VETORESVETORES

Marcos Germano DegenhardtMarcos Germano Degenhardt

DefiniçãoDefinição

Ente matemático representado por um segmento de reta orientado:

A

ElementosElementos

•Direção:

Reta r suporte onde o vetor é traçado•Sentido:

Lado sobre a reta r para o qual o vetor aponta•Módulo:

Valor numérico associado ao vetor•Ponto de aplicação:

Local inicial o vetor

Exemplo

Observe o vetor:

Direção: horizontal

Sentido: para direita

Módulo: 12,92 cm

Aplicação: Objeto O

12,92 cm

Componentes dos VetoresComponentes dos Vetores

Se os vetores estiverem inclinados, faz-se a projeção dos mesmos sobre eixos horizontais e verticais:

A

A

xA

yAA

Valores das ComponentesValores das Componentes

• Componente Horizontal

• Componente Vertical

senVVy

cosVVx

Depois de calcular as componentes de um vetor, pode-se escrevê-lo em termos delas, por meio da expressão:

Expressão de um VetorExpressão de um Vetor

jViVV yxˆˆ

ExemploDado o vetor abaixo, determinar:(a) suas componentes ortogonais(b) sua expressão vetorial.

(a) suas componentesN 100V

º 30

N50º30sen100

sen

N6,86º30cos100

cos

y

y

x

x

V

VV

V

VV

(b) sua expressão

N ˆ50ˆ6,86

ˆˆ

jiV

jViVV yx

Adição de VetoresAdição de Vetores

Pode ser feita de três modos:

• regra do polígono

• regra do paralelogramo

• regra das componentes

Regra do polígonoRegra do polígono

• Os vetores são unidos de modo que o vetor seguinte esteja conectado à extremidade do vetor anterior;

• O vetor soma inicia-se junto ao primeiro e termina junto ao último vetor.

A

B

C

ExemploDados os vetores a seguir, determine a soma:

A

B

C

S

CBAS

Regra do ParalelogramoRegra do Paralelogramo

• Os vetores são iniciados a partir de um ponto comum;

• Da extremidade de cada vetor se traça uma linha paralela ao outro vetor;

• O vetor soma inicia no ponto comum e termina onde as paralelas se encontram

A

B

ExemploDados os vetores a seguir, determine a soma:

A

B

S

BAS

Regra das ComponentesRegra das Componentes

• Decompor o vetor nas componentes horizontal e vertical;

• Efetuar a soma das componentes, separadamente.

ExemploDados os vetores a seguir, determine a soma:

A B

CCBAS

Solução:

•Somar as componentes:

•Escrever cada vetor na forma das componentes:

jiC

jiB

jiA

2

22

32

jiS

jiC

jiB

jiA

35

2

22

32

•Representar o vetor soma:

S

Módulo de um VetorMódulo de um Vetor

Dado o vetor:

S

Seu módulo será dado aplicando-se o Teorema de Pitágoras:

222 ˆˆ jSiSS yx

Seja o Vetor S, representado a seguir. Qual seu módulo?

Exemplo

S

Solução:

uS

S

jSiSS yx

83,534

92535

ˆˆ

222

222

Produto VetorialProduto Vetorial

Pode ocorrer de três modos distintos:

• produto de vetor por escalar

• produto escalar entre vetores

• produto vetorial entre vetores

Produto por escalarProduto por escalar

Quando se multiplica um vetor por uma grandeza escalar qualquer:

vkm

.

B

ExemploDetermine o produto:

B

BP

3

B

B

P

Produto escalarProduto escalar

Quando se multiplica um vetor por outro vetor e se obtém uma grandeza escalar, tal como o trabalho:

BAP

.Que tem como módulo:

cos..BAP

ExemploDados os vetores a seguir, determine seu produto escalar:

A

B

º45

14

4

67,5

4444 22

arctgarctgiA

jAarctg

uA

AjiA

x

y

uP

BAP

BAP

02,12

º45cos.3.67,5cos..

.

Produto VetorialProduto Vetorial

Quando se multiplica um vetor por outro vetor e se obtém novo vetor, tal como o torque:

BAP

Que tem como módulo:

sen..BAP

ExemploDados os vetores a seguir, determine seu produto vetorial:

A

B

º45

14

4

67,5

4444 22

arctgarctgiA

jAarctg

uA

AjiA

x

y

uP

BAP

BAP

02,12

º45sen.3.67,5sen..

.