FUNÇÃO AFIM - Matemática em Foco · 2020. 4. 4. · A Matemática está em TUDO , inclusive em...

A Matemática está em TUDO, inclusive em VOCÊ!

FUNÇÃO AFIM

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Matemática em Foco - Profº Mick Xavier

A Matemática está em TUDO, inclusive em VOCÊ!2

FUNÇÃO AFIM

Este ebook contém um resumo especial sobre FUNÇÃO AFIM além de ques-tões diversas.

Uma função RRf →: , que associa todo número Rx∈ ao número baxy += , com a e b reais, é chamada de FUNÇÃO AFIM.

baxyou

baxxfbaxx

+=

+=+

)(

CASOS ESPECIAIS:

Toda função afim f(x) = ax + b, com b = 0, é chamada de FUNÇÃO LINEAR. Toda função afim f(x) = ax + b, com a = 0, isto é, f(x) = b, é chamada de

FUNÇÃO CONSTANTE. A função afim f(x) = ax + b, com a = 1 e b = 0 isto é, f(x) = x, é chamada

de FUNÇÃO IDENTIDADE.

COEFICIENTES DE UMA FUNÇÃO AFIM: Os coeficientes a e b de uma função afim f(x) = ax + b, são chamados coeficiente angular e coeficiente linear, respectivamente. Esses coeficientes nos fornecem informações sobre o comporta-mento do seu gráfico e interseção com os eixos coordenados.

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO AFIM: O gráfico de uma função afim é sempre uma reta, o que indica uma variação proporcional na imagem, para uma mesma variação do domínio.

RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO AFIM: Considerando uma função f(x) = ax + b, a raiz da função é o elemento do domínio que possui imagem igual a zero. Ou seja, se x1 é elemento do domínio de f(x) e f(x1) = 0, então x1 é raiz ou zero da função afim.


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Agora observe os gráficos a seguir das funções f(x) e g(x):

Nos gráficos acima podemos notar que o par ordenado em que a reta intersec-ta o eixo Y é o (0, b). Ou seja, a reta sempre corta o eixo Y exatamente no valor

do coeficiente linear da função. Por exemplo, na função 121)( −= xxf , temos b =

-1, e o gráfico intersecta o eixo Y no par ordenado (0,-1). Note também que a reta corta o eixo X exatamente no valor da sua raiz. Portanto se a raiz da função é um elemento x1 do domínio, então a reta corta o eixo X no par ordenado (x1,0).

ÂNGULO ENTRE A RETA E O EIXO X: Cada uma dessas retas forma um ân-gulo θ (no sentido anti-horário) com o eixo X conforme imagem abaixo.

Esse ângulo está relacionado ao coeficiente angular da função .

Para uma função afim qualquer f(x) = ax + b, cujo ângulo que a reta forma com o eixo X no sentido anti-horário é o θ , a tangente deste ângulo corresponde ao va-lor do coeficiente angular da função:



=θtg a.

O coeficiente angular também é chamado de “taxa de variação”. Existe uma maneira rápida de encontrar o coeficiente angular de uma função afim, utilizando DOIS PONTOS do gráfico. Por exemplo, dada uma função afim cujo gráfico con-tém os pontos (1,5) e (5,17) então fazemos o seguinte cálculo:

Considerando os pontos acima como (x1,y1) e (x2,y2) devemos fazer o se-

guinte cálculo para descobrir o coeficiente angular: 12

12

xxyya

−−

= ; sendo “a” o coefi-ciente angular da função.

Portanto, para o exemplo dado acima o coeficiente angular vale 34

1215517

==−−−

=a .Observação: o cálculo realizado anteriormente correspondente exatamente ao

cálculo para determinar a tangente do ângulo (sentido anti-horário) que a reta for-ma o eixo X.

CRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO AFIM: Considerando uma função afim qualquer f(x) = ax + b, com a ≠ 0:

A função é crescente se a > 0; A função é decrescente se a < 0; A função é constante se a = 0.

ESTUDO DOSINAL DE UMA FUNÇÃO AFIM: Considerando uma função afim qualquer f(x) = ax + b, com a ≠ 0:

Quando a função f(x) é CRESCENTE (a > 0) ela possui imagens po-sitivas [f(x) > 0] para qualquer valor do domínio maior que a raiz da função, e imagens negativas: f(x) < 0 para qualquer valor do domínio menor que a raiz da função, conforme imagem abaixo. Lembre-se que a imagem da função exatamente no valor de sua raiz é zero.


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Quando a função f(x) é DECRESCENTE (a < 0) ela é positiva [f(x) > 0] para qualquer valor do domínio menor que a raiz da função, e negativa: f(x) < 0 para qualquer valor do domínio maior que a raiz da função:

EXERCICIOS

1. Seja f uma função do primeiro grau tal que f(2) = 7 e f(5) = 13, qual o valor de f(-1) ?

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

2- A função f: R → R definida por y = f(x) = ax + b tem o gráfico esboçado. O coeficiente linear e o zero da função são respectivamente:



a) 3 e 3 b) 5 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 5 e) 5/3 e 3/5

3- (Unicamp) O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial Q0 fixo, mais um valor que varia proporcionalmente à distância D percorrida nessa corri-da. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos 3,6km, a quantia cobra-da foi de R$8,25 e que em outra corrida, de 2,8km a quantia cobrada foi de R$7,25.

a) Calcule o valor inicial de Q0 .b) Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$75,00 em 10 corridas,

quantos quilômetros seu carro percorreu naquele dia?

4- (UFPE) A poluição atmosférica em metrópoles aumenta ao longo do dia. Em certo dia, a concentração de poluentes no ar, às 8h, era de 20 partículas, em cada milhão de partículas, e, às 12h, era de 80 partículas, em cada milhão de partícu-las. Admitindo que a variação de poluentes no ar durante o dia é uma função do 1º grau (função afim) no tempo, qual o número de partículas poluentes no ar em cada milhão de partículas, às 10h20min?

a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 65

5- (UFSE) Na figura mostrada tem-se o gráfico da função do 1º grau definida por y = ax + b. O valor de a/b é igual a:

a) 3 b) 2 c) 3/2 d) 2/3 e) ½


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6- (UNIFOR) Seja f a função real definida por 2x1)x(f −= , para todo x do interva-

lo [-3,1]. Seu conjunto imagem é:

a) R b) [-1/2, 1] c) [-1/2,1/2] d) [-1/2 ; 5/2] e) [1/2 ; 5/2]

7- (UFPI) A função real de variável real, definida por f(x) = (3 – 2a)x + 2, é crescente quando:

a) a > 0 b) a < 3/2 c) a = 3/2 d) a >3/2 e) a < 3

8- (FGV) Uma fábrica de camisas tem um custo mensal dado por C = 5000 + 15x, onde x é o número de camisas produzidas e vendidas por mês. Cada camisa é vendida por R$25,00. Atualmente, o lucro mensal é de R$2000,00. Para dobrar esse lucro, a fábrica deverá produzir e vender mensalmente:

a) o dobro do que produz e vende. b) 100 unidades a mais do que produz e vende. c) 200 unidades a mais do que produz e vende. d) 300 unidades a mais do que produz e vende.

9- (UFPE) Um provedor de acesso à Internet oferece dois planos para seus assinantes:

Plano A - Assinatura mensal de R$8,00 mais R$0,03 por cada minuto de conexão durante o mês.

Plano B - Assinatura mensal de R$10,00 mais R$0,02 por cada minuto de conexão durante o mês.



Acima de quantos minutos de conexão por mês é mais econômico optar pelo plano B?

a) 160 b) 180 c) 200 d) 220 e) 240

10- (FUVEST) A reta de equação 2x + 12y - 3 = 0, em relação a um sistema cartesiano ortogonal, forma com os eixos do sistema um triângulo cuja área é:

a) 1/3 b) 1/4 c) 1/15 d) 3/8 e) 3/16

11- (UERJ) As baterias B1 e B2 de dois aparelhos celulares apresentam em determinado instante, respectivamente, 100% e 90% da carga total. Considere as seguintes informações:

• as baterias descarregam linearmente ao longo do tempo; • para descarregar por completo, B1 leva t horas e B2 leva duas horas a mais

do que B1; • no instante z, as duas baterias possuem o mesmo percentual de carga igual

a 75%.

Observe o gráfico:


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O valor de t, em horas, equivale a: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

GABARITO

1- A 2- C Apenas precisamos observar onde a reta corta os eixos X e Y. Neste caso os

valores são, 5 e 3, portanto a raiz vale 5 e o coeficiente linear vale 3.

3- a) R$3,75b) 30km

4- C

5- E

6- E

Como a expressão da função é 2x1)x(f −= , para todo x do intervalo [-3,1], e se

trata de uma função afim, apenas devemos substituir o menor valor do domínio e o maior, na expressão da função para encontrarmos o intervalo que determina a imagem da função. Sendo assim:

21

211)1(

25

231

2)3(1)3(

=−=

=+=−

−=−

f

f

Logo o intervalo que determina a imagem é

25,

21 .

7- B



Sabemos que uma função afim é crescente quando seu coeficiente angular é positivo. Neste caso a expressão da função é f(x) = (3 – 2a)x + 2, portanto seu coe-ficiente angular está representado pelo binômio (3 – 2a). Logo precisamos resolver a seguinte inequação: 3 – 2a > 0. Resolvendo a inequação obtemos:

3 > 2a3/2 > aLogo, a < 3/2 .8- C

9- CPara responder essa questão devemos comparar as expressões das duas

empresas, isto é, queremos que a empresa B seja mais barata que a empresa A:Plano A - Assinatura mensal de R$8,00 mais R$0,03 por cada minuto de co-

nexão durante o mês. Para este plano teremos a seguinte função A(x) = 8 + 0,03x, sendo x a quantidade de minutos falados por mês.

Plano B - Assinatura mensal de R$10,00 mais R$0,02 por cada minuto de co-nexão durante o mês. Para este plano teremos a seguinte função B(x) = 10 + 0,02x, sendo x a quantidade de minutos falados por mês.

Então queremos B(x) < A(x) portanto precisamos resolver a seguinte inequa-ção:

8 + 0,03x < 10 + 0,02xMultiplicando a inequação por 100 obtemos a inequação: 800 + 3x < 1000 + 2xx < 20010- E 11- D


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