monografias.ufrn.br · Web viewNo caso de a função ser do primeiro grau, temos a reta como...
54
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE SECRETÁRIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO AURICELIO CARNEIRO DE MORAIS CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: APLICAÇÕES NA MATEMÁTICA E NAS CIÊNCIAS NATURAIS
Transcript of monografias.ufrn.br · Web viewNo caso de a função ser do primeiro grau, temos a reta como...
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
SECRETÁRIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO
AURICELIO CARNEIRO DE MORAIS
CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: APLICAÇÕES NA MATEMÁTICA E NAS
CIÊNCIAS NATURAIS
CAICÓ/RN
2016
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
SECRETÁRIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO
AURICELIO CARNEIRO DE MORAIS
CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: APLICAÇÕES NA MATEMÁTICA E NAS
CIÊNCIAS NATURAIS
Monografia apresentada à Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito para a obtenção do título de Especialista em Ensino de Matemática para o Ensino Médio.
CAICÓ/RN
2016
AURICELIO CARNEIRO DE MORAIS
CÁLCULO NO ENSINO MÉDIO: APLICAÇÕES NA MATEMÁTICA E NAS
CIÊNCIAS NATURAIS
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Coordenação de Pós-Graduação
Latu-Sensu Da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como exigência
parcial para a obtenção do certificado de ESPECIALISTA em Ensino de Matemática
para o Ensino Médio.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
SECRETÁRIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO
BANCA EXAMINADORA
____________________________________________________
Mestre Daniel Ecco
____________________________________________________
Mestre Benedito Tadeu Vasconcelos Freire
____________________________________________________
Mestre Odilon Júlio dos Santos
Aprovada em ____ de _____ 2016
Dedico este trabalho à minha mãe Irene das Dores
de Morais (in memoriam) pelo incentivo sempre
dado à educação e aos meus estudos. Aos
professores que trilharam meus caminhos, pelo
conhecimento produzido desde o ensino
fundamental até a universidade.
AGRADECIMENTOS
Ao professor Mestre Daniel Ecco pela atenção dada ao me orientar e pelas
contribuições dadas. Aos meus alunos, pela participação nas atividades durante a
especialização. Aos meus amigos pelas sugestões dadas durante a confecção das
várias atividades do curso. Aos meus colegas da especialização pelas discussões
ocorridas. À minha afilhada, Natália de Medeiros Nóbrega, por ter despertado em
mim a ideia de usar a sua caderneta de vacinação como recurso didático.
RESUMO
A referida pesquisa propõe a abordagem do ensino de limite e derivada no ensino
médio, pois isso constitui uma ferramenta importantíssima de aplicações na própria
matemática e em outras ciências, dispensando a memorização excessiva de
fórmulas. A proposta parte inicialmente com um histórico de descoberta do cálculo,
apresentando posteriormente a ideia intuitiva de limite, a partir do aumento do
número de lados dos polígonos inscritos e circunscritos a uma circunferência.
Depois é apresentado o conceito da derivada, inicialmente como taxa de variação, e
posteriormente, a partir da reta tangente a uma curva. Algumas regras simples de
derivação são apresentadas. As aplicações abrangem, na matemática, problemas
de máximos e mínimos, volumes máximos com área mínima e como obter o lucro
máximo. Já na química, está na velocidade das reações e no comportamento do
volume versus a pressão. A física é campo fértil de aplicações que vão desde a
velocidade e aceleração, passando pelo trabalho e potência, até a determinação da
quantidade de cargas elétricas e a energia eletromagnética. A contagem da
população e a quantidade do fluxo de sangue nas artérias/veias são exemplos onde
é utilizada a derivada.
Palavras – chaves: Matemática; Aplicações do Cálculo; Ensino Médio.
ABSTRACT
Such research proposes to limit the teaching approach and derived in high school, as
this is an important tool applications in mathematics itself and in other sciences,
avoiding excessive memorizing formulas. The proposal initially part with a history of
discovery of the calculus, later presenting the intuitive idea of limit, from the increase
in the number of sides of the polygons inscribed and circumscribed to a circle. Then
presents the concept of derivative, initially as rate of change, and then, from the
tangent line to a curve. Some simple derivation rules are presented. Applications
range, mathematics, maximum and minimum problems, maximum volume with
minimum area and how to get maximum profit. Already in chemistry, it is the speed of
the reactions and behavior of volume versus pressure. Physics is fruitful field of
applications ranging from the speed and acceleration, through the work and power,
to determine the amount of electrical charges and electromagnetic energy. The
population count and the amount of blood flow in the arteries / veins are examples
where the derivative is used.
Key - words: Mathematics; Applications Calculation ; High school.
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO.........................................................................................................9
2. DESENVOLVIMENTO...........................................................................................12
2.1. Breve Histórico do Cálculo..............................................................................12
2.2. Taxa de Variação Média, Noções de Limite e a Derivada...............................15
2.2.1. Taxa de Variação Média...........................................................................15
2.2.2. Noções de Limite.......................................................................................16
2.2.3. Derivada....................................................................................................19
2.2.4. Derivadas de algumas funções:................................................................21
3. APLICAÇÕES........................................................................................................22
3.1. Aplicação na Matemática:...............................................................................22
3.1.1. Como diferenciar o maior de todos do menor de todos?..........................22
3.1.2. Quando o volume é constante e o custo é mínimo com a área?..............25
3.1.3. Produção para obter o lucro máximo........................................................26
3.2. Aplicações na Química:...................................................................................27
3.2.1. Como medir a velocidade de uma reação química?.................................27
3.2.2. A pressão versus o volume.......................................................................29
3.3. Aplicações na Física:.......................................................................................30
3.3.1. Deslocamento e Velocidade em função do Tempo...................................30
3.3.2. Trabalho e Potência..................................................................................33
3.3.3. Quantidade de cargas elétricas num intervalo de tempo..........................34
3.3.4. Energia eletromagnética...........................................................................34
3.4. Aplicações na Biologia:...................................................................................35
3.4.1. Contagem da população...........................................................................35
3.4.2. Fluxo de sangue na artéria e/ou veia........................................................36
4. CONCLUSÃO........................................................................................................38
5. BIBLIOGRAFIA......................................................................................................39
1. INTRODUÇÃO
O Ensino Médio de matemática das escolas brasileiras vem sendo ministrado
em sua totalidade através de currículos estruturados através de eixos compreendo
números, funções, equações algébricas, geometria analítica, geometria, estatística e
probabilidade. Este fato é comprovado pelos livros didáticos utilizados no Ensino
Médio na última década.
Observando o guia de matemática do Programa Nacional do Livro Didático do
Ensino Médio – PNLEM (2009), percebe-se que alguns livros procuram inovar ao
realizar uma iniciação ao cálculo diferencial, mas apresentam carências. Na resenha
dos livros, o guia faz um alerta ao fazer a análise do assunto em uma obra, “O
estudo de derivadas necessita de mais aplicações” (p. 33). Já o guia de matemática
do PNLD (2012) do Ensino Médio apresenta duas obras abordando o tópico de
cálculo com abordagens que utilizam a taxa de variação instantânea. Isto também se
repete em apenas uma obra no PNLD (2015) com a ressalva de que esse tópico é
opcional.
No entanto, há experiências procurando interligar as etapas do ensino médio
e superior ou minimizar o problema com reprovações altas na disciplina de Cálculo
Diferencial nos cursos de matemática ou de ciências exatas. Também merece
destaque a importância do cálculo diferencial no desenvolvimento e avanço da
história da ciência moderna.
Algumas tentativas de abordar cálculo diferencial nessa etapa de ensino
falharam porque o que se fez foi antecipar a forma como esse assunto é abordado
nos cursos superiores, segundo afirma numa entrevista1, o matemático Nilson José
Machado, “o problema é que nem na universidade o curso de introdução ao cálculo
funciona bem. Como poderia funcionar bem no Ensino Médio?”. Então, compreende-
se que a abordagem metodológica é o ponto chave para o sucesso dessa
empreitada. Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM
(1999), ao discorrer sobre os conhecimentos matemáticos no Ensino Médio, afirmam
que
1 Disponível no site https://imaginariopuro.wordpress.com/tag/nilson-jose-machado/. Acesso em 10 fev. de 2016.
9
O critério central é o da contextualização e da interdisciplinaridade, ou seja, é o potencial de um tema permitir conexões entre diversos conceitos matemáticos e entre diferentes formas de pensamento matemático, ou, ainda, a relevância cultural do tema, tanto no que diz respeito às suas aplicações dentro ou fora da Matemática, como à sua importância histórica no desenvolvimento da própria ciência. (BRASIL, p. 43).
Nessa perspectiva, propõe-se um ensino de cálculo nessa etapa sem o
formalismo exigido no ensino superior e, aproveitando o mote da derivada como taxa
de variação, abrindo possibilidades variadas de aplicações e contextualizações na
própria matemática, na física, na química e na biologia. O cálculo pelo cálculo, sem
aplicações e contextualizações, fica centrado em uma metodologia tradicional.
É justamente isso o que essa proposta procura explorar, revisar assuntos das
ciências naturais sem a exagerada memorização de fórmulas através da
matemática. Lima (p. 141, 2002), defende que “as aplicações constituem a principal
razão pela qual o ensino da matemática é tão difundido e necessário, desde os
primórdios da civilização até os dias de hoje e certamente cada vez mais no futuro”.
No entanto, deve-se ter cuidado para que as aplicações não se transformem e
cedam lugar para os exageros. Lima (p. 144, 2002) também alerta para esse fato:
“Se forem formuladas adequadamente, em termos realísticos, ligados a questões e
fatos da vida atual, elas podem justificar o estudo, por vezes árido, de conceitos e
manipulações, despertando o interesse da classe”.
Machado; D’Ambrosio (2014) reforça essa ideia de discutir o assunto do
cálculo diferencial, quando afirma que
E pode-se anunciar que a porta de entrada no terreno do cálculo diferencial é o interesse de analisar não apenas o crescimento ou decrescimento, mas a rapidez com que uma grandeza cresce ou decresce em relação a outra: tal rapidez é a taxa de variação da grandeza, que mais tarde será chamada de derivada. (MACHADO; D’AMBROSIO, p. 72-73).
Por outro lado, o caminho percorrido no ensino de cálculo na universidade e,
que foi reproduzido no Ensino Médio, através do conceito formal de limite não atingiu
o objetivo desejado que foi apresentar aos alunos as noções do cálculo diferencial
sob a ótica de um entendimento alcançável por estes.
10
Experiências desse tipo falharam pelo excesso de formalismo e pelo
engessamento dos currículos das graduações que não estão em consonância com
as etapas anteriores de ensino da educação básica. Isso mostra que atualizações
metodológicas também são necessárias na universidade.
Com relação ao trabalho com cálculo e sua aplicabilidade, Rezende (2003)
faz um paralelo entre o que se ensina e o que deveria ser ensinado no Ensino
Médio.
No conceito de derivada, por exemplo, prevalecem os seus aspectos formais (definição em termos de limite) e geométricos (com o coeficiente angular da reta tangente) sobre a sua interpretação dinâmica em termos de taxa de variação. Interpretar o conceito de derivada tão somente como “coeficiente angular da reta tangente” significa ignorar o problema histórico essencial da “medida” instantânea da variabilidade de uma grandeza. (REZENDE, p. 5, 2003)
O professor Geraldo Ávila num artigo intitulado “O ensino de cálculo no 2º
grau”, na Revista do Professor de Matemática (RPM) de nº 61, mostra a importância
dessa ferramenta no ensino da matemática do Ensino Médio quando diz que
“Descartar o cálculo no ensino é grave, porque deixa de lado uma componente
significativa e certamente a mais relevante da Matemática para a formação do aluno
num contexto de ensino moderno e atual”.
11
2. DESENVOLVIMENTO
2.1. Breve Histórico do Cálculo
A importância do Cálculo Diferencial e dos conceitos atrelados a ele é exposto
por EVES (p. 417, 2004) quando faz o relato que “Esses conceitos têm tanto alcance
e tantas implicações no mundo moderno que talvez seja correto dizer que sem
algum conhecimento deles dificilmente hoje uma pessoa poderia considerar-se
culta”.
Apesar de na Grécia antiga já haver muita matemática produzida, parece
consensual que as primeiras manifestações claras do método diferencial foram
encontradas nas ideias de Johann Kepler, Galilei Galileu e Simon Stevin, como
sugere BOYER (p. 236, 1999) quando afirma que
[...] eles necessitavam dos métodos de Arquimedes, como homens práticos que eram, mas desejavam evitar os rigores lógicos do método de exaustão. Em grande parte foram as modificações por isso introduzidas nos antigos métodos infinitésimas que finalmente conduziram ao Cálculo [...]
Posteriormente, com o desenvolvimento da geometria analítica e através das
contribuições, principalmente de René Descartes e Pierre de Fermat, que o Cálculo
se aproximou do formato atual que o conhecemos. Os problemas em determinar a
reta tangente à curva e as expressões para as equações da reta e da circunferência
foram desenhando o que viria, anos depois, a ser denominado de Cálculo. Essas
ideias formaram o verdadeiro embrião sobre as quais, mais tarde se definiria o
conceito da derivada.
A utilização que fez de infinitésimos em aproximação de áreas, aplicando-as a
problemas de máximos e mínimos tornou Fermat um dos pioneiros no
desenvolvimento do Cálculo Infinitesimal.
Como nos mostra a História da Matemática, os conteúdos matemáticos ao
serem criados, surgiram das necessidades de resolver problemas cotidianos. Isso
não foi diferente com o cálculo já que eram comuns a realização de medições de
comprimentos e o cálculo de áreas e volumes, assim também como a procura por
quantidades máximas e mínimas. Talvez por isso que o Cálculo Integral surgiu
12
primeiro que o Cálculo Diferencial, ao contrário do que ocorre na ordem em que
esses conteúdos são apresentados nos livros e nas aulas dadas nos cursos
superiores.
Por volta do século XVII surgem as primeiras ideias associadas à
diferenciação, que de acordo com EVES (p.428, 2004) “Se originou de problemas
relativos ao traçado de tangentes a curvas e de questões objetivando a
determinação de máximos e mínimos de funções”. Apesar de na Grécia antiga já se
falar de problemas de máximos e mínimos, foi Fermat que apresentou de modo claro
respostas para isso utilizando o método diferencial: achar a derivada primeira da
função e torná-la nula num ponto x.
A inspiração para o desenvolvimento do Cálculo no século XVIII deve-se em
grande parte à mecânica e à astronomia. Dois matemáticos responsáveis pelo
grande avanço do Cálculo nesse período foram Isaac Newton e Gottfried Leibniz. No
site2 da Associação de Professores de Matemática de Portugal – APM, nas notas
sobre a História do Cálculo Diferencial, há as seguintes informações sobre esses
dois matemáticos:
O Cálculo Diferencial foi descoberto, em simultâneo e de forma independente pelos matemáticos Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716). Newton tentava resolver vários problemas de mecânica e precisava de, dado o deslocamento, determinar a velocidade (derivar) e de, dada a velocidade, determinar o deslocamento (integrar ou primitivar). Leibniz, doutorado em direito, pretendia desenvolver um sistema que permitisse uma linguagem objectiva e comum a todos os habitantes da Terra, de modo a resolver pacificamente os conflitos. (APM)
Essa coincidência é reforçada nas palavras de BOYER (p. 381, 1999): “A
história da matemática está recheada de casos de simultaneidade e quase
simultaneidade de descobertas [...]”. Ambos os matemáticos foram contemporâneos
e o contato que tiveram, ao que tudo indica, parece ter sido através de cartas, como
BOYER (p. 289, 1999) nos mostra: “Esse teorema foi anunciado pela primeira vez
por Newton numa carta de 13 de junho de 1676, enviada a Oldenburg, mas
destinada a Leibniz”. O teorema a qual a citação se refere é o da expansão binomial.
2 Disponível em http://www.apm.pt/nucleos/coimbra/bimat/bimat7/bimat72.htm. Acesso em 23 de fev. 2016.
13
Ainda de acordo com BOYER (apud, 1999), corroborando com o dito
anteriormente, “Na primeira edição dos Principia Newton reconheceu que Leibniz
estava de posse de um método semelhante”.
Enquanto Newton foi o grande responsável pela aproximação da física à
matemática através da derivada, Leibniz introduziu a notação dx e dy para designar
os acréscimos em x e em y, apresentando dessa forma uma nomenclatura mais
concisa e clara.
Somente no século XIX com Augustin-Louis Cauchy é que foram introduzidos
de modo formal os conceitos de limite e derivada. Mas, já a partir do século XVII,
com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial tornou-se imprescindível devido às
contribuições dadas aos mais diversos campos da Ciência (Física, Química,
Astronomia, Biologia etc.) com várias aplicações.
A importância do Cálculo para a matemática também está presente na busca
por soluções para os problemas do cotidiano, que vão desde a determinação de
máximos e mínimos associados ao maior lucro, à maior produção e ao menor custo,
até a determinação da área de embalagens de modo que se obtenha o volume
máximo com o menor custo e gasto de material.
Na Física, historicamente vê-se a presença dele no movimento uniforme e
uniformemente variado, sendo usado na determinação da velocidade e da
aceleração. Já na Química, percebe-se a presença na determinação da velocidade
com que as reações químicas ocorrem. Na Biologia, pode-se analisar o crescimento
e decrescimento de populações através do Cálculo Diferencial. Assim, é marcante a
utilização do cálculo diferencial nos diversos ramos das engenharias, na idealização
e produção de tecnologias e na utilização de recursos para a exploração do espaço.
14
2.2. Taxa de Variação Média, Noções de Limite e a Derivada
2.2.1. Taxa de Variação Média
Vamos analisar uma situação do cotidiano para que possamos compreender
o que é uma taxa de variação. A tabela 01 e o gráfico 01, abaixo, mostram a massa
corpórea de uma criança, que consta na sua caderneta de vacinação, desde o
nascimento (0 meses) até a idade de 12 meses (um ano).
Massa corpórea de Natália NóbregaIdade
(meses)Massa
(gramas)0 37301 47002 53003 58004 63005 66006 68007 71008 76009 7800
10 800011 820012 8700
Acervo do autor – Tabela 01
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
2000400060008000
10000
Evolução da Massa Corpórea de Natália Nóbrega
Idade (meses)
Mas
sa (g
ram
as)
Acervo do autor – Gráfico 01
15
Observando a tabela 01 e o gráfico 01 acima, podemos analisar como a
massa corpórea dessa criança cresce com o passar dos meses. Então, para
descobrir quanto Natália Nóbrega cresceu, em média, no intervalo de [2,4] meses,
fazemos
6300−53004−2
=500 gramas.
Desse modo, dizemos que a taxa de variação média (TVM) de crescimento da
massa corporal de Natália foi de 500 gramas no período de 2 a 4 meses. Essa
variação pode ser calculada em qualquer intervalo de tempo constante na tabela 01
acima, e a partir dessas várias variações podemos observar em qual período ela foi
maior ou menor. Na caderneta de vacinação é feito um alerta para quando essa
variação for muito acentuada e, desse modo, deve ter um cuidado por parte dos
pais, pois, afinal, essa criança pode torna-se obesa.
Generalizando para qualquer situação, temos que a taxa de variação média
(TVM) de uma função no intervalo [xa, xb] é dada por:
TVM [xb , xa]=
f (xb )−f (xa )xb−xa
=∆ y∆x
Onde ∆ y=f (xb )−f (xa ) e ∆ x=xb−xa.
2.2.2. Noções de Limite
A ideia intuitiva de limite precede às descobertas de Newton e Leibniz. Outros
matemáticos como Eudoxo (século IV a.C.) criou um método para o cálculo de
comprimentos, áreas e volumes. Tal método é denominado de Método da Exaustão,
que hoje podemos enxergá-lo como o cálculo de um limite.
De acordo com BOYER (pag. 67, 1999) “Matemáticos anteriores parecem ter
sugerido que se tentasse inscrever e circunscrever figuras retilíneas dentro e por
fora da figura curva, e ir multiplicando-se indefinidamente o número de lados [...]”.
Mas foi Eudoxo que forneceu a chave para a situação, pois os outros matemáticos
não conheciam o conceito de limite.
16
O professor Nilson José Machado em uma entrevista dada num site3
defendeu a utilização do Cálculo Diferencial no Ensino Médio e relatou que a ideia
intuitiva de limite é simples, pois é a ideia de aproximações sucessivas. O conceito
formal de limite é pesadíssimo, segundo o autor e, no passado, as tentativas de
abordá-lo no Ensino Médio apresentaram muitas formalidades. Essa antecipação do
modo de ensinar na universidade foi responsável pelo insucesso das tentativas de
implantá-lo nessa etapa final da educação básica.
Então, Eudoxo construiu alguns polígonos inscritos no círculo, como mostra a
imagem abaixo.
Acervo do autor
A construção dos polígonos inscritos no círculo, utilizando como recurso o
GEOGEBRA4, mostra que à medida que aumenta o número de lados do polígono
inscrito mais ele se aproxima visualmente e numericamente da área do círculo. Ao
efetuar o cálculo da área dos polígonos utilizando a função área do GEOGEBRA,
obteve-se os resultados apresentados na tabela 02 abaixo:
Polígonos Inscritos Pentágono Heptágono Decágono Icoságono Círculo
Áreas 5,29 6,10 6,56 6,98 7,00
Acervo do autor – Tabela 02
Ainda com a utilização do GEOGEBRA foram produzidos os polígonos
circunscritos ao círculo e expostos na figura abaixo.
3 Disponível em https://imaginariopuro.wordpress.com/tag/nilson-jose-machado/. Acesso em 10 de Jan. de 2016.4Software disponível gratuitamente para download em http://www.geogebra.org/cms/. Acesso em 12 de Out. de 2015.
17
Acervo do autor
De modo análogo, observando a figura acima e a tabela 03, vê-se que ao
aumentar o número de lados dos polígonos circunscritos ao círculo, percebe-se que
estes também se aproximam visualmente e numericamente da área do círculo.
Polígonos circunscritos Pentágono Heptágono Decágono Icoságono Círculo
Áreas 8,08 7,51 7,24 7,10 7,00
Acervo do autor – Tabela 03
Na situação dos polígonos inscritos, a aproximação é crescente; enquanto
que no caso dos polígonos circunscritos, ela é decrescente. De modo geral, se
indicarmos por In a área da região do polígono de n lados inscrito ao círculo, Cn a
área do polígono de n lados circunscrito ao círculo e A, a área do círculo, temos que:
I5 < I7 < I20 < I30 < ... < A e C5 > C7 > C20 > C30 > ... > A
Ao usar uma nomenclatura formal, quando fazemos o número de lados dos
polígonos suficientemente grande, podemos escrever:
limn→+∞
I n= limn→+∞
Cn=A
Onde se lê limite de In ou Cn, com n tendendo ao infinito, é igual a A.Outra situação interessante que apresenta implicitamente a ideia de limite
quando aumentamos o número de lados de um polígono é que se esse aumento for
suficientemente grande, as diagonais traçadas no polígono tendem a se aproximar
do formato do círculo, como visto na situação anterior.
18
2.2.3. Derivada
A taxa de variação média (TVM) representada anteriormente apresenta
valores em intervalos relativamente grandes (meses) e essa variação não coincide
em cada intervalo. Ao utilizar intervalos cada vez menores na situação da massa
corporal, como semanas ou dias, teremos uma taxa de variação instantânea (TVI)
que nos dá ideia da função em tempo real e de modo contínuo. Essa taxa de
variação instantânea num ponto é a derivada da função.
Geometricamente, os gráficos abaixo mostram a ideia da Derivada. Sejam P e
X dois pontos distintos sobre a curva f, com P fixo e X variável. Ao marcar as
abscissas e as ordenadas desses pontos no gráfico 01 abaixo, temos a formação do
triângulo retângulo em A. Ao traçar uma reta por esses dois pontos, ela forma um
ângulo α com o eixo horizontal.
Gráfico 01
Observe que a tangente do ângulo α é o quociente do cateto oposto pelo seu
cateto adjacente e que este valor é numericamente igual ao coeficiente angular (m)
da reta que passa pelos dois pontos, isto é,
m=tg∝¿f (x0 )−f (P)
x0−P
19
Repare que, mantendo P fixo e variando X0, o ponto P permanece fixo,
enquanto o ponto X vai mudando de posição. Então, a reta secante que passa pelos
pontos P e X vai se aproximando de uma posição limite, a qual é definida como
sendo a reta tangente à curva no ponto P. Esse percurso é observado nos gráficos
02 e 03, abaixo.
Gráfico 02
A tangente do ângulo no limite da reta tangente é a derivada da função no
ponto P.
Gráfico 03
20
Usando a notação de limite vista anteriormente, temos
f '(P)= limx0→P
f (x0 )−f (P)x0−P
2.2.4. Derivadas de algumas funções:
Depois de utilizar a notação de limite para o cálculo da razão incremental,
podemos generalizar as derivadas mais simples e que será objeto das aplicações
realizadas posteriormente. Desse modo, ficará mais rápido e prático proceder ao seu
cálculo.
Função constante f(x) = c
f ' ( x )= lim∆ x→0
f ( x+∆ x )−f ( x )∆x
=lim∆ x→0
c−c
∆ x= lim
∆ x→ 00=0.
Função f(x) = xn, n N*
f ' ( x )= lim∆ x→0
(x+∆x )n−xn
∆ x = lim∆ x→0
¿(n0) xn+(n1) xn−1 .∆ x+(n2) xn−2 .(∆x )2+…+(nn)(∆ x)n−xn
∆ x = lim∆x→ 0
∆x [(n1)xn−1+(n2) xn−2.∆ x+…+(nn)(∆ x )n−1
∆x =n xn−1¿
.
Função quociente f(x) = 1/x
lim∆ x→0
f ( x+∆ x )−f (x )∆ x
= lim∆x→ 0
1x+∆ x
−1x
∆ x= lim
∆x→ 0
−1x (x+∆ x )
=−1x2
.
21
3. APLICAÇÕES
3.1. Aplicação na Matemática:
3.1.1. Como diferenciar o maior de todos do menor de todos?
As funções quadráticas e o estudo do seu gráfico têm aplicações variadas no
cotidiano, indo desde o cálculo das áreas máximas para a plantação na agricultura
até o cálculo de áreas mínimas para a divisão dos cômodos de um apartamento.
Também tem grande utilidade no cálculo associado à economia, quando se deseja
que a produção seja máxima e se obtenha um lucro máximo com um custo mínimo.
Observando a função f(x) = x2 – 5x + 4, vemos que ao atribuir valores para x,
e calcular os respectivos valores para f(x), obtemos uma curva como a representada
abaixo.
Pela figura acima se percebe que a função atinge um valor mínimo no
intervalo entre [2,3], pois a parábola tem concavidade para cima, e que visualmente
é tentador afirmar que tal valor é 2,5, utilizando para isso a simetria. Mas, o que
garante que esse valor não seja 2,49 ou 2,51? Ao atribuir mais e mais valores para
x, nos aproximamos desse valor. Esse trabalho árduo pode ser dispensado ao
calcularmos a derivada primeira da função f no ponto zero.
22
f (x) = 2x – 5 = 0
x = 5/2
Substituindo esse valor em f(x), obtemos o valor mínimo da referida função:
f(5/2) = (5/2)2 – 5(5/2) + 4
f(5/2) = -9/4
Com relação à função g(x) = - x2 + 3x vemos que ela possui um ponto de
máximo, pois sua concavidade é voltada para baixo, e esse ponto pode ser
encontrado quando x estiver no intervalo [1,2]. Novamente, a simetria da curva no
gráfico abaixo nos leva a deduzir que esse valor máximo é obtido no ponto médio
desse segmento e que seu valor é 1,5. E, por que esse valor não pode ser 1,49 ou
1,51?
Para elucidar essa dúvida, calculemos sua derivada primeira no ponto zero.
g (x) = -2x + 3 = 0
x = 1,5
Então, o valor máximo é dado por:
g(1,5) = -(1,5)2 + 3.(1,5)
g(1,5) = 2,25.
23
Generalizando, se tivermos uma função do tipo f(x) = ax2 + bx + c, ao
derivarmos ela e calcularmos seu valor no ponto zero, obtemos:
f (x) = 2ax + b = 0
x = -b/2a
Ao substituirmos esse valor na função f(x), teremos:
f(-b/2a) = a.(-b/2a)2 + b(-b/2a) + c
f(-b/2a) = -(b2 -4ac)/4a
Assim, as coordenadas do vértice são: V=(−b2a
,−∆4 a ), ao fazer = b2 -4ac.
Essa fórmula é dada nos livros didáticos de matemática, mas seu uso está restrito
ao caso das funções quadráticas.
E se tivermos uma curva que apresente tanto um ponto de máximo quanto um
ponto de mínimo, como h(x) = 1/3x3 – x2 –3x + 2 e que não seja uma função
quadrática? A imagem abaixo mostra visualmente essa situação.
De modo análogo ao que foi feito anteriormente, vamos determinar os valores
de x que possibilitam esta função apresentar um mínimo e máximo. Para isto, ache a
derivada primeira da função h no ponto zero.
24
h (x) = x2 -2x -3 = 0
x = -1 e x = 3.
Agora, ao substituirmos estes valores na função h(x), temos:
h(-1) = 1/3.(-1)3 –(-1)2 –3.(-1) +2 = 3,666... e
h(3) = 1/3.(3)3 –(3)2 -3(3) + 2 = -7
Portanto, a função h(x) assume um valor máximo igual a 3,666... quando x = -
1 e um valor mínimo igual a -7 quando x = 3.
3.1.2. Quando o volume é constante e o custo é mínimo com a área?
A derivada também tem aplicações na geometria espacial e decidem muitas
vezes qual formato mais adequado para um produto que encontramos nas
prateleiras dos supermercados. Vejamos o problema5 abaixo:
Um engenheiro de produção quer construir uma lata cilíndrica com um volume
fixo Vo. Quais as dimensões que minimizarão a área da superfície de uma lata como
esta e, portanto, a quantidade de metal necessário para fabricá-la?
Sendo r e h, respectivamente, o raio da base e a altura de uma lata cilíndrica,
seu volume será dado por (1) e a área lateral por (2)
(1) vo=π r2h
(2) A=2π r2+2πrh
Queremos minimizar A, que é uma função de duas variáveis relacionadas
pela equação (1). Isolando em (1), h e substituindo em (2), temos:
h=vo
π r2 e A=2π r2+2vo
r
Daí, ao derivarmos a expressão da área, tem-se:
5Adaptado da Revista do Professor de Matemática, da secção Vale a pena estudar Cálculo? nº 53, Ano 2004.
25
A' (r )=4 π r−2vo
r2
Se A′(r) = 0 (quando a função atinge o seu ponto máximo ou mínimo a reta
tangente à curva é igual a zero, pois, esta reta é paralela ao eixo OX e, portanto, seu
coeficiente angular é igual a zero), então, teremos
r=( vo
2π )13
As dimensões da lata de custo mínimo podem ser obtidas, a partir da
equação (1), calculando-se o valor de h, correspondente ao valor de r, onde a
função A atinge o seu mínimo. Assim,
h=vo
π r2 =2( vo
2π )13
Note que h = 2r. Do ponto de vista de diminuir custos de matéria-prima, esse
resultado revela que a “melhor” proporção para uma lata cilíndrica é aquela em que
a altura é igual ao diâmetro da base. Esta é a proporção usada na lata de leite Moça.
3.1.3. Produção para obter o lucro máximo
A derivada também consiste numa ferramenta importante para a indústria,
pois possibilita definir qual produção gera o lucro máximo. Se uma indústria de
eletrodomésticos vende tablets a R$ 180,00 por unidade. Se o custo de produção
total diário em reais para x unidades é dado por C(x) = 100 + 60x + 0,5x², quantos
tablets devem ser fabricados diariamente para maximizar o lucro? Qual o valor do
lucro máximo?
O lucro é obtido pela diferença entre o rendimento e o custo, isto é,
L(x) = 180x – (100 + 60x + 0,5x2) = 100 + 120x – 0,5x2
Ao realizar o cálculo da derivada primeira no ponto zero, obtemos
26
L′(x) = 120 – 1x
L′(0) = 120.
Portanto, o total de unidades de tablets produzidos para se obter o lucro
máximo é x = 120. Ao substituirmos esse valor na expressão do lucro, temos
L(120) = 100 + 120.120 – 0,5.1202 = 7300.
Deste modo, o lucro obtido de acordo com a expressão do custo é de 7.300
reais, e é obtido quando são vendidos 120 tablets.
3.2. Aplicações na Química:
3.2.1. Como medir a velocidade de uma reação química?
As transformações pelas quais passam a matéria são de extrema importância
para a Química, assim também como a velocidade com que elas se processam. A
sociedade depende de produtos que devem apresentar uma durabilidade grande e
que seja produzido num curto intervalo de tempo. Essa dependência vai desde a
produção de alimentos, passando pela indústria de cosméticos, até a fabricação de
remédios.
A matéria pode sofrer dois tipos distintos de transformações, denominados
de: fenômenos físicos e fenômenos químicos. No primeiro caso ocorre apenas uma
mudança de estado físico da matéria sem alteração na natureza das substâncias. Já
no segundo caso, que também pode ser denominado de reação química, ocorrem
alterações na natureza da matéria e, consequentemente, de suas propriedades.
Em Química, quando se deseja calcular a velocidade média com que as
reações ocorrem, estamos calculando uma taxa de variação, que relaciona a
concentração dos reagentes e/ou produtos por unidade de tempo. Assim, a sua
expressão é dada por:
V m=∆ [Reagentes ou produtos ]
∆ t
Onde a letra grega Δ representa a variação da concentração.
27
Mas, os químicos estão mais interessados em obter a velocidade instantânea,
a partir da velocidade média quando o intervalo de tempo Δt tende a zero. Isto é o
mesmo que determinar a derivada da concentração em função do tempo, que é
dada por:
V i= lim∆t→0
∆C∆ t
=C '( t)
Numa reação geral expressa pela equação química aA + bB → cC + dD, onde
a, b, c e d são seus coeficientes estequiométricos; estes são levados em conta
quando se quer determinar sua velocidade, pois representam as relações
estequiométricas entre os produtos e os reagentes. Deste modo, podemos
determinar a velocidade média da reação através de qualquer uma das equações
abaixo.
V m=−1a
∆ [ A ]∆ t
=−1b
∆ [B ]∆ t
=1c∆ [C ]∆ t
=1d∆ [ D ]∆ t
Uma vez que a concentração dos produtos aumenta à medida que a reação
se processa, então a derivada primeira é positiva e por isso o sinal nas
concentrações de C e D é positivo. Já em relação à concentração dos reagentes,
esta decresce com o passar do tempo, logo, para torná-la positiva colocamos o sinal
negativo antes, como pode ser visto na expressão acima.
Como parte de um exemplo6, vejamos a seguinte situação: Suponha a
equação de uma reação genérica: A + 3B → 2C, considerando que, inicialmente, a
concentração de A é 3 mol, B é 6 mol e após 1 minuto de reação há 2 mols de A.
Responda às seguintes questões:
a) quais as quantidades iniciais de A, B e C?
As concentrações iniciais são: A = 3 mol, B = 6 mol e C = 0 (inicialmente não
tem produto formado).
b) determine a velocidade média desta reação no intervalo de tempo de 1 minuto.
A velocidade média pode ser determinada em função de qualquer um dos
reagentes ou do produto, através da equação abaixo.
6 Extraído da aula 01 (Introdução ao estudo da cinemática), da disciplina Cinética e Propriedade das Superfícies, UNIDIS, UFRN.
28
V m=−1a
∆ [ A ]∆ t
=−1b
∆ [B ]∆ t
=1c∆ [C ]∆ t
=1d∆ [ D ]∆ t
Reagente A:
V m=−11
−11
=1mol /L . s
Reagente B:
V m=−13
−31
=1mol /L . s
Reagente C:
V m=12
21=1mol/L . s
Observe que a velocidade da reação é a mesma para qualquer um dos
reagentes como também para o produto da reação.
3.2.2. A pressão versus o volume
Manter os pneus do carro calibrados de acordo com as recomendações do
fabricante é sempre muito importante para a segurança dos passageiros, pois a
estabilidade do veículo depende disso. Além do mais, rodar com pneus
descalibrados aumenta o consumo de combustível e a poluição.
A função V = f(P), que mostra, genericamente, a relação entre pressão e
volume, é conhecida como Lei de Boyle-Mariotte e é enunciada da seguinte forma:
sob temperatura constante, o volume ocupado por determinada massa gasosa é
inversamente proporcional à sua pressão. Matematicamente, sua expressão é dada
por:
V=constante× 1P
Na figura abaixo temos os pontos A e B, num intervalo onde a função é
derivável.
29
Fonte: Gráfico adaptado. Feltre (2004, p. 282)
O valor de ∆ P=P2−P1 é o acréscimo e também pode ser chamado de
incremento da variável livre de P e o valor de ∆V=V 2−V 1 é o acréscimo ou
incremento da variável dependente de V. A razão ∆V∆P desses incrementos é
chamada de razão incremental.
lim∆ P→0
∆V∆ P
=V ' (P)
3.3. Aplicações na Física:
3.3.1. Deslocamento e Velocidade em função do Tempo
A variação do deslocamento de uma partícula num intervalo de tempo fornece
pra gente a velocidade com que esta referida partícula se desloca. Obtemos isso
através da razão
vm=∆s∆ t
Em algumas situações se deseja o cálculo dessa velocidade em determinado
instante, como ocorre nas corridas de Fórmula 1, nas quais a diferença de tempo
30
entre os competidores é muito pequena. No momento de uma ultrapassagem, a
velocidade com que o piloto ultrapassa é denominada de velocidade instantânea.
Ela é obtida através da derivada da posição em função do tempo, em intervalos
cada vez menores. Sua expressão é representada abaixo:
v= lim∆t→0
∆ s∆ t
=dsdt
Quando a posição de uma partícula muda com o tempo, dizemos que ela
adquiriu certa velocidade. Já quando o valor da velocidade varia com o tempo,
dizemos que essa partícula está sendo acelerada. Assim, aceleração é uma
quantidade vetorial com dimensões de velocidade (Δv) dividido pelo tempo (Δt).
O valor da aceleração média pode ser diferente em diferentes intervalos de
tempo. Neste caso, torna-se útil definir o conceito de aceleração instantânea como
sendo o limite da aceleração média quando Δt se aproxima de zero.
Ao fazer intervalos de tempo cada vez menores, obtemos a expressão para a
aceleração instantânea.
a= lim∆t →0
∆ v∆ t
=d vdt
A derivada da velocidade em função do tempo é o valor da aceleração
instantânea, a qual por definição equivale à inclinação da curva no gráfico da
velocidade em função do tempo.
A equação horária do deslocamento em função do tempo, para o movimento
uniformemente variado, é dada por:
S ( t )=so+vot+12a t 2
A derivada do deslocamento em relação ao tempo fornece a velocidade num
instante genérico t:
S' (t )=v=vo+at
31
Desse modo, vemos que a taxa de variação do deslocamento é expressa pela
velocidade, isto é, a velocidade representa a rapidez com que a posição varia. A
aceleração, por sua vez, representa a taxa de variação da velocidade, isto é, a
rapidez com que a velocidade varia.
Graficamente, o espaço (s) em função do tempo (t) pode ser exposto com a
concavidade para cima ou para baixo, mas em ambos os casos, a derivada nos
pontos desses gráficos representam a velocidade.
Analisando os gráficos abaixo, temos que, no gráfico da esquerda, a
velocidade v = tg θ. Já no gráfico da esquerda, a velocidade é negativa (movimento
retrógrado) e é dada por v = tg (-θ). Para calcular a velocidade instantânea a partir
dos gráficos do espaço em função do tempo, encontramos a reta tangente à curva e
verificamos sua inclinação. Então, essa velocidade é a derivada da função no ponto
x1 (t1, s1).
Gráficos adaptados de Bordalo Mecânica
Já a variação da velocidade em função do tempo, pode apresentar duas
situações graficamente, uma crescente e outra decrescente, e o valor da sua
aceleração pode ser positiva ou negativa. De modo análogo, no gráfico da esquerda
temos que a = tg θ, e no outro, da direita, a = tg (-θ).
Gráfico adaptado de Bordalo Mecânica
32
Gráficos adaptados de Bordalo Mecânica
No caso de a função ser do primeiro grau, temos a reta como gráfico do
espaço em função do tempo. Este pode ser crescente, decrescente e constante. Em
cada situação dessas, a derivada em qualquer ponto é positiva, negativa e zero,
respectivamente.
Gráficos adaptados de Bordalo Mecânica
Semelhante ao que acontece com a velocidade, a aceleração pode ser Gráficos adaptados de Bordalo Mecânica
A derivada é positiva, negativa ou igual a zero, no caso de a reta ser
crescente, decrescente ou constante, respectivamente.
Gráficos adaptados de Bordalo Mecânica
3.3.2. Trabalho e Potência
Em física, o conceito de trabalho (τ ) difere do significado que utilizamos no
cotidiano para indicar que realizamos certas tarefas e serviços. O trabalho é toda
atividade feita por um corpo que está sob uma força. Além da força, é necessário
também um deslocamento (d). Ao aplicar uma força a um corpo ele se desloca
realizando um trabalho que é determinado fazendo o produto da força pelo
deslocamento, isto é,
33
τ=F .d
A potência corresponde à taxa segundo a qual um trabalho é realizado. Essa
taxa é compreendida como sendo um limite quanto o intervalo de tempo tende a
zero. Matematicamente, isso pode ser representado por:
P= lim∆t→ 0
∆ τ∆ t
=dτdt
3.3.3. Quantidade de cargas elétricas num intervalo de tempo
A derivada também se faz presente na eletricidade. A intensidade I da
corrente elétrica é definida como a razão entre o módulo da quantidade de carga ΔQ
que atravessa certa secção transversal (corte feito ao longo da menor dimensão de
um corpo) do condutor em um intervalo de tempo Δt.
I= limΔt→0
∆Q∆ t
=dqdt
A unidade da corrente elétrica é o Ampére (Columb/segundo).
3.3.4. Energia eletromagnética
O dinamarquês Hans Oersted descobriu a relação entre eletricidade e
magnetismo, quando observou que um condutor percorrido por uma corrente elétrica
gerava um campo magnético ao seu redor. Várias experiências envolvendo imãs e
bobinas em movimento relativo, realizadas simultaneamente por Faraday e Joseph
Henry resultaram na geração de uma f.e.m. induzida magneticamente.
A indução eletromagnética descoberta por Faraday em 1831, relaciona a
variação do fluxo magnético através de uma bobina com o aparecimento de uma
f.e.m. induzida na própria espira, realizando uma separação de cargas elétricas,
possibilitando a geração de energia elétrica.
34
A força eletromotriz (f.e.m.) induzida num circuito é dada pela taxa de
variação do fluxo magnético através da área limitada por esse circuito. Sua
expressão é dada por:
f . e .m=−dΦB
dt
O sinal negativo que aparece na expressão é uma consequência do princípio
de conservação da energia. Após a descoberta do fenômeno da indução
eletromagnética, a energia elétrica obtida a partir da energia cinética passou a
desempenhar um papel importantíssimo no cotidiano da sociedade.
3.4. Aplicações na Biologia:
3.4.1. Contagem da população
O modelo matemático mais utilizado em dinâmica de populações foi proposto
por Malthus em 1798, através de uma dinâmica populacional bastante simples: para
a qual se considera que as taxas de nascimento e mortalidade de uma população
são proporcionais ao número de indivíduos presentes e, ainda, que não haja
migração. Assim, para Malthus, a população varia continuamente a uma taxa
constante proporcional à população atual.
Tomando o limite quando dt tende a zero na equação, tem-se a taxa de
variação instantânea da população que, ao contrário, da variação média que é
obtida num determinado período, esta pode ser calculada a qualquer instante:
limd t →0
d Nd t
=r N
Esta equação é também conhecida como lei de Malthus, e significa que a
variação instantânea da população é diretamente proporcional à própria população,
com constante de proporcionalidade r. O modelo mais simples de crescimento de
uma população pode ser definido através de uma função de crescimento linear,
35
onde o incremento da população responde a uma taxa fixa de crescimento não
correlacionada com o tamanho da população em questão, onde N é igual à
população e r a taxa constante de incremento.
3.4.2. Fluxo de sangue na artéria e/ou veia
Observando a figura abaixo e associando-a ao fluxo de sangue numa veia ou
artéria, podemos considerar a forma do vaso sanguíneo como sendo um tubo
cilíndrico com raio R e comprimento L.
L
Figura adaptada do livro James Stewart, página 204
A velocidade v com que o sangue percorre o tubo é maior no centro e
decresce à medida que r cresce. A relação entre v e r é dada pela lei do fluxo
laminar, descoberta pelo físico Jean-Louis-Marie Poiseuille, e é dada pela equação
v= P4η L
(R2−r2 )
Onde η é a viscosidade do sangue, P é a diferença entre as pressões nos
extremos do tubo cilíndrico. Se P e L forem constantes, então v é uma função de r. A
taxa média da velocidade quando r variar de r1 para r2, temos,
∆v∆r
=v ( r2 )−v (r¿¿1)r2−r1
¿
A taxa instantânea de variação da velocidade em relação a r é obtida quando
fazemos Δr → 0.
36
R r
lim∆r →0
∆ v∆r
=d vd r
Substituindo na equação do fluxo laminar, obtemos,
d vd r
=−Pr2ηL
37
4. CONCLUSÃO
A proposta ora apresentada aqui abre espaço para a introdução de
fundamentos do cálculo no Ensino Médio. Isso não representa aumento na grade
curricular nem tampouco mais conteúdos para serem ensinados. Essa abordagem é
sugerida logo no início dessa etapa de ensino, no estudo das funções. O conceito de
taxa de variação é o pontapé inicial. Assim, são retirados os excessos apresentados
nos livros didáticos no tratamento do assunto de funções e em seu lugar, a utilização
das noções da derivada.
A utilização do cálculo dispensa a memorização excessiva de fórmulas que é
exigida não somente na disciplina de matemática, mas também em física, química e
biologia. O estudo faz um percurso pelo desenvolvimento do cálculo em diferentes
contextos e mostra sua importância para o desenvolvimento tecnológico e científico
atual.
Partindo da ideia de limite sem o rigor que é exigido nas universidades, se
construiu o alicerce para chegar ao conceito da derivada. Para isso, valeu-se de
imagens e da observação de que ao aumentar o número de lados do polígono, sua
área se aproxima da área do círculo.
Posteriormente, foi abordado o conceito de taxa de variação e sua
interpretação gráfica. Essa ferramenta possibilitou definir o conceito de derivada,
que depois, foi ampliado ao limite da reta tangente à curva.
Por fim, apresentou-se a importância dessa ferramenta para a matemática e
para as outras ciências, através das aplicações em conteúdos variados.
38
5. BIBLIOGRAFIA
ARANTES, V. A (Org.); D’AMBROSIO, U; MACHADO, N. J. Ensino de Matemática: pontos e contrapontos. Summus Editorial, 2014, São Paulo – SP.
APM (Associação de Professores de Matemática de Portugal). Notas para a História do Cálculo Diferencial. Disponível em: http://www.apm.pt/nucleos/coimbra/bimat/bimat7/bimat72.htm Acesso em 23 de fev. 2016.
ÁVILA, Geraldo. O ensino de Cálculo no 2° grau. In: Revista do Professor de Matemática, n° 61. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 2003.
BOYER, C. B. História da Matemática. 2.ed. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1999.
BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio. Brasília: Ministério da Educação, 1999.
BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Guia de livros didáticos: PNLD 2009: matemática: ensino médio. Brasília: MEC/SEB, 2008. 87p.
BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Guia de livros didáticos: PNLD 2012: matemática: ensino médio. Brasília: MEC/SEB, 2011. 104p.
BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Guia de livros didáticos: PNLD 2015: matemática: ensino médio. Brasília: MEC/SEB, 2014. 108p.
BRITO, A. C. F; PONTES, D. L. Cinética e propriedade das superfícies. Aula 01. 136p, Natal, RN: EDUFRN, 2009.
CARNEIRO, J. P; WAGNER, E. Vale a pena estudar Cálculo? Revista do Professor de Matemática, n°53, p.18-21.SBM, 2004.
EVES, H. Introdução à história da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues. Campinas: Unicamp, 2004.
FELTRE, R; Química. 6. Edição. Volume 2. São Paulo: Moderna, 2004.
GEOGEBRA. Software. Disponível no site http://www.geogebra.org/cms/. Acesso em 12 de Out. de 2015.
LIMA, E. L. Matemática e Ensino. 2 ed. Rio de Janeiro: SBM, 2002.
MACHADO, N. J. Lugar de cálculo é no ensino médio. Disponível no site https://imaginariopuro.wordpress.com/tag/nilson-jose-machado/. Acesso em 10 fev. de 2016.
39
REZENDE, W. M. O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica. Tese de Doutorado. São Paulo: FE-USP, 2003.
40
