02 Raciocinio Logico e Matematico (1)

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Empresa Maranhense de Serviços Hospitalares - EMSERH

Agente de portaria, Atendente de Consultório Médico, Atendente de

Consultório Odontológico, Auxiliar Administrativo, Auxiliar de Farmácia,

Faturista, Lactarista, Motoristas Categoria D, Recepcionista.

Resolução de problemas envolvendo frações, conjuntos, porcentagens, sequências (com números,

com figuras, de palavras). ........................................................................................................................ 1 Raciocínio lógico-matemático: proposições, conectivos, equivalência e implicação lógica, argumentos

válidos. ................................................................................................................................................... 89

Candidatos ao Concurso Público, O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail [email protected] para dúvidas

relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom desempenho na prova.

As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar em contato, informe:

- Apostila (concurso e cargo); - Disciplina (matéria);

- Número da página onde se encontra a dúvida; e - Qual a dúvida.

Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O professor terá até cinco dias úteis para respondê-la.

Bons estudos!

1176821 E-book gerado especialmente para RAIANE BORGES DA SILVA ALMEIDA

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CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são

construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que estes números.

Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos

números.

Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} Subconjuntos notáveis em N:

1 – Números Naturais não nulos

N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0}

2 – Números Naturais pares

Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N

3 - Números Naturais ímpares

Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N

4 - Números primos

P={2,3,5,7,11,13...}

A construção dos Números Naturais - Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando

também o zero. Exemplos: Seja m um número natural. a) O sucessor de m é m+1. b) O sucessor de 0 é 1. c) O sucessor de 3 é 4. - Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números

consecutivos. Exemplos: a) 1 e 2 são números consecutivos. b) 7 e 8 são números consecutivos. c) 50 e 51 são números consecutivos. - Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do

primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. Exemplos: a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. b) 7, 8 e 9 são consecutivos. c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

Resolução de problemas envolvendo frações, conjuntos, porcentagens, sequências (com números, com figuras, de

palavras).


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- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).

Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. a) O antecessor do número m é m-1. b) O antecessor de 2 é 1. c) O antecessor de 56 é 55. d) O antecessor de 10 é 9. O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência

real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamados, a sequência dos números ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

Operações com Números Naturais Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais.

Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação. - Adição de Números Naturais A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as

unidades de dois ou mais números. Exemplo:

5 + 4 = 9, onde 5 e 4 são as parcelas e 9 soma ou total

-Subtração de Números Naturais É usada quando precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa da adição. A operação

de subtração só é válida nos naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja quando a-b tal que a≥ 𝑏.

Exemplo: 254 – 193 = 61, onde 254 é o Minuendo, o 193 Subtraendo e 061 a diferença.

Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo. - Multiplicação de Números Naturais É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela,

tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. Exemplo:

2 x 5 = 10, onde 2 e 5 são os fatores e o 10 produto. - 2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. Podemos no lugar do “x”

(vezes) utilizar o ponto “. “, para indicar a multiplicação). - Divisão de Números Naturais Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no

primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.


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Relações essenciais numa divisão de números naturais: - Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.

35 : 7 = 5 - Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.

35 = 5 x 7 - A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente

fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.

Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais Para todo a, b e c ∈ 𝑁 1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 2) Comutativa da adição: a + b = b + a 3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural,

continua como resultado um número natural.

Questões

01. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um sistema de recebimento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito e vão sendo debitados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na cantina e sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu consumo e os pagamentos na seguinte tabela:

No final do mês, Enzo observou que tinha (A) crédito de R$ 7,00. (B) débito de R$ 7,00. (C) crédito de R$ 5,00. (D) débito de R$ 5,00. (E) empatado suas despesas e seus créditos.

02. (PREF. IMARUI/SC – AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS - PREF. IMARUI/2014) José, funcionário

público, recebe salário bruto de R$ 2.000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00 de INSS e R$ 35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José?

(A) R$ 1800,00 (B) R$ 1765,00 (C) R$ 1675,00 (D) R$ 1665,00

03. (Professor/Pref.de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10. Multiplicando-se o

dividendo por cinco e reduzindo-se o divisor à metade, o quociente da nova divisão será: (A) 2


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(B) 5 (C) 25 (D) 50 (E) 100 04. (PREF. ÁGUAS DE CHAPECÓ – OPERADOR DE MÁQUINAS – ALTERNATIVE CONCURSOS)

Em uma loja, as compras feitas a prazo podem ser pagas em até 12 vezes sem juros. Se João comprar uma geladeira no valor de R$ 2.100,00 em 12 vezes, pagará uma prestação de:

(A) R$ 150,00. (B) R$ 175,00. (C) R$ 200,00. (D) R$ 225,00. 05. PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Ontem, eu

tinha 345 bolinhas de gude em minha coleção. Porém, hoje, participei de um campeonato com meus amigos e perdi 67 bolinhas, mas ganhei outras 90. Sendo assim, qual a quantidade de bolinhas que tenho agora, depois de participar do campeonato?

(A) 368 (B) 270 (C) 365 (D) 290 (E) 376 06. (Pref. Niterói) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas

duas zonas eleitorais. Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela com os resultados da eleição. A quantidade de eleitores desta cidade é:

1ª Zona

Eleitoral 2ª Zona Eleitoral

João 1750 2245 Maria 850 2320 Nulos 150 217 Brancos 18 25 Abstenções 183 175

(A) 3995 (B) 7165 (C) 7532 (D) 7575 (E) 7933

07. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Durante

um mutirão para promover a limpeza de uma cidade, os 15.000 voluntários foram igualmente divididos entre as cinco regiões de tal cidade. Sendo assim, cada região contou com um número de voluntários igual a:

(A) 2500 (B) 3200 (C) 1500 (D) 3000 (E) 2000 08. EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP/2014) Joana pretende dividir um

determinado número de bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor que 29, e que fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa, quantos bombons ao todo Joana possui?

(A) 24. (B) 25. (C) 26. (D) 27. (E) 28


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09. (CREFITO/SP – ALMOXARIFE – VUNESP/2012) O sucessor do dobro de determinado número é 23. Esse mesmo determinado número somado a 1 e, depois, dobrado será igual a

(A) 24. (B) 22. (C) 20. (D) 18. (E) 16. 10. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP/2014) Em

uma gráfica, a máquina utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito, e, após imprimir 5 calendários perfeitos (P), o próximo sai com defeito (D), conforme mostra o esquema.

Considerando que, ao se imprimir um lote com 5 000 calendários, os cinco primeiros saíram perfeitos

e o sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote, é correto dizer que o número de calendários perfeitos desse lote foi

(A) 3 642. (B) 3 828. (C) 4 093. (D) 4 167. (E) 4 256.

Respostas

01. Resposta: B. Crédito: 40 + 30 + 35 + 15 = 120 Débito: 27 + 33 + 42 + 25 = 127 120 – 127 = - 7 Ele tem um débito de R$ 7,00. 02. Resposta: B. 2000 – 200 = 1800 – 35 = 1765 O salário líquido de José é R$ 1.765,00. 03. Resposta: E. D= dividendo d= divisor Q = quociente = 10 R= resto = 0 (divisão exata) Equacionando: D = d.Q + R D = d.10 + 0 D = 10d Pela nova divisão temos: 5𝐷 =

𝑑

2. 𝑄 → 5. (10𝑑) =

𝑑

2. 𝑄 , isolando Q temos:

𝑄 = 50𝑑

𝑑2

→ 𝑄 = 50𝑑.2

𝑑 → 𝑄 = 50.2 → 𝑄 = 100

04. Resposta: B. 2100

12= 175

Cada prestação será de R$175,00 05. Resposta: A. 345 – 67 = 278 Depois ganhou 90 278 + 90 = 368


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06. Resposta: E. Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951 2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982 Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933 07. Resposta: D. 15000

5= 3000

Cada região terá 3000 voluntários. 08. Resposta: E. Sabemos que 9. 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28. 09. Resposta: A. Se o sucessor é 23, o dobro do número é 22, portanto o número é 11. (11 + 1)2 = 24 10. Resposta: D. Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6): 5000 / 6 = 833 + resto 2. Isto significa que saíram 833. 5 = 4165 calendários perfeitos, mais 2 calendários perfeitos que restaram

na conta de divisão. Assim, são 4167 calendários perfeitos.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0,

1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen = número em alemão).

O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: - O conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z – {0} - O conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N - O conjunto dos números inteiros positivos: Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} - O conjunto dos números inteiros não positivos: Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}


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- O conjunto dos números inteiros negativos: Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero,

na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma

zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. Exemplo: O oposto do número 3 é -3, e o oposto de -3 é 3, pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de

zero é o próprio zero.

Adição de Números Inteiros Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de

ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (- 8) + (+ 5) = (- 3) O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo

nunca pode ser dispensado. Subtração de Números Inteiros A subtração é empregada quando: - Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. A subtração é a operação inversa da adição. Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!!

4 + 5 = 9 4 – 5 = -1

Considere as seguintes situações: 1 - Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a

variação da temperatura? Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 2 - Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura

baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). Temos: (+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 (+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3


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(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto

do segundo. Fique Atento: todos parênteses, colchetes, chaves, números, ..., entre outros, precedidos de sinal

negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto.

Multiplicação de Números Inteiros A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são

repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e está repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem

nenhum sinal entre as letras. Divisão de Números Inteiros

- Divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo: (– 20): (+ 5) = q (+ 5) . q = (– 20) q = (– 4) Logo: (– 20): (+ 5) = - 4 Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro

por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Exemplo: (+7): (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado

não é um número inteiro. - No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência

do elemento neutro. - Não existe divisão por zero. - Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer

número inteiro por zero é igual a zero. Exemplo: 0: (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 Regra de Sinais da Multiplicação e Divisão: → Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo. → Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo. Potenciação de Números Inteiros A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é

denominado a base e o número n é o expoente.an = a x a x a x a x ... x a , a é multiplicado por a n vezes


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Exemplos: 33 = (3) x (3) x (3) = 27 (-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 (-7)² = (-7) x (-7) = 49 (+9)² = (+9) x (+9) = 81 - Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 - Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64 - Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 - Propriedades da Potenciação: 1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3

. (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (-

13)8 : (-13)6 = (-13)8 – 6 = (-13)2 3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (-8)1 = -8 e (+70)1 = +70 5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 Radiciação de Números Inteiros A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro

não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical).

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.

Atenção: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números

inteiros. Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas

aparecimento de:

9 = ± 3, mas isto está errado. O certo é: 9 = +3 Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte

em um número negativo. A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro

que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.

Exemplos:

(a) 3 8 = 2, pois 2³ = 8.

(b) 3 8 = –2, pois (–2)³ = -8.

(c) 3 27 = 3, pois 3³ = 27.


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(d) 3 27 = –3, pois (–3)³ = -27. Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: (1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. (2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros Para todo a, b e c ∈ 𝑍 1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 2) Comutativa da adição: a + b = b +a 3) Elemento neutro da adição : a + 0 = a 4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 6) Comutativa da multiplicação : a.b = b.a 7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 10) Elemento inverso da multiplicação: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z –1 = 1/z em Z, tal que, z x z–1 = z x (1/z) = 1 11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural,

continua como resultado um número natural.

Questões 01 (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE EDUCACIONAL – VUNESP/2013) Para zelar pelos jovens

internados e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total de pontos atribuídos foi

(A) 50.

(B) 45.

(C) 42.

(D) 36.

(E) 32.

02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja.

Verificou o preço de alguns produtos: TV: R$ 562,00 DVD: R$ 399,00 Micro-ondas: R$ 429,00 Geladeira: R$ 1.213,00 Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o

troco recebido será de: (A) R$ 84,00 (B) R$ 74,00 (C) R$ 36,00 (D) R$ 26,00 (E) R$ 16,00


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03. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) Multiplicando-se o maior número inteiro menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que - 8, o resultado encontrado será

(A) - 72 (B) - 63 (C) - 56 (D) - 49 (E) – 42 04. (SEPLAG - POLÍCIA MILITAR/MG - ASSISTENTE ADMINISTRATIVO - FCC/2012) Em um jogo

de tabuleiro, Carla e Mateus obtiveram os seguintes resultados:

Carla Mateus

1ª Partida Ganhou 520 pontos 1ª Partida Perdeu 280 pontos

2ª Partida Perdeu 220 pontos 2ª Partida Ganhou 675 pontos

3ª Partida Perdeu 485 pontos 3ª Partida Ganhou 295 pontos

4ª partida Ganhou 635 pontos 4ª partida Perdeu 1155 pontos

Ao término dessas quatro partidas, (A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. (B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. (C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos. (D) Carla e Mateus empataram. 05. (PREFEITURA DE PALMAS/TO – TÉCNICO ADMINISTRATIVO EDUCACIONAL – COPESE -

UFT/2013) Num determinado estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. Durante uma ronda dos agentes de trânsito, foi observado que o número total de rodas nesse estacionamento era de 124 (desconsiderando os estepes dos veículos). Sabendo que haviam 12 motos no estacionamento naquele momento, é CORRETO afirmar que estavam estacionados:

(A) 19 carros (B) 25 carros (C) 38 carros (D) 50 carros 06. (CASA DA MOEDA) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e

Belém, com duas escalas, uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. Os números positivos indicam a quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos que desceram em cada cidade.

Curitiba +240 Rio de Janeiro -194

+158 Brasília -108

+94

O número de passageiros que chegou a Belém foi: (A) 362 (B) 280 (C) 240 (D) 190 (E) 135 07. (Pref.de Niterói) As variações de temperatura nos desertos são extremas. Supondo que durantes

o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC, a diferença de temperatura entre o dia e noite, em ºC será de:

(A) 10


. 12

(B) 35 (C) 45 (D) 50 (E) 55 08. (Pref.de Niterói) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que custa

R$ 420,00. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35,00 por mês, o número de meses que ele levará para adquirir a televisão será:

(A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 15 09. (Pref.de Niterói) Um estudante empilhou seus livros, obtendo uma única pilha 52cm de altura.

Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm, e que os livros restantes possuem espessura de 3cm, o número de livros na pilha é:

(A) 10 (B) 15 (C) 18 (D) 20 (E) 22 10. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO/2014) Um menino estava parado

no oitavo degrau de uma escada, contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A escada tinha 25 degraus. O menino subiu mais 13 degraus. Logo em seguida, desceu 15 degraus e parou novamente.

A quantos degraus do topo da escada ele parou? (A) 8 (B) 10 (C) 11 (D) 15 (E) 19

Respostas 01. Resposta: A. 50-20=30 atitudes negativas 20.4=80 30.(-1)=-30 80-30=50 02. Resposta: D. Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041 Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do

orçamento. Troco:2200 – 2174 = 26 reais 03. Resposta: D. Maior inteiro menor que 8 é o 7 Menor inteiro maior que - 8 é o - 7. Portanto: 7(- 7) = - 49 04. Resposta: C. Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos Mateus: - 280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos Diferença: 575 – 450 = 125 pontos


. 13

05. Resposta: B. Moto: 2 rodas Carro: 4 12.2=24 124-24=100 100/4=25 carros 06. Resposta: D. 240 - 194 + 158 - 108 + 94 = 190 07. Resposta: E. 45 – (- 10) = 55 08. Resposta: D. 420 : 35 = 12 meses 09. Resposta: D. São 8 livros de 2 cm: 8.2 = 16 cm Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm, temos: 52 - 16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm 36 : 3 = 12 livros de 3 cm O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo. 10. Resposta: E. 8 + 13 = 21 21– 15 = 6 25 – 6 = 19

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q

Um número racional é o que pode ser escrito na forma n

m , onde m e n são números inteiros, sendo

que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números

inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = {n

m : m e n em Z, n diferente de zero}

No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: - Q* = conjunto dos racionais não nulos; - Q+ = conjunto dos racionais não negativos; - Q*+ = conjunto dos racionais positivos; - Q _ = conjunto dos racionais não positivos; - Q*_ = conjunto dos racionais negativos.


. 14

Representação Decimal das Frações

Tomemos um número racional q

p, tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal,

basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:

5

2 = 0,4

4

1 = 0,25

4

35 = 8,75

50

153 = 3,06

2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-

se periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:

3

1 = 0,333...

22

1 = 0,04545...

66

167 = 2,53030...

Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma

característica especial: existe um período.

Aproveitando o exemplo acima temos 0,333... = 3. 1/101 + 3 . 1/102 + 3 . 1/103 + 3 . 1/104 ... Representação Fracionária dos Números Decimais Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos

escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o

denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:

0,9 = 10

9

5,7 = 10

57

0,76 = 100

76

3,48 = 100

348

0,005 = 1000

5 = 200

1


. 15

2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:

Exemplos: 1) Seja a dízima 0, 333.... Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3) então vamos colocar um 9 no

denominador e repetir no numerador o período.

Assim, a geratriz de 0,333... é a fração9

3 .

2) Seja a dízima 5, 1717.... O período que se repete é o 17, logo dois noves no denominador (99). Observe também que o 5 é a

parte inteira, logo ele vem na frente:

517

99 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5.99 + 17) = 512, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶

512

99

Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 99

512 .

3) Seja a dízima 1, 23434... O número 234 é a junção do ante período com o período. Neste caso temos um dízima periódica é

composta, pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. Neste caso temos um ante período (2) e o período (34). Ao subtrairmos deste número o ante período(234-2), obtemos 232, o numerador. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período, neste caso 99(dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o ante período, neste caso 0(um zero).

1232

990 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶

1222

990

Simplificando por 2, obtemos x = 495

611 , a fração geratriz da dízima 1, 23434...

Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa

zero.

Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração basta utilizarmos o dígito 9 no

denominador para cada quantos dígitos tiver o período da dízima.


. 16

Exemplos:

1) Módulo de – 2

3 é 2

3 . Indica-se 2

3 =

2

3

2) Módulo de + 2

3 é 2

3 . Indica-se 2

3 =

2

3

Números Opostos: Dizemos que –2

3 e 2

3 são números racionais opostos ou simétricos e cada um

deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 2

3 e 2

3 ao ponto zero da reta são iguais.

Inverso de um Número Racional

(𝒂

𝒃)

−𝒏

, 𝒂 ≠ 𝟎 = (𝒃

𝒂)

𝒏

, 𝒃 ≠ 𝟎

Representação geométrica dos Números Racionais

Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. Soma (Adição) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a

adição entre os números racionais b

a e d

c , da mesma forma que a soma de frações, através de:

b

a + d

c = bd

bcad

Subtração de Números Racionais A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o

oposto de q, isto é: p – q = p + (–q)

b

a - d

c = bd

bcad

Multiplicação (Produto) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o

produto de dois números racionais b

a e d

c , da mesma forma que o produto de frações, através de:

b

a x d

c = bd

ac

O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × c/d, a/b.c/d . Para

realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:

Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.


. 17

(+1) x (+1) = (+1) (+1) x (-1) = (-1) (-1) x (+1) = (-1) (-1) x (-1) = (+1)

Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais 1) Fechamento: O conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação, isto é, a soma e a

multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional. 2) Associativa da adição: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 3) Comutativa da adição: Para todos a, b em Q: a + b = b + a 4) Elemento neutro da adição: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q,

isto é: q + 0 = q 5) Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0 6) Associativa da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c 7) Comutativa da multiplicação: Para todos a, b em Q: a × b = b × a 8) Elemento neutro da multiplicação: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o

próprio q, isto é: q × 1 = q

9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = b

a em Q, q diferente de zero, existe :

q-1 = a

b em Q: q × q-1 = 1 b

a x a

b = 1

10) Distributiva da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) Divisão(Quociente) de Números Racionais A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo

inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1

𝒂

𝒃:

𝒄

𝒅=

𝒂

𝒃.𝒅

𝒄

Potenciação de Números Racionais A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a

base e o número n é o expoente. qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) Exemplos:

a) 3

5

2

=

5

2 .

5

2 .

5

2 =

125

8

b) 3

2

1

=

2

1 .

2

1 .

2

1=

8

1

- Propriedades da Potenciação: 1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1.

0

5

2

= 1

2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.

1

4

9

=

4

9


. 18

3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.

2

5

3

=

2

3

5

=

9

25

4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base.

3

3

2

=

3

2 .

3

2 .

3

2 =

27

8

5) Toda potência com expoente par é um número positivo.

2

5

1

=

5

1 .

5

1 =

25

1

6) Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma

só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 2

5

2

. 3

5

2

= 532

5

2

5

2

5

2.

5

2.

5

2.

5

2.

5

2

7) Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base

a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

32525

2

3

2

3

2

3.

2

32

3.

2

3.

2

3.

2

3.

2

3

2

3:

2

3

8) Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente,

conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 62322222232

2

1

2

1

2

1

2

1.

2

1.

2

1

2

1

ou 62.332

2

1

2

1

2

1

Radiciação de Números Racionais Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz

do número. Exemplos:

1) 9

1 Representa o produto 3

1 .3

1 ou2

3

1

.Logo,3

1 é a raiz quadrada de 9

1 .

Indica-se 9

1=

3

1

2) 0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se

3 216,0 = 0,6.

Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo.

Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.

O número 9

100 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto

3

10 como

3

10 , quando elevados ao

quadrado, dão 9

100 .


. 19

Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.

O número 3

2 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado

dê 3

2 .

Questões 01. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Na escola

onde estudo, ¼ dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os alunos que têm ciências como disciplina favorita?

(A) 1/4 (B) 3/10 (C) 2/9 (D) 4/5 (E) 3/2 02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30,

em cada uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. Quantos reais ela recebeu de troco?

(A) R$ 40,00 (B) R$ 42,00 (C) R$ 44,00 (D) R$ 46,00 (E) R$ 48,00

03. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP/2013) De um total de 180

candidatos, 2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3estuda espanhol e o restante estuda alemão. O número de candidatos que estuda alemão é:

(A) 6. (B) 7. (C) 8. (D) 9. (E) 10. 04. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP/2013) Em um estado do

Sudeste, um Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: saláriobase R$ 617,16 e uma gratificação de R$ 185,15. No mês passado, ele fez 8 horas extras a R$ 8,50 cada hora, mas precisou faltar um dia e foi descontado em R$ 28,40. No mês passado, seu salário totalizou

(A) R$ 810,81. (B) R$ 821,31. (C) R$ 838,51. (D) R$ 841,91. (E) R$ 870,31. 05. (Pref. Niterói) Simplificando a expressão abaixo

Obtém-se 1,3333…+

3

2

1,5+4

3

:

(A) ½ (B) 1 (C) 3/2 (D) 2 (E) 3


. 20

06. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar os números marcados nos cartões em ordem crescente, venceu o jogador que apresentou a sequência

(𝐴) − 4; −1; √16; √25;14

3

(𝐵) − 1; −4; √16; 14

3; √25

(𝐶) − 1; −4; 14

3; √16; ; √25

(𝐷) − 4; −1; √16;14

3; √25

(𝐸 ) − 4; −1; 14

3; √16; √25

07. (Sabesp/SP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2014) Somando-se certo número

positivo x ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a

(A) 52/25. (B) 13/6. (C) 7/3. (D) 5/2. (E) 47/23. 08. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: − 1 real: ¼ das moedas − 50 centavos: 1/3 das moedas − 25 centavos: 2/5 das moedas − 10 centavos: as restantes Mariana totalizou a quantia contida no cofre em (A) R$ 62,20. (B) R$ 52,20. (C) R$ 50,20. (D) R$ 56,20. (E) R$ 66,20.

09. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Numa operação policial de rotina, que abordou

800 pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as mulheres abordadas, 1/8 foram detidas.

Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? (A) 145 (B) 185 (C) 220 (D) 260 (E) 120 10. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Quando

perguntado sobre qual era a sua idade, o professor de matemática respondeu: “O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. Sendo assim, podemos afirmar que o professor tem: (A) 40 anos. (B) 35 anos. (C) 45 anos. (D) 30 anos. (E) 42 anos.


. 21

Respostas

01. Resposta: B. Somando português e matemática: 1

4+

9

20=

5 + 9

20=

14

20=

7

10

O que resta gosta de ciências:

1 −7

10=

3

10

02. Resposta: B. 8,3 ∙ 7 = 58,1 Como recebeu um desconto de 10 centavos, Dirce pagou 58 reais Troco:100 – 58 = 42 reais

03. Resposta: C. 2

5+

2

9+

1

3

Mmc(3,5,9)=45 18+10+15

45=

43

45

O restante estuda alemão: 2/45 180 ∙

2

45= 8

04. Resposta: D. 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙: 617,16 + 185,15 = 802,31 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑠: 8,5 ∙ 8 = 68 𝑚ê𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜: 802,31 + 68,00 − 28,40 = 841,91 Salário foi R$ 841,91.

05. Resposta: B. 1,3333...= 12/9 = 4/3 1,5 = 15/10 = 3/2 43 +

32

32

+43

=

176

176

= 1

06. Resposta: D. √16 = 4 √25 = 5 14

3= 4,67

A ordem crescente é : −4; −1; √16;14

3; √25

07. Resposta B. 2 + 𝑥

3 − 𝑥= 5

15 − 5𝑥 = 2 + 𝑥 6𝑥 = 13

𝑥 =13

6


. 22

08. Resposta: A.

1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙1

4= 30 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠

50 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:1

3∙ 120 = 40 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠

25 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:2

5∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠

10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 30 + 40 ∙ 0,5 + 48 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,10 = 62,20 Mariana totalizou R$ 62,20.

09. Resposta: A. 800 ∙

3

4= 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠

600 ∙

1

5= 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠

Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres 800 ∙

1

4= 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 ou 800-600=200 mulheres

200 ∙

1

8= 25 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠

Total de pessoas detidas: 120+25=145 10. Resposta: C. 9

5∙

75

3=

675

15= 45 𝑎𝑛𝑜𝑠

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS - I

Os números racionais, são aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração a/b onde a e b são

dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos da impossibilidade matemática da divisão por zero.

Vimos também, que todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal periódico, também conhecido como dízima periódica.

Vejam os exemplos de números racionais a seguir: 3 / 4 = 0,75 = 0, 750000... - 2 / 3 = - 0, 666666... 1 / 3 = 0, 333333... 2 / 1 = 2 = 2, 0000... 4 / 3 = 1, 333333... - 3 / 2 = - 1,5 = - 1, 50000... 0 = 0, 000... Existe, entretanto, outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fração a/b,

conhecidos como números irracionais. Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica: x =

0,10100100010000100000... Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números

reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são: e = 2,718281828459045..., Pi (𝜋) = 3,141592653589793238462643...


. 23

Que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc.

Classificação dos Números Irracionais Existem dois tipos de números irracionais: - Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo

número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por exemplo:

. A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não podem ser expressos através de

radicais, conforme o teorema de Abel-Ruffini. - Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Várias

constantes matemáticas são transcendentes, como pi ( ) e o número de Euler ( ). Pode-se dizer que existem mais números transcendentes do que números algébricos (a comparação entre conjuntos infinitos pode ser feita na teoria dos conjuntos).

A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se números complexos.

Identificação de números irracionais

Exemplos: 1) √3 - √3 = 0 e 0 é um número racional. - O quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional. 2) √8 : √2 = √4 = 2 e 2 é um número racional. - O produto de dois números irracionais, pode ser um número racional. 3) √5 . √5 = √25 = 5 e 5 é um número racional. - A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais, resulta num

conjunto denominado conjunto R dos números reais. - A interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, não possui

elementos comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio ( ∅ ). Simbolicamente, teremos:

Q ∪ I = R Q ∩ I = ∅

Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que: - Todas as dízimas periódicas são números racionais. - Todos os números inteiros são racionais. - Todas as frações ordinárias são números racionais. - Todas as dízimas não periódicas são números irracionais. - Todas as raízes inexatas são números irracionais. - A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. - A diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional.


. 24

Questões

01. (TRF 2ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2012) Considere as seguintes afirmações: I. Para todo número inteiro x, tem-se

4𝑥−1+4𝑥+4𝑥+1

4𝑥−2+4𝑥−1 = 16,8

II. (81

3 + 0,4444 … ) :11

135= 30

III. Efetuando-se (√6 + 2√54

) 𝑥(√6 − 2√54

) obtém-se um número maior que 5.

Relativamente a essas afirmações, é certo que (A) I,II, e III são verdadeiras. (B) Apenas I e II são verdadeiras. (C) Apenas II e III são verdadeiras. (D) Apenas uma é verdadeira. (E) I,II e III são falsas. 02. (DPE/RS – ANALISTA ADMINISTRAÇÃO – FCC/2013) A soma S é dada por:

𝑆 = √2 + √8 + 2√2 + 2√8 + 3√2 + 3√8 + 4√2 + 4√8 + 5√2 + 5√8 Dessa forma, S é igual a

(𝐴) √90 (𝐵) √405 (𝐶) √900 (𝐷) √4050 (𝐸) √9000 03. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC/2013) O resultado do produto: (2√2 +

1) ∙ (√2 − 1) é: (𝐴) √2 − 1 (B) 2 (𝐶) 2√2 (𝐷) 3 − √2 04. (CBTU – METROREC – Analista de Gestão – Advogado – CONSULPLAN/2014) Sejam os

números irracionais: x = √3, y = √6, z = √12 e w = √24. Qual das expressões apresenta como resultado um número natural?

(A) yw – xz. (B) xw + yz. (C) xy(w – z). (D) xz(y + w). 05. (DETRAN/RJ- Assistente Técnico de identificação Civil - MAKIYAMA/2013) Assinale a seguir

o conjunto a que pertence o número √2: (A) Números inteiros. (B) Números racionais. (C) Números inteiros e naturais. (D) Números racionais e irracionais. (E) Números irracionais.

06. (UFES – Técnico em Contabilidade – UFES/2015) Sejam x e y números reais. É CORRETO

afirmar: (A) Se x e y são números racionais e não inteiros, então y. x é um número racional e não inteiro. (B) Se x é um número irracional e y é um número racional, então y+ x é um número irracional.


. 25

(C) Se x e y são números racionais e não inteiros, então y + x é um número racional e não inteiro. (D) Se x é um número irracional e y é um número racional, então y. x é um número irracional. (E) Se x e y são números irracionais, então y. x é um número irracional.

Respostas 01. Resposta: B.

I 4𝑥(4−1+1+4)

4𝑥(4−2+4−1)

1

4+5

1

16+

1

4

=1+20

41+4

16

=21

45

16

=21

4∙

16

5=

21∙4

5= 16,8

II

81

3 = √83

= 2 10x = 4,4444... - x = 0,4444..... 9x = 4 x = 4/9

(2 +4

9) :

11

135=

18+4

9∙

135

11=

22

9∙

135

11=

2∙135

9= 30

III √62 − 20

4= √16

4= 2

Portanto, apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 02. Resposta: D. 𝑆 = 15√2 + 15√8 √8 = 2√2 𝑆 = 15√2 + 30√2 = 45√2

𝑆 = √452. 2 𝑆 = √4050 03. Resposta: D.

(2√2 + 1) ∙ (√2 − 1) = 2(√2)2

− 2√2 + √2 − 1 = 4 − √2 − 1 = 3 − √2 04. Resposta: A. Vamos testar as alternativas: A) √6 . √24 − √3 . √12 = √6 . 24 − √3 . 12 = √144 − √36 = 12 − 6 = 6 05. Resposta: E. Como √2, não tem raiz exata, logo é um número Irracional 06. Resposta: B. Esta questão pede as propriedades dos números irracionais: -A soma de um número racional r com um número irracional i é um número irracional r'. -O produto de um número racional r, não nulo, por um número irracional i é um número irracional r'. -Vejam que a D só estaria correta se cita-se "não nulo". -Na letra E não é aplicável a propriedade do fechamento para os irracionais.

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba

não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Assim temos:


. 26

R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não irracional, e vice-versa).

Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama abaixo:

O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: - Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} - Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0} - Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} - Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0} - Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0} Representação Geométrica dos números reais

Propriedades É válido todas as propriedades anteriormente vistos nos outros conjuntos, assim como os conceitos

de módulo, números opostos e números inversos (quando possível). Ordenação dos números Reais A representação dos números Reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números

Reais positivos são maiores que zero e os negativos, menores. Expressamos a relação de ordem da seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b,

a ≤ b ↔ b – a ≥ 0

Exemplo: -15 ≤ ↔ 5 – (-15) ≥ 0 5 + 15 ≥ 0 Operações com números Reais Operando com as aproximações, obtemos uma sucessão de intervalos fixos que determinam um

número Real. É assim que vamos trabalhar as operações adição, subtração, multiplicação e divisão. Relacionamos, em seguida, uma série de recomendações úteis para operar com números Reais.

Intervalos reais O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denominados intervalos, que são

determinados por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b.


. 27

1º - Intervalo aberto de extremos a e b é conjunto ]a,b[ = { x ϵ R| a < x < b} Exemplo: ]3,5[ = { x ϵ R| 3 < x < 5}

2º - Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto [a,b] = { x ϵ R| a ≤ x ≤ b} Exemplo: [3,5] = {x ϵ R| 3 ≤ x ≤ 5}

3º - Intervalo aberto à direita ( ou fechado à esquerda) de extremos a e b é o conjunto [a,b[ = { x ϵ R| a

≤ x < b} Exemplo: [3,5[ = { x ϵ R| 3 ≤ x < 5}

4º - Intervalo aberto à esquerda( ou fechado à direita) de extremos a e b é o conjunto ]a,b] = { x ϵ R| a

<x ≤ b} Exemplo: ]3,5] = { x ϵ R| 3 <x ≤ 5}

5º - ] -∞, a] = { x ϵ R| x ≤ a}

Exemplo: ] -∞, 3] = { x ϵ R| x ≤ 3}

6º - ] -∞, a[ = { x ϵ R| x < a} Exemplo: ] -∞, 3[ = { x ϵ R| x < 3}

7º - [a,+ ∞ [ = { x ϵ R| x ≥ a} Exemplo: [3,+ ∞ [ = { x ϵ R| x ≥ 3}

8º - ]a,+ ∞ [ = { x ϵ R| x > a} Exemplo: ]3,+ ∞ [ = { x ϵ R| x > 3}

Em termos gerais temos: - A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número), utilizamos os símbolos:

> ;< ; ] ; [ - A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número), utilizamos os símbolos:


. 28

≥ ; ≤ ; [ ; ] Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. [a,b[ = [a,b) ; ]a,b] = (a,b] ; e ]a,b[ = (a,b)

a) Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores em sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou reais em débito ou em haver etc... Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos.

b) Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem o sinal.

c) Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal. Operações com Números Relativos 1) Adição e Subtração de números relativos a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal. b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o numeral de menor valor e dá-se o sinal do

maior numeral. Exemplos: 3 + 5 = 8 4 - 8 = - 4 - 6 - 4 = - 10 - 2 + 7 = 5 2) Multiplicação e Divisão de Números Relativos a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. Exemplos: - 3 x 8 = - 24 - 20 (-4) = + 5

Observações Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades

abertas dos intervalos. [a,b[ = [a,b) ; ]a,b] = (a,b] ; e ]a,b[ = (a,b)


. 29

- 6 x (-7) = + 42 28 2 = 14

Questões

01. (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN/2014) Mário começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame. Considere que a cada partida ele conseguiu melhorar sua pontuação, equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na partida anterior. Se na quinta partida ele marcou 3.791 pontos, então, a soma dos algarismos da quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a

(A) 4. (B) 5. (C) 7. (D) 8. (E) 10. 02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) Considere m um

número real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III: I- (20 – m) é um número menor que 20. II- (20 m) é um número maior que 20. III- (20 m) é um número menor que 20. É correto afirmar que: A) I, II e III são verdadeiras. B) apenas I e II são verdadeiras. C) I, II e III são falsas. D) apenas II e III são falsas. 03. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) Na figura abaixo, o

ponto que melhor representa a diferença 3

4−

1

2 na reta dos números reais é:

(A) P. (B) Q. (C) R. (D) S. 04. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR/2014) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao

retirá-las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa. Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a

alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um máximo de 100 lâmpadas.

(A) 36. (B) 57. (C) 78. (D) 92. 05. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP/2014) Para ir de sua casa à

escola, Zeca percorre uma distância igual a 3

4 da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto

diferente. Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 7

5 de um

quilômetro, então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de um quilômetro, a

(A) 2

3

(B)

3

4


. 30

(C) 1

2

(D)

4

5

(E)

3

5

06. (TJ/SP - AUXILIAR DE SAÚDE JUDICIÁRIO - AUXILIAR EM SAÚDE BUCAL – VUNESP/2013)

Para numerar as páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por exemplo, para numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 mL de tinta. O total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em mL, será

(A) 1,111. (B) 2,003. (C) 2,893. (D) 1,003. (E) 2,561. 07. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) Um funcionário de uma

empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2 a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual a

(A) 5/16. (B) 1/6. (C) 8/24. (D)1/ 4. (E) 2/5. 08. (Sabesp/SP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2014) Somando-se certo número

positivo x ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a

(A) 52/25. (B) 13/6. (C) 7/3. (D) 5/2. (E) 47/23. 09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC/2014) Quatro números inteiros serão

sorteados. Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a

(A) 87. (B) 59. (C) 28. (D) 65. (E) 63. 10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP/2014) O valor de uma aposta em certa loteria

foi repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno, que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa aposta foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos recebeu

(A) R$ 74.000,00. (B) R$ 93.000,00.


. 31

(C) R$ 98.000,00. (D) R$ 102.000,00. (E) R$ 106.000,00.

Respostas

01. Resposta: D. Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15 * 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 2.x = 3791 + 15 x = 3806 / 2 x = 1903 * 3ª partida: 1903 = 2.x – 15 2.x = 1903 + 15 x = 1918 / 2 x = 959 * 2ª partida: 959 = 2.x – 15 2.x = 959 + 15 x = 974 / 2 x = 487 * 1ª partida: 487 = 2.x – 15 2.x = 487 + 15 x = 502 / 2 x = 251 Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8. 02. Resposta: C. I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 03. Resposta: A. 3

4−

1

2=

3 − 2

4=

1

4= 0,25

04. Resposta: D. Vamos chamar as retiradas de r, s e w: e de T o total de lâmpadas. Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva

nas três equações abaixo: De 3 em 3: 3 . r + 2 = Total De 5 em 5: 5 . s + 2 = Total De 7 em 7: 7 . w + 1 = Total Primeiramente, vamos calcular o valor de w, sem que o total ultrapasse 100: 7 . 14 + 1 = 99, mas 3 . r + 2 = 99 vai dar que r = 32,333... (não convém) 7 . 13 + 1 = 92, e 3 . r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . s + 2 = 92 vai dar s = 18. 05. Resposta: E. Ida + volta = 7/5 . 1 3

4 . 𝑥 + 𝑥 =

7

5

5.3𝑥+ 20𝑥=7.4

20

15𝑥 + 20𝑥 = 28 35𝑥 = 28 𝑥 =

28

35 (: 7/7)


. 32

𝑥 =4

5 (volta)

Ida:

3

4 .

4

5=

3

5

06. Resposta: C. 1 a 9 = 9 algarismos = 0,0019 = 0,009 ml De 10 a 99, temos que saber quantos números tem. 99 – 10 + 1 = 90. OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 90 números de 2 algarismos: 0,00290 = 0,18ml De 100 a 999 999 – 100 + 1 = 900 números 9000,003 = 2,7 ml 1000 = 0,004ml Somando: 0,009 + 0,18 + 2,7 + 0,004 = 2,893 07. Resposta: B. Tarefa: x Primeira semana: 3/8x 2 semana:

1

3∙

3

8𝑥 =

1

8𝑥

1ª e 2ª semana:3

8𝑥 +

1

8𝑥 =

4

8𝑥 =

1

2𝑥

Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade. 3ªsemana: 2y 4ª semana: y 2𝑦 + 𝑦 =

1

2𝑥

3𝑦 =1

2𝑥

𝑦 =1

6𝑥

08. Resposta: B. 2 + 𝑥

3 − 𝑥= 5

15 − 5𝑥 = 2 + 𝑥 6𝑥 = 13

𝑥 =13

6

09. Resposta: B. * número 40: é par. 40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37 * número 35: é ímpar. Seu maior divisor é 7. 35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14 * número 66: é par. 66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50 * número 27: é ímpar. Seu maior divisor é 27. 27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14 * Por fim, vamos somar os resultados: 37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 10. Resposta: B. Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). Assim: * Breno: 𝟏

𝟐 .

𝟏

𝟑 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎


. 33

𝟏

𝟔 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎

x = 62000 . 6 x = R$ 372000,00 * Carlos: 𝟏

𝟒 . 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎

NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Quando um todo ou uma unidade é dividido em partes iguais, uma dessas partes ou a reunião de

várias formam o que chamamos de uma fração do todo. Para se representar uma fração são, portanto, necessários dois números inteiros:

a) O primeiro, para indicar em quantas partes iguais foi dividida a unidade (ou todo) e que dá nome a cada parte e, por essa razão, chama-se denominador da fração;

b) O segundo, que indica o número de partes que foram reunidas ou tomadas da unidade e, por isso, chama-se numerador da fração. O numerador e o denominador constituem o que chamamos de termos da fração.

Observe a figura abaixo:

A primeira nota dó é 14/14 ou 1 inteiro, pois representa a fração cheia; a ré é 12/14 e assim

sucessivamente. Nomenclaturas das Frações

Numerador Indica quantas partes tomamos do total que foi dividida a unidade.

Denominador Indica quantas

partes iguais foi dividida a unidade. No figura acima lê-se: três oitavos. -Frações com denominadores de 1 a 10: meios, terços, quartos, quintos, sextos, sétimos, oitavos,

nonos e décimos. -Frações com denominadores potências de 10: décimos, centésimos, milésimos, décimos de

milésimos, centésimos de milésimos etc. - Denominadores diferentes dos citados anteriormente: Enuncia-se o numerador e, em seguida, o

denominador seguido da palavra “avos”. Exemplos: 8

25 𝑙ê − 𝑠𝑒 ∶ 𝑜𝑖𝑡𝑜 𝑣𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜 𝑎𝑣𝑜𝑠;

2

100 𝑙ê − 𝑠𝑒 ∶ 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡é𝑠𝑖𝑚𝑜𝑠;


. 34

Tipos de Frações - Frações Próprias: Numerador é menor que o denominador. Exemplos:

1

6;

5

8;

3

4; …

- Frações Impróprias: Numerador é maior ou igual ao denominador. Exemplos:

6

5;

8

5;

4

3; …

- Frações aparentes: Numerador é múltiplo do denominador. As mesmas pertencem também ao

grupo das frações impróprias. Exemplos:

6

1;

8

4;

4

2; …

- Frações particulares: Para formamos uma fração de uma grandeza, dividimos esta pelo

denominador e multiplicamos pelo numerador. Exemplos: 1 – Se o numerador é igual a zero, a fração é igual a zero: 0/7 = 0; 0/5=0 2- Se o denominador é 1, a fração é igual ao denominador: 25/1 = 25; 325/1 = 325

- Números mistos: Números compostos de uma parte inteira e outra fracionária. Podemos

transformar uma fração imprópria na forma mista e vice e versa. Exemplos:

𝑨) 25

7= 3

4

7⇒

𝑩) 34

7=

25

7⇒

- Frações equivalentes: Duas ou mais frações que apresentam a mesma parte da unidade. Exemplo:

4: 4

8: 4=

1

2; 𝑜𝑢

4: 2

8: 2=

2

4; 𝑜𝑢

2: 2

4: 2=

1

2

As frações 4

8,2

4 e

1

2 são equivalentes.

-Frações irredutíveis: Frações onde o numerador e o denominador são primos entre si. Exemplo: 5/11 ; 17/29; 5/3 Comparação e simplificação de frações

-Comparação: - Quando duas frações tem o mesmo denominador, a maior será aquela que possuir o maior

numerador. Exemplo: 5/7 >3/7 - Quando os denominadores são diferentes, devemos reduzi-lo ao mesmo denominador.

- Quando o denominador é zero, a fração não tem sentido, pois a divisão por zero é impossível.

- Quando o numerador e denominador são iguais, o resultado da divisão é

sempre 1.


. 35

Exemplo: 7/6 e 3/7 1º - Fazer o mmc dos denominadores mmc(6,7) = 42

7.7

42 𝑒

3.6

42→

49

42 𝑒

18

42

2º - Compararmos as frações: 49/42 > 18/42. - Simplificação: É dividir os termos por um mesmo número até obtermos termos menores que

os iniciais. Com isso formamos frações equivalentes a primeira. Exemplo:

4: 4

8: 4=

1

2

Operações com frações - Adição e Subtração

Com mesmo denominador: Conserva-se o

denominador e soma-se ou subtrai-se os

numeradores.

Com denominadores

diferentes: Reduz-se ao mesmo

denominador através do mmc entre os denominadores.

O processo é valido tanto para

adição quanto para subtração.

Multiplicação e Divisão

- Multiplicação: É produto dos numerados dados e dos denominadores dados.

Exemplo:

Podemos ainda simplificar a fração

resultante: 288: 2

10: 2=

144

5

- Divisão: O quociente de uma fração é igual a primeira fração multiplicados pelo inverso da segunda fração.

Exemplo:

Simplificando a fração resultante:

168: 8

24: 8=

21

3


. 36

NÚMEROS DECIMAIS

O sistema de numeração decimal apresenta ordem posicional: unidades, dezenas, centenas, etc. Leitura e escrita dos números decimais Exemplos:

(Fonte: http://www.professornews.com.br/index.php/utilidades/dicas-de-redacao/5620-como-escrever-numeros-decimais-por-extenso)

Lê-se: Quinhentos e setenta e nove mil, trezentos e sessenta e oito inteiros e quatrocentos e treze

milésimos. 0,9 nove décimos. 5,6 cinco inteiros e seis décimos. 472,1256 quatrocentos e setenta e dois inteiros e mil, duzentos, cinquenta e seis décimos-milésimos. Transformação de frações ordinárias em decimais e vice-versa

A quantidade de zeros corresponde

ao números de casas decimais após

a vírgula e vice-versa (transformar

para fração).

Operações com números decimais - Adição e Subtração Na prática, a adição e a subtração de números decimais são obtidas de acordo com a seguinte regra:


. 37

- Igualamos o número de casas decimais, acrescentando zeros. - Colocamos os números um abaixo do outro, deixando vírgula embaixo de vírgula. - Somamos ou subtraímos os números decimais como se eles fossem números naturais. - Na resposta colocamos a vírgula alinhada com a vírgula dos números dados. Exemplos:

- Multiplicação Na prática, a multiplicação de números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras: - Multiplicamos os números decimais como se eles fossem números naturais. - No resultado, colocamos tantas casas decimais quantas forem as do primeiro fator somadas às dos

outros fatores. Exemplos: 1) 652,2 x 2,03 Disposição prática:

2) 3,49 x 2,5 Disposição prática:

- Divisão Na prática, a divisão entre números decimais é obtida de acordo com as seguintes regras: - Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor. - Cortamos as vírgulas e efetuamos a divisão como se os números fossem naturais. Exemplos:

1) 24 : 0,5 Disposição prática:

Nesse caso, o resto da divisão é igual a zero. Assim sendo, a divisão é chamada de divisão exata e o

quociente é exato. 2) 31,775 : 15,5 Disposição prática:


. 38

Acrescentamos ao divisor a quantidade de zeros para que ele fique igual ao dividendo, e assim

sucessivamente até chegarmos ao resto zero.

3) 0,14 : 28 Disposição prática:

4) 2 : 16 Disposição prática:

Questões 01. (EBSERH/HUPES – UFBA – Técnico em Informática – IADES/2014) O suco de três garrafas

iguais foi dividido igualmente entre 5 pessoas. Cada uma recebeu (A)

3

5 do total dos sucos.

(B) 3

5 do suco de uma garrafa.

(C) 5


(D) 5

3 do suco de uma garrafa.

(E) 6


02. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP/2014) Uma

revista perdeu 1

5 dos seus 200.000 leitores.

Quantos leitores essa revista perdeu? (A) 40.000. (B) 50.000. (C) 75.000. (D) 95.000. (E) 100.000. 03. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC/2014) Dona Amélia e seus quatro filhos

foram a uma doceria comer tortas. Dona Amélia comeu 2 / 3 de uma torta. O 1º filho comeu 3 / 2 do que sua mãe havia comido. O 2º filho comeu 3 / 2 do que o 1º filho havia comido. O 3º filho comeu 3 / 2 do que o 2º filho havia comido e o 4º filho comeu 3 / 2 do que o 3º filho havia comido. Eles compraram a menor quantidade de tortas inteiras necessárias para atender a todos. Assim, é possível calcular corretamente que a fração de uma torta que sobrou foi

(A) 5 / 6. (B) 5 / 9. (C) 7 / 8. (D) 2 / 3. (E) 5 / 24.


. 39

04. ((PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as mulheres abordadas, 1/8 foram detidas.

Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? (A) 145 (B) 185 (C) 220 (D) 260 (E) 120 05. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Uma pessoa está montando um quebra-

cabeça que possui, no total, 512 peças. No 1.º dia foram montados 5

16 do número total de peças e, no 2.º

dia foram montados 3

8 do número de peças restantes. O número de peças que ainda precisam ser

montadas para finalizar o quebra-cabeça é: (A) 190. (B) 200. (C) 210. (D) 220. (E) 230. 06. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM/2014) A mãe do Vitor fez um bolo e repartiu em 24

pedaços, todos de mesmo tamanho. A mãe e o pai comeram juntos, ¼ do bolo. O Vitor e a sua irmã comeram, cada um deles, 1/4do bolo. Quantos pedaços de bolo sobraram?

(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 12

07. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM/2014) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, em

cada uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. Quantos reais ela recebeu de troco?

(A) R$ 40,00 (B) R$ 42,00 (C) R$ 44,00 (D) R$ 46,00 (E) R$ 48,00

08. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO/2014) Certa praça tem 720 m2 de

área. Nessa praça será construído um chafariz que ocupará 600 dm2. Que fração da área da praça será ocupada pelo chafariz? (A)

1

600

(B)

1

120

(C)

1

90

(D)

1

60

(E)

1

12

09. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP/2014) Se 1

kg de um determinado tipo de carne custa R$ 45,00, quanto custará 7

5 desta mesma carne?

(A) R$ 90,00. (B) R$ 73,00.


. 40

(C) R$ 68,00. (D) R$ 63,00. (E) R$ 55,00. 10. (UEM/PR – Auxiliar Operacional – UEM/2014) Paulo recebeu R$1.000,00 de salário. Ele gastou

¼ do salário com aluguel da casa e 3/5 do salário com outras despesas. Do salário que Paulo recebeu, quantos reais ainda restam?

(A) R$ 120,00 (B) R$ 150,00 (C) R$ 180,00 (D) R$ 210,00 (E) R$ 240,00

Respostas

01. Resposta: B.

3: 5 =3

5

02. Resposta: A. 1

5 . 200000 = 40000

03. Resposta: E. Vamos chamar a quantidade de tortas de (x). Assim: * Dona Amélia:

𝟐

𝟑 . 𝟏 =

𝟐

𝟑

* 1º filho:

𝟑

𝟐 .

𝟐

𝟑= 𝟏

* 2º filho:

𝟑

𝟐 . 𝟏 =

𝟑

𝟐

* 3º filho:

𝟑

𝟐 .

𝟑

𝟐=

𝟗

𝟒

* 4º filho:

𝟑

𝟐 .

𝟗

𝟒 =

𝟐𝟕

𝟖

𝟐

𝟑+ 𝟏 +

𝟑

𝟐 +

𝟗

𝟒 +

𝟐𝟕

𝟖

𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 + 𝟑𝟔 + 𝟓𝟒 + 𝟖𝟏

𝟐𝟒=

𝟐𝟏𝟏

𝟐𝟒= 𝟖 .

𝟐𝟒

𝟐𝟒+

𝟏𝟗

𝟐𝟒 = 𝟖 +

𝟏𝟗

𝟐𝟒

Ou seja, eles comeram 8 pizzas, mais 19/24 de uma pizza. Por fim, a fração de uma torta que sobrou foi: 𝟐𝟒

𝟐𝟒−

𝟏𝟗

𝟐𝟒=

𝟓

𝟐𝟒

04. Resposta: A. 800 ∙

3

4= 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠

600 ∙1

5= 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠

Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres 800 ∙

1

4= 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠

200 ∙1

8= 25 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠

Total de pessoas detidas: 120+25=145


. 41

05. Resposta: D. * 1º dia:

5

16 . 512 =

2560

16= 160 𝑝𝑒ç𝑎𝑠

* Restante = 512 – 160 = 352 peças * 2º dia:

3

8 . 352 =

1056

8= 132 𝑝𝑒ç𝑎𝑠

* Ainda restam = 352 – 132 = 220 peças 06. Resposta: B. 1

4+

1

4+

1

4=

3

4

Sobrou 1/4 do bolo. 24 ∙

1

4= 6 𝑝𝑒𝑑𝑎ç𝑜𝑠

07. Resposta: B. 8,3 ∙ 7 = 58,1 Como recebeu um desconto de 10 centavos, Dirce pagou 58 reais Troco:100 – 58 = 42 reais 08. Resposta: B.

600 dm² = 6 m²

6

720∶

6

6=

1

120

09. Resposta: D. 7

5 . 45 = 7 . 9 = 63

10. Resposta: B. Aluguel:1000 ∙

1

4= 250

Outras despesas: 1000 ∙3

5= 600

250 + 600 = 850 Restam :1000 – 850 = R$ 150,00

CONJUNTOS Conjunto é uma reunião, agrupamento de pessoas, seres, objetos, classes…, que possuem a mesma

característica, nos dá ideia de coleção. Noções Primitivas Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definições: - Conjunto; - Elemento; - E a pertinência entre um elemento e um conjunto. Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de

conjuntos. Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser

uma banana, um peixe ou um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto.

Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y, ..., embora não exista essa obrigatoriedade.

A relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto.


. 42

Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos xA. Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A. Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos xA. Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A. Como representar um conjunto 1) Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula. Exemplos: {a, e, i, o, u} indica o conjunto formado pelas vogais {1, 2, 5,10} indica o conjunto formado pelos divisores naturais de 10. 2) Pela sua característica Escrevemos o conjunto enunciando uma propriedade ou característica comum de seus elementos.

Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por: {x, | (tal que) x tem a propriedade P} Exemplos: - {x| x é vogal} é o mesmo que {a, e, i, o, u} - {x | x são os divisores naturais de 10} é o mesmo que {1, 2, 5,10} 3) Pelo diagrama de Venn-Euler Os elementos do conjunto são colocados dentro de uma figura em forma de elipse, chamada diagrama

de Venn.

Exemplos: - Conjunto das vogais

- Conjunto dos divisores naturais de 10

Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos A = B são ditos iguais (ou idênticos) se todos os seus elementos são iguais, e

escrevemos A = B. Caso haja algum que não o seja dizemos que estes conjuntos são distintos e escrevemos A ≠ B.

Exemplos: 1) A = {3, 5, 7} e B = {x| x é primo e 3 ≤ x ≤ 7}, então A = B. 2) B = {6, 9,10} e C = {10, 6, 9}, então B = C, note que a ordem dos elementos não altera a igualdade

dos conjuntos.


. 43

Tipos de Conjuntos - Conjunto Universo Reunião de todos os conjuntos que estamos trabalhando. Exemplo: Quando falamos de números naturais, temos como Conjunto Universo os números inteiros positivos. - Conjunto Vazio Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se por 0 ou, simplesmente { }. Exemplo: A = {x| x é natural e menor que 0} - Conjunto Unitário Conjunto caracterizado por possuir apenas um único elemento. Exemplos: - Conjunto dos números naturais compreendidos entre 2 e 4. A = {3} - Conjunto dos números inteiros negativos compreendidos entre -5 e -7. B = {- 6} - Conjuntos Finitos e Infinitos Finito = quando podemos enumerar todos os seus elementos. Exemplo: Conjuntos dos Estados da

Região Sudeste, S= {Rio de Janeiro, São Paulo, Espirito Santo, Minas Gerais} Infinito = contrário do finito. Exemplo: Conjunto dos números inteiros, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,

...}. A reticências representa o infinito. Relação de Pertinência A pertinência é representada pelo símbolo ∈ (pertence) ou não pertence). Ele relaciona elemento

com conjunto. Exemplo: Seja o conjunto B={1, 3, 5, 7} * 1ϵ B, 3 ϵ B, 5 ϵ B * 2 B, 6 B , 9 B Subconjuntos Quando todos os elementos de um conjunto A são também elementos de um outro conjunto B, dizemos

que A é subconjunto de B. Podemos dizer ainda que subconjunto é quando formamos vários conjuntos menores com as mesmas

caraterísticas de um conjunto maior. Exemplos: - B = {2, 4} A = {2, 3, 4, 5, 6}, pois 2 {2, 3, 4, 5, 6} e 4 {2, 3, 4, 5 ,6}

- C = {2, 7, 4} A = {2, 3, 4, 5, 6}, pois 7 {2, 3, 4, 5, 6} - D = {2, 3} E = {2, 3}, pois 2 ϵ {2, 3} e 3 ϵ {2, 3}


. 44

1) Todo conjunto A é subconjunto dele próprio; 2) O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto; 3) O conjunto das partes é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Exemplo: Pegando o conjunto B acima, temos as partes de B: B= {{ },{2},{4},B} Podemos concluir com essa propriedade que: Se B tem n elementos então B possui 2n

subconjuntos e, portanto, P(B) possui 2n elementos. Se quiséssemos saber quantos subconjuntos tem o conjunto A (exemplo acima), basta

calcularmos aplicando o fórmula: Números de elementos(n)= 5 → 2n = 25 = 32 subconjuntos, incluindo o vazio e ele

próprio.

Relação de inclusão Deve ser usada para estabelecer relação entre conjuntos com conjuntos, verificando se um conjunto

é subconjunto ou não de outro conjunto. Representamos as relações de inclusão pelos seguintes símbolos:

Está contido Contém Não está contido

Não contém Operações com Conjuntos - União de conjuntos A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem

a A ou a B. Representa-se por AB. Simbolicamente: AB = {x | xA ou xB}

Exemplos: - {2, 3} {4, 5, 6} = {2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 4} {3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5} - {2, 3} {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} - {a, b} = {a, b} - Intersecção de conjuntos A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem,

simultaneamente, a A e a B. Representa-se por AB. Simbolicamente: AB = {x | x A e x B}

Exemplos: - {2, 3, 4} {3, 5} = {3} - {1, 2, 3} {2, 3, 4} = {2, 3} - {2, 3} {1, 2, 3, 5} = {2, 3} - {2, 4} {3, 5, 7} =


. 45

Observação: Se AB = , dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.

- Propriedades dos conjuntos disjuntos 1) A U (A ∩ B) = A 2) A ∩ (A U B) = A 3) Distributiva da reunião em relação à intersecção: A U (B U C) = (A U B) ∩ (A U C) 4) Distributiva da intersecção em relação à união: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) - Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre

os respectivos números de elementos.

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)

Note que ao subtrairmos os elementos comuns (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)) evitamos que eles sejam contados duas

vezes. Observações: a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim

a relação dada será verdadeira. b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma

eficiência. Observe o diagrama e comprove:

𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

- Propriedades da União e Intersecção de Conjuntos Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: 1) Idempotente: A U A = A e A ∩ A= A 2) Elemento Neutro: A U Ø = A e A ∩ U = A 3) Comutativa: A U B = B U A e A ∩ B = B ∩ A 4) Associativa: A U (B U C) = (A U B) U C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C - Diferença A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A

e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Para determinar a diferença entre conjuntos, basta observamos o que o conjunto A tem de diferente de B.

Simbolicamente: A – B = {x | x A e x B}


. 46

Exemplos: - A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} A – B = {1, 3} e B – A = - A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} A – B = {1} e B – A = {4} - A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} A – B = {0, 2, 4} e B – A = {1, 3, 5}

Note que A – B ≠ B - A

- Complementar Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A (B é subconjunto de A), chama-se complementar de B

em relação a A o conjunto A - B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Dizemos complementar de B em relação a A.

Exemplos: Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então: a) A = {2, 3, 4} A = {0, 1, 5, 6} b) B = {3, 4, 5, 6 } B = {0, 1, 2} c) C = C = S Resolução de Problemas Utilizando Conjuntos Muitos dos problemas constituem- se de perguntas, tarefas a serem executadas. Nos utilizaremos

dessas informações e dos conhecimentos aprendidos em relação as operações de conjuntos para resolvê-los.

Exemplos: 1) Numa pesquisa sobre a preferência por dois partidos políticos, A e B, obteve-se os seguintes

resultados. Noventa e duas disseram que gostam do partido A, oitenta pessoas disseram que gostam do partido B e trinta e cinco pessoas disseram que gostam dos dois partidos. Quantas pessoas responderam a pesquisa?

Resolução pela Fórmula » n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) » n(A U B) = 92 + 80 – 35 » n(A U B) = 137 Resolução pelo diagrama: - Se 92 pessoas responderam gostar do partido A e 35 delas responderam que gostam de ambos,

então o número de pessoas que gostam somente do partido A é: 92 – 35 = 57. - Se 80 pessoas responderam gostar do partido B e 35 delas responderam gostar dos dois partidos,

então o número de operários que gostam somente do partido B é: 80 – 35 = 45. - Se 57 gostam somente do partido A, 45 responderam que gostam somente do partido B e 35

responderam que gostam dos dois partidos políticos, então o número de pessoas que responderam à pesquisa foi: 57 + 35 + 45 = 137.


. 47

2) Num grupo de motoristas, há 28 que dirigem automóvel, 12 que dirigem motocicleta e 8 que dirigem automóveis e motocicleta. Quantos motoristas há no grupo?

(A) 16 motoristas (B) 32 motoristas (C) 48 motoristas (D) 36 motoristas Resolução:

Os que dirigem automóveis e motocicleta: 8 Os que dirigem apenas automóvel: 28 – 8 = 20 Os que dirigem apenas motocicleta: 12 – 8 = 4 A quantidade de motoristas é o somatório: 20 + 8 + 4 = 32 motoristas. Resposta: B 3) Em uma cidade existem duas empresas de transporte coletivo, A e B. Exatamente 70% dos

estudantes desta cidade utilizam a Empresa A e 50% a Empresa B. Sabendo que todo estudante da cidade é usuário de pelo menos uma das empresas, qual o % deles que utilizam as duas empresas?

(A) 20% (B) 25% (C) 27% (D) 33% (E) 35% Resolução:

70 – 50 = 20. 20% utilizam as duas empresas. Resposta: A.

Questões

01. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) Dos 43 vereadores

de uma cidade, 13 dele não se inscreveram nas comissões de Educação, Saúde e Saneamento Básico. Sete dos vereadores se inscreveram nas três comissões citadas. Doze deles se inscreveram apenas nas comissões de Educação e Saúde e oito deles se inscreveram apenas nas comissões de Saúde e Saneamento Básico. Nenhum dos vereadores se inscreveu em apenas uma dessas comissões. O número de vereadores inscritos na comissão de Saneamento Básico é igual a

(A) 15. (B) 21. (C) 18. (D) 27. (E) 16.


. 48

02. (EBSERH/HU-UFS/SE - Tecnólogo em Radiologia - AOCP /2014) Em uma pequena cidade, circulam apenas dois jornais diferentes. O jornal A e o jornal B. Uma pesquisa realizada com os moradores dessa cidade mostrou que 33% lê o jornal A, 45% lê o jornal B, e 7% leem os jornais A e B. Sendo assim, quantos por centos não leem nenhum dos dois jornais?

(A) 15% (B) 25% (C) 27% (D) 29% (E) 35% 03. (TRT 19ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2014) Dos 46 técnicos que estão aptos para arquivar

documentos 15 deles também estão aptos para classificar processos e os demais estão aptos para atender ao público. Há outros 11 técnicos que estão aptos para atender ao público, mas não são capazes de arquivar documentos. Dentre esses últimos técnicos mencionados, 4 deles também são capazes de classificar processos. Sabe-se que aqueles que classificam processos são, ao todo, 27 técnicos. Considerando que todos os técnicos que executam essas três tarefas foram citados anteriormente, eles somam um total de

(A) 58. (B) 65. (C) 76. (D) 53. (E) 95. 04. (METRÔ/SP – OFICIAL LOGISTICA –ALMOXARIFADO I – FCC/2014) O diagrama indica a

distribuição de atletas da delegação de um país nos jogos universitários por medalha conquistada. Sabe-se que esse país conquistou medalhas apenas em modalidades individuais. Sabe-se ainda que cada atleta da delegação desse país que ganhou uma ou mais medalhas não ganhou mais de uma medalha do mesmo tipo (ouro, prata, bronze). De acordo com o diagrama, por exemplo, 2 atletas da delegação desse país ganharam, cada um, apenas uma medalha de ouro.

A análise adequada do diagrama permite concluir corretamente que o número de medalhas

conquistadas por esse país nessa edição dos jogos universitários foi de (A) 15. (B) 29. (C) 52. (D) 46. (E) 40. 05. (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP/2014) Qual é o número de

elementos que formam o conjunto dos múltiplos estritamente positivos do número 3, menores que 31? (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) 13 06. (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP/2014) Considere dois

conjuntos A e B, sabendo que 𝐴 ∩ 𝐵 = {3}, 𝐴 ∪ 𝐵 = {0; 1; 2; 3; 5} 𝑒 𝐴 − 𝐵 = {1; 2}, assinale a alternativa que apresenta o conjunto B.

(A) {1;2;3} (B) {0;3}


. 49

(C) {0;1;2;3;5} (D) {3;5} (E) {0;3;5} 07. (INES – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS/2014) Numa biblioteca são lidos

apenas dois livros, K e Z. 80% dos seus frequentadores leem o livro K e 60% o livro Z. Sabendo-se que todo frequentador é leitor de pelo menos um dos livros, a opção que corresponde ao percentual de frequentadores que leem ambos, é representado:

(A) 26% (B) 40% (C) 34% (D) 78% (E) 38% 08. (METRÔ/SP – ENGENHEIRO SEGURANÇA DO TRABALHO – FCC/2014) Uma pesquisa, com

200 pessoas, investigou como eram utilizadas as três linhas: A, B e C do Metrô de uma cidade. Verificou-se que 92 pessoas utilizam a linha A; 94 pessoas utilizam a linha B e 110 pessoas utilizam a linha C. Utilizam as linhas A e B um total de 38 pessoas, as linhas A e C um total de 42 pessoas e as linhas B e C um total de 60 pessoas; 26 pessoas que não se utilizam dessas linhas. Desta maneira, conclui-se corretamente que o número de entrevistados que utilizam as linhas A e B e C é igual a

(A) 50. (B) 26. (C) 56. (D) 10. (E) 18. 09. (INES – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS/2014) Numa recepção, foram

servidos os salgados pastel e casulo. Nessa, estavam presentes 10 pessoas, das quais 5 comeram pastel, 7 comeram casulo e 3 comeram as duas. Quantas pessoas não comeram nenhum dos dois salgados?

(A) 0 (B) 5 (C) 1 (D) 3 (E) 2

10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT/2014) Em

uma pesquisa realizada com alunos de uma universidade pública sobre a utilização de operadoras de celular, constatou-se que 300 alunos utilizam a operadora A, 270 utilizam a operadora B, 150 utilizam as duas operadoras (A e B) e 80 utilizam outras operadoras distintas de A e B.

Quantas pessoas foram consultadas? (A) 420 (B) 650 (C) 500 (D) 720 (E) 800

Respostas

01. Resposta: C. De acordo com os dados temos: 7 vereadores se inscreveram nas 3. APENAS 12 se inscreveram em educação e saúde (o 12 não deve ser tirado de 7 como costuma fazer

nos conjuntos, pois ele já desconsidera os que se inscreveram nos três) APENAS 8 se inscreveram em saúde e saneamento básico. São 30 vereadores que se inscreveram nessas 3 comissões, pois 13 dos 43 não se inscreveram. Portanto, 30 – 7 – 12 – 8 = 3 Se inscreveram em educação e saneamento 3 vereadores.


. 50

Em saneamento se inscreveram: 3 + 7 + 8 = 18 02. Resposta: D.

26 + 7 + 38 + x = 100 x = 100 - 71 x = 29% 03. Resposta: B. Técnicos arquivam e classificam: 15 Arquivam e atendem: 46 – 15 = 31 Classificam e atendem: 4 Classificam: 15 + 4 = 19 como são 27 faltam 8 Dos 11 técnicos aptos a atender ao público 4 são capazes de classificar processos, logo apenas 11 -

4 = 7 técnicos são aptos a atender ao público. Somando todos os valores obtidos no diagrama teremos: 31 + 15 + 7 + 4 + 8 = 65 técnicos.

04. Resposta: D. O diagrama mostra o número de atletas que ganharam medalhas. No caso das intersecções, devemos multiplicar por 2 por ser 2 medalhas e na intersecção das três

medalhas multiplica-se por 3. Intersecções: 6 ∙ 2 = 12 1 ∙ 2 = 2 4 ∙ 2 = 8 3 ∙ 3 = 9 Somando as outras: 2 + 5 + 8 + 12 + 2 + 8 + 9 = 46 05. Resposta: B. Se nos basearmos na tabuada do 3, teremos o seguinte conjunto


. 51

A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} 10 elementos. 06. Resposta: E. A intersecção dos dois conjuntos, mostra que 3 é elemento de B. A – B são os elementos que tem em A e não em B. Então de A B, tiramos que B = {0; 3; 5}. 07. Resposta: B.

80 – x + x + 60 – x = 100 - x = 100 - 140 x = 40% 08. Resposta: E.

92-[38-x+x+42-x]+94-[38-x+x+60-x]+110-[42-x+x+60-x]+(38-x)+x+(42-x)+(60-x)+26=200 92 - [80 - x] + 94 - [98 - x] + 110 - [102 - x] + 38 + 42 – x + 60 – x + 26 = 200 92 – 80 +x + 94 – 98 +x + 110 – 102 + x + 166 -2x = 200 x + 462 – 280 = 200 x + 182 = 200 x = 200-182 x = 18 09. Resposta: C.

2 + 3 + 4 + x = 10 x = 10 - 9 x = 1


. 52

10. Resposta: C.

300 – 150 = 150 270 – 150 = 120 Assim: 150 + 120 + 150 + 80 = 500(total)

PORCENTAGEM Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou

simplesmente de porcentagem. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um "todo" se está referenciando.

Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”).

𝒙% =𝒙

𝟏𝟎𝟎

Exemplos: 1) A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre

02/02/2013 e 02/02/2014.

Banco Saldo em 02/02/2013

Saldo em 02/02/2014

Rendimento

Oscar A 500 550 50 Marta B 400 450 50

Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 50

500, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴;

50

400, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵.

Quem obteve melhor rentabilidade? Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100),

para isso, vamos simplificar as frações acima:

𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒50

500=

10

100, = 10%

𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒50

400=

12,5

100, = 12,5%

Com isso podemos concluir, Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco B. 2) Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de rapazes

na classe? Resolução:


. 53

A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 18

30 . Devemos expressar essa razão na forma

centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que:

18

30=

𝑥

100⟹ 𝑥 = 60

E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo:

18

30= 0,60(. 100%) = 60%

- Lucro e Prejuízo É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). Podemos ainda escrever: C + L = V ou L = V - C P = C – V ou V = C - P A forma percentual é:

Exemplos: 1) Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. Resolução: Preço de custo + lucro = preço de venda 75 + lucro =100 Lucro = R$ 25,00

a) b) 2) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre

o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: A) R$ 25,00 B) R$ 70,50 C) R$ 75,00 D) R$ 80,00 E) R$ 125,00 Resolução: 𝐿

𝐶. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC).

C + L = V C + 0,25.C = V 1,25 . C = 100 C = 80,00 Resposta D


. 54

- Aumento e Desconto Percentuais A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 +

𝒑

𝟏𝟎𝟎).V .

Logo: VA = (𝟏 +

𝒑

𝟏𝟎𝟎).V

Exemplos: 1 - Aumentar um valor V de 20% , equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: (1 +

20

100).V = (1+0,20).V = 1,20.V

2 - Aumentar um valor V de 200% , equivale a multiplicá-lo por 3 , pois: (1 +

200

100).V = (1+2).V = 3.V

3) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do retângulo

é aumentada de: A)35% B)30% C)3,5% D)3,8% E) 38% Resolução: Área inicial: a.b Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. Resposta E B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 −

𝒑

𝟏𝟎𝟎).V.

Logo: V D = (𝟏 −

𝒑

𝟏𝟎𝟎).V

Exemplos: 1) Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: (1 −

20

100). V = (1-0,20). V = 0, 80.V

2) Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: (1 −

40

100). V = (1-0,40). V = 0, 60.V

3) O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual era

o seu valor antes do desconto? Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. V D = (1 −

𝑝

100). V 115 = (1-0,08).V 115 = 0,92V V = 115/0,92 V = 125

O valor antes do desconto é de R$ 125,00.

Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação:

% Fator de multiplicação - Acréscimo Fator de multiplicação - Decréscimo 10% 1,1 0,9 15% 1,15 0,85

A esse valor final de (𝟏 +𝒑

𝟏𝟎𝟎) ou (𝟏 −

𝒑

𝟏𝟎𝟎), é o que chamamos de fator de

multiplicação, muito útil para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no valor do produto.


. 55

18% 1,18 0,82 20% 1,2 0,8 63% 1,63 0,37 86% 1,86 0,14 100% 2 0

- Aumentos e Descontos Sucessivos São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou

aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. Vejamos alguns exemplos: 1) Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? Utilizando VA = (1 +

𝑝

100).V V. 1,1 , como são dois de 10% temos V. 1,1 . 1,1 V. 1,21

Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único aumento de 21%.

Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 2) Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: Utilizando VD = (1 −

𝑝

100).V V. 0,8 . 0,8 V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64,

observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo:

100% - 64% = 36% Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 3) Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, um

desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? Utilizando VA = (1 +

𝑝

100).V para o aumento e VD = (1 −

𝑝

100).V, temos:

VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo em uma única equação:

5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00

Questões

01. (EBSERH/ HUSM-UFSM/RS - Técnico em Informática – AOCP/2014) Uma loja de camisas oferece um desconto de 15% no total da compra se o cliente levar duas camisas. Se o valor de cada camisa é de R$ 40,00, quanto gastará uma pessoa que aproveitou essa oferta?

(A) R$ 68,00. (B) R$ 72,00. (C) R$ 76,00. (D) R$ 78,00. (E) R$ 80,00. 02. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer

Gráfico – VUNESP/2014) O departamento de Contabilidade de uma empresa tem 20 funcionários, sendo que 15% deles são estagiários. O departamento de Recursos Humanos tem 10 funcionários, sendo 20% estagiários. Em relação ao total de funcionários desses dois departamentos, a fração de estagiários é igual a

(A) 1/5. (B) 1/6. (C) 2/5. (D) 2/9. (E) 3/5.


. 56

03. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP/2014) Quando calculamos 32% de 650, obtemos como resultado

(A) 198. (B) 208. (C) 213. (D) 243. (E) 258. 04. (ALMG – Analista de Sistemas – Administração de Rede – FUMARC/2014) O Relatório Setorial

do Banco do Brasil publicado em 02/07/2013 informou: [...] Após queda de 2,0% no mês anterior, segundo o Cepea/Esalq, as cotações do açúcar fecharam o

último mês com alta de 1,2%, atingindo R$ 45,03 / saca de 50 kg no dia 28. De acordo com especialistas, o movimento se deve à menor oferta de açúcar de qualidade, além da firmeza nas negociações por parte dos vendedores. Durante o mês de junho, o etanol mostrou maior recuperação que o açúcar, com a cotação do hidratado chegando a R$ 1,1631/litro (sem impostos), registrando alta de 6,5%. A demanda aquecida e as chuvas que podem interromper mais uma vez a moagem de cana-de-açúcar explicam cenário mais positivo para o combustível.

Fonte: BB-BI Relatório Setorial: Agronegócios-junho/2013 - publicado em 02/07/2013.

Com base nos dados apresentados no Relatório Setorial do Banco do Brasil, é CORRETO afirmar que

o valor, em reais, da saca de 50 kg de açúcar no mês de maio de 2013 era igual a (A) 42,72 (B) 43,86 (C) 44,48 (D) 54,03 05. (Câmara de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA/2014) Em

determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente:

(A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. (B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. (C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. (D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 06. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST/2014) Um vendedor recebe comissões

mensais da seguinte maneira: 5% nos primeiros 10.000 reais vendidos no mês, 6% nos próximos 10.000,00 vendidos, e 7% no valor das vendas que excederem 20.000 reais. Se o total de vendas em certo mês foi de R$ 36.000,00, quanto será a comissão do vendedor?

(A) R$ 2.120,00 (B) R$ 2.140,00 (C) R$ 2.160,00 (D) R$ 2.180,00 (E) R$ 2.220,00 07. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST/2014) Uma loja compra televisores por R$

1.500,00 e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 35%. Qual o preço do televisor na liquidação?

(A) R$ 1.300,00 (B) R$ 1.315,00 (C) R$ 1.330,00 (D) R$ 1.345,00 (E) R$ 1.365,00 08. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) O preço de venda de um

produto, descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de venda é superior ao de compra?


. 57

(A) 67%. (B) 61%. (C) 65%. (D) 63%. (E) 69%. 09. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a

seguinte promoção:

Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro

obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: (A) R$ 33,60 (B) R$ 28,60 (C) R$ 26,40 (D) R$ 40,80 (E) R$ 43,20 10. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) Na queima de estoque de uma loja, uma família

comprou dois televisores, três aparelhos de ar-condicionado, uma geladeira e uma máquina de lavar.

Produtos Valores unitários antes da liquidação Desconto Televisor R$ 2.000,00 20%

Ar condicionado R$ 1.000,00 10% Geladeira R$ 900,00 30%

Máquina de lavar R$ 1.500,00 40% Calcule o valor total gasto por essa família. (A) R$ 7.430,00 (B) R$ 9.400,00 (C) R$ 5.780,00 (D) R$ 6.840,00 (E) R$ 8.340,00

Respostas 01. Resposta: A. Como são duas camisas 40.2 = 80,00 O desconto é dado em cima do valor das duas camisas. Usando o fator de multiplicação temos 1-0,15

= 0,85 (ele pagou 85% do valor total): 80 .0,85 = 68,00 02. Resposta: B. * Dep. Contabilidade:

15

100. 20 =

30

10= 3 3 (estagiários)

* Dep. R.H.:

20

100. 10 =

200

100= 2 2 (estagiários)

∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑔𝑖á𝑟𝑖𝑜𝑠

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠=

5

30=

1

6

03. Resposta: B. 32

100 . 650 =

32 .65

10=

2080

10 = 208

Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda

embalagem.


. 58

04. Resposta: C. 1,2% de 45,03 =

1,2

100 . 45,03 = 0,54

Como no mês anterior houve queda, vamos fazer uma subtração. 45,03 – 0,54 = 44,49 05. Resposta: B. Cartão de crédito: 10/100 . (750 + 380) = 1/10 . 1130 = 113 1130 – 113 = R$ 1017,00 Boleto: 8/100 . (750 + 380) = 8/100 . 1130 = 90,4 1130 – 90,4 = R$ 1039,60 06. Resposta: E. 5% de 10000 = 5 / 100 . 10000 = 500 6% de 10000 = 6 / 100 . 10000 = 600 7% de 16000 (= 36000 – 20000) = 7 / 100 . 16000 = 1120 Comissão = 500 + 600 + 1120 = R$ 2220,00 07. Resposta: E. Preço de revenda: 1500 + 40 / 100 . 1500 = 1500 + 600 = 2100 Preço com desconto: 2100 – 35 / 100 . 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 08. Resposta: A. Preço de venda: V Preço de compra: C V – 0,16V = 1,4C 0,84V = 1,4C 𝑉

𝐶=

1,4

0,84= 1,67

O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 09. Resposta: A. 2,40 ∙ 12 = 28,80 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑙𝑎𝑔𝑒𝑚: 28,80 ∙ 0,75 = 21,60 𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑚𝑏𝑎𝑙𝑎𝑔𝑒𝑛𝑠: 28,80 + 21,60 = 50,40 𝑟𝑒𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎: 3,5 ∙ 24 = 84,00 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜: 𝑅$84,00 − 𝑅$50,40 = 𝑅$33,60 O lucro de Alexandre foi de R$ 33,60 10. Resposta: A. Como é desconto, devemos fazer cada porcentagem: 1-desconto, assim teremos o valor de cada item. Televisor:1-0,2=0,8 Ar-condicionado:1-0,1=0,9 Geladeira:1-0,3=0,7 Máquina:1-04=0,6 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟: 2.000 ∙ 0,8 = 1.600 𝑎𝑟 − 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜: 1.000 ∙ 0,9 = 900 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎: 900 ∙ 0,7 = 630 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎: 1.500 ∙ 0,6 = 900 1600 ∙ 2 + 900 ∙ 3 + 630 + 900 = 7430 O valor total gasto pela família foi de R$7.430,00.

SEQUÊNCIAS Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de

cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de aniversário dos alunos de uma determinada escola.

Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado


. 59

termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos atenção ao estudo das sequências numéricas.

As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final.

Exemplos: - Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma

sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc. - Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência

infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc. - Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos

que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 = 9.

1. Igualdade As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada.

Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões diferentes.

Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos termos, na mesma ordem.

Exemplo A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x =

5; y = 8; z = 15; e t = 17. Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1, 0) são diferentes, pois, embora apresentem

os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente. 2. Formula Termo Geral Podemos apresentar uma sequência através de uma determina o valor de cada termo an em função

do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta formula que determina o valor do termo an e chamada formula do termo geral da sucessão.

Exemplos: - Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral e igual a: an = n – 2n,com n ∈ N*. Teremos: - se n = 1 ⇒ a1 = 12 – 2 . 1 ⇒ a1 = 1 – 2 = - 1 - se n = 1 ⇒ a2 = 22 – 2 . 2 ⇒ a2 = 4 – 4 = 0 - se n = 3 ⇒ a3 = 32 – 2 . 3 ⇒ a3 = 9 – 6 = 3 - se n = 4 ⇒ a4 = 42 – 4 . 2 ⇒ a4 =16 – 8 = 8 - se n = 5 ⇒ a5 = 55

– 5 . 2 ⇒ a5 = 25 – 10 = 15 - Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: an = 3n + 2, com n ∈ N*. - se n = 1 ⇒ a1 = 3.1 + 2 ⇒ a1 = 3 + 2 = 5 - se n = 2 ⇒ a2 = 3.2 + 2 ⇒ a2 = 6 + 2 = 8 - se n = 3 ⇒ a3 = 3.3 + 2 ⇒ a3 = 9 + 2 = 11 - se n = 4 ⇒ a4 = 3.4 + 2 ⇒ a4 = 12 + 2 = 14 - se n = 5 ⇒ a5 = 3.5 + 2 ⇒ a5 = 15 + 2 = 17 - Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: an = 45 – 4n, com n ∈ N*. Teremos: - se n = 12 ⇒ a12 = 45 – 4.12 ⇒ a12 = 45 – 48 = - 3


. 60

- se n = 23 ⇒ a23 = 45 – 4.23 ⇒ a23 = 45 – 92 = - 47 3. Lei de Recorrências Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma

fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de apresentação de uma sucessão é chamada lei de recorrências.

Exemplos: - Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: a1 = 3 e an+1 = 2an – 4 , em que n ∈ N*. Teremos: o primeiro termo já foi dado. - a1 = 3 - se n = 1 ⇒ a1+1 = 2.a1 – 4 ⇒ a2 = 2.3 – 4 ⇒ a2 = 6 – 4 = 2 - se n = 2 ⇒ a2+1 = 2.a2 – 4 ⇒ a3 = 2.2 – 4 ⇒ a3 = 4 – 4 = 0 - se n = 3 ⇒ a3+1 = 2.a3 – 4 ⇒ a4 = 2.0 – 4 ⇒ a4 = 0 – 4 = - 4 - se n = 4 ⇒ a4+1 = 2.a4 – 4 ⇒ a5 = 2.(-4) – 4 ⇒ a5 = - 8 – 4 = - 12 - Determinar o termo a5 de uma sequência em que: a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n ∈ N*. - a1 = 12 - se n = 1 ⇒ a1+1 = a1 – 2 ⇒ a2 = 12 – 2 ⇒ a2=10 - se n = 2 ⇒ a2+1 = a2 – 2 ⇒ a3 = 10 – 2 ⇒ a3 = 8 - se n = 3 ⇒ a3+1 = a3 – 2 ⇒ a4 = 8 – 2 ⇒ a4 = 6 - se n = 4 ⇒ a4+1 = a4 – 2 ⇒ a5 = 6 – 2 ⇒ a5 = 4 Observação 1 Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto

que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências.

Observação 2 Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas

nem pela lei das recorrências, nem pela formula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma formula geral para seus termos.

Observação 3 Em todo exercício de sequência em que n ∈ N*, o primeiro valor adotado é n = 1. No entanto de no

enunciado estiver n > 3, temos que o primeiro valor adotado é n = 4. Lembrando que n é sempre um número natural.

A Matemática estuda dois tipos especiais de sequências, uma delas a Progressão Aritmética.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo

anterior somado com uma constante que é chamada de razão (r). Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4,.......,an,.... Cálculo da razão: a razão de uma P.A. é dada pela diferença de um termo qualquer pelo termo

imediatamente anterior a ele. r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = a5 – a4 = .......... = an – an – 1 Exemplos: - (5, 9, 13, 17, 21, 25,......) é uma P.A. onde a1 = 5 e razão r = 4 - (2, 9, 16, 23, 30,.....) é uma P.A. onde a1 = 2 e razão r = 7 - (23, 21, 19, 17, 15,....) é uma P.A. onde a1 = 23 e razão r = - 2.


. 61

Classificação: uma P.A. é classificada de acordo com a razão. 1- Se r > 0 ⇒ a P.A. é crescente. 2- Se r < 0 ⇒ a P.A. é decrescente. 3- Se r = 0 ⇒ a P.A. é constante. Fórmula do Termo Geral Em toda P.A., cada termo é o anterior somado com a razão, então temos: 1° termo: a1 2° termo: a2 = a1 + r 3° termo: a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r 4° termo: a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r 5° termo: a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r 6° termo: a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r . . . . . . . . . . . . . . . . . . n° termo é:

Fórmula da soma dos n primeiros termos

Propriedades: 1- Numa P.A. a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Exemplo 1: (1, 3, 5, 7, 9, 11,......)

Exemplo 2: (2, 8, 14, 20, 26, 32, 38,......)

- como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um

termo no meio (20) que é chamado de termo médio e é igual a metade da soma dos extremos. Porém, só existe termos médio se houver um número ímpar de termos.

2- Numa P.A. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média aritmética dos

anterior com o posterior. Ou seja, (a1, a2, a3,...) <==> a2 =a3

a1.

Exemplo:

𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏). 𝐫

𝐒𝐧 =(𝐚𝟏 + 𝐚𝐧). 𝐧

𝟐


. 62

P.G. – PROGRESSÃO GEOMETRICA Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo

anterior multiplicado por uma constante que é chamada de razão (q). Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4,.......,an,.... Cálculo da razão: a razão de uma P.G. é dada pelo quociente de um termo qualquer pelo termo

imediatamente anterior a ele.

𝑞 =𝑎2

𝑎1=

𝑎3

𝑎2=

𝑎4

𝑎3= ⋯ … … … =

𝑎𝑛

𝑎𝑛−1

Exemplos: - (3, 6, 12, 24, 48,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2 - (-36, -18, -9,

−9

2,

−9

4,...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 36 e razão q =

1

2

- (15, 5, 5

3,

5

9,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q =

1

3

- (- 2, - 6, -18, - 54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 2 e razão q = 3 - (1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = - 3 - (5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1 - (7, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0 - (0, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q indeterminada Classificação: uma P.G. é classificada de acordo com o primeiro termo e a razão. 1- Crescente: quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando

a1 < 0 e 0 < q < 1. 2- Decrescente: quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou

quando a1 < 0 e q > 1. 3- Alternante: quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0. 4- Constante: quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é

também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionaria. 5- Singular: quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0. Fórmula do termo geral Em toda P.G. cada termo o anterior multiplicado pela razão, então temos: 1° termo: a1 2° termo: a2 = a1.q 3° termo: a3 = a2.q = a1.q.q = a1q2 4° termo: a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 5° termo: a5 = a4.q = a1.q3.q = a1.q4 . . . . . . . . . . . . . . . n° termo é:

Soma dos n primeiros termos

an = a1.qn – 1

𝐒𝐧 =𝐚𝟏. (𝐪𝐧 − 𝟏)

𝐪 − 𝟏


. 63

Soma dos infinitos termos (ou Limite da soma) Vamos ver um exemplo: Seja a P.G. (2, 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32,.....) de a1 = 2 e q =

1

2 se colocarmos na forma decimal, temos

(2; 1; 0,5; 0,125; 0,0625; 0,03125;.....) se efetuarmos a somas destes termos: 2 + 1 = 3 3 + 0,5 = 3,5 3,5 + 0,25 = 3,75 3,75 + 0,125 = 3,875 3,875 + 0,0625 = 3,9375 3,9375 + 0,03125 = 3,96875 . . . Como podemos observar o número somado vai ficando cada vez menor e a soma tende a um certo

limite. Então temos a seguinte fórmula:

Utilizando no exemplo acima: 𝑆 =

2

1−1

2

=21

2

= 4, logo dizemos que esta P.G. tem um limite que tenda a

4. Produto da soma de n termos

Temos as seguintes regras para o produto, já que esta fórmula está em módulo: 1- O produto de n números positivos é sempre positivo. 2- No produto de n números negativos: a) se n é par: o produto é positivo. b) se n é ímpar: o produto é negativo. Propriedades 1- Numa P.G., com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto

destes extremos. Exemplos 1: (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384,....)

Exemplo 2: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,....)

𝐒 =𝐚𝟏

𝟏 − 𝐪 → −𝟏 < 𝐪 < 𝟏

|𝐏𝐧| = √(𝐚𝟏. 𝐚𝐧)𝐧


. 64

- como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um termo no meio (8) que é chamado de termo médio e é igual a raiz quadrada do produto dos extremos. Porém, só existe termos médio se houver um número ímpar de termos.

2- Numa P.G. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média geométrica do

termo anterior com o termo posterior. Ou seja, (a1, a2, a3,...) <==> a2 = √a3. a1. Exemplo:

Questões 01. (Pref. Amparo/SP – Agente Escolar – CONRIO/2014) Descubra o 99º termo da P.A. (45, 48,

51,...) (A) 339 (B) 337 (C) 333 (D) 331 02. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) Uma sequência inicia-se com

o número 0,3. A partir do 2º termo, a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0,07. Dessa maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é

(A) –6,7. (B) 0,23. (C) –3,1. (D) –0,03. (E) –0,23. 03. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em

que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a: (A) 58 (B) 59 (C) 60 (D) 61 (E) 62 04. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é: (A) 3,1 (B) 3,9 (C) 3,99 (D) 3, 999 (E) 4 05. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP/2014)

Observe a sequência: 1; 2; 4; 8;... Qual é a soma do sexto termo com o oitavo termo? (A) 192 (B) 184 (C) 160 (D) 128 (E) 64


. 65

06. (PREF. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO – CONSULPLAN/2013) O primeiro e o terceiro termos de uma progressão geométrica crescente são, respectivamente, 4 e 100. A soma do segundo e quarto termos dessa sequência é igual a

(A) 210. (B) 250. (C) 360. (D) 480. (E) 520. 07. (TRF 3ª – Analista Judiciário - Informática – FCC/2014) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas.

Se fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na terceira, 64 grãos na quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser colocado na 64ª casa desse tabuleiro seria igual a

(A) 264. (B) 2126. (C) 266. (D) 2128. (E) 2256.

08. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP/2014) Planejando uma operação de policiamento

ostensivo, um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P, conforme mostrado na figura.

Sabe-se que as medidas dos raios r, r1 e r2 estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Se r + r1

+ r2 = 52 cm, e r . r2 = 144 cm, então r + r2 é igual, em centímetros, a (A) 36. (B) 38. (C) 39. (D) 40. (E) 42. 09. (EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP/2014) Observe a sequência numérica a

seguir: 11; 15; 19; 23;... Qual é o sétimo termo desta sequência? (A) 27. (B) 31. (C) 35. (D) 37. (E) 39 10. (METRÔ/SP – USINADOR FERRAMENTEIRO – FCC/2014) O setor de almoxarifado do Metrô

necessita numerar peças de 1 até 100 com adesivos. Cada adesivo utilizado no processo tem um único algarismo de 0 a 9. Por exemplo, para fazer a numeração da peça número 100 são gastos três adesivos (um algarismo 1 e dois algarismos 0). Sendo assim, o total de algarismos 9 que serão usados no processo completo de numeração das peças é igual a

(A) 20.


. 66

(B) 10. (C) 19. (D) 18. (E) 9. 11. (MPE/AM – AGENTE DE APOIO- ADMINISTRATIVO – FCC/2013) Considere a sequência

numérica formada pelos números inteiros positivos que são divisíveis por 4, cujos oito primeiros elementos são dados a seguir. (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...)

O último algarismo do 234º elemento dessa sequência é (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8

Respostas

01. Resposta: A. r = 48 – 45 = 3 𝑎1 = 45 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑎99 = 45 + 98 ∙ 3 = 339 02. Resposta: D. 𝑎𝑛 = 𝑎1 − (𝑛 − 1)𝑟 𝑎4 = 0,3 − 3.0,07 = 0,09 𝑎7 = 0,3 − 6.0,07 = −0,12 𝑆 = 𝑎4 + 𝑎7 = 0,09 − 0,12 = −0,03 03. Resposta: B. Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 -

(10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …).

Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato: (1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1 Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está

intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: - Se n (índice da sucessão) é ímpar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2; - Se n é par temos n = 2i ou i = n/2. Daqui e de (1) obtemos que: an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar an = 8 + (n/2) - 1 se n é par Logo: a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37 E, portanto: a30 + a55 = 22 + 37 = 59. 04. Resposta: E. Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009;…) de

razão q = 0,09/0,9 = 0,1. Assim: S = 3 + S1 Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1: S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4 05. Resposta: C. Esta sequência é do tipo 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 . Assim: 𝑎6 = 26−1 = 25 = 32


. 67

𝑎8 = 28−1 = 27 = 128 A soma fica: 32 + 128 = 160. 06. Resposta: E. 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞2

100 = 4 ∙ 𝑞2 𝑞2 = 25 𝑞 = 5

𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 = 4 ∙ 5 = 20 𝑎4 = 𝑎3 ∙ 𝑞 = 100 ∙ 5 = 500 𝑎2 + 𝑎4 = 20 + 500 = 520 07. Resposta: B. Pelos valores apresentados, é uma PG de razão 4 A64 = ? a1 = 1 q = 4 n = 64 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞𝑛−1 𝑎𝑛 = 1 ∙ 463 = (22)63 = 2126 08. Resposta: D. Se estão em Progressão Geométrica, então:

𝑟1

𝑟=

𝑟2

𝑟1 , ou seja, 𝑟1 . 𝑟1 = 𝑟 . 𝑟2.

Assim: 𝑟12 = 144

𝑟1 = √144 = 12 𝑐𝑚 Sabemos que r + r1 + r2 = 52. Assim: 𝑟 + 12 + 𝑟2 = 52 𝑟 + 𝑟2 = 52 − 12 𝑟 + 𝑟2 = 40 09. Resposta: C. Trata-se de uma Progressão Aritmética, cuja fórmula do termo geral é

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 𝑛 = 7; 𝑎1 = 11; 𝑟 = 15 − 11 = 4

Assim, 𝑎7 = 11 + (7 − 1). 4 = 11 + 6.4 = 11 + 24 = 35 10. Resposta: A. 99 = 9 + (𝑛 − 1)10 10𝑛 − 10 + 9 = 99 𝑛 = 10 Vamos tirar o 99 pra ser contato a parte: 10-1=9 99 = 90 + (𝑛 − 1) 𝑛 = 99 − 90 + 1 = 10 São 19 números que possuem o algarismo 9, mas o 99 possui 2 19+1=20 11. Resposta: D. r = 4 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑎234 = 4 + 233 ∙ 4 = 936 Portanto, o último algarismo é 6.


. 68

LÓGICA SEQUENCIAL O Raciocínio é uma operação lógica, discursiva e mental. Neste, o intelecto humano utiliza uma ou

mais proposições, para concluir através de mecanismos de comparações e abstrações, quais são os dados que levam às respostas verdadeiras, falsas ou prováveis. Foi pelo processo do raciocínio que ocorreu o desenvolvimento do método matemático, este considerado instrumento puramente teórico e dedutivo, que prescinde de dados empíricos. Logo, resumidamente o raciocínio pode ser considerado também um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas, sendo parte do pensamento.

Sequências Lógicas As sequências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, etc. Existem várias formas

de se estabelecer uma sequência, o importante é que existem pelo menos três elementos que caracterize a lógica de sua formação, entretanto algumas séries necessitam de mais elementos para definir sua lógica. Algumas sequências são bastante conhecidas e todo aluno que estuda lógica deve conhecê-las, tais como as progressões aritméticas e geométricas, a série de Fibonacci, os números primos e os quadrados perfeitos.

Sequência de Números Progressão Aritmética: Soma-se constantemente um mesmo número.

Progressão Geométrica: Multiplica-se constantemente um mesmo número.

Incremento em Progressão: O valor somado é que está em progressão.

Série de Fibonacci: Cada termo é igual a soma dos dois anteriores.

1 1 2 3 5 8 13 Números Primos: Naturais que possuem apenas dois divisores naturais.

2 3 5 7 11 13 17 Quadrados Perfeitos: Números naturais cujas raízes são naturais.

1 4 9 16 25 36 49 Sequência de Letras As sequências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, devemos

escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para entender a lógica proposta.

A C F J O U

Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses números estão em progressão.


. 69

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

B1 2F H4 8L N16 32R T64 Nesse caso, associou-se letras e números (potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3,

1, 3, 1, 3 e 1 posições.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T Sequência de Pessoas Na série a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão

em uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º,...) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna, ficando para cima em uma posição múltipla de dois (2º, 4º, 6º, 8º,...). Sendo assim, a sequência se repete a cada seis termos, tornando possível determinar quem estará em qualquer posição.

Sequência de Figuras Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente

sofrer rotações, como nos exemplos a seguir.

Sequência de Fibonacci O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica:

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento de modelos explicativos de fenômenos naturais.

Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam a sequência de Fibonacci.


. 70

Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da sequência de Fibonacci.

O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do

edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada retângulo áureo ou retângulo de ouro.

Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos:

𝑦

𝑎=

𝑎

𝑏 (1).

Como: b = y – a (2). Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. Resolvendo a equação:

𝑦 =𝑎(1±√5

2 em que (

1−√5

2< 0) não convém.

Logo: 𝑦

𝑎=

(1+√5

2= 1,61803398875

Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por:

𝜃 =1 + √5

2

Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃 é chamado retângulo áureo

como o caso da fachada do Partenon. As figuras a seguir possuem números que representam uma sequência lógica. Veja os exemplos: Exemplo 1


. 71

A sequência numérica proposta envolve multiplicações por 4. 6 x 4 = 24 24 x 4 = 96 96 x 4 = 384 384 x 4 = 1536 Exemplo 2

A diferença entre os números vai aumentando 1 unidade. 13 – 10 = 3 17 – 13 = 4 22 – 17 = 5 28 – 22 = 6 35 – 28 = 7 Exemplo 3

Multiplicar os números sempre por 3. 1 x 3 = 3 3 x 3 = 9 9 x 3 = 27 27 x 3 = 81 81 x 3 = 243 243 x 3 = 729 729 x 3 = 2187 Exemplo 4

A diferença entre os números vai aumentando 2 unidades. 24 – 22 = 2 28 – 24 = 4


. 72

34 – 28 = 6 42 – 34 = 8 52 – 42 = 10 64 – 52 = 12 78 – 64 = 14

Questões 01. Observe atentamente a disposição das cartas em cada linha do esquema seguinte:

A carta que está oculta é: (A) (B) (C)

(D) (E)

02. Considere que a sequência de figuras foi construída segundo um certo critério.

Se tal critério for mantido, para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de número

15 deverá ser: (A) 69 (B) 67


. 73

(C) 65 (D) 63 (E) 61 03. O próximo número dessa sequência lógica é: 1000, 990, 970, 940, 900, 850, ... (A) 800 (B) 790 (C) 780 (D) 770 04. Na sequência lógica de números representados nos hexágonos, da figura abaixo, observa-se a

ausência de um deles que pode ser:

(A) 76 (B) 10 (C) 20 (D) 78 05. Uma criança brincando com uma caixa de palitos de fósforo constrói uma sequência de quadrados

conforme indicado abaixo:

............. 1° 2° 3°

Quantos palitos ele utilizou para construir a 7ª figura? (A) 20 palitos (B) 25 palitos (C) 28 palitos (D) 22 palitos 06. Ana fez diversas planificações de um cubo e escreveu em cada um, números de 1 a 6. Ao montar

o cubo, ela deseja que a soma dos números marcados nas faces opostas seja 7. A única alternativa cuja figura representa a planificação desse cubo tal como deseja Ana é:

(A) (B)

(C) (D)


. 74

(E)

07. As figuras da sequência dada são formadas por partes iguais de um círculo.

Continuando essa sequência, obtém-se exatamente 16 círculos completos na: (A) 36ª figura (B) 48ª figura (C) 72ª figura (D) 80ª figura (E) 96ª figura 08. Analise a sequência a seguir:

Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar

que a figura que ocuparia a 277ª posição dessa sequência é: (A) (B) (C)

(D) (E)

09. Observe a sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... Qual é o próximo número? (A) 20 (B) 21 (C) 100 (D) 200 10. Observe a sequência: 3,13, 30, ... Qual é o próximo número? (A) 4 (B) 20 (C) 31 (D) 21 11. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério. LACRAÇÃO cal AMOSTRA soma LAVRAR ?


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Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é: (A) alar (B) rala (C) ralar (D) larva (E) arval 12. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padrão.

Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é:

(A) (B) (C) (D) (E) 13. Observe que na sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo a uma lei de

formação.

Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X + Y é igual a: (A) 40 (B) 42 (C) 44 (D) 46 (E) 48 14. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo, segundo determinado

critério.

Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letra “K”, “W” e “Y”, a letra que substitui

corretamente o ponto de interrogação é: (A) P (B) O (C) N (D) M (E) L


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15. Considere que a sequência seguinte é formada pela sucessão natural dos números inteiros e positivos, sem que os algarismos sejam separados.

1234567891011121314151617181920...

O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa sequência é: (A) 9 (B) 8 (C) 6 (D) 3 (E) 1 16. Em cada linha abaixo, as três figuras foram desenhadas de acordo com determinado padrão.

Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é:

(A) (B)

(C) (D)

(E) 17. Observe que, na sucessão de figuras abaixo, os números que foram colocados nos dois primeiros

triângulos obedecem a um mesmo critério.

Para que o mesmo critério seja mantido no triângulo da direita, o número que deverá substituir o ponto

de interrogação é: (A) 32 (B) 36 (C) 38 (D) 42 (E) 46 18. Considere a seguinte sequência infinita de números: 3, 12, 27, __, 75, 108,... O número que

preenche adequadamente a quarta posição dessa sequência é: (A) 36, (B) 40,


. 77

(C) 42, (D) 44, (E) 48 19. Observando a sequência (1,

1

2 ,

1

6 ,

1

12 ,

1

20 , ...) o próximo numero será:

(A) 1

24

(B)

1

30

(C)

1

36

(D)

1

40

20. Considere a sequência abaixo:

BBB BXB XXB XBX XBX XBX BBB BXB BXX

O padrão que completa a sequência é: (A) (B) (C) XXX XXB XXX XXX XBX XXX XXX BXX XXB (D) (E) XXX XXX XBX XBX XXX BXX 21. Na série de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos

precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definição, são 0 e 1, o sexto termo da série é:

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 22. Nosso código secreto usa o alfabeto A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z. Do seguinte

modo: cada letra é substituída pela letra que ocupa a quarta posição depois dela. Então, o “A” vira “E”, o “B” vira “F”, o “C” vira “G” e assim por diante. O código é “circular”, de modo que o “U” vira “A” e assim por diante. Recebi uma mensagem em código que dizia: BSA HI EDAP. Decifrei o código e li:

(A) FAZ AS DUAS; (B) DIA DO LOBO; (C) RIO ME QUER; (D) VIM DA LOJA; (E) VOU DE AZUL. 23. A sentença “Social está para laicos assim como 231678 está para...” é melhor completada por: (A) 326187; (B) 876132; (C) 286731; (D) 827361; (E) 218763.


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24. A sentença “Salta está para Atlas assim como 25435 está para...” é melhor completada pelo seguinte número:

(A) 53452; (B) 23455; (C) 34552; (D) 43525; (E) 53542. 25. Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se criar 4 números

de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um número de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns números desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de números de dois algarismos que esse número tem em comum com o número procurado.

Número

dado Quantidade de números de 2

algarismos em comum 48.765 1 86.547 0 87.465 2 48.675 1

O número procurado é: (A) 87456 (B) 68745 (C) 56874 (D) 58746 (E) 46875 26. Considere que os símbolos e que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações

que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra na coluna da extrema direita.

36 4 5 = 14 48 6 9 = 17 54 9 7 = ?

Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído

pelo número: (A) 16 (B) 15 (C) 14 (D) 13 (E) 12 27. Segundo determinado critério, foi construída a sucessão seguinte, em que cada termo é composto

de um número seguido de uma letra: A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – .... Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá anteceder o número 12 é:

(A) J (B) L (C) M (D) N (E) O 28. Os nomes de quatro animais – MARÁ, PERU, TATU e URSO – devem ser escritos nas linhas da

tabela abaixo, de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e, na diagonal sombreada, possa ser lido o nome de um novo animal.


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Excluídas do alfabeto as letras K, W e Y e fazendo cada letra restante corresponder ordenadamente

aos números inteiros de 1 a 23 (ou seja, A = 1, B = 2, C = 3,..., Z = 23), a soma dos números que correspondem às letras que compõem o nome do animal é:

(A) 37 (B) 39 (C) 45 (D) 49 (E) 51 Nas questões 29 e 30, observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A

mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Considere que a ordem alfabética adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y.

29. CASA: LATA: LOBO: ? (A) SOCO (B) TOCO (C) TOMO (D) VOLO (E) VOTO 30. ABCA: DEFD: HIJH: ? (A) IJLI (B) JLMJ (C) LMNL (D) FGHF (E) EFGE 31. Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação (0, 1, 3, 4, 12,

123,...). Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa sequência é um número: (A) Menor que 200. (B) Compreendido entre 200 e 400. (C) Compreendido entre 500 e 700. (D) Compreendido entre 700 e 1.000. (E) Maior que 1.000. Para responder às questões de números 32 e 33, você deve observar que, em cada um dos dois

primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo determinado critério. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para encontrar a palavra que deve ser colocada no lugar do ponto de interrogação.

32. Ardoroso rodo

Dinamizar mina Maratona ?

(A) mana (B) toma (C) tona (D) tora (E) rato 33. Arborizado azar

Asteróide dias Articular ?


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(A) luar (B) arar (C) lira (D) luta (E) rara 34. Preste atenção nesta sequência lógica e identifique quais os números que estão faltando: 1, 1, 2,

__, 5, 8, __,21, 34, 55, __, 144, __... 35. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço seco de 10 metros de profundidade e quer sair de

lá. Durante o dia, ela consegue subir 2 metros pela parede; mas à noite, enquanto dorme, escorrega 1 metro. Depois de quantos dias ela consegue chegar à saída do poço?

36. Quantas vezes você usa o algarismo 9 para numerar as páginas de um livro de 100 páginas? 37. Quantos quadrados existem na figura abaixo?

38. Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados.

39. Qual será o próximo símbolo da sequência abaixo?

40. Reposicione dois palitos e obtenha uma figura com cinco quadrados iguais.

41. Observe as multiplicações a seguir: 12.345.679 × 18 = 222.222.222 12.345.679 × 27 = 333.333.333 ... ... 12.345.679 × 54 = 666.666.666


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Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por quanto? 42. Esta casinha está de frente para a estrada de terra. Mova dois palitos e faça com que fique de

frente para a estrada asfaltada.

43. Remova dois palitos e deixe a figura com dois quadrados.

44. As cartas de um baralho foram agrupadas em pares, segundo uma relação lógica. Qual é a carta

que está faltando, sabendo que K vale 13, Q vale 12, J vale 11 e A vale 1?

45. Mova um palito e obtenha um quadrado perfeito.

46. Qual o valor da pedra que deve ser colocada em cima de todas estas para completar a sequência

abaixo?

47. Mova três palitos nesta figura para obter cinco triângulos.


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48. Tente dispor 6 moedas em 3 fileiras de modo que em cada fileira fiquem apenas 3 moedas.

49. Reposicione três palitos e obtenha cinco quadrados.

50. Mude a posição de quatro palitos e obtenha cinco triângulos.

Respostas 01. Resposta: A. A diferença entre os números estampados nas cartas 1 e 2, em cada linha, tem como resultado o valor

da 3ª carta e, além disso, o naipe não se repete. Assim, a 3ª carta, dentro das opções dadas só pode ser a da opção (A).

02. Resposta: D. Observe que, tomando o eixo vertical como eixo de simetria, tem-se: Na figura 1: 01 ponto de cada lado 02 pontos no total. Na figura 2: 02 pontos de cada lado 04 pontos no total. Na figura 3: 03 pontos de cada lado 06 pontos no total. Na figura 4: 04 pontos de cada lado 08 pontos no total. Na figura n: n pontos de cada lado 2.n pontos no total. Em particular: Na figura 15: 15 pontos de cada lado 30 pontos no total. Agora, tomando o eixo horizontal como eixo de simetria, tem-se: Na figura 1: 02 pontos acima e abaixo 04 pontos no total. Na figura 2: 03 pontos acima e abaixo 06 pontos no total. Na figura 3: 04 pontos acima e abaixo 08 pontos no total. Na figura 4: 05 pontos acima e abaixo 10 pontos no total. Na figura n: (n+1) pontos acima e abaixo 2.(n+1) pontos no total. Em particular: Na figura 15: 16 pontos acima e abaixo 32 pontos no total. Incluindo o ponto central, que ainda não

foi considerado, temos para total de pontos da figura 15: Total de pontos = 30 + 32 + 1 = 63 pontos. 03. Resposta: B. Nessa sequência, observamos que a diferença: entre 1000 e 990 é 10, entre 990 e 970 é 20, entre o

970 e 940 é 30, entre 940 e 900 é 40, entre 900 e 850 é 50, portanto entre 850 e o próximo número é 60, dessa forma concluímos que o próximo número é 790, pois: 850 – 790 = 60.


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04. Resposta: D. Nessa sequência lógica, observamos que a diferença: entre 24 e 22 é 2, entre 28 e 24 é 4, entre 34 e

28 é 6, entre 42 e 34 é 8, entre 52 e 42 é 10, entre 64 e 52 é 12, portanto entre o próximo número e 64 é 14, dessa forma concluímos que o próximo número é 78, pois: 76 – 64 = 14.

05. Resposta: D. Observe a tabela:

Figuras 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª N° de Palitos

4 7 10 13 16 19 22

Temos de forma direta, pela contagem, a quantidade de palitos das três primeiras figuras. Feito isto,

basta perceber que cada figura a partir da segunda tem a quantidade de palitos da figura anterior acrescida de 3 palitos. Desta forma, fica fácil preencher o restante da tabela e determinar a quantidade de palitos da 7ª figura.

06. Resposta: A. Na figura apresentada na letra “B”, não é possível obter a planificação de um lado, pois o 4 estaria do

lado oposto ao 6, somando 10 unidades. Na figura apresentada na letra “C”, da mesma forma, o 5 estaria em face oposta ao 3, somando 8, não formando um lado. Na figura da letra “D”, o 2 estaria em face oposta ao 4, não determinando um lado. Já na figura apresentada na letra “E”, o 1 não estaria em face oposta ao número 6, impossibilitando, portanto, a obtenção de um lado. Logo, podemos concluir que a planificação apresentada na letra “A” é a única para representar um lado.

07. Resposta: B. Como na 3ª figura completou-se um círculo, para completar 16 círculos é suficiente multiplicar 3 por

16: 3. 16 = 48. Portanto, na 48ª figura existirão 16 círculos. 08. Resposta: B. A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. Assim, continua-se a sequência de 5 em 5

elementos. A figura de número 277 ocupa, então, a mesma posição das figuras que representam número 5n + 2, com n ∈ N. Ou seja, a 277ª figura corresponde à 2ª figura, que é representada pela letra “B”.

09. Resposta: D. A regularidade que obedece a sequência acima não se dá por padrões numéricos e sim pela letra que

inicia cada número. “Dois, Dez, Doze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove, ... Enfim, o próximo só pode iniciar também com “D”: Duzentos.

10. Resposta: C. Esta sequência é regida pela inicial de cada número. Três, Treze, Trinta,... O próximo só pode ser o

número Trinta e um, pois ele inicia com a letra “T”. 11. Resposta: E. Na 1ª linha, a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras letras da palavra LACRAÇÃO, mas na ordem

invertida. Da mesma forma, na 2ª linha, a palavra SOMA é retirada da palavra AMOSTRA, pelas 4 primeira letras invertidas. Com isso, da palavra LAVRAR, ao se retirarem as 5 primeiras letras, na ordem invertida, obtém-se ARVAL.

12. Resposta: C. Em cada linha apresentada, as cabeças são formadas por quadrado, triângulo e círculo. Na 3ª linha já

há cabeças com círculo e com triângulo. Portanto, a cabeça da figura que está faltando é um quadrado. As mãos das figuras estão levantadas, em linha reta ou abaixadas. Assim, a figura que falta deve ter as mãos levantadas (é o que ocorre em todas as alternativas). As figuras apresentam as 2 pernas ou abaixadas, ou 1 perna levantada para a esquerda ou 1 levantada para a direita. Nesse caso, a figura que está faltando na 3ª linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda. Logo, a figura tem a cabeça quadrada, as mãos levantadas e a perna erguida para a esquerda.


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13. Resposta: A. Existem duas leis distintas para a formação: uma para a parte superior e outra para a parte inferior. Na

parte superior, tem-se que: do 1º termo para o 2º termo, ocorreu uma multiplicação por 2; já do 2º termo para o 3º, houve uma subtração de 3 unidades. Com isso, X é igual a 5 multiplicado por 2, ou seja, X = 10. Na parte inferior, tem-se: do 1º termo para o 2º termo ocorreu uma multiplicação por 3; já do 2º termo para o 3º, houve uma subtração de 2 unidades. Assim, Y é igual a 10 multiplicado por 3, isto é, Y = 30. Logo, X + Y = 10 + 30 = 40.

14. Resposta: A. A sequência do alfabeto inicia-se na extremidade direita do triângulo, pela letra “A”; aumenta a direita

para a esquerda; continua pela 3ª e 5ª linhas; e volta para as linhas pares na ordem inversa – pela 4ª linha até a 2ª linha. Na 2ª linha, então, as letras são, da direita para a esquerda, “M”, “N”, “O”, e a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é a letra “P”.

15. Resposta: B. A sequência de números apresentada representa a lista dos números naturais. Mas essa lista contém

todos os algarismos dos números, sem ocorrer a separação. Por exemplo: 101112 representam os números 10, 11 e 12. Com isso, do número 1 até o número 9 existem 9 algarismos. Do número 10 até o número 99 existem: 2 x 90 = 180 algarismos. Do número 100 até o número 124 existem: 3 x 25 = 75 algarismos. E do número 124 até o número 128 existem mais 12 algarismos. Somando todos os valores, tem-se: 9 + 180 + 75 + 12 = 276 algarismos. Logo, conclui-se que o algarismo que ocupa a 276ª posição é o número 8, que aparece no número 128.

16. Resposta: D. Na 1ª linha, internamente, a 1ª figura possui 2 “orelhas”, a 2ª figura possui 1 “orelha” no lado esquerdo

e a 3ª figura possui 1 “orelha” no lado direito. Esse fato acontece, também, na 2ª linha, mas na parte de cima e na parte de baixo, internamente em relação às figuras. Assim, na 3ª linha ocorrerá essa regra, mas em ordem inversa: é a 3ª figura da 3ª linha que terá 2 “orelhas” internas, uma em cima e outra em baixo. Como as 2 primeiras figuras da 3ª linha não possuem “orelhas” externas, a 3ª figura também não terá orelhas externas. Portanto, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é a 4ª.

17. Resposta: B. No 1º triângulo, o número que está no interior do triângulo dividido pelo número que está abaixo é igual

à diferença entre o número que está à direita e o número que está à esquerda do triângulo: 40 : 5 = 21 - 13 = 8.

A mesma regra acontece no 2º triângulo: 42 ÷ 7 = 23 - 17 = 6. Assim, a mesma regra deve existir no 3º triângulo: ? ÷ 3 = 19 – 7 ? ÷ 3 = 12 ? = 12 x 3 = 36. 18. Resposta: E. Verifique os intervalos entre os números que foram fornecidos. Dado os números 3, 12, 27, __, 75,

108, obteve-se os seguintes 9, 15, __, __, 33 intervalos. Observe que 3x3, 3x5, 3x7, 3x9, 3x11. Logo 3x7 = 21 e 3x 9 = 27. Então: 21 + 27 = 48.

19. Resposta: B. Observe que o numerador é fixo, mas o denominador é formado pela sequência:

Primeiro Segundo Terceiro Quarto Quinto Sexto 1 1 x 2 = 2 2 x 3 = 6 3 x 4 = 12 4 x 5 = 20 5 x 6 = 30

20. Resposta: D. O que de início devemos observar nesta questão é a quantidade de B e de X em cada figura. Vejamos: BBB BXB XXB XBX XBX XBX BBB BXB BXX 7B e 2X 5B e 4X 3B e 6X


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Vê-se, que os “B” estão diminuindo de 2 em 2 e que os “X” estão aumentando de 2 em 2; notem também que os “B” estão sendo retirados um na parte de cima e um na parte de baixo e os “X” da mesma forma, só que não estão sendo retirados, estão, sim, sendo colocados. Logo a 4ª figura é:

XXX XBX XXX 1B e 8X 21. Resposta: D. Montando a série de Fibonacci temos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... A resposta da questão é a

alternativa “D”, pois como a questão nos diz, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos precedentes. 2 + 3 = 5

22. Resposta: E. A questão nos informa que ao se escrever alguma mensagem, cada letra será substituída pela letra

que ocupa a quarta posição, além disso, nos informa que o código é “circular”, de modo que a letra “U” vira “A”. Para decifrarmos, temos que perceber a posição do emissor e do receptor. O emissor ao escrever a mensagem conta quatro letras à frente para representar a letra que realmente deseja, enquanto que o receptor, deve fazer o contrário, contar quatro letras atrás para decifrar cada letra do código. No caso, nos foi dada a frase para ser decifrada, vê-se, pois, que, na questão, ocupamos a posição de receptores. Vejamos a mensagem: BSA HI EDAP. Cada letra da mensagem representa a quarta letra anterior de modo que:

VxzaB: B na verdade é V; OpqrS: S na verdade é O; UvxzA: A na verdade é U; DefgH: H na verdade é D; EfghI: I na verdade é E; AbcdE: E na verdade é A; ZabcD: D na verdade é Z; UvxaA: A na verdade é U; LmnoP: P na verdade é L; 23. Resposta: B. A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra e, em seguida, nos traz uma

sequência numérica. É perguntado qual sequência numérica tem a mesma ralação com a sequência numérica fornecida, de maneira que, a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observando as duas palavras dadas, podemos perceber facilmente que têm cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Tal ordem, nada mais é, do que a primeira palavra de trás para frente, de maneira que SOCIAL vira LAICOS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida, temos: 231678 viram 876132, sendo esta a resposta.

24. Resposta: A. A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra, e em seguida, nos traz uma

sequência numérica. Foi perguntado qual a sequência numérica que tem relação com a já dada de maneira que a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observando as duas palavras dadas podemos perceber facilmente que tem cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Essa ordem diferente nada mais é, do que a primeira palavra de trás para frente, de maneira que SALTA vira ATLAS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida temos: 25435 vira 53452, sendo esta a resposta.

25. Resposta: E. Pelo número 86.547, tem-se que 86, 65, 54 e 47 não acontecem no número procurado. Do número

48.675, as opções 48, 86 e 67 não estão em nenhum dos números apresentados nas alternativas. Portanto, nesse número a coincidência se dá no número 75. Como o único número apresentado nas alternativas que possui a sequência 75 é 46.875, tem-se, então, o número procurado.


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26. Resposta: D. O primeiro símbolo representa a divisão e o 2º símbolo representa a soma. Portanto, na 1ª linha, tem-

se: 36 4 + 5 = 9 + 5 = 14. Na 2ª linha, tem-se: 48 6 + 9 = 8 + 9 = 17. Com isso, na 3ª linha, ter-se-á: 54 9 + 7 = 6 + 7 = 13. Logo, podemos concluir então que o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número 13.

27. Resposta: A. As letras que acompanham os números ímpares formam a sequência normal do alfabeto. Já a

sequência que acompanha os números pares inicia-se pela letra “E”, e continua de acordo com a sequência normal do alfabeto: 2ª letra: E, 4ª letra: F, 6ª letra: G, 8ª letra: H, 10ª letra: I e 12ª letra: J.

28. Resposta: D. Escrevendo os nomes dos animais apresentados na lista – MARÁ, PERU, TATU e URSO, na seguinte

ordem: PERU, MARÁ, TATU e URSO, obtém-se na tabela:

P E R U M A R A T A T U U R S O

O nome do animal é PATO. Considerando a ordem do alfabeto, tem-se: P = 15, A = 1, T = 19 e 0 = 14.

Somando esses valores, obtém-se: 15 + 1 + 19 + 14 = 49. 29. Resposta: B. Na 1ª e na 2ª sequências, as vogais são as mesmas: letra “A”. Portanto, as vogais da 4ª sequência de

letras deverão ser as mesmas da 3ª sequência de letras: “O”. A 3ª letra da 2ª sequência é a próxima letra do alfabeto depois da 3ª letra da 1ª sequência de letras. Portanto, na 4ª sequência de letras, a 3ª letra é a próxima letra depois de “B”, ou seja, a letra “C”. Em relação à primeira letra, tem-se uma diferença de 7 letras entre a 1ª letra da 1ª sequência e a 1ª letra da 2ª sequência. Portanto, entre a 1ª letra da 3ª sequência e a 1ª letra da 4ª sequência, deve ocorrer o mesmo fato. Com isso, a 1ª letra da 4ª sequência é a letra “T”. Logo, a 4ª sequência de letras é: T, O, C, O, ou seja, TOCO.

30. Resposta: C. Na 1ª sequência de letras, ocorrem as 3 primeiras letras do alfabeto e, em seguida, volta-se para a 1ª

letra da sequência. Na 2ª sequência, continua-se da 3ª letra da sequência anterior, formando-se DEF, voltando-se novamente, para a 1ª letra desta sequência: D. Com isto, na 3ª sequência, têm-se as letras HIJ, voltando-se para a 1ª letra desta sequência: H. Com isto, a 4ª sequência iniciará pela letra L, continuando por M e N, voltando para a letra L. Logo, a 4ª sequência da letra é: LMNL.

31. Resposta: E. Do 1º termo para o 2º termo, ocorreu um acréscimo de 1 unidade. Do 2º termo para o 3º termo, ocorreu

a multiplicação do termo anterior por 3. E assim por diante, até que para o 7º termo temos 13 . 3 = 39. 8º termo = 39 + 1 = 40. 9º termo = 40 . 3 = 120. 10º termo = 120 + 1 = 121. 11º termo = 121 . 3 = 363. 12º termo = 363 + 1 = 364. 13º termo = 364 . 3 = 1.092. Portanto, podemos concluir que o 13º termo da sequência é um número maior que 1.000.

32. Resposta: D. Da palavra “ardoroso”, retiram-se as sílabas “do” e “ro” e inverteu-se a ordem, definindo-se a palavra

“rodo”. Da mesma forma, da palavra “dinamizar”, retiram-se as sílabas “na” e “mi”, definindo-se a palavra “mina”. Com isso, podemos concluir que da palavra “maratona”. Deve-se retirar as sílabas “ra” e “to”, criando-se a palavra “tora”.

33. Resposta: A. Na primeira sequência, a palavra “azar” é obtida pelas letras “a” e “z” em sequência, mas em ordem

invertida. Já as letras “a” e “r” são as 2 primeiras letras da palavra “arborizado”. A palavra “dias” foi obtida da mesma forma: As letras “d” e “i” são obtidas em sequência, mas em ordem invertida. As letras “a” e “s” são as 2 primeiras letras da palavra “asteroides”. Com isso, para a palavras “articular”, considerando as letras “i” e “u”, que estão na ordem invertida, e as 2 primeiras letras, obtém-se a palavra “luar”.


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34. O nome da sequência é Sequência de Fibonacci. O número que vem é sempre a soma dos dois números imediatamente atrás dele. A sequência correta é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

35.

Dia Subida Descida 1º 2m 1m 2º 3m 2m 3º 4m 3m 4º 5m 4m 5º 6m 5m 6º 7m 6m 7º 8m 7m 8º 9m 8m 9º 10m ----

Portanto, depois de 9 dias ela chegará na saída do poço. 36. 09 – 19 – 29 – 39 – 49 – 59 – 69 – 79 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99.

Portanto, são necessários 20 algarismos. 37.

= 16

= 09

= 04

=01 Portanto, há 16 + 9 + 4 + 1 = 30 quadrados. 38.

39. Os símbolos são como números em frente ao espelho. Assim, o próximo símbolo será 88. 40.


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41. 12.345.679 × (2×9) = 222.222.222 12.345.679 × (3×9) = 333.333.333 ... ... 12.345.679 × (4×9) = 666.666.666 Portanto, para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por (9x9) = 81 42.

43.

44. Sendo A = 1, J = 11, Q = 12 e K = 13, a soma de cada par de cartas é igual a 14 e o naipe de paus

sempre forma par com o naipe de espadas. Portanto, a carta que está faltando é o 6 de espadas. 45.

46. Observe que:

3 6 18 72 360 2160 15120 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Portanto, a próxima pedra terá que ter o valor: 15.120 x 8 = 120.960 47.

48.


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49.

50.

CONCEITOS LÓGICOS A lógica a qual conhecemos hoje foi definida por Aristóteles, constituindo-a como uma ciência

autônoma que se dedica ao estudo dos atos do pensamento (Conceito, Juízo, Raciocínio, Demonstração) do ponto de vista da sua estrutura ou forma lógica, sem ter em conta qualquer conteúdo material.

Falar de Lógica durante séculos, era o mesmo que falar da lógica aristotélica. Apesar dos enormes avanços da lógica, sobretudo a partir do século XIX, a matriz aristotélica persiste até aos nossos dias. A lógica de Aristóteles tinha objetivo metodológico, a qual tratava de mostrar o caminho correto para a investigação, o conhecimento e a demonstração científicas. O método científico que ele preconizava assentava nos seguintes fases:

1. Observação de fenômenos particulares; 2. Intuição dos princípios gerais (universais) a que os mesmos obedeciam; 3. Dedução a partir deles das causas dos fenômenos particulares. Por este e outros motivos Aristóteles é considerado o pai da Lógica Formal. A lógica matemática (ou lógica formal) estuda a lógica segundo a sua estrutura ou forma. A lógica

matemática consiste em um sistema dedutivo de enunciados que tem como objetivo criar um grupo de leis e regras para determinar a validade dos raciocínios. Assim, um raciocínio é considerado válido se é possível alcançar uma conclusão verdadeira a partir de premissas verdadeiras.

Em sentido mais amplo podemos dizer que a Lógica está relacionado a maneira específica de raciocinar de forma acertada, isto é, a capacidade do indivíduo de resolver problemas complexos que envolvem questões matemáticas, os sequências de números, palavras, entre outros e de desenvolver essa capacidade de chegar a validade do seu raciocínio.

O estudo das estruturas lógicas, consiste em aprendemos a associar determinada preposição ao

conectivo correspondente. Mas é necessário aprendermos alguns conceitos importantes para o aprendizado.

Conceito de proposição Chama-se proposição a todo conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensamento ou

uma ideia de sentido completo.

Raciocínio lógico-matemático: proposições, conectivos, equivalência e implicação lógica, argumentos válidos.


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Assim, as proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados conceitos ou entes. Esses fatos ou juízos afirmados pela proposição em questão deverão sempre ter um valor verdadeiro (V) ou um valor falso (F), senão a frase em si não constituirá uma proposição lógica, e sim apenas uma frase.

Vejamos alguns exemplos de proposições: A) Júpiter é o maior planeta do sistema Solar. B) Salvador é a capital do Brasil. C) Todos os músicos são românticos. Observe que a todas as frases podemos atribuir um valor lógico (V ou F). A Lógica matemática adota como regra fundamental dois princípios (ou axiomas):

I – PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser

verdadeira E falsa ao mesmo tempo. II – PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição OU é

verdadeira OU é falsa, verificamos sempre um desses casos, NUNCA existindo um terceiro caso.

Valores lógicos das proposições

Chamamos de valor lógico de uma proposição a verdade, se a proposição é verdadeira (V), e a

falsidade, se a proposição é falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos verdade e falsidade respectivamente.

Com base nas duas regras fundamentais que norteiam a Lógica Matemática (Princípios da não Contradição e do Terceiro Excluído), podemos afirmar que:

“Toda proposição tem um, e somente um, dos valores, que são: V ou F.”

Consideremos as seguintes proposições e os seus respectivos valores lógicos: a) A velocidade de um corpo é inversamente proporcional ao seu tempo. (V) b) A densidade da madeira é maior que a da água. (F)

A maioria das proposições são proposições contingenciais, ou seja, dependem do contexto para sua análise. Assim, por exemplo, se considerarmos a proposição simples:

“Existe vida após a morte”, ela poderá ser verdadeira (do ponto de vista da religião espírita) ou falsa (do ponto de vista da religião católica); mesmo assim, em ambos os casos, seu valor lógico é único — ou verdadeiro ou falso.

Classificação de uma proposição Uma proposição pode ser classificada como: 1) Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou

valorar a proposição!), portanto, não é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas: a) Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem? b) Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso! c) Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão. d) Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é verdadeira”

(expressão paradoxal) – O cavalo do meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 3 + 7


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2) Sentença fechada: quando a proposição admitir um único valor lógico, seja ele verdadeiro ou falso, nesse caso, será considerada uma frase, proposição ou sentença lógica.

Uma forma de identificarmos se uma frase simples é ou não considerada frase lógica, ou sentença, ou ainda proposição, é pela presença de:

- sujeito simples: "Carlos é médico"; - sujeito composto: "Rui e Nathan são irmãos"; - sujeito inexistente: "Choveu" - verbo, que representa a ação praticada por esse sujeito, e estar sujeita à

apreciação de julgamento de ser verdadeira (V) ou falsa (F), caso contrário, não será considerada proposição.

Atenção: orações que não tem sujeito NÃO são consideradas proposições

lógicas.

Observe mais alguns exemplos:

Frase Sujeito Verbo Conclusão Maria é baiana Maria (simples) É (ser) É uma frase lógica Lia e Maria têm dois irmãos

Lia e Maria (composto) Têm (ter) É uma frase lógica

Ventou hoje Inexistente Ventou (ventar) É uma frase lógica Um lindo livro de literatura

Um lindo livro Frase sem verbo NÂO é uma frase lógica

Manobrar esse carro Frase sem sujeito Manobrar NÂO é uma frase lógica Existe vida em Marte Vida Existir É uma frase lógica

Sentenças representadas por variáveis a) x + 4 > 5; b) Se x > 1, então x + 5 < 7; c) x = 3 se, e somente se, x + y = 15. Classificação das proposições As proposições podem ser classificadas em quatro tipos diferentes: 1. Proposições simples (ou atômicas). 2. Proposições compostas (ou moleculares. 3. Proposições categóricas. 4. Proposições quantificadas (ou funcionais). Observação: Os termos “atômicos” e “moleculares” referem-se à quantidade de verbos presentes na

frase. Consideremos uma frase com apenas um verbo, então ela será dita atômica, pois se refere a apenas um único átomo (1 verbo = 1 átomo); consideremos, agora, uma frase com mais de um verbo, então ela será dita molecular, pois se refere a mais de um átomo (mais de um átomo = uma molécula).

Conceito de Tabela Verdade É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. Nela, é representada cada

proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos possíveis. Partimos do Princípio do Terceiro Excluído, toda proposição simples é verdadeira ou falsa , tendo os valores lógicos V (verdade) ou F (falsidade).

Quando trabalhamos com as proposições compostas, determinamos o seu valor lógico partindo das proposições simples que a compõe.


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O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados.

Questão

01. (Cespe/UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir: • “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” • A expressão x + y é positiva. • O valor de √4 + 3 = 7. • Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. • O que é isto? Há exatamente: (A) uma proposição; (B) duas proposições; (C) três proposições; (D) quatro proposições; (E) todas são proposições.

Resposta 01. Resposta: B. Analisemos cada alternativa: (A) “A frase dentro destas aspas é uma mentira”, não podemos atribuir valores lógicos a ela, logo não

é uma sentença lógica. (B) A expressão x + y é positiva, não temos como atribuir valores lógicos, logo não é sentença lógica. (C) O valor de √4 + 3 = 7; é uma sentença lógica pois podemos atribuir valores lógicos, independente

do resultado que tenhamos (D) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira, também podemos atribuir valores lógicos (não

estamos considerando a quantidade certa de gols, apenas se podemos atribuir um valor de V ou F a sentença).

(E) O que é isto? - como vemos não podemos atribuir valores lógicos por se tratar de uma frase interrogativa.

ESTRUTURAS LÓGICAS – ESTUDO DAS PROPOSIÇÕES E DOS CONECTIVOS

Definições - Proposições simples (ou atômicas): aquela que NÃO contém nenhuma outra proposição como parte

integrante de si mesma. As proposições simples são designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r, s..., chamadas letras proposicionais.

Exemplos r: Carlos é careca. s: Pedro é estudante. a: O céu é verde. - Proposições compostas (ou moleculares): aquela formada pela combinação de duas ou mais

proposições simples. Elas também são chamadas de estruturas lógicas. As proposições compostas são designadas pelas letras latinas maiúsculas P,Q,R, R..., também chamadas letras proposicionais.


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Exemplos P: Carlos é careca e Pedro é estudante. Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. R: Se Carlos é careca, então é triste. Observamos que todas as proposições compostas são formadas por duas proposições simples.

No campo gramatical conseguimos identificar uma porposição simples ou composta pela quantidade de

verbos existentes na frase. Então uma frase que contenha um verbo é uma proposição simples, que contenha mais de um verbo é uma proposição composta. Este conceito

não foge ao aplicado aos do princípios lógicos.

Operadores Lógicos Temos dois tipos - os modificadores: têm por finalidade modificar (alterar) o valor lógico de uma proposição, seja ela

qual for. Exemplo: Não vou trabalhar neste sábado. (o não modificou o valor lógico). - os conectivos (concectores lógicos): palavras usadas para formar novas proposições a partir de

outras, ou seja, unindo-se ou conectando-se duas ou mais proposições simples. Exemplos: 1) O número 2 é par E o número 16 é um quadrado perfeito. (conectivo “e”) 2) OU Carlos viaja OU Pedro trabalha. (conectivo “ou”) 3) SE o Brasil jogar com seriedade, ENTÂO Portugual não será campeã.(concectivo “ se ... então”) 4) Luciana casa SE, E SOMENTE SE, Pedro arranjar um emprego (conectivo “se, e somente se..”) Em Lógica são considerados operadores lógicos as seguintes palavras:

Também podemos representar a negação utilizando o símbolo “ ¬ ” (cantoneira). Estudo dos Operadores e Operações Lógicas Quando efetuamos certas operações sobre proposições chamadas operações lógicas, efetuamos

cálculos proposicionais, semelhantes a aritmética sobre números, de forma a determinarmos os valores das proposições.


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1) Negação ( ~ ): chamamos de negação de uma proposição representada por “não p” cujo valor lógico é verdade (V) quando p é falsa e falsidade (F) quando p é verdadeira. Assim “não p” tem valor lógico oposto daquele de p.

Pela tabela verdade temos:

Simbolicamente temos: ~V = F ; ~F = V V(~p) = ~V(p) Exemplos

Proposição (afirmações): p Negação: ~p Carlos é médico Carlos NÂO é médico Juliana é carioca Juliana NÂO é carioca Nicolas está de férias Nicolas NÂO está de férias Norberto foi trabalhar NÃO É VERDADE QUE Norberto foi trabalhar

A primeira parte da tabela todas as afirmações são verdadeiras, logo ao negarmos temos passam a

ter como valor lógico a falsidade. - Dupla negação (Teoria da Involução): vamos considerar as seguintes proposições primitivas, p:”

Netuno é o planeta mais distante do Sol”; sendo seu valor verdadeiro ao negarmos “p”, vamos obter a seguinte proposição ~p: “Netuno NÂO é o planeta mais distante do Sol” e negando novamente a proposição “~p” teremos ~(~p): “NÃO É VERDADE que Netuno NÃO é o planta mais distante do Sol”, sendo seu valor lógico verdadeiro (V). Logo a dupla negação equivale a termos de valores lógicos a sua proposição primitiva.

p ≡ ~(~p)

Observação: O termo “equivalente” está associado aos “valores lógicos” de duas fórmulas lógicas,

sendo iguais pela natureza de seus valores lógicos. Exemplo: 1. Saturno é um planeta do sistema solar. 2. Sete é um número real maior que cinco. Sabendo-se da realidade dos valores lógicos das proposições “Saturno é um planeta do sistema solar”

e “Sete é um número rela maior que cinco”, que são ambos verdadeiros (V), conclui-se que essas proposições são equivalentes, em termos de valores lógicos, entre si.

2) Conjunção – produto lógico (^): chama-se de conjunção de duas proposições p e q a proposição

representada por “p e q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando as proposições, p e q, são ambas verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos.

Simbolicamente temos: “p ^ q” (lê-se: “p E q”). Pela tabela verdade temos:

Exemplos (a)


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p: A neve é branca. (V) q: 3 < 5. (V) V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V (b) p: A neve é azul. (F) q: 6 < 5. (F) V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ F = F (c) p: Pelé é jogador de futebol. (V) q: A seleção brasileira é octacampeã. (F) V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ F = F (d) p: A neve é azul. (F) q: 7 é número impar. (V) V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ V = F

- O valor lógico de uma proposição simples “p” é indicado por V(p). Assim, exprime-se que “p” é verdadeira (V), escrevendo:

V(p) = V

- Analogamente, exprime-se que “p” é falsa (F), escrevendo: V(p) = F

- As proposições compostas, representadas, por exemplo, pelas letras maiúsculas “P”, “Q”, “R”, “S” e “T”, terão seus respectivos valores lógicos representados por:

V(P), V(Q), V(R), V(S) e V(T).

3) Disjunção inclusiva – soma lógica – disjunção simples (v): chama-se de disjunção inclusiva de

duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando pelo menos umas proposições, p e q, é verdadeira e falsidade (F) quando ambas são falsas.

Simbolicamente: “p v q” (lê-se: “p OU q”). Pela tabela verdade temos:

Exemplos (a) p: A neve é branca. (V) q: 3 < 5. (V) V(p v q) = V(p) v V(q) = V v V = V (b) p: A neve é azul. (F) q: 6 < 5. (F) V(p v q) = V(p) v V(q) = F v F = F (c) p: Pelé é jogador de futebol. (V) q: A seleção brasileira é octacampeã. (F) V(p v q) = V(p) v V(q) = V v F = V


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(d) p: A neve é azul. (F) q: 7 é número impar. (V) V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V 4) Disjução exclusiva ( v ): chama-se dijunção exclusica de duas proposições p e q, cujo valor lógico

é verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas veradeiras e a falsidade (F) quando p e q são ambas veradeiras ou ambas falsas.

Simbolicamente: “p v q” (lê-se; “OU p OU q”; “OU p OU q, MAS NÃO AMBOS”). Pela tabela verdade temos:

Para entender melhor vamos analisar o exemplo. p: Nathan é médico ou professor. (ambas podem ser verdeiras, ele pode ser as duas coisas ao mesmo

tempo, uma condição não exclui a outra – disjunção inclusiva). Podemos escrever: Nathan é médico ^ Nathan é professor q: Mario é carioca ou paulista (aqui temos que se Mario é carioca implica que ele não pode ser paulista,

as duas coisas não podem acontecer ao mesmo tempo – disjunção exlcusiva). Reescrevendo: Mario é carioca v Mario é paulista. Exemplos a) Plínio pula ou Lucas corre, mas não ambos. b) Ou Plínio pula ou Lucas corre. 5) Implicação lógica ou condicional (→): chama-se proposição condicional ou apenas condicional

representada por “se p então q”, cujo valor lógico é falsidade (F) no caso em que p é verdade e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos.

Simbolicamente: “p → q” (lê-se: p é condição suficiente para q; q é condição necessária para p). p é o antecendente e q o consequente e “→” é chamado de símbolo de implicação. Pela tabela verdade temos:

Exemplos (a) p: A neve é branca. (V) q: 3 < 5. (V) V(p → q) = V(p) → V(q) = V → V = V (b) p: A neve é azul. (F) q: 6 < 5. (F)


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V(p → q) = V(p) → V(q) = F → F = V (c) p: Pelé é jogador de futebol. (V) q: A seleção brasileira é octacampeã. (F) V(p → q) = V(p) → V(q) = V → F = F (d) p: A neve é azul. (F) q: 7 é número impar. (V) V(p → q) = V(p) → V(q) = F → V = V 6) Dupla implicação ou bicondicional (↔):chama-se proposição bicondicional ou apenas

bicondicional representada por “p se e soemnete se q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas e a falsidade (F) nos demais casos.

Simbolicamente: “p ↔ q” (lê-se: p é condição necessária e suficiente para q; q é condição ncessária e suficiente para p).

Pela tabela verdade temos:

Exemplos (a) p: A neve é branca. (V) q: 3 < 5. (V) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ V = V (b) p: A neve é azul. (F) q: 6 < 5. (F) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ F = V (c) p: Pelé é jogador de futebol. (V) q: A seleção brasileira é octacampeã. (F) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ F = F (d) p: A neve é azul. (F) q: 7 é número impar. (V) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ V = F Transformação da linguaguem corrente para a simbólica Este é um dos tópicos mais vistos em diversas provas e por isso vamos aqui detalhar de forma a

sermos capazes de resolver questões deste tipo. Sejam as seguintes proposições simples denotadas por “p”, “q” e “r” representadas por: p: Luciana estuda. q: João bebe. r: Carlos dança.


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Sejam, agora, as seguintes proposições compostas denotadas por: “P ”, “Q ”, “R ”, “S ”, “T ”, “U ”, “V ” e “X ” representadas por:

P: Se Luciana estuda e João bebe, então Carlos não dança. Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana não estuda. R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe. O primeiro passo é destacarmos os operadores lógicos (modificadores e conectivos) e as proposições.

Depois reescrevermos de forma simbólica, vajamos:

Juntando as informações temos que, P: (p ^ q) → ~r Continuando: Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana estuda.

Simbolicamente temos: Q: ~ (q v r ^ ~p). R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe. (p v r) ↔ ~q Observação: os termos “É falso que”, “Não é verdade que”, “É mentira que” e “É uma falácia que”,

quando iniciam as frases negam, por completo, as frases subsequentes. - O uso de parêntesis A necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições se deve a evitar qualquer tipo de

ambiguidade, assim na proposição, por exemplo, p ^ q v r, nos dá a seguinte proposições:

(I) (p ^ q) v r Conectivo principal é da disjunção. (II) p ^ (q v r) Conectivo principal é da conjunção.

As quais apresentam significados diferentes, pois os conectivos principais de cada proposição

composta dá valores lógicos diferentes como conclusão. Agora observe a expressão: p ^ q → r v s, dá lugar, colocando parêntesis as seguintes proposições: a) ((p ^ q) → r) v s b) p ^ ((q → r) v s) c) (p ^ (q → r)) v s d) p ^ (q → (r v s)) e) (p ^ q) → (r v s) Aqui duas quaisquer delas não tem o mesmo significado. Porém existem muitos casos que os

parêntesis são suprimidos, a fim de simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, ambiguidade alguma venha a aparecer. Para isso a supressão do uso de parêntesis se faz mediante a algumas convenções, das quais duas são particularmente importantes:

1ª) A “ordem de precedência” para os conectivos é: (I) ~ (negação)


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(II) ^ (conjunção) (III) → (condicional) (IV) ↔ (bicondicional) Portanto o mais “fraco” é “~” e o mais “forte” é “↔”. Exemplo p → q ↔ s ^ r , é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la

numa condicional há que se usar parêntesis: p →( q ↔ s ^ r )

E para convertê-la em uma conjunção: (p → q ↔ s) ^ r

2ª) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os

parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda. Segundo estas duas convenções, as duas seguintes proposições se escrevem:

Proposição Nova forma de escrever a proposição ((~(~(p ^ q))) v (~p)) ~~ (p ^ q) v ~p ((~p) → (q → (~(p v r)))) ~p→ (q → ~(p v r))

- Outros símbolos para os conectivos (operadores lógicos): “¬” (cantoneira) para negação (~). “●” e “&” para conjunção (^). .(→) para a condicional (ferradura) ”כ“ Em síntese temos a tabela verdade das proposições que facilitará na resolução de diversas questões

(Fonte: http://www laifi.com.)

ESTRUTURA LÓGICA - ESTUDO DA TABELA VERDADE

Sabemos que tabela verdade é toda tabela que atribui, previamente, os possíveis valores lógicos que

as proposições simples podem assumir, como sendo verdadeiras (V) ou falsas (F), e, por consequência, permite definir a solução de uma determinada fórmula (proposição composta).

De acordo com o Princípio do Terceiro Excluído, toda proposição simples “p” é verdadeira ou falsa, ou seja, possui o valor lógico V (verdade) ou o valor lógico F (falsidade).

Em se tratando de uma proposição composta, a determinação de seu valor lógico, conhecidos os valores lógicos das proposições simples componentes, se faz com base no seguinte princípio, vamos relembrar:

O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos valores lógicos das proposições simples

componentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados.

Para determinarmos esses valores recorremos a um dispositivo prático que é o objeto do nosso estudo:

A tabela verdade. Em que figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta (sua


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solução) correspondente a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.

Número de linhas de uma Tabela Verdade O número de linhas de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a

integram, sendo dado pelo seguinte teorema: “A tabela verdade de uma proposição composta com n* proposições simpleste componentes

contém 2n linhas.” (* Algumas bibliografias utilizam o “p” no lugar do “n”) Os valores lógicos “V” e “F” se alteram de dois em dois para a primeira proposição “p” e de um em um

para a segunda proposição “q”, em suas respectivas colunas, e, além disso, VV, VF, FV e FF, em cada linha, são todos os arranjos binários com repetição dos dois elementos “V” e “F”, segundo ensina a Análise Combinatória.

Construção da tabela verdade de uma proposição composta Para sua construção começamos contando o número de proposições simples que a integram. Se há

n proposições simples componentes, então temos 2n linhas. Feito isso, atribuimos a 1ª proposição simples “p1” 2n / 2 = 2n -1 valores V , seguidos de 2n – 1 valores F, e assim por diante.

Exemplos: 1) Se tivermos 2 proposições temos que 2n =22 = 4 linhas e 2n – 1 = 22 - 1 = 2, temos para a 1ª proposição

2 valores V e 2 valores F se alternam de 2 em 2 , para a 2ª proposição temos que os valores se alternam de 1 em 1 (ou seja metade dos valores da 1ª proposição). Observe a ilustração, a primeira parte dela corresponde a árvore de possibilidades e a segunda a tabela propriamente dita.

(Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html)

2) Neste caso temos 3 proposições simples, fazendo os cálculos temos: 2n =23 = 8 linhas e 2n – 1 = 23

- 1 = 4, temos para a 1ª proposição 4 valores V e 4 valores F se alternam de 4 em 4 , para a 2ª proposição temos que os valores se alternam de 2 em 2 (metade da 1ª proposição) e para a 3ª proposição temos valores que se alternam de 1 em 1(metade da 2ª proposição).

(Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html)


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Exemplo Vamos construir a tabela verdade da proposição:

P(p,q) = ~ (p ^ ~q) 1º Resolução) Vamos formar os par de colunas correspondentes as duas proposições simples p e q.

Em seguida a coluna para ~q , depois a coluna para p ^ ~q e a útima contento toda a proposição ~ (p ^ ~q), atribuindo todos os valores lógicos possíveis de acordo com os operadores lógicos.

p q ~q p ^~q ~ (p ^ ~q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V

2º Resolução) Vamos montar primeiro as colunas correspondentes a proposições simples p e q ,

depois traçar colunas para cada uma dessas proposições e para cada um dos conectivos que compõem a proposição composta.

p q ~ (p ^ ~ q) V V V F F V F F

Depois completamos, em uma determinada ordem as colunas escrevendo em cada uma delas os

valores lógicos. p q ~ (p ^ ~ q) p q ~ (p ^ ~ q) p q ~ (p ^ ~ q) V V V V V V V F V V V V F F V V F V F V F V V F V F V V V F F V F V F V F F V F V F F F V F F F F F F F V F F F F F V F 1 1 1 2 1 1 3 2 1

p q ~ (p ^ ~ q) V V V V F F V V F F V V V F F V V F F F V F F V F F V F 4 1 3 2 1

Observe que vamos preenchendo a tabela com os valores lógicos (V e F), depois resolvemos os

operadores lógicos (modificadores e conectivos) e obtemos em 4 os valores lógicos da proposição que correspondem a todas possíveis atribuições de p e q de modo que:

P(V V) = V, P(V F) = F, P(F V) = V, P(F F) = V

A proposição P(p,q) associa a cada um dos elementos do conjunto U – {VV, VF, FV, FF} um ÚNICO

elemento do conjunto {V,F}, isto é, P(p,q) outra coisa não é que uma função de U em {V,F} P(p,q): U → {V,F} , cuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte:


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3ª Resolução) Resulta em suprimir a tabela verdade anterior as duas primeiras da esquerda relativas às proposições simples componentes p e q. Obtermos então a seguinte tabela verdade simplificada:

~ (p ^ ~ q) V V F F V F V V V F V F F F V V F F V F 4 1 3 2 1

Vejamos mais alguns exemplos: (FCC) Com relação à proposição: “Se ando e bebo, então caio, mas não durmo ou não bebo”. O

número de linhas da tabela-verdade da proposição composta anterior é igual a: (A) 2; (B) 4; (C) 8; (D) 16; (E) 32. Vamos contar o número de verbos para termos a quantidade de proposições simples e distintas

contidas na proposição composta. Temos os verbos “andar’, “beber”, “cair” e “dormir”. Aplicando a fórmula do número de linhas temos:

Número de linhas = 2n = 24 = 16 linhas. Resposta D. (Cespe/UnB) Se “A”, “B”, “C” e “D” forem proposições simples e distintas, então o número de linhas

da tabela-verdade da proposição (A → B) ↔ (C → D) será igual a: (A) 2; (B) 4; (C) 8; (D) 16; (E) 32. Veja que podemos aplicar a mesma linha do raciocínio acima, então teremos: Número de linhas = 2n = 24 = 16 linhas. Resposta D. Conceitos de Tautologia , Contradição e Contigência Tautologia: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade (última coluna), V (verdades). Contradição: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade (última coluna), F (falsidades). Contigência: possui valores lógicos V e F ,da tabela verdade (última coluna).

EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS Diz-se que duas ou mais proposições compostas são equivalentes, quando mesmo possuindo

estruturas lógicas diferentes, apresentam a mesma solução em suas respectivas tabelas verdade. Se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) são ambas TAUTOLOGIAS, ou então, são

CONTRADIÇÕES, então são EQUIVALENTES. Exemplo: Dada as proposições “~p → q” e “p v q” verificar se elas são equivalentes. Vamos montar a tabela verdade para sabermos se elas são equivalentes.

p q ~p → q p v q V V F V V V V V V F F V F V V F F V V V V F V V F F V F F F F F


. 103

Observamos que as proposições compostas “~p → q” e “p ∨ q” são equivalentes. ~p → q ≡ p ∨ q ou ~p → q ⇔ p ∨ q, onde “≡” e “⇔” são os símbolos que representam a equivalência

entre proposições. Equivalência fundamentais (Propriedades Fundamentais): a equivalência lógica entre as

proposições goza das propriedades simétrica, reflexiva e transitiva. 1 – Simetria (equivalência por simetria) a) p ^ q ⇔ q ^ p

p q p ^ q q ^ p V V V V V V V V V F V F F F F V F V F F V V F F F F F F F F F F

b) p v q ⇔ q v p p q p v q q v p V V V V V V V V V F V V F F V V F V F V V V V F F F F F F F F F

c) p ∨ q ⇔ q ∨ p

p q p v q q v p V V V F V V F V V F V V F F V V F V F V V V V F F F F F F F F F

d) p ↔ q ⇔ q ↔ p

p q p ↔ q q ↔ p V V V V V V V V V F V F F F F V F V F F V V F F F F F V F F V F

2 - Reflexiva (equivalência por reflexão) p → p ⇔ p → p

p p p → p p → p V V V V V V V V F F F V F F V F

3 – Transitiva Se P(p,q,r,...) ⇔ Q(p,q,r,...) E Q(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...) ENTÃO P(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...) . Equivalências notáveis: 1 - Distribuição (equivalência pela distributiva) a) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p q r p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r) V V V V V V V V V V V V V V V V V F V V V V F V V V V V F F V F V V V F V V V F F V V V V


. 104

V F F V F F F F V F F F V F F F V V F F V V V F F V F F F V F V F F F V V F F F V F F F F F F V F F F V V F F F F F F V F F F F F F F F F F F F F F F

b) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p q r p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r) V V V V V V V V V V V V V V V V V F V V V F F V V V V V V F V F V V V F F V V V F V V V V V F F V V F F F V V F V V V F F V V F V V V V F V V V F V V F V F F F V F F F V V F F F F F F V F F F F V F F F F F V V F F F F F F F F F F F F F F F

2 - Associação (equivalência pela associativa) a) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ (p ∧ r)

p q r p ^ (q ^ r) (p ^ q) ^ (p ^ r) V V V V V V V V V V V V V V V V V F V F V F F V V V F V F F V F V V F F F V V F F F V V V V F F V F F F F V F F F V F F F V V F F V V V F F V F F F V F V F F F V F F F F V F F F F F F V F F F F V F F F F F F V F F F F F F F F F F F F F F F

b) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ (p ∨ r)

p q r p v (q v r) (p v q) v (p v r) V V V V V V V V V V V V V V V V V F V V V V F V V V V V V F V F V V V F V V V V F V V V V V F F V V F F F V V F V V V F F V V F V V V V F V V V F V V F V F F V V V F F V V V F F F F F V F V F V V F F F V F V V F F F F F F F F F F F F F F F

3 – Idempotência a) p ⇔ (p ∧ p)

p p p ^ p V V V V V F F F F F

b) p ⇔ (p ∨ p)

p p p v p V V V V V F F F F F


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4 - Pela contraposição: de uma condicional gera-se outra condicional equivalente à primeira, apenas invertendo-se e negando-se as proposições simples que as compõem.

1º caso – (p → q) ⇔ (~q → ~p)

p q p → q ~q → ~p V V V V V F V F V F V F F V F F F V F V V F F V F F F V F V F V

Exemplo: p → q: Se André é professor, então é pobre. ~q → ~p: Se André não é pobre, então não é professor. 2º caso: (~p → q) ⇔ (~q → p)

p q ~p → q ~q → p V V F V V F V V V F F V F V V V F V V V V F V F F F V F F V F F

Exemplo: ~p → q: Se André não é professor, então é pobre. ~q → p: Se André não é pobre, então é professor. 3º caso: (p → ~q) ⇔ (q → ~p)

p q p → ~q q → ~p V V V F F V F F V F V V V F V F F V F V F V V V F F F V V F V V

Exemplo: p → ~q: Se André é professor, então não é pobre. q → ~p: Se André é pobre, então não é professor. 5 - Pela bicondicional a) (p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p), por definição

p q p ↔ q (p → q) ^ (q → p) V V V V V V V V V V V V V F V F F V F F F F V V F V F F V F V V F V F F F F F V F F V F V F V F

b) (p ↔ q) ⇔ (~q → ~p) ∧ (~p → ~q), aplicando-se a contrapositiva às partes

p q p ↔ q (~q → ~p) ^ (~p → ~q) V V V V V F V F V F V F V F V F F V F F F F V V F V F F V F V V F V F F F F F V F V V V V V V V


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c) (p ↔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)

p q p ↔ q (p ^ q) v (~p ^ ~q) V V V V V V V V V F F F V F V F F V F F F F F V F V F F V F F V F V F F F F F V F F F F V V V V

6 - Pela exportação-importação [(p ∧ q) → r] ⇔ [p → (q → r)]

p q r [(p ^ q) → r] [p → (q → r)] V V V V V V V V V V V V V V V F V V V F F V F V F F V F V V F F V V V V F V V V F F V F F V F V V F V F F V V F F V V V F V V V V F V F F F V V F F V V F F F F V F F F V V F V F V V F F F F F F V F F V F V F

Proposições Associadas a uma Condicional (se, então) Chama-se proposições associadas a p → q as três proposições condicionadas que contêm p e q: – Proposições recíprocas: p → q: q → p – Proposição contrária: p → q: ~p → ~q – Proposição contrapositiva: p → q: ~q → ~p Observe a tabela verdade dessas quatro proposições:

Note que:

Observamos ainda que a condicional p → q e a sua recíproca q → p ou a sua contrária ~p → ~q NÃO

SÃO EQUIVALENTES. Exemplos: p → q: Se T é equilátero, então T é isósceles. (V) q → p: Se T é isósceles, então T é equilátero. (F) Exemplo: Vamos determinar: a) A contrapositiva de p → q


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b) A contrapositiva da recíproca de p → q c) A contrapositiva da contrária de p → q Resolução: a) A contrapositiva de p → q é ~q → ~p A contrapositiva de ~q → ~p é ~~p → ~~q ⇔ p → q b) A recíproca de p → q é q → p A contrapositiva q → q é ~p → ~q c) A contrária de p → q é ~p → ~q A contrapositiva de ~p → ~q é q → p

IMPLICAÇÃO LÓGICA Uma proposição P(p,q,r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...) se

Q(p,q,r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p,q,r,...) é verdadeira (V), ou seja, a proposição P implica a proposição Q, quando a condicional P → Q for uma tautologia.

Representamos a implicação com o símbolo “⇒”, simbolicamente temos:

P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...). A não ocorrência de VF na tabela verdade de P → Q, ou ainda que o valor lógico da condicional P →

Q será sempre V, ou então que P → Q é uma tautologia. Observação: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distintos. O primeiro (“→”) representa a

condicional, que é um conectivo. O segundo (“⇒”) representa a relação de implicação lógica que pode ou não existir entre duas proposições.

Exemplo: A tabela verdade da condicional (p ^ q) → (p ↔ q) será:

p q p ^ q p ↔ q (p ^ q) → (p ↔ q) V V V V V V F F F V F V F F V F F F V V

Portanto, (p ^ q) → (p ↔ q) é uma tautologia, por isso (p ^ q) ⇒ (p ↔q). Em particular: - Toda proposição implica uma Tautologia: p ⇒ p v ~p

p p v ~p V V F V

- Somente uma contradição implica uma contradição: p ^ ~p ⇒ p v ~p → p ^ ~p

p ~p p ^ ~p p v ~p → p ^ ~p V F F F F V F F

Propriedades da Implicação Lógica A implicação lógica goza das propriedades reflexiva e transitiva:


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Reflexiva: P(p,q,r,...) ⇒ P(p,q,r,...) Uma proposição complexa implica ela mesma Transitiva: Se P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...), então P(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...) Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R Exemplificação e Regras de Inferência Inferência é o ato de derivar conclusões lógicas de proposições conhecidas ou decididamente

verdadeiras. Em outras palavras: é a obtenção de novas proposições a partir de proposições verdadeiras já existentes. Vejamos as regras de inferência obtidas da implicação lógica:

1 – A tabela verdade das proposições p ^ q, p v q , p ↔ q é:

A proposição “p ^ q” é verdadeira (V) somente na 1ª linha, e também nesta linha as proposições “p v q” e “p → q” também são. Logo a primeira proposição IMPLICA cada uma das outras duas proposições.

Então: p ^ q ⇒ p v q p ^ q ⇒ p → q

A tabela acima também demonstram as importantes Regras de Inferência: Adição – p ⇒ p v q e q ⇒ p v q Simplificação – p ^ q ⇒ p e p ^ q ⇒ q 2 – A tabela verdade das proposições p ↔ q, p → q e q → p, é:

L p q p ↔ q p → q q → p 1ª V V V V V 2ª V F F F V 3ª F V F V F 4ª F F V V V

A proposição “p ↔ q” é verdadeira (V) na 1ª e 4ª linha e as proposições “p → q” e “q → p” também são

verdadeiras. Logo a primeira proposição IMPLICA cada uma das outras duas proposições. Então:

p ↔ q ⇒ p → q e p ↔ q ⇒ q → p

3 - Dada a proposição: (p v q) ^ ~p sua tabela verdade é:

Esta proposição é verdadeira somente na 3ª linha e nesta linha a proposição “q” também verdadeira, logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, denominada Regra do Silogismo disjuntivo.


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(p v q) ^ ~p ⇒ q É válido também: (p v q) ^ ~q ⇒ p 4 – A tabela verdade da proposição (p → q) ^ p é:

A proposição é verdadeira somente na 1ª linha, e nesta linha a proposição “q” também é verdadeira,

logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, também denominada Regra de Modus ponens. (p → q) ^ p ⇒ q 5 – A tabela verdade das proposições (p → q) ^ ~q e ~p é:

A proposição (p → q) ^ ~q é verdadeira somente na 4º linha e nesta a proposição “~p” também é

verdadeira, logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, denominada de Regra Modus tollens. (p → q) ^ ~q ⇒ ~p Observe que “~p” implica “p → q”, isto é: ~p ⇒ p → q Recapitulando as Regras de Inferência aplicadas a Implicação Lógica:

Adição p ⇒ p v q q ⇒ p v q

Simplificação p ^ q ⇒ p p ^ q ⇒ q

Silogismo disjuntivo (p v q) ^ ~p ⇒ q (p v q) ^ ~q ⇒ p

Modus ponens (p → q) ^ p ⇒ q Modus tollens (p → q) ^ ~q ⇒ ~p

LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO

A argumentação é a forma como utilizamos o raciocínio para convencer alguém de alguma coisa. A

argumentação faz uso de vários tipos de raciocínio que são baseados em normas sólidas e argumentos aceitáveis.

A lógica de argumentação é também conhecida como dedução formal e é a principal ferramenta para o raciocínio válido de um argumento. Ela avalia conclusões que a argumentação pode tomar e avalia quais dessas conclusões são válidas e quais são inválidas (falaciosas). O estudo das formas válidas de inferências de uma linguagem proposicional também faz parte da Teoria da argumentação.


. 110

Conceitos Premissas (proposições): são afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas. Com base nelas que

os argumentos são compostos, ou melhor, elas possibilitam que o argumento seja aceito. Inferência: é o processo a partir de uma ou mais premissas se chegar a novas proposições. Quando

a inferência é dada como válida, significa que a nova proposição foi aceita, podendo ela ser utilizada em outras inferências.

Conclusão: é a proposição que contém o resultado final da inferência e que está alicerçada nas

premissas. Para separa as premissas das conclusões utilizam-se expressões como “logo, ...”, “portanto, ...”, “por isso, ...”, entre outras.

Sofisma: é um raciocínio falso com aspecto de verdadeiro. Falácia: é um argumento válido, sem fundamento ou tecnicamente falho na capacidade de provar

aquilo que enuncia. Silogismo: é um raciocínio composto de três proposições, dispostas de tal maneira que a conclusão

é verdadeira e deriva logicamente das duas primeiras premissas, ou seja, a conclusão é a terceira premissa.

Argumento: é um conjunto finito de premissas – proposições –, sendo uma delas a consequência das

demais. O argumento pode ser dedutivo (aquele que confere validade lógica à conclusão com base nas premissas que o antecedem) ou indutivo (aquele quando as premissas de um argumento se baseiam na conclusão, mas não implicam nela)

O argumento é uma fórmula constituída de premissas e conclusões (dois elementos fundamentais da argumentação).

Alguns exemplos de argumentos:

1) Todo homem é mortal

Premissas João é homem Logo, João é mortal Conclusão

2) Todo brasileiro é mortal

Premissas Todo paulista é brasileiro Logo, todo paulista é mortal Conclusão

3) Se eu passar no concurso, então irei viajar

Premissas Passei no concurso Logo, irei viajar Conclusão

Todas as PREMISSAS tem uma CONCLUSÃO. Os exemplos acima são considerados silogismos. Um argumento de premissas P1, P2, ..., Pn e de conclusão Q, indica-se por:


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P1, P2, ..., Pn |----- Q Argumentos Válidos Um argumento é VÁLIDO (ou bem construído ou legítimo) quando a conclusão é VERDADEIRA (V),

sempre que as premissas forem todas verdadeiras (V). Dizemos, também, que um argumento é válido quando a conclusão é uma consequência obrigatória das verdades de suas premissas.Ou seja:

A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão.

Um argumento válido é denominado tautologia quando assumir, somente, valorações verdadeiras,

independentemente de valorações assumidas por suas estruturas lógicas. Argumentos Inválidos Um argumento é dito INVÁLIDO (ou falácia, ou ilegítimo ou mal construído), quando as verdades das

premissas são insuficientes para sustentar a verdade da conclusão. Caso a conclusão seja falsa, decorrente das insuficiências geradas pelas verdades de suas premissas,

tem-se como conclusão uma contradição (F). Um argurmento não válido diz-se um SOFISMA.

- A verdade e a falsidade são propriedades das proposições. - Já a validade e a invalidade são propriedades inerentes aos

argumentos. - Uma proposição pode ser considerada verdadeira ou falsa, mas

nunca válida e inválida. - Não é possível ter uma conclusão falsa se as premissas são

verdadeiras. - A validade de um argumento depende exclusivamente da relação

existente entre as premissas e conclusões.

Critérios de Validade de um argumento Pelo teorema temos:

Um argumento P1, P2, ..., Pn |---- Q é VÁLIDO se e somente se a condicional: (P1 ^ P2 ^ ...^ Pn) → Q é tautológica.

Métodos para testar a validade dos argumentos Estes métodos nos permitem, por dedução (ou inferência), atribuirmos valores lógicos as premissas

de um argumento para determinarmos uma conclusão verdadeira. Também podemos utilizar diagramas lógicos caso sejam estruturas categóricas (frases formadas pelas

palavras ou quantificadores: todo, algum e nenhum). Os métodos constistem em: 1) Atribuição de valores lógicos: o método consiste na dedução dos valores lógicos das premissas

de um argumento, a partir de um “ponto de referência inicial” que, geralmente, será representado pelo valor lógico de uma premissa formada por uma proposição simples. Lembramos que, para que um argumento seja válido, partiremos do pressuposto que todas as premissas que compõem esse argumento são, na totalidade, verdadeiras.

Para dedução dos valores lógicos, utilizaremos como auxílio a tabela-verdade dos conectivos.


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Exemplo Sejam as seguintes premissas: P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. P4: Ora, a rainha fica na masmorra. Se todos os argumentos (P1,P2,P3 e P4) forem válidos, então todas premissas que compõem o

argumento são necessariamente verdadeiras (V). E portanto pela premissa simples P4: “a rainha fica na masmorra”; por ser uma proposição simples e verdadeira, servirá de “referencial inicial” para a dedução dos valores lógicos das demais proposições que, também, compõem esse argumento. Teremos com isso então:

P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. P4: Ora, a rainha fica na masmorra. (1º) V

Já sabemos que a premissa simples “a rainha fica na masmorra” é verdadeira, portanto, tal valor lógico

confirmará como verdade a 1a parte da condicional da premissa P3 (1º passo).

P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. (2º) V P4: Ora, a rainha fica na masmorra. (1º) V

Lembramos que, se a 1ª parte de uma condicional for verdadeira, implicará que a 2ª parte também

deverá ser verdadeira (2º passo), já que a verdade implica outra verdade (vide a tabela-verdade da condicional). Assim teremos como valor lógico da premissa uma verdade (V).

P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. (2º) V (3º) V P4: Ora, a rainha fica na masmorra. (1º) V

Confirmando-se a proposição simples “o bárbaro usa a espada” como verdadeira (3º passo), logo, a

1ª parte da disjunção simples da premissa P1, “o bárbaro não usa a espada”, será falsa (4º passo).

P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. (4º) F P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. (2º) V (3º) V P4: Ora, a rainha fica na masmorra. (1º) V

Como a premissa P1 é formada por uma disjunção simples, lembramos que ela será verdadeira, se

pelo menos uma de suas partes for verdadeira. Sabendo-se que sua 1ª parte é falsa, logo, a 2ª parte deverá ser, necessariamente, verdadeira (5º passo).

P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. (4º) F (5º) V P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada.


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(2º) V (3º) V P4: Ora, a rainha fica na masmorra. (1º) V

Ao confirmarmos como verdadeira a proposição simples “o príncipe não foge a cavalo”, então,

devemos confirmar como falsa a 2a parte da condicional “o príncipe foge a cavalo” da premissa P2 (6o passo).

P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. (4º) F (5º) V P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. (6º) F P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. (2º) V (3º) V P4: Ora, a rainha fica na masmorra. (1º) V

E, por último, ao confirmar a 2a parte de uma condicional como falsa, devemos confirmar, também, sua

1a parte como falsa (7o passo).

P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. (4º) F (5º) V P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. (7º) F (6º) F P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. (2º) V (3º) V P4: Ora, a rainha fica na masmorra. (1º) V

Através da analise das premissas e atribuindo os seus valores lógicos chegamos as seguintes

conclusões: - A rainha fica na masmorra; - O bárbaro usa a espada; - O rei não fica nervoso; - o príncipe não foge a cavalo. Observe que onde as proposições são falsas (F) utilizamos o não para ter o seu correspondente como

válido, expressando uma conclusão verdadeira.

Caso o argumento não possua uma proposição simples “ponto de referência inicial”, devem-se

iniciar as deduções pela conjunção, e, caso não exista tal conjunção, pela disjunção exclusiva ou

pela bicondicional, caso existam.

2) Método da Tabela – Verdade: para resolvermos temos que levar em considerações dois casos. 1º caso: quando o argumento é representado por uma fómula argumentativa. Exemplo: A → B ~A = ~B Para resolver vamos montar uma tabela dispondo todas as proposições, as premissas e as conclusões

afim de chegarmos a validade do argumento.


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(Fonte: http://www.marilia.unesp.br)

O caso onde as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa esta sinalizada na tabela acima

pelo asterisco.Observe também, na linha 4, que as premissas são verdadeiras e a conclusão é verdadeira. Chegamos através dessa análise que o argumento não é valido.

2o caso: quando o argumento é representado por uma sequência lógica de premissas, sendo a última

sua conclusão, e é questionada a sua validade. Exemplo: “Se leio, então entendo. Se entendo, então não compreendo. Logo, compreendo.” P1: Se leio, então entendo. P2: Se entendo, então não compreendo. C: Compreendo. Se o argumento acima for válido, então, teremos a seguinte estrutura lógica (fórmula) representativa

desse argumento: P1 ∧ P2 → C

Representando inicialmente as proposições primitivas “leio”, “entendo” e “compreendo”,

respectivamente, por “p”, “q” e “r”, teremos a seguinte fórmula argumentativa: P1: p → q P2: q → ~r C: r

[(p → q) ∧ (q → ~r)] → (~r) ou

𝑝 → 𝑞𝑞 → ~𝑟

𝑟

Montando a tabela verdade temos (vamos montar o passo a passo):

p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → (~r) V V V V V V V F F V V F V V V V V V V F V V F F F F F V F F V F F F V V F V V F V V V F F F V F F V V V V V F F V F V F F F F F F F F V F F V V 1º 2º 1º 1º 1º 1º

p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → (~r) V V V V V V V F F F V V F V V V V V V V V F V V F F F V F F V F F V F F F V V V


. 115

F V V F V V V F F F F V F F V V V V V V F F V F V F F V F F F F F F V F F V V V 1º 2º 1º 1º 3º 1º 1º

p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → (~r) V V V V V V F V F F F V V F V V V V V V V V V F V V F F F F V F F V F F V F F F F V V V F V V F V V F V F F F F V F F V V V V V V V F F V F V F V F V F F F F F F V F V F V V V 1º 2º 1º 4º 1º 3º 1º 1º

p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → (~r) V V V V V V F V F F V F V V F V V V V V V V V V V F V V F F F F V F V F V F F V F F F F V V V V F V V F V V F V F F V F F V F F V V V V V V V V F F V F V F V F V F F F F F F F V F V F V V V V 1º 2º 1º 4º 1º 3º 1º 5º 1º

Sendo a solução (observado na 5a resolução) uma contingência (possui valores verdadeiros e falsos),

logo, esse argumento não é válido. Podemos chamar esse argumento de sofisma embora tenha premissas e conclusões verdadeiras.

Implicações tautológicas: a utilização da tabela verdade em alguns casos torna-se muito trabalhoso,

principlamente quando o número de proposições simples que compõe o argumento é muito grande, então vamos aqui ver outros métodos que vão ajudar a provar a validade dos argumentos. Utilizaremos a tabela verdade apenas para tirarmos a prova real.

3.1 - Método da adição (AD)

p

p ∨ q ou p → (p ∨ q)

Prova real:

p q p → (p v q) p → (p v q) p → (p v q) V V V V V V V V V V V V V V V F V V F V V V F V V V V F F V F F V F F V V F V F V V F F F F F F F F F F V F F F 1º 1º 1º 1º 1º 2º 1º 1º 3º 1º 2º 1º

A solução pode ser observada no 3º passo e trata-se de uma tautologia, logo, esse argumento é dito

válido. 3.2 - Método da adição (SIMP) 1º caso:


. 116

p ∧ q

p ou (p ∧ q) → p

Prova Real:

p q (p ^ q) → p (p ^ q) → p (p ^ q) → p V V V V V V V V V V V V V V V F V F V V F F V V F F V V F V F V F F F V F F F V V F F F F F F F F F F F F F V F 1º 1º 1º 1º 2º 1º 1º 1º 2º 1º 3º 1º


válido. 2º caso:

p ∧ q

p ou (p ∧ q) → q

Prova Real:

p q (p ^ q) → q (p ^ q) → q (p ^ q) → q V V V V V V V V V V V V V V V F V F F V F F F V F F V F F V F V V F F V V F F V V V F F F F F F F F F F F F V F 1º 1º 1º 1º 2º 1º 1º 1º 2º 1º 3º 1º


válido. 3.3 - Método da conjunção (CONJ) 1º caso:

pq

p ∧ q ou (p ∧ q) → (p ∧ q)

Prova Real:

p q (p ^ q) → (p ^ q) (p ^ q) → (p ^ q) (p ^ q) → (p ^ q) V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V F V F V F V F F V F F V F F V V F F F V F V F V F F V F F V F F V V F F V F F F F F F F F F F F F F F F V F F F 1º 1º 1º 1º 1º 2º 1º 1º 2º 1º 1º 2º 1º 3º 1º 2º 1º A solução pode ser observada no 3º passo e trata-se de uma tautologia, logo, esse argumento é dito

válido. 2º caso:

pq

q ∧ p ou (p ∧ q) → (q ∧ p)

Prova Real:

p q (p ^ q) → (q ^ p) (p ^ q) → (q ^ p) (p ^ q) → (q ^ p) V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V F V F F V V F F F F V V F F V F F V


. 117

F V F V V F F F V V F F F F V V V F F F F F F F F F F F F F F F F F V F F F 1º 1º 1º 1º 1º 2º 1º 1º 2º 1º 1º 2º 1º 3º 1º 2º 1º A solução pode ser observada no 3º passo e trata-se de uma tautologia, logo, esse argumento é dito

válido. 3.4 - Método da absorção (ABS)

p → q

p → (p ∧ q) ou (p → q) → [p → p ∧ q)]

Prova real:

p q (p → q) → [(p → (p ^ q)] (p → q) → [(p → (p ^ q)] V V V V V V V V V V V V V V V F V F V V F V F F V V F F F V F V F F V F V V F F F V F F F F F F F F V F F F F F 1º 1º 1º 1º 1º 1º 2º 1º 1º 1º 2º 1º

p q (p → q) → [(p → (p ^ q)] (p → q) → [(p → (p ^ q)] V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V F V F F V F V F F V F F V V F V F F F V F V V F V F F V F V V V F V F F V F F F V F F V F F F F V F V F V F F F 1º 2º 1º 1º 3º 1º 2º 1º 1º 2º 1º 4º 1º 3º 1º 2º 1º


válido. 3.5 – Modus Ponens (MP)

p→qp

q ou [(p → q) ∧ p] → q

Prova Real:

p q [(p → q) ^ p] → q [(p → q) ^ p] → q [(p → q) ^ p] → q V V V V V V V V V V V V V V V V V V V F V F V F V F F V F V F F F V V F F V F V F V F V V F V F V V F F V V F F F F F F F V F F F F V F F F V F 1º 1º 1º 1º 1º 2º 1º 1º 1º 1º 2º 1º 3º 1º 4º 1º A solução pode ser observada no 4º passo e trata-se de uma tautologia, logo, esse argumento é dito

válido. 3.6 – Modus Tollens (MT)

p→q~q

~p ou [(p → q) ∧ ~q] → p

Prova Real:

p q [(p → q) ^ ~q] → ~p [(p → q) ^ ~q] → ~p [(p → q) ^ ~q] → ~p V V V V F F V V V F F F V V V F F V F V F V F V F V F F F V F V F F F V V F F V F V F V F V V F F V F V V F F V V


. 118

F F F F V V F V F V V V F V F V V V V 1º 1º 1º 1º 1º 2º 1º 3 1º 1º 1º 2º 1º 3º 1º 4º 1º A solução pode ser observada no 4º passo e trata-se de uma tautologia, logo, esse argumento é dito

válido. 3.7 – Dilema construtivo (DC)

p → qr → sp ∨ r

q ∨ s ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r) ] → (q ∨ s)

Prova Real:

p q r s [(p → q) ^ (r → s) ^ (p v r)] → (q v s) V V V V V V V V V V V V V V V F V V V F V V V F V V F V V V F V V F V V V V F F V V F F V F V F V F V V V F V V V V F V V F V F V F V F V V F F V F F V V F F V V F F V V F F F V F F F V F F F F V V V F V V V F V V V F V V F F V V F F V V F F V F V F V F V F F V V F V F F F V F F F F V F F F V V F F V V F V F V F F V F F F V F F V F F F F F V F F F V F F F V F F F F F F F F F F F F 1º 1º 1º 1º 1º 1º 1º 1º

[(p → q) ^ (r → s) ^ (p v r)] → (q v s) V V V V V V V V V V V V V V V V F V F F V V V V V F V V V V F V V V V F V V V V V V V F V F V V F V V F V F F F V V V V V V F V V V F F F V F F V V V F F F V F F F F V V V V F F V V V F F F F V F V V F F F F F V V V V V V F V V V V V F V V F V F F F V V V V F F V V V F V V F F F V V V F V V V F V F F F F V V F F V F V V V V F V V F V V F V F F V F F F V V F F F F V F V F V V F F F F V V F V F V F V F F F F F F F 1º 2º 1º 3º 1º 2º 1º 1º 2º 1º 1º 2º 1º

[(p → q) ^ (r → s) ^ (p v r)] → (q v s) V V V V V V V V V V V V V V V V V F V F F F V V V V V F V V V V F V V V V V F V V V


. 119

V V V V F V F V V V F V V F V F F F V V V F V V V F V V V F F F V F F F V V V F F F V F F F F V V F V V F F V V V F F F F V F F V V F F F F F V V V V V V V F V V V V V F V V F V F F F F V V V V F F V V V F V V F F F F V V V F V V V F V F F F F F V V F F V F V V V V V F V V F V V F V F F V F F F F V V F F F F V F V F V V F F F F F V V F V F V F V F F F F F F F F 1º 2º 1º 3º 1º 2º 1º 4º 1º 2º 1º 1º 2º 1º

[(p → q) ^ (r → s) ^ (p v r)] → (q v s) V V V V V V V V V V V V V V V V V V F V F F F V V V V V V F V V V V F V V V V V F V V V V V V V V F V F V V V F V V V F V F F F V V V F V V V V F V V V F F F V F F F V V V V F F F V F F F F V V F V V F V F V V V F F F F V F F V V F V F F F F V V V V V V V F V V V V V V F V V F V F F F F V V V V V F F V V V F V V F F F F V V V V F V V V F V F F F F F V V V F F V F V V V V V F V V V F V V F V F F V F F F F V V V F F F F V F V F V V F F F F V F V V F V F V F V F F F F F V F F F 1º 2º 1º 3º 1º 2º 1º 4º 1º 2º 1º 5º 1º 2º 1º


válido. 3.7 – Dilema destrutivo (DD)

p → qr → s

~q ∨ ~s

~p ∨ ~r ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (~q ∨ ~s) ] → (~p ∨ ~r)

Prova Real:

p q r s [(p → q) ^ (r → s) ^ (~q v ~s)] → (~p v ~r) V V V V V V V V F F F F V V V F V V V F F V F F V V F V V V F V F F F V V V F F V V F F F V F V V F V V V F V V V F F F V F V F V F V F V V F F V F F V V F F V V F F V V F F F V F F F V V F V F V V V F V V V F F V F F V V F F V V F F V V F


. 120

F V F V F V F V F F V V F V F F F V F F F V V V F F V V F F V V V F V F F F V F F F V F V V V F F F F V F F F V V F V V F F F F F F F F V V V V 1º 1º 1º 1º 1º 1º 1º 1º

[(p → q) ^ (r → s) ^ (~q v ~s)] → (~p v ~r) V V V V V V F F F F F F V V V V F F F V V F F F V V V F V V F F F F V V V V V F V F F V V F V V V F F V V V V V F F V F V F F V F F V V V F F F V F F F V V V V F F V V V F F F V F V V V F V V F V V V V V F F F V V F F V V V F F F V V V V F F V V F V V F F F V V V F V V F V F F V V V V V F V F V V V V V F V V F F V F V F F V V V V V F F V F F V V V V F V V V F V F F V F V V V V V V 1º 2º 1º 1º 2º 1º 1º 2º 1º 1º 2º 1º

[(p → q) ^ (r → s) ^ (~q v ~s)] → (~p v ~r) V V V V V V V F F F F F F V V V F V F F F V V F F F V V V V F V V F F F F V V V V V V F V F F V V F V V V F F F V V V V V F F V F V F F F V F F V V V F F F V F F F F V V V V F F V V V F F F F V F V V V F V V F V V V V V V F F F V V F F V V F V F F F V V V V F F V V V F V V F F F V V V F V V V F V F F V V V V V F V F V V V V V V F V V F F V F F V F F V V V V V F F V F V F V V V V F V V V F V F V F V F V V V V V V 1º 2º 1º 3º 1º 2º 1º 1º 2º 1º 1º 2º 1º

[(p → q) ^ (r → s) ^ (~q v ~s)] → (~p v ~r) V V V V V V V F F F F V F F F V V V F V F F F F V V V F F F V V V V F V V F F F F V F V V V V V V F V F V F V V V F V V V F F F V V V F V V F V F V F V F F F V F F F V V V V F F F V F F F F V V F V V F V F V V V F F F F V F F V V V V F V V F V V V V V V F F F F V V V F


. 121

F V V F V F F F F V V V V V F F V V V F V V F F F F V V V V F V V V F V F V F V V V V V V F V F V V V V V V V F V V V F F V F F V F F F V V V V V V F F V F V F V V V V V F V V V V F V F V F V F V V V V V V V V 1º 2º 1º 3º 1º 2º 1º 4º 1º 2º 1º 5º 1º 2º 1º


válido. 3.8 – Silogismo disjuntivo (SD) 1º caso:

p ∨ q~p

q ou [(p ∨ q) ∧ ~p] → q

Prova real: p q [(p v q) ^ ~p] → q [(p v q) ^ ~p] → q [(p v q) ^ ~p] → q V V V V F V V V V F F V V V V F F V V V F V F F F V V F F F F V V F F F V F F V F V V V F V V V V V F V V V V V V F F F F V F F F F F V F F F F F V V F 1º 1º 1º 1º 1º 2º 1º 3º 1º 1º 1º 2º 1º 3º 1º 4º 1º A solução pode ser observada no 4º passo e trata-se de uma tautologia, logo, esse argumento é dito

válido. 2º caso:

p ∨ q~q

p ou [(p ∨ q) ∧ ~q] → p

Prova real:

p q [(p v q) ^ ~q] → p [(p v q) ^ ~q] → p [(p v q) ^ ~q] → p V V V V F V V V V F F V V V V F F V V V F V F V V V V F V V V V V F V V V V F V F V F F F V V F F F F V V F F V F F F F F V F F F F F V F F F F F V V F 1º 1º 1º 1º 1º 2º 1º 3º 1º 1º 1º 2º 1º 3º 1º 4º 1º A solução pode ser observada no 4º passo e trata-se de uma tautologia, logo, esse argumento é dito

válido. 3.9 – Silogismo hipotético (SH)

p → qq → r

p → r ou [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)

Prova real:


. 122

p q r [(p → q) ^ (q → r)] → (p → r) V V V V V V V V V V V V V V F V V V V F F V F F V F V V F F F V V V V V V F F V F F F V F V F F F V V F V V V V V F V V F V F F V V V F F F V F F F V F V F F V V F V V F F F F V F F V F F V F 1º 2º 1º 1º 2º 1º 1º 2º 1º

[(p → q) ^ (q → r)] → (p → r) V V V V V V V V V V V V V V F V F F V V F F V F F F F V V V V V V V F F F F V F V V F F F V V V V V V V F V V F V V F V F F V F V F F V F V F V V V F V V F V F V F V F V F V F 1º 2º 1º 3º 1º 2º 1º 4º 1º 2º 1º


válido. 3.10 – Exportação e importação. 1º caso: Exportação

(p ∧ q) → r

p → (q → r) ou [(p ∧ q) → r] → [p → (q → r)]

Prova real:

p q r [(p ^ q) → r] → [p → (q → r)] V V V V V V V V V V V V V V V F V V V F F V F V F F V F V V F F V V V V F V V V F F V F F V F V V F V F F V V F F V V V F V V V V F V F F F V V F F V V F F F F V F F F V V F V F V V F F F F F F V F F V F V F 1º 2º 1º 3º 1º 1º 3º 1º 2º 1º

[(p ^ q) → r] → [p → (q → r)] V V V V V V V V V V V V V V F F V V F V F F V F F V V V V V F V V V F F V F V V V F V F F F V V V V F V V V V F F V V F V F V V F F F F F V V V F V F V V F F F V F V F V F V F 1º 2º 1º 3º 1º 4º 1º 3º 1º 2º 1º


. 123

A solução pode ser observada no 4º passo e trata-se de uma tautologia, logo, esse argumento é dito válido.

2º caso: Importação

p → (q → r)

(p ∧ q) → r ou [p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r]

Prova real:

p q r [p → (q → r)] → [(p ^ q) → r] V V V V V V V V V V V V V V V F V F V F F V V V F F V F V V V F V V V F F V V V F F V V F V F V F F V F F V V F V V V V F F V V V F V F F V V F F F F V V F F F V F V F V V F F F V V F F F F V F V F F F F V F 1º 3º 1º 2º 1º 1º 2º 1º 3º 1º

[p → (q → r)] → [(p ^ q) → r] V V V V V V V V V V V V F V F F V V V V F F V V F V V V V F F V V V V F V F V V F F V F F V V V V V F F V V V F V V F F V F F V V F F V F V V V F F F V V F V F V F V F F F V F 1º 3º 1º 2º 1º 4º 1º 2º 1º 3º 1º


válido. Produto lógico de condicionais: este produto consiste na dedução de uma condicional conclusiva

– que será a conclusão do argumento –, decorrente ou resultante de várias outras premissas formadas por, apenas, condicionais.

Ao efetuar o produto lógico, eliminam-se as proposições simples iguais que se localizam em partes opostas das condicionais que formam a premissa do argumento, resultando em uma condicional denominada condicional conclusiva. Vejamos o exemplo:

Nós podemos aplicar a soma lógica em três casos: 1º caso - quando a condicional conclusiva é formada pelas proposições simples que aparecem apenas

uma vez no conjunto das premissas do argumento.


. 124

Exemplo Dado o argumento: Se chove, então faz frio. Se neva, então chove. Se faz frio, então há nuvens no

céu. Se há nuvens no céu, então o dia está claro. Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas: P1: Se chove, então faz frio. P2: Se neva, então chove. P3: Se faz frio, então há nuvens no céu. P4: Se há nuvens no céu, então o dia está claro. Vamos denotar as proposições simples: p: chover q: fazer frio r: nevar s: existir nuvens no céu t: o dia esta claro Montando o produto lógico teremos:

𝑥 {

𝑝 → 𝑞𝑟 → 𝑝𝑞 → 𝑠𝑠 → 𝑡

⇒ 𝑥 {

𝑝 → 𝑞𝑟 → 𝑝𝑞 → 𝑠𝑠 → 𝑡

⇒ 𝑥 {𝑟 → 𝑞𝑞 → 𝑠𝑠 → 𝑡

⇒ 𝑥 {𝑟 → 𝑞𝑞 → 𝑠𝑠 → 𝑡

⇒ 𝑥 {𝑟 → 𝑠𝑠 → 𝑡

⇒ 𝑥 {𝑟 → 𝑠𝑠 → 𝑡

⇒ 𝑟 → 𝑡

Conclusão: “Se neva, então o dia esta claro”. Observe que: As proposições simples “nevar” e “o dia está claro” só apareceram uma vez no conjunto

de premissas do argumento anterior. 2º caso - quando a condicional conclusiva é formada por, apenas, uma proposição simples que

aparece em ambas as partes da condicional conclusiva, sendo uma a negação da outra. As demais proposições simples são eliminadas pelo processo natural do produto lógico.

Neste caso, na condicional conclusiva, a 1ª parte deverá necessariamente ser FALSA, e a 2ª parte, necessariamente VERDADEIRA.

Tome Nota:

Nos dois casos anteriores, pode-se utilizar o recurso de equivalência da

contrapositiva (contraposição) de uma condicional, para que ocorram os devidos reajustes entre as proposições simples de uma determinada condicional

que resulte no produto lógico desejado. (p → q) ⇔ ~q → ~p

Exemplo Seja o argumento: Se Ana trabalha, então Beto não estuda. Se Carlos não viaja, então Beto não

estuda. Se Carlos viaja, Ana trabalha. Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas: P1: Se Ana viaja, então Beto não trabalha. P2: Se Carlos não estuda, então Beto não trabalha. P3: Se Carlos estuda, Ana viaja. Denotando as proposições simples teremos: p: Ana trabalha q: Beto estuda r: Carlos viaja Montando o produto lógico teremos:


. 125

{

𝑝 → ~𝑞~𝑟 → ~𝑞

𝑟 → 𝑝(𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) ⇒ 𝑥 {

𝑝 → ~𝑞𝑞 → 𝑟𝑟 → 𝑝

⇒ 𝑥 {𝑟 → ~𝑞𝑞 → 𝑟 ⇒ 𝑞⏟

𝐹

→ ~𝑞⏟𝑉

Conclusão: “Beto não estuda”. 3º caso - aplicam-se os procedimentos do 2o caso em, apenas, uma parte das premissas do

argumento. Exemplo Se Nivaldo não é corintiano, então Márcio é palmeirense. Se Márcio não é palmeirense, então Pedro

não é são-paulino. Se Nivaldo é corintiano, Pedro é são-paulino. Se Nivaldo é corintiano, então Márcio não é palmeirense.

Então as presmissas que formam esse argumento são: P1: Se Nivaldo não é corintiano, então Márcio é palmeirense. P2: Se Márcio não é palmeirense, então Pedro não é são-paulino. P3: Se Nivaldo é corintiano, Pedro é são-paulino. P4: Se Nivaldo é corintiano, então Márcio não é palmeirense. Denotando as proposições temos: p: Nivaldo é corintiano q: Márcio é palmerense r: Pedro é são paulino Efetuando a soma lógica:

{

𝑃1: ~𝑝 → 𝑞 𝑃2: ~𝑞 → ~𝑟 𝑃3: 𝑝 → 𝑟 (𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) 𝑃4: 𝑝 → ~𝑞

⇒ {

𝑃1: ~𝑝 → 𝑞𝑃2: ~𝑞 → ~𝑟𝑃3: ~𝑟 → ~𝑝𝑃4: 𝑝 → ~𝑞

Vamos aplicar o produto lógico nas 3 primeiras premissas (P1,P2,P3) teremos:

{

~𝑝 → 𝑞~𝑞 → ~𝑟~𝑟 → ~𝑝

⇒ {~𝑟 → 𝑞

~𝑞 → ~𝑟 ⇒ ~𝑞⏟𝐹

→ 𝑞⏟𝑉

Conclusão: “ Márcio é palmeirense”.

01. (TRE/MT – Técnico Judiciário – CESPE/2015) A negação da proposição: “Se o número inteiro m

> 2 é primo, então o número m é ímpar" pode ser expressa corretamente por: (A) “O número inteiro m > 2 é não primo e o número m é ímpar". (B) “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m não é ímpar". (C) “Se o número m não é ímpar, então o número inteiro m > 2 não é primo". (D) “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m é ímpar". (E) “O número inteiro m > 2 é primo e o número m não é ímpar". 02. (DPE/RR Administrador – FCC/2015) Dentro de um envelope há um papel marcado com um

número. Afirma-se sobre esse número que: I. o número é 1; II. o número não é 2;

Questões


. 126

III. o número é 3; IV. o número não é 4. Sabendo que três das afirmações são verdadeiras e uma é falsa, é necessariamente correto concluir

que (A) I é verdadeira. (B) II é falsa. (C) II é verdadeira. (D) III é verdadeira. (E) IV é falsa. 03. (TCE/SP – Auxiliar da Fiscalização Financeira II – FCC/2015) Considere a afirmação

condicional: Se Alberto é médico ou Alberto é dentista, então Rosa é engenheira. Seja R a afirmação: 'Alberto é médico'; Seja S a afirmação: 'Alberto é dentista' e Seja T a afirmação: 'Rosa é engenheira'. A afirmação condicional será considerada necessariamente falsa quando (A) R for verdadeira, S for falsa e T for verdadeira. (B) R for falsa, S for verdadeira e T for verdadeira. (C) R for falsa, S for falsa e T for falsa. (D) R for falsa, S for falsa e T for verdadeira. (E) R for verdadeira, S for falsa e T for falsa. 04. (ICMS) Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo, (A) mesmo que se esforce, você não vencerá. (B) seu esforço é condição necessária para vencer. (C) se você não se esforçar então não irá vencer. (D) você vencerá só se se esforçar. (E) seu esforço é condição suficiente para vencer. 05. (Cespe - Analista do Seguro Social - INSS) Proposições são sentenças que podem ser julgadas

como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como ambas. Se p e q são proposições, então a proposição “Se p então q”, denotada por P → Q, terá valor lógico F quando p for V e q for F, e, nos demais casos, será V. Uma expressão da forma ~p, a negação da proposição p, terá valores lógicos contrários aos de p. (p v q, lida como “p ou q”, terá valor lógico F quando p e q forem, ambas, F; nos demais casos, será V.

Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 50 da Constituição Federal.

A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado. De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da

Constituição Federal, julgue o item. Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, a proposição B = C é V. Certo ou Errado?

06. Roberta, Rejane e Renata são servidoras de um mesmo órgão público do Poder Executivo Federal.

Em um treinamento, ao lidar com certa situação, observou-se que cada uma delas tomou uma das seguintes atitudes:

A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que estavam ao seu alcance; A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências; A3: buscou evitar situações procrastinatórias. Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de acordo com o Código de Ética Profissional do

Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal (CEP), foi tomada por exatamente uma das servidoras. Além disso, sabe-se que a servidora Renata tomou a atitude A3 e que a servidora Roberta não tomou a atitude A1. Essas informações estão comtempladas na tabela a seguir, em cada célula, correspondente ao cruzamento de uma linha com uma coluna, foi preenchida com V(verdadeiro) ou F(falso) caso


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contrário. A1 A2 A3 Roberta F Rejane Renata V

Com base nessas informações, julgue o item seguinte: Se p for a proposição “Rejane alterou texto de

documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” e q for a proposição” Renata buscou evitar situações procrastinatórias”, então a proposição p→q tem valor lógico V. Certo ou errado?

07. (FCC - Oficial de Justiça - TJ/PE) Suponha que exista uma pessoa que só fala mentiras as

terças, quartas e quintas-feiras, enquanto que, nos demais dias da semana, só fala a verdade. Nessas condições, somente em quais dias da semana seria possível ela fazer a afirmação “Eu menti ontem e também mentirei amanha”?

(A) Terça e quinta-feira. (B) Terça e sexta-feira. (C) Quarta e quinta-feira. (D) Quarta-feira e sábado. (E) Quinta-feira e domingo. 08. Na análise de um argumento, podem-se evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das

proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que “”, “”, “” e “” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a seguir: Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado.

Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumindo que:

P= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”; Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”; R= “ele sempre leva um guarda-chuva”; S= “ele sempre leva dinheiro trocado”. (A) P (Q R) (B) (P Q) R (C) (P Q) (R S) (D) P (Q (R S)) 09. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições: (A) p v ~q (B) p → q c) ~p ∧ ~q (C) p ↔ ~q e) (p v ~q) ↔ (q ∧ ~p) 10. Considere as proposições p: A Terra é um planeta e q: A Terra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições: (A) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol. (B) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol. (C) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol. (D) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta. (E) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol. (Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”)


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11. Escreva a negação das seguintes proposições numa sentença o mais simples possível. (A) É falso que não está frio ou que está chovendo. (B) Se as ações caem aumenta o desemprego. (C) Ele tem cabelos louros se e somente se tem olhos azuis. (D) A condição necessária para ser um bom matemático é saber lógica. (E) Jorge estuda física mas não estuda química. (Expressões da forma “p mas q” devem ser vistas como “ p e q”) 12. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é ímpar”, determine: (A) a contrapositiva (B) a recíproca 13. (A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F e V(~r Λ ~s) = V, determine V(p → r Λs). (B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V e V (p v r → q) = F, determine V(p), V(q) e V(r). (C) Supondo V(p→ q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r). 14. Utilizando as propriedades das operações lógicas, simplifique as seguintes proposições: (A) (p v q) Λ ~p (B) p Λ (p → q) Λ (p →~q) (C) p Λ (p v q) → (p v q) Λ q (D) ~(p → q) Λ ((~p Λ q) v ~(p v q)) (E) ~p → (p v ~(p v ~q)) 15. Escrever as expressões relativas aos circuitos. Simplificá-las e fazer novos esquemas. (A)

(B)

16. Verifique a validade ou não dos seguintes argumentos sem utilizar tabela-verdade: (A) p v q, ~r v ~q ╞ ~p → ~r (B) p → q v r, q → ~p, s → ~r ╞ ~(p ∧ s) (C) p → q, r → s, p v s ╞ q v r (D) Se o déficit público não diminuir, uma condição necessária e suficiente para inflação cair é que os

impostos sejam aumentados. Os impostos serão aumentados somente se o déficit público não diminuir. Se a inflação cair, os impostos não serão aumentados. Portanto, os impostos não serão aumentados.

17. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas: (A) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0 (B) x² > 4 ↔ x² - 5x + 6 = 0 18. Dê a negação das seguintes proposições: (A) Existem pessoas inteligentes que não sabem ler nem escrever.


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(B) Toda pessoa culta é sábia se, e somente se, for inteligente. (C) Para todo número primo, a condição suficiente para ser par é ser igual a 2. 19. Demonstre as relações abaixo utilizando as equivalências notáveis: (A) p q r (p q) (p r) (B) p q r (p q) (p r) (C) p (r s t) (p r) (p s) (p t) (D) p q r p (q r) (E) ~(~p ~q) ~p q 20. Demonstre, utilizando as equivalências notáveis, que as relações de implicação são válidas: (A) Exemplo: Regra da simplificação: p q q Para provarmos uma relação de implicação temos que demonstrar que a condicional p q q é

tautológica, ou seja, que a condicional p q q V Desenvolvendo o lado esquerdo da equivalência, tem-se: p q q (aplicando-se a equiv. de reescrita da condicional) ~(p q) q (aplicando-se a Lei de Morgan) ~p ~q q (aplicando-se lei complementar, ~q q é uma tautologia) ~p V (pela lei da identidade ~p V é um tautologia) V Portanto, está provado que p q q é uma tautologia (B) Regra da adição: p p q (C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p q) ~q p (D) Regra de Modus Ponens: (p q) p q (E) Regra de Modus Tollens: (p q) ~q ~p 21. Usando as regras de equivalência, mostre a seguinte tautologia: (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q) 22. Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês

ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo,

(A) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. (B) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. (C) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. (D) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. (E) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês. 23. Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator)

primo.Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma ps, então 1, p, p2, ..., ps são os divisores positivos de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a:

(A) 25 (B) 87 (C) 112 (D) 121 (E) 169 24. Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então

Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então: (A) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. (B) Lógica é fácil e Geografia é difícil. (C) Lógica é fácil e Geografia é fácil. (D) Lógica é difícil e Geografia é difícil. (E) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. 25. Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à presença de um velho e sábio


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professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado”. Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado”. Disse, por fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que:

(A) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente. (B) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente. (C) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente. (D) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade. (E) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade. 26. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a

duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:

(A) A duquesa foi ao jardim ou o Conde encontrou a princesa. (B) Se o duque não saiu do castelo, então o Conde encontrou a princesa. (C) O rei não foi à caça e o Conde não encontrou a princesa. (D) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. (E) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. 27. (PC-DF - Perito Criminal – FUNIVERSA) Cinco amigos encontraram-se em um bar e, depois de

algumas horas de muita conversa, dividiram igualmente a conta, a qual fora de, exatos, R$ 200,00, já com a gorjeta incluída. Como se encontravam ligeiramente alterados pelo álcool ingerido, ocorreu uma dificuldade no fechamento da conta. Depois que todos julgaram ter contribuído com sua parte na despesa, o total colocado sobre a mesa era de R$ 160,00, apenas, formados por uma nota de R$ 100,00, uma de R$ 20,00 e quatro de R$ 10,00. Seguiram-se, então, as seguintes declarações, todas verdadeiras:

Antônio: — Basílio pagou. Eu vi quando ele pagou. Danton: — Carlos também pagou, mas do Basílio não sei dizer. Eduardo: — Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10,00. Basílio: — Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio quem colocou, eu vi quando ele pegou seus R$

60,00 de troco. Carlos: — Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota de R$ 50,00 que o Eduardo colocou na

mesa. Imediatamente após essas falas, o garçom, que ouvira atentamente o que fora dito e conhecia todos

do grupo, dirigiu-se exatamente àquele que ainda não havia contribuído para a despesa e disse: — O senhor pretende usar seu cartão e ficar com o troco em espécie? Com base nas informações do texto, o garçom fez a pergunta a

(A) Antônio. (B) Basílio. (C) Carlos. (D) Danton. (E) Eduardo. 28. (ESAF - Auditor Fiscal da Receita Federal) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso.

Vou morar em Passárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Passárgada. Assim, (A) não viajo e caso. (B) viajo e caso. (C) não vou morar em Passárgada e não viajo. (D) compro uma bicicleta e não viajo. (E) compro uma bicicleta e viajo. 29. (FCC - TST - Técnico Judiciário) A declaração abaixo foi feita pelo gerente de recursos humanos

da empresa X durante uma feira de recrutamento em uma faculdade: “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Mais tarde, consultando seus arquivos, o


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diretor percebeu que havia se enganado em sua declaração. Dessa forma, conclui-se que, necessariamente,

(A) dentre todos os funcionários da empresa X, há um grupo que não possui plano de saúde. (B) o funcionário com o maior salário da empresa X ganha, no máximo, R$ 3.000,00 por mês. (C) um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês. (D) nenhum funcionário da empresa X tem plano de saúde ou todos ganham até R$ 3.000,00 por mês. (E) alguns funcionários da empresa X não têm plano de saúde e ganham, no máximo, R$ 3.000,00 por

mês. 30. (CESGRANRIO - Chesf - Analista de Sistemas) Se hoje for uma segunda ou uma quarta-feira,

Pedro terá aula de futebol ou natação. Quando Pedro tem aula de futebol ou natação, Jane o leva até a escolinha esportiva. Ao levar Pedro até a escolinha, Jane deixa de fazer o almoço e, se Jane não faz o almoço, Carlos não almoça em casa. Considerando-se a sequência de implicações lógicas acima apresentadas textualmente, se Carlos almoçou em casa hoje, então hoje

(A) é terça, ou quinta ou sexta-feira, ou Jane não fez o almoço. (B) Pedro não teve aula de natação e não é segunda-feira. (C) Carlos levou Pedro até a escolinha para Jane fazer o almoço. (D) não é segunda, nem quarta, mas Pedro teve aula de apenas uma das modalidades esportivas. (E) não é segunda, Pedro não teve aulas, e Jane não fez o almoço. 31. (VUNESP- TJM-SP) Se afino as cordas, então o instrumento soa bem. Se o instrumento soa bem,

então toco muito bem. Ou não toco muito bem ou sonho acordado. Afirmo ser verdadeira a frase: não sonho acordado. Dessa forma, conclui-se que

(A) sonho dormindo. (B) o instrumento afinado não soa bem. (C) as cordas não foram afinadas. (D) mesmo afinado o instrumento não soa bem. (E) toco bem acordado e dormindo.

Respostas 01. Resposta: E. P: O número inteiro m>2 é primo Q: o número m é ímpar Então temos: p→q A negação de uma condicional é dada por: p^~q Portanto: O número inteiro m>2 é primo e o número m não é ímpar 02. Resposta: C.

Hipótese 1 Hipótese 2 Hipótese 3 Hipótese 4 I F V V V II V F V V III V V F V IV V V V F

Essas duas hipóteses não se contradizem, podemos começar analisando por elas. Veja que a hipótese 2 nos diz que o número é 1 (I-Verdadeiro) e o número é 3(III-Verdadeiro) Na hipótese 4 a mesma situação. Agora, comparando as hipóteses 1 e 2, percebemos que somente na afirmação II, elas são

verdadeiras. Quer dizer que: o número não é 2. Portanto, a afirmação II é verdadeira. 03. Resposta: E. RvS→T Para a condicional ser falsa, devemos ter: V→F Portanto a afirmação (T: Rosa é engenheira) tem que ser falsa.


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E para RvS ser verdadeira, as duas só não podem ser falsas. Lembrando pela tabela verdade de cada uma: Condicional

Disjunção

04. Resposta: E. Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se você se esforçar então irá vencer) formada

por duas proposições simples (você se esforçar) (irá vencer), ligadas pela presença do conectivo (→) “se então”. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma:

Se p então q, ou seja: → p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como

antecedente → q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como

consequente → Se p então q também pode ser lido como p implica em q → p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra, ou seja, basta que p ocorra para q

ocorrer. → q é conhecida como condição necessária para que p ocorra, ou seja, se q não ocorrer então p

também não irá ocorrer. Logo a seguir está a tabela verdade do “se então”. Tabela Verdade é a forma de representar todas as

combinações possíveis de valores verdadeiros ou falsos de determinadas proposições, sejam elas simples ou compostas. Observe que para quaisquer valores lógicos de p e q (na realidade uma combinação de valores de verdadeiros e falsos poderá ocorrer e está sendo estudada logo abaixo). O número de linhas de uma tabela verdade é dado por: 2n onde n = número de proposições simples. Na tabela verdade são duas proposições simples e ao todo 22 = 4 linhas.

p q pq V V V V F F F F V F V V

Poderíamos resumir a tabela verdade do conectivo “se então” pela seguinte regra: “A implicação p→q

só será FALSA quando p for VERDADEIRA e q for FALSA, nesta ordem”. Observe que estamos falando da segunda linha. Observe também que todos os demais valores lógicos de p→q que não se tratam da regra passam a ser verdadeiros (1ª, 3ª e 4ª linhas).

Agora por definição informamos que dado que p→q se verifica então também se verifica que ~q→~p. Para analisarmos esta afirmação devemos conhecer um novo conectivo, o conectivo “não” ou “negação”, cuja tabela verdade se verifica a seguir:

p ~p V F F V


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O “~” representa o conectivo “não” e a tabela verdade do conectivo não é a inversão do valor lógico da proposição, vejamos, se a proposição p é verdadeira, então ~p é falsa e viceversa, se a proposição p é falsa, ~p é verdadeira. Desse modo vamos comprovar o que foi afirmado logicamente, ou seja, dado que p→q posso afirmar que negando a condição necessária eu nego a condição suficiente, observe através da tabela verdade:

p q ~p ~q pq ~q~p V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V

Observe que para a mesma entrada de valores (V) ou (F) as colunas que representam os possíveis

valores de p→q e de ~q→~p são exatamente iguais, o que equivale a afirmar que são expressões logicamente equivalentes. Sabendo um pouco mais a respeito do “se então” vamos ao exercício:

Se você se esforçar então irá vencer → você se esforçar é a proposição p também conhecida como antecedente. → irá vencer é a proposição q também conhecida como consequente. → você se esforçar é a proposição p também conhecida como condição suficiente para que ocorra q→

irá vencer é a proposição q também conhecida como condição necessária para que ocorra q→. Dado p→q é uma equivalente lógica de: ~q→~p. Ou seja, Se você se esforçar então irá vencer é uma

equivalente lógica de Se você não venceu então você não se esforçou. Observe que p e q podem ser quaisquer conjuntos de palavras ou símbolos que expressam um sentido completo, por mais absurdo que pareça basta estar na forma do conectivo “se então” que as regras acima transpostas estão logicamente corretas. Vamos analisar as alternativas:

Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo, a) errada, a alternativa “A” encontra erro uma vez que você se esforçar é a condição suficiente para

que você vença, ou seja, basta que você se esforce que você irá vencer, e a afirmação nega isto. b) errada, na forma p→q, o p é o antecedente e condição suficiente para que q ocorra. c) errada, esta afirmação sempre vai cair em prova. Cuidado: Sempre vai levar muitos candidatos ao erro, ao afirmar: Se você se esforçar então irá vencer

a única conclusão possível é de que basta que você se esforce que você irá vencer, e se você não se esforçar, ora se não ocorreu a condição suficiente nada posso afirmar, se você não se esforçar você poderá ou não vencer. Na tabela verdade é possível comprovar que (Se você se esforçar então irá vencer p→q) e (Se você não se esforçar então não irá vencer ~p→~q) não são equivalentes lógicas. Observe que as proposições p→q e ~p→~q não apresentam os mesmos valores lógicos, ou seja, afirmar uma não quer dizer afirmar a outra.

d) errada, você vencerá só se se esforçar, indica que seu esforço é condição necessária para você vencer, o que não é verdade.

e) correta, seu esforço (você se esforçar) é condição suficiente para que você vença. 05. Resposta: Errado. Analisando as proposições: A: “A prática do racismo é crime afiançável”- é falsa B: “A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado” - é verdadeira; C: “Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado” - é

falsa. Então, a proposição composta “B - C” pode ser traduzida em “V > F” e, pela regra do conectivo →

(implica), a proposição composta terá valor lógico F. 06. Resposta: Certo. Sabendo que cada uma das servidoras tomou apenas uma das atitudes, basta completar a tabela de

acordo com os dados do enunciado: A1 A2 A3 Roberta F V F Rejane V F F Renata F F V


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Analisando a questão: Como (a proposição p) “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” tem valor lógico F e (a proposição q) “Renata buscou evitar situações procrastinatórias” tem valor lógico V, a proposição “p → q” pode ser traduzida em “F → V” e, pela regra do conectivo → (implica), o valor lógico da proposição é V.

07. Resposta: A. Pelo enunciado, sabemos que a pessoa só fala mentiras as terças, quartas e quintas-feiras. Com o

conectivo “e”, para se ter uma verdade, ambas as sentenças devem ser verdadeiras. Assim, nesse problema, é preciso analisar dia a dia e procurar um em que não ocorra contradição.

- Domingo, segunda, sexta, sábado: a sentença é falsa, pois nesses dias a pessoa fala a verdade. Portanto, temos uma contradição.

- Terça e quinta: a sentença é falsa, mas como a pessoa sempre mente na terça e na quinta, não há contradição.

- Quarta: a sentença é verdadeira, mas como a pessoa mente na quarta, há contradição. Então, a alternativa “A” satisfaz ao enunciado.

08. Resposta: C. A proposição composta original possui uma divisão principal, que é o fato de Paulo trabalhar de ônibus

ou metrô; outro aspecto é o fato de ele levar guarda-chuva e dinheiro trocado. Portanto, o conectivo é o principal, interligando as duas partes da proposição. Na primeira parte da proposição, ou Paulo vai ao trabalho de ônibus ou vai de metrô. Nesse caso, essa proposição é interligada pelo conectivo “ou”: P Q.

Já na parte final da proposição, como ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado, essa parte da proposição é interligada pelo conectivo “e”: R S. Reunindo então as duas partes da proposição original, obtém-se (P Q) (R S).

09.(A) “Não está frio e não está chovendo”. (B) “Está frio se e somente se não está chovendo”. (C) “Está frio e não está chovendo se e somente se está chovendo e não está frio”. 10.(A) ~(p v q) (B) p → q (C) ~(p v ~q) (D) q ↔ ~p (E) ~p ∧ ~q 11.(A) “Não está frio ou está chovendo”. (B) “As ações caem e não aumenta o desemprego”. (C) “Ele tem cabelos louros e não tem olhos azuis ou ele tem olhos azuis e não tem cabeloslouros”. (D) A proposição é equivalente a “Se é um bom matemático então sabe lógica” cuja negação é “É um

bom matemático e não sabe lógica”. (E) “Jorge não estuda lógica ou estuda química”. 12.(A) contrapositiva: “Se p ≠ 2 e p é par então p não é primo”. (B) recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar então p é primo”. 13.(A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F(1) e V(~r Λ ~s) = V (2), determine V(p → r Λ s). Solução: De (2) temos que V (r) = V(s) = F; Usando estes resultados em (1) obtemos: V(p) = V(q) = V, logo, V(p → r Λ s) = F (B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V (1) e V(p v r → q) = F (2), determine V(p), V(q) e V(r). Solução: De (1) concluimos que V(p) = V e V(q v r) = V e de (2) temos que V(q) = F, logo V (r) = V. (C) Supondo V(p → q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r). Solução: Vamos supor V(p Λ r →q Λ r) = F. Temos assim que V(p Λ r) = V e V(q Λ r) = F, o que nos

permite concluir que V(p) = V(r) = V e V(q) = F, o que contradiz V(p → q) = V. Logo, V(p v r → q v r) = V. Analogamente, mostramos que V(p v r → q v r) = V.

14. (A) (p∨q) ∧ ~p ↔ (p∧~p) ∨ (q∧~p) ↔ F ∨ (q∧~p) ↔ (q∧~p)


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(B) p ∧ (p→q) ∧ (p→~p) ↔ p ∧ (~p∨q) ∧ (~p∨~q) ↔ p ∧ ((~p ∨ (q∧~q)) ↔ p ∧ (~p ∨ F) ↔ p ∧ ~p ↔ F (C) p ∧ (p∨q) → (p ∨q) ∧ q ↔ p→q (D) ~(p→q) ∧ ((~p∧q)) ↔ (p∧~q) ∧ ((~p∧q) ∨ (~p∧~q)) (p∧~q) ∧ ((~p ∧ (q∨~q)) ↔ (p∧~q) ∧ (~p∧V) ↔ (p∧~q) ∧ ~p (p∧~p) ∧ ~q ↔ F ∧ ~q ↔ F (E) ~p → (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ p ∨ (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ (p ∨ (~p∧q)) ↔ (p∨~p) ∧ (p∨q) ↔ V ∧ (p∨q) ↔ p∨q 15. (A) (p∧q) ∨ ((p∧q) ∨ q) ∧ p ↔ ((p∧q) ∧ p ↔ q∧p (B) ((p∨q) ∧ r)) ∨ ((q∧r) ∨ q)) ↔ ((p∨q) ∧ r) ∨ q ↔ (p∨q∨q) ∧ (r∨q) ↔ (p∨q) ∧ (r∨q) ↔ q ∨ (p∧r) 16. (A) Válido (B) Válido (C) Sofisma. Considerando V(p) = V(q) = V( r ) = F e V(s) = V, todas as premissas são verdadeiras e a

conclusão é falsa. (D) Considere p: O déficit público não diminui; q: A inflação cai; r: Os impostos são aumentados. Analise o argumento: p → (q↔r), r →p, q →~r ╞ ~r (Válido) 17. (A) R- {2} (B) [-2, 2[ 18. (A) “Todas as pessoas inteligentes sabem ler ou escrever”. (B) “Existe pessoa culta que é sábia e não é inteligente ou que é inteligente e não é sábia”. (C) “Existe um número primo que é igual a 2 e não é 19. (A) p q r (p q) (p r) p q r ~p (q r) (reescrita da condicional) (~p q) (~p r) (distributiva) (p q) (p r) (reescrita da condicional) (B) p q r (p q) (p r) p q r ~p (q r) (reescrita da condicional) ~p q r (associativa) ~p ~p q r (idempotente, adicionei um ~p, pois ~p ~p ~p) (~p q) (~p r) (associativa) (p q) (p r) (reescrita da condicional) (C) p (r s t) (p r) (p s) (p t) p (r s t) p (r (s t)) (associativa em s t) (p r) (p (s t)) (distributiva) (p r) (p s) (p t) (distributiva) (D) p q r p (q r)


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p q r ~(p q) r (reescrita da condicional) ~p ~q r (De Morgan) ~p (~q r) (associativa) ~p (q r) (reescrita da condicional) p (q r) (reescrita da condicional) (E) ~(~p ~q) ~p q ~(~p ~q) ~(~~p ~q) (reescrita da condicional) ~(p ~q) (dupla negação) ~p ~~q (De Morgan) ~p q (dupla negação) 20. (B) Regra da adição: p p q p p q V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) ~p (p q) (condicional) ~p p q (associativa) V q (complementares ~p p) V (identidade) (C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p q) ~q p (p q) ~q p V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (p ~q) (q ~q) p (distributiva) (p ~q) F p (complementares) (p ~q) p (identidade) ~(p ~q) p (condicional) ~p ~q p (De Morgan) (~p p) ~q (associativa) V ~q (complementares) V (identidade) (D) Regra de Modus Ponens: (p q) p q (p q) p q V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (~p q) q q (condicional) (q ~p) (q q) q (distributiva) (q ~p) q q (idempotente) ~((q ~p) q) q (condicional) (~(q ~p) ~q) q (De Morgan) ((~q p) ~q) q (De Morgan) (~q ~q) (~q p) q (distributiva) ~q (~q p) q (idempotente) (~q q) (~q p) (associativa) V (~q p) (complementares) V (identidade) (E) Regra de Modus Tollens: (p q) ~q ~p (p q) ~q ~p V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma

tautologia) (~p q) ~q ~p (De Morgan) (~q ~p) (~q q) ~p (Distributiva) (~q ~p) F ~p (Complementares) (~q ~p) ~p (Identidade) ~(~q ~p) ~p (condicional) ~~q ~~p ~p (De Morgan) q p ~p (Dupla Negação)


. 137

q V (complementares) V 21. Mostraremos que (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q) é uma tautologia, de fato:

Ordem Proposição

1 (p → q) → r ⇔

2 ⇔(~p ∨ q) → r ⇔

3 ⇔~(~p ∨ q) ∨ r ⇔

4 ⇔ r ∨ ~(~p ∨ q)

5 r ∨ (p ∧ ~q) 22. (P1) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. (P2) Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (P3) Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. (P4) Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. (P5) Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Ao todo são cinco premissas, formadas pelos mais diversos conectivos (Se então, Ou, Se e somente

se, E). Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lógico é que ele só será válido quando todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira. Uma boa dica é sempre começar pela premissa formada com o conectivo e.

Na premissa 5 tem-se: Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo para esta proposição composta pelo conectivo e ser verdadeira as premissas simples que a compõe deverão ser verdadeiras, ou seja, sabemos que:

Francisco não fala francês Ching não fala chinês Na premissa 4 temos: Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala

francês. Temos uma proposição composta formada pelo se e somente se, neste caso, esta premissa será verdadeira se as proposições que a formarem forem de mesmo valor lógico, ou ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, como se deseja que não seja verdade que Francisco não fala francês e ele fala, isto já é falso e o antecedente do se e somente se também terá que ser falso, ou seja: Elton não fala espanhol.

Da premissa 3 tem-se: Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Uma premissa composta formada por outras duas simples conectadas pelo se então (veja que a vírgula subentende que existe o então), pois é, a regra do se então é que ele só vai ser falso se o seu antecedente for verdadeiro e o seu consequente for falso, da premissa 4 sabemos que Elton não fala espanhol, logo, para que a premissa seja verdadeira só poderemos aceitar um valor lógico possível para o antecedente, ou seja, ele deverá ser falso, pois F Î F = V, logo: Débora não fala dinamarquês.

Da premissa 2 temos: Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Vamos analisar o consequente do se então, observe: ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (temos um ou exclusivo, cuja regra é, o ou exclusivo, só vai ser falso se ambas forem verdadeiras, ou ambas falsas), no caso como Ching não fala chinês e Débora não fala dinamarquês, temos: F ou exclusivo F = F. Se o consequente deu falso, então o antecedente também deverá ser falso para que a premissa seja verdadeira, logo: Iara não fala italiano.

Da premissa 1 tem-se: Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Ora ocorreu o antecedente, vamos reparar no consequente... Só será verdadeiro quando V Î V = V pois se o primeiro ocorrer e o segundo não teremos o Falso na premissa que é indesejado, desse modo: Ana fala alemão.

Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintes afirmações:

Francisco não fala francês Ching não fala chinês Elton não fala espanhol Débora não fala dinamarquês Iara não fala italiano Ana fala alemão.


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A única conclusão verdadeira quando todas as premissas foram verdadeiras é a da alternativa (A), resposta do problema.

23. Resposta: B. O número que não é primo é denominado número composto. O número 4 é um número composto.

Todo número composto pode ser escrito como uma combinação de números primos, veja: 70 é um número composto formado pela combinação: 2 x 5 x 7, onde 2, 5 e 7 são números primos. O problema informou que um número primo tem com certeza 3 divisores quando puder ser escrito da forma: 1 p p2, onde p é um número primo.

Observe os seguintes números: 1 2 22 (4) 1 3 3² (9) 1 5 5² (25) 1 7 7² (49) 1 11 11² (121) Veja que 4 têm apenas três divisores (1, 2 e ele mesmo) e o mesmo ocorre com os demais números

9, 25, 49 e 121 (mas este último já é maior que 100) portanto a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos é dada por: 4 + 9 + 25 + 49 = 87.

24. Resposta: B. O Argumento é uma sequência finita de proposições lógicas iniciais (Premissas) e uma proposição

final (conclusão). A validade de um argumento independe se a premissa é verdadeira ou falsa, observe a seguir:

Todo cavalo tem 4 patas (P1) Todo animal de 4 patas tem asas (P2) Logo: Todo cavalo tem asas (C) Observe que se tem um argumento com duas premissas, P1 (verdadeira) e P2 (falsa) e uma conclusão

C. Veja que este argumento é válido, pois se as premissas se verificarem a conclusão também se verifica: (P1) Todo cavalo tem 4 patas. Indica que se é cavalo então tem 4 patas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos cavalos é um subconjunto do conjunto de animais de 4 patas.

(P2) Todo animal de 4 patas tem asas. Indica que se tem 4 patas então o animal tem asas, ou seja,

posso afirmar que o conjunto dos animais de 4 patas é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.

(C) Todo cavalo tem asas. Indica que se é cavalo então tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto

de cavalos é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.

Observe que ao unir as premissas, a conclusão sempre se verifica. Toda vez que fizermos as

premissas serem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira, estaremos diante de um argumento válido. Observe:


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Desse modo, o conjunto de cavalos é subconjunto do conjunto dos animais de 4 patas e este por sua

vez é subconjunto dos animais que tem asas. Dessa forma, a conclusão se verifica, ou seja, todo cavalo tem asas. Agora na questão temos duas premissas e a conclusão é uma das alternativas, logo temos um argumento. O que se pergunta é qual das conclusões possíveis sempre será verdadeira dadas as premissas sendo verdadeiras, ou seja, qual a conclusão que torna o argumento válido. Vejamos:

Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1) Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. (P2) Artur gosta de Lógica (P3) Observe que deveremos fazer as três premissas serem verdadeiras, inicie sua análise pela premissa

mais fácil, ou seja, aquela que já vai lhe informar algo que deseja, observe a premissa três, veja que para ela ser verdadeira, Artur gosta de Lógica. Com esta informação vamos até a premissa um, onde temos a presença do “ou exclusivo” um ou especial que não aceita ao mesmo tempo que as duas premissas sejam verdadeiras ou falsas. Observe a tabela verdade do “ou exclusivo” abaixo:

p q p V q V V F V F V F V V F F F

Sendo as proposições: p: Lógica é fácil q: Artur não gosta de Lógica p v q = Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1) Observe que só nos interessa os resultados que possam tornar a premissa verdadeira, ou seja, as

linhas 2 e 3 da tabela verdade. Mas já sabemos que Artur gosta de Lógica, ou seja, a premissa q é falsa, só nos restando a linha 2, quer dizer que para P1 ser verdadeira, p também será verdadeira, ou seja, Lógica é fácil. Sabendo que Lógica é fácil, vamos para a P2, temos um se então.

Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Do se então já sabemos que: Geografia não é difícil - é o antecedente do se então. Lógica é difícil - é o consequente do se então. Chamando: r: Geografia é difícil ~r: Geografia não é difícil (ou Geografia é fácil) p: Lógica é fácil (não p) ~p: Lógica é difícil ~r → ~p (lê-se se não r então não p) sempre que se verificar o se então tem-se também que a negação

do consequente gera a negação do antecedente, ou seja: ~(~p) → ~(~r), ou seja, p → r ou Se Lógica é fácil então Geografia é difícil.

De todo o encadeamento lógico (dada as premissas verdadeiras) sabemos que: Artur gosta de Lógica Lógica é fácil Geografia é difícil Vamos agora analisar as alternativas, em qual delas a conclusão é verdadeira:


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a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. (V → F = F) a regra do “se então” é só ser falso se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso, nas demais possibilidades ele será sempre verdadeiro.

b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. (V ^ V = V) a regra do “e” é que só será verdadeiro se as proposições que o formarem forem verdadeiras.

c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. (V ^ F = F) d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. (F ^ V = F) e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. (F v F = F) a regra do “ou” é que só é falso quando as proposições

que o formarem forem falsas. 25. Resposta: A. Com os dados fazemos a tabela:

Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente.

I) Primeira hipótese: Se o inocente que fala verdade é o de camisa azul, não teríamos resposta, pois

o de azul fala que é culpado e então estaria mentindo. II) Segunda hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa preta, também não teríamos

resposta, observem: Se ele fala a verdade e declara que roubou ele é o culpado e não inocente. III) Terceira hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa branca achamos a resposta,

observem: Ele é inocente e afirma que o de camisa branca é culpado, ele é o inocente que sempre fala a verdade. O de camisa branca é o culpado que ora fala a verdade e ora mente (no problema ele está dizendo a verdade). O de camisa preta é inocente e afirma que roubou, logo ele é o inocente que está sempre mentindo.

O resultado obtido pelo sábio aluno deverá ser: O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta

sempre mente (Alternativa A). 26. Resposta: C. Uma questão de lógica argumentativa, que trata do uso do conectivo “se então” também representado

por “→”. Vamos a um exemplo: Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça. Aqui estamos tratando de uma proposição composta

(Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça) formada por duas proposições simples (duque sair do castelo) (rei ir à caça), ligadas pela presença do conectivo (→) “se então”. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma: Se p então q, ou seja:

→ p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como antecedente.

→ q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como consequente.

→ Se p então q também pode ser lido como p implica em q. → p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra, ou seja, basta que p ocorra para q

ocorrer. → q é conhecida como condição necessária para que p ocorra, ou seja, se q não ocorrer então p

também não irá ocorrer. Vamos às informações do problema: 1) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo. Chamando A (proposição rei ir

à caça) e B (proposição duque sair do castelo) podemos escrever que se B então A ou B → A. Lembre-se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”.


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2) O rei ir à caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Chamando A (proposição rei ir à caça) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se A então C ou A → C. Lembre-se de que ser condição suficiente é ser antecedente no “se então”.

3) O conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e E (proposição barão sorrir) podemos escrever que D se e somente se E ou D ↔ E (conhecemos este conectivo como um bicondicional, um conectivo onde tanto o antecedente quanto o consequente são condição necessária e suficiente ao mesmo tempo), onde poderíamos também escrever E se e somente se D ou E → D.

4) O conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se C então D ou C → D. Lembre-se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”.

A única informação claramente dada é que o barão não sorriu, ora chamamos de E (proposição barão sorriu). Logo barão não sorriu = ~E (lê-se não E).

Dado que ~E se verifica e D ↔ E, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: esse modo ~E → ~D (então o conde não encontrou a princesa).

Se ~D se verifica e C → D, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~D → ~C (a duquesa não foi ao jardim).

Se ~C se verifica e A → C, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~C → ~A (então o rei não foi à caça).

Se ~A se verifica e B → A, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~A → ~B (então o duque não saiu do castelo).

Observe entre as alternativas, que a única que afirma uma proposição logicamente correta é a

alternativa C, pois realmente deduziu-se que o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. 27. Resposta: D. Como todas as informações dadas são verdadeiras, então podemos concluir que: 1 - Basílio pagou; 2 - Carlos pagou; 3 - Antônio pagou, justamente, com os R$ 100,00 e pegou os R$ 60,00 de troco que, segundo Carlos,

estavam os R$ 50,00 pagos por Eduardo, então... 4 - Eduardo pagou com a nota de R$ 50,00. O único que escapa das afirmações é o Danton. Outra forma: 5 amigos: A,B,C,D, e E. Antônio: - Basílio pagou. Restam A, D, C e E. Danton: - Carlos também pagou. Restam A, D, e E. Eduardo: - Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10,00. Restam A, D, e E. Basílio: - Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio. Restam D, e E. Carlos: - Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota de R$ 50,00 que o Eduardo colocou. Resta

somente D (Dalton) a pagar. 28. Resposta: B. 1°: separar a informação que a questão forneceu: "não vou morar em passárgada". 2°: lembrando-se que a regra do ou diz que: para ser verdadeiro tem de haver pelo menos uma

proposição verdadeira. 3°: destacando-se as informações seguintes: - caso ou compro uma bicicleta. - viajo ou não caso. - vou morar em passárgada ou não compro uma bicicleta. Logo: - vou morar em pasárgada (F) - não compro uma bicicleta (V) - caso (V) - compro uma bicicleta (F) - viajo (V) - não caso (F)


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Conclusão: viajo, caso, não compro uma bicicleta. Outra forma: c = casar b = comprar bicicleta v = viajar p = morar em Passárgada Temos as verdades: c ou b v ou ~c p ou ~b Transformando em implicações: ~c → b = ~b → c ~v → ~c = c → v ~p → ~b Assim: ~p → ~b ~b → c c → v Por transitividade: ~p → c ~p → v Não morar em passárgada implica casar. Não morar em passárgada implica viajar. 29. Resposta: C. A declaração dizia: “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”.

Porém, o diretor percebeu que havia se enganado, portanto, basta que um funcionário não tenha plano de saúde ou ganhe até R$ 3.000,00 para invalidar, negar a declaração, tornando-a desse modo FALSA. Logo, necessariamente, um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês.

Proposição composta no conectivo “e” - “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Logo: basta que uma das proposições seja falsa para a declaração ser falsa.

1ª Proposição: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde. 2ª Proposição: ganha mais de R$ 3.000,00 por mês. Lembre-se que no enunciado não fala onde foi o erro da declaração do gerente, ou seja, pode ser na

primeira proposição e não na segunda ou na segunda e não na primeira ou nas duas que o resultado será falso.

Na alternativa C a banca fez a negação da primeira proposição e fez a da segunda e as ligaram no conectivo “ou”, pois no conectivo “ou” tanto faz a primeira ser verdadeira ou a segunda ser verdadeira, desde que haja uma verdadeira para o resultado ser verdadeiro.

Atenção: A alternativa “E” está igualzinha, só muda o conectivo que é o “e”, que obrigaria que o erro da declaração fosse nas duas.

A questão pede a negação da afirmação: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde “e” ganha mais de R$ 3.000,00 por mês.

Essa fica assim ~(p ^ q). A negação dela ~pv~q ~(p^q) ↔ ~pv~q (negação todas “e” vira “ou”) A 1ª proposição tem um Todo que é quantificador universal, para negá-lo utilizamos um quantificador

existencial. Pode ser: um, existe um, pelo menos, existem... No caso da questão ficou assim: Um funcionário da empresa não possui plano de saúde “ou” ganha

até R$ 3.000,00 por mês. A negação de ganha mais de 3.000,00 por mês, é ganha até 3.000,00.


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30. Resposta: B. Sendo: Segunda = S e Quarta = Q, Pedro tem aula de Natação = PN e Pedro tem aula de Futebol = PF. V = conectivo ou e → = conectivo Se, ... então, temos: S V Q → PF V PN Sendo Je = Jane leva Pedro para a escolinha e ~Je = a negação, ou seja Jane não leva Pedro a

escolinha. Ainda temos que ~Ja = Jane deixa de fazer o almoço e C = Carlos almoça em Casa e ~C = Carlos não almoça em casa, temos:

PF V PN → Je Je → ~Ja ~Ja → ~C Em questões de raciocínio lógico devemos admitir que todas as proposições compostas são

verdadeiras. Ora, o enunciado diz que Carlos almoçou em casa, logo a proposição ~C é Falsa. ~Ja → ~C Para a proposição composta ~Ja → ~C ser verdadeira, então ~Ja também é falsa. ~Ja → ~C Na proposição acima desta temos que Je → ~Ja, contudo já sabemos que ~Ja é falsa. Pela mesma

regra do conectivo Se, ... então, temos que admitir que Je também é falsa para que a proposição composta seja verdadeira.

Na proposição acima temos que PF V PN → Je, tratando PF V PN como uma proposição individual e sabendo que Je é falsa, para esta proposição composta ser verdadeira PF V PN tem que ser falsa.

Ora, na primeira proposição composta da questão, temos que S V Q → PF V PN e pela mesma regra já citada, para esta ser verdadeira S V Q tem que ser falsa. Bem, agora analisando individualmente S V Q como falsa, esta só pode ser falsa se as duas premissas simples forem falsas. E da mesma maneira tratamos PF V PN.

Representação lógica de todas as proposições: S V Q → PF V PN (f) (f) (f) (f) F F PF V PN → Je F F Je → ~Ja F F ~Ja → ~C F F Conclusão: Carlos almoçou em casa hoje, Jane fez o almoço e não levou Pedro à escolinha esportiva,

Pedro não teve aula de futebol nem de natação e também não é segunda nem quarta. Agora é só marcar a questão cuja alternativa se encaixa nesse esquema.

31. Resposta: C. Dê nome: A = AFINO as cordas; I = INSTRUMENTO soa bem; T = TOCO bem; S = SONHO acordado. Montando as proposições: 1° - A → I


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2° - I → T 3° - ~T V S (ou exclusivo) Como S = FALSO; ~T = VERDADEIRO, pois um dos termos deve ser verdadeiro (equivale ao nosso

“ou isso ou aquilo, escolha UM”). ~T = V T = F I → T (F) Em muitos casos, é um macete que funciona nos exercícios “lotados de condicionais”, sendo assim o

F passa para trás. Assim: I = F Novamente: A → I (F) O FALSO passa para trás. Com isso, A = FALSO. ~A = Verdadeiro = As cordas não foram afinadas. Outra forma: partimos da premissa afirmativa ou de conclusão; última frase: Não sonho acordado será VERDADE Admita todas as frases como VERDADE Ficando assim de baixo para cima Ou não toco muito bem (V) ou sonho acordado (F) = V Se o instrumento soa bem (F) então toco muito bem (F) = V Se afino as cordas (F), então o instrumento soa bem (F) = V A dica é trabalhar com as exceções: na condicional só dá falso quando a primeira V e a segunda F.

Na disjunção exclusiva (ou... ou) as divergentes se atraem o que dá verdade. Extraindo as conclusões temos que:

Não toco muito bem, não sonho acordado como verdade. Se afino as corda deu falso, então não afino as cordas. Se o instrumento soa bem deu falso, então o instrumento não soa bem. Joga nas alternativas: (A) sonho dormindo (você não tem garantia de que sonha dormindo, só temos como verdade que não

sonho acordado, pode ser que você nem sonhe). (B) o instrumento afinado não soa bem deu que: Não afino as cordas. (C) Verdadeira: as cordas não foram afinadas. (D) mesmo afinado (Falso deu que não afino as cordas) o instrumento não soa bem. (E) toco bem acordado e dormindo, absurdo. Deu não toco muito bem e não sonho acordado.

Referências IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva GONÇALVES, Antônio R. - Matemática para Cursos de Graduação – Contexto e Aplicações CABRAL, Luiz Claudio; NUNES, Mauro César – Matemática básica explicada passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. http://mat.ufrgs.br http://www.porcentagem.org http://interna.coceducacao.com.br http://www.infoescola.com


02 Raciocinio Logico e Matematico (1)

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