2 Raciocinio Logico Matematico

RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO

Didatismo e Conhecimento 1


1. LÓGICA: PROPOSIÇÕES, VALOR-VERDADE NEGAÇÃO,

CONJUNÇÃO, DISJUNÇÃO, IMPLICAÇÃO, EQUIVALÊNCIA, PROPOSIÇÕES

COMPOSTAS.

Proposições ou Sentenças

Uma proposição é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Ela é o significado da afirmação, não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado. Por exemplo, “Existe um número primo par maior que dois” é uma proposição (no caso, falsa). “Um número primo par maior que dois existe” é a mesma proposição, expressa de modo diferente. É muito fácil mudar acidentalmente o significado das palavras apenas reorganizando-as. A dicção da proposição deve ser considerada algo significante. É possível utilizar a linguística formal para analisar e reformular uma afirmação sem alterar o significado.

As sentenças ou proposições são os elementos que, na linguagem escrita ou falada, expressam uma ideia, mesmo que absurda. Considerar-se-ão as que são bem definidas, isto é, aquelas que podem ser classificadas em falsas ou verdadeiras, denominadas declarativas. As proposições geralmente são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s...

Considere os exemplos a seguir:

p: Mônica é inteligente.q: Se já nevou na região Sul, então o Brasil é um país europeu.r: 7 > 3s: 8 + 2 ≠ 10

Tipos de Proposições

Podemos classificar as sentenças ou proposições, conforme o significado de seu texto, em:

- Declarativas ou afirmativas: são as sentenças em que se afirma algo, que pode ou não ser verdadeiro. Exemplo: Júlio César é o melhor goleiro do Brasil.

- Interrogativas: são aquelas sentenças em que se questiona algo. Esse tipo de sentença não admite valor verdadeiro ou falso. Exemplo: Lula estava certo em demitir a ministra?

- Imperativas ou ordenativas: são as proposições em que se ordena alguma coisa. Exemplo: Mude a geladeira de lugar.

Proposições Universais e Particulares

As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto. Exemplo:

“Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “Todo S é P”

Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário.

Exemplo: “O cão é mamífero”.As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo: “Alguns

homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.

Proposições Afirmativas e Negativas

No caso de negativa podemos ter:

“Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S é P”.



“Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não é P”.

No caso de afirmativa consideramos o item anterior.

Chamaremos as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”.

Então teremos a tabela:

AFIRMATIVA NEGATIVAUNIVERSAL Todo S é P (A) Nenhum S é P (E)PARTICULAR Algum S é P (I) Algum S não é P (O)

Diagrama de Euler

Para analisar, poderemos usar o diagrama de Euler.

- Todo S é P (universal afirmativa – A)

P

S ou

P=S

- Nenhum S é P (universal negativa – E)

S P

- Algum S é P (particular afirmativa – I)

SP

ou

P

Sou

P=S

ou

S

P

- Algum S não é P (particular negativa – O)

S

P

ou

S

Pou

S P



Princípios

- Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. - Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não

podendo ter outro valor.a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo” é um proposição verdadeira.b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira.c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa.As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando

novas sentenças chamadas de moléculas. Os conectivos serão representados da seguinte forma:

corresponde a “não” ∧ corresponde a “e” ∧

corresponde a “ou” ⇒ corresponde a “então” ⇔ corresponde a “se somente se”

Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:

- Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b)- Disjunções: a

∧

b (lê-se: a ou b) - Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b) - Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b)

Exemplo

“Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF”

Sejam as proposições:p = “Cacilda é estudiosa”q = “Ela passará no AFRF”

Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma:Se p então q (ou p ⇒q)

Sentenças Abertas

Existem sentenças que não podem ser classificadas nem como falsas, nem como verdadeiras. São as sentenças chamadas sentenças abertas.

Exemplos

1. 94:)( =+xxp

A sentença matemática 94 =+x é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a equação. Obviamente, apenas um deles, 5=x , tornando a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como .5−=x

2. 3:)( <xxq

Dessa maneira, na sentença 3<x , obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. Porém, alguns são verdadeiros, como 2−=x , e outros são falsos, como .7+=x



Atenção: As proposições ou sentenças lógicas são representadas por letras latinas e podem ser classificadas em abertas ou fechadas.

A sentença 522:)( =+xs é uma sentença fechada, pois a ela se pode atribuir um valor lógico; nesse caso, o valor de )(xs é F, pois a sentença é falsa.

A sentença )(xp “Phil Collins é um grande cantor de música pop internacional” é fechada, dado que possui um valor lógico e esse valor é verdadeiro.

Já a sentença )(xe “O sorteio milionário da Mega-Sena” é uma sentença aberta, pois não se sabe o objetivo de falar do sorteio da Mega-Sena, nem se pode atribuir um valor lógico para que )(xe seja verdadeiro, ou falso.

Modificadores

A partir de uma proposição, podemos formar outra proposição usando o modificador “não” (~), que será sua negação, a qual possuirá o valor lógico oposto ao da proposição.

Exemplo

p: Jacira tem 3 irmãos.~p: Jacira não tem 3 irmãos.

É fácil verificar que:1. Quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa.2. Quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira.

V ou F Sentença: p Negação: ~p V ou F

V N∈4 N∉4 F

F 12 é divisível por zero 12 não é divisível por zero. V

Para classificar mais facilmente as proposições em falsas ou verdadeiras, utilizam-se as chamadas tabelas-verdade.

Para negação, tem-se

p ~pV FF V

Atenção: A sentença negativa é representada por “~”.

A sentença t: “O time do Paraná resistiu à pressão do São Paulo” possui como negativa de t, ou seja, “~t”, o correspondente a: “O time do

Paraná não resistiu à pressão do São Paulo”.

Observação: Alguns matemáticos utilizam o símbolo “¬ O Brasil possui um grande time de futebol”, que pode ser lida como “O Brasil não possui um grande time de futebol”.

Proposições Simples e Compostas

Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também denominada molecular). As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases formadas por apenas uma oração. As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas.



Exemplos

(1) p: eu sou estudioso(2) q: Maria é bonita (3) r: 3 + 4 > 12

Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples. Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...). Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P.

Exemplos:

(4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita.(5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa.(6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 5.(7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b < a.

As proposições simples são aquelas que expressam “uma única ideia”. Constituem a base da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...).

As proposições composta são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q e r.

Exemplos

São proposições simples:p: A lua é um satélite da terra.q: O número 2 é primo.r: O número 2 é par.s: Roma é a capital da França.t: O Brasil fica na América do Sul.u: 2 + 5 = 3 . 4

São proposições compostas:P(q, r): O número 2 é primo ou é par.Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América do Sul.R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.Não são proposições lógicas:- Roma- O cão do menino- 7+1- As pessoas estudam- Quem é?- Que pena!

Tabela Verdade

Proposição Simples - Segundo o princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p, é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F).

pVF



Proposição Composta - O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinados. É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógico de uma proposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.

Proposição Composta - 02 proposições simples

Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são:

p qV VV FF VF F

Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F.

Proposição Composta - 03 proposições simples

No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:

p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.

Notação: O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V. Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F.

Exemplos

p: o sol é verde;q: um hexágono tem nove diagonais;r: 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0V(p) = FV(q) = VV(r) = F



Questões

01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições:a) P ˅ ~qb) p → qc) ~p ^ ~qd) p ↔ ~qe) (p ˅ ~q) ↔ (q ^~p)

02. Considere as proposições p: A terra é um planeta e q: Aterra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol.b) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol.c) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol.d) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta.e) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.(Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”)

03. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é impar”, determine:a) a contrapositivab) a recíproca

04.a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F e V (~r ^ ~s) = V, determine V (p → r ^ s).b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V e V (p ˅ r → q) = F, determine V (p), V (q), V (r).c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r).

05. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas:a) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0b) x² ˃ 4 ↔ x² -5x + 6 = 0

06. Use o diagrama de Venn para decidir quais das seguintes afirmações são válidas:

a) Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos, logo nenhum pássaro é um girassol.b) Alguns baianos são surfistas. Alguns surfistas são louros. Não existem professores surfistas. Conclusões:I- Alguns baianos são louros.II- Alguns professores são baianos.III- Alguns louros são professores.IV- Existem professores louros.

07. (CESPE - PF - Regional) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ̚ , ^, ˅ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto, julgue os itens a seguir.

a) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( ̚ P) ˅ ( ̚ Q) também é verdadeira.b) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R→ ( ̚ T) é falsa.c) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ^ R) → (¬ Q) é verdadeira.

08. (CESPE - Papiloscopista) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. A partir das informações do texto, julgue os itens subsequentes.

a) As tabelas de valorações das proposições P v Q e Q → ¬P são iguais.b) As proposições (P v Q) → S e (P → S) v (Q → S) possuem tabelas de valorações iguais.



09. (CESPE - PF - Regional) Considere as sentenças abaixo.

I- Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.II- Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.III- Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.IV- Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido.V- Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus

fumam.Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.

P Fumar deve ser proibido.Q Fumar de ser encorajado.R Fumar não faz bem à saúde.T Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.

a) A sentença I pode ser corretamente representada por P ^ (¬ T).b) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ^ (¬ R).c) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.d) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ^ (¬ T)) → P.e) A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ^ (¬ P)).

10. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:a) A loura é Sara e vai à Espanha.b) A ruiva é Sara e vai à França.c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.d) A morena é Bete e vai à Espanha.e) A loura é Elza e vai à Alemanha.

Respostas:

01. a) “Está frio ou não está chovendo”.b) “Se está frio então está chovendo”.c) “Não está frio e não está chovendo”.d) “Está frio se e somente se não está chovendo”.e) “Está frio e não está chovendo se e somente se está chovendo e não está frio”.

02. a) ~(p ˅ q);b) p → qc) ~(p ˅ ~q)d) ~p ^ ~qe) q ↔ ~p



03.a) a contrapositiva: “Se p 2 e p é par, então p não é primo”.b) a recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar, então p é primo”.

04.a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F (1) e V (~r ^ ~s) = V (2), determine V (p → r ^ s). Solução: De (2) temos que V (r) = V (s) = F;

Usando estes resultados em (1) obtemos: V (p) = V (q) = V, logo, V (p → r ^ s) = Fb) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V (1) e V (p ˅ r → q) = F (2), determine V (p), V (q) e V (r). Solução: De (1) concluímos que V (p)

= V e V (q ˅ r) = V e de (2) temos que V (q) = F, logo V (r) = Vc) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r). Solução: Vamos supor V (p ^ r → q ^ r) = F. Temos

assim que V (p ^ r) = V e V (q ^ r) = F, o que nos permite concluir que V (p) = V (r) = V e V (q) = F, o que contradiz V (p → q) = V. Logo, V (p ˅ r → q ˅ r) = V. Analogamente, mostramos que V (p ˅ r → q ˅ r) = V.

05. a) R – {2}b) [-2,2[

06.a) O diagrama a seguir mostra que o argumento é falso:

b) O diagrama a seguir mostra que todos os argumentos são falsos:

07.a) Item ERRADO. Pela tabela do “ou” temos:(¬ P) v (¬ Q)(¬ V) v (¬ V)(F) v (F)Falsa

b) Item ERRADO. A condicional regra que:R → (¬ T)F (¬ V)F (F)Verdadeira

c) Item CERTO. Obedecendo a conjunção e a condicional:(P ^ R) → (¬ Q)(V ^ F) → (¬ V) F FVerdadeira



08.a) Item ERRADO. Basta considerarmos a linha da tabela-verdade onde P e Q são ambas proposições verdadeiras para verificar

que as tabelas de valorações de P v Q e Q → ¬P não são iguais:

P Q ¬P P v Q Q → ¬PV V F V F

b) Item ERRADO. Nas seguintes linhas da tabela-verdade, temos os valores lógicos da proposição (P v Q) → S diferente dos da proposição (P → S) v (Q → S):

P Q S (P v Q) → S P → S v Q → SV F F F VF V F F V

09. a) Item ERRADO. Sua representação seria P ^ T.b) Item CERTO. Apenas deve-se ter o cuidado para o que diz a proposição R: “Fumar não faz bem à saúde”. É bom sempre

ficarmos atentos à atribuição inicial dada à respectiva letra.c) Item CERTO. É a representação simbólica da Condicional entre as proposições R e P.d) Item CERTO. Proposição composta, com uma Conjunção (R ^ ¬T) como condição suficiente para P.d) Item ERRADO. Dizer “...consequentemente...” é dizer “se... então...”. A representação correta seria ((¬ R) ^ (¬ P)) → T.

10. Resposta “E”.A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma

melhor visualização de todo o problema. Inicialmente analise o que foi dado no problema:a) São três amigasb) Uma é loura, outra morena e outra ruiva.c) Uma é Bete, outra Elza e outra Sara.d) Cada uma fará uma viagem a um país diferente da Europa: Alemanha, França e Espanha.e) Elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

Faça uma tabela:

Cor dos cabelos Loura Morena Ruiva

Afirmação Não vou à França nem a Espanha

Meu nome não é Elza nem Sara

Nem eu nem Elza vamos à

França

País Alemanha França EspanhaNome Elza Bete Sara

Com a informação da loura, sabemos que ela vai para a Alemanha.Com a informação da morena, sabemos que ela é a Bete.Com a informação da ruiva sabemos que ela não vai à França e nem Elza, mas observe que a loura vai a Alemanha e a ruiva não

vai à França, só sobrando a Bete ir à França. Se Bete vai à França a ruiva coube a Espanha. Elza é a loura e Sara fica sendo a ruiva.



Estruturas Lógicas – Verdade ou Mentira

Na lógica, uma estrutura (ou estrutura de interpretação) é um objeto que dá significado semântico ou interpretação aos símbolos definidos pela assinatura de uma linguagem. Uma estrutura possui diferentes configurações, seja em lógicas de primeira ordem, seja em linguagens lógicas poli-sortidas ou de ordem superior. As questões de Raciocínio Lógico sempre vão ser compostas por proposições que provam, dão suporte, dão razão a algo, ou seja, são afirmações que expressam um pensamento de sentindo completo. Essas proposições podem ter um sentindo positivo ou negativo.

Exemplo 1: João anda de bicicleta. Exemplo 2: Maria não gosta de banana. Tanto o exemplo 1 quanto o 2 caracterizam uma afirmação/proposição.

A base das Estruturas Lógicas é saber o que é Verdade ou Mentira (verdadeiro/falso). Os resultados das proposições sempre tem que dar verdadeiro. Há alguns princípios básicos:

Contradição: Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Terceiro Excluído: Dadas duas proposições lógicas contraditórias somente uma delas é verdadeira. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não há um terceiro valor lógico (“mais ou menos”, meio verdade ou meio mentira). Ex. Estudar é fácil. (o contrário seria: “Estudar é difícil”. Não existe meio termo, ou estudar é fácil ou estudar é difícil).

Para facilitar a resolução das questões de lógica usam-se os conectivos lógicos, que são símbolos que comprovam a veracidade das informações e unem as proposições uma a outra ou as transformam numa terceira proposição. Veja:

(~) “não”: negação(Λ) “e”: conjunção(V) “ou”: disjunção(→) “se...então”: condicional(↔) “se e somente se”: bicondicional

Temos as seguintes proposições:

O Pão é barato. O Queijo não é bom.A letra p representa a primeira proposição e a letra q, a segunda. Assim, temos:p: O Pão é barato. q: O Queijo não é bom.

Negação (símbolo ~): Quando usamos a negação de uma proposição invertemos a afirmação que está sendo dada. Veja os exemplos:

~p (não p): O Pão não é barato. (É a negação lógica de p)~q (não q): O Queijo é bom. (É a negação lógica de q)Se uma proposição é verdadeira, quando usamos a negação vira falsa.Se uma proposição é falsa, quando usamos a negação vira verdadeira.Regrinha para o conectivo de negação (~):

P ~P

V F

F V



Conjunção (símbolo Λ): Este conectivo é utilizado para unir duas proposições formando uma terceira. O resultado dessa união somente será verdadeiro se as duas proposições (p e q) forem verdadeiras, ou seja, sendo pelo menos uma falsa, o resultado será falso. Ex.: p Λ q. (O Pão é barato e o Queijo não é bom). Λ = “e”. Regrinha para o conectivo de conjunção (Λ):

P Q PΛQV V VV F FF V FF F F

Disjunção (símbolo V): Este conectivo também serve para unir duas proposições. O resultado será verdadeiro se pelo menos uma das proposições for verdadeira. Ex: p v q. (Ou o Pão é barato ou o Queijo não é bom.) V = “ou”. Regrinha para o conectivo de disjunção (V):

P Q PVQV V VV F VF V VF F F

Condicional (símbolo →): Este conectivo dá a ideia de condição para que a outra proposição exista. “P” será condição suficiente para “Q” e “Q” é condição necessária para “P”. Ex: P → Q. (Se o Pão é barato então o Queijo não é bom.) → = “se...então”. Regrinha para o conectivo condicional (→):

P Q P→QV V VV F FF V VF F V

Bicondicional (símbolo ↔): O resultado dessas proposições será verdadeiro se e somente se as duas forem iguais (as duas verdadeiras ou as duas falsas). “P” será condição suficiente e necessária para “Q”. Exemplo: P ↔ Q. (O Pão é barato se e somente se o Queijo não é bom.) ↔ = “se e somente se”. Regrinha para o conectivo bicondicional (↔):

P Q P↔QV V VV F FF V FF F V

QUESTÕES

01. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) A afirmação “A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro” tem como sentença logicamente equivalente:

(A) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.(B) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.(C) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.(D) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.(E) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.



02. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) Se Anamara é médica, então Angélica é médica. Se Anamara é arquiteta, então Angélica ou Andrea são médicas. Se Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. Se Andrea é médica, então Anamara é médica. Considerando que as afirmações são verdadeiras, segue- se, portanto, que:

(A) Anamara, Angélica e Andrea são arquitetas.(B) Anamara é médica, mas Angélica e Andrea são arquitetas.(C) Anamara, Angélica e Andrea são médicas.(D) Anamara e Angélica são arquitetas, mas Andrea é médica.(E) Anamara e Andrea são médicas, mas Angélica é arquiteta.

03. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. Se Ana é pianista, Denise é violinista. Se Ana é violinista, então Denise é pianista. Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. Sabendo-se que nenhuma delas toca mais de um instrumento, então Ana, Beatriz e Denise tocam, respectivamente:

(A) piano, piano, piano.(B) violino, piano, piano.(C) violino, piano, violino.(D) violino, violino, piano.(E) piano, piano, violino.

(CESPE – TRE-RJ – Técnico Judiciário)

Texto para as questões de 04 a 07.

O cenário político de uma pequena cidade tem sido movimentado por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra de votos dos vereadores. A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspondentes às proposições P, Q e R:

P: O vereador Vitor não participou do esquema;Q: O Prefeito Pérsio sabia do esquema;R: O chefe de gabinete do Prefeito foi o mentor do esquema.

Os trabalhos de investigação de uma CPI da Câmara Municipal conduziram às premissas P1, P2 e P3 seguintes:

P1: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o Prefeito Pérsio não sabia do esquema.P2: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o Prefeito Pérsio sabia do esquema, mas não ambos.P3: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. 04. Das premissas P1, P2 e P3, é correto afirmar que “O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador Vitor participou

do esquema”.

( ) Certo ( ) Errado

05. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. A premissa P2 pode ser corretamente representada por R ∨ Q.


06. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. A premissa P3 é logicamente equivalente à proposição “O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema”.


07. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. A partir das premissas P1, P2 e P3, é correto inferir que o prefeito Pérsio não sabia do esquema.




08. (CESPE - TRE-ES - Técnico) Entende-se por proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, que afirmam fatos ou exprimam juízos a respeito de determinados entes. Na lógica bivalente, esse juízo, que é conhecido como valor lógico da proposição, pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), sendo objeto de estudo desse ramo da lógica apenas as proposições que atendam ao princípio da não contradição, em que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa; e ao princípio do terceiro excluído, em que os únicos valores lógicos possíveis para uma proposição são verdadeiro e falso. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. Segundo os princípios da não contradição e do terceiro excluído, a uma proposição pode ser atribuído um e somente um valor lógico.


(CESPE - TRT-ES – Técnico Judiciário) Proposição

Texto para as questões 09 e 10.

Proposições são frases que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como V e F simultaneamente. As proposições simples são aquelas que não contêm nenhuma outra proposição como parte delas. As proposições compostas são construídas a partir de outras proposições, usando-se símbolos lógicos, parênteses e colchetes para que se evitem ambiguidades. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C, etc. Uma proposição composta da forma A ∨ B, chamada disjunção, deve ser lida como “A ou B” e tem o valor lógico F, se A e B são F, e V, nos demais casos. Uma proposição composta da forma A

∨

B, chamada conjunção, deve ser lida como “A e B” e tem valor lógico V, se A e B são V, e F, nos demais casos. Além disso, A, que simboliza a negação da proposição A, é V, se A for F, e F, se A for V. Considere que cada uma das proposições seguintes tenha valor lógico V.

I- Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidadeII- Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio.III- Jorge não foi ao centro da cidade.

09. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição “Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade” tem valor lógico V.


10. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição. “Carla pagou o condomínio” tem valor lógico F.


Respostas

01. Resposta “C”.

Proposição EquivalenteP → Q ~Q → ~PP → Q ~P ∨ QP → Q P é suficiente para QP → Q Q é necessário para P

A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro. (~P) (∨ ) (Q)

Se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. (~P) (→) (Q)

Sintetizando: Basta negar a primeira, manter a segunda e trocar o “ou” pelo “se então”. “A menina tem olhos azuis (M) ou o menino é loiro (L)”.



Está assim: M v LFica assim: ~M → L

Se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.

02. Parte inferior do formulárioResposta “C”.

Anamara médica → Angélica médica. (verdadeira → verdadeira)Anamara arquiteta → Angélica médica ∨ Andrea médica. (falsa → verdadeira ∨ verdadeira)Andrea arquiteta → Angélica arquiteta. (falsa → falsa)Andrea médica → Anamara médica. (verdadeira → verdadeira)

Como na questão não existe uma proposição simples, temos que escolher entre as existentes, uma proposição composta e supor se é verdadeira ou falsa. Nesta questão analise as proposições à medida que aparecem na questão, daí a primeira proposição sobre a pessoa assume o valor de verdade, as seguintes serão, em regra, falsas. Embora nada impeça que uma pessoa tenha mais de uma profissão, o que não deve ser levado em consideração. Importante lembrar que todas as proposições devem ter valor lógico verdadeiro. Para encontrar a resposta temos que testar algumas hipóteses até encontrar a que preencha todos os requisitos da regra.

- Se Anamara é médica, então Angélica é médica. (verdadeiro) 1. V V2. F F3. F V

- Se Anamara é arquiteta, então Angélica ou Andrea são médicas. (verdadeiro)1. F V V - Para ser falso Todos devem ser falsos.2. V F V - A segunda sentença deu falso e a VF apareceu, então descarta essa hipótese.3. V V F - Aqui também ocorreu o mesmo problema da 2º hipótese, também devemos descartá-la.

- Se Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. (verdadeiro)1. F F2.3.

- Se Andrea é médica, então Anamara é médica. (verdadeiro)1. V V2. 3.

03. Resposta “B”.

Ana pianista → Beatriz violinista. (F → F)Ana violinista → Beatriz pianista. (V → V)Ana pianista → Denise violinista. (F → F)Ana violinista → Denise pianista. (V → V)Beatriz violinista → Denise pianista. (F → V)

Proposições Simples quando aparecem na questão, suponhamos que sejam verdadeiras (V). Como na questão não há proposições simples, escolhemos outra proposição composta e supomos que seja verdadeira ou falsa.

1º Passo: qual regra eu tenho que saber? Condicional (Se... então).2º Passo: Fazer o teste com as hipóteses possíveis até encontrar a resposta.



Hipótese 1

- Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. (verdade)V V - Como já sabemos, se a (verdade) aparecer primeiro, a (falso) não poderá.

- Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. (verdade)F F - Já sabemos que Ana é pianista e Bia é violinista, então falso nelas.- Se Ana é pianista, Denise é violinista. (verdade)V V

- Se Ana é violinista, então Denise é pianista. (verdade)F F

- Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. (verdade)V F - Apareceu a temida V F, logo a nossa proposição será falsa. Então descarte essa hipótese.

Hipótese 2

- Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. (verdade)F V

- Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. (verdade)V F - A VF apareceu, então já podemos descartá-la, pois a nossa proposição será falsa.

04. Resposta “Certo”.

É só aplicar a tabela verdade do “ou” (v). V v F será verdadeiro, sendo falso apenas quando as duas forem falsas.

A tabela verdade do “ou”. Vejam:

p q p ∨ qV V F V F VF V VF F F

No 2º caso, os dois não podem ser verdade ao mesmo tempo.

Disjunção exclusiva (Ou... ou)Representado pelo v, ou ainda ou.Pode aparecer assim também: p v q, mas não ambos.

Regra: Só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e outra falsa.

Hipótese 1:

P1: F → V = V (Não poderá aparecer VF).P2: V F = V (Apenas um tem que ser verdadeiro).P3: F → F = V



Conclusões:Vereador participou do esquema.Prefeito não sabia.Chefe do gabinete foi o mentor.

Então:O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador Vitor participou do esquema.V V = verdade, pois sabemos que para ser falso, todos devem ser falsos.

Hipótese 2:P1: F → F = VP2: F V = VP3: F →V = V

Conclusões:Vereador participou do esquema.Prefeito sabia.Chefe de gabinete não era o mentor.

Então:O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador Vitor participou do esquema.F V = verdade.

05. Resposta “Errado”.Não se trata de uma Disjunção, trata-se de uma Disjunção Exclusiva, cujo símbolo é . Também chamado de “Ou Exclusivo”. É o

famoso “um ou outro mas não ambos”. Só vai assumir valor verdade, quando somente uma das proposições forem verdadeiras, pois quando as duas forem verdadeiras a proposição será falsa. Da mesma forma se as duas forem falsas, a proposição toda será falsa.

Tabela verdade do “Ou Exclusivo”.

p q p ∨ qV V F V F VF V VF F F

Com a frase em P2 “mas não ambos” deixa claro que as duas premissas não podem ser verdadeiras, logo não é uma Disjunção, mas sim uma Disjunção Exclusiva, onde apenas uma das premissas pode ser verdadeira para que P2 seja verdadeira.

06. Resposta “Certo”.Duas premissas são logicamente equivalentes quando elas possuem a mesma tabela verdade:

P R ¬P ¬R P → R ¬R → P ¬P ∨ RV V F F V V VV F F V F F FF V V F V V VF F V V V V V

Possuem a mesma tabela verdade, logo são equivalentes.



Representando simbolicamente as equivalências, temos o seguinte:(P → R) = (¬P ∨ R) = (¬R → ¬P)

As proposições dadas na questão:P = O vereador Vitor não participou do esquema.R = O chefe de gabinete do Prefeito foi o mentor do esquema.Premissa dada na questão: P3 = Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe do gabinete não foi o mentor do

esquema. Em linguagem simbólica, a premissa P3 fica assim: (P → ¬R).A questão quer saber se (P → ¬R) é logicamente equivalente a proposição: “O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe

de gabinete não foi o mentor do esquema”, que pode ser representada da seguinte forma: (¬P ∨ ¬R). Vemos que P3 tem a seguinte equivalente lógica: (P → ¬R) = (¬P ∨ ¬R). Negamos a primeira sentença, mudamos o conectivo “→” para “∨”, e depois mantemos a segunda sentença do mesmo jeito. Assim sendo, a questão está correta. As duas sentenças são “logicamente equivalentes”.

07. Resposta “Errado”.A questão quer saber se o argumento “o Prefeito Pérsio não sabia do esquema” é um argumento válido. Quando o argumento é

válido? Quando as premissas forem verdadeiras e a conclusão obrigatoriamente verdadeira ou quando as premissas forem falsas e a conclusão falsa. Quando o argumento não é válido? Quando as premissas forem verdadeiras e a conclusão for falsa. Pra resolver essas questões de validade de argumento é melhor começar de forma contrária ao comando da questão. Como a questão quer saber se o argumento é válido, vamos partir do princípio (hipótese) que é inválido. Fica assim:

P1: P → ~Q verdadeP2: R (ou exclusivo) Q verdadeP3: P → ~R verdadeConclusão: O prefeito Pérsio não sabia do esquema. falso

Se é falso que o Prefeito Pérsio não sabia, significa dizer que ele sabia do esquema. Então, pode-se deduzir que as proposições ~Q e Q são, respectivamente, falsa e verdadeira. Na segunda premissa: Se Q é verdadeira, R será obrigatoriamente falsa, pois na disjunção exclusiva só vai ser verdade quando apenas um dos argumentos for verdadeiro. E se R é falso, significa dizer que ~R é verdadeiro. Fazendo as substituições:

P1: P → ~Q VerdadeF → F V

Por que P é falso? Na condicional só vai ser falso se a primeira for verdadeira e a segunda for falsa. Como “sabemos” que a premissa toda é verdadeira e que ~Q é falso, P só pode assumir valor F.

P2: R (ou exclusivo) Q VerdadeF (ou exclusivo) V V

Lembrando que na disjunção exclusiva, só vai ser verdade quando uma das proposições forem verdadeiras. Como sei que Q é verdadeiro, R só pode ser falso.

P3: P → ~R VerdadeF → V V

Se deduz que R é falso, logo ~R é verdadeiro. Consideramos inicialmente o argumento sendo não válido (premissas verdadeiras e conclusão falsa). Significa dizer que a questão está errada. Não é correto inferir que o Prefeito Pérsio não sabia do esquema. Foi comprovado que ele sabia do esquema.

08. Resposta “Certo”.

Princípio da Não Contradição = Uma preposição será V ou F não podendo assumir os 2 valores simultaneamente. Representação: ¬(P

∨

¬P). Exemplo: Não (“a terra é redonda” e “a terra não é redonda”).Princípio do Terceiro Excluído = Uma preposição será V ou F, não podendo assumir um 3o valor lógico. Representação: P ∨ ¬P.

Exemplo: Ou este homem é José ou não é José. Uma proposição só poderá ser julgada verdadeira ou falsa, nunca poderá ser as duas coisas ao mesmo tempo.



09. Resposta “Errado”.Da proposição III “Jorge não foi ao centro da cidade” que é verdadeira e a questão diz “Manuel declarou o imposto de renda na

data correta e Jorge foi ao centro da cidade” a segunda parte é falsa como o conectivo é “e” as duas teriam que ser verdadeiras (o que não acontece). Vamos analisar cada proposição de cada premissa, tendo em mente que as premissas tem valor lógico (V), daí tiramos um importante dado, sabemos que a premissa III é (V), portanto vamos atribuir o valor lógico (V) a proposição “e” e o valor lógico (F) a proposição “B”, agora vamos separar:

A: Tânia estava no escritório (V)B: Jorge foi ao centro da cidade (F)

Diante das análises iniciais temos que a premissa A v B, tem valor lógico (V), mas que a proposição “B” tem valor lógico (F), ou seja, A v (valor lógico F), para que essa premissa tenha o valor lógico (V), “A” tem que ter um valor lógico (V).

C: Manuel declarou o imposto de renda na data correta (V)D: Carla não pagou o condomínio (V)

O enunciado fala para considerar todas as premissas com valor lógico (V), logo, a premissa C

∨

D para ter valor lógico (V), ambas proposições devem ter valor lógico (V).

E: Jorge não foi ao centro da cidade (V)

Diante das explicações, C

∨

B = (V)

∨

(F) = (F).

10. Resposta “Certo”.Considere que cada uma das proposições seguintes tenha valor lógico V. Logo o que contraria essa verdade é falso.I- V + F = VII- V + V = VIII- V

Portanto se no item II diz que Carla não pagou o condomínio é verdadeiro, então o fato dela ter pago o condomínio é falso, pois está contradizendo o dito no item II. Os valores lógicos da segunda proposição não são deduzíveis, mas sim informados no enunciado.

II- Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio V e V. Portanto, se Carla não pagou o condomínio é Verdadeiro. Carla pagou o condomínio é Falso. Enunciado correto.

Implicação

A proposição p implica a proposição q, quando a condicional p → q for uma tautologia. O símbolo p → q (p implica q) representa a implicação lógica.

Diferenciação dos símbolos → e ⇒

O símbolo → representa uma operação matemática entre as proposições p e q que tem como resultado a proposição p → q, com valor lógico V ou F.

O símbolo ⇒ representa a não ocorrência de VF na tabela-verdade de p → q, ou ainda que o valor lógico da condicional p → q será sempre V, ou então que p → q é uma tautologia. Exemplo:

A tabela-verdade da condicional (p Λ q) → (p ↔ q) será:

p q p Λ q p ↔ q (p Λ q) → (p ↔ q)V V V V VV F F F VF V F F VF F F V V



Portanto, (p Λ q) → (p ↔ q) é uma tautologia, por isso (p Λ q) ⇒ (p ↔q)

Relação lógica entre duas proposições p e q, expressa pela fórmula lógica se p então q (p→q), em que se p é verdadeira então q também tem que ser verdadeira, porque a informação contida em Q está também incluída em p. De igual modo, se q é falsa, p também deve ser falsa para que haja uma relação de implicação. É um tipo de relação apenas centrado nos valores de verdade das proposições. Como exemplos, considerem-se as frases seguintes:

I) Tareco é um gato.II) Tareco é um animal.III) A tua camisola é azul.IV) A tua camisola tem uma cor.

A proposição I implica a proposição II, assim como a proposição III implica a proposição IV se ambas as proposições forem verdadeiras no mundo real ou possível em que se inserem. Esta relação é assegurada pela relação de hiperonímia/ hiponímia estabelecida no plano lexical entre os lexemas gato (hipônimo) / animal (hiperônimo) e azul (hipônimo) / cor (hiperônimo).

Em semântica, este tipo de relação entre proposições designa-se por implicação estrita, podendo ser definida pela relação entre uma frase ou um grupo de frases (implicans) e outra frase (implicatum) cujo sentido está implicado no conteúdo semântico da(s) outra(s) frase(s). Ou por outras palavras, p implica estritamente q se em todos os mundos em que p é verdadeira, q também é verdadeira. Um exemplo de implicação estrita pode ser observado no raciocínio silogístico:

V) Todos os homens são mortais.VI) Pedro é homem.VII) Pedro é mortal.

A conclusão do silogismo (frase VII) é uma proposição verdadeira. Sendo as proposições anteriores também verdadeiras, podemos afirmar que V e VI implicam estritamente VII. A implicação é uma relação entre proposições próxima da pressuposição. Na linguagem corrente usamos frequentemente frases condicionais, por exemplo, “Se hoje chover, então vou ao cinema”. Esta frase só é falsa se hoje chover e eu não for ao cinema; se hoje não chover a frase é verdadeira, tal como o é se hoje chover e eu for ao cinema. A operação que traduz, em termos de Lógica Matemática, a ideia de uma frase condicional é a implicação. Trata-se de uma operação lógica de grande importância que é designada por ⇒ . Sendo p e q duas proposições quaisquer, a proposição p ⇒ q (leia-se “p implica q”) é falsa se p for verdadeira e q falsa e é verdadeira em todos os outros casos; por outras palavras, a tabela verdade para a implicação é, por definição, a seguinte:

p q p ⇒ qV V VV F FF V VF F V

Na implicação p ⇒ q chama-se antecedente à proposição p e consequente à proposição q. Repare-se que uma implicação só é falsa se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso; em todos os outros casos a implicação é verdadeira. Também por vezes escreveremos q ← p (em vez de p ⇒ q) com o significado de “p implica q”.

A implicação é muito importante na linguagem matemática porque aparece sistematicamente nos teoremas que constituem as teorias matemáticas. Um teorema é uma proposição do tipo p ⇒ q, onde p é uma proposição verdadeira na teoria em questão. Demonstrar um teorema não é mais do que provar que a proposição p ⇒ q é verdadeira o que, atendendo a que p é verdadeira, é equivalente a dizer que q é verdadeira. Num teorema é usual chamar hipótese à proposição p, antecedente da implicação p ⇒ q. A proposição q, que é o consequente da implicação, designa-se por tese. Um exemplo de um teorema é

Seja n um número natural. Então, se n é par, n2 também é par.

A hipótese é a proposição “n é par”; a tese é “n2 é par”. A demonstração deste teorema pode ser feita da forma que passamos a expor. Por definição de número par, sabemos que existe um natural k tal que n = 2k; consequentemente n2 = (2k)2 = 22k2 = 4k2 = 2(2k2) = 2m, onde designamos por m o natural 2k2. Mas, novamente por definição de número par, e tendo em conta que n2 = 2m, vemos que n2 é par. O teorema está demonstrado. Antes de darmos alguns exemplos de proposições onde a implicação intervém, queremos chamar a atenção para um fato importante. Consideremos a frase:



“Estamos em crise econômica, logo os salários sobem abaixo da inflação”.

Ao dizermos esta frase, na linguagem corrente, estamos a admitir uma relação de causa a efeito entre a crise econômica e o aumento dos salários. Do ponto de vista matemático esta frase é uma implicação: “Estamos em crise econômica implica que os salários sobem abaixo da inflação”. Mas cuidado. Na lógica matemática não nos preocupamos com qualquer relação de causa e efeito entre o antecedente e o consequente de uma implicação. O que há é uma relação entre o valor lógico da implicação e os valores lógicos do antecedente e do consequente. A frase “Estamos em crise econômica, logo os salários sobem abaixo da inflação” é verdadeira porque o antecedente (“Estamos em crise econômica”) é verdadeiro e o consequente (“Os salários sobem abaixo da inflação”) é também verdadeiro.

Mas a frase “O Primeiro Ministro é astronauta, logo os salários sobem abaixo da inflação” também é verdadeira. Isto porque o antecedente (“O Primeiro Ministro é astronauta”) é falso; agora já é irrelevante o valor lógico do consequente porque, numa implicação, se o antecedente for falso, a implicação é verdadeira. Neste caso não há (ou, pelo menos, não parece haver) qualquer relação de causa e efeito entre o Primeiro Ministro ser astronauta e os salários subirem abaixo da inflação. Curiosamente a frase “O Primeiro Ministro é astronauta, logo os salários sobem acima da inflação” também é verdadeira porque o Primeiro Ministro não é astronauta; o antecedente é falso, logo a implicação é verdadeira. Passemos agora a exemplos matemáticos; são falsas as seguintes proposições:

2 > 1 ⇒ 2 > 4, 4 = 22 ⇒ √( 4 ) = −2, 3 + 2 = 5 ⇒ 100000 ≠ 103102.

De fato, em cada uma das três implicações anteriores, o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Nesta situação a implicação é falsa; é, aliás, a única situação em que a implicação é falsa (antecedente verdadeiro e consequente falso). As seguintes proposições (todas elas implicações) são verdadeiras:

2 > 0 ⇒ 2 > 1, 4 = 23 ⇒ √( 4 )= 2, 3 + 2 = 7 ⇒ 1000 ≠ 103.

Na primeira das implicações anteriores o antecedente é verdadeiro e o consequente também, pelo que a implicação é verdadeira. Nas outras duas o antecedente é falso pelo que, independentemente do valor lógico do consequente, a implicação é verdadeira. Construindo as tabelas de valores lógicos necessárias é fácil provar as seguintes propriedades:

1- (p ⇒ q) ⇔ ((~ p) ∨ q)2- (~ (⇒p ⇒ q)) ⇔ (p ∧ (~ q))3- ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇔ (p ⇔ q)4- (p ⇒ q) ⇔ ((~ q) ⇒ (~ p))5- ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)

A título de exemplo demonstraremos a propriedade (5), que é a transitividade da implicação, recorrendo à seguinte tabela de verdade:

p q r p ⇒ q q ⇒ r (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) p ⇒ r (5)V V V V V V V VV V F V F F F VV F V F V F V VV F F F V F F VF V V V V V V VF V F V F F V VF F V V V V V VF F F V V V V V

Verificamos que o valor lógico de (5) é sempre V, independentemente dos valores lógicos de cada uma das proposições p, q e r; isto significa que (5) é verdadeira. Embora não o façamos aqui, recomendamos vivamente que construa as tabelas verdade que permitem demonstrar as propriedades (1), (2), (3) e (4).



Atenção à negação de uma implicação. Um erro frequente entre os estudantes é dizer que a negação de p ⇒ q é (~q) ⇒ (~p); falso, como se depreende de (2). Outro erro frequente é dizer que a negação de p ⇒ q é q ⇒ p; igualmente falso. A negação de p ⇒ q, dada por (2), é p ∧ (~q).

A proposição q ⇒ p é chamada proposição recíproca de p ⇒ q; a propriedade (3) mostra-nos que, se tanto p ⇒ q como a sua recíproca forem verdadeiras, então p e q são equivalentes. A proposição (~q) ⇒ (~p) é chamada contra-recíproca de p ⇒ q; por essa razão a propriedade (4) é conhecida como regra do contra-recíproco, vulgarmente utilizada em certo tipo de demonstrações onde, em vez de demonstrarmos que p ⇒ q, provamos que (~q) ⇒ (~p). Para exemplificar demonstraremos que, fixado um número natural n, se o quadrado de n for par, então n também é par. A proposição a demonstrar escreve-se, simbolicamente,

n2 é par ⇒ n é par.

Designando por p a proposição “n2 é par” e por q a proposição “n é par”, queremos mostrar que p ⇒ q (6)

Mas, atendendo a (4), esta última proposição é equivalente a ~q ⇒ ~p (7)

Vamos então demonstrar que n não é par ⇒ n2 não é par. Suponhamos então que o número natural n não é par; então n é ímpar e, por definição de número ímpar, existe um natural k tal que n = 2k + 1. Consequentemente tem-se

n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 = 2m + 1,

Onde designamos por m o número natural 2k2 + 2k. A igualdade anterior mostra-nos que o número natural n2 é ímpar (porque se escreve na forma 2m + 1) e portanto não é par. Demonstramos assim que a proposição (7) é verdadeira e, como (6) é equivalente a (7), demonstramos a proposição (6).

Um outro tipo de demonstração também muitas vezes utilizado é o chamado método de demonstração por redução ao absurdo. Neste caso, para demonstrarmos que p ⇒ q, começamos por supor que a hipótese é verdadeira e que a tese é falsa, ou seja, que a proposição p ∧ (~q) é verdadeira. À custa desta proposição deduzimos uma outra proposição r que sabemos ser falsa na teoria em que estamos. Concluímos então que a proposição r é simultaneamente verdadeira e falsa, o que é absurdo. Logo p ∧ (~q) é falsa e (porque p é verdadeiro, por ser a hipótese do teorema) vem que ~q é falsa, ou seja, q é verdadeira.

Exemplificaremos este processo de demonstração tornando a provar (agora por redução ao absurdo) que, fixado um número natural n, se tem n2 é par ⇒ n é par. Suponhamos, portanto que é verdadeira a proposição

n2 é par ∧ n não é par. (8)

Então existem dois números naturais k e m tais que n2 = 2k ∧ n = 2m + 1.

Tem-se assim n2 = (2m + 1)2 = 4m2 + 4m + 1, pelo que 4m2 + 4m + 1 = 2k.

Mas, na igualdade anterior, o primeiro membro é um número ímpar e o segundo membro é um número par; por outro lado sabemos que não existe qualquer número natural simultaneamente par e ímpar. Concluímos, portanto que a proposição (8) é falsa, logo n é par. Terminamos esta seção introduzindo uma notação. Sendo p e q duas proposições quaisquer, escreveremos p ⥼ q (leia-se p não implica q) para negar que p implica q. Assim, p ⥼ q é, por definição, equivalente a ~(p ⇒ q). Por vezes, em vez de p ⥼ q, escrevemos q ⥼ p. Tem-se então (p ⥼ q) ⇔ (q ⥼ p) ⇔ (~(p ⇒ q)) ⇔ (p ∧ (~q)).

Propriedades da implicação lógica: reflexiva e transitiva

São:- A condição necessária e suficiente para que uma implicação p ⇒ q seja verdadeira é que uma condicional p → q seja uma

tautologia;- Propriedade reflexiva (R): p ⇒ p;- Propriedade transitiva (T): Se p ⇒ q e q ⇒ r, então p ⇒ r.



Demonstração de implicação lógica, comparando-se tabelas-verdade

Verificar se p ⇒ q → pp q p → qV V VV F VF V FF F V

Comparando os valores lógicos da coluna p com os valores lógicos da coluna q → p, verificamos que não ocorre “VF” em nenhuma linha, logo p ⇒ q → p é uma relação válida.

Demonstração de implicação lógica, substituindo-se a relação pelo conectivo

Verificar se p ⇒ q → p

p q p → q p ⇒ q →pV V V VV F V VF V F VF F V V

Como a coluna de resultado final da tabela-verdade é uma Tautologia, então a relação é verdadeira.

Implicação entre Sentenças Abertas

Diz-se que uma sentença aberta implica uma outra sentença aberta quando o conjunto verdade de uma delas está contido no conjunto verdade da outra. Exemplo: Julgar a sentença x – 3 = 0 ⇒ x2 = 9

Resolução: Determinando o conjunto-verdade da primeira sentença aberta:x – 3 = 0

temos que x = 3logo, V1 = {3}

Determinando o conjunto-verdade da segunda sentença aberta:x2 = 9x = ± 3logo, V2 = {-3, 3}

Podemos observar que {3} {-3, 3}. Portanto, podemos dizer que a implicação é verdadeira, logo a sentença x – 3 = 0 ⇒ x2 = 9 está correta.

Implicações Notáveis

Estas implicações são consideradas notáveis (ou clássicas), pois são argumentos válidos fundamentais, usados para fazer “inferências”, isto é, executar os “passos” de uma demonstração ou de uma dedução. Também chamadas de Regras de Inferência.

Adição

p ⇒ p V qq ⇒ p V q



Organizando a tabela-verdade tem-se que:

p q p V qV V VV F VF V VF F F

Não há “VF”, logo p ⇒ p V q

p q p V qV V VV F VF V VF F F

Não há “VF”, logo q ⇒ p V q

Conjunção

p ∧ q ⇒ p e p ∧ q ⇒ qq ∧ p ⇒ p e q ∧ p ⇒ q

Simplificação

p ∧ q ⇒ pp ∧ q ⇒ q

Simplificação Disjuntiva

(p V q) ∧ (p V ~q) ⇒ p

Absorção

p → q ⇒ p → (p ∧ q)

Regra Modus Ponens

(p → q) ∧ p ⇒ q

Regra Modus Tollens

(p → q) ∧ ~q ⇒ ~p

Regra do Silogismo Disjuntivo

(p V q) ∧ ~p ⇒ q(p V q) ∧ ~q ⇒ p



Silogismo Hipotético

(p → q) ∧ (q → r) ⇒ p → r

Dilema Construtivo

((p → q) ∧ (r → s) ∧ (p V r)) ⇒ q V s

Dilema Destrutivo

((p → q) ∧ (r → s) ∧ (~p V ~s) ) ⇒ ~p V ~r

Teorema Contra-Recíproco

A proposição “p(x) ⇒ q(x)” é verdadeira se, e somente se “~q(x) ⇒ ~p(x)” é verdadeira. Assim, afirmar “Se p, então q” é o mesmo que afirmar “se ~q, então ~p”. Portanto, “p(x) ⇒ q(x)” é equivalente a “~q(x) ⇒ ~p(x)”. Exemplo: A sentença “Se comeu, então matou a fome” é equivalente a “Se não matou a fome, então não comeu”.

Relação entre Implicações

Implicações Recíprocas: p ⇒ q e q ⇒ p. Duas proposições recíprocas não são logicamente equivalentes, uma pode ser verdadeira sem que a outra o seja.

Implicações Inversas: p ⇒ q e ~p ⇒ ~q. Duas proposições inversas não são logicamente equivalentes, uma pode ser verdadeira sem que a outra o seja.

Implicações Contrapositivas: p ⇒ q e ~q ⇒ ~p. Duas proposições contrapositivas são logicamente equivalentes, sempre que uma é verdadeira, a outra também será.

2. EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS.

Na lógica, as asserções p e q são ditas logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes, se p ╞ q e q ╞ p. Em termos intuitivos, duas sentenças são logicamente equivalentes se possuem o mesmo “conteúdo lógico”. Do ponto de vista da teoria da de-monstração, p e q são equivalentes se cada uma delas pode ser derivada a partir da outra. Semanticamente, p e q são equivalentes se elas têm os mesmos valores para qualquer interpretação. A notação normalmente usada para representar a equivalência lógica entre p e q é p ≡ q, p ⇔ q ou p q.

Exemplo: As seguintes sentenças são logicamente equivalentes:

1- Se hoje é sábado, então hoje é fim de semana.2- Se hoje não é fim de semana, então hoje não é sábado.

Em símbolos:d: “Hoje é sábado”. (d → f)f: “Hoje é fim de semana”. ( f → d)

Sintaticamente, (1) e (2) são equivalentes pela Lei da Contraposição. Semânticamente, (1) e (2) têm os mesmos valores nas mesmas interpretações.



Há equivalência entre as proposições p e q somente quando a bicondicional p ↔ q for uma tautologia ou quando p e q tiverem a mesma tabela-verdade.

p ⇔ q (p é equivalente a q) é o símbolo que representa a equivalência lógica.

Diferenciação dos símbolos ↔ e ⇔ O símbolo ↔ representa uma operação entre as proposições p e q, que tem como resultado uma nova proposição p ↔ q com

valor lógico V ou F. O símbolo ⇔ representa a não ocorrência de VF e de FV na tabela-verdade p ↔ q, ou ainda que o valor lógico de p ↔ q é

sempre V, ou então p ↔ q é uma tautologia. Exemplo:

A tabela da bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) será:

p q ~q ~p p → q ~q → ~p (p → q) ↔ (~q → ~p)V V F F V V VV F V F F F VF V F V V V VF F V V V V V

Portanto, p → q é equivalente a ~q → ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia. Veja a representação: (p → q) ⇔ (~q → ~p)

Equivalências NotáveisNome Propriedade Dual

Dupla Negação (DN) ~~p ↔ pIdempotente (IP) p V p ↔ p p ∧ p ↔ pComutativa (COM) p V q ↔ q V p p ∧ q ↔ q ∧ pAssociativa (ASS) p V (q V r) ↔ (p V q) V r p ∧ (q ∧ r) ↔ (p ∧ q) ∧ rDe Morgan (DM) ~(p V q) ↔ ~p ∧ ~q ~(p ∧ q) ↔ ~p V ~qDistributiva (DIS) p ∧ (q V r) ↔ (p ∧ q) V (p ∧ r) p V (q ∧ r) ↔ (p V q) ∧ (p V r)Absorção (ABS) p ∧ (p V q) ↔ p p V (p ∧ q) ↔ pReescrita da Condicional (COND) p → q ↔ ~p V qReescrita da Bicondicional (BI) p ↔ q ↔ (p → q) ∧ (q → p)Elemento Neutro (EN) p V F ↔ p p ∧ V ↔ pElemento Absorvedor (EA) p V V ↔ V p ∧ F ↔ FComplementares (COMPLE) p V ~p ↔ V p ∧ ~p ↔ F

F = contradição V = tautologia

As proposições p e q são chamadas de logicamente equivalentes (≡) se p ↔ q é uma tautologia. Exemplos:

Mostraremos que (p V q) e p ∧ q são logicamente equivalentes. Uma das leis de De Morgan. Solução:

(p V q) e p ∧ q

p q (p V q) ¬(p V q) ¬ p ¬ q p ∧ q (p V q) ↔ p ∧ q

V V V F F F F VV F V F F V F VF V V F V F F VF F F V V V V V



Mostraremos que (p → q) e p V q são logicamente equivalentes. Solução:

(p → q) e p V q

p q ¬p ¬p V q p → q (p → q) ↔ p V q

V V F V V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V

QUESTÕES

01. Demonstre as relações abaixo utilizando as equivalências notáveis:(A) p → q ∧ r ⇔ (p → q) ∧ (p → r)(B) p → q ∨ r ⇔ (p → q) ∨ (p → r)(C) p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t)(D) p ∧ q → r ⇔ p → (q → r)(E) ~(~p → ~q) ⇔ ~p ∧ q

02. Demonstre, utilizando as equivalências notáveis, que as relações de implicação são válidas:(A) Exemplo: Regra da simplificação: p ∧ q ⇒ q Para provarmos uma relação de implicação temos que demonstrar que a condicional p ∧ q → q é tautológica, ou seja, que a

condicional p ∧ q → q ⇔ VDesenvolvendo o lado esquerdo da equivalência, tem-se:p ∧ q → q ≡ (aplicando-se a equiv. de reescrita da condicional)~(p ∧ q) ∨ q ≡ (aplicando-se a Lei de Morgan)~p ∨ ~q ∨ q ≡ (aplicando-se lei complementar, ~q ∨ q é uma tautologia)~p ∨ V ≡ (pela lei da identidade ~p ∨ V é um tautologia)V Portanto, está provado que p ∧ q ⇒ q é uma tautologia

(B) Regra da adição: p ⇒ p ∨ q(C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ p(D) Regra de Modus Ponens: (p → q) ∧ p ⇒ q(E) Regra de Modus Tollens: (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p

03. Usando as regras de equivalência, mostre a seguinte tautologia: (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q)

Respostas

01.(A) p → q ∧ r ⇔ (p → q) ∧ (p → r) p → q ∧ r ⇔ ~p ∨ (q ∧ r) ⇔ (reescrita da condicional) (~p ∨ q) ∧ (~p ∨ r) ⇔ (distributiva) (p → q) ∧ (p → r) (reescrita da condicional)

(B) p → q ∨ r ⇔ (p → q) ∨ (p → r) p → q ∨ r ⇔ ~p ∨ (q ∨ r) ⇔ (reescrita da condicional) ~p ∨ q ∨ r ⇔ (associativa) ~p ∨ ~p ∨ q ∨ r ⇔ (idempotente, adicionei um ~p, pois ~p ∨ ~p ⇔ ~p) (~p ∨ q) ∨ (~p ∨ r) ⇔ (associativa) (p → q) ∨ (p → r) (reescrita da condicional)



(C) p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t) p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ p ∧ (r ∨ (s ∨ t)) ⇔ (associativa em s ∨ t ) (p ∧ r) ∨ (p ∧ (s ∨ t)) ⇔ (distributiva) (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t) (distributiva)

(D) p ∧ q → r ⇔ p → (q → r)

p ∧ q → r ⇔ ~(p ∧ q) ∨ r ⇔ (reescrita da condicional) ~p ∨ ~q ∨ r ⇔ (De Morgan) ~p ∨ (~q ∨ r) ⇔ (associativa) ~p ∨ (q → r) ⇔ (reescrita da condicional) p → (q → r) (reescrita da condicional)

(E) ~(~p → ~q) ⇔ ~p ∧ q

~(~p → ~q) ⇔ ~(~~p ∨ ~q) ⇔ (reescrita da condicional) ~(p ∨ ~q) ⇔ (dupla negação) ~p ∧ ~~q ⇔ (De Morgan) ~p ∧ q (dupla negação)

02.(B) Regra da adição: p ⇒ p ∨ q p → p ∨ q ⇔ V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) ~p ∨ (p ∨ q) ⇔ (condicional) ~p ∨ p ∨ q ⇔ (associativa) V ∨ q ⇔ (complementares ~p ∨ p) V (identidade)

(C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ p (p ∨ q) ∧ ~q → p ⇔ V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~q) → p ⇔ (distributiva) (p ∧ ~q) ∨ F → p ⇔ (complementares) (p ∧ ~q) → p ⇔ (identidade) ~(p ∧ ~q) ∨ p ⇔ (condicional) ~p ∨ ~q ∨ p ⇔ (De Morgan) (~p ∨ p) ∨ ~q ⇔ (associativa) V ∨ ~q ⇔ (complementares) V (identidade)

(D) Regra de Modus Ponens: (p → q) ∧ p ⇒ q (p → q) ∧ p → q ⇔ V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (~p ∨ q) ∧ q → q ⇔ (condicional) (q ∧ ~p) ∨ (q ∧ q) → q ⇔ (distributiva) (q ∧ ~p) ∨ q → q ⇔ (idempotente) ~((q ∧ ~p) ∨ q) ∨ q ⇔ (condicional) (~(q ∧ ~p) ∧ ~q) ∨ q ⇔ (De Morgan) ((~q ∨ p) ∧ ~q) ∨ q ⇔ (De Morgan) (~q ∧ ~q) ∨ (~q ∧ p) ∨ q ⇔ (distributiva) ~q ∨ (~q ∧ p) ∨ q ⇔ (idempotente) (~q ∨ q) ∨ (~q ∧ p) ⇔ (associativa) V ∨ (~q ∧ p) ⇔ (complementares) V (identidade)



(E) Regra de Modus Tollens: (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p (p → q) ∧ ~q → ~p ⇔ V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (~p ∨ q) ∧ ~q → ~p ⇔ (De Morgan) (~q ∧ ~p) ∨ (~q ∧ q) → ~p ⇔ (Distributiva) (~q ∧ ~p) ∨ F → ~p ⇔ (Complementares) (~q ∧ ~p) → ~p ⇔ (Identidade) ~(~q ∧ ~p) ∨ ~p ⇔ (condicional) ~~q ∨ ~~p ∨ ~p ⇔ (De Morgan) q ∨ p ∨ ~p ⇔ (Dupla Negação) q ∨ V ⇔ (complementares) V

03. Mostraremos que (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q) é uma tautologia, de fato:

Ordem Proposição1 (p → q) → r ⇔2 ⇔(~p ∨ q) → r ⇔3 ⇔~(~p ∨ q) ∨ r ⇔4 ⇔ r ∨ ~(~p ∨ q)5 r ∨ (p ∧ ~q)

3. PROBLEMAS DE RACIOCÍNIO: DEDUZIR INFORMAÇÕES DE RELAÇÕES

ARBITRÁRIAS ENTRE OBJETOS, LUGARES, PESSOAS E/OU EVENTOS FICTÍCIOS

DADOS.

Análise combinatória é uma parte da matemática que estuda, ou melhor, calcula o número de possibilidades, e estuda os métodos de contagem que existem em acertar algum número em jogos de azar. Esse tipo de cálculo nasceu no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), chamado também de Tartaglia. Depois, apareceram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A análise desenvolve métodos que permitem contar, indiretamente, o número de elementos de um conjunto. Por exemplo, se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. Veja quais propriedades existem:

- Princípio fundamental da contagem- Fatorial- Arranjos simples- Permutação simples- Combinação- Permutação com elementos repetidos

Princípio fundamental da contagem: é o mesmo que a Regra do Produto, um princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer. O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e independentes:

• O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos.• O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos.



Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto m . n

Exemplo: Alice decidiu comprar um carro novo, e inicialmente ela quer se decidir qual o modelo e a cor do seu novo veículo. Na concessionária onde Alice foi há 3 tipos de modelos que são do interesse dela: Siena, Fox e Astra, sendo que para cada carro há 5 opções de cores: preto, vinho, azul, vermelho e prata. Qual é o número total de opções que Alice poderá fazer?

Resolução: Segundo o Principio Fundamental da Contagem, Alice tem 3×5 opções para fazer, ou seja,ela poderá optar por 15 carros diferentes. Vamos representar as 15 opções na árvore de possibilidades:

Generalizações: Um acontecimento é formado por k estágios sucessivos e independentes, com n1, n2, n3, … , nk possibilidades para cada. O total de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento é n1, n2, n3, … , nk

Técnicas de contagem: Na Técnica de contagem não importa a ordem.

Considere A = {a; b; c; d; …; j} um conjunto formado por 10 elementos diferentes, e os agrupamentos ab, ac e ca”.

ab e ac são agrupamentos sempre distintos, pois se diferenciam pela natureza de um dos elemento. ac e ca são agrupamentos que podem ser considerados distintos ou não distintos pois se diferenciam somente pela ordem dos

elementos.

Quando os elementos de um determinado conjunto A forem algarismos, A = {0, 1, 2, 3, …, 9}, e com estes algarismos pretendemos obter números, neste caso, os agrupamentos de 13 e 31 são considerados distintos, pois indicam números diferentes.

Quando os elementos de um determinado conjunto A forem pontos, A = {A1, A2, A3, A4, A5…, A9}, e com estes pontos pretendemos obter retas, neste caso os agrupamentos são iguais, pois indicam a mesma reta.

Conclusão: Os agrupamentos...

1. Em alguns problemas de contagem, quando os agrupamentos se diferirem pela natureza de pelo menos um de seus elementos, os agrupamentos serão considerados distintos.

ac = ca, neste caso os agrupamentos são denominados combinações.

Pode ocorrer: O conjunto A é formado por pontos e o problema é saber quantas retas esses pontos determinam.



2. Quando se diferir tanto pela natureza quanto pela ordem de seus elementos, os problemas de contagem serão agrupados e considerados distintos.

ac ≠ ca, neste caso os agrupamentos são denominados arranjos.

Pode ocorrer: O conjunto A é formado por algarismos e o problema é contar os números por eles determinados.

Fatorial: Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808. A função fatorial é normalmente definida por:

Por exemplo, 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120

Note que esta definição implica em particular que 0! = 1, porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1. Deve-se prestar atenção neste valor, pois este faz com que a função recursiva (n + 1)! = n! . (n + 1) funcione para n = 0.

Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial.

Arranjos simples: são agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Seja A um conjunto com n elementos e k um natural menor ou igual a n. Os arranjos simples k a k dos n elementos de A, são os agrupamentos, de k elementos distintos cada, que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem de seus elementos.

Cálculos do número de arranjos simples:

Na formação de todos os arranjos simples dos n elementos de A, tomados k a k:

n → possibilidades na escolha do 1º elemento.n - 1 → possibilidades na escolha do 2º elemento, pois um deles já foi usado.n - 2 → possibilidades na escolha do 3º elemento, pois dois deles já foi usado....n - (k - 1) → possibilidades na escolha do kº elemento, pois l-1 deles já foi usado.No Princípio Fundamental da Contagem (An, k), o número total de arranjos simples dos n elementos de A (tomados k a k), temos:

An,k = n (n - 1) . (n - 2) . ... . (n – k + 1) (é o produto de k fatores)

Multiplicando e dividindo por (n – k)!

Note que n (n – 1) . (n – 2). ... .(n – k + 1) . (n – k)! = n!

Podemos também escrever



Permutações: Considere A como um conjunto com n elementos. Os arranjos simples n a n dos elementos de A, são denominados permutações simples de n elementos. De acordo com a definição, as permutações têm os mesmos elementos. São os n elementos de A. As duas permutações diferem entre si somente pela ordem de seus elementos.

Cálculo do número de permutação simples:

O número total de permutações simples de n elementos indicado por Pn, e fazendo k = n na fórmula An,k = n (n – 1) (n – 2) . … . (n – k + 1), temos:

Pn = An,n= n (n – 1) (n – 2) . … . (n – n + 1) = (n – 1) (n – 2) . … .1 = n!

Portanto: Pn = n!

Combinações Simples: são agrupamentos formados com os elementos de um conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Considere A como um conjunto com n elementos k um natural menor ou igual a n. Os agrupamentos de k elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos são denominados combinações simples k a k, dos n elementos de A.

Exemplo: Considere A = {a, b, c, d} um conjunto com elementos distintos. Com os elementos de A podemos formar 4 combinações de três elementos cada uma: abc – abd – acd – bcd

Se trocarmos ps 3 elementos de uma delas:

Exemplo: abc, obteremos P3 = 6 arranjos disdintos.

abc abd acd bcdacbbacbcacabcba

Se trocarmos os 3 elementos das 4 combinações obtemos todos os arranjos 3 a 3:

abc abd acd bcdacb adb adc bdcbac bad cad cbdbca bda cda cdbcab dab dac dbccba dba dca dcb

(4 combinações) x (6 permutações) = 24 arranjos

Logo: C4,3 . P3 = A4,3

Cálculo do número de combinações simples: O número total de combinações simples dos n elementos de A representados por C n,k, tomados k a k, analogicamente ao exemplo apresentado, temos:

a) Trocando os k elementos de uma combinação k a k, obtemos Pk arranjos distintos.b) Trocando os k elementos das Cn,k . Pk arranjos distintos.



Portanto: Cn,k . Pk = An,k ou

n,kn,k

k

AC =

P

Lembrando que:

Também pode ser escrito assim:

Arranjos Completos: Arranjos completos de n elementos, de k a k são os arranjos de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular os arranjos completos, deve-se levar em consideração os arranjos com elementos distintos (arranjos simples) e os elementos repetidos. O total de arranjos completos de n elementos, de k a k, é indicado simbolicamente por A*n,k dado por: A*n,k = nk

Permutações com elementos repetidos

Considerando:

α elementos iguais a a,β elementos iguais a b,γ elementos iguais a c, …,λ elementos iguais a l,

Totalizando em α + β + γ + … λ = n elementos.

Simbolicamente representado por Pnα, β, γ, …, λ o número de permutações distintas que é possível formarmos com os n elementos:

Combinações Completas: Combinações completas de n elementos, de k a k, são combinações de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular as combinações completas devemos levar em consideração as combinações com elementos distintos (combinações simples) e as combinações com elementos repetidos. O total de combinações completas de n elementos, de k a k, indicado por C*n,k



QUESTÕES

01. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 8?

02. Organiza-se um campeonato de futebol com 14 clubes, sendo a disputa feita em dois turnos, para que cada clube enfrente o outro no seu campo e no campo deste. O número total de jogos a serem realizados é:

(A)182(B) 91(C)169(D)196(E)160

03. Deseja-se criar uma senha para os usuários de um sistema, começando por três letras escolhidas entre as cinco A, B, C, D e E, seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8. Se entre as letras puder haver repetição, mas se os algarismos forem todos distintos, o número total de senhas possíveis é:

(A) 78.125(B) 7.200(C) 15.000(D) 6.420(E) 50

04. (UFTM) – João pediu que Cláudia fizesse cartões com todas as permutações da palavra AVIAÇÃO. Cláudia executou a tarefa considerando as letras A e Ã como diferentes, contudo, João queria que elas fossem consideradas como mesma letra. A diferença entre o número de cartões feitos por Cláudia e o número de cartões esperados por João é igual a

(A) 720(B) 1.680(C) 2.420(D) 3.360(E) 4.320

05. (UNIFESP) – As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é

(A) PROVA.(B) VAPOR.(C) RAPOV.(D) ROVAP.(E) RAOPV.

06. (MACKENZIE) – Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. O número de possíveis comissões é:

(A) 66(B) 72(C) 90(D) 120(E) 124

07. (ESPCEX) – A equipe de professores de uma escola possui um banco de questões de matemática composto de 5 questões sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. De quantas maneiras distintas a equipe pode montar uma prova com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3 de retas?

(A) 80(B) 96(C) 240(D) 640(E) 1.280



08. Numa clínica hospitalar, as cirurgias são sempre assistidas por 3 dos seus 5 enfermeiros, sendo que, para uma eventualidade qualquer, dois particulares enfermeiros, por serem os mais experientes, nunca são escalados para trabalharem juntos. Sabendo-se que em todos os grupos participa um dos dois enfermeiros mais experientes, quantos grupos distintos de 3 enfermeiros podem ser formados?

(A) 06(B) 10(C) 12(D) 15(E) 20

09. Seis pessoas serão distribuídas em duas equipes para concorrer a uma gincana. O número de maneiras diferentes de formar duas equipes é

(A) 10(B) 15(C) 20(D) 25(E) 30

10. Considere os números de quatro algarismos do sistema decimal de numeração. Calcule:a) quantos são no total;b) quantos não possuem o algarismo 2;c) em quantos deles o algarismo 2 aparece ao menos uma vez;d) quantos têm os algarismos distintos;e) quantos têm pelo menos dois algarismos iguais.

Resoluções

01.

02. O número total de jogos a serem realizados é A14,2 = 14 . 13 = 182.

03.

Algarismos

Letras

As três letras poderão ser escolhidasde 5 . 5 . 5 =125 maneiras.Os quatro algarismos poderão ser escolhidos de 5 . 4 . 3 . 2 = 120 maneiras.O número total de senhas distintas, portanto, é igual a 125 . 120 = 15.000.

04. I) O número de cartões feitos por Cláudia foi

II) O número de cartões esperados por João era

Assim, a diferença obtida foi 2.520 – 840 = 1.680



05. Se as permutações das letras da palavra PROVA forem listadas em ordem alfabética, então teremos:P4 = 24 que começam por AP4 = 24 que começam por OP4 = 24 que começam por P

A 73.ª palavra nessa lista é a primeira permutação que começa por R. Ela é RAOPV.

06. Se, do total de 10 diretores, 6 estão sob suspeita de corrupção, 4 não estão. Assim, para formar uma comissão de 5 diretores na qual os suspeitos não sejam maioria, podem ser escolhidos, no máximo, 2 suspeitos. Portanto, o número de possíveis comissões é

07. C5,3 . C4,2 . C4,3 = 10 . 6 . 4 = 240

08. I) Existem 5 enfermeiros disponíveis: 2 mais experientes e outros 3.II) Para formar grupos com 3 enfermeiros, conforme o enunciado, devemos escolher 1 entre os 2 mais experientes e 2 entre os

3 restantes.III) O número de possibilidades para se escolher 1 entre os 2 mais experientes é

IV) O número de possibilidades para se escolher 2 entre 3 restantes é

V) Assim, o número total de grupos que podem ser formados é 2 . 3 = 6

09.

10. a) 9 . A*10,3 = 9 . 103 = 9 . 10 . 10 . 10 = 9000b) 8 . A*9,3 = 8 . 93 = 8 . 9 . 9 . 9 = 5832c) (a) – (b): 9000 – 5832 = 3168d) 9 . A9,3 = 9 . 9 . 8 . 7 = 4536e) (a) – (d): 9000 – 4536 = 4464



4. DIAGRAMAS LÓGICOS, TABELAS E GRÁFICOS.

Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. Uma situação que esses diagramas poderão ser usados, é na determinação da quantidade de elementos que apresentam uma determinada característica.

Assim, se num grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 que dirigem moto e 10 que dirigem carro e moto. Baseando-se nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber: Quantas pessoas têm no grupo ou quantas dirigem somente carro ou ainda quantas dirigem somente motos. Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que representam os motoristas de motos e motoristas de carros. Começaremos marcando quantos elementos tem a intersecção e depois completaremos os outros espaços.

Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo esse valor da quantidade de elementos dos conjuntos A e B. A partir dos valores reais, é que poderemos responder as perguntas feitas.

a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas.b) Dirigem somente carros 33 motoristas.c) Dirigem somente motos 8 motoristas.



No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência quanto à leitura de três jornais. A, B e C, foi apresentada a seguinte tabela:

Jornais LeitoresA 300B 250C 200

A e B 70A e C 65B e C 105

A, B e C 40Nenhum 150

Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente montar os diagramas que representam cada conjunto. A colocação dos valores começará pela intersecção dos três conjuntos e depois para as intersecções duas a duas e por último às regiões que representam cada conjunto individualmente. Representaremos esses conjuntos dentro de um retângulo que indicará o conjunto universo da pesquisa.

Fora dos diagramas teremos 150 elementos que não são leitores de nenhum dos três jornais.Na região I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos.Na região II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos.Na região III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos.Na região IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos.Na região V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos.Na região VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos.

Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes elementos:

Com essa distribuição, poderemos notar que 205 pessoas leem apenas o jornal A. Verificamos que 500 pessoas não leem o jornal C, pois é a soma 205 + 30 + 115 + 150. Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que é a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150.



Diagrama de Euler

Um diagrama de Euler é similar a um diagrama de Venn, mas não precisa conter todas as zonas (onde uma zona é definida como a área de intersecção entre dois ou mais contornos). Assim, um diagrama de Euler pode definir um universo de discurso, isto é, ele pode definir um sistema no qual certas intersecções não são possíveis ou consideradas. Assim, um diagrama de Venn contendo os atributos para Animal, Mineral e quatro patas teria que conter intersecções onde alguns estão em ambos animal, mineral e de quatro patas. Um diagrama de Venn, consequentemente, mostra todas as possíveis combinações ou conjunções.

Diagramas de Euler consistem em curvas simples fechadas (geralmente círculos) no plano que mostra os conjuntos. Os tamanhos e formas das curvas não são importantes: a significância do diagrama está na forma como eles se sobrepõem. As relações espaciais entre as regiões delimitadas por cada curva (sobreposição, contenção ou nenhuma) correspondem relações teóricas (subconjunto interseção e disjunção). Cada curva de Euler divide o plano em duas regiões ou zonas estão: o interior, que representa simbolicamente os elementos do conjunto, e o exterior, o que representa todos os elementos que não são membros do conjunto. Curvas cujos interiores não se cruzam representam conjuntos disjuntos. Duas curvas cujos interiores se interceptam representam conjuntos que têm elementos comuns, a zona dentro de ambas as curvas representa o conjunto de elementos comuns a ambos os conjuntos (intersecção dos conjuntos). Uma curva que está contido completamente dentro da zona interior de outro representa um subconjunto do mesmo.

Os Diagramas de Venn são uma forma mais restritiva de diagramas de Euler. Um diagrama de Venn deve conter todas as possíveis zonas de sobreposição entre as suas curvas, representando todas as combinações de inclusão / exclusão de seus conjuntos constituintes, mas em um diagrama de Euler algumas zonas podem estar faltando. Essa falta foi o que motivou Venn a desenvolver seus diagramas. Existia a necessidade de criar diagramas em que pudessem ser observadas, por meio de suposição, quaisquer relações entre as zonas não apenas as que são “verdadeiras”.

Os diagramas de Euler (em conjunto com os de Venn) são largamente utilizados para ensinar a teoria dos conjuntos no campo da matemática ou lógica matemática no campo da lógica. Eles também podem ser utilizados para representar relacionamentos complexos com mais clareza, já que representa apenas as relações válidas. Em estudos mais aplicados esses diagramas podem ser utilizados para provar / analisar silogismos que são argumentos lógicos para que se possa deduzir uma conclusão.

Diagramas de Venn

Designa-se por diagramas de Venn os diagramas usados em matemática para simbolizar graficamente propriedades, axiomas e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria. Os respectivos diagramas consistem de curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a simbolizar os conjuntos e permitir a representação das relações de pertença entre conjuntos e seus elementos (por exemplo, 4 ∉ {3,4,5}, mas 4 ∉ {1,2,3,12}) e relações de continência (inclusão) entre os conjuntos (por exemplo, {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}). Assim, duas curvas que não se tocam e estão uma no espaço interno da outra simbolizam conjuntos que possuem

continência; ao passo que o ponto interno a uma curva representa um elemento pertencente ao conjunto.Os diagramas de Venn são construídos com coleções de curvas fechadas contidas em um plano. O interior dessas curvas representa,

simbolicamente, a coleção de elementos do conjunto. De acordo com Clarence Irving Lewis, o “princípio desses diagramas é que classes (ou conjuntos) sejam representadas por regiões, com tal relação entre si que todas as relações lógicas possíveis entre as classes possam ser indicadas no mesmo diagrama. Isto é, o diagrama deixa espaço para qualquer relação possível entre as classes, e a relação dada ou existente pode então ser definida indicando se alguma região em específico é vazia ou não-vazia”. Pode-se escrever uma definição mais formal do seguinte modo: Seja C = (C1, C2, ... Cn) uma coleção de curvas fechadas simples desenhadas em um plano. C é uma família independente se a região formada por cada uma das interseções X1 X2 ... Xn, onde cada Xi é o interior ou o exterior de Ci, é não-vazia, em outras palavras, se todas as curvas se intersectam de todas as maneiras possíveis. Se, além disso, cada uma dessas regiões é conexa e há apenas um número finito de pontos de interseção entre as curvas, então C é um diagrama de Venn para n conjuntos.



Nos casos mais simples, os diagramas são representados por círculos que se encobrem parcialmente. As partes referidas em um enunciado específico são marcadas com uma cor diferente. Eventualmente, os círculos são representados como completamente inseridos dentro de um retângulo, que representa o conjunto universo daquele particular contexto (já se buscou a existência de um conjunto universo que pudesse abranger todos os conjuntos possíveis, mas Bertrand Russell mostrou que tal tarefa era impossível). A ideia de conjunto universo é normalmente atribuída a Lewis Carroll. Do mesmo modo, espaços internos comuns a dois ou mais conjuntos representam a sua intersecção, ao passo que a totalidade dos espaços pertencentes a um ou outro conjunto indistintamente representa sua união.

John Venn desenvolveu os diagramas no século XIX, ampliando e formalizando desenvolvimentos anteriores de Leibniz e Euler. E, na década de 1960, eles foram incorporados ao currículo escolar de matemática. Embora seja simples construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, surgem dificuldades quando se tenta usá-los para um número maior. Algumas construções possíveis são devidas ao próprio John Venn e a outros matemáticos como Anthony W. F. Edwards, Branko Grünbaum e Phillip Smith. Além disso, encontram-se em uso outros diagramas similares aos de Venn, entre os quais os de Euler, Johnston, Pierce e Karnaugh.

Dois Conjuntos: considere-se o seguinte exemplo: suponha-se que o conjunto A representa os animais bípedes e o conjunto B representa os animais capazes de voar. A área onde os dois círculos se sobrepõem, designada por intersecção A e B ou intersecção A-B, conteria todas as criaturas que ao mesmo tempo podem voar e têm apenas duas pernas motoras.

Considere-se agora que cada espécie viva está representada por um ponto situado em alguma parte do diagrama. Os humanos e os pinguins seriam marcados dentro do círculo A, na parte dele que não se sobrepõe com o círculo B, já que ambos são bípedes mas não podem voar. Os mosquitos, que voam mas têm seis pernas, seriam representados dentro do círculo B e fora da sobreposição. Os canários, por sua vez, seriam representados na intersecção A-B, já que são bípedes e podem voar. Qualquer animal que não fosse bípede nem pudesse voar, como baleias ou serpentes, seria marcado por pontos fora dos dois círculos.

Assim, o diagrama de dois conjuntos representa quatro áreas distintas (a que fica fora de ambos os círculos, a parte de cada círculo que pertence a ambos os círculos (onde há sobreposição), e as duas áreas que não se sobrepõem, mas estão em um círculo ou no outro):

- Animais que possuem duas pernas e não voam (A sem sobreposição).- Animais que voam e não possuem duas pernas (B sem sobreposição).- Animais que possuem duas pernas e voam (sobreposição).- Animais que não possuem duas pernas e não voam (branco - fora).Essas configurações são representadas, respectivamente, pelas operações de conjuntos: diferença de A para B, diferença de B

para A, intersecção entre A e B, e conjunto complementar de A e B. Cada uma delas pode ser representada como as seguintes áreas (mais escuras) no diagrama:

Diferença de A para B: A\B

Diferença de B para A: B\A



Intersecção de dois conjuntos: AB

Complementar de dois conjuntos: U \ (AB)

Além disso, essas quatro áreas podem ser combinadas de 16 formas diferentes. Por exemplo, pode-se perguntar sobre os animais que voam ou tem duas patas (pelo menos uma das características); tal conjunto seria representado pela união de A e B. Já os animais que voam e não possuem duas patas mais os que não voam e possuem duas patas, seriam representados pela diferença simétrica entre A e B. Estes exemplos são mostrados nas imagens a seguir, que incluem também outros dois casos.

União de dois conjuntos: A B

Diferença Simétrica de dois conjuntos: A B

Complementar de A em U: AC = U \ A

Complementar de B em U: BC = U \ B



Três Conjuntos: Na sua apresentação inicial, Venn focou-se sobretudo nos diagramas de três conjuntos. Alargando o exemplo anterior, poderia-se introduzir o conjunto C dos animais que possuem bico. Neste caso, o diagrama define sete áreas distintas, que podem combinar-se de 256 (28) maneiras diferentes, algumas delas ilustradas nas imagens seguintes.

Diagrama de Venn mostrando todas as intersecções possíveis entre A, B e C.

União de três conjuntos: A B C

Intersecção de três conjuntos: A B C

A \ (B C)

(B C) \ A



Proposições Categóricas

- Todo A é B- Nenhum A é B- Algum A é B e- Algum A não é B

Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A está contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem elementos em comum. Atenção: dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A.

Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns de meus colegas estão me elogiando”, mesmo que todos eles estejam. Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Também, as seguintes expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B.

Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Temos as seguintes equivalências: Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não B é A. Mas não é equivalente a Algum B não é A. Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.

- Todo A é B = Todo A não é não B.- Algum A é B = Algum A não é não B.- Nenhum A é B = Nenhum A não é não B.- Todo A é não B = Todo A não é B. - Algum A é não B = Algum A não é B.- Nenhum A é não B = Nenhum A não é B.- Nenhum A é B = Todo A é não B.- Todo A é B = Nenhum A é não B.- A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa).- A negação de Algum A é B é Nenhum A não é B (e vice-versa).

Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas

Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposições categóricas, isto é, de Todo A é B, Nenhum A é B, Algum A é B e Algum A não é B, pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de todas as outras.

1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis:

A

B

A = B

1 2

Nenhum A é B. É falsa. Algum A é B. É verdadeira.Algum A não é B. É falsa.



2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação:

BA

Todo A é B. É falsa.Algum A é B. É falsa.Algum A não é B. É verdadeira.

3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos as quatro representações possíveis:

Nenhum A é B. É falsa.Todo A é B. Pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2).Algum A não é B. Pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4) – é indeterminada.

4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:

BA3

Todo A é B. É falsa.Nenhum A é B. Pode ser verdadeira (em 3) ou falsa (em 1 e 2 – é indeterminada).Algum A é B. Ou falsa (em 3) ou pode ser verdadeira (em 1 e 2 – é indeterminada).



QUESTÕES

01. Represente por diagrama de Venn-Euler (A) Algum A é B(B) Algum A não é B(C) Todo A é B(D) Nenhum A é B

02. (Especialista em Políticas Públicas Bahia - FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

(A) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.(B) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.(C) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.(D) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.(E) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

03. Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos músicos desta Filarmônica tocam:

(A) instrumentos de sopro ou de corda?(B) somente um dos dois tipos de instrumento?(C) instrumentos diferentes dos dois citados?

04. (TTN - ESAF) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que:(A) algum A não é G; (B) algum A é G. (C) nenhum A é G;(D) algum G é A;(E) nenhum G é A;

05. Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é:

(A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44.

06. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre:

- 20 alunos praticam vôlei e basquete.- 60 alunos praticam futebol e 55 praticam basquete.- 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei.- o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número de alunos que praticam só vôlei.- 17 alunos praticam futebol e vôlei.- 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei.

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a:(A) 93(B) 110(C) 103(D) 99(E) 114



07. Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas entrevistadas, 100 liam o jornal X, 150 liam o jornal Y, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram entrevistadas?

(A) 220(B) 240(C) 280(D) 300(E) 340

08. Em uma entrevista de mercado, verificou-se que 2.000 pessoas usam os produtos C ou D. O produto D é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto C?

(A) 1.430(B) 1.450(C) 1.500(D) 1.520(E) 1.600

09. Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pessoas de um hospital, constatou-se que 40 delas têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 têm o antígeno AB. Com base nesses dados, quantas pessoas possuem o antígeno O?

(A) 50(B) 52(C) 59(D) 63(E) 65

10. Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B. Exatamente 80% dos alunos leem o jornal A e 60% leem o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, encontre o percentual que leem ambos os jornais.

(A) 40%(B) 45%(C) 50%(D) 60%(E) 65%

Respostas

01. (A)

(B)

(C)

(D)



02. Resposta “B”.

A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa. A opção “B” é perfeitamente correta. Percebam como todos os elementos do diagrama “livro” estão inseridos no diagrama “instrutivo”. Resta necessariamente perfeito que algum livro é instrutivo.

03. Seja C o conjunto dos músicos que tocam instrumentos de corda e S dos que tocam instrumentos de sopro. Chamemos de F o conjunto dos músicos da Filarmônica. Ao resolver este tipo de problema faça o diagrama, assim você poderá visualizar o problema e sempre comece a preencher os dados de dentro para fora.

Passo 1: 60 tocam os dois instumentos, portanto, após fazermos o diagrama, este número vai no meio.Passo 2: a)160 tocam instrumentos de corda. Já temos 60. Os que só tocam corda são, portanto 160 - 60 = 100b) 240 tocam instrumento de sopro. 240 - 60 = 180

Vamos ao diagrama, preenchemos os dados obtidos acima:

100 18060

Com o diagrama completamente preenchido, fica fácil achara as respostas: Quantos músicos desta Filarmônica tocam:a) instrumentos de sopro ou de corda? Pelos dados do problema: 100 + 60 + 180 = 340b) somente um dos dois tipos de instrumento? 100 + 180 = 280c) instrumentos diferentes dos dois citados? 500 - 340 = 160

04. Esta questão traz, no enunciado, duas proposições categóricas:- Alguns A são R- Nenhum G é R

Devemos fazer a representação gráfica de cada uma delas por círculos para ajudar-nos a obter a resposta correta. Vamos iniciar pela representação do Nenhum G é R, que é dada por dois círculos separados, sem nenhum ponto em comum.

Como já foi visto, não há uma representação gráfica única para a proposição categórica do Alguns A são R, mas geralmente a representação em que os dois círculos se interceptam (mostrada abaixo) tem sido suficiente para resolver qualquer questão.



Agora devemos juntar os desenhos das duas proposições categóricas para analisarmos qual é a alternativa correta. Como a questão não informa sobre a relação entre os conjuntos A e G, então teremos diversas maneiras de representar graficamente os três conjuntos (A, G e R). A alternativa correta vai ser aquela que é verdadeira para quaisquer dessas representações. Para facilitar a solução da questão não faremos todas as representações gráficas possíveis entre os três conjuntos, mas sim, uma (ou algumas) representação(ões) de cada vez e passamos a analisar qual é a alternativa que satisfaz esta(s) representação(ões), se tivermos somente uma alternativa que satisfaça, então já achamos a resposta correta, senão, desenhamos mais outra representação gráfica possível e passamos a testar somente as alternativas que foram verdadeiras. Tomemos agora o seguinte desenho, em que fazemos duas representações, uma em que o conjunto A intercepta parcialmente o conjunto G, e outra em que não há intersecção entre eles.

Teste das alternativas:Teste da alternativa “A” (algum A não é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que esta alternativa é verdadeira

para os dois desenhos de A, isto é, nas duas representações há elementos em A que não estão em G. Passemos para o teste da próxima alternativa.

Teste da alternativa “B” (algum A é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a direita, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que não estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “D” não é correta. Passemos para a próxima.

Teste da alternativa “C” (Nenhum A é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a esquerda, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “E” não é correta. Portanto, a resposta é a alternativa “A”.

05. Resposta “E”.

n = 20 + 7 + 8 + 9 n = 44

06. Resposta “D”.

n(FeB) = 45 e n(FeB -V) = 30 → n(FeBeV) = 15n(FeV) = 17 com n(FeBeV) = 15 → n(FeV - B) = 2n(F) = n(só F) + n(FeB-V) + n(FeV -B) + n(FeBeV) 60 = n(só F) + 30 + 2 + 15 → n(só F) = 13

n(sóF) = n(sóV) = 13n(B) = n(só B) + n(BeV) + n(BeF-V) → n(só B) = 65 - 20 – 30 = 15n(nem F nem B nem V) = n(nem F nem V) - n(solo B) = 21- 15 = 6

Total = n(B) + n(só F) + n(só V) + n(Fe V - B) + n(nemF nemB nemV) = 65 + 13 + 13 + 2 + 6 = 99.



07. Resposta “E”.

80 20 130

A B

110+

Começamos resolvendo pelo que é comum: 20 alunos gostam de ler os dois.Leem somente A: 100 – 20 = 80Leem somente B: 150 – 20 = 130Totaliza: 80 + 20 + 130 + 110 = 340 pessoas.

08. Resposta “D”.

1200 320 480

A B

Somente B: 800 – 320 = 480Usam A = total – somente B = 2000 – 480 = 1520.

09. Resposta “C”.

A B

26 14 21 59+

Começa-se resolvendo pelo AB, então somente A = 40 – 14 = 26 e somente B = 35 – 14 = 21.Somando-se A, B e AB têm-se 61, então o O são 120 – 61 = 59 pessoas.

10. Resposta “A”.- Jornal A → 0,8 – x- Jornal B → 0,6 – x- Intersecção → x

Então fica:

(0,8 - x) + (0,6 - x) + x = 1- x + 1,4 = 1- x = - 0,4x = 0,4.

Resposta “40% dos alunos leem ambos os jornais”.



5. CONJUNTOS E SUAS OPERAÇÕES.

Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de elementos.

Note que ao subtrairmos os elementos comuns evitamos que eles sejam contados duas vezes.

Observações:

a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será verdadeira.

b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma eficiência.

Observe o diagrama e comprove.



Conjuntos

Conjuntos Primitivos

Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são primitivos, ou seja, não são definidos.Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de conjuntos.Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou

um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto.Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de retas é um conjunto onde cada elemento (reta) é também conjunto

(de pontos).Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y,

..., embora não exista essa obrigatoriedade.Em Geometria, por exemplo, os pontos são indicados por letras maiúsculas e as retas (que são conjuntos de pontos) por letras

minúsculas.Outro conceito fundamental é o de relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto.

Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x∈ALê-se: x é elemento de A ou x pertence a A.

Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x∉ALê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A.

Como representar um conjunto

Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula.

Exemplos

- {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 6, 7 e 8.{a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, b e m.{1; {2; 3}; {3}} indica o conjunto cujos elementos são 1, {2; 3} e {3}.

Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, este fica bem determinado.

P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer temos:Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por:{x, tal que x tem a propriedade P}

Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou | ou ainda :, podemos indicar o mesmo conjunto por:{x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda,{x : x tem a propriedade P}

Exemplos

- { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u}- {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que {0, 1, 2, 3}- {x : x em um número inteiro e x2 = x } é o mesmo que {0, 1}

Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler consiste em representar o conjunto através de um “círculo” de tal forma que seus elementos e somente eles estejam no “círculo”.



Exemplos

- Se A = {a, e, i, o, u} então

- Se B = {0, 1, 2, 3 }, então

Conjunto Vazio

Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se pela letra do alfabeto norueguês 0/ ou, simplesmente { }.Simbolicamente: ∀ x, x∉ 0/

Exemplos

- 0/ = {x : x é um número inteiro e 3x = 1}- 0/ = {x | x é um número natural e 3 – x = 4}- 0/ = {x | x ≠ x}

Subconjunto

Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou A é a parte de B ou, ainda, A está contido em B e indicamos por A ⊂ B.

Simbolicamente: A ⊂ B ⇔ ( ∀ x)(x∈ ∀ ⇒ x∈B)

Portanto, A ⊄ B significa que A não é um subconjunto de B ou A não é parte de B ou, ainda, A não está contido em B.Por outro lado, A ⊄ B se, e somente se, existe, pelo menos, um elemento de A que não é elemento de B. Simbolicamente: A ⊄ B ⇔ ( ∃ x)(x∈A e x∉B)

Exemplos

- {2 . 4} ⊂ {2, 3, 4}, pois 2 ∈ {2, 3, 4} e 4 ∈ {2, 3, 4}- {2, 3, 4} ⊄ {2, 4}, pois 3 ∉{2, 4}- {5, 6} ⊂ {5, 6}, pois 5 ∈{5, 6} e 6 ∈{5, 6}

Inclusão e pertinência

A definição de subconjunto estabelece um relacionamento entre dois conjuntos e recebe o nome de relação de inclusão ( ⊂ ).A relação de pertinência (∈) estabelece um relacionamento entre um elemento e um conjunto e, portanto, é diferente da relação

de inclusão.



Simbolicamentex∈A ⇔ {x} ⊂ Ax∉A ⇔ {x} ⊄ A

Igualdade

Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B é também subconjunto de A.

Simbolicamente: A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ ADemonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, segundo a definição, a demonstrar que A ⊂ B e B ⊂ A.Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos.Portanto A ≠ B significa que A é diferente de B. Portanto A ≠ B se, e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto

de A. Simbolicamente: A ≠ B ⇔ A ⊄ B ou B ⊄ A

Exemplos

- {2,4} = {4,2}, pois {2,4} ⊂ {4,2} e {4,2} ⊂ {2,4}. Isto nos mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve ser levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto fica determinado pelos elementos que o mesmo possui e não pela ordem em que esses elementos são descritos.

- {2,2,2,4} = {2,4}, pois {2,2,2,4} ⊂ {2,4} e {2,4} ⊂ {2,2,2,4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é desnecessária.- {a,a} = {a}- {a,b = {a} ⇔ a= b- {1,2} = {x,y} ⇔ (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1)

Conjunto das partes

Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) de A e é indicado por P(A).

Simbolicamente: P(A)={X | X ⊂ A} ou X ⊂ P(A) ⇔ X ⊂ A

Exemplos

a) = {2, 4, 6}P(A) = { 0/ , {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A}

b) = {3,5}P(B) = { 0/ , {3}, {5}, B}

c) = {8} P(C) = { 0/ , C}

d) = 0/P(D) = { 0/ }

Propriedades

Seja A um conjunto qualquer e 0/ o conjunto vazio. Valem as seguintes propriedades

0/ ≠( 0/ ) 0/ ∉ 0/ 0/ ⊂ 0/ 0/ ∈{ 0/ }0/ ⊂ A ⇔ 0/ ∈P(A) A ⊂ A ⇔ A∈P(A)

Se A tem n elementos então A possui 2n subconjuntos e, portanto, P(A) possui 2n elementos.



União de conjuntos

A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Representa-se por A ∪ B.

Simbolicamente: A N∉4 B = {X | X∈A ou X∈B}

Exemplos

- {2,3} ∪ {4,5,6}={2,3,4,5,6}- {2,3,4} ∪ {3,4,5}={2,3,4,5}- {2,3} ∪ {1,2,3,4}={1,2,3,4}- {a,b} ∪ φ {a,b}

Intersecção de conjuntos

A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A ∩ B. Simbolicamente: A ∩ B = {X | X∈A ou X∈B}

-

Exemplos

- {2,3,4} ∩ {3,5}={3}- {1,2,3} ∩ {2,3,4}={2,3}- {2,3} ∩ {1,2,3,5}={2,3}- {2,4} ∩ {3,5,7}=φ

Observação: Se A ∩ B=φ , dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.

Subtração

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Simbolicamente: A – B = {X | X ∈A e X∉B}

[

O conjunto A – B é também chamado de conjunto complementar de B em relação a A, representado por CAB. Simbolicamente: CAB = A - B{X | X∈A e X∉B}



Exemplos

- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} CAB = A – B = {1,3} e CBA = B – A =φ

- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} CAB = A – B = {1} e CBA = B – A = {14}

- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} CAB = A – B = {0,2,4} e CBA = B – A = {1,3,5}

Observações: Alguns autores preferem utilizar o conceito de completar de B em relação a A somente nos casos em que B ⊂ A.- Se B ⊂ A representa-se por B o conjunto complementar de B em relação a A. Simbolicamente: B ⊂ A ⇔ B = A – B = CAB`

Exemplos

Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:a) A = {2, 3, 4} A⇒ = {0, 1, 5, 6}b) B = {3, 4, 5, 6 } B⇒ = {0, 1, 2}c) C = φ C⇒ = S

Número de elementos de um conjunto

Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, representa-se por n(X) o número de elementos de X. Sendo, ainda, A e B dois conjuntos quaisquer, com número finito de elementos temos:

n(A ∪ B)=n(A)+n(B)-n(A ∩ B)A ∩ B=φ ⇒ n(A ∪ B)=n(A)+n(B)n(A -B)=n(A)-n(A ∩ B)B ⊂ A ⇒ n(A-B)=n(A)-n(B)

Exercícios

1. Assinale a alternativa a Falsa:a) φ ⊂{3}b)(3) ⊂ {3}c)φ ∉ {3}d)3∈{3}e)3={3}

2. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {3}, {4}, {2, 5}}. Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F).a) 2 ∈ A b) (2) ∈Ac) 3∈A d) (3) ∈Ae) 4∈A



3. Um conjunto A possui 5 elementos . Quantos subconjuntos (partes) possuem o conjunto A?

4. Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A?

5. 12 - Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6}, B = {3; 4 ; 5; 7} e C = {4; 5; 6; 8 } pede-se:a) A ∪ Bb) A ∩ Bc) A ∪ Cd) A ∩ C

6. Considere os conjuntos: S = {1,2,3,4,5} e A={2,4}. Determine o conjunto X de tal forma que: X ∩ A=φ e X ∪ A = S.

7. Seja A e X conjuntos. Sabendo-se que A ⊂ X e A ∪ X={2,3,4}, determine o conjunto X.

8. Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número de elementos de A ∩ (B ∪ C), sabendo-se:a) A ∩ B tem 29 elementosb) A ∩ C tem 10 elementosc) A ∩ B tem 7 elementos.

9. Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-sea) quantas crianças existem na escola?b) quantas crianças são meninas ou são ruivas?

10. USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:- Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;- Quando chove de manhã não chove à tarde;- Houve 5 tardes sem chuva;- Houve 6 manhãs sem chuva.

Podemos afirmar então que n é igual a:a)7b)8c)9d)10e)11

Respostas

1) Resposta “E”.Solução: A ligação entre elemento e conjunto é estabelecida pela relação de pertinência (∈) e não pela relação de igualdade (=).

Assim sendo, 3∈{3} e 3≠{3}. De um modo geral, x ≠ {x}, ∀ x.

2) Solução:a) Verdadeira, pois 2 é elemento de A.b) Falsa, pois {2} não é elemento de A.c) Verdadeira, pois 3 é elemento de A.d) Verdadeira, pois {3} é elemento de A.e) Falsa, pois 4 não é elemento de A.

3) Resposta “32”.Solução: Lembrando que: “Se A possui k elementos, então A possui 2k subconjuntos”, concluímos que o conjunto A, de 5

elementos, tem 25 = 32 subconjuntos.



4) Resposta “10”.Solução: Se k é o número de elementos do conjunto A, então 2k é o número de subconjuntos de A.Assim sendo: 2k=1024 ⇔ 2k=210 ⇔ k=10.

5) Solução: Representando os conjuntos A, B e C através do diagrama de Venn-Euler, temos: a)

A∪ B={1,3,4,5,6,7}

b)

A∩ B={3,4}

c)

A∪ C={1,3,4,5,6,8}

d)

A∩ C={4,6}

6) Resposta “X={1;3;5}”.Solução: Como X ∩ A=φ e X ∪ A=S, então X= A =S-A=CsA ⇒ X={1;3;5}



7) Resposta “X = {2;3;4}Solução: Como A ⊂ X, então A ∪ X = X = {2;3;4}.

8) Resposta “A”.Solução: De acordo com o enunciado, temos:

n(A ∩ B ∩ C) = 7n(A ∩ B) = a + 7 = 26 ⇒ a = 19n(A ∩ C) = b + 7 = 10 ⇒ b = 3

Assim sendo:

e portanto n[A ∩ (B ∪ C)] = a + 7 + b = 19 + 7 + 3Logo: n[A ∩ (B ∪ C)] = 29.

9) Solução:

Sejam:A o conjunto dos meninos ruivos e n(A) = xB o conjunto das meninas ruivas e n(B) = 9C o conjunto dos meninos não-ruivos e n(C) = 13D o conjunto das meninas não-ruivas e n(D) = yDe acordo com o enunciado temos:

=⇔=+=+=∪=⇔=+=+=∪15249)()()(33429)()()(

xxBnAnDAnyyDnBnDBn

Assim sendoa) O número total de crianças da escola é:

703313915)()()()()( =+++=+++=∪∪∪ DnCnBnAnDCBAn

b) O número de crianças que são meninas ou são ruivas é:

5733915)()()()]()[( =++=++=∪∪∪ DnBnAnDBBAn



10) Resposta “C”.Solução:Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o conjunto dos dias que choveu à tarde. Chamando de M’ e T’ os

conjuntos complementares de M e T respectivamente, temos:

n(T’) = 5 (cinco tardes sem chuva)n(M’) = 6 (seis manhãs sem chuva)n(M Ç T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à tarde)

Daí:

n(M È T) = n(M) + n(T) – n(M Ç T)7 = n(M) + n(T) – 0

Podemos escrever também:n(M’) + n(T’) = 5 + 6 = 11

Temos então o seguinte sistema:n(M’) + n(T’) = 11n(M) + N(T) = 7

Somando membro a membro as duas igualdades, vem:n(M) + n(M’) + n(T) + n(T’) = 11 + 7 = 18

Observe que n(M) + n(M’) = total dos dias de férias = nAnalogamente, n(T) + n(T’) = total dos dias de férias = n

Portanto, substituindo vem:n + n = 182n = 18n = 9

Logo, foram nove dias de férias, ou seja, n = 9 dias.

6. NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS, REAIS E SUAS OPERAÇÕES.

REPRESENTAÇÃO NA RETA.

Números Naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo.

Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.

Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}



A construção dos Números Naturais

- Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.Exemplos: Seja m um número natural.a) O sucessor de m é m+1.b) O sucessor de 0 é 1.c) O sucessor de 1 é 2.d) O sucessor de 19 é 20.

- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.Exemplos:a) 1 e 2 são números consecutivos.b) 5 e 6 são números consecutivos.c) 50 e 51 são números consecutivos.

- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.b) 5, 6 e 7 são consecutivos.c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.a) O antecessor do número m é m-1.b) O antecessor de 2 é 1.c) O antecessor de 56 é 55.d) O antecessor de 10 é 9.

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamados, a sequência dos números ímpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

Igualdade e Desigualdades

Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A = B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por: A ≠ B (lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.

Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A = B.

Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos.Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos

do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.



Operações com Números Naturais

Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.

A adição de números naturais

A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.

Propriedades da Adição- Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número

natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.

- Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro. (A + B) + C = A + (B + C)

- Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

- Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

Multiplicação de Números NaturaisÉ a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são

as unidades do segundo número denominadas multiplicador.

Exemplo4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos

o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.

Propriedades da multiplicação- Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais números

naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.

- Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. (m . n) . p = m .(n . p) → (3 . 4) . 5 = 3 . (4 . 5) = 60

- Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que: 1 . n = n . 1 = n → 1 . 7 = 7 . 1 = 7

- Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento. m . n = n . m → 3 . 4 = 4 . 3 = 12

Propriedade DistributivaMultiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das

parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos. m . (p + q) = m . p + m . q → 6 x (5 + 3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48



Divisão de Números Naturais

Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.

Relações essenciais numa divisão de números naturais- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7- A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos

escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.

Potenciação de Números Naturais

Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja: mn = m . m . m ... m . m → m aparece n vezes

O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é denominado potência.

Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 → 43 = 4 × 4 × 4 = 64

Propriedades da Potenciação

- Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1. Exemplos:a- 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1b- 13 = 1×1×1 = 1c- 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1

- Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1. Por exemplo:

- (a) nº = 1- (b) 5º = 1- (c) 49º = 1

- A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental.

- Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio n. Por exemplo:

- (a) n¹ = n- (b) 5¹ = 5- (c) 64¹ = 64

- Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros. Exemplos:a- 103 = 1000b- 108 = 100.000.000c- 10o = 1



Exercícios

1. O consecutivo e o antecedente de um número natural n serão respectivamente:

2. Se n é par, o consecutivo par de n será? Se n é ímpar, o consecutivo ímpar de n será?

3. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado?

3cm

4. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3²?

5. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?

6. Faça a potenciação dos seguintes números:a) 2³b) 5³c) 2²d) 64

7. Qual é o valor do número natural b, tal que 64 = b × b × b?

8. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os números?

9. Realize a divisão nos seguintes números naturais:a) 125 : 5b) 36 : 6c) 49 : 7

10. Calcule:a) -8 + 5b) -5 – 7 c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17)d) –(-5) + (-10) - 14

Respostas

1) Solução: O antecedente de um número n será n – 1, pois é aquele que antecede o n.Já o consecutivo é n + 1.

2) Solução: Sendo n par, o seu consecutivo será n + 2, e sendo impar o consecutivo sendo impar o n será n + 2.

3) Resposta “9 quadradinhos”. Solução: Temos 9 quadradinhos, então basta apenas fazermos:9 x 1 = 9 quadradinhos

4) Resposta “9”.Solução: Basta apenas multiplicarmos o 3 duas vezes:3 x 3 = 9.

5) Resposta “27”.Solução: Para construirmos um cubo, basta apenas multiplicarmos os lados:3 x 3 x 3 = 27 cubinhos.



6) Solução:a) 2 x 2 x 2 = = 8

b) 5 x 5 x 5 == 125

c) 2 x 2 == 4

d) 6 x 6 x 6 x 6 == 1296

7) Resposta “4”.Solução: R³[64] = 4, pois 64 = b × b × b, ou seja, 64 = b³. Esta é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O

número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b = 4.

8) Resposta “1”.Solução: O número 1, pois se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto,

3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante.

9) Solução:a) 125 : 5 == 25

b) 36 : 6 == 6

c) 49 : 7 = = 7

10) Solução:a) -8 + 5 = = -3

b) -5 – 7 == -12

c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17) == 10 + 8 – 12 + 17 == 35 – 12 == 23

d) –(-5) + (-10) – 14 == 5 – 10 – 14 == 5 – 24 == -19

Números Inteiros

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}



O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis:

- O conjunto dos números inteiros não nulos:Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z – {0}

- O conjunto dos números inteiros não negativos:Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N

- O conjunto dos números inteiros positivos:Z*+ = {1, 2, 3, 4,...}

- O conjunto dos números inteiros não positivos:Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- O conjunto dos números inteiros negativos:Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}

Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |.

O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.

Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem.

Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.

Adição de Números Inteiros

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.

Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)

O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:a + (b + c) = (a + b) + c2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3



Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:z + 0 = z7 + 0 = 7

Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal quez + (–z) = 09 + (–9) = 0

Subtração de Números Inteiros

A subtração é empregada quando:- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra;- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra.

A subtração é a operação inversa da adição.

Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9 diferença subtraendo minuendo

Considere as seguintes situações:

1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura?Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3

2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira?

Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3

Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+5) + (–3).

Temos:(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3

Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.

Multiplicação de Números Inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:(+1) x (+1) = (+1)(+1) x (-1) = (-1)(-1) x (+1) = (-1)(-1) x (-1) = (+1)



Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos números Resultado do produtoIguais PositivoDiferentes Negativo

Propriedades da multiplicação de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:a x (b x c) = (a x b) x c2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:z x 1 = z7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z–1=1/z em Z, tal quez x z–1 = z x (1/z) = 19 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:a x (b + c) = (a x b) + (a x c)3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)

Divisão de Números Inteiros

Dividendo divisor dividendo:Divisor = quociente 0Quociente . divisor = dividendo

Sabemos que na divisão exata dos números naturais:

40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 4036 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36

Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo:

(–20) : (+5) = q (+5) . q = (–20) q = (–4)

Logo: (–20) : (+5) = - 4Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro,

diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí:

- Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo.- Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo.- A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem

ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro.- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro.



1- Não existe divisão por zero.Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15.

2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero.

Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0

Potenciação de Números Inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

an = a x a x a x a x ... x aa é multiplicado por a n vezes

Exemplos:33 = (3) x (3) x (3) = 27(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125(-7)² = (-7) x (-7) = 49(+9)² = (+9) x (+9) = 81

- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo.Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9

- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo.Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64

- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo.Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125

Propriedades da Potenciação:

Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9

Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = (+13)2

Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10

Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 (–13)1 = –13

Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1

Radiciação de Números Inteiros

A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical).

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros.



Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:√9 = ±3

mas isto está errado. O certo é:√9 = +3

Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.

Exemplos

(a) 3 8 = 2, pois 2³ = 8.(b) 3 8− = –2, pois (–2)³ = -8.(c) 3 27 = 3, pois 3³ = 27.(d) 3 27− = –3, pois (–3)³ = -27.

Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

Exercícios

1. Qual é o maior quadrado perfeito que se escreve com dois algarismos?

2. Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101. Qual é esse número inteiro?

3. Calcule:a) (+12) + (–40)b) (+12) – (–40) c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20)d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15)

4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças verdadeiras:a) x + (–12) = –5b) x + (+9) = 0c) x – (–2) = 6d) x + (–9) = –12e) –32 + x = –50f) 0 – x = 8

5. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as informações?Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul.Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul.Máxima prevista 37° no Piauí.

6. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em que o maior deles é –10?

7. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é +99. Determine o produto desses três números.



8. Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros de modo que elas se mantenham:a) (–140) : x = –20 b) 144 : x = –4 c) (–147) : x = +21 d) x : (+13) = +12 e) x : (–93) = +45 f) x : (–12) = –36

9. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse?

10. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total?

Respostas

1) Resposta “9²”.Solução: Basta identificar os quadrados perfeitos.Os números quadrados perfeitos são:1² = 1 (menor que dois algarismos)2² = 43² = 94² = 16 (dois algarismos)5² = 256² = 367² = 498² = 649² = 8110² = 100 (mais que dois algarismos)

Logo, o maior quadrado perfeito é o 9² = 81

2) Resposta “270”.Solução:(53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 10155 – 51 + 165 + 101 = 270

Portanto, o número inteiro é 270.

3) Solução:a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 = 6 – 24 = -18

4) Solução:a) x + (–12) = –5 → x = -5 + 12 → x = 7b) x + (+9) = 0 → x = -9c) x – (–2) = 6 → x = 6 – 2 → x = 4d) x + (–9) = –12 → x = -12 + 9 → x = -3e) –32 + x = –50 → x = -50 + 32 → x = -18f) 0 – x = 8 → x = -8



5) Resposta “40˚”. Solução:A diferença está entre -3º e +37º. Se formos ver... -3º, -2º, -1º, 0º, 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º... será +40º.

6) Resposta “-1320”.Solução:(x) . (x+1) . (x+2) = ?

x+2 = -10x= -10 -2x = -12

(-12) . (-12+1) . (-12+2) =-12 . -11 . -10 = - 1320

7) Resposta “999900”.Solução:(x) . (x+1) . (x+2) = ?

x= 99

(99) . (99+1) . (99+2) =99 . 100 . 101 = 999900

8) Solução:

a) (–140) : x = –20 -20x = -140 x = 7

b) 144 : x = –4 -4x = 144 x = -36

c) (–147) : x = +21 21x = -147 x = -7

d) x : (+13) = +12 x = 12 . 13 x = 156 e) x : (–93) = +45 x = 45 . -93 x = -4185

f) x : (–12) = –36 x = -36 . -12 x = 432



9) Resposta “738”.Solução:x + (-846) . -3 = 324x – 846 . -3 = 324-3 (x – 846) = 324-3x + 2538 = 3243x = 2538 – 3243x = 2214

x =

x = 738

10) Resposta “3”.Solução: Seja t o total da adição inicial.Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: t + 8Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades: Temos:

t + 8 - 5 = t + 3

Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.

Números Racionais - Q

Um número racional é o que pode ser escrito na forma mn , onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente de

zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o

conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = { mn : m e n em Z, n diferente de zero}

No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:

- Q* = conjunto dos racionais não nulos;- Q+ = conjunto dos racionais não negativos;- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.

Representação Decimal das Frações

Tomemos um número racional pq , tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do

numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos:

1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:

25

= 0,4

14

= 0,25

35 4

= 8,75

153 50

= 3,06



2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:

13

= 0,333...

122

= 0,04545...

167 66

= 2,53030...

Representação Fracionária dos Números Decimais

Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos:

1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:

0,9 = 910

5,7 = 5710

0,76 = 76100

3,48 = 348100

0,005 = 51000

= 1200

2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:

Exemplo 1

Seja a dízima 0, 333... .

Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333 Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda:10x – x = 3,333... – 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9

Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 39

.

Exemplo 2

Seja a dízima 5, 1717...

Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .Subtraindo membro a membro, temos:99x = 512 ⇒ x = 512/99

Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 512 99

.



Exemplo 3

Seja a dízima 1, 23434...

Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .Subtraindo membro a membro, temos:990x = 1234,34... – 12,34... ⇒ 990x = 1222 ⇒ x = 1222/990

Simplificando, obtemos x = 611 495

, a fração geratriz da dízima 1, 23434...

Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero.

Exemplo: Módulo de - 32

é 32

. Indica-se 32

- = 32

Módulo de + 32

é 32

. Indica-se 32

+ = 32

Números Opostos: Dizemos que – 32 e 3

2 são números racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 3

2 e 3

2 ao ponto zero da reta são iguais.

Soma (Adição) de Números Racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a

b e c

d, da mesma forma que a soma de frações, através de:

ab

+ cd

= ad + bc bd

Propriedades da Adição de Números Racionais

O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0

Subtração de Números Racionais

A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q)

Multiplicação (Produto) de Números Racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a

be c

d, da mesma forma que o produto de frações, através de:

ab x c

d = ac

bd



O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.

Propriedades da Multiplicação de Números Racionais

O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q

- Elemento inverso: Para todo q = ab

em Q, q diferente de zero, existe q-1 = ba

em Q: q × q-1 = 1 ab

x ba

= 1

- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

Divisão de Números Racionais

A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1

Potenciação de Números Racionais

A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)

Exemplos:

a) 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

= 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

8125

b) − 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . −

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . −

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − 1

8

c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25

d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25

Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1.

+ 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

= 1

- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.

− 94

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

= - 94



- Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.

− 35

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−2

. − 53

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= 259

- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base.

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

= 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

827

- Toda potência com expoente par é um número positivo.

− 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= − 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . −

15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

125

- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes.

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

. 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

= 25.25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .25.25.25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2+3

= 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟5

- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes

Radiciação de Números RacionaisSe um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns

exemplos:

Exemplo 1

4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se √4= 2.

Exemplo 2

19 Representa o produto 1

3 . 13

ou 1

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

. Logo, 13

é a raiz quadrada de 1

9 .Indica-se 19

= 13



Exemplo 3

0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 0,2163 = 0,6.

Assim, podemos construir o diagrama:

N Z Q

Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.

O número -100 9

não tem raiz quadrada em Q, pois tanto -10 3

como +10 3

, quando elevados ao quadrado, dão 100 9

.

Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.

O número 23 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado dê 2

3.

Exercícios

1. Calcule o valor das expressões numéricas:

a) 724

− 512

− 18

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − 7

6+ 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

b) + 316

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ : − 1

12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

52

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− 94− 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2. Escreva o produto 73

32.

32

+

+ como uma só potência.

3. Escreva o quociente − 1625

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟12

: − 1625

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4

como uma só potência.

4. Qual é o valor da expressão

5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 16 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das figurinhas

34

. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?

6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 14 do livro e no dia seguinte leu 1

6 do livro. Então calcule:a) A fração do livro que ela já leu.b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura.



7. Em um pacote há 45 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há 1

3 . Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo?

8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 59 da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?

9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 13 desses apartamentos foi vendido e 1

6 foi reservado. Assim:a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?

10. Transforme em fração:a) 2,08b) 1,4c) 0,017d) 32,17

Respostas1) Solução

a) 724

− 512

− 18

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − 7

6+ 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 724

− 10 − 324

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

−14 + 912

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

724

− 724

+ 512

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

724

− 7 +1024

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

724

− 1724

= − 1024

= − 512

b) + 316

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ : − 1

12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

52

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− 94− 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

316− 112

+ 52

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥− 9 −14

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

3616

− 52

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − 5

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− 94+ 52+ 54= −9 +10 + 5

4= 64= 32

mmc:(4;2)=4

2) Solução:

+ 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟10

3) Solução:

− 1625

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟8

4) Solução:



5) Resposta 1112Solução:

16

+ 34

= 212

+ 912

= 1112

6) Solução:

a) 14

+ 16

= 312

+ 212

= 512

b) 1- 512

= 1212

- 512

= 712

7) Respostas 715Solução:

45 - 1

3 = 12

15 - 5

15 = 7

15

8) Resposta 49Solução:

1 - 59 = 9

9 - 5

9 = 4

9

9) Solução:

a) 13 + 1

6 = 26

+ 16 = 3

6 = 12

b) 1- 12

= 22

- 12

= 12

10) Solução:

a) 2,08 → 208100

= 5225

b) 1,4 → 1410

= 75

c) 0,017 → 171000

d) 32,17 → 3217100

Números Reais

O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.



Denomina-se corpo dos números reais a coleção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais, formado pelo corpo de frações associado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infinito.

Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada a p!

PropriedadeO conjunto dos números reais com as operações binárias de soma e produto e com a relação natural de ordem formam um corpo

ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, R tem a seguinte propriedade: Se R for dividido em dois conjuntos (uma partição) A e B, de modo que todo elemento de A é menor que todo elemento de B, então existe um elemento x que separa os dois conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e menor ou igual a todo elemento de B.

Ao conjunto formado pelos números Irracionais e pelos números Racionais chamamos de conjunto dos números Reais. Ao unirmos o conjunto dos números Irracionais com o conjunto dos números Racionais, formando o conjunto dos números Reais, todas as distâncias representadas por eles sobre uma reta preenchem-na por completo; isto é, ocupam todos os seus pontos. Por isso, essa reta é denominada reta Real.

Podemos concluir que na representação dos números Reais sobre uma reta, dados uma origem e uma unidade, a cada ponto da reta corresponde um número Real e a cada número Real corresponde um ponto na reta.



Ordenação dos números ReaisA representação dos números Reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números Reais positivos são maiores que

zero e os negativos, menores. Expressamos a relação de ordem da seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b,

a ≤ b ↔ b – a ≥ 0

Exemplo: -15 ≤ ↔ 5 – (-15) ≥ 0 5 + 15 ≥ 0

Propriedades da relação de ordem- Reflexiva: a ≤ a- Transitiva: a ≤ b e b ≤ c → a ≤ c- Anti-simétrica: a ≤ b e b ≤ a → a = b- Ordem total: a < b ou b < a ou a = b

Expressão aproximada dos números Reais

Os números Irracionais possuem infinitos algarismos decimais não-periódicos. As operações com esta classe de números sempre produzem erros quando não se utilizam todos os algarismos decimais. Por outro lado, é impossível utilizar todos eles nos cálculos. Por isso, somos obrigados a usar aproximações, isto é, cortamos o decimal em algum lugar e desprezamos os algarismos restantes. Os algarismos escolhidos serão uma aproximação do número Real. Observe como tomamos a aproximação de e do número nas tabelas.

Aproximação porFalta Excesso

Erro menor que π π

1 unidade 1 3 2 41 décimo 1,4 3,1 1,5 3,21 centésimo 1,41 3,14 1,42 3,151 milésimo 1,414 3,141 1,415 3,1421 décimo de milésimo 1,4142 3,1415 1,4134 3,1416

Operações com números ReaisOperando com as aproximações, obtemos uma sucessão de intervalos fixos que determinam um número Real. É assim que vamos

trabalhar as operações adição, subtração, multiplicação e divisão. Relacionamos, em seguida, uma série de recomendações úteis para operar com números Reais:

- Vamos tomar a aproximação por falta.- Se quisermos ter uma ideia do erro cometido, escolhemos o mesmo número de casas decimais em ambos os números.- Se utilizamos uma calculadora, devemos usar a aproximação máxima admitida pela máquina (o maior número de casas

decimais).



- Quando operamos com números Reais, devemos fazer constar o erro de aproximação ou o número de casas decimais.- É importante adquirirmos a idéia de aproximação em função da necessidade. Por exemplo, para desenhar o projeto de uma casa,

basta tomar medidas com um erro de centésimo.- Em geral, para obter uma aproximação de n casas decimais, devemos trabalhar com números Reais aproximados, isto é, com

n + 1 casas decimais.Para colocar em prática o que foi exposto, vamos fazer as quatro operações indicadas: adição, subtração, multiplicação e divisão

com dois números Irracionais.

Valor AbsolutoComo vimos, o erro pode ser:- Por excesso: neste caso, consideramos o erro positivo.- Por falta: neste caso, consideramos o erro negativo.

Quando o erro é dado sem sinal, diz-se que está dado em valor absoluto. O valor absoluto de um número a é designado por |a| e coincide com o número positivo, se for positivo, e com seu oposto, se for negativo.

Exemplo: Um livro nos custou 8,50 reais. Pagamos com uma nota de 10 reais. Se nos devolve 1,60 real de troco, o vendedor cometeu um erro de +10 centavos. Ao contrário, se nos devolve 1,40 real, o erro cometido é de 10 centavos.



7. UNIDADES DE MEDIDA: DISTÂNCIA, MASSA E TEMPO.

Sistema de Medidas Decimais

Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, porque dele derivam as demais.

Unidades de Comprimentokm hm dam m dm cm mm

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte.

Por isso, o sistema é chamado decimal.

E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado com o nome popular de litro.

As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são o quilômetro quadrado,

o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades rurais com o nome de hectare (ha): 1 hm2 = 1 ha.No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 vezes, como nos comprimentos.

Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 = 102.

Unidades de Áreakm2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

quilômetroquadrado

hectômetroquadrado

decâmetroquadrado

metroquadrado

decímetroquadrado

centímetroquadrado

milímetroquadrado

1000000m2 10000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2

Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico e o centímetro cúbico.

Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal.

Unidades de Volumekm3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

quilômetrocúbico

hectômetrocúbico

decâmetrocúbico

metrocúbico

decímetrocúbico

centímetrocúbico

milímetrocúbico

1000000000m3 1000000m3 1000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3



A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é de 7 000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3.

Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte.

Unidades de Capacidadekl hl dal l dl cl ml

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centímetro mililitro1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o grama.

Unidades de Massa

kg hg dag g dg cg mgquilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g

Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda a tonelada (t): 1t = 1000 kg.

Não Decimais

Desse grupo, o sistema hora – minuto – segundo, que mede intervalos de tempo, é o mais conhecido.

2h = 2 . 60min = 120 min = 120 . 60s = 7 200s

Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-se por 60.0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos; como 1 décimo de hora corresponde a 6 minutos, conclui-se que 0,3h = 18min.

Para medir ângulos, também temos um sistema não decimal. Nesse caso, a unidade básica é o grau. Na astronomia, na cartografia e na navegação são necessárias medidas inferiores a 1º. Temos, então:

1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’)1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)

Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os mesmos do sistema hora – minuto – segundo. Há uma coincidência de nomes, mas até os símbolos que os indicam são diferentes:

1h32min24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia.1º 32’ 24” é a medida de um ângulo.

Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora – minuto – segundo são similares a cálculos no sistema grau – minuto – segundo, embora esses sistemas correspondam a grandezas distintas.

Há ainda um sistema não-decimal, criado há algumas décadas, que vem se tornando conhecido. Ele é usado para medir a informação armazenada em memória de computadores, disquetes, discos compacto, etc. As unidades de medida são bytes (b), kilobytes (kb), megabytes (Mb), etc. Apesar de se usarem os prefixos “kilo” e “mega”, essas unidades não formam um sistema decimal.

Um kilobyte equivale a 210 bytes e 1 megabyte equivale a 210 kilobytes.



Exercícios

1. Raquel saiu de casa às 13h 45min, caminhando até o curso de inglês que fica a 15 minutos de sua casa, e chegou na hora da aula cuja duração é de uma hora e meia. A que horas terminará a aula de inglês?

a) 14hb) 14h 30minc) 15h 15mind) 15h 30mine) 15h 45min

2. 348 mm3 equivalem a quantos decilitros?

3. Quantos decalitros equivalem a 1 m3?

4. Passe 50 dm2 para hectômetros quadrados.

5. Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 mm3?

6. Quantos centilitros equivalem a 15 hl?

7. Passe 5.200 gramas para quilogramas.

8. Converta 2,5 metros em centímetros.

9. Quantos minutos equivalem a 5h05min?

10. Quantos minutos se passaram das 9h50min até as 10h35min?

Respostas

1) Resposta “D”.Solução: Basta somarmos todos os valores mencionados no enunciado do teste, ou seja:13h 45min + 15 min + 1h 30 min = 15h 30min

Logo, a questão correta é a letra D.

2) Resposta “0, 00348 dl”.Solução: Como 1 cm3 equivale a 1 ml, é melhor dividirmos 348 mm3 por mil, para obtermos o seu equivalente em centímetros

cúbicos: 0,348 cm3. Logo 348 mm3 equivalem a 0, 348 ml, já que cm3 e ml se equivalem.

Neste ponto já convertemos de uma unidade de medida de volume, para uma unidade de medida de capacidade.Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando então passaremos dois níveis à esquerda. Dividiremos então por 10

duas vezes:

0,348 :10 :10 0,00348ml dl⇒

Logo, 348 mm³ equivalem a 0, 00348 dl.

3) Resposta “100 dal”.Solução: Sabemos que 1 m3 equivale a 1.000 l, portanto para convertermos de litros a decalitros, passaremos um nível à esquerda.Dividiremos então 1.000 por 10 apenas uma vez:

1000 :10l dal⇒



Isto equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda.Poderíamos também raciocinar da seguinte forma:

Como 1 m3 equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1 kl para decalitros, quando então passaremos dois níveis à direita. Multiplicaremos então 1 por 10 duas vezes:

1 .10.10 100kl dal⇒

Logo, 100 dal equivalem a 1 m³.

4) Resposta “0, 00005 hm²”.Solução: Para passarmos de decímetros quadrados para hectômetros quadrados, passaremos três níveis à esquerda. Dividiremos então por 100 três vezes:

2 250 :100 :100 :100 0,00005dm hm⇒

Isto equivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda.

Portanto, 50 dm² é igual a 0, 00005 hm².

5) Resposta“0,000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3”. Solução: Para passarmos de milímetros cúbicos para quilômetros cúbicos, passaremos seis níveis à esquerda. Dividiremos então

14 por 1000 seis vezes:

3

18 3 18

17 3 3

14 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000 :100014 :10 14.101,4.10 0.000000000000000

mmkm kmkm km

−

−

⇒ ⇒

⇒ ⇒

Portanto, 0, 000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3 se expresso em notação científica equivalem a 14 mm3.

6) Resposta “150.000 cl”.Solução: Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos quatro níveis à direita.Multiplicaremos então 15 por 10 quatro vezes:

15 .10.10.10.10 150.000hl cl⇒

Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita.

Logo, 150.000 cl equivalem a 15 hl.

7) Resposta “5,2 kg”.Solução: Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, devemos dividir (porque na tabela grama está à direita de quilogra-

ma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos de gramas para quilogramas saltamos três níveis à esquerda.Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de decagrama para hectograma e finalmente de hectograma para quilogra-

ma:

5200 :10 :10 :10 5,2g kg⇒

Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda.

Portanto, 5.200 g são iguais a 5,2 kg.



8) Resposta “250 cm”.Solução: Para convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos multiplicar (porque na tabela metro está à esquerda de centí-

metro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para passarmos de metros para centímetros saltamos dois níveis à direita.Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de decímetros para centímetros:

2,5 .10.10 250m cm⇒

Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita.

Logo, 2,5 m é igual a 250 cm.

9) Resposta “305min”.Solução: (5 . 60) + 5 = 305 min.

10) Resposta “45 min”.Solução: 45 min

8. REPRESENTAÇÃO DE PONTOS NO PLANO CARTESIANO.

Eixo

Introdução

A Geometria Analítica é a parte da Matemática que trata de resolver problemas cujo enunciado é geométrico, empregando processos algébricos.

Criada por René Descartes (1596-1650), a Geometria Analítica contribui para a visão moderna da Matemática como um todo, substituindo assim a visão parcelada das chamadas “matemáticas”, que colocava em compartilhamentos separados Geometria, Álgebra e Trigonometria.

Essa integração da Geometria com Álgebra é muito rica em seus resultados, propriedades e interpretações. São inúmeras as aplicações da Geometria Analítica nas Ciências e na Técnica.

1- Abscissa de um ponto

Considere-se uma reta r. Sobre ela, marque-se um ponto O arbitrário, que chamaremos de origem, e seja adotada uma unidade (u) de comprimento com a qual serão medidos os segmentos contidos na reta r.

O

u

r

Tome-se na reta r os pontos P à direita de O e P’ à esquerda de O, tais que, relativamente a (u), os segmentos e tenham a mesma medida m.

P’ O P

m m

r

O sentido de O para P será considerado positivo e indicado por uma ponta de seta. Assim associa-se ao ponto P o número real positivo m e ao ponto P’, o número –m.

P’(-m) P(m) rO



Dessa forma, associa-se a cada ponto da reta r um único número real, que será denominado abscissa (ou coordenada) do ponto; a abscissa é positiva se, a partir da origem, o ponto for marcado no sentido positivo, e é negativa em caso contrário.

O rB A

-2 3

A(3): ponto A de abscissa 3B (-2): ponto B de abscissa -2

O conjunto {reta, origem, unidade, sentido} será chamado eixo.

Notas1) A abscissa da origem é o número real 0 (zero).2) Cada ponto de um eixo possui uma única abscissa, e reciprocamente para cada abscissa existe um único ponto do eixo.3) Costuma-se indicar pela letra x a abscissa de um ponto.

Exemplo 1

Marcar sobre o eixo x, representado abaixo, os pontos A(2), B(-3) e C .

0 1 x

Resolução0 1½ 2-3

B C A

x

2- Segmento Orientado

Dado um segmento de reta AB, é possível associar a ele o sentido de A para B ou o sentido de B para A. adotando-se, por exemplo, o sentido de A para B, tem-se o segmento orientado de origem A e extremidade B.

A B

3- Medida Algébrica

Considere-se sobre um eixo r um segmento orientado .

A B

r

A medida algébrica de , que será indicada por , é definida pelo número XB – XA, onde XB e XA são respectivamente as abscissas de B e de A.

Assim:

= XB – XA



Exemplo 2

= XB – XA = 10 – 3 = 7a) A(3)B(10)

= XB – XA = 1 – 8 = 7b) A(1)B(8)

Observações

1) Quando o sentido de é o mesmo do eixo, a medida algébrica é positiva; em caso contrário, é negativa. Nessas condições, se tem medida algébrica positiva, então tem medida algébrica negativa.

2) O comprimento d de um segmento orientado , é o módulo (valor absoluto) da medida algébrica de , ou seja, .Em símbolos:d = = |XB - XA|

Exemplo 3

a) O comprimento do segmento orientado , dados A(2) e B(11) é = |XB - XA| = |11 – 2| = |9| = 9

b) O comprimento do segmento orientado , dados A(3) e B(8) é = |XB - XA| = |3 - 8| = |-5| = 5

Exemplo 4

Na figura abaixo, os pontos A, B e C estão sobre o eixo x de origem O.A O C B

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

Calcular:a)

b)

c)

Resolução

Da figura, tem-se XA = -3, XB = 4 e XC = 2.Assim, a) = XC – XA = 2 – (-3) = 5

b) = XO – XB = 0 – 4 = -4

c)

Exemplo 5

Dados os pontos A(1) e B(9), determinar o ponto C tal que .



Resolução

Seja XC a abscissa do ponto C:

Substituindo-se as coordenadas dos pontos:XC – 1 = 3(9 - XC) XC = 7Resposta: C(7).

Exemplo 6

Dado o ponto A(3), determinar um ponto B que diste 5 unidades do ponto A.

Resolução

Seja XB a abscissa de B. Tem-se: = 5, ou seja, |XB - XA| = 5

XB – 3 = 5 XB = 8Então |XB – 3| = 5 ou XB – 3 = -5 XB = -2

De fato, existem dois pontos B que distam 5 unidades de A:

B A B

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

5 5

Resposta: B(8) ou B(-2).

4- Ponto Médio

Considerem-se os pontos A(XA) e B(XB). Sendo M(XM) o ponto médio de (ou de ), tem-se:

De fato,

A B B

XA XB

Portanto, a abscissa do ponto médio M do segmento (ou de ) é a média aritmética das abscissas de A e de B.



Exemplo 7

Determinar o ponto médio M do segmento , nos seguintes casos:a) A(1) e B(7)

Resolução

Resposta: M(4).

b) A(-3) e B(15)

Resolução

Resposta: M(6).

c) A(-1) e B(-12)

Resolução

Resposta: M .

Exemplo 8

Dados os pontos A(1) e B(16), obter os pontos que dividem o segmento em três partes congruentes.

Resolução

Considere-se a figura abaixo, onde R e S são os pontos pedidos.

A R S B

1 16

Como são iguais, pode-se escrever , ou seja,

XS – XA = 2(XB – XS)XS – 1 = 2(16 – XS) ∴ XS = 11

Sendo R o ponto médio de , vem:

Resposta: R(6) e S(11).



Sistema Cartesiano

1- Coordenadas de um ponto

Sejam x e y dois eixos perpendiculares entre si e com origem O comum, conforme a figura abaixo. Nessas condições, diz-se que x e y formam um sistema cartesiano retangular (ou ortogonal), e o plano por eles determinado é chamado plano cartesiano.

Eixo x (ou Ox): eixo das abscissasEixo y (ou Ou): eixo das ordenadasO: origem do sistema

y

x

0 1

1

A cada ponto P do plano corresponderão dois números: a (abscissa) e b (ordenada), associados às projeções ortogonais de P sobre o eixo x e sobre o eixo y, respectivamente.

Assim, o ponto P tem coordenadas a e b e será indicado analiticamente pelo par ordenado (a, b).

P

y

x

0 a

b

•

•

•

Exemplo 1

Os pontos, no sistema cartesiano abaixo, têm suas coordenadas escritas ao lado da figura.

A (3, 2)B (0, 2)C (-3, 2)D (-3, 0)E (-3, -2)F (0, -2)G (3, -2)H (3, 0)O (0, 0)

C

H

E

D

AB

F

-3 -2 -11

0

1 2 3

2

-2

-1

G

y

x•



NotaNeste estudo, será utilizado somente o sistema cartesiano retangular, que se chamará simplesmente sistema cartesiano.

Observações1) Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões ou quadrantes (Q), que são numeradas, como na figura abaixo.

y

x

0

2º Q 1º Q

4º Q3º Q

2) Neste curso, a reta suporte das bissetrizes do 1º e 3º quadrantes será chamada bissetriz dos quadrantes ímpares e indica-se por bi.a do 2º e 4º quadrantes será chamado bissetriz dos quadrantes pares e indica-se por bp.

y

x

0

bp

bi

2- Propriedades

1) Todo ponto P(a, b) do 1º quadrante tem abscissa positiva (a > 0) e ordenada positiva (b > 0) e reciprocamente.

P(a, b) 1º Q a > 0 e b > 0

Assim P(3, 2) 1º Q

P

y

x

0

2

3



2) Todo ponto P(a, b) do 2º quadrante tem abscissa negativa (a < 0) e ordenada positiva (B > 0) e reciprocamente.

P(a, b) 2º Q a < 0 e b > 0

Assim P(-3, 2) 2º quadrante

P

y

x

0-3

2

3) Todo ponto P(a, b) do 3º quadrante tem abscissa negativa (a < 0) e ordenada negativa (b < 0) e reciprocamente.

P(a, b) 3º Q a < 0 e b < 0

Assim P(-3, -2) 3º Q

P

y

x

0-3

-2

4) Todo ponto P(a, b) do 4º quadrante tem abscissa positiva (a > 0) e ordenada negativa (B < 0) e reciprocamente.

P(a, b) 4º Q a > 0 e b < 0

Assim P(3, -2) 4º Q

P

y

x

03

-2



5) Todo eixo das abscissas tem ordenada nula e reciprocamente.

P(a, b) Ox b = 0

Assim P(3, 0) Ox

y

xP

30

6) Todo ponto do eixo das ordenadas tem abscissa nula e reciprocamente.

P(a, b) Oy a = 0

Assim P(0, 3) Oy

y

x

P3

0

7) Todo ponto P(a, b) da bissetriz dos quadrantes ímpares tem abscissa e ordenada iguais (a = b) e reciprocamente.

P(a, b) bi a = b

Assim P(-2, -2) bi

y

x

P -2

0-2



8) Todo ponto P(a, b) da bissetriz dos quadrantes pares tem abscissa e ordenada opostas (a = -b) e reciprocamente.

P(a, b) bp a = -b

Assim P(-2, 2) bp

y

x

P 2

0-2

Exemplo 2

Obter a, sabendo-se que o ponto A(4, 3ª -6) está no eixo das abscissas.

Resolução

A Ox 3a – 6 = 0 ∴ a = 2

Resposta: 2.

Exemplo 3

Obter m, sabendo-se que o ponto M(2m – 1, m + 3) está na bissetriz dos quadrantes ímpares.

Resolução

M bi 2m – 1 = m + 3 ∴ m = 4

Resposta: 4.

3- Ponto Médio

Considerem-se os pontoa A(xA, yA) e B(xB, yB). Sendo M(xM, yM) o ponto médio de (ou ), tem-se:

e , ou seja,

o ponto médio é dado por:



y

x

0

B’’ (yB)

M’’ (yM)

A’’ (yA)

B’ (yB)M’ (yM)A’ (yA)

De fato:Se M é o ponto médio de (ou ), pelo teorema de Tales, para o eixo x pode-se escrever:

Analogicamente, para o eixo y, tem-se

Portanto, as coordenadas do ponto médio M do segmento (ou ) são respectivamente as médias das abscissas de A e B e das ordenadas de A e B.

Exemplo 4

Obter o ponto médio M do segmento , sendo dados: A(-1, 3) e B(0, 1).

Resolução

Resposta: .

4 – Baricentro

Seja o triângulo ABC de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC). sendo G(xG, yG) o baricentro (ponto de encontro das medianas) do triângulo ABC, tem-se:



ou seja, o ponto G é dado por

GM

y

x

0 A’(xA) G’(xG) M’(xM)

C

A

B

De fato, considerando a mediana AM, o baricentro G é tal que

Pelo Teorema de Tales, para o eixo x podemos escrever

e, como , vem

ou seja,

Analogamente, para o eixo y, tem-se

Portanto, as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC são, respectivamente, as médias aritméticas das abscissas de A, B e C e das ordenadas A, B e C.

Exemplo 5

Sendo A(1, -1), B(0, 2) e C(11, 5) os vértices de um triângulo, obter o baricentro G desse triângulo.



Resolução

Logo, G(4, 2).

5- Distância Entre Dois Pontos

Considerem-se dois pontos distintos A(xA, yA) e B(xB, yB), tais que o segmento não seja paralelo a algum dos eixos coordenados.Traçando-se por A e B as retas paralelas aos eixos coordenados que se interceptam em C, tem-se o triângulo ACB, retângulo em C.

•

y

x

0

A

B

C

d

A distância entre os pontos A e B que se indica por d é tal que

Portanto:

Observações

1) Como (xB - xA)2 = (xA - xB)2, a ordem escolhida para a diferença das abscissas não altera o cálculo de d. O mesmo ocorre com a diferença das ordenadas.

2) A fórmula para o cálculo da distância continua válida se o segmento é paralelo a um dos eixos, ou ainda se os pontos A e B coincidem, caso em que d = 0.

Exemplo 6

Calcular a distância entre os pontos A e B, nos seguintes casos:a) A(1, 8) e B(4, 12)

Resolução

b) A(0, 2) e B(-1, -1)



Resolução

Exemplo 7

Qual é o ponto da bissetriz dos quadrantes pares cuja distância ao ponto A(2, 2) é 4?

Resolução

Seja P o ponto procurado.Como P pertence à bissetriz dos quadrantes pares (bp), pode-se representá-lo por P(a, -a).Sendo 4 a distância entre A e P, tem-se

Quadrando

(2 – a)2 + (2 + a )2 = 16

a = 24 – 4a + a2 + 4 + 4a + a2 = 16 ∴ a2 = 4 ou a = -2

Assim se a = 2, tem-se o ponto (2, -2) se a = -2, tem-se o ponto (-2, 2)

De fato, existem dois pontos P da bissetriz dos quadrantes pares (bp) cuja distância ao ponto A(2, 2) é 4. Observe-se a figura:

bp

y

x

P-2

0

-2 2

2P A

Exercícios

01- Dar as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e G da figura abaixo:

E

D

CA

B

F

1

G

y

x•



02- Seja o ponto A(3p – 1, p – 3) um ponto pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares, então a ordenada do ponto A é:a) 0

b) –1

c) –2

d)

e) –4

03- O ponto A(p – 2, 2p – 3) pertence ao eixo das ordenadas. Obter o ponto B’ simétrico de B(3p – 1, p – 5) em relação ao eixo das abscissas.

04- Um triângulo equilátero de lado 6 tem um vértice no eixo das abscissas. Determine as coordenadas do 3º vértice, sabendo que ele está no 4º quadrante (faça a figura).

05- A distância entre dois pontos (2, -1) e (-1, 3) é igual a:a) zero

b)

c)

d) 5

e) n.d.a.

06- Sendo A(3,1), B(4, -4) e C(-2, 2) os vértices de um triângulo, então esse triângulo é:a) retângulo e não isósceles.b) retângulo e isósceles.c) equilátero.d) isósceles e não retângulo.e) escaleno.

07- Achar o ponto T da bissetriz dos quadrantes ímpares que enxerga o segmento de extremidades A(2, 1) e B(5, 2) sob ângulo reto.

08- O paralelogramo ABCD tem lados , , e . Sendo A(0, 0), B(4, 2) e D(8, 0), determine as coordenadas do ponto C.

Respostas

01- Resposta: A(5, 1); B(0, 3); C(-3, 2); D(-2, 0); E(-1, -4); F(0, -2); G(4, -3).

02- Resposta: E.

ResoluçãoComo A pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares xA = yA ⇒ 3p – 1 = p – 3 ⇒ p = 1.Logo, o ponto A(-4, -4) tem ordenada igual a -4.



03- Resposta: B’(5, 3).

ResoluçãoSe A pertence ao eixo das ordenadas, temos que p – 2 = 0 ⇒ p = 2, logo, B(5, –3).Como B’ é o simétrico de B em relação ao eixo das abscissas, temos a mesma abscissa e a ordenada oposta, logo, B’(5, 3) é o

ponto procurado.

04- Resposta: C(3, ).

ResoluçãoLembrando que a altura do triângulo equilátero mede , temos: .

B (6, 0)•

A (0, 0)

C (3, )

xy

05- Resposta: D

ResoluçãoΔx = 2 – (–1) = 3 e Δy = –1 –3 = –4

d = 5

06- Resposta: D

Resolução

e e

Portanto, o Δ ABC é isósceles e não retângulo.

07- Resposta; T1(2, 2) e T2(3, 3).

ResoluçãoT∈ bissetriz dos quadrantes ímpares ⇒ T(x, x).Se T enxerga sob ângulo reto, então o triângulo ATB é retângulo em T.



T

A

B

⇒

Assim:[(x - 2)2 + (x - 1)2] + [(x – 5)2 (x – 2)2] = [(2 – 5)2 + (1 – 2)2]X2 – 4x + 4 + x2 – 2x + 1 + x2 – 10x + 25 + x2 – 4x + 4 = 9 + 14x2 – 20x + 24 = 0X2 – 5x + 6 = 0 ⇒ x = 2 ou x = 3.

08- Resposta: C(12, 2).

Resolução

M

B (4,2)

A (0,0) D (8,0)

C(a, b)

M é o ponto de encontro das diagonais, portanto ponto médio dos segmentos e . Dados B e D, temos M(6, 1) e agora temos A e M, logo:

⇒



9. ÁLGEBRA BÁSICA: EQUAÇÕES, SISTEMAS E PROBLEMAS DO PRIMEIRO

GRAU.

Equação do 1º Grau

Veja estas equações, nas quais há apenas uma incógnita:3x – 2 = 16 (equação de 1º grau)

2y3 – 5y = 11 (equação de 3º grau)

1 – 3x + 25

= x + 12

(equação de 1º grau)

O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. Para conseguir isso, há dois recursos:

- inverter operações;- efetuar a mesma operação nos dois lados da igualdade.

Exemplo 1Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações.

Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3).

Registro

3x – 2 = 16 3x = 16 + 2 3x = 18

x = 18 3

x = 6

Exemplo 2

Resolução da equação 1 – 3x + 25 = x + 1

2, efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade.

Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação por mmc (2;5) = 10. Dessa forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações e os cálculos necessários e isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. No registro, as operações feitas nos dois lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais.

Registro1 – 3x + 2/5 = x + 1 /210 – 30x + 4 = 10x + 5-30x - 10x = 5 - 10 - 4-40x = +9(-1)40x = 9x = 9/40x = 0,225



Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um padrão visual.- Se a + b = c, conclui-se que a = c + b.

Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b aparece subtraindo no lado direito da igualdade.

- Se a . b = c, conclui-se que a = c + b, desde que b ≠ 0.Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece dividindo no lado direito

da igualdade.O processo prático pode ser formulado assim: - Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os demais termos do outro lado.- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação.

Exemplo

Resolução da equação 5(x+2) 2 = (x+2) . (x-3)

3 - x2

3, usando o processo prático.

Procedimento e justificativa: Iniciamos da forma habitual, multiplicando os dois lados pelo mmc (2;3) = 6. A seguir, passamos a efetuar os cálculos indicados. Neste ponto, passamos a usar o processo prático, colocando termos com a incógnita à esquerda e números à direita, invertendo operações.

Registro

5(x+2) 2

- (x+2) . (x-3) 3 = x

2

3

6. 5(x+2) 2

- 6. (x+2) . (x-3) 3

= 6. x2

3

15(x + 2) – 2(x + 2)(x – 3) = – 2x2

15x + 30 – 2(x2 – 3x + 2x – 6) = – 2x2

15x + 30 – 2(x2 – x – 6) = – 2x2

15x + 30 – 2x2 + 2x + 12 = – 2x2

17x – 2x2 + 42 = – 2x2

17x – 2x2 + 2x2 = – 4217x = – 42

x = - 4217

Note que, de início, essa última equação aparentava ser de 2º grau por causa do termo - x2

3 no seu lado direito. Entretanto, depois

das simplificações, vimos que foi reduzida a uma equação de 1º grau (17x = – 42).

Exercícios

1. Resolva a seguinte equação: x - 1 2 - x + 3

4 = 2x - x - 4

3

2. Resolva:

3. Calcule:a) -3x – 5 = 25

b) 2x - 1 2

= 3

c) 3x + 24 = -5x



4. Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?

5. Determine um número real “a” para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.

6. Determine o valor da incógnita x:a) 2x – 8 = 10b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)

7. Verifique se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6.

8. Verifique se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6.

9. Quando o número x na equação ( k – 3 ).x + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0 vale 3, qual será o valor de K?

10. Resolva as equações a seguir:a)18x - 43 = 65b) 23x - 16 = 14 - 17xc) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20

Respostas

1) Resposta “ x = -31 17 ”

Solução:

x - 1 2

- x + 3 4 = 2x - x - 4

3

6(x - 1) - 3(x + 3) = 24x - 4(x - 4) 12

6x – 6 – 3x – 9 = 24x – 4x + 166x – 3x – 24x + 4x = 16 + 9 + 610 x – 27x = 31(-1) - 17x = 31x = -31

17

2) Resposta “ ”

Solução:



3) Solução:

a) -3x – 5 = 25-3x = 25 + 5(-1) -3x = 303x = -30x = - 30

3 = -10

b) 2x - 1 2

= 3

2(2x) - 1 = 6 2

4x – 1 = 64x = 6 + 14x = 7

x = 7 4

c) 3x + 24 = -5x3x + 5x = -248x = -24

x = - 24 8

= -3

4) Resposta “130; 131 e 132”.Solução:x + (x + 1) + (x + 2) = 3933x + 3 = 3933x = 390x = 130Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.

5) Resposta “22”.Solução: (3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 66 (3a + 6) = 8 (2a + 10)18a + 36 = 16a + 802a = 44a = 44/2 = 22

6) Solução:a) 2x – 8 = 102x = 10 + 82x = 18x = 9 → V = {9}b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)3 –7 + 14x = 5 – x – 914x + x = 5 – 9 – 3 + 715x= 0x = 0 → V= {0}



7) Resposta “Verdadeira”.Solução: 5x – 3 = 2x + 65.3 – 3 = 2.3 + 615 – 3 = 6 + 612 = 12 → verdadeiraEntão 3 é raiz de 5x – 3 = 2x + 6

8) Resposta “Errada”.Solução:x2 – 3x = x – 6(-2)2 – 3. (-2) = - 2 - 64 + 6 = - 2 – 610 = -8Então, -2 não é raiz de x2 – 3x = x – 6

9) Resposta “ k = 29 15 ”

Solução:(k – 3).3 + (2k – 5).4 + 4k = 03k – 9 + 8k – 20 + 4k = 03k + 8k + 4k = 9 + 2015k = 29k = 29

15

10) Respostaa) 18x = 65 + 4318x = 108x = 108/18x = 6

b) 23x = 14 - 17x + 1623x + 17x = 3040x = 30x = 30/40 = ¾

c) 10y - 5 - 5y = 6y - 6 -205y - 6y = -26 + 5-y = -21y = 21

Sistema de Equações do 1° Grau

Definição

Observe o raciocínio: João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 2 cadernos e 3 livros e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa.

No dia seguinte, encontram um outro colega e falaram sobre suas compras, porém não se lembrava do preço unitário de dos livros. Sabiam, apenas que todos os livros, como todos os cadernos, tinham o mesmo preço.

Bom, diante deste problema, será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou caderno com as informações que temos ? Será visto mais à frente.

Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1.



Observações gerais

Em tutoriais anteriores, já estudamos sobre equações do primeiro grau com duas incógnitas, como exemplo: X + y = 7 x – y = 30 x + 2y = 9 x – 3y = 15

Foi visto também que as equações do 1º grau com duas variáveis admitem infinitas soluções:x + y = 6 x – y = 7

x y x y0 6 0 -71 5 1 -62 4 2 -53 3 3 -44 2 4 -35 1 5 -26 0 6 -1... ...

Vendo a tabela acima de soluções das duas equações, é possível checar que o par (4;2), isto é, x = 4 e y = 2, é a solução para as duas equações.

Assim, é possível dizer que as equaçõesX + y = 6X – y = 7

Formam um sistema de equações do 1º grau.Exemplos de sistemas:

x + y = 4x − y = 7

⎧⎨⎩2x + 3y + 2z = 104x − 5y + z = 15

⎧⎨⎩2x + y = 105x − 2y = 22

⎧⎨⎩

∑ Observe este símbolo. A matemática convencionou neste caso para indicar que duas ou mais equações formam um sistema.

Resolução de sistemas

Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas X e Y que faça verdadeira as equações que fazem parte do sistema.

Exemplos:a) O par (4,3 ) pode ser a solução do sistemax – y = 2x + y = 6



Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações:x - y = 2 x + y = 64 – 3 = 1 4 + 3 = 71 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso)

A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema de equações acima.

b) O par (5,3 ) pode ser a solução do sistemax – y = 2x + y = 8

Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações:x - y = 2 x + y = 85 – 3 = 2 5 + 3 = 82 = 2 (verdadeiro 8 = 8 (verdadeiro)

A resposta então é verdadeira. O par (5,3) é a solução do sistema de equações acima.

Métodos para solução de sistemas do 1º grau.- Método de substituição

Esse método de resolução de um sistema de 1º grau estabelece que “extrair” o valor de uma incógnita é substituir esse valor na outra equação.

Observe:x – y = 2x + y = 4

Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecer o valor de acordo com a outra incógnita, desta forma:

x – y = 2 ---> x = 2 + y

Agora iremos substituir o “X” encontrado acima, na “X” da segunda equação do sistema:x + y = 4(2 + y ) + y = 42 + 2y = 4 ----> 2y = 4 -2 -----> 2y = 2 ----> y = 1

Temos que: x = 2 + y, entãox = 2 + 1x = 3

Assim, o par (3,1) torna-se a solução verdadeira do sistema.

- Método da adição

Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os termos das equações fornecidas.

Observe:x – y = -23x + y = 5



Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas:x – y = -23x + y = 5 +4x = 3x = 3/4

Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “Y” se anula. Isto tem que ocorrer para que possamos achar o valor de “X”.

Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y” não se anularem para ficar somente uma incógnita ?

Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo.Ex.:3x + 2y = 42x + 3y = 1

Ao somarmos os termos acima, temos:5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor de “y”, fazemos o seguinte:» multiplica-se a 1ª equação por +2» multiplica-se a 2ª equação por – 3

Vamos calcular então:3x + 2y = 4 ( x +2)2x + 3y = 1 ( x -3)6x +4y = 8-6x - 9y = -3 +-5y = 5y = -1

Substituindo:2x + 3y = 12x + 3.(-1) = 12x = 1 + 3x = 2

Verificando:3x + 2y = 4 ---> 3.(2) + 2(-1) = 4 -----> 6 – 2 = 42x + 3y = 1 ---> 2.(2) + 3(-1) = 1 ------> 4 – 3 = 1

10. PORCENTAGEM E PROPORCIONALIDADE DIRETA E

INVERSA.

Porcentagem

É uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.

Deste modo, a fração 50100

é uma porcentagem que podemos representar por 50%.



Forma Decimal: É comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 35% na forma decimal seriam representados por 0,35.

75% = 75100

= 0,75

Cálculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a fração 100

p por V.

P% de V = 100p

. V

Exemplo 1

23% de 240 = 23100

. 240 = 55,2

Exemplo 2

Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa?

Resolução: 67% de 56 000 = 67100

.56000 = 37520

Resposta: 37 520 pessoas.

Porcentagem que o lucro representa em relação ao preço de custo e em relação ao preço de venda

Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.Lucro = preço de venda – preço de custo

Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.Assim, podemos escrever:Preço de custo + lucro = preço de vendaPreço de custo – prejuízos = preço de venda

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:Lucro sobre o custo = lucro/preço de custo. 100%Lucro sobre a venda = lucro/preço de venda. 100%

Observação: A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.

Exemplo

Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00.

Pede-se:- o lucro obtido na transação;- a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;- a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.

Resposta:Lucro = 800 – 500 = R$ 300,00

Lc = 500300 = 0,60 = 60%

Lv = 800300 = 0,375 = 37,5%



Aumento

Aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e VA o valor após o aumento. Então, A = p% de V =

100p . V

VA = V + A = V + 100p

. V

VA = ( 1 + 100p

) . V

Em que (1 + 100p

) é o fator de aumento.

Desconto

Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e VD o valor após o desconto. Então, D = p% de V =

100p . V

VD = V – D = V – 100

p . V

VD = (1 – 100

p ) . V

Em que (1 – 100

p ) é o fator de desconto.

Exemplo

Uma empresa admite um funcionário no mês de janeiro sabendo que, já em março, ele terá 40% de aumento. Se a empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de março, seja R$ 3 500,00, com que salário deve admiti-lo?

Resolução: VA = 1,4 . V 3 500 = 1,4 . V

V = 25004,1

3500=

Resposta: R$ 2 500,00

Aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um valor inicial V, e vamos considerar que ele irá sofrer dois aumentos sucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor após o primeiro aumento, temos:

V1 = V . (1 + 100

1p )

Sendo V2 o valor após o segundo aumento, temos:V2 = V1 . (1 +

1002p )

V2 = V . (1 + 100

1p ) . (1 + 100

2p )

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de p1% e p2%.

Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, temos:V1 = V. (1 –

1001p )

Sendo V2 o valor após o segundo desconto, temos:

V2 = V1 . (1 – 100

2p )

V2 = V . (1 – 100

1p ) . (1 – 100

2p )



Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer um aumento de p1% e, sucessivamente, um desconto de p2%.

Sendo V1 o valor após o aumento, temos:V1 = V . (1+

1001p )

Sendo V2 o valor após o desconto, temos:V2 = V1 . (1 –

1002p )

V2 = V . (1 + 100

1p ) . (1 – 100

2p )

Exemplo(VUNESP-SP) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade de

aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, são:

Resolução: VA = vp n

.100

1

+

VA = 1. 15100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n

.1000

VA = 1 000 . (1,15)n

VA = 1 000 . 1,15n

VA = 1 150,00n

Exercícios

1. (Fuvest-SP) (10%)2 =a) 100%b) 20%c) 5%d) 1%e) 0,01%

2. Quatro é quantos por cento de cinco?

3. (PUC-SP) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é:

a) R$ 25,00b) R$ 70,50c) R$ 75,00d) R$ 80,00e) R$ 125,00

4. (VUNESP-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo:

a) Prejuízo de 10%.b) Prejuízo de 5%.c) Lucro de 20%.d) Lucro de 25%.e) Lucro de 30%.



5. (Mackenzie-SP) Um produto teve um aumento total de preço de 61% através de 2 aumentos sucessivos. Se o primeiro aumento foi de 15%, então o segundo foi de:

a) 38%b) 40%c) 42%d) 44%e) 46%

6. (FUVEST-SP) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é:

a) 2,56 xb) 1,6xc) x + 160d) 2,6xe) 3,24x

7. (PUC-SP) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de:a) 25%b) 26%c) 44%d) 45%e) 50%

8. (FUVEST-SP) A cada ano que passa o valor de um carro diminui em 30% em relação ao seu valor do ano anterior. Se V for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo ano será:

a) (0,7)7 Vb) (0,3)7 Vc) (0,7)8 Vd) (0,3)8 Ve) (0,3)9 V

9. Numa cidade, havia cerca de 25 000 desempregados para uma população economicamente ativa de 500 000 habitantes. Qual era a taxa percentual de desempregados nessa cidade?

10. Se 4% do total de bolinhas de uma piscina correspondem a 20 unidades, qual o total de bolinhas que está na piscina?

Respostas

1) Resposta “D”.Solução:

10100

. 10100

= 1100

= 1%

2) Resposta “80%”.Solução:05 ----------- 100%04 ----------- x

5 . x = 4 . 100 → 5x = 400 → x =4005

= 80%



3) Resposta “D”.Solução:Pcusto = 100,00

O Pcusto mais 25% do Pcusto = 100,00

Pc + 0,25Pc = 100,001,25Pc = 100,00

Pc =

4) Resposta “C”.Solução:X reais (preço de custo)

Lucro de 50%: x + 50% = x + 50100

= 100x + 50100

= 10x + 510

= 2x +12

(dividimos por 10 e depois dividimos por 5).

Suponhamos que o preço de custo seja 1, então substituindo o x da equação acima, o preço de venda com 50% de lucro seria 1,50.

Se 1,50 é 100% X 20% fazemos esta regra de três para achar os 20%: 20.1,50 100 = 0,30Então no dia de promoção o valor será de 1,20. Isto é, 20% de lucro em cima do valor de custo. Alternativa C.

5) Resposta “B”.Solução: Se usarmos a fórmula do aumento sucessivo citada na matéria será:

V2 = V.(1 + 100

1p ).(1 – 100

2p ).

Substituindo V por um valor: 1, então no final dos dois aumentos esse valor será de 1,61=V2.

1,61 = 1.(1 + 15100

).(1 – 100

2p )

1,61 = (1 + 15100

).(1 – 100

2p ) (mmc de 100)

1,61 = (100115 ).(1 –

1002p )

1,61 = - 10000

)2100(115 P−

16100 = -11.500 + 115P2

115P2 = -11.500 + 16100P2 = 4600/115P2 = 40%

6) Resposta “E”.Solução:

SA = 1+ 80100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . 1+

80100

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .x = 1,8.1,8.x = 3,24x



7) Resposta “C”.Solução: Se usarmos a fórmula do desconto sucessivo citada na matéria será:

V2 = V.(1 - 100

1p ).(1 – 100

2p )

Substituindo V por um valor: 1, ficará:

V2 = 1.(1 - 20100

).(1 – 30100

)

V2 = ( 100 − 20100

).( 100 − 30100

)

V2 = ( 80100

).( 70100

)

V2 = 100005600

V2 = 56100

que é igual a 56%

100% - 56% = 44%

8) Resposta “A”.Solução:

1º ano = 12º ano = 0,70 – 30% (0,21)3º ano = 0,49 – 30% (0,147)4º ano = 0,343 – 30 % (0,1029)5º ano = 0,2401 – 30% (0,07203)6º ano = 0,16807 – 30% (0,050421)7º ano = 0,117649 – 30% (0,0352947)8º ano = 0,08235430,0823543 = (0,7)7V

9) Resposta “5%”.

Solução: Em 500 000 habitantes → 25 000 desempregados Em 100 000 habitantes → 5 000 desempregados Em 100 habitantes → 5 desempregados

5100

= 5%ou 25000500000

= 5100

= 5%

Portanto, 5% da população da cidade é desempregada.

10) Resposta “500 unidades”.Solução: 4% → 20 bolinhas. Então:20% → 100 bolinhas100% → 500 bolinhas

Ou, ainda, representando por x o total de bolinhas: 4% de x equivalem a 20.



Como 4% = 4100

= 0,004 , podemos escrever:

0,04 . x = 20 → x = 200,04

→ x = 500.

Logo, o total de bolinhas na piscina são 500 unidades.

Relação entre Grandezas

Números diretamente proporcionais

Considere a seguinte situação:

Joana gosta de queijadinha e por isso resolveu aprender a fazê-las. Adquiriu a receita de uma amiga. Nessa receita, os ingredientes necessários são:

3 ovos1 lata de leite condensado1 xícara de leite2 colheres das de sopa de farinha de trigo1 colher das de sobremesa de fermento em pó1 pacote de coco ralado1 xícara de queijo ralado1 colher das de sopa de manteiga

Veja que:

- Para se fazerem 2 receitas seriam usados 6 ovos para 4 colheres de farinha;- Para se fazerem 3 receitas seriam usados 9 ovos para 6 colheres de farinha;- Para se fazerem 4 receitas seriam usados 12 ovos para 8 colheres de farinha;- Observe agora as duas sucessões de números:

Sucessão do número de ovos: 6 9 12Sucessão do número de colheres de farinha: 4 6 8Nessas sucessões as razões entre os termos correspondentes são iguais:

64= 32

96= 32

128

= 32

Assim: 64= 96= 128

= 32

Dizemos, então, que:

- os números da sucessão 6, 9, 12 são diretamente proporcionais aos da sucessão 4, 6, 8;- o número 2

3, que é a razão entre dois termos correspondentes, é chamado fator de proporcionalidade.

Duas sucessões de números não-nulos são diretamente proporcionais quando as razões entre cada termo da primeira sucessão e o termo correspondente da segunda sucessão são iguais.

Exemplo1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões sejam diretamente proporcionais:

2 8 y3 x 21



Como as sucessões são diretamente proporcionais, as razões são iguais, isto é:

23= 8x= y21

32 =

x8

32

= 21y

2x = 3 . 8 3y = 2 . 212x = 24 3y = 42

x=242 y=

423

x=12 y=14

Logo, x = 12 e y = 14

Exemplo 2: Para montar uma pequena empresa, Júlio, César e Toni formaram uma sociedade. Júlio entrou com R$ 24.000,00, César com R$ 27.000,00 e Toni com R$ 30.000,00. Depois de 6 meses houve um lucro de R$ 32.400,00 que foi repartido entre eles em partes diretamente proporcionais à quantia investida. Calcular a parte que coube a cada um.

Solução:

Representando a parte de Júlio por x, a de César por y, e a de Toni por z, podemos escrever:

==

=++

300002700024000

32400zyx

zyx

x24000

= y27000

= z30000

= x + y + z32400

24000 + 27000 + 3000081000

Resolvendo as proporções:

x24000

= 324004

8100010

10x = 96 000x = 9 600

y27000

= 410

10y = 108 000y = 10 800

z3000

= 410

10z = 120 000z = 12 000

Logo, Júlio recebeu R$ 9.600,00, César recebeu R$ 10.800,00 e Toni, R$ 12.000,00.



Números Inversamente Proporcionais

Considere os seguintes dados, referentes à produção de sorvete por uma máquina da marca x-5:

1 máquina x-5 produz 32 litros de sorvete em 120 min.2 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 60 min.4 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 30 min.6 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 20 min.

Observe agora as duas sucessões de números:

Sucessão do número de máquinas: 1 2 4 6Sucessão do número de minutos: 120 60 30 20

Nessas sucessões as razões entre cada termo da primeira sucessão e o inverso do termo correspondente da segunda são iguais:

11120

= 2160

= 4130

= 6120

= 120

Dizemos, então, que:- os números da sucessão 1, 2, 4, 6 são inversamente proporcionais aos da sucessão 120, 60, 30, 20;- o número 120, que é a razão entre cada termo da primeira sucessão e o inverso do seu correspondente na segunda, é chamado

fator de proporcionalidade.

Observando que

1120

é o mesmo que 1.120=120 4130

é mesmo que 4.30=120

2160

é o mesmo que 2.60=120 6120

é o mesmo que 6.20= 120

Podemos dizer que: Duas sucessões de números não-nulos são inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da primeira sucessão pelo termo correspondente da segunda sucessão são iguais.

Exemplo 1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões sejam inversamente proporcionais:

4 x 820 16 y

Para que as sucessões sejam inversamente proporcionais, os produtos dos termos correspondentes deverão ser iguais. Então devemos ter:

4 . 20 = 16 . x = 8 . y

16 . x = 4 . 20 8 . y = 4 . 20 16x = 80 8y = 80 x = 80/16 y = 80/8 x = 5 y = 10

Logo, x = 5 e y = 10.



Exemplo 2: Vamos dividir o número 104 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.

Representamos os números procurados por x, y e z. E como as sucessões (x, y, z) e (2, 3, 4) devem ser inversamente proporcionais, escrevemos:

41

31

21

zyx==

41

31

21

zyx== =

41

31

21

104

++

++

zyx

Como, vem/

Logo, os números procurados são 48, 32 e 24.

Grandezas Diretamente Proporcionais

Considere uma usina de açúcar cuja produção, nos cinco primeiros dias da safra de 2005, foi a seguinte:

Dias Sacos de açúcar1 5 0002 10 0003 15 0004 20 0005 25 000

Com base na tabela apresentada observamos que:

- duplicando o número de dias, duplicou a produção de açúcar;- triplicando o número de dias, triplicou a produção de açúcar, e assim por diante.

Nesse caso dizemos que as grandezas tempo e produção são diretamente proporcionais.Observe também que, duas a duas, as razões entre o número de dias e o número de sacos de açúcar são iguais:

Isso nos leva a estabelecer que: Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual à razão entre os valores da segunda.

Tomemos agora outro exemplo.

Com 1 tonelada de cana-de-açúcar, uma usina produz 70l de álcool.



De acordo com esses dados podemos supor que:

- com o dobro do número de toneladas de cana, a usina produza o dobro do número de litros de álcool, isto é, 140l;- com o triplo do número de toneladas de cana, a usina produza o triplo do número de litros de álcool, isto é, 210l.

Então concluímos que as grandezas quantidade de cana-de-açúcar e número de litros de álcool são diretamente proporcionais.

Grandezas Inversamente Proporcionais

Considere uma moto cuja velocidade média e o tempo gasto para percorrer determinada distância encontram-se na tabela:

Velocidade Tempo30 km/h 12 h60 km/h 6 h90 km/h 4 h120 km/h 3 h

Com base na tabela apresentada observamos que:

- duplicando a velocidade da moto, o número de horas fica reduzido à metade;- triplicando a velocidade, o número de horas fica reduzido à terça parte, e assim por diante.

Nesse caso dizemos que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais.

Observe que, duas a duas, as razões entre os números que indicam a velocidade são iguais ao inverso das razões que indicam o tempo:

3060

612

= inverso da razão 12 6

3090

412


30120

312


6090

4 6


60120

3 6


90120

3 6


Podemos, então, estabelecer que: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda.

Acompanhe o exemplo a seguir:

Cinco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias. De acordo com esses dados, podemos supor que:

- o dobro do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na metade do tempo, isto é, 18 dias;- o triplo do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na terça parte do tempo, isto é, 12 dias.Então concluímos que as grandezas quantidade de máquinas e tempo são inversamente proporcionais.



Exercícios

1- Calcule x e y nas sucessões diretamente proporcionais:

a) 1 x 7 5 15 y

b) 5 10 y x 8 24

c) x y 21 14 35 49

d) 8 12 20 x y 35

2- Calcule x e y nas sucessões inversamente proporcionais:

a) 4 x y 25 20 10

b) 30 15 10 x 8 y

c) 2 10 y x 9 15

d) x y 2 12 4 6

3- Divida 132 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8.

4- Reparta 91 em partes inversamente proporcionais a

61

41,

31 e .

5- Divida 215 em partes diretamente proporcionais a

31

25,

43 e .

6- Marcelo repartiu entre seus filhos Rafael (15 anos) e Matheus (12 anos) 162 cabeças de gado em partes diretamente propor-cionais à idade de cada um. Qual a parte que coube a Rafael?

7- Evandro, Sandro e José Antônio resolveram montar um pequeno negócio, e para isso formaram uma sociedade. Evandro entrou com R$ 24.000,00, Sandro com R$ 30.000,00, José Antônio com R$ 36.000,00. Depois de 4 meses tiveram um lucro de R$ 60.000,00, que foi repartido entre eles. Quanto recebeu cada um? (Nota: A divisão do lucro é diretamente proporcional à quantia que cada um empregou.)

8- Leopoldo e Wilson jogam juntos na Sena e acertam os seis números, recebendo um prêmio de R$ 750.000,00. Como Leopoldo participou com R$ 80,00 e Wilson com R$ 70,00, o prêmio foi dividido entre eles em partes diretamente proporcionais à participação de cada um. Qual a parte que coube a Wilson?

9- O proprietário de uma chácara distribuiu 300 laranjas a três famílias em partes diretamente proporcionais ao número de filhos. Sabendo-se que as famílias A, B e C têm respectivamente 2, 3 e 5 filhos, quantas laranjas recebeu cada família?



10- (UFAC) João, Paulo e Roberto formam uma sociedade comercial e combinam que o lucro advindo da sociedade será dividido em partes diretamente proporcionais às quantias que cada um dispôs para formarem a sociedade. Se as quantias empregadas por João, Paulo e Roberto foram, nesta ordem, R$ 1.500.000,00, R$ 1.000.000,00 e R$ 800.000,00, e o lucro foi de R$ 1.650.000,00, que parte do lucro caberá a cada um?

Respostas

1- a) x = 3 y = 35 b) x = 4 y = 30 c) x = 6 y = 15 d) x = 14 y = 212- a) x = 5 y = 10 b) x = 4 y = 12 c) x = 45 y = 6 d) x = 1 y = 33- 80, 32, 20 4- 21, 28, 435- 45, 150, 206- 907- Evandro R$16.000,00 Sandro R$20.000,00 José Antônio R$24.000,008- R$350.000,009- 60, 90, 15010- João R$750.000,00 Paulo R$500.000,00 Roberto R$400.000,00

Resolução 04

x+y+z--------- = x/3 ou y/4 ou z/6 (as frações foram invertidas porque 3+4+6 as partes são inversas)91/13=x/313x=273x=2191/13=y/413y=364y=28

91/13=z/613z=546z=42

Resolução 05

x/(3/4) = y/(5/2) = z/(1/3) = k (constante)x + y + z = 2153k/4 + 5k/2 + k/3 = 215(18k + 60k + 8k)/24 = 215 → k = 60 x = 60.(3/4) = 45y = 60.(5/2) = 150z = 60/3 = 20

(x, y, z) → partes diretamente proporcionais

Resolução 06

x = Rafaely = Mateus

x/15 + y /12 = 160/27 (dividindo 160 por 27 (dá 6), e fazendo proporções, só calcular)

x/15=6x=90

y/12=6y=72



11. SEQUÊNCIAS, RECONHECIMENTO DE PADRÕES, PROGRESSÕES ARITMÉTICA E

GEOMÉTRICA.

Progressão Aritmética (PA)

Podemos, no nosso dia a dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de aniversário dos alunos de uma determinada escola.

Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos atenção ao estudo das sequências numéricas.

As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final.

Exemplos:- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 2;

a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc.- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 1; a2 = 3;

a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc.- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos que esta é uma sequência finita

com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 = 9.

1. IgualdadeAs sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. Sucessões que apresentarem

os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões diferentes.Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos termos, na mesma ordem.

ExemploA sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 5; y = 8; z = 15; e t = 17.Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1) são diferentes, pois, embora apresentem os mesmos elementos, eles

estão em ordem diferente.

2. Formula Termo GeralPodemos apresentar uma sequência através de uma determina o valor de cada termo an em função do valor de n, ou seja,

dependendo da posição do termo. Esta formula que determina o valor do termo an e chamada formula do termo geral da sucessão.

Exemplos - Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral e igual a:an = n – 2n,com n € N* a

Teremos:A1 = 12 – 2 . 1 a a1 = 1A2 = 22 – 2 . 2 a a2 = 0A3 = 32 – 2 . 3 a a3 = 3A4 = 42 – 4 . 2 a a4 = 8A5 = 55

– 5 . 2 a a5 = 15



- Determinar os cinco primeiros termos da seqüência cujo termo geral é igual a:an = 3 . n + 2, com n € N*.a1 = 3 . 1 + 2 a a1 = 5a2 = 3 . 2 + 2 a a2 = 8a3 = 3 . 3 + 2 a a3 = 11a4 = 3 . 4 + 2 a a4 = 14a5 = 3 . 5 + 2 a a5 = 17

- Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a:an = 45 – 4 + n, com n € N*.

Teremos:a12 = 45 – 4 . 12 a a12 = -3a23 = 45 – 4 . 23 a a23 = -47

3. Lei de RecorrênciasUma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma formula) que permite a

determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de apresentação de uma sucessão é dita de recorrências.

Exemplos- Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que:a1 = 3 e an+1 = 2 . an - 4, em que n € N*.

Teremos:a1 = 3a2 = 2 . a1 – 4 a a2 = 2 . 3 – 4 a a2 = 2a3 = 2 . a2 – 4 a a3 = 2 . 2 - 4 a a3 = 0a4 = 2 . a3 – 4 a a4 = 2 . 0 - 4 a a4 = -4a5 = 2 . a4 – 4 a a5 = 2 .(-4) – 4 a a5 = -12

- Determinar o termo a5 de uma sequência em que:a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n € N*.a2 = a1 – 2 → a2 = 12 – 2 → a2=10a3 = a2 – 2 → a3 = 10 – 2 → a3 = 8a4 = a3 – 2 → a4 = 8 – 2 → a4 = 6a5 = a4 – 2 → a5 = 6 – 2 → a5 = 4

Observação 1

Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências.

Observação 2

Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas nem pela lei das recorrências, nem pela formula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como esta é a sucessão de números naturais primos que já “des-truiu” todas as tentativas de se encontrar uma formula geral para seus termos.

4. Artifícios de Resolução

Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PA, é possível, através de artifícios de resolução, tornar o procedimento mais simples:

PA com três termos: (a – r), a e (a + r), razão igual a r.PA com quatro termos: (a – 3r), (a – r), (a + r) e (a + 3r), razão igual a 2r.PA com cinco termos: (a – 2r), (a – r), a, (a + r) e (a + 2r), razão igual a r.



Exemplo

- Determinar os números a, b e c cuja soma é, igual a 15, o produto é igual a 105 e formam uma PA crescente.

Teremos:Fazendo a = (b – r) e c = (b + r) e sendo a + b + c = 15, teremos:(b – r) + b + (b + r) = 15 → 3b = 15 → b = 5.

Assim, um dos números, o termo médio da PA, já é conhecido.Dessa forma a sequência passa a ser:(5 – r), 5 e ( 5 + r ), cujo produto é igual a 105, ou seja:

(5 – r) .5 . (5 + r) = 105 → 52 – r2 = 21r2 = 4 → 2 ou r = -2.Sendo a PA crescente, ficaremos apenas com r= 2.Finalmente, teremos a = 3, b = 5 e c= 7.

5. Propriedades

P1: para três termos consecutivos de uma PA, o termo médio é a media aritmética dos outros dois termos.

Exemplo

Vamos considerar três termos consecutivos de uma PA: an-1, an e an+1. Podemos afirmar que:I - an = an-1 + rII - an = an+ 1 –r

Fazendo I + II, obteremos:2an = an-1 + r + an +1 - r2an = an -1+ an + 1

Logo: an = an-1 + an +12

Portanto, para três termos consecutivos de uma PA o termo médio é a media aritmética dos outros dois termos.

6. Termos Equidistantes dos Extremos

Numa sequência finita, dizemos que dois termos são equidistantes dos extremos se a quantidade de termos que precederem o primeiro deles for igual à quantidade de termos que sucederem ao outro termo. Assim, na sucessão:

(a1, a2, a3, a4,..., ap,..., ak,..., an-3, an-2, an-1, an), temos:

a2 e an-1 são termos equidistantes dos extremos;a3 e an-2 são termos equidistantes dos extremos;a4 an-3 são termos equidistantes dos extremos.

Notemos que sempre que dois termos são equidistantes dos extremos, a soma dos seus índices é igual ao valor de n + 1. Assim sendo, podemos generalizar que, se os termos ap e ak são equidistantes dos extremos, então: p + k = n+1.

Propriedade

Numa PA com n termos, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma destes extremos.



Exemplo

Sejam, numa PA de n termos, ap e ak termos equidistantes dos extremos.

Teremos, então:I - ap = a1 + (p – 1) . r a ap = a1 + p . r – rII - ak = a1 + (k – 1) . r a ak = a1 + k . r – r

Fazendo I + II, teremos:Ap + ak = a1 + p . r – r + a1 + k . r – rAp + ak = a1 + a1 + (p + k – 1 – 1) . r

Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:ap + ak = a1 + a1 + (n + 1 – 1) . rap + ak = a1 + a1 + (n – 1) . rap + ak = a1 + an

Portanto numa PA com n termos, em que n é um numero ímpar, o termo médios (am) é a media aritmética dos extremos.

Am = a1 + an2

7. Soma dos n Primeiros Termos de uma PA

Vamos considerar a PA (a1, a2, a3,…,an-2, an-1,an ) e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou seja:Sn = a1 + a2 + a3 + …+ an-2 + an-1 + an (igualdade I)

Podemos escrever também:Sn = an + an-1 + an-2 + ...+ a3 + a2 + a1 (igualdade II)

Somando-se I e II, temos:2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + …+ (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1)

Considerando que todas estas parcelas, colocadas entre parênteses, são formadas por termos equidistantes dos extremos e que a soma destes termos é igual à soma dos extremos, temos:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + +… + (a1 + an) → 2Sn = ( a1 + an) . n

E, assim, finalmente:

Sn =(a1 + an ).n

2

Exemplo

- Ache a soma dos sessenta primeiros termos da PA (2 , 5, 8,...).

Dados: a1 = 2 r = 5 – 2 = 3Calculo de a60:A60 = a1 + 59r → a60 = 2 + 59 . 3 a60 = 2 + 177 a60 = 179



Calculo da soma:

Sn = (a1 + an )n2

→ S60 = (a1 + a60 ).602

S60 =(2 +179).60

2S60 = 5430

Resposta: 5430

Progressão Geométrica (PG)

PG é uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por uma constante q chamada razão da PG.

an+1 = an . qCom a1 conhecido e n € N*

Exemplos- (3, 6, 12, 24, 48,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2.

- (-36, -18, -9, −92

, −94

,...) é uma PG de primeiro termo a1= -36 e razão q = 12

.

- (15, 5, 53

, 59

,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 13

.

- (-2, -6, -18, -54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = -2 e razão q = 3.- (1, -3, 9, -27, 81, -243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = -3.- (5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1.- (7, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0.- (0, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q qualquer.

Observação: Para determinar a razão de uma PG, basta efetuar o quociente entre dois termos consecutivos: o posterior dividido pelo anterior.

q = an +1an

(an ≠ 0)

ClassificaçãoAs classificações geométricas são classificadas assim:- Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1.- Decrescente: Quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1.- Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrario ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0.- Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0.

A PG constante é também chamada de PG estacionaria.- Singular: Quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0.

Formula do Termo GeralA definição de PG está sendo apresentada por meio de uma lei de recorrências, e nos já aprendemos nos módulos anteriores que

a formula do termo geral é mais pratica. Por isso, estaremos, neste item, procurando estabelecer, a partir da lei de recorrências, a fórmula do termo geral da progressão geométrica.



Vamos considerar uma PG de primeiro termo a1 e razão q. Assim, teremos:a2 = a1 . qa3 = a2 . q = a1 . q

2

a4 = a3 . q = a1 . q3

a5 = a4 . q = a1 . q4

. .

. .

. .an= a1 . q

n-1

Exemplos- Numa PG de primeiro termo a1 = 2 e razão q = 3, temos o termo geral na igual a:

an = a1 . qn-1 → an = 2 . 3n-1

Assim, se quisermos determinar o termo a5 desta PG, faremos:A5 = 2 . 34 → a5 = 162

- Numa PG de termo a1 = 15 e razão q = , temos o termo geral na igual a:an = a1 . q

n-1 → an = 15 . n-1

Assim, se quisermos determinar o termo a6 desta PG, faremos:

A6 = 15 . (1).52

→ a6 = 581

- Numa PG de primeiro termo a1 = 1 e razão = -3 temos o termo geral na igual a:an = a1 . q

n-1 → an = 1 . (-3)n-1

Assim, se quisermos determinar o termo a4 desta PG, faremos:A4 = 1 . (-3)3 → a4 = -27

Artifícios de ResoluçãoEm diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PG, é possível através de alguns elementos de

resolução, tornar o procedimento mais simples.PG com três termos:

aq

a; aq

PG com quatro termos:

aq3; qq

; aq; aq3

PG com cinco termos:

aq2; qq

; a; aq; aq2



ExemploConsidere uma PG crescente formada de três números. Determine esta PG sabendo que a soma destes números é 13 e o produto

é 27.Vamos considerar a PG em questão formada pelos termos a, b e c, onde a = e c = b . q.Assim,

bq

. b . bq = 27 → b3 = 27 → b = 3.

Temos:

3q

+ 3 +3q = 13 → 3q2 – 10q + 3 = 0 a

q = 3 ou q = 13

Sendo a PG crescente, consideramos apenas q = 3. E, assim, a nossa PG é dada pelos números: 1, 3 e 9.

PropriedadesP1: Para três termos consecutivos de uma PG, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois.

ExemploVamos considerar três termos consecutivos de uma PG: an-1, an e an+1. Podemos afirmar que:

I – an = an-1 . q eII – an = an+1

q

Fazendo I . II, obteremos:

(an)2 = (an-1 . q). ( an+1

q) a (an )

2 = an-1 . an+1

Logo: (an)2 = an-1 . an+1

Observação: Se a PG for positive, o termo médio será a media geométrica dos outros dois:an = √an-1 . an+1

P2: Numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos.

ExemploSejam, numa PG de n termos, ap e ak dois termos equidistantes dos extremos.

Teremos, então:I – ap = a1 . q

p-1

II – ak = a1 . qk-1

Multiplicando I por II, ficaremos com:ap . ak = a1 . q

p-1 . a1 . qk-1

ap . ak = a1 . a1 . qp-1+k-1

Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:ap . ak = a1 . an

Portanto, numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos.



Observação: Numa PG positiva, com n termos, onde n é um numero impar, o termo médio (am) é a media geométrica dos extremos ou de 2 termos equidistantes dos extremos.

am = √a1 . an

Soma dos termos de uma PG

Soma dos n Primeiros Termos de uma PG

Vamos considerar a PG (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an), com q diferente de 1 e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou seja:

Sn = a1 + a2 + a3 + ...+an-2 + an-1 + an ( igualdade I)

Podemos escrever, multiplicando-se, membro a membro, a igualdade ( I ) por q:

q . Sn = q . a1 + q . a2 + q . a3 + ...+ q . an-2 + + q . an-1 + q . an

Utilizando a formula do termo geral da PG, ou seja, an = a1 . qn-1, teremos:

q . Sn = a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an + a1 . qn

(igualdade II)

Subtraindo-se a equação I da equação II, teremos:

q . Sn – Sn = a1 . qn – a1 → sn . (q – 1) =

= a1 . (qn – 1)

E assim: Sn =a1.(q

n −1)q −1

Se tivéssemos efetuado a subtração das equações em ordem inversa, a fórmula da soma dos termos da PG ficaria:

Sn =a1.(1+ q

n )1− q

Evidentemente que por qualquer um dos “caminhos” o resultado final é o mesmo. É somente uma questão de forma de apresentação.

Observação: Para q = 1, teremos sn = n . a1

Série Convergente – PG ConvergenteDada a sequência ( a1, a2, a3, a4, a5,..., an-2, an-1, an), chamamos de serie a sequência S1, S2, S3, S4, S5,..., Sn-2, sn-1, sn,tal que:

S1 = a1S2 = a1 + a2S3 = a1 + a2 + a3S4 = a1 + a2 + a3 + a4S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5...Sn-2 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2Sn-1 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1 + an



Vamos observar como exemplo, numa PG com primeiro termo a1 = 4 e razão q = , à série que ela vai gerar.

Os termos que vão determinar a progressão geométrica são: (4, 2, 1, 12

, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1128

, 1256

, 1512

...)

E, portanto, a série correspondente será:

S1 = 4S2 = 4 + 2 = 6S3 = 4 + 2 + 1 = 7

S4 = 4 + 2 + 1 + 12

= 152

= 7, 5

S5 = 4 + 2 + 1 + 12+ 14= 314 = 7, 75

S6 = 4 + 2 + 1 + 12+ 14+ 18= 638

= 7, 875

S7 = 4 + 2 + 1 + 12+ 14+ 18+ 116

= 12716

= 7, 9375

S8 = 4 + 2 + 1 + 12+ 14+ 18+ 116

+ 132

= 25532

= 7, 96875

S9 = 4 + 2 + 1 + 12+ 14+ 18+ 116

+ 132

+ 164

= 51164 = 7, 984375

S10 = 4 + 2 + 1 + 12+ 14+ 18+ 116

+ 132

+ 164

+ 1128

= 1023128 = 7, 9921875

Devemos notar que a cada novo termo calculado, na PG, o seu valor numérico cada vez mais se aproxima de zero. Dizemos que esta é uma progressão geométrica convergente.

Por outro lado, na serie, é cada vez menor a parcela que se acrescenta. Desta forma, o ultimo termos da serie vai tendendo a um valor que parece ser o limite para a série em estudo. No exemplo numérico, estudado anteriormente, nota-se claramente que este valor limite é o numero 8.

Bem, vamos dar a esta discussão um caráter matemático.É claro que, para a PG ser convergente, é necessário que cada termo seja, um valor absoluto, inferior ao anterior a ele. Assim,

temos que:

PG convergente → | q | < 1ou

PG convergente → -1 < 1

Resta estabelecermos o limite da serie, que é o Sn para quando n tende ao infinito, ou seja, estabelecermos a soma dos infinitos termos da PG convergente.

Vamos partir da soma dos n primeiros termos da PG:

Sn =a1.(1+ q

n )1− q



Estando q entre os números -1e 1 e, sendo n um expoente que tende a um valor muito grande, pois estamos somando os infinitos termos desta PG, é fácil deduzir que qn vai apresentando um valor cada vez mais próximo de zero. Para valores extremamente grandes de n não constitui erro considerar que qn é igual a zero. E, assim, teremos:

S = a1

1− q

Observação: Quando a PG é não singular (sequência com termos não nulos) e a razão q é de tal forma que q | ≥ 1, a serie é divergente. Séries divergentes não apresentam soma finita.

Exemplos- A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se o segundo triângulo

equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados deste novo triangulo equilátero, obtém-se um terceiro, e assim por diante, indefinidamente. Calcule a soma dos perímetros de todos esses triângulos.

Solução:

Temos: perímetro do 1º triangulo = 30 perímetro do 2º triangulo = 15 perímetro do 3º triangulo = 15

2Logo, devemos calcular a soma dos termos da PG infinita 30, 15, 15

2 ,... na qual a1 = 30 e q =. 1

2

S = a1 → s =301− q

= 30

1− 12

= 60.

Exercícios

1. Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10b) 12c) 14d) 16e) 18

2. O valor de n que torna a sequência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:a) [– 2, –1]b) [– 1, 0]c) [0, 1]d) [1, 2]e) [2, 3]



3. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a:

a) 58b) 59c) 60d) 61e) 62

4. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:a) 3,1b) 3,9c) 3,99d) 3, 999e) 4

5. A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa PA., com o décimo quinto termo, vale:

a) 3,0b) 1,0c) 1,5d) -1,5e) -3,0

6. Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:

a) 28°b) 32°c) 36°d) 48°e) 50°

7. Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é:

a) 1b) 10c) 100d) -1e) -10

8. Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729, então sendo a, b e c os três primeiros termos, pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2.

9. O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente é igual a:

a) 1/xb) xc) 2xd) n.xe) 1978x

10. Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ?



Respostas

1) Resposta “D”.Solução:Sejam (a1, a2, a3,…) a PA de r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:1 - a1 = g1 = 42 - a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g33 - a2 = g2 + 2

Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:

4 - a3 = a1 + 2r e g3 = g1 . q2 → 4 + 2r = 4q2

5 - a2 = a1 + r e g2 = g1 . q → 4 + r = 4q + 2

Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:5 - r = 4q + 2 – 4 → r = 4q – 24 - 4 + 2(4q – 2) = 4q2 → 4 + 8q – 4 = 4q2 → 4q2 – 8q = 0→ q(4q – 8) = 0 → q = 0 ou 4q – 8 = 0 → q = 2

Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):r = 4q – 2 → r = 8 – 2 = 6Para concluir calculamos a3 e g3:a3 = a1 + 2r → a3 = 4 + 12 = 16g3 = g1.q

2 → g3 = 4.4 = 16

2) Resposta “B”.Solução: Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação

da definição de PA):(1) -5n = 2 + 3n + r(2) 1 – 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):(1) → r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2(2) → 1 – 4n = -5n – 8n – 2 → 1 – 4n = -13n – 2→ 13n – 4n = -2 – 1 → 9n = -3 → n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b.

3) Resposta “B”.Solução: Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - (10; 11; 12; 13; …).

Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …).

Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1

Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:

- Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2;- Se n é par temos n = 2i ou i = n/2.

Daqui e de (1) obtemos que:an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímparan = 8 + (n/2) - 1 se n é par



Logo:a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 ea55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37

E, portanto:a30 + a55 = 22 + 37 = 59.

4) Resposta “E”.Solução: Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009;…) de razão q = 10 - 1 =

0,1. Assim:S = 3 + S1Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4

5) Resposta “D”.Solução: Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:S20 = 20(a1 + a20)/2 = -15Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:15 + 6 = 20 + 1 = 21E, portanto:a6 + a15 = a1 + a20

Substituindo este valor na primeira igualdade vem:20(a6 + a15)/2 = -15 → 10(a6 + a15) = -15 → a6 + a15 = -15/10 = -1,5.

6) Resposta “D”.Solução: Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométrica de razão

2, podemos escrever a PG de 4 termos:(x, 2x, 4x, 8x).Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º.

Logo,x + 2x + 4x + 8x = 360º15.x = 360º

Portanto, x = 24º. Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.

7) Resposta “B”.Solução: Observe que podemos escrever a soma S como:S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n – 1)S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1)Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes, resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever:S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – nVamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n, que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo

an = 10n.Teremos:Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10) / 9

Substituindo em S, vem:S = [(10n+1 – 10) / 9] – n



Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9

Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10) = 10.

8) Resposta “819”.Solução: Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que: x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.

Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9qÉ dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0

Multiplicando ambos os membros por q, fica: 9 + 9q2 – 30q = 0Dividindo por 3 e ordenando, fica: 3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.

Portanto, a PG é: 9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.O problema pede a soma dos quadrados, logo:a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819.

9) Resposta “B”.Solução: Observe que a expressão dada pode ser escrita como:

x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...

O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a1 = 1 /2 e razão q = 1 /2.

Logo, a soma valerá:S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x

10) Resposta “6171”.Solução: Dados:M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000.M(7) = 1001, 1008, ..., 9996.M(35) = 1015, 1050, ... , 9975.M(1) = 1, 2, ..., 10000.Para múltiplos de 5, temos: an = a1+ (n-1).r → 10000 = 1000 + (n - 1). 5 → n = 9005/5 → n = 1801.Para múltiplos de 7, temos: an = a1+ (n-1).r → 9996 = 1001 + (n - 1). 7 → n = 9002/7 → n = 1286.Para múltiplos de 35, temos: an = a1 + (n - 1).r → 9975 = 1015 + (n - 1).35 → n = 8995/35 → n = 257.Para múltiplos de 1, temos: an = a1 = (n -1).r → 10000 = 1000 + (n - 1).1 → n = 9001.

Sabemos que os múltiplos de 35 são múltiplos comuns de 5 e 7, isto é, eles aparecem no conjunto dos múltiplos de 5 e no conjunto dos múltiplos de 7 (daí adicionarmos uma vez tal conjunto de múltiplos).

Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35).Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171



[

12. JUROS.

Juros Simples

Toda vez que falamos em juros estamos nos referindo a uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor, pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta).

- Os juros são representados pela letra j.- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C.- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t.- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representado pela letra i e utilizada para

calcular juros.

Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação.

Devemos sempre relacionar taxa e tempo numa mesma unidade:Taxa anual --------------------- tempo em anosTaxa mensal-------------------- tempo em mesesTaxa diária---------------------- tempo em dias

Consideremos, como exemplo, o seguinte problema:

Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 3. 000,00, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?

Resolução:

- Capital aplicado (C): R$ 3.000,00- Tempo de aplicação (t): 4 meses- Taxa (i): 2% ou 0,02 a.m. (= ao mês)

Fazendo o cálculo, mês a mês:- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,02 x R$ 3.000,00 = R$ 60,00- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 60,00 + R$ 60,00 = R$ 120,00- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 60,00 = R$ 180,00- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 180,00 + R$ 60,00 = R$ 240,00

Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 240,00 de juros.

Fazendo o cálculo, período a período:- No final do 1º período, os juros serão: i.C- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C------------------------------------------------------------------------ No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.CPortanto, temos:

J = C . i . t



Observações:

1) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 2) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal.3) Chamamos de montante (M) a soma do capital com os juros, ou seja: Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três

delas forem valores conhecidos, podemos calcular o 4º valor.

M=C+ j

ExemploA que taxa esteve empregado o capital de R$ 20.000,00 para render, em 3 anos, R$ 28.800,00 de juros? (Observação: Como o

tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.)

C = R$ 20.000,00t = 3 anosj = R$ 28.800,00i = ? (ao ano)

j = C.i.t100

28 800 = 20000..i.3100

28 800 = 600 . i

i = 28.800600

i = 48

Resposta: 48% ao ano.

Juros Compostos

O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades, a saber: Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros. Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também

conhecido como “juros sobre juros”.Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo:

Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. (ao ano) Teremos:



Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, e, portanto tem um crescimento muito mais “rápido”. Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma:

Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.

Fórmula para o cálculo de Juros compostos

Considere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:

Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2

Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3 ................................................................................................. Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos evidentemente: S = 1000(1 + 0,1)n

De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período n : S = P (1 + i)n onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado. Nota: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (n), tem de ser necessariamente iguais.

Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses.

Exemplos

1 – Expresse o número de períodos n de uma aplicação, em função do montante S e da taxa de aplicação i por período.

Solução: Temos S = P(1+i)n

Logo, S/P = (1+i)n

Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever:n = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 10), vem:

n = log(S / P)log(1+ i)

= logS − logPlog(1+ i)

Temos também da expressão acima que: n.log(1 + i) = logS – logP

Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos.2 – Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este

capital estará duplicado?

Solução: Sabemos que S = P (1 + i)n. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem: 2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]Simplificando, fica: 2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.Teremos então: n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35



Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil.

Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses.

Resposta: 2 anos e 11 meses.

Exercícios

1. Uma Loja de eletrodomésticos apresenta a seguinte oferta para a venda de um DVD player:

À vista R$ 539,00 ou12x 63,60 = R$ 763,20.

De quanto será o acréscimo sobre o preço à vista se o produto for comprado em 12 vezes?

2. Calcule o juros simples gerado por um capital de R$ 2 500,00, quando aplicado durante 8 meses a uma taxa de 3,5% a.m.

3. Uma aplicação financeira, feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1 920,00 de juro. Qual foi a quantia aplicada?

4. Um capital de $ 4.000,00 foi aplicado durante 3 meses, à juros simples, à taxa de 18% a.a. Pede-se: a) Jurosb) Montante.

5. Calcular o juro simples referente a um capital de $ 2.400,00 nas seguintes condições:Taxa de Juros Prazoa) 21% a.a. 1 anob) 21% a.a. 3 anos

6. Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00, a juros compostos, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2,5% a.m.?

7. Calcule o montante e os juros da aplicação abaixo, considerando o regime de juros compostos:Capital Taxa de Juros Prazo de Antecipação

R$ 20.000,00 3,0% a.m. 7 meses

8. O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?

9. Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?

10. Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, durante 1 ano.

Respostas

1) Resposta “R$ 224,20”.

Solução: Basta apenas tirar o valor à prazo sobre o à vista:R$ 763,20 – R$ 539,00 = R$ 224,20.



2) Resposta “R$ 700,00”.

Solução: Dados:Capital (quantia aplicada): R$ 2 500,00Taxa de juros: 3,5 a.m.Tempo de aplicação: 8 mesesJuro: ?

Representando o juro por x, podemos ter:

x = (3,5% de 2 500) . 8x = (0,035 . 2 500) . 8x = 700

Conclui-se que o juro é de R$ 700,00.

3) Resposta “R$ 32 000,00”.

Solução: Dados:Capital (quantia plicada) ?Taxa de juro: 3% a.m.Tempo de aplicação: 2 mesesJuro: R$ 1 920,00Calculando a quantia que a aplicação rendeu juro ao mês:

1 920 2 = 960

Representando o capital aplicado por x, temos:3% de x dá 9600,03 . x = 9600,03x = 960

x =

Logo, o capital aplicado foi de R$ 32 000,00.

4) Resposta “Juros: R$ 180,00; Montante R$ 4 180,00”.

Solução: a → J = CinJ = 4000 {[(18/100)/12]x3}J = 4000 {[0,18/12]x3}J = 4000 {0,015 x 3}J = 4000 x 0,045J = 180,00

B → M = C + JM = 4000 + 180M = 4.180,00



5) Resposta “ R$ 504,00; R$ 1 512,00 ”

Solução: a → J = CinJ = 2400 [(21/100)x1]J = 2400 [0,21 x 1]J = 2400 x 0,21J = 504,00

b → J = Cin J = 2400 [(21/100)x3]J = 2400 [0,21x3]J = 2400 0,63J = 1.512,00

6) Resposta “17 661,01”.

Solução: Dados:C: 16000i: 2,5% a.m.n: 4 meses.

M = C 1+ i( )n

M =16000 1+ 2,5100( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

4 → M =16000 1+0,025[ ]4 →

M =16000 1,025[ ]4 →

M =16000 x 1,103812891 → M = 17.661,01

7) Resposta “24 597,48”.

Solução: Dados:C: 20000i: 3,0% a.m.n: 7 meses.

M = C 1+ i( )n

M = 20000 1+ 3100( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

7 → M = 20000 1+0,03[ ]7 →

M = 20000 1,03[ ]7 → M = 20000 x 1,229873685 →

M = 24.597,48

8) Resposta “R$ 238,73”.

Solução: Dados:C = R$ 500i = 5% = 0,05n = 8 (as capitalizações são mensais)M = C . (1 + i)n => M = 500 × (1,05)8 => M = R$ 738,73O valor dos juros será:J = 738,73 – 500J = R$ 238,73



9) Resposta “ R$ 400,00”.

Solução: M = R$ 477,62i = 3% = 0,03n = 6 (as capitalizações são trimestrais)M = C × (1 + i)n 477,62 = C × (1,03)6

C = 477,621,19405

C = R$ 400,00.

10) Resposta “R$ 2.693,78”.

Solução:Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é mensal.

A taxa efetiva é, portanto, 60% 12 = 5% ao mês.C = R$ 1.500i = 5% = 0,05n = 12M = C . (1 + i)n M = 1.500 × (1,05)12 M = 1.500 × 1,79586M = R$ 2.693,78

13. GEOMETRIA BÁSICA: DISTÂNCIAS E ÂNGULOS, POLÍGONOS,

CIRCUNFERÊNCIA, PERÍMETRO E ÁREA.

Ângulos

Ângulo: Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - gonas; reunião de duas semi-retas de mesma origem não colineares.



Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º.

Ângulo Central:

- Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência; - Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos lados passam por vértices consecutivos do polígono.

Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são tangentes à ela.

Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência e seus lados são secantes a ela.



Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º.

Ângulo Raso:

- É o ângulo cuja medida é 180º; - É aquele, cujos lados são semi-retas opostas.

Ângulo Reto:

- É o ângulo cuja medida é 90º; - É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares.

Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 900.



Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida.

Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro.

Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma das suas medidas é 3600.

Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois ângulos é 180º.

Poligonal: Linha quebrada, formada por vários segmentos formando ângulos.

Grado: (gr.): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da circunferência denominamos de grado.

Grau: (º): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 da

circunferência denominamos de grau.



Exercícios

1. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos:

a)

b)

c)

2. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î?

3. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados:

a)



b)

c)

d)

4. Usando uma equação, determine a medida de cada ângulo do triângulo:

a) Quanto mede a soma dos ângulos de um quadrado?

5. Dois ângulos são complementares tais que o triplo de um deles é igual ao dobro do outro. Determine o suplemento do menor.

6. A metade de um ângulo menos a quinta parte de seu complemento mede 38 graus. Qual é esse angulo?

7. Cinco semi-retas partem de um mesmo ponto V, formando cinco ângulos que cobrem todo o plano e são proporcionais aos números 2, 3, 4, 5 e 6. Calcule o maior dos ângulos.



8. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y.

9. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n.

10. Determine o valor de a na figura seguinte:

Respostas

1) Respostaa) 55˚b) 74˚c) 33˚

2) Resposta “130”.Solução: Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha paralela às retas “a” e “b”.Fica então decomposto nos ângulos ê e ô.

Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b.

Logo, î = 80° + 50° = 130°.



3) Solução:a) 160° - 3x = x + 100° 160° - 100° = x + 3x 60° = 4x x = 60°/4 x = 15°

Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115°

b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180°6x + 2x = 180° -15° - 5°8x = 160°x = 160°/8x = 20°

Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45°c) Sabemos que a figura tem 90°.

Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90°4x + 50° = 90°4x = 40°x = 40°/4x = 10°d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são exatamente a metade de um círculo.

Então, 138° + x = 180°x = 180° - 138°x = 42°

Logo, o ângulo x mede 42°.

4) Solução: Sabemos que a soma dos ângulos do triângulo é 180°.

Então, 6x + 4x + 2x = 180°12x = 180°x = 180°/12x = 15°Os ângulos são: 30° 60° e 90°.

a) Um quadrado tem quatro ângulos de 90º, e, portanto a soma deles vale 360º.

5) Resposta “144˚”.Solução: - dois ângulos são complementares, então a + b = 90º- o triplo de um é igual ao dobro do outro, então 3a = 2b

É um sistema de equações do 1º grau. Se fizermos a = 2b/3, substituímos na primeira equação:

2b/3 + b = 905b/3 = 90b = 3/5 * 90b = 54 → a = 90 – 54 = 36º

Como a é o menor ângulo, o suplemento de 36 é 180-36 = 144º.



6) Resposta “80˚”.Solução: (a metade de um ângulo) menos seu a [quinta parte] de seu [complemento] mede 38º.

[a/2] – [1/5] [(90-a)] = 38a/2 – 90/5 + a/5 = 38a/2 + a/5 = 38 + 90/57a/10 = 38 + 18a = 10/7 * 56a = 80º

7) Resposta “180˚”.Solução: Seja x a constante de proporcionalidade, temos para os ângulos: a, b, c, d, e…, a seguinte proporção com os números 2,

3, 4, 5 e 6:

a/2 = x → a = 2xb/3 = x → b = 3xc/4 = x → c = 4xd/5 = x → d = 5xe/6 = x → e = 6x

Assim as semi-retas: a + b + c + d + e = 2x + 3x + 4x + 5x + 6x = 360º

Agora a soma das retas: 20x

Então: 20x = 360º → x = 360°/20x = 18°

Agora sabemos que o maior é 6x, então 6 . 18° = 108°.

8) Resposta “135˚”.Solução: Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y.

Então vale lembrar que:

x + y = 180 então y = 180 – x.

E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z

E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y.

x = y/6 + z/2

Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z

Então:

x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração:6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x6x – 2x = 180°4x = 180°x=180°/4x=45º

Agora achar y, sabendo que y = 180° - xy=180º - 45°y=135°.



9) Resposta “11º; 159º”.Solução: 3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais.

3m - 12º = m + 10º3m - m = 10º + 12º2m = 22ºm = 22º/2m = 11ºm + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º.(m + 10º) + n = 180º(11º + 10º) + n = 180º21º + n = 180ºn = 180º - 21ºn = 159º

Resposta: m = 11º e n = 159º.

10) Resposta “45˚”.É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais.

Polígonos

Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma linha poligonal fechada. A palavra “polígono” advém do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon).

Linhas poligonais e polígonos

Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Classificam-se em:

Linha poligonal fechada simples

Linha poligonal fechada não-simples

Linha poligonal aberta simples



Linha poligonal aberta não-simples

Polígono é uma linha fechada simples. Um polígono divide o plano em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), sem pontos comuns.

Elementos de um polígono

Um polígono possui os seguintes elementos:

- Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos: AB,BC,CD,DE,DE,EA .

- Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.

- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: AC,AD,BD,BE,CE

- Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos: , , , , .

- Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo: , , , ,

Classificação dos polígonos quanto ao número de lados

Nome Número de lados Nome Número

de lados

triângulo 3 quadrilátero 4pentágono 5 hexágono 6heptágono 7 octógono 8eneágono 9 decágono 10hendecágono 11 dodecágono 12tridecágono 13 tetradecágono 14pentadecágono 15 hexadecágono 16heptadecágono 17 octodecágono 18eneadecágono 19 icoságono 20triacontágono 30 tetracontágono 40pentacontágono 50 hexacontágono 60heptacontágono 70 octacontágono 80eneacontágono 90 hectágono 100quilógono 1000 googólgono 10100



Classificação dos polígonos

A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte árvore:

Um polígono é denominado simples se ele for descrito por uma fronteira simples e que não se cruza (daí divide o plano em uma região interna e externa), caso o contrário é denominado complexo.

Um polígono simples é denominado convexo se não tiver nenhum ângulo interno cuja medida é maior que 180°, caso o contrário é denominado côncavo.

Um polígono convexo é denominado circunscrito a uma circunferência ou polígono circunscrito se todos os vértices pertencerem a uma mesma circunferência.

Um polígono inscritível é denominado regular se todos os seus lados e todos os seus ângulos forem congruentes.

Alguns polígonos regulares:

- triângulo equilátero - quadrado - pentágono regular - hexágono regular

Propriedades dos polígonos

De cada vértice de um polígono de n lados, saem n - 3 diagonais (dv).

O número de diagonais (d) de um polígono é dado por n(n − 3)2

, onde n é o número de lados do polígono.

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (Si) é dada por (n − 2).180 .

A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados (Se) é igual a 360

n.

Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por n - 2.

A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (ai) é dada por (n − 2).180

n.

A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (ae) é dada por 360

n.

A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados (Sc) é igual a 360º.

A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (ac) é dada por 360

n.



Outros polígonos

Alguns polígonos são diferentes dos outros, por apresentarem lados cruzados, são eles:

Estrelado

Polígono formado por corda e ângulos iguais. Pode ser:Falso: Pela sobreposição de PolígonosVerdadeiro: Formado por linhas poligonais fechadas não-simples

Entrecruzado

Polígono, cujo prolongamento dos lados, ajuda a formar outro polígono.

Entrelaçado

Formado por faixas de retas paralelas que se entrelaçam

Esboço dos Polígonos citados acima

Ângulos de um Polígono Regular

Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. Também, em cada vértice do polígono, a soma das medidas dos ângulos interno e externo é 180°.

Para um polígono de n lados, temos que o ângulo interno (A¡) = (1− 2 / n)×180

Exemplos

Hexágono Regular: 6 lados Cálculo da Soma das medidas dos ângulos internos: S¡ = 6-2 . 180° = 4.180° = 720°Como o Hexágono é regular: A¡ = 720º/6 = 120° Ae = 180º - 120º = 60°O ângulo interno mede 120° e o externo, 60°.

Para um polígono convexo qualquer de n lados:

Soma dos ângulos InternosSÎ = (n-2) . 180º



Soma dos ângulos ExternosSê = 360º

Número de Diagonaisd= n(n-3) / 2

Polígonos regularesSão aqueles que possuem todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes.Î = (n-2).180º /n ê=360º/nÎ + ê =180º

Exercícios

1. Quanto vale a soma dos ângulos internos de um dodecágono?

2. Qual o polígono que tem soma dos ângulos internos igual a 3240º?

3. Ache o valor de x na figura:

4. Um quadrilátero possui:a) Quantos vértices?b) Quantos Lados?c) Quantos lados internos e externos?

5. De o nome do polígono que possui:a) 8 ladosb) 5 vértices

6. De o nome do polígono que possui:a) 3 ângulos externosb) 22 ângulos internos

7. Qual o número mínimo de lados de um polígono?

8. Determine o número de diagonais do octógono.

9. Determine o polígono cujo número de diagonais é o dobro do número de lados.

10. Quantos ângulos internos possui um decágono?



Respostas

1) Solução:n = 12 Si = (n - 2).180°Si = 10.180° = 1800

2) Solução:Si = 3240°

Si = (n -2 ).180°3240° = (n - 2).180°

3240

180= n - 2

18 = n - 2n = 20

3) Solução: A soma dos ângulos internos do pentágono é:Si = (n - 2).180°Si = (5 - 2).180°Si = 3.180°Si = 540°

540 = x + 32x + x +15 + 2x − 20 + x + 2

540 = 5x + 32x + 20

520 = 10x + 3x2

1040 = 13x

x = 1040

13x = 80

4) Solução: Um quadrilátero, pelo próprio nome já diz, possui 4 lados. Portanto:

a) 4 vérticesb) 4 ladosc) 4 ângulos internos e externos.

5) Solução:a) Octógonob) Pentágono

6) Solução:a) Triângulob) Polígono de 22 lados.

7) Solução:3 lados.



8) Solução. Um octógono possui 8 lados, ou 8 vértices, logo: n = 8

n.(n − 3)2

= 8.(8 − 3)2

= 8.52

= 402

= 20

9) Solução:n número de lados: nn de diagonais: d = Pelo dado do problema: d = 2n

n.(n − 3)2

= 2n→ n.(n − 3) = 4n→ n.(n − 3)n

= 4nn

→ n − 3 = 4→ n = 4 + 3 = 7

Logo, o polígono é o heptágono.

10) Solução:10 ângulos

Circulo e Circunferência

Equações da circunferência

Equação reduzida

Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunfe-rência. Então:

dcp = (XP − XC )2 + (YP −YC )

2⇒ (x − a)2 − (y − b)2 = r

⇒ (x − a)2 + (y − b)2 = r2



Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a cons-trução da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2.

Equação Geral

Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:(x − a)2 + (y − b)2 = r2 ⇒ x2 − 2ax + a2 + y2 − 2by + b2 = r2

⇒ x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.A equação reduzida da circunferência é:

( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16

Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

x2 − 4x + 4 + y2 + 6y + 9 −16 = 0⇒ x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0

Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral

Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.

Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:- Os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1; - Não deve existir o termo xy.

Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:

1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6

2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes

3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos ( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16

4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio



Posição de um ponto em relação a uma circunferência

Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:a) P é exterior à circunferência

CP > r⇒ (Xp − Xc )2 + (Yp −Yc )

2 > r

⇒ (m − a)2 + (n − b)2 > r⇒ (m − a)2 + (n − b)2 > r⇒ (m − a)2 + (n − b)2 − r2 > 0

b) P pertence à circunferência

CP = r⇒ (m − a)2 + (n − b)2 = r2

⇒ (m − a)2 + (n − b)2 − r2 = 0

c) P é inferior à circunferência

CP = r⇒ (m − a)2 + (n − b)2 < r2

⇒ (m − a)2 + (n − b)2 − r2 < 0



Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x - a)2 + (y - b)2 - r2:

- se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 > 0, então P é exterior à circunferência; - se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 = 0, então P pertence à circunferência; - se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 < 0, então P é interior à circunferência.

Posição de uma reta em relação a uma circunferência

Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação ( x - a)2 + ( y - b)2 = r2, vamos examinar as posições relativas entre s e :

s∩α =∅⇒ s − é − exterior − a→αs∩α = T{ }⇒ s − é − tangente− a→αs∩α = s1,s2{ }⇒ s − é − secante− a→α

Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência :

(x - a)2 + ( y - b )2 = r2, temos:

dcs =| Aa + Bb +C |

A2 + B2

Assim:



Condições de tangência entre reta e circunferência

Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos:

a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P

s é solução única

b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P

r e t são soluções



c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P

A Importância da Circunferência

A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indús-tria e bastante utilizada nas residências das pessoas.

Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma dis-tância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações.

Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.

Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo

Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência.

Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.



Raio, Corda e Diâmetro

Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios.

Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os seg-mentos de reta AC e DE são cordas.

Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.

Posições relativas de uma reta e uma circunferência

Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, pode-mos dizer também que é a reta que contém uma corda.

Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.

Observações: Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas, mas às vezes são também usados como os comprimentos desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON é o raio da circunferência, mas é usual dizer que o raio ON da circunferência mede 10 cm ou que o raio ON tem 10 cm.

- Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, “A tangente PQ” pode significar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas também pode ser o segmento de reta tangente à circunferência que liga os pontos P e Q. Do mesmo modo, a “secante AC” pode significar a reta que contém a corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto A ao ponto C.



Propriedades das secantes e tangentes

Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s.

Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendi-cular à reta s que passa pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB.

Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P.

Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Posições relativas de duas circunferências

Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa.



Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pon-tos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.

Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra.

Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro, mas com raios diferentes são circunferên-cias concêntricas.

Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência.

As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.

Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum.

Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP e BP são congruentes.



Polígonos circunscritos

Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.

Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.

Arco de circunferência e ângulo central

Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela definição de circunferência temos que OP = OQ = OR =... e isto indica que os raios de uma circunferência são segmentos congruentes.

Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número.

Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na figu-ra, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.

Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.



Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da cir-cunferência que estão fora do ângulo central cujos lados contêm os dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior, mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior.

Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O arco RTS é uma semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é outra.

Observações: Em uma circunferência dada, temos que:- A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus menos

a medida do arco menor m(AÔB).

- A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos.- Em circunferências congruentes ou em uma simples circunferência, arcos que possuem medidas iguais são arcos congruentes.- Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D e F, que são extremidades de um arco menor, então:

m(DE)+m(EF)=m(DF).

- Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF).



- Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas figuras apresentadas.

Propriedades de arcos e corda

Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar.

Observações: Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que contém o arco.

- Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto T obtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do segmento OT cuja medida representa a distância entre o ponto e a reta.

- Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas congruentes. (Situação 1).

- Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e também de seus dois arcos. (Situação 2).- Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são con-

gruentes. (Situação 3).



Polígonos inscritos na circunferência

Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada vértice do polígono é um ponto da circunferência e neste caso dizemos que a circunferência é circunscrita ao polígono.

Propriedade dos quadriláteros inscritos: Se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência então os ângulos opostos são suplementares, isto é a soma dos ângulos opostos é 180 graus e a soma de todos os quatro ângulos é 360 graus.

Â + Î = 180 grausÊ + Ô = 180 grausÂ + Ê + Î + Ô = 360 graus

Ângulos inscritos

Ângulo inscrito: relativo a uma circunferência é um ângulo com o vértice na circunferência e os lados secantes a ela. Na figura à esquerda abaixo, o ângulo AVB é inscrito e AB é o arco correspondente.

Medida do ângulo inscrito: A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto é: m = n/2 = (1/2) m(AB)

Ângulo reto inscrito na circunferência: O arco correspondente a um ângulo reto inscrito em uma circunferência é a semi-circun-ferência. Se um triângulo inscrito numa semi-circunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo e esse diâmetro é a hipotenusa do triângulo.



Ângulo semi-inscrito e arco capaz

Ângulo semi-inscrito: Ângulo semi-inscrito ou ângulo de segmento é um ângulo que possui um dos lados tangente à circunferên-cia, o outro lado secante à circunferência e o vértice na circunferência. Este ângulo determina um arco (menor) sobre a circunferência. No gráfico ao lado, a reta secante passa pelos pontos A e B e o arco correspondente ao ângulo semi-inscrito BAC é o arco AXB onde X é um ponto sobre o arco.

Observação: A medida do ângulo semi-inscrito é a metade da medida do arco interceptado. Na figura, a medida do ângulo BÂC é igual a metade da medida do arco AXB.

Arco capaz: Dado um segmento AB e um ângulo k, pergunta-se: Qual é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que contém os vértices dos ângulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos congruentes ao ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de circunferência denominado arco capaz.

Observação: Todo ângulo inscrito no arco capaz AB, com lados passando pelos pontos A e B são congruentes e isto significa que, o segmento de reta AB é sempre visto sob o mesmo ângulo de visão se o vértice deste ângulo está localizado no arco capaz. Na figura abaixo à esquerda, os ângulos que passam por A e B e têm vértices em V1, V2, V3,..., são todos congruentes (a mesma medida).

Na figura acima à direita, o arco capaz relativo ao ângulo semi-inscrito m de vértice em A é o arco AVB. Se n é ângulo central então a medida de m é o dobro da medida de n, isto é: m(arco AB) = 2 medida(m) = medida(n)

Exercícios

1. Dado um hexágono regular com área 48 R[3] cm2. Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito. Escreva a equação da circunferência cujo extremos do diâmetro é dado pelos pontos A(2,–1) e B(6,3).

2. Dada uma equação reduzida de uma circunferência (x - 1)2 + (y + 4)2 = 9, dizer qual a origem e o raio da circunferência:



3. Para a circunferência de equação x2 + y2 - 6x ? 2y +6 = 0, observar posição relativa dos seguintes pontosa) P(2, 1)b) Q(5, 1)

4. Examinar a posição relativa entre a reta r: 2x + y ? 2 = 0 e a circunferência l: (x ? 1)2 + (y ? 5)2 = 5

5. Obter as equações das tangentes à circunferência l: x2 + y2 = 9, que sejam paralelas à reta s: 2x + y ? 1 = 0.

6. A projeção de uma corda sobre o diâmetro que passa por uma de suas extremidades é 36 cm. Calcule o comprimento da corda, sabendo que o raio da circunferência é 50 cm.

7. Se um ponto P da circunferência trigonométrica corresponde a um número x real, qual é a forma dos outros números que tam-bém correspondem a esse mesmo ponto?

8. Quantas voltas serão dadas na circunferência trigonométrica para se representar os números 25π12

e -12?

9. Qual o comprimento do arco descrito pelo ponteiro dos minutos de um relógio cujo mostrador tem 5 cm de diâmetro, após ter passado 1 hora?

10. Calcule qual a medida em graus do ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 15h 15min.

Respostas

1) Solução:Como os pontos A e B são os extremos do diâmetro, o ponto médio entre eles é o centro da circunferência. Encontrando então

o centro temos h = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4 e k = (–1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1 e daí, o centro é o ponto C(4,1). A distância entre o centro e qualquer um dos pontos A ou B é o raio.

Logo, R = dCB = (6 − 4)2 + (3−1)2 = 2 2+22 = 4 + 4 = 8

Então a equação é dada por: x2 + y2 – 2.4.x – 2.1.y + 42 + 12 – √8 2 = 0 ou x2 + y2 – 8x – 2y + 9 = 0.

2) Solução: Basta compararmos a equação dada com a equação genérica reduzida de uma circunferência:x0 = 1y0 = -4r2 = 9 → r = 3Assim a origem está no ponto (1, -4) e ela possui um raio de 3.

3) Solução: a) 22 + 12 ? 6.2 ? 2.1 +6 = -3 <0P é interno à circunferência

b) 52 + 12 ? 6.5 ? 2.1 +6 = 0Q Pertence à circunferência.

4) Solução: Procuraremos as eventuais interseções entre elas, isolando o y da reta e jogando na equação da circunferência tere-mos:

y = 2 ? 2xx2 + (2 ? 2x)2 ? 2x ? 10 . (2 ? 2x) + 21 =0x2 + 2x +1 =0

Nesta equação temos discriminante (delta) nulo e única solução x = -1, o que leva a um único y, que é 4, assim a reta tangencia a circunferência.



5) Solução:Nestes casos é aconselhável que a equação da reta esteja como de fato está, na sua forma geral, pois as tangentes t, sendo pa-

ralelas a s, manterão o coeficiente angular e poderemos escrever suas equações como 2x + y + c = 0 , bastando, então, encontrar os valores de c:

As tangentes distam r = 3 do centro (0,0):dC,t = |c|/05 = 3c =± 305Portanto t1 : 2x + y + 305 = 0 e t2 : 2x + y - 305= 0.

6) Solução: Para Achar o comprimento de uma circunferência tem que usar essa fórmula C=2.π.rSendo π (pi) = 3,14r = Raio

C=2×3,14×50C=6,28×50C=31,4.

7) Solução: Dado um número real x, fica determinado um ponto P da circunferência trigonométrica, de modo que o comprimento do arco AP, bem como a medida em radianos do arco AP, é x. Qualquer outro número real que difira do número x, por um número inteiro de vezes 2π , irá corresponder a esse mesmo ponto P.

Assim, a forma dos outros números que também correspondem a esse mesmo ponto é x + 2kπ ,k ∈Z .

8) Solução: Dado o número real 2512

π , temos:

2512

π = 2π + π12

Portanto, para representá-lo será necessário dar uma volta inteira e mais um doze avos de meia volta, no sentido positivo de percurso, isto é, no sentido anti-horário.

Por outro lado, dado o número real -12, temos: −122π

= −6π

≅ −1,91 , ou seja, será dada, aproximadamente, uma volta inteira e mais 0,91 de volta no sentido horário, já que o número dado é negativo.

9) Solução: Como o diâmetro do relógio é de 5 cm, temos que o raio é 2,5 cm.Após 1 hora, o ponteiro dos minutos descreve um ângulo de uma volta no relógio, ou seja, o arco descrito é um arco de uma volta.Assim, o comprimento desse arco é C = 2π .2,5 ≅ 15,70cm

10) Solução: Sabemos que, a cada hora, o ponteiro das horas se desloca 30o. E, portanto, em 15 minutos, ele se desloca 7o30’.Já o ponteiro dos minutos se desloca 90o em 15 minutos Logo, o ângulo entre os dois ponteiros é de 7o30’, às 15h e 15min.



14. SEMELHANÇA E RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.

Triângulos

Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais impor-tante que existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes.

Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.

1. Vértices: A,B,C.2. Lados: AB,BC e AC.3. Ângulos internos: a, b e c.

Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo reto. BH é uma altura do triângulo.

Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BM é uma mediana.

Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo B está dividido ao meio e neste caso Ê = Ô.



Ângulo Interno: É formado por dois lados do triângulo. Todo triângulo possui três ângulos internos.

Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente (ao lado).

Classificação dos triângulos quanto ao número de lados

Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas iguais. m(AB) = m(BC) = m(CA)

Triângulo Isóscele: Pelo menos dois lados têm medidas iguais. m(AB) = m(AC).

Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas diferentes.

Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ângulos

Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.



Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º.

Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90 graus).

Medidas dos Ângulos de um Triângulo

Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Poderemos identificar com as letras a, b e c as medidas dos ângulos internos desse triângulo. Em alguns locais escrevemos as letras maiúsculas A, B e C para representar os ângulos.

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus, isto é: a + b + c = 180º

Exemplo

Considerando o triângulo abaixo, podemos escrever que: 70º + 60º + x = 180º e dessa forma, obtemos x = 180º - 70º - 60º = 50º.

Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. Como observamos no desenho, em anexo, as letras minúsculas representam os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos.

Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo. Assim: A = b+c, B = a+c, C = a+b



Exemplo

No triângulo desenhado: x=50º+80º=130º.

Congruência de Triângulos

A ideia de congruência: Duas figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, isto é, o mesmo tamanho.

Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a notação: ABC ~ DEFPara os triângulos das figuras abaixo, existe a congruência entre os lados, tal que: AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ T e entre os ângulos: A ~ R , B ~ S , C ~ T

Se o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST, escrevemos: ABC ~ RST

Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são ordenadamente congruentes, isto é, os três lados e os três ângulos de cada triângulo têm respectivamente as mesmas medidas.

Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber a medida de todos os seis elementos, basta conhece-rem três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com símbolos gráficos iguais.

Casos de Congruência de Triângulos

LLL (Lado, Lado, Lado): Os três lados são conhecidos.Dois triângulos são congruentes quando têm, respectivamente, os três lados congruentes. Observe que os elementos congruentes

têm a mesma marca.

LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dados dois lados e um ânguloDois triângulos são congruentes quando têm dois lados congruentes e os ângulos formados por eles também são congruentes.



ALA (Ângulo, Lado, Ângulo): Dados dois ângulos e um ladoDois triângulos são congruentes quando têm um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes.

LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto): Conhecido um lado, um ângulo e um ângulo oposto ao lado.Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, um ângulo, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respec-

tivamente congruente.

Semelhança de Triângulos

A ideia de semelhança: Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.Se duas figuras R e S são semelhantes, denotamos: R~S.

Exemplo

As ampliações e as reduções fotográficas são figuras semelhantes. Para os triângulos:

os três ângulos são respectivamente congruentes, isto é: A~R, B~S, C~T

Observação: Dados dois triângulos semelhantes, tais triângulos possuem lados proporcionais e ângulos congruentes. Se um lado do primeiro triângulo é proporcional a um lado do outro triângulo, então estes dois lados são ditos homólogos. Nos triângulos acima, todos os lados proporcionais são homólogos.

Realmente:

AB~RS pois m(AB)/m(RS) = 2BC~ST pois m(BC)/m(ST) = 2AC~RT pois m(AC)/m(RT) = 2

Como as razões acima são todas iguais a 2, este valor comum é chamado razão de semelhança entre os triângulos. Podemos concluir que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo RST.

Dois triângulos são semelhantes se, têm os 3 ângulos e os 3 lados correspondentes proporcionais, mas existem alguns casos interessantes a analisar.



Casos de Semelhança de Triângulos

Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem dois ângulos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhan-tes.

Se A~D e C~F então: ABC~DEF

Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos formados por esses lados também são congruentes, então os triângulos são semelhantes.

Como m(AB) / m(EF) = m(BC) / m(FG) = 2Então ABC ~ EFG

Exemplo

Na figura abaixo, observamos que um triângulo pode ser “rodado” sobre o outro para gerar dois triângulos semelhantes e o valor de x será igual a 8.

Realmente, x pode ser determinado a partir da semelhança de triângulos.

Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então os triângulos são seme-lhantes.



Exercícios

1. Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:

2. Determine os valores literais indicados na figura:






6. Determine a altura de um triângulo equilátero de lado l.

7. Determine x nas figuras.

8. Determine a diagonal de um quadrado de lado l.

9. Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5

10. Calcule a altura de um triângulo equilátero que tem 10 cm de lado.



Respostas

1) Solução: a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4

2) Solução:13² = 12² + x²169 = 144 + x²x² = 25x = 5

5.12 = 13.yy = 60/13

3) Solução: 52 = 32 + x2

25 = 9 + x2

x2 = 16x = √16 = 4

32 = 5m

m = 95

42 = 5n

n = 165

h2 = 95x165

h2 = 14425

h = 14425

h = 125

4) Solução:

AC = 10→ e← AB = 24(O é o centro da circunferência)Solução:

(BC)2 = 102 + 242

(BC)2 = 100 + 576(BC)2 = 676

BC = 676 = 26

x = 262

= 13



5) Solução:d2 = 52 + 42

d2 = 25 + 16d2 = 41d = √41

6) Solução:

l2 = h2 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

l2 = h2 + 12

4

h2 = l2 − 12

4

h2 = 4l2 − l2

4

h2 = 3l2

4

h = 3l2

4= l 32

7) Solução: O triângulo ABC é equilátero.

x = l 32

x = 8 32

= 4 3

8) Solução:d2 = l2 + 12

d2 = 2l2

d = √2l2

d = 1√2

9) Solução:

cosα = x10

35= x10

5x = 30

x = 305

= 6

102 = 62 + y2

100 = 36 + y2y2 = 100 − 36

y2 = 64⇒ y = 64 = 8P = 10 + 6 + 8 = 24m



10) Solução:

102 = 52 + h2

h2 = 100 − 25h2 = 75

h = 75 = 52.3 = 5 3cm

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras

Dizem que Pitágoras, filósofo e matemático grego que viveu na cidade de Samos no século VI a. C., teve a intuição do seu famoso teorema observando um mosaico como o da ilustração a seguir

Observando o quadro, podemos estabelecer a seguinte tabela:

Triângulo ABC

Triângulo A`B`C`

Triângulo A``B``C``

Área do quadrado construído sobre

a hipotenusa

4 8 16


um cateto

2 4 8


o outro cateto

2 4 9

Como 4 = 2 + 2,8 = 4 + 4,16 = 8 + 8, Pitágoras observou que:A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

A descoberta feita por Pitágoras estava restrita a um triângulo particular: o triângulo retângulo isósceles.Estudos realizados posteriormente permitiram provar que a relação métrica descoberta por Pitágoras era válida para todos os

triângulos retângulos.



Com base no triângulo retângulo utilizado nas construções egípcias e construindo quadrados sobre os lados desse triângulo, podemos obter as seguintes figuras:

= 1 unidade de comprimento= 1 unidade de área

25 = 16 + 9 52 = 42 + 32

Nessas condições, confirma-se a relação: a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à somadas áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos.

Muito utilizada, essa relação métrica é um dos mais importantes teoremas da matemática.

Teorema de PitágorasEm todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados da medida dos catetos.

Demonstrando o teorema de Pitágoras

Existem inúmeras maneiras de demonstrar o teorema de Pitágoras. Veremos uma delas, baseada no cálculo de áreas de figuras geométricas planas.

Consideremos o triângulo retângulo da figura.

a = medida da hipotenusab = medida de um catetoc = medida do outro cateto

Observe, agora, os quadrados MNPQ e DEFG, que têm a mesma área, pois o lado de cada quadrado mede (b+c).



- Área do quadrado MNPQ = área do quadrado RSVT + (área do triângulo RNS) . 4- Área do quadrado DEFG = área do quadrado IELJ + área do quadrado GHJK + (área do retângulo DIJH).2- Área do quadrado RSVT = a2

- Área do triângulo RNS= 2.cb

- Área do quadrado IELJ=c2

- Área do quadrado GHJK=b2

- Área do retângulo DIJK=b.c

Como os quadrados MNPQ e DEFG têm áreas iguais, podemos escrever:

a2+bc2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . 42=c2+b2 + (bc) . 2

a2 + 2bc = c2 + b2 + 2bc

Cancelando 2bc, temos:a2 = b2 + c2

A demonstração algébrica do teorema de Pitágoras será feita mais adiante.

Pense & Descubra

Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo e tem rente para três ruas: Rua 1, Rua 2 e Rua 3, conforme nos mostra a figura. Calcule, em metros, o comprimento a da frente do terreno voltada para a rua 1.

De acordo com os dados do problema, temos b = 96 m e c = 180 m.

Aplicando o teorema de Pitágoras:a2 = b2 + c2 a2 = 41616a2 = (96)2 + (180)2 a = 41616a2 = 9216 + 32400 a = 204

Então, a frente do terreno para a rua 1 tem 204 m de comprimento.



Teorema de Pitágoras no quadrado

Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação importante entre a medida d da diagonal e a medida l do lado de um quadrado.

d= medida da diagonall= medida do lado

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos:

d2=l2+l2 d = 2l2

d2=2 l2 d = l 2

Teorema de Pitágoras no triângulo equilátero

Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos estabelecer uma relação importante entre a medida h da altura e a medida l do lado de um triângulo equilátero.

l= medida do ladoh= medida da altura

No triângulo equilátero, a altura e a mediana coincidem. Logo, H é ponto médio do lado BC .No triângulo retângulo AHC,

^H é ângulo reto. De acordo com o teorema de Pitágoras, podemos escrever:

l2=h2+2

2

l → h2=l2-

4

2l → h2=4

3 2l→ h=

43 2l

→ h =l 32



Exercícios

1. Sendo a,vb e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indica, justificando, aqueles que são retângu-los:

a) a = 6; b = 7 e c = 13;b) a = 6; b = 10 e c = 8.

2. Calcula o valor de x em cada um dos triângulos retângulos:a)

b)

3. A figura representa um barco à vela.

Determina, de acordo com os dados da figura, os valores de x e y.

4. O Pedro e o João estão a andar de balance, como indica a figura:

A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm. Qual o comprimento do balance?



5. Qual era a altura do poste?

6. Qual é a distância percorrida pelo berlinde.

7. Calcule a área da seguinte figura.

8. Calcule a área da seguinte figura.

9. Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.



10. Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:

Respostas

1) Solução: “Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triân-gulo é retângulo”.

Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.

a)

132 = 72 + 62

⇔169 = 49 + 36⇔169 = 85Falsob)

102 = 82 + 62

⇔100 = 49 + 36⇔100 = 100Verdadeiro

2) Solução:a)

x2 = 122 + 52

⇔ x2 = 144 + 25⇔ x2 = 169

⇔ x = 169⇔ x = 13

b)

7,5 = 4,52 + x2

⇔ 56,25 = 20,25 + x2

⇔ x2 = 56,25 − 20,25⇔ x2 = 36

⇔ x = 36⇔ x = 6



3) Solução:

a = x + y22 = 1,22 + y2

⇔ 4 = 1,44 + y2

⇔ y2 = 4 −1,44⇔ y2 = 2,56

⇔ y = 2,56⇔ y = 1,6

6,52 = 4,22 + a2

⇔ 42,25 = 17,64 + a2

⇔ a2 = 42,25 −17,64⇔ a2 = 24,61

⇔ a = 24,61⇔ a ≅ 5

x = a - y = 5 - 1,6 = 3,4

4) Solução: Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado forma um ângulo de 90 graus com a “linha” do chão.

Então vem:1,8 m = 180 cm

h2 = 1802 + 602

⇔ h2 = 32400 + 3600⇔ h2 = 36000

⇔ h = 36000⇔ h ≅ 190

Logo, o comprimento do balance é de 1,9 m.

5) Solução:

x 2= 42 + 32

⇔ x2 = 16 + 9⇔ x2 = 25

⇔ x = 25⇔ x = 5h = 4 + 5 = 9

Logo, a altura do poste era de 9 m.

6) Solução:

h2 = 252 + 60⇔ h2 = 625 + 3600⇔ h2 = 4225

⇔ h = 4225⇔ h = 65d = 65 + 200 = 265

Portanto, a distância percorrida pelo berlinde é de: 265 cm = 2,65 m.



7) Solução:

102 = h2 + 52

⇔100 = h2 + 25⇔ h2 = 100 − 25⇔ h2 = 75

⇔ x = 75⇔ x ≅ 9(0c.d.)

A = 22 +122

× 9

⇔ A = 342

× 9

⇔ A = 17 × 9⇔ A = 153

8) Solução:

152 = h2 +122⇔ 225 = h2 +144⇔ h2 = 225 −144

⇔ x = 81⇔ x = 9A = 12 × 9⇔ A = 108

9) Solução: x² = 9² + 12²x² = 81 + 144 x² = 225 √x² = √225x = 15

10) Solução:x² + 20² = 25² x² + 400 = 625 x² = 625 – 400 x² = 225 √x² = √225 x = 15

15. MEDIDAS DE COMPRIMENTO, ÁREA, VOLUME.

Geometria Plana

A Geometria é a parte da matemática que estuda as figuras e suas propriedades. A geometria estuda figuras abstratas, de uma perfeição não existente na realidade. Apesar disso, podemos ter uma boa ideia das figuras geométricas, observando objetos reais, como o aro da cesta de basquete que sugere uma circunferência, as portas e janelas que sugerem retângulos e o dado que sugere um cubo.



Reta, semirreta e segmento de reta

Definições.a) Segmentos congruentes.Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.b) Ponto médio de um segmento.Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.c) Mediatriz de um segmento.É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio

Ângulo

Definições.a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de mesma origem.b) Ângulos congruentes: Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida.c) Bissetriz de um ângulo: É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.

PerímetroEntendendo o que é perímetro.Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de comprimento.Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé nesta sala, sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela

não se coloca rodapé?

A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala, menos 1m da largura da porta, ou seja:P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1P = 26 – 1P = 25



Colocaríamos 25m de rodapé.A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro.Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.

Área Área é a medida de uma superfície. A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado). Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de

quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:

Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área. A unidade de medida da área é: m² (metros quadrados), cm² (centímetros quadrados), e outros. Se tivermos uma figura do tipo:

Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades. No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área.



Retângulo

É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes e iguais a 90º.

No cálculo da área de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio:

Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.

O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma:

A = 6 . 4 A = 24 cm² Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:

A = b . h



Quadrado É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os ângulos internos a congruentes (90º).

Sua área também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula:

Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:

A = .A= ²

Trapézio É o quadrilátero que tem dois lados paralelos. A altura de um trapézio é a distância entre as retas suporte de suas bases.

Em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a média aritmética dessas bases.

A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada utilizando a seguinte fórmula: A = b . h (b = base e h = altura). 2



Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):

Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h). Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como: Primeiro: completamos as alturas no trapézio:

Segundo: o dividimos em dois triângulos:

A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos (∆CFD e ∆CEF). Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais.

Cálculo da área do ∆CEF:

A∆1 = B . h 2

Cálculo da área do ∆CFD:

A∆2 = b . h 2

Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um trapézio qualquer:

AT = A∆1 + A∆2

AT = B . h + b . h 2 2

AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evi- 2 dência, pois é um termo comum aos dois fatores.

AT = h (B + b) 2



Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula:

A = h (B + b) 2

h = altura B = base maior do trapézio b = base menor do trapézio

Losango

É o quadrilátero que tem os lados congruentes.

Em todo losango as diagonais são:a) perpendiculares entre si;b) bissetrizes dos ângulos internos.A área do losango é definida pela seguinte fórmula:

.2

d DS = Onde D é a diagonal maior e d é a menor.

Triângulo

Figura geométrica plana com três lados.

Ângulo externo. O ângulo externo de qualquer polígono convexo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do outro lado.

Classificação dos triângulos.

a) quanto aos lados:- triângulo equilátero.- triângulo isósceles.- triângulo escaleno.



b) quanto aos ângulos:- triângulo retângulo.- triângulo obtusângulo.- triângulo acutângulo.

Propriedades dos triângulos1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos internos é 180º.

2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.

3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º.

4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente.



Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado oposto.Área do triangulo

Segmentos proporcionaisTeorema de Tales. Em todo feixe de retas paralelas, cortado por uma reta transversal, a razão entre dois segmento quaisquer de uma transversal é

igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal.

Semelhança de triângulosDefinição.Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais.Definição mais “popular”.Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a ampliação do outro. Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos

correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios das circunferências circunscritas, perímetros, etc.



Exercícios

1. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro pa-ralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?

2. Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a área deste triângulo equilátero?

3. Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base são respectivamente 10 cm e 2 dm?

4. As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície?

5. Considerando as informações constantes no triangulo PQR, pode-se concluir que a altura PR desse triângulo mede:

a)5 b)6 c)7 d)8

6. Num cartão retangular, cujo comprimento é igual ao dobro de sua altura, foram feitos dois vincos AC e BF, que formam, entre si, um ângulo reto (90°). Observe a figura:

Considerando AF=16cm e CB=9cm, determine:a) as dimensões do cartão;b) o comprimento do vinco AC

7. Na figura, os ângulos assinalados sao iguais, AC=2 e AB=6. A medida de AE é:a)6/5 b)7/4 c)9/5 d)3/2 e)5/4



8. Na figura a seguir, as distâncias dos pontos A e B à reta valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do segmento CD, para que CÊA=DÊB

a)3b)4c)5d)6e)7

9. Para ladrilhar uma sala são necessários exatamente 400 peças iguais de cerâmica na forma de um quadrado. Sabendo-se que a área da sala tem 36m², determine:

a) a área de cada peça, em m².b) o perímetro de cada peça, em metros.

10. Na figura, os ângulos ABC, ACD, CÊD, são retos. Se AB=2 3 m e CE= 3 m, a razão entre as áreas dos triângulos ABC e CDE é:

a)6b)4c)3d)2e) 3

Respostas

1. A2 = (2b)(2h) = 4bh = 4A1

2. Segundo o enunciado temos:l=5mm

Substituindo na fórmula:² 3 5² 3 6,25 3 10,84 4

lS S S= ⇒ = = ⇒ =

3. Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:h=10b=20

Substituindo na fórmula:

. 20.10 100 ² 2 ²S b h cm dm= = = =

4. Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que envolve as diagonais, cujos valores temos abaixo:

d1=10d2=15



Utilizando na fórmula temos:1. 2 10.15 75 ²2 2

d dS cm= ⇒ =

5. 4 6 36 69 6

PRPR

= ⇒ = =

6. 9 ² 144 12

16) 12( );2 24( )

) 9² ² 81 144 15

x x xx

a x altura x comprimento

b AC x

= ⇒ = ⇒ =

= =

= + = + =

7.

8.

9.

10.



Sólidos Geométricos

Para explicar o cálculo do volume de figuras geométricas, podemos pedir que visualizem a seguinte figura:

a) A figura representa a planificação de um prisma reto;b) O volume de um prisma reto é igual ao produto da área da base pela altura do sólido, isto é

V = Ab x a

c) O cubo e o paralelepípedo retângulo são prismas;d) O volume do cilindro também se pode calcular da mesma forma que o volume de um prisma reto.Os formulários seguintes, das figuras geométricas são para calcular da mesma forma que as acima apresentadas:

Figuras Geométricas:

O conceito de cone

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer da região.



Elementos do cone - Base: A base do cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva. - Vértice: O vértice do cone é o ponto P. - Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro

da base. - Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base. - Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base. - Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a

outra na curva que envolve a base. - Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo. - Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que

contem o eixo do mesmo.

Classificação do cone

Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

Observações sobre um cone circular reto1. Um cone circular reto é chamado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em

torno de um de seus catetos 2. A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. No caso acima, a

seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB. 3. Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema

de Pitágoras, temos: g2 = h2 + R2 4. A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):ALat

= Pi R g 5. A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone): ATotal = Pi R g + Pi R2



Cones Equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

A área da base do cone é dada por: ABase=Pi R2

Pelo Teorema de Pitágoras temos: (2R)2 = h2 + R2

h2 = 4R2 - R2 = 3R2

Assim: h = R Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V = (1/3) Pi R3 Como a área lateral pode ser obtida por: ALat = Pi R g = Pi R 2R = 2 Pi R2 então a área total será dada por: ATotal = 3 Pi R2

O conceito de esfera

A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela quais muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana.

Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento, mas o volume tem medida nula. Há outras esferas, cada uma definida no seu respectivo espaço n-dimensional. Um caso interessante é a esfera na reta unidimensional:

So = {x em R: x²=1} = {+1,-1} Por exemplo, a esfera S1 = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 } é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na origem do plano cartesiano.

Aplicação: volumes de líquidos

Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um orifício na parte superior (pólo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e esta medida corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um problema trivial, como observaremos pelos cálculos reali-zados na sequência.



A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas para cálculos de áreas na esfera e volumes em um sólido esférico.

A superfície esférica A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados a uma mesma distância denominada raio

de um ponto fixo chamado centro. Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na origem de R³ é: S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 }

Uma esfera de raio unitário centrada na origem de R4 é dada por:S³ = { (w,x,y,z) em R4: w² + x² + y² + z² = 1 }

Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera? Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina que envolve um sólido esférico. Em uma melancia

esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta. É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como sendo o sólido esférico, no entanto não se devem con-

fundir estes conceitos. Se houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento de tais situações.

O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião da película fina que envolve o sólido esférico com a região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode ser visto como toda a fruta.

Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (0,0,0), a equação da esfera é dada por:x² + y² + z² = R²

e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é:

x² + y² + z² < R² Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (xo,yo,zo), a equação da esfera é dada por:

(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² = R²



e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R³ tal que:

(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² < R²

Da forma como está definida, a esfera centrada na origem pode ser construída no espaço euclidiano R³ de modo que o centro da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano R³, logo podemos fazer passar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0).

Seccionando a esfera x²+y²+z²=R² com o plano z=0, obteremos duas superfícies semelhantes: o hemisfério Norte (“boca para baixo”) que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z é não negativa e o hemisfério Sul (“boca para cima”) que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z não é positiva.

Se seccionarmos a esfera x²+y²+z²=R² por um plano vertical que passa em (0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma cir-cunferência maximal C da esfera que é uma circunferência contida na esfera cuja medida do raio coincide com a medida do raio da esfera, construída no plano YZ e a equação desta circunferência será:

x=0, y² + z² = R2

sendo que esta circunferência intersecta o eixo OZ nos pontos de coordenadas (0,0,R) e (0,0,-R). Existem infinitas circunferên-cias maximais em uma esfera.

Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo OZ, obteremos a esfera através da rotação e por este motivo, a esfera é uma superfície de revolução.

Se tomarmos um arco contido na circunferência maximal cujas extremidades são os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p²+q²=R² e rodarmos este arco em torno do eixo OZ, obteremos uma superfície denominada calota esférica.

Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto a superfície como o sólido geométrico envolvido pela calota esférica. Para evitar confusões, usarei “calota esférica” com aspas para o sólido e sem aspas para a superfície.

A partir da rotação, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo que as extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) com p²+q²=R² no primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) as extremidades dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com r²+s²=R² e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremos uma superfície de revolução denominada zona esférica.



De um ponto de vista prático, consideremos uma melancia esférica. Com uma faca, cortamos uma “calota esférica” superior e uma “calota esférica” inferior. O que sobra da melancia é uma região sólida envolvida pela zona esférica, algumas vezes denominada zona esférica.

Consideremos uma “calota esférica” com altura h1 e raio da base r1 e retiremos desta calota uma outra “calota esférica” com altura h2 e raio da base r2, de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A região sólida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de segmento esférico com bases paralelas.

No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para a superfície, “calota esférica” para o sólido envolvido pela calota esférica, a letra maiúscula R para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os cálculos, V será o volume, A(lateral) será a área lateral e A(total) será a área total.

Algumas fórmulas (relações) para objetos esféricos

Objeto Relações e fórmulas

Esfera Volume = (4/3) Pi R³ A(total) = 4 Pi R²

Calota esférica (altura h, raio da base r)

R² = h (2R-h) A(lateral) = 2 Pi R h A(total) = Pi h (4R-h) V=Pi.h²(3R-h)/3=Pi(3R²+h²)/6

Segmento esférico (altura h, raios das bases r1>r²)

R² = a² + [(r1² -r2²-h²)/2h)]² A(lateral) = 2 Pi R h A(total) = Pi(2Rh+r1²+r2²) Volume=Pi.h(3r1²+3r2²+h²)/6

Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, mas nós nos limitaremos a apresentar um processo matemático para a obtenção da fórmula do cálculo do volume da “calota esférica” em função da altura da mesma.

Volume de uma calota no hemisfério Sul Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R.

A equação desta esfera será dada por: x² + y² + (z-R)² = R²

A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que coincide com o nível do líquido (cota) será indicado por z=h. A inter-seção entre a esfera e este plano é dado pela circunferência

x² + y² = R² - (h-R)²



Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor ou igual ao raio R da esfera, isto é, h pertence ao intervalo [0,R] e neste caso poderemos explicitar o valor de z em função de x e y para obter:

z = R − R2 − (x2 + y2 )

Para simplificar as operações algébricas, usaremos a letra r para indicar: r² = R² - (h-R)² = h(2R-h) A região circular S de integração será descrita por x²+y²<R² ou em coordenadas polares através de: 0<m<R, 0<t<2Pi A integral dupla que representa o volume da calota em função da altura h é dada por:

Vc(h) = s∫∫ (h − z)dxdy

ou seja

Vc(h) = s∫∫ (h − R + R2 − (x2 + y2 ))dxdy

Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fica na forma:

Vc(h) = (h − R + R2 −m2

m=0

R

∫t=0

2x

∫ )mdmdt

Após realizar a integral na variável t, podemos separá-la em duas integrais:

Vc(h) = 2π{ (h − R)mdm + R2 −m2

0

R

∫0

R

∫ mdm}

ou seja:

Vc(h) = π{(h − R)R2 − R2 −m2

0

R

∫ (−2m)dm}

Com a mudança de variável u=R²-m² e du=(-2m)dm poderemos reescrever:

Vc(h) = π{(h − R)R2 + u duu=0

R2

∫ }

Após alguns cálculos obtemos: VC(h) = Pi (h-R) [R² -(h-R)²] - (2/3)Pi[(R-h)³ - R³]

e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no hemisfério Sul com a altura h no intervalo [0,R], dada por: VC(h) = Pi h²(3R-h)/3

Volume de uma calota no hemisfério Norte

Se o nível do líquido mostra que a altura h já ultrapassou o raio R da região esférica, então a altura h está no intervalo [R,2R]



Lançaremos mão de uma propriedade de simetria da esfera que nos diz que o volume da calota superior assim como da calota inferior somente depende do raio R da esfera e da altura h e não da posição relativa ocupada.

Aproveitaremos o resultado do cálculo utilizado para a calota do hemisfério Sul. Tomaremos a altura tal que: h=2R-d, onde d é a altura da região que não contém o líquido. Como o volume desta calota vazia é dado por:

VC(d) = Pi d²(3R-d)/3 e como h=2R-d, então para h no intervalo [R,2R], poderemos escrever o volume da calota vazia em função de h: VC(h) = Pi (2R-h)²(R+h)/3

Para obter o volume ocupado pelo líquido, em função da altura, basta tomar o volume total da região esférica e retirar o volume da calota vazia, para obter:

V(h) = 4Pi R³/3 - Pi (2R-h)²(R+h)/3 que pode ser simplificada para: V(h) = Pi h²(3R-h)/3

Independentemente do fato que a altura h esteja no intervalo [0,R] ou [R,2R] ou de uma forma geral em [0,2R], o cálculo do volume ocupado pelo líquido é dado por:

V(h) = Pi h²(3R-h)/3

Poliedro

Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados.

Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.

Poliedros Regulares

Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.

Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro

Áreas e Volumes

Poliedro regular Área VolumeTetraedro a2 R[3] (1/12) a³ R[2]Hexaedro 6 a2 a³Octaedro 2 a2 R[3] (1/3) a³ R[2]Dodecaedro 3a2 R{25+10·R[5]} (1/4) a³ (15+7·R[5])Icosaedro 5a2 R[3] (5/12) a³ (3+R[5])

Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0.



Prisma

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

Prisma retoAs arestas laterais têm o mesmo comprimento.As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base.As faces laterais são retangulares.

Prisma oblíquoAs arestas laterais têm o mesmo comprimento.As arestas laterais são oblíquas ao plano da base.As faces laterais não são retangulares.

Bases: regiões poligonais congruentes

Altura: distância entre as bases

Arestas laterais paralelas: mesmas

medidas Faces laterais: paralelogramos

Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo

Seções de um prisma Seção transversalÉ a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é con-

gruente a cada uma das bases.

Seção reta (seção normal)É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.

Princípio de CavaliereConsideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado

interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.

Prisma regular É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.

Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.

Planificação do prisma



Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases. As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma “superfície” que pode ser planificada no plano cartesiano.

Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às bases.

A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.

Volume de um prisma O volume de um prisma é dado por:

Vprisma = Abase . h

Área lateral de um prisma reto com base poligonal regular

A área lateral de um prisma reto que tem por base uma região poligonal regular de n lados é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como neste caso todas as áreas das faces laterais são iguais, basta tomar a área lateral como:

Cilindros

Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r. Tomemos também um segmento de reta PQ que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P.

Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ com uma extremidade no círculo. Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R3, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro com a região

sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, “cilindro” e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.

A reta que contém o segmento PQ é denominada geratriz e a curva que fica no plano do “chão” é a diretriz.

Em função da inclinação do segmento PQ em relação ao plano do “chão”, o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectiva-mente, se o segmento PQ for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.



Objetos geométricos em um “cilindro” Num cilindro, podemos identificar vários elementos: - Base É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases. - Eixo É o segmento de reta que liga os centros das bases do “cilindro”. - Altura A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do “cilindro”. - Superfície Lateral É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo

da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz. - Superfície Total É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro. - Área lateral É a medida da superfície lateral do cilindro. - Área total É a medida da superfície total do cilindro. - Seção meridiana de um cilindro É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do

cilindro com o cilindro.

Classificação dos cilindros circulares Cilindro circular oblíquo Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases. Cilindro circular reto As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilin-

dro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo. Cilindro equilátero É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.

Volume de um “cilindro”

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura. V = Abase × h Se a base é um círculo de raio r, então: V = r2 h

Áreas lateral e total de um cilindro circular reto Quando temos um cilindro circular reto, a área lateral é dada por: Alat = 2 r h onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. Atot = Alat + 2 AbaseAtot = 2 r h + 2 r2

Atot = 2 r(h+r)

Exercícios

1. Dado o cilindro circular equilátero (h = 2r), calcular a área lateral e a área total.

2. Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.

3. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.

4. Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?

Respostas

1) Solução: No cilindro equilátero, a área lateral e a área total é dada por:

Alat = 2 r. 2r = 4 r2

Atot = Alat + 2 AbaseAtot = 4 r2 + 2 r2 = 6 r2

V = Abase h = r2. 2r = 2 r3



2) Solução: Cálculo da Área lateral Alat = 2 r h = 2 2.3 = 12 cm2 Cálculo da Área total Atot = Alat + 2 Abase Atot = 12 + 2 22 = 12 + 8 = 20 cm2 Cálculo do Volume V = Abase × h = r2 × h V = 22 × 3 = × 4 × 3 = 12 cm33

3) Solução: hprisma = 12Abase do prisma = Abase do cone = AVprisma = 2 VconeA hprisma = 2(A h)/312 = 2.h/3h =18 cm

4) Solução:

V = Vcilindro - VconeV = Abase h - (1/3) Abase hV = Pi R2 h - (1/3) Pi R2 hV = (2/3) Pi R2 h cm3

16. PRINCÍPIOS DE CONTAGEM E NOÇÃO DE PROBABILIDADE.

Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento

Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos considerar:

Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis.

Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis; será representado por S e o número de elementos do espaço amostra por n(S).

Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amostral; será representado por A e o número de elementos do evento por n(A).

Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto são eventos.Ø = evento impossível.S = evento certo.

Conceito de Probabilidade

As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrer um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é dada pelo quociente entre o número de elementos A e o número de elemento S. Representando:



Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 6, e observar o lado virado para cima, temos:- um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. - um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6} C S.- o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3.- a probabilidade do evento número par é 1/2, pois

Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio

- Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em um evento certo S a probabilidade é igual a 1. Simbolicamente: P(Ø) = 0 e P(S) = 1.

- Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1.- Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 - P(A).

Demonstração das Propriedades

Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos:

União de Eventos

Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos:

A

BS

Logo: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)



Eventos Mutuamente Exclusivos

A

BS

Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B = 0, portanto: P(A B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse caso

temos, analogicamente:

P(A1 A2 A3 … An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An)

Eventos Exaustivos

Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes serão denominados exaustivos se A1 A2 A3 … An = S

Então, logo:

Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1

Probabilidade Condicionada

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É representada por P(B/A).

Veja:



Eventos Independentes

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. Estes serão independentes somente quando:

P(A/N) = P(A) P(B/A) = P(B)

Intersecção de Eventos

Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, logo:

Assim sendo:

P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A)P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B)

Considerando A e B como eventos independentes, logo P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A) . P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos utilizar a definição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a representação:

A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ouA e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Lei Binominal de Probabilidade

Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 1 – p.

Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes?

Resolução:- Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes o evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k vezes

o evento A.- Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e

n – k vezes o evento A, ordenadamente, é:

- As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k.

- Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade desejada é: Cn,k . p

k . (1 – p)n-k



QUESTÕES

01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna que contém, exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:

(A) (B) (C) (D) (E)

02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é

(A) (B) (C) (D) (E)

03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se obter um rei ou uma dama?

04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números ímpares ou dois números iguais?

05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é

(A) 10%(B) 12%(C) 64%(D) 82%(E) 86%

Respostas

01.

02. A partir da distribuição apresentada no gráfico:08 mulheres sem filhos.07 mulheres com 1 filho.06 mulheres com 2 filhos.02 mulheres com 3 filhos.

Como as 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25.

03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) =



04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, são 36 casos possíveis. Considerando os eventos A (dois números ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é:

05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500

A: o número sorteado é formado por 3 algarismos;A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500

B: o número sorteado é múltiplo de 10;B = {10, 20, ..., 500}.

Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.A., em quea1 = 10an = 500r = 10Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 → n = 50

Dessa forma, p(B) = 50/500.

A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10;A Ω B = {100, 110, ..., 500}.De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n = 41 e p(A B) = 41/500

Por fim, p(A.B) =

ANOTAÇÕES

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2 Raciocinio Logico Matematico

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