01-CALCULO-2007

CURSO DE INSPETOR DE DUTOS – Matemática Básica

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• PERÍMETRO, ÁREAS, VOLUMES • OPERAÇÕES COM ÂNGULOS • RELAÇÕES NO TRIÂNGULO RETANGULO • RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

PERÍMETRO O perímetro de uma figura geométrica informa a extensão de linhas retas ou curvas que delimitam o contorno de sua área.

Perímetro = 2p / Semi-perímetro = p

ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS GEOMÉTRICAS

a a

a

a

Quadrado2p = a + a + a + a = 4.a

Retângulo b 2p = a + a + b + b = 2.a + 2.b

a

a

Polígono Qualquer

2p = a + b + c + d + e + f b

c d

e

f

Circunferência de Raio = r 2p = 2π r r

Quadrado A = a . a = a2 a a

a

a Retângulo

A = a . b b

a

Triângulo Equilátero

A = b . h 2

b

h

Trapézio

A= (B + b).h 2

b

B

h

Círculo de Raio = r

A = πr2

r


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VOLUME DOS SÓLIDOS O volume de um sólido pode ser obtido pelo produto da área da base pela altura.

ÂNGULOS Uma das idéias mais importantes em Geometria é a idéia de ângulo, que pode ser sugerida pelas figuras:

Denomina-se ângulo a região convexa formada por duas semi-retas não opostas que tem a mesma origem.

a

a a

Cubo V = a . a . a = a3

b

ac

Paralelepípedo V = a . b . c

r

hCilindro

V = πr2.h

β Origem

Semi-Reta

Semi-Reta

Região Convexa


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ÂNGULOS ESPECIAIS Quando duas semi-retas são opostas, formam um ângulo raso ou de meia-volta (180º) Quando duas semi-retas coincidem, obtemos dois ângulos:

Ângulo Nulo (0º) Ângulo de uma volta (360º)

Um ângulo pode ser:

• Reto – aquele em que a medida vale metade da medida do ângulo de meia-volta, ou seja 90º

• Agudo – aquele cuja medida é menor que 90º • Obtuso – aquele cuja medida é maior que o ângulo reto e menor que a medida

de um ângulo de meia volta.

ÂNGULO RETO

(AÔB) = 90º

ÂNGULO AGUDO

(AÔB) < 90º

ÂNGULO OBTUSO

90º < (AÔB) < 180º

B A C

B = C A B = C A

A

0B

0

A

B

A

0 B


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ÃNGULOS ADJACENTES – Dois ângulos

consecutivos que não possuem pontos

internos comuns.

ÂNGULOS COMPLEMENTARES -

Dois ângulos adjacentes cuja a soma das

suas medidas é igual a 90º.

ÂNGULOS SUPLEMENTARES:

Dois ângulos adjacentes cuja a soma das

suas medidas é igual a 180º.

MEDIDA DE UM ÂNGULO A unidade de medida usada para medir ângulos é o grau. Podemos utilizar o transferidor para medir ângulos. Uma circunferência completa apresenta 360º.

0º

90º

180º

270º

= 360º

AB

C

AB

0C

0A

B

C


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Cada grau é formado por minutos → 1º = 60’ Cada minuto é formado por segundos → 1’ = 60” OPERAÇÕES COM ÂNGULOS

30º + 15º = 48º - 23º = 13’ + 38’ = 33’ – 12’ = 12” + 25” = 52” – 47” = 38º + 45º = 330º - 148º = 33’ + 38’ = 28” + 49” =

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Características do Triângulo Retângulo:

• Um de seus ângulos tem medida 90º. • O lado oposto ao ângulo de 90º chama-se hipotenusa. • Os outros lados chamam-se catetos. • O quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos. (TEOREMA DE

PITÁGORAS) A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo vale 180°. O quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos: 222 cba +=

o90=+ γβ

B A

c

a b

a c

b

CA

β

γ

c a

b


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SENO

BC1 = 5m

BC2 = 10m BC = 15m BA1 = 4m BA2 = 8m BA = 12m A1C1 = 3m A2C2 = 6m AC = 9m

6,02

22

1

11 ====BCAC

BCCA

BCCASenβ

COSSENO

BC1 = 5m


Utiliza-se o principio de semelhança de Triângulos no desenho acima.

8,02

2

1

1 ====BCBA

BCBA

BCBACosβ

Senβ = Cateto oposto a β

hipotenusa

Cosβ = Cateto adjacente a β

hipotenusa

6,053

1

11 ==BCCA

6,0106

2

22 ==BCCA

6,0159

==BCAC

8,054

1

1 ==BCBA

8,0108

2

2 ==BCBA

8,01512

==BCBA


7

TANGENTE

BC1 = 5m


RESUMO: Relações entre seno, cosseno e tangente

75,02

22

1

11 ====BAAC

BACA

BACATanβ

Tanβ = Cateto oposto a β

Cateto adjacente a β

abSen =β

acCos =β

acSen =γ

abCos =γ

cbTg =β

bcTg =γ

abSen =β

acCos =β

acSen =γ

abCos =γ

º90=+ γβ βγ −= º90

β e γ são ângulos complementares

)º90( ββ −= SenCos

)º90( ββ −= CosSen

cbTg =β β

ββCosSen

acab

cbTg ===

75,043

1

11 ==BACA

75,086

2

22 ==BACA

75,0129

==BAAC

C A

β

γ

c a

b

B


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Para todo ângulo agudo vale a igualdade:

ÂNGULO SENO COSSENO TANGENTE

30º 21 2

3 33

45º 2

2 2

2 1

60º 2

3 21 3

βββ

CosSenTg =


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EXERCÍCIOS 1)Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os seus ângulos internos são iguais. Para provar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: (a) losango (b) trapézio (c) retângulo (d) quadrado 2)Para combater um incêndio, os bombeiros utilizaram duas escadas AD e BE, que formavam entre si um ângulo de 45º, conforme mostra a figura abaixo.

Considere: tg α= 0,5 e as distâncias AC = 17 metros e BC = 5 metros. Determine: (a) o comprimento CD; (b) a altura CE do prédio. 3)PEQUENOS NOTÁVEIS Aparelhos eletrônicos tornam-se cada vez menores e ainda mais poderosos Os saudosistas que se conformem, mas a maior parte dos produtos eletrônicos está tomando outra forma. Aparelhos de CD e rádio, calculadoras, computadores portáteis, câmaras de vídeo e telefones celulares estão diminuindo rapidamente de tamanho, e vários equipamentos de uso corrente vêm sofrendo tamanha transformação que alguns quase estão se tornando irreconhecíveis. Outra vedete no mundo miniaturizado são os handhelds ou computadores que cabem na mão. Apesar do tamanho, pode-se dizer que hoje eles deixam no chinelo o Eniac, o primeiro computador da história. Criado em 1946, o Eniac media 3,5 metros de altura, 30 de comprimento, 1 de profundidade e pesava 30 toneladas. Um handheld tem cerca de 2 centímetros de altura, 20 de comprimento, 10 de profundidade, pesa apenas 500 gramas e sua memória é 10 000 vezes mais poderosa. (a) Imagine duas caixas com a forma de um paralelepípedo retângulo; uma, com as dimensões

do Eniac, e outra, com as do handheld. Calcule a quantidade máxima de caixas menores que podem ser acomodadas na caixa maior.

(b) Determine o número de handhelds necessários para alcançar o peso do Eniac.


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4)Observe a figura abaixo:

Ela representa um papel quadrado ABCD, com 10 cm de lado, que foi dobrado na linha, em que M é o ponto médio do lado. Se, após a dobra, A, B, C, D e M são coplanares, determine (considerar BM perpendicular a AB e o valor do ângulo B = 90º). (a) o comprimento do segmento AM (b) a distância entre o ponto B e o segmento AM; (c) o valor de tg θ 5)Na construção de um hangar, com a forma de um paralelepípedo retângulo, que possa abrigar um Airbus, foram consideradas as medidas apresentadas abaixo:

Calcule o volume mínimo desse hangar. 6)Um atleta está treinando em uma pista retilínea e o gráfico abaixo apresenta dados sobre seu movimento. A distância percorrida pelo corredor, no intervalo entre 0 e 5 segundos, é igual à área do trapézio sombreado. Calcule essa distância (considerar o gráfico em escala).


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7)Três bolas de tênis, idênticas, de diâmetro igual a 6 cm, encontram-se dentro de uma embalagem cilíndrica, com tampa. As bolas tangenciam a superfície interna da embalagem nos pontos de contato, como ilustra a figura abaixo.

Calcule: (a) a área total, em cm2, da superfície da embalagem; (b) a fração do volume da embalagem ocupado pelas bolas. (Dado: Volume da esfera = 4/3π.r³) 8)A extremidade A de uma planta aquática encontra-se 10cm acima da superfície da água de um lago (fig.1). Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca a superfície da água no ponto B, situado a 10 3 cm do local em que sua projeção ortogonal C, sobre a água, se encontrava inicialmente (fig. 2). Considere OA, OB e BC segmentos de retas e o arco uma trajetória do movimento da planta.

Determine: (a) a profundidade do lago no ponto O em que se encontra a raiz da planta; (b) o comprimento, em cm, do arco .AB


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9)Observe a figura:

Depois de tirar as medidas de uma modelo, Jorge resolveu fazer uma brincadeira: 1º) esticou uma linha AB, cujo comprimento é metade da altura dela; 2º) ligou B ao seu pé no ponto C; 3º) fez uma rotação de BA com centro B, obtendo o ponto D sobre BC; 4º) fez uma rotação CD com centro C, determinando E sobre AC. Para surpresa da modelo, CE é a altura do seu umbigo. Tomando AB como unidade de comprimento, a medida CE da altura do umbigo da modelo é:(considerar √5=2,2) (a) 1,3 (b) 1,2 (c) 1,1 (d) 1,0

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