01 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE MATEMÁTICA - CR BRASIL

01. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE MATEMÁTICA – NÍVEL MÉDIO Celso do Rosário Brasil Gonçalves

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01. Após a decolagem, um avião percorre 1.000 metros em trajetória reta,

até atingir 600 metros de altura em relação à pista plana e horizontal do

aeroporto. O ângulo formado por essa trajetória e pela pista tem medida .

a) Calculem o seno de . b) Se o ângulo agudo formado por essa trajetória e a pista tivesse medida 2 ,

que distância deveria percorrer o avião até atingir 600 metros de altura em

relação à pista?

Solução:

a) Vamos fazer um desenho para ilustrar a situação:

600 metros

1.000 metros

No triângulo retângulo, temos:

b) Sabemos que: , portanto, temos:

(

)²


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De acordo com o enunciado o ângulo formado, nesse caso, vale 2 , assim

teremos a seguinte situação:

x

600 m

=

02. Em um exame de seleção com 1800 candidatos, 600 ficaram reprovados

em Matemática, 450 ficaram reprovados em Português e 240 ficaram

reprovados em Matemática e Português. Se um dos participantes for

escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter sido reprovado em

Matemática e aprovado em Português?


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Solução:

360 240 210

990

Matemática Português

P =

P =

P = 20%

03. Determinado tipo de automóvel diminui com o tempo, como mostra o

gráfico abaixo:


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Preço (em milhares de Reais)

25,5

13,5

Tempo (em anos)

0 8 x

Após quantos anos esse carro não terá nenhum valor?

Solução:

Como a desvalorização do veículo acontece linearmente, devemos

determinar a equação da reta que passa pelos pontos assinalados no gráfico

acima:

y = ax + b

Temos os seguintes pares ordenados: (8; 13,5) e (0; 25,5):

8a + b = 13,5 (I)

0.a + b = 25,5 ou b = 25,5 (II)

Substituindo (II) em (I), temos:

8a + 25,5 = 13,5

8a = 13,5 – 25,5

8a = -12

a = -1,5

A equação da reta é: y = -1,5x +25,5


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O carro não terá nenhum valor quando y = 0.

-1,5x + 25,5 = 0

-1,5x = - 25,5

x = 17 anos

04. Dois combustíveis são obtidos através de mistura de álcool e gasolina. O

combustível A contém 4 partes de seu volume de álcool para cada 7 partes

de gasolina, enquanto o combustível B contém 3 partes de álcool para cada

2 partes e gasolina. Com base nesses dados:

a) Calcule a proporção entre álcool e gasolina de uma mistura de 1litro do

combustível A e 1 litro do combustível B.

b) Calcule quantos litros do combustível B devem ser acrescentados a 1 litro

do combustível A para que a proporção entre álcool e gasolina na mistura

seja de 1: 1, ou seja, 1 parte de álcool para cada parte de gasolina.

Resposta: 15/11

Solução:

Item (a): o enunciado diz que o combustível A contém 4 partes do seu

volume de álcool para cada 7 partes de gasolina; nestas condições, é lícito

afirmar que em 11 litros do combustível A existem 4 litros de álcool e 7

litros de gasolina.

Então, em 1 litro do combustível A, teremos a mesma proporção, ou seja:

4/11 litros de álcool e 7/11 litros de gasolina.

Analogamente, para o combustível B teremos: o enunciado diz que o

combustível B contém 3 partes de álcool para cada 2 partes de gasolina;

nestas condições, é lícito afirmar que em 5 litros do combustível B existem 3


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litros de álcool e 2 litros de gasolina.

Então, em 1 litro do combustível B, teremos a mesma proporção, ou seja:

3/5 litros de álcool e 2/5 litros de gasolina.

Misturando 1 litro de A com 1 litro de B, teremos 2 litros da mistura que

conterá (4/11+3/5) litros de álcool mais (7/11+2/5) litros de gasolina.

Efetuando as somas indicadas, vem que a mistura conterá 4/11 + 3/5 = 53/55

litros de álcool e 7/11 + 2/5 = 57/55 litros de gasolina. Então, a proporção

entre álcool e gasolina na mistura será igual ao quociente (53/55)/(57/55) =

53/57, que é a resposta ao item (A).

Item (b): Já sabemos do item anterior que 1 litro de A contém (4/11) litros

de álcool e (7/11) litros de gasolina. O problema pede para calcular "quantos

litros do combustível B devem ser acrescentados a 1 litro do combustível A

para que a proporção entre álcool e gasolina na mistura seja de 1: 1, ou seja,

1 parte de álcool para cada parte de gasolina".

Seja x o número de litros do combustível B a ser adicionado a 1 litro do

combustível A.

Já sabemos que 1 litro do combustível A contém (4/11) litros de álcool mais

(7/11) litros de gasolina.

Após a adição de x litros de B e lembrando que x = 3x/5 + 2x/5, ficará:

Nota: lembre que a proporção inicial dos combustíveis em B é 3/5 para 2/5

e esta proporção continuará após a adição dos x litros.

[(3x/5) + (4/11)] (álcool adicionado) + [(7/11) + (2x/5)] (gasolina + álcool

adicionado)

Para que a relação entre álcool e gasolina seja igual a 1, deveremos ter

[(3x/5) + (4/11)] = [(7/11) + (2x/5)]

Daí, vem: 3x/5 - 2x/5 = 7/11 - 4/11 -----> x/5 = 3/11 -----> x = 15/11, que é a

resposta do item B.

Resposta: 15/11 litros.

05. No livro “Elementos de Álgebra, publicado em 1770, o matemático

suíço Leonhard Euler, 1707 - 1783 – propôs o seguinte problema:

Uma lebre está 50 pulos à frente de um cachorro, o qual dá 3 pulos no

tempo que ela leva para dar 4. Sabendo que 2 pulos do cachorro valem 3 da

lebre, quantos pulos ele deve dar para pegá-la?


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Solução:

Acompanhem o seguinte raciocínio simples:

Se 2 pulos do cachorro equivalem a 3 pulos da lebre então é óbvio que 1

pulo do cachorro será equivalente a 1,5 pulos da lebre.

Logo, 3 pulos do cachorro será equivalente a 3 x 1,5 = 4,5 pulos da lebre.

Então, a cada sequência de 3 pulos do cachorro, ele se aproxima 4,5 – 4 =

0,5 pulo (da lebre).

Como a distancia inicial entre eles é igual a 50 pulos (da lebre), o cachorro

para vencer a distância deverá dar 50 / 0,5 = 100 sequências de 3 pulos(do

cachorro), ou seja 100 x 3 = 300 pulos.

Resposta: o cachorro deverá dar 300 pulos.

06. Um rato sai correndo e quando deu 200 pulos o gato parte ao seu

encalço. Enquanto o gato dá 3 pulos, o rato dá 11 pulos, porém 2 pulos do

gato valem 9 do rato. Quantos pulos o gato deverá dar para alcançar o rato?

Solução:

Acompanhem o seguinte raciocínio simples, similar ao anterior:

2 pulos do gato = 9 pulos do rato. Daí, é claro que:

1 pulo do gato = 4,5 pulos do rato e,

3 pulos do gato = 3 x 4,5 = 13,5 pulos do rato

Em cada sequência de 3 pulos, o gato se aproxima 13,5 – 11 = 2,5 pulos (do

rato).

Como a distancia entre eles é de 200 pulos (do rato), o gato, para vencer a

distancia, deverá dar 200/2,5 = 80 sequências de 3 pulos,

ou seja: 80 x 3 = 240 pulos.

Resposta: o gato deverá dar 240 pulos.


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07. No modo SP, o aparelho de videocassete grava exatamente duas horas e,

no modo EP, grava quatro horas de filme, com menor qualidade. Paulo

quer gravar um filme de 136 minutos, com a melhor qualidade possível. Ele

decidiu começar no modo EP e terminar no modo SP. Após quantos

minutos de gravação no modo EP ele deve passar o videocassete para o

modo SP?

a) 12 minutos

b) 24 minutos

c) 28 minutos

d) 32 minutos

e) 41 minutos

Solução:

Sejam:

Vsp = velocidade de gravação no modo SP

Vep = velocidade de gravação no modo EP

L = comprimento total da fita

x = comprimento da parte da fita gravada na velocidade Vep

É óbvio que o comprimento da fita gravada no modo SP será L – x .

Lembrando que distancia = velocidade x tempo, e, portanto,

tempo = distancia / velocidade, poderemos escrever:

x / Vep + (L – x) / Vsp = 136

Do enunciado, inferimos imediatamente que Vsp = 2.Vep , pois no modo SP o

videocassete grava 2 horas e no modo EP ele grava exatamente 4 horas.

Substituindo o valor de Vsp na igualdade acima, vem:

x / Vep + (L – x) / 2.Vep = 136

Observando que x / Vep = 2x / 2Vep, vem substituindo:

2x / 2Vep + (L – x) / 2.Vep = 136

Somando as frações do primeiro membro da igualdade acima, observando

que os seus denominadores são iguais, fica:


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(2x + L – x) / 2.Vep = 136

(x + L) / 2Vep = 136

Multiplicando ambos os membros por 2Vep, vem:

x + L = 272.Vep

Como o videocassete grava na velocidade EP somente, por 4 horas ou 240

minutos e na velocidade SP somente, por 2 horas ou 120 minutos, é óbvio

que podemos escrever as seguintes relações entre o comprimento total da

fita, a velocidade de gravação e o tempo gasto na gravação:

L = 120 .Vsp

L = 240. Vep

Substituindo L na igualdade em azul acima, pelo seu valor mais conveniente

neste caso, teremos:

x + L = 272 Vep

x + 240 Vep = 272 Vep

Isolando x, vem: x = 272 Vep – 240 Vep , ou seja, x = 32 Vep

Podemos então escrever finalmente x / Vep = 32, ou seja, como distância (x)

sobre velocidade (Vep) é igual ao tempo, concluímos que Paulo deve gravar

durante 32 minutos na velocidade EP e em seguida passar para a velocidade

SP, o que nos leva tranquilamente à alternativa D.

08. Uma construtora terá que implantar postes telegráficos ao longo de uma

estrada. Se os postes forem implantados a 25 metros de distância um do

outro, irão faltar 150 postes; se os postes forem implantados a 30 metros um

do outro, irão sobrar 70 postes. Pede-se calcular o comprimento da estrada.

Solução:

Sejam P1, P2, P3, P4, ... , os postes a serem implantados. A distância entre

dois postes contíguos é conhecida como vão; observe na figura abaixo que os

3 postes P1, P2, P3 determinam 2 vãos (P1P2 e P2P3); os 4 postes P1, P2,

P3, P4 determinam 3 vãos (P1P2, P2P3 e P3P4); de uma forma

generalizada, poderemos concluir que se tivermos n postes, ficarão


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determinados (n - 1) vãos e, reciprocamente, (n - 1) vãos, corresponderão a n

postes.

o-----------o-----------o-----------o------------

P1 P2 P3 P4 ...

Vamos supor que a construtora disponha de n postes e seja L o

comprimento da estrada.

Observando a figura acima, poderemos escrever com base no enunciado,

para vãos de 25 metros:

L = [(n + 150) - 1].25

Analogamente, poderemos escrever a seguinte igualdade, para vãos de 30

metros:

L = [(n - 70) - 1].30

Como se trata da mesma estrada, poderemos igualar os segundos membros,

resultando:

[(n + 150) - 1].25 = [(n - 70) - 1].30

A igualdade acima é uma equação do primeiro grau em n. Vamos resolvê-la:

(n + 149).25 = (n - 71).30

25n + 3725 = 30n - 2130

25n - 30n = - 2130 - 3725

-5n = -5855 ===> n = -5855/-5 = 1171

Ora, n é o número de postes que a construtora dispõe para implantar na

estrada, ou seja n = 1171 postes para a construção pretendida. E como o

comprimento da estrada é L e já sabemos que L = [(n + 150) - 1].25 = [(n -

70) - 1].30, basta substituir o valor de n numa das igualdades. Então,

teremos:

L = [(1171 + 150) - 1].25 = 1320.25 = 33000 metros = 33 km

Portanto, o comprimento da estrada é de 33 km.

Comentários e verificação:

Em 33000 metros existem 33000/25 = 1320 vãos de 25 metros e, pelo que

vimos acima, isto corresponde a 1321 postes. Como a construtora só dispõe

de 1171 postes, irão faltar 1321 - 1171 = 150 postes.


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No caso dos vãos serem de 30 metros, teremos, analogamente: em 33000

metros existem 33000/30 = 1100 vãos de 30 metros, o que corresponde a

1101 postes. Como a construtora dispõe de 1171 postes, irão sobrar.

09. O limite da expressão onde x é positivo, quando o

número de radicais aumenta indefinidamente

é igual a:

A) 1/x

B) x

C) 2x

D) n.x

E) 1978x

Solução:

Observe que a expressão dada pode ser escrita como:

x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...

O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a1 =

1 /2 e

razão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1

Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x

10. Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em

progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:

a) 28°

b) 32°

c) 36°

*d) 48°

e) 50°

Solução:

Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os

ângulos estão em Progressão Geométrica de razão 2, podemos escrever a

PG de 4 termos:

( x, 2x, 4x, 8x ).


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Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º . Logo,

x + 2x + 4x + 8x = 360º

15.x = 360º

Portanto, x = 24º. Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e

192º.

O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.

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