Variáveis Aleatórias Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um...

Variáveis Aleatórias

• Uma variável aleatória associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.

• Mais precisamente…

Variáveis Aleatórias

• Uma variável aleatória é uma função (mensurável) X: R que associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório.

Exemplos de variáveis aleatórias

• Moeda honesta lançada 3 vezes

= {ccc, cck, ckc, …}

X = número de caras

Y = número de transições

Quando se observa cck:

X = 2

Y = 1






x 0 1 2 3

P(X=x)






x 0 1 2 3

P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

função de massa de probabilidade (fmp) de X






y 0 1 2

P(Y=y)






y 0 1 2

P(Y=y) 1/4 2/4 1/4

Função de Distribuição Acumulada

• A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é a função FX: RR definida por

FX(x) = P(X ≤ x)


• Exemplo: x 0 1 2 3

P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

1 2 3

1/8

1/2

7/81

Se x < 0: P(X≤x) = 0Se 0 ≤ x <1: P(X≤x) = P(X=0) = 1/8Se 1 ≤ x <2: P(X≤x) = P(X=0 ou X=1) = 1/8 + 3/8 = 1/2


• Roleta numerada continuamente de 0 a 10

X = prêmio ganho0, se x < 0

P(X ≤ x) = x/10, se 0 ≤ x ≤ 10

1, se x > 10

10

1


• Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10

X = prêmio ganho


• Lança moeda honesta; se tirar cara, gira roleta numerada continuamente de 0 a 10

X = prêmio ganho0, se x < 0

P(X ≤ x) = ½ + ½ x/10, se 0 ≤ x ≤ 10

1, se x > 10

10

1

Tipos de Variáveis Aleatórias

• Discretas

FX(x) = xi x P(X = xi)

• (Absolutamente) Contínuas

FX(x) = xi x fX(x) dx

(onde fX(x) é a densidade de probabilidade de X)

• Mistas

FX(x) = xi x P(X = xi) + xi x fX(x) dx

(Há outras, mais patológicas …)

Exemplo

10

1

P(X = 0) = ½ 0, se x < 0

fX(x) = 1/20, se 0 x 10 0, se x > 10

Propriedades da F.D.A.

• FX é não-decrescente

• lim x– FX(x) = 0, lim x+ FX(x) = 1

• lim xa+ FX(x) = F(a) (continuidade à direita)


• A f.d.a. caracteriza completamente a distribuição de qualquer v.a. (ou seja, conhecendo a f.d.a. podemos obter a probabilidade de qualquer evento envolvendo a v.a.)

1 3

0,4

1

x

FX(x)

0,65

P(X = 2) =

P(X = 3) =

P(X < 3) =

P(1 X 3) =

Principais Distribuições Discretas

• Bernoulli

• Binomial

• Geométrica

• Hipergeométrica

• Poisson

Principais Distribuições Contínuas

• Uniforme

• Exponencial

• Normal (e associadas: 2, t, F)

Bernoulli

• Espaço amostral binário (sucesso-fracasso, sim-não, 1-0)

1, com probabilidade p

• X = 0, com probabilidade 1–p

Notação: X be(p)

Binomial

• Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso

• X = número de sucessos

Binomial

• Sequência de n experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso

• X = número de sucessos

Cada uma das seqüências com k sucessos e n–k

fracassos tem probabilidade pk (1–p)n-k . Logo:

Notação: X B(n, p)

nkppk

nkXP knk ,...,1,0,)1()(

k

n

Geométrica

• Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso

• X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso.

Geométrica

• Sequência de experimentos de Bernoulli, independentes e com mesma probabilidade p de sucesso

• X = lançamento em que ocorre o primeiro sucesso.

X = k k–1 fracassos seguido de um sucesso

Notação: X G(p),...3,2,1,)1()( 1 kppkXP k

Hipergeométrica

• Urna com N bolas, sendo B brancas, de onde são extraídas n bolas, sem reposição.

• X = número de bolas brancas extraídas

Notação: X HG(N, B, n)

n

N

bn

BN

b

B

bXP )(

Exemplo

• Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato.

• Qual é a distribuição do número de pessoas favoráveis ao candidato na amostra?

Exemplo

• Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais B são favoráveis a um candidato.


• Resposta: HG(N, B, n)

Exemplo

• Amostra de tamanho n extraída de uma população com N indivíduos, dos quais b são favoráveis a um candidato.


• Resposta: HG(N, B, n)Mas, se n << N, aproximadamente B(n, B/N)

Distribuição de Poisson

• Em média, um site de internet tem = 0,5 acessos por segundo. Qual é o modelo apropriado para a distribuição do número de acessos efetuados em um segundo?


• Discretizar 1 segundo em n intervalos de duração 1/n

• Como o número de usuários é grande, é razoável considerar a existência de acessos neste intervalos como eventos independentes, cada um com probabilidade p.

• Para que o número médio de acessos por minuto seja igual a , deve-se ter np =


,...2,1,0,!

11)1)...(1(

lim!

1)!(!

!lim)(

),(~onde),(lim)(

kek

nnn

knnn

k

nnknk

nkXP

npnBYkYPkXP

k

kn

kn

k

knk

n

n


• Caso limite da distribuição binomial, quando n e np se mantém constante– Acessos a sites– Chegadas de consumidores a um banco– Número de erros tipográficos em um texto– Número de partículas radioativas emitidas

Exemplo

• No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo?

Exemplo

• No caso da página de internet, qual é a probabilidade de que haja pelo menos um acesso em um dado segundo?

P(X>0) = 1– P(X=0) = 1 – e-0.5 = 0,395

Exemplo

• Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?

Exemplo

• Qual é a distribuição do número de acessos em um minuto?

Poisson (30)

Em geral, o número de acessos em um intervalo de duração t tem distribuição Poisson (t)

Esperança

• Idéia: a esperança (ou valor esperado) de uma v.a. é o valor médio que se espera obter ao se repetir um experimento aleatório um grande número de vezes.

Esperança

• Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00?

Esperança

• Exemplo: Quem acerta um dos 25 grupos no jogo do bicho ganha 18 vezes o valor apostado. Qual é o ganho esperado para quem aposta R$ 1,00? Ganha-se 17 com probabilidade 1/25

-1 com probabilidade 24/25

Após um grande número n de apostas, o ganho médio é, aproximadamente:

28,0$25

725

24).1(

25

1.17

Rn

nn

Esperança

• O valor esperado de uma v.a. discreta X é:

EX = i xi. P(X=xi)

(ou seja, a média dos valores assumidos por X, ponderados por sua probabilidade)

• EX pode ser um número real, +, – , ou não estar definida.

Esperança

)()(00

ix

iix

i xXPxxXPxEXii

finito finito EX R

– finito EX = –

finito + EX = +

– + EX não definido

Paradoxo de S. Petersburgo

• Jogo em que chance de vitória é 1/3, mas cuja aposta é 1:1.

• Estratégia: jogar até vencer, sempre dobrando o valor da aposta.

• Variáveis aleatórias de interesse:X = ganho quando se aposta 1.N = número de apostas até a saída.Y = ganho na saída.


• X = –1, com prob. 2/3 1, com prob. 1/3

EX = –1/3.

• N é finito com prob. 1

• Y = 1

3....3.3

1.

3

22.

3

1.

3

21.

3

1 2

EN


• Mas seja C o capital usado até a vitória

...)12.(3

1.

3

2....7.

3

1.

3

23.

3

1.

3

21.

3

112

nn

EC

Propriedades

• E(aX + b) = aEX + b

• Mas, em geral, E(g(X)) g(E(X))

• Exemplo: Y = X2

EX = (–1).0,2.(–1)+0.0,4+1.0,4 = 0,2

EY = 0.0,4+1.0,6 = 0,6

• Note queEY = 02.P(X=0) + 12 .P(X=1) + (–1)2 .P(X=–1)

X p

–1 0,2

0 0,4

1 0,4

Y p

0 0,4

1 0,6

Propriedades

• Para X discreta:

E(g(X)) = i g(xi) P(X=xi)

(Law of the unconscious statistician)

Propriedades

• E(X+Y) = EX + EY (sempre!)

• E(XY) = EX EY, se X e Y são independentes

Exemplo

• Urna com 10 bolas, das quais 4 são brancas. Cinco bolas são retiradas. Qual é o número esperado de bolas brancas retiradas:

a) com reposição?

b) sem reposição?

Variância

• Var(X) = E(X–EX)2 = E(X2) –(EX)2

Propriedades

• Var(aX+b) = a2 Var(X)

• Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)

Propriedades

• Se X1, X2, …, Xn são independentes, então

Var(X1 + X2 +…+ Xn ) =

Var(X1) + Var(X2) + …+ Var(Xn)

Exemplo

• X ~ binomial(p)

Variáveis Aleatórias Contínuas

F(x) = -x f(t) dt

• f 0 é a densidade de X

• P(a < X < b) = ab f(t) dt

-+ f(t) dt = 1

• f(x) = F’ (x)

• P(x–/2 < X < x+/2 ) f(x)

x

Exemplo

• Seja X a abscissa de um ponto escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a densidade de X?

1

1

Solução

1

1

x

)10(2)()(

2/1.1

2/.)()(

2

2

xxxdx

dxF

dx

dxf

xxx

xXPxF

Outra solução

1

1

x

)10(2)(

2122

)(

1

0

1

0

2

xxxf

kkkx

kx

kxxf

Esperança

– discreta:

– contínua:

– mista:

iXii dxxfxxXPxEX )()(

dxxfxEX X )(

i

ii xXPxEX )(

Principais Distribuições Contínuas

• Uniforme

• Exponencial

• Gama

• Normal (e associadas: 2, t, F)

Distribuição Uniforme

a b

1/(b-a)

a b

1

fX

FX

Distribuição Exponencial

• De volta ao exemplo do site na Internet. Qual é a distribuição do tempo de espera X até a ocorrência do primeiro acesso?

• X > t se e só se o número de acessos em [0, t] é igual a 0

• Logo, P(X>t) = P(N = 0), onde N~Poisson(t)

• Portanto, P(X>t) = e-t

Distribuição Exponencial

• X tem distribuição exponencial com parâmetro quandoFX (x) = 1–e – x, para x >0

• Ou seja,fX(x) = e – x , para x > 0

Exemplo

• O tempo de vida, em meses, de um componente tem distribuição exponencial de parâmetro = 0,5.

a) Qual é a probabilidade de que um componente novo dure pelo menos 2 meses?

b) Dado que um componente usado já tem 1 mês de vida, qual é a probabilidade de que ele dure pelo menos mais dois meses?

Processo de Poisson

• Tempo entre chegadas consecutivas independentes, com distribuição exponencial ()

• Número de chegadas em intervalos disjuntos independentes e com distribuição Poisson (t), onde t é o comprimento do intervalo

Exemplo

• Os acidentes em uma rodovia ocorrem de acordo com um Processo de Poisson de taxa 2 acidentes por dia– Número médio de acidentes por semana?– Número médio de dias sem acidentes por semana?– Intervalo médio entre acidentes?– Probabilidade de que haja 2 acidentes na 2a e 1 na

3a?– Probabilidade de que o primeiro acidente em um

certo dia só ocorra depois das 12 horas?

Distribuição Normal

• A distribuição normal padrão é a distribuição da variável aleatória Z de densidade

• Notação: Z ~ N(0, 1)

EZ = 0, Var Z = 1

2

2

2

1)(

z

Z ezf


• Uma variável X tem distribuição normal com parâmetros (média) e 2 (variância) quando é da forma X = Z + , onde Z~N(0,1)

• Notação: X~N(2)


• Qual é a densidade da distribuição X~N(2)?

• De modo geral, qual é a densidade de g(X), onde g é uma função inversível e X é uma v. a. de densidade f?

Transformando uma v. a.

• A densidade de Y = g(X) é dada por

onde x é tal que g( x) = y.

|)('|

)()(

xg

xfyf X

Y

Transformando uma v.a.

• Caso particular: Se X tem densidade f, então

Y = aX + b (a>0) tem densidade

X YY = 2XX= Y/2

a

byf

a

1

Densidade da distribuição normal

• A densidade da v.a. X com distribuição normal N(, 2) é

2

2

2

)(

2

1)(

x

X exf

Exemplo

• As notas dos alunos em um teste têm distribuição normal com média 70 e desvio padrão 10.

– Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de que sua nota seja maior que 85?

– Qual é a nota correspondente ao percentil 95%?

V. A. Multidimensionais

• Exemplo: moeda honesta lançada 3 vezes



Qual é a probabilidade de que X = 2 e Y =1?

x 0 1 2 3

P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

y 0 1 2

P(Y=y) 1/4 2/4 1/4

V. A. Multidimensionais

• Não se pode responder (em geral) a partir das distribuições individuais (marginais) de X e Y.

• Pode-se responder com base na distribuição de (X, Y), também chamada de distribuição conjunta de X e Y.

Distribuição Conjunta

X Y

ccc 3 0

cck 2 1

ckc 2 2

kcc 2 1

ckk 1 1

kck 1 2

kkc 1 1

kkk 0 0


P X Y

ccc 1/8 3 0

cck 1/8 2 1

ckc 1/8 2 2

kcc 1/8 2 1

ckk 1/8 1 1

kck 1/8 1 2

kkc 1/8 1 1

kkk 1/8 0 0

X

Y

0 1 2 3

0

1

2


P X Y

ccc 1/8 3 0

cck 1/8 2 1

ckc 1/8 2 2

kcc 1/8 2 1

ckk 1/8 1 1

kck 1/8 1 2

kkc 1/8 1 1

kkk 1/8 0 0

X

Y

0 1 2 3

0 1/8 - - 1/8

1 - 2/8 2/8 -

2 - 1/8 1/8 -

P(X=2 e Y =1) = 2/8


• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) completamente caracteriza probabilidades envolvendo X1, X2, ..., Xn e quaisquer subconjuntos delas (distribuições marginais).


X

Y

0 1 2 3 Y

0 1/8 - - 1/8

1 - 2/8 2/8 -

2 - 1/8 1/8 -

X


X

Y

0 1 2 3 Y

0 1/8 - - 1/8 1/4

1 - 2/8 2/8 - 1/2

2 - 1/8 1/8 - 1/4

X 1/8 3/8 3/8 1/8


• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada.

FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) =

P(X1 x1, X2 x2, ..., Xn xn)

• Exemplo

FX1(x1) = ?


• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ..., Xn) é completamente caracterizada pela sua função de distribuição acumulada.

FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) =

P(X1 x1, X2 x2, ..., Xn xn)

• Exemplo FX1

(x1) = limx2 , ..., xn FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn)

Tipos de distribuição conjunta

• Discretas

Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(X A) = 1.

Neste caso, P(X B) = xi B P(X = xi)

Tipos de distribuição conjunta

• Discretas

Quando existe um conjunto enumerável A = {x1, x2, ...} tal que P(X A) = 1.

Neste caso, P(X B) = xi B P(X = xi)

• Contínuas

Quando existe uma função de densidade f tal que

Neste caso:

122121,...,, ...),...,(...),...,,(1 2

21dtdtdttttfxxxF nn

x x x

nXXXn

n

1221 ...),...,(...)( dtdtdttttfBP nnB

X

Exemplo

• Um ponto (X, Y) é escolhido no quadrado unitário com densidade proporcional a x+y.

– Qual é a função de densidade?– Qual é a probabilidade de que X seja menor

que 1/2?

Propriedades

• Esperança de funções de v.a. multidimensionais

E(g(X)) = i g(xi) P(X=xi) (discreta)

E(g(X)) = Rng(x) fX(x) dx (contínua)

• Casos particulares:• EX = R2x fX,Y(x,y) dy dx

• E(X+Y) = R2(x+y) fX,Y(x,y) dy dx == R2x fX,Y(x,y) dy dx + R2y fX,Y(x,y) dy dx = EX +EY

Propriedades

• Em geral, E (XY) EX EY• Mas E(XY) = EX EY se X e Y são

independentes.

EYEXdyyfydxxfx

dxdyyfyxfx

dxdyyfxfxy

dxdyyxfxyXYE

YX

YX

YX

YX

)()(

)()(

)()(

),()( ,

Observação

• X, Y independentes E(XY) = EX EY

• E(XY) = EX EY X, Y independentes

não correlacionadas

Covariância e Correlação

• Cov(X, Y) = E(X–EX)(Y–EY) =

= E(XY) – EX EY

• (X, Y) = Cov(X,Y)/(X)(Y)

• Teorema: –1 ≤ (X, Y) ≤ 1

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