EXTENSIVO APOSTILA 03 EXERCCIOS DE SALA MATEMTICA A

AULA 07

01)

f(2x) = 2 (2x) + 2 f(2x) = 4x + 2 2 f(x)

g(2x) = 2 (2x) g(2x) = 4x = 2 g(x)

h(2x) = 2 (2x) 2 h(2x) = 4x 2 2 h(x)

02)

Se uma funo linear, pode-se escrever como f(x) = a x.

Se passa pelo ponto P(2, 6), ento, f(2) = 6. Assim:

f(2) = 6

a (2) = 6

a = 3

f(x) = 3x

03)

Grfico uma reta, ou seja, uma funo afim. Assim, f(x) = ax + b.

(1, 2) f(1) = 2 a (1) + b = 2 a + b = 2

(5, 3) f(5) = 3 a 5 + b = 3 5a + b = 3

Resolve-se ento o sistema:

a b 2

5a b 3

16a 1 a

6

1 13b 2 b

6 6

Tem-se ento que a funo f(x) fica 1 13

f(x) x6 6

04)

1 1

t 1 a t a24 21

21t 21 24t

t 7 anos

AULA 08

01)

Para uma funo quadrtica tem-se:

1

2

bx

2af(x) 0

bx

2a

Sabe-se que a abscissa do vrtice (xv) a mdia aritmtica entre as razes, assim:

1 2v

v

v

v

v

v

x xx

2

b b

2a 2ax

2

b b

2ax2

2b

2ax2

b

ax2

bx

2a

Para o clculo da ordenada do vrtice (yv), faz-se:

v v

2

v v v

2

v

2 2

v 2

2 2 2

v 2

2 2

v 2

2

v

v

y f(x )

y a x b x c

b by a b c

2a 2a

ab by c

2a4a

ab 2ab 4a cy

4a

a b 2b 4acy

4a

b 4acy

4a

y4a

02)

1

2

1 2v

v

v

v

v

v

bx

2af(x) 0

bx

2a

x xx

2

b b

2a 2ax

2

b b

2ax2

2b

2ax2

b

ax2

bx

2a

03)

f(x) uma funo quadrtica com concavidade para baixo, ou seja, o conjunto

imagem definido por Im (f) : ]-,yv].

Clculo do yv:

v

2

v

v

y4a

4 4 2 0y

4 2

y 2

Assim, tem-se que Im(f) : ]-,2]

04)

S(a) = a (10 a)

S(a) = 10a a2

rea Mxima acontecer no valor de a correspondente ao vrtice da parbola

definida por S(a), ou seja:

10

a2 1

a 5

As dimenses do retngulo so, ento: 5 cm x 5 cm.

AULA 09

01)

1 2

2

2 1

2

2

c.q.d

1 2

2

1 2 1 2

f x a x x x x

f x a. x xx xx x x

f x a. x x x x x x

b cf(x) a x x

a a

f(x) ax bx c

02)

As razes so 2 e 1 e o grfico passa pelo ponto (0, 4).

Pela forma fatorada, tem-se:

f(x) = a (x x1) (x x2)

f(x)=a (x + 2) (x 1)

Sendo f(0) = 4, tem-se:

a (0 + 2) (0 1) = 4

a = 2

Conclui-se ento que a funo f(x) :

f(x) = 2 (x + 2) (x 1)

f(x) = 2x2 + 2x 4

03)

Considerando o Novo Eixo, a parbola representa uma funo com razes 20 e

100 e que passa pelo ponto (60, 8). Assim:

C(v) = a (v 20) (v 100)

C(60) =a (60 20) (60 100)

8 = 1 600 a

a = 0,005

Assim,

C(v) = 0,005 (v 20) (v 100)

Para v = 120, tem-se:

C(120) = 0,005 (120 20) (120 100)

C(120) = 10

O valor de C solicitado no enunciado precisa ser calculado em relao ao eixo

original, ento:

C = 16 + C (120)

C = 16 + 10

C = 26

EXTENSIVO APOSTILA 03 EXERCCIOS DE SALA MATEMTICA B

AULA 07

01)

1S 4 6 sen30

2

1S 12

2

S 6 u.a

02)

a)

2 2 2

2

2

d 5 8 2 5 8 cos60

1d 25 64 80

2

d 89 40

d 7 cm

b)

2

1S 2 5 8 sen60

2

3S 40

2

S 20 3 cm

03)

Os lados so:

a = 3 m

b = 5 m

c = 6 m

a)

2

a b c 3 5 6p p p 7 m

2 2

S p p a p b p c

S 7 7 3 7 5 7 6

S 56

S 2 14 m

b)

S p r

2 14 7 r

2 14r m

7

c)

a b cS

4 R

3 5 62 14

4 R

45 14R

4 14 14

45 14R m

56

AULA 08

01)

Do tringulo PQS, tem-se:

3sen60

QS

3 3QS 2

2 QS

kcos60

2

1 k

2 2

k 1

Do tringulo PQR, tem-se:

2

2 2QR 12 3

QR 147

QR 7 3

Do tringulo RSQ, tem-se:

1 12 11 sen120 2 7 3 sen

2 2

311 7 3 sen

2

11sen

14

02)

a)

Pela Lei dos Cossenos, tem-se:

2 2 2

2

2

x 30 50 2 30 50 cos120

1x 900 2 500 3 000

2

x 4 900

x 70 m

Pelo Teorema de Tales, tem-se:

50 35

y 49m70 y

b)

Pela Semelhana de Tringulos, tem-se:

R 50 y

30 50

R 99 297R m

30 50 5

Clculo do permetro:

PER 2R R3

(6 ) 297PER

3 5

99PER (6 )m

5

03)

c 1 + b 1 = 10

b + c = 12 cm

S = p r

S = (10 + b + c) 1

S = (10 + 12) 1

S = 22 cm2

AULA 09

01)

Os valores sero assim distribudos:

kA

2

kB

3

kC

4

kD

3

kE

6

Pelo valor total, obtm-se:

A B C D E 3 800

k k k k k3 800

2 3 4 3 6

6k 4k 3k 4k 2k 3 800 12

19k 45 600

k 2 400

Conclui-se ento que cada um vai receber:

kA A 1 200 reais

2

kB B 800 reais

3

kC C 600 reais

4

kD D 800 reais

3

kE E 400 reais

6

A diferena entre o maior e o menor valor 800 reais.

02)

I FALSO

x y z = (2k 2) 2k (2k + 2)

x y z = 2k (4k2 4)

x y z = 8k3 8k

x y z = 8(k3 k)

DIVISVEL POR 8

II FALSO

x + y + z = 2k 2 + 2k + 2k + 2

x + y + z = 6k

MLTIPLO DE 6

III VERDADEIRO

x + z = 2y

2k 2 + 2k + 2 = 2 2k

4k = 4k

03)

T = x k + (x + 2) k

T = (x + x +2) k

Tk

2x 2

A parte que caber ao mais velho, ser igual a x 2

2x 2

.

Quanto maior o valor de x, maior o denominador, MENOR a parte do terreno que

caber ao filho mais velho e sempre maior que 1/2.

04)

d + e + f = 0,32 250 d + e + f = 80

0,40 80 = d d = 32

0,20 250 = c + f c + f = 50

f = 10 c = 40

32 + e + 10 = 80 e = 38

b = e b = 38

a + b + c = 0,68 250

a + 38 + 40 = 170

a = 92

EXTENSIVO APOSTILA 03 EXERCCIOS DE SALA MATEMTICA C

AULA 08

01)

a)

Multiplicou a 1 linha por 2

Multiplicou a 3 linha por 1

Multiplicou a 3 coluna por 3

DET = 2 (1) 3 detA

DET = 6 5

DET = 30

b)

det(3A) = 33 detA

det(3A) = 27 5

det(3A) = 135

c)

Matriz Transposta

DET = detA

DET = 5

d)

Combinao Linear entre as 1 e 3 linhas

DET = detA

DET = 5

e)

Troca de posio entre as 2 e 3 colunas

DET = detA

DET = 5

EXTENSIVO APOSTILA 03 EXERCCIOS DE SALA MATEMTICA D

AULA 07

01)

i

i

i

180(n 2)a

n

180(10 2)a

10

a 144

02)

2

2

d 3n

n(n 3)3n

2

n 3n 6n

n 0n 9n 0

n 9 lados

03)

Considerando que o ngulo interno de cada pentgono regular x, tem-se:

180(5 2)x

5

x 108

Da figura, tem-se:

3x + = 360

3 108 + = 360

= 36

04)

iS 180(n 2)

2 160 180(n 2)

12 n 2

n 14

n (n 3)d

2

14 14 3d

2

d 77

Para um polgono com quantidade PAR de lados, o nmero de diagonais que passa

pelo centro igual metade do nmero de lados. Assim:

nD d

2

14D 77

2

D 70

AULA 08

01)

82 ..... 62 + 52

64 ..... 36 + 25

64 < 61

ACUTNGULO

02)

8 5 < x < 8 + 5

3 < x < 13

Como x um valor inteiro, tem-se:

x : {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Ao todo so 9 possibilidades de tringulos.

03)

Pelo Teorema da Bissetriz Interna, tem-se:

8 12

x 15 x

12x 120 8x

20x 120

x 6 cm

04)

Pela figura, tem-se:

(m + n + p + q + r) a soma dos ngulos internos de um pentgono;

m, n, p, q, r e s so tambm ngulos internos de cada tringulo (ngulo oposto

pelo vrtice);

Ento:

180(5 2)

m a j 180

n h i 180

p f g 180

q d e 180

r b c 180

(m n p q r) (a b c d e f g h i) 900

540 (a b c d e f g h i) 900

a b c d e f g h i 360

AULA 09

01)

Por semelhana de tringulos, tem-se:

6 x

12 30 x

12x 180 6x

x 10

rea 10 12

rea 120

02)

40 30

30 x

40x 900

x 22,5 cm

03)

4 d 19

2 d 2

4d 8 2d 38

2d 30

d 15 m

04)

b h

2k h k

2kh bh bk

2kh bk bh

k(2h b) bh

bhk

2h b

EXTENSIVO APOSTILA 03 EXERCCIOS DE SALA MATEMTICA E

AULA 07

01)

12 = sen2x + cos2x

sen2x + cos2x = 1

02)

03)

2 2

2

2

2

2 o

sen x cos x 1

3sen x 1

5

9sen x 1

25

4senx

16 45sen x x 2 Quadrante senx

25 54senx

5

4senx 45tgx tgx tgx

3cosx 3

5

1 1 5sec x sec x sec x

3cosx 3

5

1 1 5cossec x cossec x cossec x

4senx 4

5

1cot gx

tgx

1 3cot gx cot gx

4 4

3

04)

cos1 < sen1 < tg1

AULA 08

01)

I

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

c.q.d

sen x cos x 1 cos x

sen x cos x 1

cos x cos x cos x

tg x 1 sec x

sec x 1 tg x

II

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

c.q.d

sen x cos x 1 sen x

sen x cos x 1

sen x sen x sen x

1 cotg x cossec x

cossec x 1 cotg x

02)

2

2

2

2

2

x 2tg(a)x 1 0

( 2tga) 2tga 4 1 ( 1)x

2 1

2tga 4tg a 4x

2

2tga 4 tg a 1x

2

2tga 2 sec ax

2

2tga 2sec ax

2

2 tga sec a x tga sec ax

2 x tga sec a

03)

2

2 2

2 2 2

2

2

sec x tgx sec x tgxy

1 sen x cot gx cossec x cot gx cossec x

sec x tg xy

cos x cot g x cossec x

1y

cos x 1

y sec x

04)

Utilizando o Produto Notvel a3 + b3 = (a + b) (a2 ab + b2), tem-se:

3 3

2 2

sen x cos xE

senx cosx

(senx cosx) (sen x senx cosx cos x)E

senx cosx

E 1 senx cosx

AULA 09

01)

y = sen30 + sen150 sen210 sen330

y = sen30 + sen30 ( sen30) ( sen30)

y = 4 sen30

y = 4 0,5

y = 2

02)

y = cos60 + cos120 tg210 cotg240

y = cos60 + ( cos60) tg30 cotg60

y tg30 cot g60

3 1y

3 3

3 3y

3 3

2 3y

3

03)

A = 180 28 A = 152

B = 180 + 28 B = 208

C = 360 28 C = 332

cosA = cos28 = 0,8829

cosB = cos28 = 0,8829

cosC = cos28 = 0,8829

04)

4 4tg tg

5 5

4tg tg

5 5