VII

Exemplos de

Atratores Estranhos

VII – C

Sistema de Lorenz

Primeira Parte

Convecção de

Rayleigh-Bernard

ρ µdv

dtF p v

rr r r= − ∇ + ∇2

Equação da continuidade

Equação de Navier-Stokes

Equação de Condução do CalordT

dtT= ∇κ 2

∂ρ∂

ρt

v+ ∇ ⋅ =r r

( ) 0

Equações de Lorenz

dX

dtX Y= − −σ ( )

dY

dtrX Y XZ= − −

dZ

dtXY bZ= −

X é proporcional à intensidade da convecção. X=0 implica que não hámovimento convectivo, ou seja, o calor é transportado apenas por condução. X>0 implica circulação horária e X<0 circulação anti-horária.

Y é proporcional à diferença de temperatura entre as correntes de fluido ascendente e descendente.

Z é proporcional à distorção do perfil de temperatura vertical, relativamente a um perfil linear. Para Z=0, a temperatura decresce linearmente.

σ = 10 b = 8/3 r = 28

r=165

r=166

r=166,1

r=166,2

r=166,4

r=166,6

r=166,8

r=165

r=166,2

r=166,8

Sistema de Lorenz

Segunda Parte

• E. N. Lorenz, Deterministic Nonperiodic Flow.

Journal of Atmosferic Science 20, 130 (1963)

• Primeiro atrator caótico

• Sensibilidade às condições iniciais em um

fluido (modêlo meteorológico simplificado)

b r, , : controle de Parâmetros

sional tridimenfase de espaço z y, x,:Variáveis

z b -y x

y -r x y x -

y x -

Lorenz de Sistema

σ

σσ

→

=

+=

+=

•

•

•

z

y

x

ChaosAlligood et al.

Atrator CaóticoSistema de Lorenz

Ampliação do Atrator de Lorenz

Ampliação do Atrator de Lorenz

Atratores do Sistema de Lorenz

ChaosAlligood et al.

ChaosAlligood et al.

Mapa de Retorno do Atrator de Lorenz

ChaosAlligood et al.

Diagrama de Bifurcação para o Sistema de Lorenz

ChaosAlligood et al.

Transiente Caótico no Sistema de Lorenz

c b, ,a : controle de Parâmetros

sional tridimenfase de espaço z y, x,:Variáveis

z ) c - x ( b z

y a x y

z -y - x

Roessler de Sistema

→

+=

+=

=

•

•

•

ChaosAlligood et al.

Atrator Caóticode Roessler

Atratores doSistema de Rösslerpara diferentes valoresdo parâmetro c

ChaosAlligood et al.

a = b = 0.1

Diagrama de BifurcaçãoSistema de Roessler

ChaosAlligood et al.

a = b = 0.1

Máximos locais da variável x

Caos no Circuito Elétrico de Chua

Parâmetros de Controle

Controle das Oscilações

Atratores

• M. S. Baptista e I. L. Caldas - Physica D (1999).

• R. O. Medrano-T., M. S. Batista e I. L. Caldas, Physica D (2003).

Circuito de Chua

• .

R elemento linear por partes

• Variáveis dinâmicas:

Vc1 tensão

Vc2 tensão

iL corrente

Circuito de Chua

Curva Característica

Linear por partes

Periodic Attractor

Vc1 voltage across C1

Vc2 voltage across C2

iL current trough iL

Experiment

Experiment

• Double Scroll Atrator

O Circuito de Chua

)(1CR Vi

C 2 2CV

C 1CV 1

g

R L

Li

Fig.1. Circuito de Chua. R Fig.1. Circuito de Chua. R Fig.1. Circuito de Chua. R Fig.1. Circuito de Chua. R éééé a resistência não a resistência não a resistência não a resistência não linear.linear.linear.linear.

Aplicando a lei de Kirchoff ao Aplicando a lei de Kirchoff ao Aplicando a lei de Kirchoff ao Aplicando a lei de Kirchoff ao circuito:circuito:circuito:circuito:

( ) ( )( )2

212

1121

2

1

CL

LCCC

CRCCC

ViL

iVVgVC

ViVVgVC

−=

+−=

−−=

&

&

&

Simetria Simetria Simetria Simetria íííímpar: f(x)=mpar: f(x)=mpar: f(x)=mpar: f(x)=----f(f(f(f(----x)x)x)x)

Resistência Linear por Partes

Fig. 2. Curva caracterFig. 2. Curva caracterFig. 2. Curva caracterFig. 2. Curva caracteríííística da resistência linear stica da resistência linear stica da resistência linear stica da resistência linear por partes.por partes.por partes.por partes.

FunFunFunFunçççção da curva caracterão da curva caracterão da curva caracterão da curva caracteríííística da stica da stica da stica da resistência linear por partes:resistência linear por partes:resistência linear por partes:resistência linear por partes:

( )

−≤−−

≤

≥−+

=

pCpC

pCC

pCpC

CR

BVBmmVm

BVVm

BVBmmVm

Vi

11

11

11

1

,)(

,

,)(

010

1

010

Sistema Adimensional

e

,

01

222

1

2

21

g

mb

g

ma

t,C

gτ

Lg

C ,

C

C

gB

i e z

B

V y,

B

Vx

p

L

p

C

p

C

==

===

===

βαMudança de

variáveis:

( ) ( )( )2

212

1121

2

1

CL

LCCC

CRCCC

ViL

iVVgVC

ViVVgVC

−=

+−=

−−=

&

&

&

( )

−≤−−

≤

≥−+

=

pCpC

pCC

pCpC

CR

BVBmmVm

BVVm

BVBmmVm

Vi

11

11

11

1

,)(

,

,)(

010

1

010

( )[ ]

βyz

zyxy

xkxyαx

−=+−=

−−=

&

&

&

( )

−≤−−≤≥−+

=1 ),(

1 ,

1 ),(

xbabx

xax

xbabx

xk

Atratores do Sistema

Legenda:Legenda:Legenda:Legenda:PerPerPerPerííííodo 1odo 1odo 1odo 1PerPerPerPerííííodo 2odo 2odo 2odo 2PerPerPerPerííííodo 3odo 3odo 3odo 3PerPerPerPerííííodo 4odo 4odo 4odo 4PerPerPerPerííííodo 5odo 5odo 5odo 5PerPerPerPerííííodo 6odo 6odo 6odo 6RosslerRosslerRosslerRosslerDouble Double Double Double ScrollScrollScrollScroll

Fig. 3. Atratores no espaFig. 3. Atratores no espaFig. 3. Atratores no espaFig. 3. Atratores no espaçççço dos parâmetros.o dos parâmetros.o dos parâmetros.o dos parâmetros.

(a) (b)

(c) (d)

Fig. 4. Fig. 4. Fig. 4. Fig. 4. AtratoresAtratoresAtratoresAtratores: (a) : (a) : (a) : (a) PerPerPerPerííííodoodoodoodo 1, (b) 1, (b) 1, (b) 1, (b) PerPerPerPerííííodoodoodoodo 2, (c) 2, (c) 2, (c) 2, (c) PerPerPerPerííííodoodoodoodo 3, (d) 3, (d) 3, (d) 3, (d) TipoTipoTipoTipo RRRRöööösslersslersslerssler....

Atratores do Circuito de Chua

ChaosAlligood et al.

Atratores do Circuito de Chua

ChuaAlligood et al.

Atratores e pontos fixosinstáveis

Atratores no Espaço dos Parâmetros

Variedades do Circuito de Chua

ÓrbitasHomoclínicas

Órbitas HomoclínicasEspaço dos Parâmetros

Família de Órbitas Hoclínicas Espaço dos Parâmetros

Circuito de Chua Perturbado

Oscilação forçada

Sincronização de dois circuitos

Perturbação Senoidal

(Tese de doutoramento, Murilo Baptista, IF-USP, 1996)

Sincronização de Dois circuitos de Chua

(tese de doutoramentoElinei dos SantosIF-USP, 2001)

ChaosAlligood et al.