EXTENSIVO – APOSTILA 03 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA A

AULA 07

01)

f(2x) = 2 ∙ (2x) + 2 f(2x) = 4x + 2 2 · f(x)

g(2x) = 2 ∙ (2x) g(2x) = 4x = 2 ∙ g(x)

h(2x) = 2 ∙ (2x) – 2 h(2x) = 4x – 2 2 · h(x)

02)

Se é uma função linear, pode-se escrever como f(x) = a · x.

Se passa pelo ponto P(–2, 6), então, f(–2) = 6. Assim:

f(–2) = 6

a · (–2) = 6

a = –3

f(x) = –3x

03)

Gráfico é uma reta, ou seja, é uma função afim. Assim, f(x) = ax + b.

(–1, 2) f(–1) = 2 a · (–1) + b = 2 –a + b = 2

(5, 3) f(5) = 3 a ∙ 5 + b = 3 5a + b = 3

Resolve-se então o sistema:

a b 2

5a b 3

16a 1 a

6

1 13b 2 b

6 6

Tem-se então que a função f(x) fica 1 13

f(x) x6 6

04)

1 1

t 1 a t a24 21

21t 21 24t

t 7 anos

AULA 08

01)

Para uma função quadrática tem-se:

1

2

bx

2af(x) 0

bx

2a

Sabe-se que a abscissa do vértice (xv) é a média aritmética entre as raízes, assim:

1 2v

v

v

v

v

v

x xx

2

b b

2a 2ax

2

b b

2ax2

2b

2ax2

b

ax2

bx

2a

Para o cálculo da ordenada do vértice (yv), faz-se:

v v

2

v v v

2

v

2 2

v 2

2 2 2

v 2

2 2

v 2

2

v

v

y f(x )

y a x b x c

b by a b c

2a 2a

ab by c

2a4a

ab 2ab 4a cy

4a

a b 2b 4acy

4a

b 4acy

4a

y4a

02)

1

2

1 2v

v

v

v

v

v

bx

2af(x) 0

bx

2a

x xx

2

b b

2a 2ax

2

b b

2ax2

2b

2ax2

b

ax2

bx

2a

03)

f(x) é uma função quadrática com concavidade para baixo, ou seja, o conjunto

imagem é definido por Im (f) : ]-,yv].

Cálculo do yv:

v

2

v

v

y4a

4 4 2 0y

4 2

y 2

Assim, tem-se que Im(f) : ]-,2]

04)

S(a) = a ∙ (10 – a)

S(a) = 10a – a2

Área Máxima acontecerá no valor de “a” correspondente ao vértice da parábola

definida por S(a), ou seja:

10

a2 1

a 5

As dimensões do retângulo são, então: 5 cm x 5 cm.

AULA 09

01)

1 2

2

2 1

2

2

c.q.d

1 2

2

1 2 1 2

f x a x – x x – x

f x a. x – xx – xx x x

f x a. x – x x x x x

b cf(x) a x x

a a

f(x) ax bx c

02)

As raízes são –2 e 1 e o gráfico passa pelo ponto (0, –4).

Pela forma fatorada, tem-se:

f(x) = a · (x – x1) · (x – x2)

f(x)=a ∙ (x + 2) · (x – 1)

Sendo f(0) = –4, tem-se:

a ∙ (0 + 2) ∙ (0 – 1) = –4

a = 2

Conclui-se então que a função f(x) é:

f(x) = 2 ∙ (x + 2) ∙ (x – 1)

f(x) = 2x2 + 2x – 4

03)

Considerando o “Novo Eixo”, a parábola representa uma função com raízes 20 e

100 e que passa pelo ponto (60, –8). Assim:

C(v) = a ∙ (v – 20) ∙ (v – 100)

C(60) =a ∙ (60 – 20) ∙ (60 – 100)

–8 = –1 600 ∙ a

a = 0,005

Assim,

C(v) = 0,005 · (v – 20) ∙ (v – 100)

Para v = 120, tem-se:

C(120) = 0,005 ∙ (120 – 20) ∙ (120 – 100)

C(120) = 10

O valor de C solicitado no enunciado precisa ser calculado em relação ao eixo

original, então:

C = 16 + C · (120)

C = 16 + 10

C = 26

EXTENSIVO – APOSTILA 03 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA B

AULA 07

01)

1S 4 6 sen30º

2

1S 12

2

S 6 u.a

02)

a)

2 2 2

2

2

d 5 8 2 5 8 cos60º

1d 25 64 80

2

d 89 40

d 7 cm

b)

2

1S 2 5 8 sen60º

2

3S 40

2

S 20 3 cm

03)

Os lados são:

a = 3 m

b = 5 m

c = 6 m

a)

2

a b c 3 5 6p p p 7 m

2 2

S p p a p b p c

S 7 7 3 7 5 7 6

S 56

S 2 14 m

b)

S p r

2 14 7 r

2 14r m

7

c)

a b cS

4 R

3 5 62 14

4 R

45 14R

4 14 14

45 14R m

56

AULA 08

01)

Do triângulo PQS, tem-se:

3sen60º

QS

3 3QS 2

2 QS

kcos60º

2

1 k

2 2

k 1

Do triângulo PQR, tem-se:

2

2 2QR 12 3

QR 147

QR 7 3

Do triângulo RSQ, tem-se:

1 12 11 sen120º 2 7 3 sen

2 2

311 7 3 sen

2

11sen

14

02)

a)

Pela Lei dos Cossenos, tem-se:

2 2 2

2

2

x 30 50 2 30 50 cos120º

1x 900 2 500 3 000

2

x 4 900

x 70 m

Pelo Teorema de Tales, tem-se:

50 35

y 49m70 y

b)

Pela Semelhança de Triângulos, tem-se:

R 50 y

30 50

R 99 297R m

30 50 5

Cálculo do perímetro:

PER 2R R3

(6 ) 297PER

3 5

99PER (6 )m

5

03)

c – 1 + b – 1 = 10

b + c = 12 cm

S = p ∙ r

S = (10 + b + c) ∙ 1

S = (10 + 12) ∙ 1

S = 22 cm2

AULA 09

01)

Os valores serão assim distribuídos:

kA

2

kB

3

kC

4

kD

3

kE

6

Pelo valor total, obtém-se:

A B C D E 3 800

k k k k k3 800

2 3 4 3 6

6k 4k 3k 4k 2k 3 800 12

19k 45 600

k 2 400

Conclui-se então que cada um vai receber:

kA A 1 200 reais

2

kB B 800 reais

3

kC C 600 reais

4

kD D 800 reais

3

kE E 400 reais

6

A diferença entre o maior e o menor valor é 800 reais.

02)

I – FALSO

x · y · z = (2k – 2) ∙ 2k ∙ (2k + 2)

x ∙ y ∙ z = 2k ∙ (4k2 – 4)

x ∙ y ∙ z = 8k3 – 8k

x ∙ y ∙ z = 8(k3 – k)

DIVISÍVEL POR 8

II – FALSO

x + y + z = 2k – 2 + 2k + 2k + 2

x + y + z = 6k

MÚLTIPLO DE 6

III – VERDADEIRO

x + z = 2y

2k – 2 + 2k + 2 = 2 ∙ 2k

4k = 4k

03)

T = x ∙ k + (x + 2) ∙ k

T = (x + x +2) ∙ k

Tk

2x 2

A parte que caberá ao mais velho, será igual a x 2

2x 2

.

Quanto maior o valor de x, maior o denominador, MENOR a parte do terreno que

caberá ao filho mais velho e sempre maior que 1/2.

04)

d + e + f = 0,32 ∙ 250 d + e + f = 80

0,40 ∙ 80 = d d = 32

0,20 ∙ 250 = c + f c + f = 50

f = 10 c = 40

32 + e + 10 = 80 e = 38

b = e b = 38

a + b + c = 0,68 ∙ 250

a + 38 + 40 = 170

a = 92

EXTENSIVO – APOSTILA 03 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA C

AULA 08

01)

a)

Multiplicou a 1ª linha por 2

Multiplicou a 3ª linha por –1

Multiplicou a 3ª coluna por 3

DET = 2 ∙ (–1) ∙ 3 ∙ detA

DET = –6 ∙ 5

DET = –30

b)

det(3A) = 33 ∙ detA

det(3A) = 27 ∙ 5

det(3A) = 135

c)

Matriz Transposta

DET = detA

DET = 5

d)

Combinação Linear entre as 1ª e 3ª linhas

DET = detA

DET = 5

e)

Troca de posição entre as 2ª e 3ª colunas

DET = – detA

DET = –5

EXTENSIVO – APOSTILA 03 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA D

AULA 07

01)

i

i

i

180º(n 2)a

n

180º(10 2)a

10

a 144º

02)

2

2

d 3n

n(n 3)3n

2

n 3n 6n

n 0n 9n 0

n 9 lados

03)

Considerando que o ângulo interno de cada pentágono regular é “x”, tem-se:

180º(5 2)x

5

x 108º

Da figura, tem-se:

3x + = 360º

3 ∙ 108º + = 360º

= 36º

04)

iS 180º(n 2)

2 160º 180º(n 2)

12 n 2

n 14

n (n 3)d

2

14 14 3d

2

d 77

Para um polígono com quantidade PAR de lados, o número de diagonais que passa

pelo centro é igual à metade do número de lados. Assim:

nD d

2

14D 77

2

D 70

AULA 08

01)

82 ..... 62 + 52

64 ..... 36 + 25

64 < 61

ACUTÂNGULO

02)

8 – 5 < x < 8 + 5

3 < x < 13

Como “x” é um valor inteiro, tem-se:

x : {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Ao todo são 9 possibilidades de triângulos.

03)

Pelo Teorema da Bissetriz Interna, tem-se:

8 12

x 15 x

12x 120 8x

20x 120

x 6 cm

04)

Pela figura, tem-se:

(m + n + p + q + r) é a soma dos ângulos internos de um pentágono;

m, n, p, q, r e s são também ângulos internos de cada triângulo (ângulo oposto

pelo vértice);

Então:

180º(5 2)

m a j 180º

n h i 180º

p f g 180º

q d e 180º

r b c 180º

(m n p q r) (a b c d e f g h i) 900º

540º (a b c d e f g h i) 900º

a b c d e f g h i 360º

AULA 09

01)

Por semelhança de triângulos, tem-se:

6 x

12 30 x

12x 180 6x

x 10

Área 10 12

Área 120

02)

40 30

30 x

40x 900

x 22,5 cm

03)

4 d 19

2 d 2

4d 8 2d 38

2d 30

d 15 m

04)

b h

2k h k

2kh bh bk

2kh bk bh

k(2h b) bh

bhk

2h b

EXTENSIVO – APOSTILA 03 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA E

AULA 07

01)

12 = sen2x + cos2x

sen2x + cos2x = 1

02)

03)

2 2

2

2

2

2 o

sen x cos x 1

3sen x 1

5

9sen x 1

25

4senx

16 45sen x x 2 Quadrante senx

25 54senx

5

4senx 45tgx tgx tgx

3cosx 3

5

1 1 5sec x sec x sec x

3cosx 3

5

1 1 5cossec x cossec x cossec x

4senx 4

5

1cot gx

tgx

1 3cot gx cot gx

4 4

3

04)

cos1 < sen1 < tg1

AULA 08

01)

I –

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

c.q.d

sen x cos x 1 cos x

sen x cos x 1

cos x cos x cos x

tg x 1 sec x

sec x 1 tg x

II –

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

c.q.d

sen x cos x 1 sen x

sen x cos x 1

sen x sen x sen x

1 cotg x cossec x

cossec x 1 cotg x

02)

2

2

2

2

2

x 2tg(a)x 1 0

( 2tga) 2tga 4 1 ( 1)x

2 1

2tga 4tg a 4x

2

2tga 4 tg a 1x

2

2tga 2 sec ax

2

2tga 2sec ax

2

2 tga sec a x tga sec ax

2 x tga sec a

03)

2

2 2

2 2 2

2

2

sec x tgx sec x tgxy

1 sen x cot gx cossec x cot gx cossec x

sec x tg xy

cos x cot g x cossec x

1y

cos x 1

y sec x

04)

Utilizando o Produto Notável a3 + b3 = (a + b) ∙ (a2 – ab + b2), tem-se:

3 3

2 2

sen x cos xE

senx cosx

(senx cosx) (sen x senx cosx cos x)E

senx cosx

E 1 senx cosx

AULA 09

01)

y = sen30º + sen150º – sen210º – sen330º

y = sen30º + sen30º – (– sen30º) – (– sen30º)

y = 4 ∙ sen30º

y = 4 ∙ 0,5

y = 2

02)

y = cos60º + cos120º – tg210º – cotg240º

y = cos60º + (– cos60º) – tg30º – cotg60º

y tg30º cot g60º

3 1y

3 3

3 3y

3 3

2 3y

3

03)

A = 180º – 28º A = 152º

B = 180º + 28º B = 208º

C = 360º – 28º C = 332º

cosA = – cos28º = – 0,8829

cosB = – cos28º = – 0,8829

cosC = cos28º = 0,8829

04)

4 4tg tg

5 5

4tg tg

5 5