de transições
y 0 1 2
P(Y=y) 1/4 2/4 1/4
Função de Distribuição Acumulada
• A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é a função FX: RR definida por
FX(x) = P(X ≤ x)
Função de Distribuição Acumulada
• Exemplo: x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
1 2 3
1/8
1/2
7/81
Se x < 0: P(X≤x) = 0Se 0 ≤ x <1: P(X≤x) = P(X=0) = 1/8Se 1 ≤ x <2: P(X≤x) = P(X=0 ou X=1) = 1/8 + 3/8 = 1/2
Função de Distribuição Acumulada
• Roleta numerada continuamente de 0 a 10
X = prêmio ganho0, se x < 0
P(X ≤ x) = x/10, se 0 ≤ x ≤ 10
1, se x > 10
10
1
Função de Distribuição Acumulada
• Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10
X = prêmio ganho
Função de Distribuição Acumulada
• Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10
X = prêmio ganho0, se x < 0
P(X ≤ x) = ½ + ½ x/10, se 0 ≤ x ≤ 10
1, se x > 10
10
1
Tipos de Variáveis Aleatórias
• Discretas
FX(x) = xi x P(X = xi)
• (Absolutamente) Contínuas
FX(x) = xi x fX(x) dx
(onde fX(x) é a densidade de probabilidade de X)
• Mistas
FX(x) = xi x P(X = xi) + xi x fX(x) dx
(Há outras, mais patológicas …)
Exemplo
10
1
P(X = 0) = ½ 0, se x < 0
fX(x) = 1/20, se 0 x 10 0, se x > 10
Propriedades da F.D.A.
• FX é não-decrescente
• lim x– FX(x) = 0, lim x+ FX(x) = 1
• lim xa+ FX(x) = F(a) (continuidade à direita)
Função de Distribuição Acumulada
• A f.d.a. caracteriza completamente a distribuição de qualquer v.a. (ou seja, conhecendo a f.d.a. podemos obter a probabilidade de qualquer evento envolvendo a v.a.)
1 3
0,4
1
x
FX(x)
0,65
P(X = 2) =
P(X = 3) =
P(X < 3) =
P(1 X 3) =
Principais Distribuições Discretas
• Bernoulli
• Binomial
• Geométrica
• Hipergeométrica
• Poisson
Principais Distribuições Contínuas
• Uniforme
• Exponencial
• Normal (e associadas: 2, t, F)
Bernoulli
• Espaço amostral binário (sucesso-fracasso, sim-não, 1-0)
1, com probabilidade p
• X = 0, com probabilidade 1–p
Notação: X be(p)
Binomial
• Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso
• X = número de sucessos
Binomial
• Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso
• X = número de sucessos
Cada uma das seqüências com k sucessos e n–k
fracassos tem probabilidade pk (1–p)n-k . Logo:
Notação: X B(n, p)
nkppk
nkXP knk ,...,1,0,)1()(
k
n
Geométrica
• Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso
• X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso.
Geométrica
• Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso
• X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso.
X = k k–1 fracassos seguido de um sucesso
Notação: X G(p),...3,2,1,)1()( 1 kppkXP k
Hipergeométrica
• Urna com N bolas, sendo B brancas, de onde são extraídas n bolas, sem reposição.
• X = número de bolas brancas extraídas
Notação: X HG(N, B, n)
n
N
bn
BN
b
B
bXP )(
Exemplo
• Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato.
• Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra?
Exemplo
• Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais B são favoráveis a um candidato.
• Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra?
• Resposta: HG(N, B, n)
Exemplo
• Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato.
• Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra?
• Resposta: HG(N, B, n)Mas, se n << N, aproximadamente B(n, B/N)
Distribuição de Poisson
• Em média, um site de internet tem = 0,5 acessos por segundo. Qual é o modelo apropriado para a distribuição do número de acessos efetuados em um segundo?
Distribuição de Poisson
• Discretizar 1 segundo em n intervalos de duração 1/n
• Como o número de usuários é grande, é razoável considerar a existência de acessos neste intervalos como eventos independentes, cada um com probabilidade p.
• Para que o número médio de acessos por minuto seja igual a , deve-se ter np =
Distribuição de Poisson
,...2,1,0,!
11)1)...(1(
lim!
1)!(!
!lim)(
),(~onde),(lim)(
kek
nnn
knnn
k
nnknk
nkXP
npnBYkYPkXP
k
kn
kn
k
knk
n
n
Distribuição de Poisson
• Caso limite da distribuição binomial, quando n e np se mantém constante– Acessos a sites– Chegadas de consumidores a um banco– Número de erros tipográficos em um texto– Número de partículas radioativas emitidas
Exemplo
• No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo?
Exemplo
• No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo?
P(X>0) = 1– P(X=0) = 1 – e-0.5 = 0,395
Exemplo
• Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?
Exemplo
• Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?
Poisson (30)
Em geral, o número de acessos em um intervalo de duração t tem distribuição Poisson (t)
Esperança
• Idéia: a esperança (ou valor esperado) de uma v.a. é o valor médio que se espera obter ao se repetir um experimento aleatório um grande número de vezes.
Esperança
• Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00?
Esperança
• Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00? Ganha-se 17 com probabilidade 1/25
-1 com probabilidade 24/25
Após um grande número n de apostas, o ganho médio é, aproximadamente:
28,0$25
725
24).1(
25
1.17
Rn
nn
Esperança
• O valor esperado de uma v.a. discreta X é:
EX = i xi. P(X=xi)
(ou seja, a média dos valores assumidos por X, ponderados por sua probabilidade)
• EX pode ser um número real, +, – , ou não estar definida.
Esperança
)()(00
ix
iix
i xXPxxXPxEXii
finito finito EX R
– finito EX = –
finito + EX = +
– + EX não definido
Paradoxo de S. Petersburgo
• Jogo em que chance de vitória é 1/3, mas cuja aposta é 1:1.
• Estratégia: jogar até vencer, sempre dobrando o valor da aposta.
• Variáveis aleatórias de interesse:X = ganho quando se aposta 1.N = número de apostas até a saída.Y = ganho na saída.
Paradoxo de S. Petersburgo
• X = –1, com prob. 2/3 1, com prob. 1/3
EX = –1/3.
• N é finito com prob. 1
• Y = 1
3....3.3
1.
3
22.
3
1.
3
21.
3
1 2
EN
Paradoxo de S. Petersburgo
• Mas seja C o capital usado até a vitória
...)12.(3
1.
3
2....7.
3
1.
3
23.
3
1.
3
21.
3
112
nn
EC
Propriedades
• E(aX + b) = aEX + b
• Mas, em geral, E(g(X)) g(E(X))
• Exemplo: Y = X2
EX = (–1).0,2.(–1)+0.0,4+1.0,4 = 0,2
EY = 0.0,4+1.0,6 = 0,6
• Note queEY = 02.P(X=0) + 12 .P(X=1) + (–1)2 .P(X=–1)
X p
–1 0,2
0 0,4
1 0,4
Y p
0 0,4
1 0,6
Propriedades
• Para X discreta:
E(g(X)) = i g(xi) P(X=xi)
(Law of the unconscious statistician)
Propriedades
• E(X+Y) = EX + EY (sempre!)
• E(XY) = EX EY, se X e Y são independentes
Exemplo
• Urna com 10 bolas, das quais 4 são brancas. Cinco bolas são retiradas. Qual é o número esperado de bolas brancas retiradas:
a) com reposição?
b) sem reposição?
Variância
• Var(X) = E(X–EX)2 = E(X2) –(EX)2
Propriedades
• Var(aX+b) = a2 Var(X)
• Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)
Propriedades
• Se X1, X2, …, Xn são independentes, então
Var(X1 + X2 +…+ Xn ) =
Var(X1) + Var(X2) + …+ Var(Xn)
Exemplo
• X ~ binomial(p)
Variáveis Aleatórias Contínuas
F(x) = -x f(t) dt
• f 0 é a densidade de X
• P(a < X < b) = ab f(t) dt
-+ f(t) dt = 1
• f(x) = F’ (x)
• P(x–/2 < X < x+/2 ) f(x)
x
Exemplo
• Seja X a abscissa de um ponto escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a densidade de X?
1
1
Solução
1
1
x
)10(2)()(
2/1.1
2/.)()(
2
2
xxxdx
dxF
dx
dxf
xxx
xXPxF
Outra solução
1
1
x
)10(2)(
2122
)(
1
0
1
0
2
xxxf
kkkx
kx
kxxf
Esperança
– discreta:
– contínua:
– mista:
iXii dxxfxxXPxEX )()(
dxxfxEX X )(
i
ii xXPxEX )(
Principais Distribuições Contínuas
• Uniforme
• Exponencial
• Gama
• Normal (e associadas: 2, t, F)
Distribuição Uniforme
a b
1/(b-a)
a b
1
fX
FX
Distribuição Exponencial
• De volta ao exemplo do site na Internet. Qual é a distribuição do tempo de espera X até a ocorrência do primeiro acesso?
• X > t se e só se o número de acessos em [0, t] é igual a 0
• Logo, P(X>t) = P(N = 0), onde N~Poisson(t)
• Portanto, P(X>t) = e-t
Distribuição Exponencial
• X tem distribuição exponencial com parâmetro quandoFX (x) = 1–e – x, para x >0
• Ou seja,fX(x) = e – x , para x > 0
Exemplo
• O tempo de vida, em meses, de um componente tem distribuição exponencial de parâmetro = 0,5.
a) Qual é a probabilidade de que um componente novo dure pelo menos 2 meses?
b) Dado que um componente usado já tem 1 mês de vida, qual é a probabilidade de que ele dure pelo menos mais dois meses?
Processo de Poisson
• Tempo entre chegadas consecutivas independentes, com distribuição exponencial ()
• Número de chegadas em intervalos disjuntos independentes e com distribuição Poisson (t), onde t é o comprimento do intervalo
Exemplo
• Os acidentes em uma rodovia ocorrem de acordo com um Processo de Poisson de taxa 2 acidentes por dia– Número médio de acidentes por semana?– Número médio de dias sem acidentes por semana?– Intervalo médio entre acidentes?– Probabilidade de que haja 2 acidentes na 2a e 1 na
3a?– Probabilidade de que o primeiro acidente em um
certo dia só ocorra depois das 12 horas?
Distribuição Normal
• A distribuição normal padrão é a distribuição da variável aleatória Z de densidade
• Notação: Z ~ N(0, 1)
EZ = 0, Var Z = 1
2
2
2
1)(
z
Z ezf
Distribuição Normal
• Uma variável X tem distribuição normal com parâmetros (média) e 2 (variância) quando é da forma X = Z + , onde Z~N(0,1)
• Notação: X~N(2)
Distribuição Normal
• Qual é a densidade da distribuição X~N(2)?
• De modo geral, qual é a densidade de g(X), onde g é uma função inversível e X é uma v. a. de densidade f?
Transformando uma v. a.
• A densidade de Y = g(X) é dada por
onde x é tal que g( x) = y.
|)('|
)()(
xg
xfyf X
Y
Transformando uma v.a.
• Caso particular: Se X tem densidade f, então
Y = aX + b (a>0) tem densidade
X YY = 2XX= Y/2
a
byf
a
1
Densidade da distribuição normal
• A densidade da v.a. X com distribuição normal N(, 2) é
2
2
2
)(
2
1)(
x
X exf
Exemplo
• As notas dos alunos em um teste têm distribuição normal com média 70 e desvio padrão 10.
– Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que sua nota seja maior que 85?
– Qual é a nota correspondente ao percentil 95%?
V. A. Multidimensionais
• Exemplo: moeda honesta lançada 3 vezes
X = número de caras
Y = número de transições
Qual é a probabilidade de que X = 2 e Y =1?
x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
y 0 1 2
P(Y=y) 1/4 2/4 1/4
V. A. Multidimensionais
• Não se pode responder (em geral) a partir das distribuições individuais (marginais) de X e Y.
• Pode-se responder com base na distribuição de (X, Y), também chamada de distribuição conjunta de X e Y.
Distribuição Conjunta
X Y
ccc 3 0
cck 2 1
ckc 2 2
kcc 2 1
ckk 1 1
kck 1 2
kkc 1 1
kkk 0 0
Distribuição Conjunta
P X Y
ccc 1/8 3 0
cck 1/8 2 1
ckc 1/8 2 2
kcc 1/8 2 1
ckk 1/8 1 1
kck 1/8 1 2
kkc 1/8 1 1
kkk 1/8 0 0
X
Y
0 1 2 3
0
1
2
Distribuição Conjunta
P X Y
ccc 1/8 3 0
cck 1/8 2 1
ckc 1/8 2 2
kcc 1/8 2 1
ckk 1/8 1 1
kck 1/8 1 2
kkc 1/8 1 1
kkk 1/8 0 0
X
Y
0 1 2 3
0 1/8 - - 1/8
1 - 2/8 2/8 -
2 - 1/8 1/8 -
P(X=2 e Y =1) = 2/8
Distribuição Conjunta
• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) completamente caracteriza probabilidades envolvendo X1, X2, ..., Xn e quaisquer subconjuntos delas (distribuições marginais).
Distribuição Conjunta
X
Y
0 1 2 3 Y
0 1/8 - - 1/8
1 - 2/8 2/8 -
2 - 1/8 1/8 -
X
Distribuição Conjunta
X
Y
0 1 2 3 Y
0 1/8 - - 1/8 1/4
1 - 2/8 2/8 - 1/2
2 - 1/8 1/8 - 1/4
X 1/8 3/8 3/8 1/8
Função de Distribuição Acumulada
• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada.
FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) =
P(X1 x1, X2 x2, ..., Xn xn)
• Exemplo
FX1(x1) = ?
Função de Distribuição Acumulada
• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada.
FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) =
P(X1 x1, X2 x2, ..., Xn xn)
• Exemplo FX1
(x1) = limx2 , ..., xn FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn)
Tipos de distribuição conjunta
• Discretas
Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(X A) = 1.
Neste caso, P(X B) = xi B P(X = xi)
Tipos de distribuição conjunta
• Discretas
Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(X A) = 1.
Neste caso, P(X B) = xi B P(X = xi)
• Contínuas
Quando existe uma função de densidade f tal que
Neste caso:
122121,...,, ...),...,(...),...,,(1 2
21dtdtdttttfxxxF nn
x x x
nXXXn
n
1221 ...),...,(...)( dtdtdttttfBP nnB
X
Exemplo
• Um ponto (X, Y) é escolhido no quadrado unitário com densidade proporcional a x+y.
– Qual é a função de densidade?– Qual é a probabilidade de que X seja menor
que 1/2?
Propriedades
• Esperança de funções de v.a. multidimensionais
E(g(X)) = i g(xi) P(X=xi) (discreta)
E(g(X)) = Rng(x) fX(x) dx (contínua)
• Casos particulares:• EX = R2x fX,Y(x,y) dy dx
• E(X+Y) = R2(x+y) fX,Y(x,y) dy dx == R2x fX,Y(x,y) dy dx + R2y fX,Y(x,y) dy dx = EX +EY
Propriedades
• Em geral, E (XY) EX EY• Mas E(XY) = EX EY se X e Y são
independentes.
EYEXdyyfydxxfx
dxdyyfyxfx
dxdyyfxfxy
dxdyyxfxyXYE
YX
YX
YX
YX
)()(
)()(
)()(
),()( ,
Observação
• X, Y independentes E(XY) = EX EY
• E(XY) = EX EY X, Y independentes
não correlacionadas
Covariância e Correlação
• Cov(X, Y) = E(X–EX)(Y–EY) =
= E(XY) – EX EY
• (X, Y) = Cov(X,Y)/(X)(Y)
• Teorema: –1 ≤ (X, Y) ≤ 1