06 tópico 5 - heterocedasticidade

EconometriaTópico 4 – Regressão Múltipla

Quebra dos pressupostos: Heterocedasticidade

Ricardo Bruno N. dos SantosProfessor Adjunto da Faculdade de Economia

e do PPGE (Economia) UFPA

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Quebra dos pressupostos:

HeterocedasticidadeNatureza da Heterocedasticidade

A heterocedasticidade quebra uma das mais relevantes eimportantes hipóteses do MRLC, trata-se dahomocedasticidade dos resíduos onde:

𝐸 𝑢𝑖2 = 𝜎2 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

A variância condicional de 𝑌𝑖 aumenta a medida que umadeterminada variável independente aumenta. Ou seja, avariância de 𝑌𝑖 não são as mesmas. Como a variância doresíduo está condicionada a 𝑌𝑖 então existe a presença daheterocedasticidade, onde

𝐸 𝑢𝑖2 = 𝜎𝑖

2

Suponha que o seguinte modelo esteja sendo analisado, onde𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖, e Y seja a poupança e X a renda, assimpodemos verificar os dois seguintes gráficos:


HOMOCEDASTICIDADE


HETEROCEDASTICIDADE


HeterocedasticidadeAs seguintes razões podem constituir-se como elementos devariabilidade de 𝑢𝑖, como:

1) Seguindo os modelos de erro-aprendizagem,comportamentos incorretos das pessoas diminuem com otempo ou o número de erros torna-se mais consistente. Neste

caso, espera-se que 𝜎𝑖2 diminua. Como exemplo o autor cita a

Figura 11.3, que relaciona o número de erros de digitaçãocometidos em um dado período de tempo em um teste comas horas de prática de digitação. Percebe-se que o erro dedigitação diminui a medida que temos mais prática.


Heterocedasticidade2) A medida que a renda aumenta, as pessoas têm mais rendadiscricionária e, portanto, mais opções para escolher como

aplicarão sua renda. Por isso, é provável que 𝜎𝑖2 aumente com

a renda. Assim, na regressão de poupanças contra a renda é

provável que se verifique que 𝜎𝑖2 aumenta com a renda, pois

as pessoas têm maior opção sobre como irão dispor de suaspoupanças. Do mesmo modo, em geral se espera que aempresas com lucros maiores mostrem maior variabilidadeem suas políticas de dividendos que aquelas com lucros maisbaixos.


Heterocedasticidade3) A medida que as técnicas de coleta de dados aprimoram-

se, é provável que 𝜎𝑖2 diminua. Assim, os bancos que têm

equipamentos sofisticados de processamento de dadosprovavelmente cometem menos erros nos demonstrativosperiódicos de seus clientes do que bancos sem essesrecursos.

4) A hetero também ocorre com a presença de dadosdiscrepantes (outliers)


Heterocedasticidade5) Violação da hipótese 9, onde o modelo de regressão deve serespecificado corretamente.

6) A assimetria é outra fonte de heterocedasticidade. Renda eriqueza são variáveis que geralmente são desiguais, onde a maiorparte da renda encontra-se na menor parte da população. Issogera uma assimetria no dado.

7) Transformação incorreta de dados. É mais comum em dados decorte transversal do que nas séries temporais. A diferença é queno primeiro temos um nível de desagregação maior dainformação, ou seja, estamos avaliando-a em vários níveis (comoos diferentes níveis de renda municipal). Já a série temporal é umdado mais agregado, que não sofre grandes variações.


Resíduos da regressão de (a) percepções sobre despesas compublicidade e (b) percepções sobre despesas de publicidade eo quadrado de despesas com publicidade.


HeterocedasticidadeEstimativa dos MQO na presença da Heterocedasticidade

A pergunta que se faz é: o que acontece com o MQO e suasvariâncias se introduzirmos a heterocedasticidade fazendo

𝐸 𝑢𝑖2 = 𝜎𝑖

2, mas mantivermos todas as demais hipóteses do

modelo clássico? Vamos analisar o modelo com duasvariáveis:

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

Verificamos que:

𝛽2 = 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑥𝑖2

=𝑛 𝑋𝑖𝑌𝑖 − 𝑋𝑖 𝑌𝑖

𝑛 𝑋𝑖2 − 𝑋𝑖

2


HeterocedasticidadeBem como a variância do beta 2 estimado é dada por:

𝑣𝑎𝑟 𝛽2 = 𝑥𝑖

2 𝜎𝑖2

𝑥𝑖2 2

𝑣𝑎𝑟( 𝛽2) =𝜎2

𝑥𝑖2

O que mantém o modelo aderente ao MELNT é a variânciaconstante 𝜎2, mas, o que acontece que ela não for constante?

Para verificar isso temos que analisar os resultados para doisaspectos um considerando a tendenciosidade e outroconsiderando a eficiência do modelo.


HeterocedasticidadeO fato de ser homocedástica ou heterocedástica não

influencia na tendenciosidade do estimador 𝛽2 (ver apêndice

3A do capítulo 3), onde 𝐸 𝛽2 = 𝛽2 , onde mesmo na

presença de heterocedasticidade, em amostras grandes oestimador continua consistente, e portanto, não tendencioso.

Porém a eficiência é algo que não pode ser mantido. Poisdada a presença de heterocedasticidade ele deixa deapresentar a variância mínima, ou seja, ele deixa de serMELNT. Isso porque:

𝑣𝑎𝑟 𝛽2 = 𝑥𝑖

2 𝜎𝑖2

𝑥𝑖2 2

Aumenta conforme 𝜎𝑖2


HeterocedasticidadeO Método do Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)

Pelo fato de o estimador deixar de ser MELNT temos queencontrar uma forma de tornar o estimador MELNT, paratanto, é utilizado o MQG. Basicamente tal método incorporapesos ou importâncias que ajudam a explicar ocomportamento da variância, ou seja, considerar o seu efeitona hora do cálculo do estimador.

Considerando a fórmula para o modelo simples:𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖

Para facilitar o entendimento da operação algébrica vamosinserir a variável X0 que representa uma matriz vetor de 1,assim

𝑌𝑖 = 𝛽1𝑋0𝑖 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑢𝑖 𝑋0𝑖 = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑖


HeterocedasticidadeSe conhecermos as variâncias 𝜎𝑖

2 poderemos inseri-lasna equação como um peso, ou seja:

𝑌𝑖

𝜎𝑖2

= 𝛽1

𝑋0𝑖

𝜎𝑖2

+ 𝛽2

𝑋𝑖

𝜎𝑖2

+𝑢𝑖

𝜎𝑖2

𝑌𝑖

𝜎𝑖= 𝛽1

𝑋0𝑖

𝜎𝑖+ 𝛽2

𝑋𝑖

𝜎𝑖+

𝑢𝑖

𝜎𝑖

𝑌𝑖∗ = 𝛽1

∗𝑋0𝑖∗ + 𝛽2

∗𝑋𝑖∗ + 𝑢𝑖

∗

Onde o sobrescrito com asteriscos nos parâmetros indicam osestimadores do modelo transformado, para podermosdistingui-los dos parâmetros do modelo do MQO.


HeterocedasticidadeO que vai chamar a atenção é o erro transformado, vamosverificar como ficam sua variância após a transformação:

𝑣𝑎𝑟 𝑢𝑖∗ = 𝐸 𝑢𝑖

∗ = 𝐸𝑢𝑖

𝜎𝑖

2

𝑝𝑜𝑟 𝐸 𝑢𝑖∗ = 0

=1

𝜎𝑖2 𝐸 𝑢𝑖

2 𝑗á 𝑞𝑢𝑒 𝜎𝑖2 é 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜

=1

𝜎𝑖2 𝜎𝑖

2 𝑗á 𝑞𝑢𝑒 𝐸 𝑢𝑖2 = 𝜎𝑖

2

= 1

Ou seja, passamos a provar que a variância do modelo doMQG é uma constante, ou seja, torna-se homocedástico.

Conservando as hipóteses do modelo clássico de regressãolinear, assim, se aplicarmos o MQO no modelo transformado,ele irá gerar os MELNT.


HeterocedasticidadeAssim 𝛽1

∗ e 𝛽2∗ são MELNT e não se tratam dos estimadores de

MQO 𝛽1 e 𝛽2.

Podemos verificar, portanto, que o MQG são os MQO nasvariáveis transformadas que satisfazem as hipóteses padrãode Mínimos Quadrados.

Podemos, assim como realizado o procedimento para MQO,encontrar o resíduo mínimo para a função transformada,considerando, portanto:

𝑌𝑖∗ = 𝛽1

∗𝑋0𝑖∗ + 𝛽2

∗𝑋𝑖∗ + 𝑢𝑖

∗

Para obter o MQG temos que minimizar os resíduos, logo


Heterocedasticidade

𝑢𝑖2∗ = 𝑌𝑖

∗ − 𝛽1∗𝑋0𝑖

∗ − 𝛽2∗𝑋𝑖

∗ 2

𝑢𝑖

𝜎𝑖

2

= 𝑌𝑖

𝜎𝑖− 𝛽1

∗𝑋0𝑖

𝜎𝑖− 𝛽2

∗𝑋𝑖

𝜎𝑖

2

Para o 𝛽2∗ o estimador de MQG será:

𝛽2∗ =

𝑤𝑖 𝑤𝑖𝑋𝑖𝑌𝑖 − 𝑤𝑖𝑋𝑖 𝑤𝑖𝑌𝑖

𝑤𝑖 𝑤𝑖𝑋𝑖2 − 𝑤𝑖𝑋𝑖

2

E a variância será:

𝑣𝑎𝑟 𝛽2∗ =

𝑤𝑖

𝑤𝑖 𝑤𝑖𝑋𝑖2 − 𝑤𝑖𝑋𝑖

2

Onde 𝑤𝑖 =1

𝜎𝑖2


HeterocedasticidadePodemos então verificar que a diferença entre o MQO e oMQG é dada pela presença de um termo ponderadovisualizado pela soma ponderada dos quadrados dos resíduos𝑤𝑖 = 1/𝜎𝑖

2 , que tem um papel de peso, no entanto, osresultados de ambos (MQO e MQG) chegam a mesmaconclusão de que os resíduos são homocedásticos.

A diferença entre o uso das duas situações pode serobservado no próximo diagrama de dispersão. Nos MQO,cada 𝑢𝑖

2 associado aos pontos A, B e C receberá o mesmopeso quando da SQR for minimizada. É claro que, nesse caso,a 𝑢𝑖

2 associada ao ponto C dominará a SQR. Já nos MQG, aobservação extrema C receberá um peso relativamentemenor que as outras duas observações.


HeterocedasticidadeConsequências de usar MQO na presença deheterocedasticidade

A regra aqui é verificar e responder o que acontece quando osnossos estimadores não são eficientes.

Vamos para essa dinâmica, continuar utilizando o 𝛽2 e a suarespectiva fórmula da variância (sabendo da existência dahetero), que considera a presença da heterocedasticidade. O

grande problema é que mesmo conhecendo a variância 𝜎𝑖2

não podemos estabelecer um intervalo de confiança e muitomenos realizar os testes t e F, pois os intervalos de confiança

baseados na estimativa do 𝛽2 são menores, isso porque é

possível mostrar que var( 𝛽2∗) ≤ 𝑣𝑎𝑟( 𝛽2 ).


HeterocedasticidadeO grande problema é considerar a estimação por MQO e

desconsiderar a heterocedasticidade. Em primeiro lugar,

𝑣𝑎𝑟( 𝛽2 ) = σ2/ 𝑥𝑖2 é um estimador TENDENCIOSO da

𝑣𝑎𝑟 𝛽2 = 𝑥𝑖2 𝜎𝑖

2/ 𝑥𝑖2 2

, isso porque na média ele

sobrestima ou subestima a variância, e, em geral, nãopodemos dizer se o viés é positivo (sobreestimação) ounegativo (subestimação), pelo fato de isso depender da

natureza da relação entre 𝜎𝑖2 e os valores assumidos pela

variável explanatória X, como observado pelo termo 𝑥𝑖2 do

denominador da fórmula da variância.

O viés surge do fato de o valor de 𝜎2 dado por 𝑢𝑖2/(𝑛 − 2),

não ser mais um estimador NÃO TENDENCIOSO deste últimoquando a heterocedasticidade está presente.


HeterocedasticidadeCaso persistamos no uso dos procedimentos comuns de testeapesar da hetero, quaisquer que sejam as conclusões a quechegamos ou as inferências que fizermos poderão serequivocadas.

Para termos um entendimento melhor do que ocorre, vamosverificar um estudo de Monte Carlo conduzido por Davidson eMacKinnon, eles consideram o seguinte modelo simples, que emnossa notação é:


Os autores pressupõem que 𝛽1 = 1 e 𝛽2 = 1 e 𝑢𝑖~𝑁(0, 𝑋𝑖𝛼).

Como mostra a última expressão, os autores supõem que avariância de erro seja heterocedástica e relacionada ao valor doregressor X com poder . Se por exemplo, =1, a variância do erroé proporcional ao valor de X, caso seja =2, a variância do resíduoserá proporcional ao quadrado do valor de X e assim por diante.


HeterocedasticidadeBaseado em 20 mil réplicas e permitindo vários valores para, eles obtêm erros padrão dos dois coeficientes de regressão

usando os MQO (com 𝑣𝑎𝑟( 𝛽2 ) = σ2/ 𝑥𝑖2 ), MQO

permitindo a heterocedásticidade (onde 𝑣𝑎𝑟 𝛽2 =

𝑥𝑖2 𝜎𝑖

2/ 𝑥𝑖2 2

), e o MQG ( com 𝑣𝑎𝑟 𝛽2∗ = 𝑤𝑖 /

[ 𝑤𝑖 𝑤𝑖𝑋𝑖2 − 𝑤𝑖𝑋𝑖

2])

Os resultados foram obtidos por cada peso de .


HeterocedasticidadeOs autores observaram que sempre o MQO sobrestima oMQG (ou seja, sempre suas variâncias serão maiores que oMQO), tanto para o intercepto quanto para o coeficienteangular.

Com isso a conclusão é que e na presença daheterocedasticidade são os MQG e não os MQO os MELNT.


HeterocedasticidadeDetecção da Heterocedasticidade

Vamos observa alguns procedimentos práticos que ajudam nadetecção da heterocedasticidade. Para dadossocioeconômicos é mais difícil a detecção pois não temoscontrole da amostra, dessa forma temos muitas vezes quefazer uso da intuição, informações preexistentes, experiênciaempírica e muitas vezes mera especulação.

Tendo em vista esses pontos, vamos observar alguns métodosinformais e formais para a detecção da hetero.


HeterocedasticidadeOs métodos informais: consistem basicamente verificar o

comportamento dos resíduos ao quadrado 𝑢𝑖2 contra o valor

estimado de Y 𝑌𝑖. Algum comportamento sistemático entreessas duas relações pode nos ajudar a concluir pela existênciada heterocedasticidade na regressão.

A seguir podemos observar algumas situações gráficas queindicam a existência ou não de um comportamentosistemático entre essas duas variáveis.


HeterocedasticidadeEsse comportamento pode ser observado também entre osresíduos e as variáveis independentes X. Caso o resíduo aoquadrado tiver alguma relação sistemática com algumavariável independente, é um indicativo forte da presença deheterocedasticidade na regressão.


HeterocedasticidadeMétodos formais: Tratam-se dos testes para verificação daexistência ou não da heterocedasticidade. São testes que sãorealizados com base nos resíduos da regressão. A grandemaioria parte do pressuposto que na regressão existehomocedasticidade, portanto, a hipótese nula do testeconsiste em:

𝐻0: 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑐𝑒𝑑𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒

𝐻1: 𝐻𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒

Aqui será abordado apenas 3 testes, a ideia é entender adinâmica de cada um deles.


HeterocedasticidadeTeste de Glejser: Trata-se de um método que procura verificara relação entre resíduos e o comportamento da variávelindependente X. O teste consiste em duas etapas, onde:

1ª Estimar a regressão: Devemos primeiramente estimar anossa regressão de interesse em que supõe-se ter a presentada hetero:


2ª Etapa: Depois de estimada a regressão, pegamos o resíduoestimado na sua forma absoluta | 𝑢𝑖| e usamos ele comovariável dependente do modelo contra a variávelindependente do modelo anterior, no entanto, essa variávelpode ser transformada conforme o comportamento dosresíduos, os modelos podem ser os seguintes:


Heterocedasticidade 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑣𝑖

𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋𝑖 + 𝑣𝑖

𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽21

𝑋𝑖+ 𝑣𝑖

𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽21

𝑋𝑖+ 𝑣𝑖

𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑣𝑖

𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖2 + 𝑣𝑖

O grande problema nesse teste são os resíduos 𝑣𝑖 que podemter comportamento heterocedástico também.


HeterocedasticidadeAs regressões com o comportamento 𝑢𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋𝑖 + 𝑣𝑖

são mais difíceis de serem estimadas por serem modelos deregressão não linear. O que inviabiliza sua estimação porMQO.

O exemplo a seguir irá fazer uso das informações sobreremuneração e produtividade e será utilizados os dados databela 11.1.

https://www.youtube.com/watch?v=2KHLwYeQiCs

https://www.youtube.com/watch?v=2KHLwYeQiCs


HeterocedasticidadeTeste de Breusch-Pagan-Godfrey (BPG): É um dos testes deheterocedasticidade mais conhecidos e utilizados. Paraentende-lo é necessária a construção de cinco etapas queculminará numa análise da estatística 2.

Para iniciar o teste vamos recorrer ao modelo de regressãocom k variáveis.

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 + 𝑢𝑖

Suponha que variância do erro, 𝜎𝑖2, seja descrita como:

𝜎𝑖2 = 𝑓(𝛼1 + 𝛼2𝑍2𝑖 + ⋯ + 𝛼𝑚𝑍𝑚𝑖)

Ou seja, 𝜎𝑖2 é uma função das variáveis não estocásticas Z;

alguns ou todos os X podem servir de Z. Suponha que

𝜎𝑖2 = 𝛼1 + 𝛼2𝑍2𝑖 + ⋯ + 𝛼𝑚𝑍𝑚𝑖


HeterocedasticidadeOnde 𝜎𝑖

2 passa a ser uma função linear de Z. Caso 𝛼2 = 𝛼3 =

⋯ = 𝛼𝑚 = 0, e 𝜎𝑖2 = 𝛼1, que é uma constante. Dessa forma,

para testar se 𝜎𝑖2 é homocedástico, podemos testar a

hipótese de que 𝛼2 = 𝛼3 = ⋯ = 𝛼𝑚 = 0 , esta é a ideiabásica por trás do teste de BPG.

Os procedimentos para a realização do teste são os seguintes:

1ª Etapa: Estime 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘𝑖 + 𝑢𝑖 por MQOe obtenha os resíduos 𝑢𝑖.

2ª Etapa: Devemos obter o 𝜎2 = 𝑢𝑖2 /𝑛. Que é o estimador

de máxima verossimilhança de 𝜎2. Essa fórmula é diferente

do estimador de MQO que é 𝜎2 = 𝑢𝑖2 /(𝑛 − 𝑘).

3ª Etapa: Construir as variáveis 𝑝𝑖 que são definidas como:

𝑝𝑖 = 𝑢𝑖2/ 𝜎2


Heterocedasticidade4ª Etapa: Faça a regressão 𝑝𝑖 construída sobre os Z como

𝑝𝑖 = 𝛼1 + 𝛼2𝑍2𝑖 + ⋯ + 𝛼𝑚𝑍𝑚𝑖 + 𝑣𝑖

5ª Etapa: Obtenha a SQE (Soma dos Quadrados Explicada) edefina:

=1

2𝑆𝑄𝐸

Pressupondo que os resíduos se distribuem normalmente,podemos demostrar que, se há homocedasticidade e se otamanho da amostra n aumenta indefinidamente, então:

𝑎𝑠𝑦~𝑚−12


HeterocedasticidadePara prática do teste BPG vamos utilizar os dados da Tabela11.3.

Teste GERAL de Heterocedasticidade de White: É o maisdinamizado dos testes, diante dos demais testes já vistos é oque possui menos problemas, isso porque ele não necessitaque o pressuposto de normalidade seja atendido (conformeocorre com o teste BPG) e não possui nenhuma restriçãoquanto aos resíduos de sua regressão auxiliar tiver algumproblema de heterocedasticidade.

Tanto, que é baseado no teste de White que são feitas amaior parte das correções da hetero em modelos deregressão linear.

https://www.youtube.com/watch?v=jYWLD9eZswA

https://www.youtube.com/watch?v=jYWLD9eZswA


HeterocedasticidadeO teste para ser visualizado necessita passar por quatro etapas,sempre partindo do modelo de regressão onde:

𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + 𝛽3𝑋3𝑖 + 𝑢𝑖

1ª Etapa: Estimar a regressão acima e encontrar os resíduosestimados 𝑢𝑖.

2ª Etapa: De porte dos resíduos calculamos a seguinte regressãoauxiliar:

𝑢𝑖2 = 𝛼1 + 𝛼2𝑋2𝑖 + 𝛼3𝑋3𝑖 + 𝛼4𝑋2𝑖

2 + 𝛼5𝑋3𝑖2 + 𝛼6𝑋2𝑖𝑋3𝑖 + 𝑣𝑖

Em seguida será obtido o R2 da regressão auxiliar.

3ª Etapa: Sob a hipótese nula de que não há heterocedasticidade,pode-se mostrar que o tamanho da amostra (n) multiplicado peloR2 da regressão auxiliar segue uma distribuição qui-quadrado comgraus de liberdade iguais ao número de regressores (excluindo-seo intercepto – constante) na regressão auxiliar. Ou seja,


Heterocedasticidade𝑛𝑅𝑎𝑠𝑠

2 ~𝑔𝑙2

Com caso do modelo com três variáveis irá gerar na regressãoauxiliar outras três variáveis, com isso teremos 5 graus deliberdade uma vez que (n-1) = (6-1)

4ª Etapa: Comparamos o valor do Qui-quadrado calculadocom o valor tabelado, caso o calculado seja maior que otabelado, teremos então a rejeição da hipótese nula, ou seja,rejeição da homocedasticidade, logo a conclui-se pelapresença da heterocedasticidade.

Caso ele não seja significativo, estaremos concluindo que𝛼2 = 𝛼3 = 𝛼4 = 𝛼5 = 𝛼6 = 0

Ou seja, de que os resíduos são homocedásticos.


HeterocedasticidadePara ilustrar o exemplo do teste de White, será feito oexemplo conforme o exercício 11.15 (pág. 349). Fazendo usoda Tabela 11.7. Também iremos executar os testes deheterocedasticidade de White e o BPG pelo Gretl.

Qual o melhor teste? Não se trata de uma decisão fácil, umavez que tais testes baseiam-se em vários pressupostos. Aocompararmos os testes, precisamos prestar atenção ao seutamanho (ou nível de significância), potência (a probabilidadede rejeitarmos a hipótese falsa) e a sensibilidade adiscrepância (Outliers). O teste de White por exemplo é umteste que tem baixa potência contra outros testes. Já o BPG ésensível a presença da normalidade dos resíduos.

https://www.youtube.com/watch?v=gUG4wU5mqXs

https://www.youtube.com/watch?v=gUG4wU5mqXs


HeterocedasticidadeMedidas corretivas

Verificamos que a presença da hetero irá afetar a eficiência denossos estimadores. Podemos aplicar medidas corretivaslevando em conta dois aspectos, quando conhecemos a

variância (𝜎𝑖2) e quando não a conhecemos.

𝝈𝒊𝟐 Conhecido: uso dos Mínimos Quadrados Ponderados.

Quando aplicamos o MQP corrigimos a heterocedasticidade,tornando os estimadores MELNT. A melhor forma de verificaro procedimento (que já foi utilizado em outra oportunidade)e verificá-lo na prática. Para tanto, será usado o exemplo daTabela 11.1 conforme exemplo 11.7 da página 336.

https://www.youtube.com/watch?v=1-xCtN1Rr7Y

https://www.youtube.com/watch?v=1-xCtN1Rr7Y


Heterocedasticidade𝝈𝒊

𝟐 Desonhecido

Quando o valor da variância do erro é desconhecida épossível fazer uma correção através de mudanças dasmatrizes de variância e covariância (var-cov). O processo maisconhecido é a correção de White.

Mas antes é interessante falar em como se da essa correção,e mostrar no Gretl como essa correção procede.

A correção de White na verdade ocorre com a inserção damatriz de pesos de White no cálculo da variância doestimador, onde:

𝑣𝑎𝑟 𝛽𝑗 = 𝑤𝑗𝑖 𝑢𝑖

2

𝑤𝑗𝑖2 2


HeterocedasticidadeO termo 𝑤𝑗 são os resíduos da regressão auxiliar de White,

como antes verificado para o modelo de três variáveis:

𝑢𝑖2 = 𝛼1 + 𝛼2𝑋2𝑖 + 𝛼3𝑋3𝑖 + 𝛼4𝑋2𝑖

2 + 𝛼5𝑋3𝑖2 + 𝛼6𝑋2𝑖𝑋3𝑖 + 𝑣𝑖

A forma matricial de se mostrar esse regressor é:

𝑣𝑎𝑟 𝛽𝑗 = 𝑋′𝑋 −1𝑋′ 𝑋 𝑋′𝑋 −1 = 𝐻𝐶0

Essa primeira matriz é o termo do Gretl usado para a correçãode White.

Para o HC1 teremos uma correção na matriz de White pelograu de liberdade onde:

𝑢𝑖2 ×

𝑛

𝑛 − 𝑘


HeterocedasticidadePara o termo HC2 teremos será feita uma correção ortogonalcuja expectativa dos resíduos será dada por:

𝑢𝑖2

1 − ℎ𝑖onde ℎ𝑖 = 𝑋𝑖 𝑋′𝑋 −1𝑋𝑖

O HC3 é uma versão com a correção Jackknife, onde naverdade há uma sobrecorreção dada por:

𝑢𝑖2

1 − ℎ𝑖2


HeterocedasticidadeVamos verificar o processo de correção de White no Gretlutilizando o exemplo da Tabela 11.5 sobre dados de inovaçõesna América Latina, que encontra-se dentro do exemplo 11.10da página 342.

https://www.youtube.com/watch?v=sTjf0bgSlKQ

https://www.youtube.com/watch?v=sTjf0bgSlKQ


HeterocedasticidadeUma Advertência: Segundo John Fox

“Só vale a pena corrigir variâncias desiguais do erro somentequando o problema for grave. O impacto da variância do erronão constante sobre a eficiência do estimador de MQO e navalidade da eficiência dos MQO depende de vários fatores,

inclusive do tamanho da amostra, do grau de variação no 𝜎𝑖2,

da configuração dos valores de X [regressor – ou variáveisindependentes] e da relação entre a variância dos erros e osX. Portanto, não é possível chegar a conclusões gerais arespeito dos danos produzidos pela heterocedásticidade.”

FIM DO TÓPICO

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