03-movimento_retilineo - Exercícios Resolvidos.pdf

8/12/2019 03-movimento_retilineo - Exerccios Resolvidos.pdf

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Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES

________________________________________________________________________________________________________Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Fsica 1 - 8

aEd. - LTC - 2009. Cap. 02 Movimento Retilneo

1

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE FSICA, 8.ED., LTC, RIO DEJANEIRO, 2008.

FSICA 1

CAPTULO 2MOVIMENTO RETILNEO

01.Um automvel viaja em uma estrada retilnea por 40 km a 30 km/h. Em seguida, continuandono mesmo sentido, percorre outros 40 km a 60 km/h. (a) Qual a velocidade mdia do carrodurante este percurso de 80 km? (Suponha que o carro se move no sentido positivo dex.) (b)Qual a velocidade escalar mdia? (c) Trace o grfico de xem funo de te mostre comocalcular a velocidade mdia a partir do grfico.

(Pg. 33)

Soluo.

(a) A velocidade mdia (vm) no percurso total corresponde razo entre o deslocamento total ( x12)e o intervalo de tempo total ( t):

12 1 2

1 2 1 2

2m

x x x xv

t t t t t (1)

Na Eq. (1), as grandezas com ndice 1 referem-se primeira etapa da viagem e as com ndice 2 segunda etapa da viagem, como descrito no enunciado. O termo 2 x devido igualdade entre x1e x2. Em relao s etapas da viagem, suas velocidades mdias valem:

1

1

m

xv

t

2

2

mxvt

Explicitando o tempo de cada etapa, teremos:

1

1m

xt

v (2)

2

2m

xt

v (3)

Substituindo (2) e (3) em (1):

1 2

2 1

1 2

2 30 km/h 60 km/h2260 km/h 30 km/h

m mm

m m

m m

v vxvx x v v

v v

40 km/hmv

O estudante deve ter percebido que o clculo da velocidade mdia funo apenas das velocidadesmdias de cada uma das etapas. Isso conseqncia da igualdade entre os deslocamentosenvolvidos nessas etapas.

(b) A velocidade escalar mdia (vem) a razo entre a distncia total percorrida (s) e o intervalo de

tempo ( t). No presente caso, temoss= x12. Portanto:


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2

12em m

xsv v

t t

40 km/hemv

(c) No grfico a seguir so mostrados os deslocamentos e intervalos de tempo parciais e totais. Alinha I corresponde primeira etapa da viagem e a II segunda etapa. A linha tracejada III

corresponde ao trajeto total. As declividades dessas correspondem s velocidades mdias dostrajetos correspondentes.

02.Um carro sobe uma ladeira com uma velocidade constante de 40 km/h e desce a ladeira comuma velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar mdia da viagem de ida evolta.

(Pg. 33)

Soluo.

Como os deslocamentos envolvidos na subida e descida tm o mesmo mdulo, a situao semelhante do Probl. 1. Usaremos os ndices Spara subida eDpara descida.

2SD S Dem

SD S D S D

s s s sv

t t t t t (1)

Na equao acima,s o comprimento da ladeira. Explicitando o tempo de cada etapa, teremos:

S

S

st

v (2)

D

D

st

v (3)

Substituindo (2) e (3) em (1):

2 40 km/h 60 km/h22

60 km/h 40 km/h

S Dem

D S

S D

v vsv

s s v v

v v

48 km/hemv

17.A posio de uma partcula que se move ao longo do eixo x dada em centmetros porx= 9,75+ 1,50 t3, onde test em segundos. Calcule (a) a velocidade mdia durante o intervalo de tempode t= 2,00 s a t= 3,00 s; (b) a velocidade instantnea em t= 2,00 s; (c) a velocidade instantneaem t= 3,00 s; (d) a velocidade instantnea em t= 2,50 s; (e) a velocidade instantnea quando a

partcula est na metade da distncia entre suas posies em t= 2,00 s e t= 3,00 s. (f) Plote o

t(h)1 2

40

80

x(km)

x2

x1

t1 t2

x12

t12

I

IIIII


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3

grfico dexem funo de te indique suas respostas graficamente.(Pg. 34)

Soluo.

(a) Chamando dex0a posio da partcula em t0= 2,00 s e dex1sua posio em t1= 3,00 s, osvalores dex0ex1sero:

3

0 9, 75 1,50 2, 00 21,75 cmx 3

1 9,75 1,50 3,00 50, 25 cmx

A velocidade mdia da partcula no intervalo de tempo t1 t0ser:

1 0,01

1 0

50,25 cm 21,75 cm

3,00 s 2,00 sm

x xxv

t t t

,01 28,5 cm/smv

(b) A velocidade instantnea vcorresponde derivada da funox(t) em relao a t:

3 29,75 1,50 4,50dx d

v t tdt dt

Logo, para t0= 2,00 s teremos:2

0 4,50 2,00v

0 18,0 cm/sv

(c) Para t1= 3,00 s teremos:2

1 4,50 3,00v

1 40,5 cm/sv

(d) Para t2= 2,50 s teremos:2

2 4,50 2,50 28,125 cm/sv

2 28,1 cm/sv

(e) A metade da distncia entre as posies da partcula em t0= 2,00 s e t1= 3,00 s corresponde posiox3, definida por:

0 13

21,75 cm 50,25 cm36 cm

2 2

x xx

A partcula alcana a posiox3no instante de tempo t3, que vale:3

3 39,75 1,50x t

33

36 9,752,5962 s

1,50t

Logo, a velocidade v3da partcula no instante t3ser:2

3 4,50 2,5962 30,3322 cm/sv

3 30,3 cm/sv

(f)


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4

41.A Fig. 2-28 mostra um carro vermelho e um carro verde que se movem um em direo ao outro.A Fig. 2-29 um grfico do movimento dos dois carros que mostra suas posies x0verde= 270m ex0vermelho= 35,0 m no instante t= 0. O carro verde tem uma velocidade constante de 20,0m/s e o carro vermelho parte do repouso. Qual o mdulo da acelerao do carro vermelho?

Fig. 2-28 Problemas 40 e 41

Fig. 2-29 Problema 41(Pg. 36)

Soluo.

Vamos utilizar os ndices regpara os carros vermelho (red) e verde (green), respectivamente. O

carro verde possui movimento com velocidade constante. Logo:0 0x x v t

1 0 1g gx x v t

1 270 m 20 m/s 12 sx

1 30 mx

x1 a coordenadaxcorrespondente ao instante de tempo t1= 12 s. O carro vermelho possuimovimento com acelerao constante. Logo, sua equao de movimento ser:

2

0 0

1

2x x v t at

t(s)1 2

x(cm)

x3

x1

t1

x0

t0

3

t3

Declividade = v1

Declividade = v0

Declividade = v3

Declividade = vm01


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5

2

1 0 1

10

2r r

x x a t

1 0

2

1

2r

r

x xa

t

Substituindo-se o valor dex1calculado anteriormente:

2

2

2 30 m 35 m0,90277 m/s

12 sR

a

20,90 m/sRa

Observao: Voc deve ter notado que os sinais negativos dexr0e de vgno foram dados noenunciado. Essas informaes foram obtidas a partir do grfico fornecido.

70.Duas partculas se movem ao longo do eixo x. A posio da partcula 1 dada por x= 6,00 t2+

3,00 t+ 2,00, ondexest em metros e tem segundos; a acelerao da partcula 2 dada por a=8,00 t, onde aest em metros por segundo ao quadrado e tem segundos. No instante t= 0 a

velocidade de 20 m/s. Em que instante as duas partculas tm a mesma velocidade?(Pg. 38)

Soluo.

Sendo a posio da partcula 1 dada por:2

16,00 3,00 2,00x t t

Sua velocidade em funo do tempo ser:

1 12,0 3,00

dx

v tdt (1)Sendo a acelerao da partcula 2 dada por:

2 8,00a t

Sua velocidade em funo do tempo ser:

2 8,00dv

a tdt

8,00dv t dt

2

0 0

8,00v t

v tdv t dt

2 2

0

2 0 8,002

t tv v

Foi mencionado que em t0= 0 a velocidade da partcula 2 v0= 20 m/s. Logo2

2

020 m/s 8, 00

2

tv

2

2 20 4,00v t (2)

Igualando-se (1) e (2), teremos:2

12,0 3,00 20 4,00t t 24,00 12,0 17 0t t


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6

As razes dessa equao so 1,0495...s e 4,0495...s. O instante de tempo positivo corresponde soluo do problema. Portanto:

1,1 st

88.Uma pedra lanada verticalmente para cima a partir da borda do terrao de um edifcio. A

pedra atinge a altura mxima 1,60 s aps ter sido lanada. Em seguida, aps quase se chocarcom o edifcio, a pedra chega ao solo 6,00 s aps ter sido lanada. Em unidades SI: (a) com quevelocidade a pedra foi lanada? (b) Qual a altura mxima atingida pela pedra em relao aoterrao? (c) Qual a altura do edifcio?

(Pg. 39)

Soluo.

Considere o seguinte esquema da situao:

(a) Anlise do percurso entre os instantes de tempot0e t1:

1 0 1v v gt

0 10 v gt 2

0 9,8 m/s 1,60 s 15,68 m/sv

0 16 m/sv

(b) A altura mxima acima do edifcio corresponde a hH. Para determin-la, vamos novamenteanalisar o percurso entre os instantes de tempo t0e t1:

2

1 0 1

1

2y y vt gt

22 2

1

1 10 9,8 m/s 1,60 s 12,544 m

2 2

h H gt

13 mh H

y

y h1=

y2= 0

y H0=

a

( )t0= 0,00 s

(t1= 1,60 s)

( )t2= 6,00 s

Trajetria da pedra

v0

v1= 0

v2


7/29




7

(c) A altura do edifcio corresponde aH. Para determin-la, vamos analisar o percurso entre osinstantes de tempo t0e t2:

2

2 0 0 2

1

2y y v t gt

2

0 2 2

10

2

H v t gt

22 2

0 2 2

1 115,68 m/s 6,00 s 9,8 m/s 6,00 s 82,32 m

2 2H v t gt

82 mH

99.Um certo malabarista normalmente arremessa bolas verticalmente at uma altura H. A quealtura as bolas devem ser arremessadas para passarem o dobro de tempo no ar?

(Pg. 40)

Soluo.


Vamos utilizar a seguinte equao na coordenadaypara analisar o movimento de subida das bolasnas situaesAeB:

2

0

1

2y y vt gt

Na situaoA, teremos:

21

0 0 2A AH g t

21

2A AH g t (1)

Na situaoB, teremos:

221 10 0 22 2

B B AH g t g t

22B AH g t (2)

Dividindo-se (2) por (1), teremos:

Sit.A

y =0 0

y

HB

HA

Sit.B

tA

tB= t2 A


8/29




8

2

2

2

1

2

B A

AA

H g t

Hg t

4B AH H

106.Deixa-se cair uma pedra, sem velocidade inicial, do alto de um edifcio de 60 m. A quedistncia do solo est a pedra 1,2 s antes de chegar ao solo?

(Pg. 40)

Soluo.


Primeiro vamos analisar o movimento de queda da pedra do alto do edifcio (ndice 0) at o solo(ndice 2). A equao geral do movimento :

2

0 0

1

2y y v t gt

Aplicando-se os ndices corretos, teremos:

2

2 0 2

10

2y y gt

2

2

10

2

H gt

2

23, 4992 s

Ht

g

O valor de t1 igual a t2 1,2 s. Logo:

1 2,2992 st

Agora podemos analisar o movimento de queda da pedra desde o alto do edifcio at a coordenaday1:

2

0 0

1

2y y v t gt

Aplicando-se os ndices corretos, teremos:

y

y h1=

y2= 0

y H0=

a

( )t0

( = 1,2 st1 t2 )

( )t2


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9

2

1 0 1

10

2y y gt

2

1

1

2h H gt

2 2

1

1 160 m 9,8 m/s 2,2992 s 34,0954 m

2 2

h H gt

34 mh


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________________________________________________________________________________________________________Resnick, Halliday, Krane - Fsica 2 - 4

aEd. - LTC - 1996. Cap. 2 Movimento Unidimensional

10

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FSICA 1

CAPTULO 2MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL

01.Que distncia seu carro percorre, a 88 km/h, durante 1 s em que voc olha um acidente margem da estrada?

(Pg. 28)

Soluo.

Como o problema trata de um movimento que ocorre com velocidade constante, deve-se utilizar aEq. (1).

tvxx x0 (1)

A distncia procurada corresponde ao deslocamento x=x x0.0 x

x x x v t

1 m/s(88 km/h) (0,50 s) 12,222 m

3,6 km/hx

A resposta deve ser expressa com apenas um algarismo significativo:

10 mx

02.Um jogador de beisebol consegue lanar a bola com velocidade horizontal de 160 km/h, medidapor um radar porttil. Em quanto tempo a bola atingir o alvo, situado a 18,4 m?

(Pg. 28)Soluo.

Apesar do movimento da bola ser bidimensional (ao mesmo tempo em que a bola viaja at a basehorizontalmente, ela sofre ao da gravidade e cai verticalmente) s precisamos nos preocupar como seu movimento horizontal. Isto devido a esse movimento ser o responsvel pela situao expostano enunciado. O movimento horizontal da bola no est sujeito acelerao da gravidade ou aqualquer outra acelerao (exceto, claro, acelerao causada pela fora de resistncia do ar, que desprezada) e deve ser tratado como movimento com velocidade constante.

vtxx 0

0 (18,4 m)1 m/s

(160 km/h)3,6 km/h

x x xtv v

s414,0t

08.Um avio a jato pratica manobras para evitar deteco pelo radar e est 35 m acima do soloplano (veja Fig. 24). Repentinamente ele encontra uma rampa levemente inclinada de 4,3o, oque difcil de detetar. De que tempo dispe o piloto para efetuar uma correo que evite umchoque com o solo? A velocidade em relao ao ar de 1.300 km/h.


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11

(Pg. 28)

Soluo.

O avio desloca-se em movimento retilneo com velocidade constante. Considere o esquema abaixopara a resoluo do problema.

h0 x

d

v

Analisando o movimento do avio no eixox, temos:

0x x vt0 d vt

dt

v (1)

Como o valor de dno foi dado, preciso calcul-lo.tan

h

d

tan

hd

(2)

Substituindo-se (2) em (1):

o

(35 m)1,289035... s

tan 1.300km/h tan 4,3

3,6

ht

v

1,3 st

11.Calcule sua velocidade escalar mdia nos dois casos seguintes. (a) Voc caminha 72 m razode 1,2 m/s e depois corre 72 m a 3,0 m/s numa reta. (b) Voc caminha durante 1,0 min a 1,2 m/se depois corre durante 1,0 min a 3,0 m/s numa reta.

(Pg. 28)

Soluo.

(a) Precisamos lembrar que a velocidade escalar mdia a razo entre a distncia percorrida (no odeslocamento) e o intervalo de tempo decorrido no percurso.


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12

1 2 1 2

1 11 2

1 1

72 m 72 m 21, 714 m/s

1 172 m 72 m

1, 2 m/s 3,0 m/s1, 2 m/s 3,0 m/s

em

s s s sv

s st t

v v

1,7 m/semv

(b)1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

1,2 m/s 60 s 3,0 m/s 60 s 1,2 m/s 3,0 m/s

60 s 60 s 2em

s s v t v tv

t t t t

2,1 m/semv

12.Dois trens, cada um com a velocidade escalar de 34 km/h, aproximam-se um do outro na mesmalinha. Um pssaro que pode voar a 58 km/h parte de um dos trens quando eles esto distantes102 km e dirige-se diretamente ao outro. Ao alcan-lo, o pssaro retorna diretamente para o

primeiro trem e assim sucessivamente. (a) Quantas viagens o pssaro pode fazer de um trem ao

outro antes de eles se chocarem? (b) Qual a distncia total que o pssaro percorre? (Pg. 28)

Soluo.

Neste problema vamos resolver primeiro o item (b) e em seguida o item (a).

vA

vB

Trem A Trem B

d

vP

d/2 d/2

1 Encontroo

2d/34d/9

2 Encontroo

x0

(b) Como os trens viajam mesma velocidade, porm em sentidos contrrios, o choque dar-se- nacoordenada d/2. O tempo ( t) do percurso de cada trem ser igual ao tempo de vo do pssaro.Logo, para o trem A:

t

d

t

xvA

2/

Av

dt

2

Para o pssaro:

t

svp

A

Av

dvs

22

ds

Portanto, o pssaro percorre uma distncia igual separao inicial dos trens, ou seja:

102 kms

(a) Em primeiro lugar, vamos calcular a coordenadaxdo primeiro encontro (x1).1 0P P

x x v t (1)


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13

tvxx BB01 (2)

Nestas equaes,x0p= 0 ex0B= dso as posies do pssaro e do trem B no instante zero e vP= 2vBe vBso as velocidades do pssaro e do trem B. Como no momento do primeiro encontro o

pssaro e o trem B estaro na mesma coordenada (x1), podemos igualar (1) e (2).

0 0B B P Px v t x v t

tvtvd BB )2(0

Bv

dt

3 (3)

Substituindo-se (3) em (1):

1 0 0 ( 2 )3

P P B

B

dx x v v

v

3

21

dx

De maneira semelhante, pode-se demonstrar que o segundo encontro se dar na coordenada 4d/9.Como conseqncia, do primeiro para o segundo encontro o pssaro percorre uma distncia igual a2d/3 4d/9 = 2d/9, que igual a 2/3 de d/3. Tambm pode ser demonstrado que do segundo para oterceiro encontro ele percorre uma distncia igual a 2/3 de 1/3 de d/3, e assim por diante. Emresumo:

Viagem do pssaro Distncia percorrida

1 2/3 d = 2/3 d

2 2/3 . 1/3 . d = 2/3 d

3 2/3 . 1/3. 1/3 . d = 2/3 d

n 2/3 . 1/3 . . 1/3 . d = 2/3nd

A soma das distncias percorridas em cada trecho de ida e vinda do pssaro deve ser igual a d(resposta do item b):

dddddn3

2

3

2

3

2

3

232

Ou seja:

2

1

3

1

3

1

3

1

3

132 n

2

1

3

1

1

n

ii

(4)

Pode-se demonstrar que (4) somente ser verdadeira se n= (Utilize sua calculadora para verificaresta afirmao). Portanto, em teoria, o pssaro far um nmero infinito de viagens.

14.Que distncia percorre em 16 s um corredor cujo grfico velocidade-tempo o da Fig. 25?


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14

(Pg. 28)

Soluo.

Conhecendo-se a funox(t)que descreve a posioxde um objeto em qualquer instante de tempo t,pode-se calcular sua velocidade em qualquer instante a partir da derivada dex(t)em relao a t.

( )

( )

t

t

dxv

dt No caso inverso, conhecendo-se a velocidade v(t)de um objeto em qualquer instante t, pode-sedeterminar sua posioxem qualquer instante, bem como seu deslocamento, no intervalo de tempoconsiderado.

( ) ( )t tdx v dt

0 0( ) ( )

x v

t tx v

dx v dt

00 ( )

v

tv

x x v dt

De acordo com esta, o deslocamentox x0corresponde rea sob a curva do grfico v(t)=f(t). Cadaquadrado mostrado no grfico possui rea equivalente a (2 m/s) (2 s) = 4 m. Portanto,contabilizando toda a rea sob a curva mostrada no grfico, chegaremos ao seguinte resultado:

t (s) x (m)

0 2 8

2 10 64

10 12 12

12 16 16

Total 100

Portanto:

(16) (0)100 mx x

29.Para decolar, um avio a jato necessita alcanar no final da pista a velocidade de 360 km/h.Supondo que a acelerao seja constante e a pista tenha 1,8 km, qual a acelerao mnimanecessria, a partir do repouso?

(Pg. 29)

Soluo.


15/29




15

Trata-se de movimento retilneo com acelerao constante. O clculo pode ser feito por meio da Eq.(1).

xavv 2202 (1)

2

2

2 220

3

1 m/s360 km/h 0

3,6 km/h

2,7777 m/s2 2 (1,80 10 m)

v v

a x

2m/s78,2a

31.A cabea de uma cascavel pode acelerar 50 m/s2ao atacar uma vtima. Se um carro pudessefazer o mesmo, em quanto tempo ele alcanaria a velocidade escalar de 100 km/h a partir dorepouso?

(Pg. 29)

Soluo.

Trata-se, naturalmente, de movimento retilneo com acelerao constante. A velocidade inicial, v0, igual a zero. O clculo do tempo ( t) feito atravs da Eq. 1.

atvv 0 (1)

0

2

1 m/s(100 km/h) 0

3,6 km/h0,55556 s

(50 m/s )

v vt

a

s56,0t

33.Um eltron, com velocidade inicial v0= 1,5 105m/s, entra numa regio com 1,2 cm de

comprimento, onde ele eletricamente acelerado (veja Fig. 29). O eltron emerge comvelocidade de 5,8 106m/s. Qual a sua acelerao, suposta constante? (Tal processo ocorre nocanho de eltrons de um tubo de raios catdicos, utilizado em receptores de televiso eterminais de vdeo.)

(Pg. 30)

Soluo.

Trata-se de movimento retilneo com acelerao constante. O clculo pode ser feito atravs da Eq.

(1).


16/29




16

xavv 2202 (1)

2 2 6 2 5 215 20

-2

(5,8 10 m/s) -(1,5 10 m/s)1,4007 10 m/s

2 2(1,2 10 m)

v va

x

15 21,4 10 m/sa

34.A maior velocidade em terra j registrada foi de 1.020 km/h, alcanado pelo coronel John P.Stapp em 19 de maro de 1954, tripulando um assento jato-propulsado. Ele e o veculo foram

parados em 1,4 s; veja a Fig. 30. Que acelerao ele experimentou? Exprima sua resposta emtermos da acelerao da gravidadeg= 9,8 m/s2. (Note que o corpo do militar atua como umacelermetro, no como um velocmetro.)

(Pg. 30)

Soluo.Trata-se de movimento retilneo com acelerao (negativa ou desacelerao) constante. O clculo

pode ser feito atravs da Eq. (1).

atvv 0 (1)

20

1 m/s0 (1.020 km/h)

3,6 km/h202,38095 m/s

(1,4 s)

v va

t

Para obter a acelerao em termos de unidadesg, basta dividir a acelerao obtida pelo valor daacelerao da gravidade.

2

2

( 202,38095 m/s )20,6511

(9,8 m/s )

a

g

ga 21

41.Um trem de metr acelera a partir do repouso a 1,20 m/s 2em uma estao para percorrer aprimeira metade da distncia at a estao seguinte e depois desacelera a 1,20 m/s2na segundametade da distncia de 1,10 km entre as estaes. Determine: (a) o tempo de viagem entre asestaes e (b) a velocidade escalar mxima do trem.

(Pg. 30)

Soluo.Considere o esquema abaixo para auxiliar a resoluo:


17/29


18/29




18

0 Cx x v t

Cx v t (1)

O movimento do automvel ocorre com acelerao constante, partindo do repouso emx0= 0.

2

0 0

1

2x x v t at

2

0 0

1

2Cx x v t at

2102

d at

21

2d at (2)

Substituindo-se o valor de tde (1) em (2):2

2

2

1

2 2c c

d a dd a

v v

2 2

2

2 2(9,5 m/s)82,045045... m

(2,2 m/s )

cvda

82 md

(a) A velocidade com que o automvel alcana o caminho (vA) vale:2 2

0 02 ( )v v a x x

2 2

0 02 ( )A Av v a x x

2 0 2A

v ad

22 2(2,2 m/s )(82,04545... m) 18,999... m/sAv ad

19 m/sA

v

49.No manual de motorista diz que um automvel com bons freios e movendo-se a 80 km/h podeparar na distncia de 56 m. Para a velocidade de 48 km/h a distncia correspondente 24m.Suponha que sejam iguais, nas duas velocidades, tanto o tempo de reao do motorista,durante o qual a acelerao nula, como a acelerao quando aplicados os freios. Calcule (a) otempo de reao do motorista e (b) a acelerao.

(Pg. 31)Soluo.

Considere o seguinte esquema para a resoluo do problema:


19/29




19

x =0 0 x

Situao A

Situao BTempo dereao (B)

Tempo dereao (A)

Frenagem (A)

Frenagem (B)

x1B x1A x2B x2A

v0A v1A= v0A v =2A 0

v0B v = v1B 0B v =2B 0

(a) Vamos inicialmente analisar a situao A. Durante o tempo de reao, o carro desloca-se comvelocidade constante.

0x x vt

1 0 0A A A Rx x v t Mas:

00

Ax

Logo:

1 0A A Rx v t (1)

Anlise do movimento de frenagem na situao A.2 2

0 02 ( )v v a x x

2 2

2 1 2 12 ( )

A A A Av v a x x

Mas:

1 0A Av v

Logo:2

0 2 10 2 ( )A A Av a x x (2)

Substituindo-se (1) em (2):2

2 0 02 ( )A A R Aa x v t v (3)

A anlise da situao B atravs do caminho seguido pelas Eqs. (1) a (3) conduz ao seguinteresultado:

22 0 02 ( )B B R Ba x v t v (4)

Dividindo-se (3) por (4):2

2 0 0

2

2 0 0

A A R A

B B R B

x v t v

x v t v

Logo:2 2

0 2 0 2

0 0 0 0( )

A B B AR

A B A B

v x v xt

v v v v (5)

0,72 sRt

(b) Substituindo-se (5) em (3):


20/29


21/29




21

2

2 2

2[(100 m) 0)20,40816 s 4,51753 s

(9,81 m/s )t

O clculo do tempo de queday1ay2(t12) feito por diferena:

s32315,1)s19438,3()s51753,4(1212 ttt

s3,112t

59.Enquanto pensava em Isaac Newton, uma pessoa em p sobre uma passarela inadvertidamentedeixa cair uma ma por cima do parapeito justamente quando a frente de um caminho passaexatamente por baixo dele. O veculo move-se a 55 km/h e tem 12 m de comprimento. A quealtura, acima do caminho, est o parapeito, se a ma passa rente traseira do caminho?

(Pg. 31)

Soluo.


A soluo deste problema consiste em analisar as equaes do movimento horizontal do caminho evertical da ma e combin-las, pois so sincronizadas no tempo. Movimento do caminhoemx:

0 xx x v t

0 Cl v t

C

lt

v (1)

Movimento da ma emy:

2

0 0

1

2y y v t at

210 0 ( )2

h g t

2

1

2h gt (2)

Inicial

Final

y

l

v1

x

x0= 0 x l1=

y h0=

y1= 0

v0= 0

vC

vC

h


22/29




22

Substituindo-se (1) em (2):2

2

212 m1 1

9,81 m/s 3,026 mm/s2 2

55 km/h 3,6km/h

C

lh g

v

3,0 mh

61.Um jogador de basquete, no momento de enterrar a bola, salta 76 cm verticalmente. Quetempo passa o jogador (a) nos 15 cm mais altos do pulo e (b) nos 15 cm mais baixos? Issoexplica por que esses jogadores parecem suspensos no ar no topo de seus pulos.

(Pg. 32)

Soluo.

Considere o seguinte esquema para a resoluo do problema.

Como a acelerao a mesma na subida e na descida, temos que:

AB FGt t 15 2B ABt t 15

2

BAB

tt

CD DE t t 15 2A CDt t 15

2

ACD

tt

onde tAB o tempo para ir de do ponto A ao ponto B e t15Ae t15Bso os tempos em que o jogadorpassa nos 15 cm mais altos e mais baixos, respectivamente.

A velocidade inicial do jogador (vA) pode ser calculada pela anlise do movimento no trecho AD.2 2

0 02 ( )v v a y y 2 2 2( )( )D A D Av v g y y 1)

20 2 ( 0)A D

v g y

22 2(9,81 m/s )(0, 76 m) 3,8615022... m/sA Dv gy

(a) Anlise do movimento no trecho CD.

2

0

1

2y y vt at

21 ( )2

D C D CD CDy y v t g t

2

151(0,15 m) 0

2 2

At

g

yD

y = yA G= 0

a = -g

y

15 cm mais

altos

15 cm mais

baixosA

B

C

D

E

F

G

y yC E=

y yB F=


23/29




23

15 2

8(0,15 m)0,3497... s

(9,81 m/s )At

15 0,35 sAt

(b) Anlise do movimento no trecho AB.

20 0 1

2y y v t at

21 ( )2

B A A AB ABy y v t g t

2

15 151(0,15 m)2 2 2

B BA

t tv g

2

15 15

(9,81 m/s ) (3,8615022... m/s)(0,15 m) 0

8 2B Bt t (1)

A Eq. (1) uma equao do segundo grau cujas razes so:

15

15

' 1,492560... s

'' 0,081955... s

B

B

t

t

Como t15Bdeve ser menor do que t15A:

15 0,082 sBt

64.O laboratrio de pesquisa da gravidade nula do Centro de Pesquisa Lewis da NASA (EUA) temuma torre de queda de 145 m. Trata-se de um dispositivo vertical onde se fez vcuo e que, entreoutras possibilidades, permite estudar a queda de uma esfera com dimetro de 1 m, que contm

equipamentos. (a) Qual o tempo de queda do equipamento? Qual sua velocidade ao p da torre?(c) Ao p da torre a esfera tem uma acelerao mdia de 25 gquando sua velocidade reduzidaa zero. Que distncia ela percorre at parar?

(Pg. 32)

Soluo.

(a) Considere o seguinte esquema da situao:

Acel.

Desacel.y

2

y0= 0

y1= 145 m

g

y


24/29




24

Trata-se de movimento retilneo (vertical) com acelerao constante. O clculo do tempo de quedalivre pode ser feito atravs da Eq. (1). De acordo com o esquema, a acelerao da gravidade tem omesmo sentido do referencial adotado e, portanto, possui sinal positivo.

2

10012

1tatvyy yy (1)

Como v0y= 0:

1 01

2( )

y

y yt

a

1 01

2( )y yt

g

1 2

2[(145 m) 0)5, 43706 s

(9,81 m/s )t

s44,51t

(b) O clculo da velocidade de chegada da esfera base da torre tambm direto.

101 tavv yyy

2

1 0 (9,81 m/s )(5,43706 s) 53,337604 m/syv

m/s3,531yv

(c) A desacelerao ocorre entre as posiesy1ey2.

)(2 12

1

2

2 yyavv yyyy

2 2 2 2 2 22 1 2 1

2

0 (53,337604 m/s)5,8 m

2 2 25 2 (25 9,81 m/s )

y y y y

y

v v v vy

a g

5,8 my

Obs.: O dimetro da esfera no tem utilidade na resoluo dos itens pedidos. Ele s foi dado parailustrar a situao.

70.Um balo est subindo a 12,4 m/s altura de 81,3 m acima do solo quando larga um pacote. (a)Qual a velocidade do pacote ao atingir o solo? (b) Quanto tempo ele leva para chegar ao solo?

(Pg. 32)

Soluo.

O balo desloca-se em movimento retilneo para cima, com velocidade constante. Considere oesquema abaixo para a resoluo do problema. Como o balo est em movimento, a velocidadeinicial do pacote a mesma do balo.


25/29




25

y = h0

y = 0

a = -g

v =0 vBy

(a) A velocidade (v) do pacote ao atingir o cho pode ser calculada da seguinte forma:

2 2

0 02 ( )v v a y y

2 2 2( )(0 )B

v v g h

2 2 2B

v v gh

2 2 2(12,4 m/s) 2(9,81 m/s )(81,3 m)v

41,819445... mv

41,8 mv

(a) O tempo (t) gasto para o pacote atingir o cho pode ser calculado da seguinte forma:

0 0

1( )

2y y v v t

10 ( )

2 Bh v v t

2

B

htv v

2(81,3 m)5,5269567... s

(12,4 m/s) (41,819445... m/s)t

5,53 st

73.No Laboratrio Nacional de Fsica da Inglaterra (o equivalente ao nosso Instituto Nacional dePesos e Medidas) foi realizada uma medio de gatirando verticalmente para cima uma bola devidro em um tubo sem ar e deixando-a retornar. A Fig. 35 o grfico da altura da bola em

funo do tempo. Seja tLo intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas da bola pelonvel inferior, tUo intervalo de tempo entre duas passagens consecutivas pelo nvel superior eHa distncia entre os dois nveis. Prove que

2 2

8

L U

Hg

t t.


26/29




26

(Pg. 32)

Soluo.

Considere o seguinte esquema para a resoluo do problema.

A

B

C

yA

0

y

yByC

Movimento do ponto A ao ponto C dado por:

2

0

1

2y y vt at

21

( )2C A Cy y v t g t No ponto C a velocidade da bola (vC) zero.

21

02 2

LC A

ty y g

21

8C A Ly y g t (1)

De maneira idntica, o movimento do ponto B ao ponto C dado por:

21

8C B U

y y g t (2)

Subtraindo-se (2) de (1):

2 21( ) ( ) ( )8

C A C B B A L U y y y y y y H g t t

Portanto:

2 2

8

L U

Hg

t t

74.Uma bola de ao de rolamento largada do teto de um edifcio com velocidade inicial nula. Um

observador em p diante de uma janela com 120 cm de altura nota que a bola gasta 0,125 s parair do topo da janela ao parapeito. A bola continua a cair, chocando-se elasticamente com uma


27/29




27

calada horizontal e reaparece no parapeito da janela 2,0 s aps passar por ela ao descer. Qual aaltura do edifcio? (Aps uma coliso elstica, a velocidade escalar da bola em dado ponto amesma ao subir e ao descer.)

(Pg. 33)

Soluo.


Vamos analisar o movimento de queda livre da esfera entre os pontos 0 (topo do edifcio) e 2(parapeito da janela):

2 2

0 0

2v v a y y

2 2

2 0 22v v g y H

2

2 20 2v g y H

2

22

2

vH y

g (1)

Agora vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 1 (topo da janela) e 2 (parapeito dajanela):

2

0

1

2

y y vt at

2

2 1 2 2 2

1

2y y v t g t

2

2 2 2

1

2h v t g t

2 2 2

2

1,20 m1 1 m9,81 0,125 s

2 0,125 s 2 s

hv g t

t

2 10,213125 m/sv

y1

v0= 0

y

y2= y4a j= g

y = H0

H

h

y =3 0

v1

v2

v3

v3

v4= v3t1

t3

t2


28/29




28

Finalmente, vamos analisar o movimento da esfera entre os pontos 2 (parapeito da janela) e 3 (solo).Note que o tempo requerido para a esfera ir do parapeito ao solo e retornar ao parapeito de 2,0 s.Logo, o tempo para ir do parapeito ao solo de t3= 1,0 s.

2

0 0

1

2y y v t at

23 2 2 3 31

2y y v t g t

2

2 2 3 3

10

2y v t g t

2 22

2 3 2 3 2

1 1 m9,81 1, 0 s 10, 213125 m/s 1, 0 s

2 2 sy g t v t

2 15,118125 my

Substituindo-se os valores de v2ey2em (1), teremos a resposta do problema:2

2

10,213125 m/s15,118125 m 20, 434532 m

2 9,81 m/sH

20 mH

75.Um cachorro avista um pote de flores passar subindo e a seguir descendo por uma janela com1,1 m de altura. O tempo total durante o qual o pote visto de 0,74 s. Determine a alturaalcanada pelo pote acima do topo da janela.

(Pg. 33)

Soluo.

O tempo no qual o vaso visto subindo (tS) igual ao tempo no qual ele visto descendo ( tD).Portanto:

2S D St t t t

0,34 s2

S

tt

Considere o esquema abaixo para a resoluo do problema.

y1

y =0 0

y

y2

a = -g

Clculo da velocidade do vaso na coordenaday1(v1):


29/29


2

0

1

2y y vt at

2

1 0 1

1( )

2S S

y y v t g t

2

1 0

1

1

2 S

S

y y gt

vt

2 2

1

1(1,1 m) 0 (9,81 m/s )(0,37 s)

2

(0,37 s)v

1 1,15812297... m/sv

Clculo da distncia acima da janela atingida pelo vaso (y2 y1):2 2

0 02 ( )v v a y y

2 2

2 1 2 12( )( )v v g y y 2 2

1 22 1

2

v vy y

g

2

2 1 2

(1,15812297... m/s) 00,068361... m

2(9,81 m/s )y y

2 1 6,8 cmy y

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