1 Gauss Com Pivoteamento Parcial

7/28/2019 1 Gauss Com Pivoteamento Parcial

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1

1- SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES E INVERSÃO DE MATRIZES

1.1- Métodos exatos para solução de sistemas lineares

Métodos para solução de sistemas de equações lineares são divididos principalmenteem dois grupos: 1) Métodos Exatos: são aqueles que forneceriam a solução exata, nãofossem os erros de arredondamento, com um número finito de operações; e 2) MétodosIterativos: são aqueles que permitem obter as raízes de um sistema com uma dada precisãoatravés de um processo infinito convergente. Veremos neste capítulo somente métodosexatos.

1.1.1- Métodos para Sistemas Triangulares Inferiores.

Seja o sistema triangular inferior:

=+++

=+

=

nnnn22n11n

2222121111

bxa....xaxa.

bxaxa

ba

onde aii ≠ 0, i = 1, 2, ...,n.

Por substituição progressiva podemos resolvê-lo pelas fórmulas:

x1 =11

1

a

b

xi = ( bi - −

=

1i

1 j jijxa ) / aii ; i = 2, 3, ..., n.

1.1.2- Métodos para Sistema Triangulares Superiores.

Seja o sistema triangular superior

=

=++

=+++

nnnn

2nn2222

1nn1212111

bxa

bxaxa

bxaxaxa

onde aii ≠ 0; i = 1,2,...,n.



2

Por substituição Retroativa podemos resolvê-lo pelas fórmulas:

xn =nn

n

a

b

xi = ( bi - +=

n

1i j

jijxa ) / aii i = n-1, ..., 1

Exemplo 1.1.1:

a) Resolver o sistema triangular inferior,

12 / 12 / 1

010

001

3

2

1

y

y

y

=

7

1

9

Por substituição progressiva tem-se: y1 = 9 e y2 = 1

2

1y1 +

2

1y2 + y3 = 7 → y3 = 2

∴ y =

2

1

9

b) Resolver o sistema triangular superior

−

100

110

312

3

2

1

x

x

x

=

2

1

9

Por substituição retroativa: x3 = 2-x2 + x3 = 1 → x2 = 1

2x1 + x2 + 3 x3 = 9 → x1 = 1

∴ a solução deste sistema é x =

21

1

.



3

1.2- O Método de eliminação de Gauss ou Método de Gauss Simples.

Seja o sistema linear Ax = b, onde A tem todas as submatrizes principais nãosingulares.

O método de eliminação de Gauss consiste em transformar o sistema dado numsistema triangular equivalente pela aplicação repetida da operação:“subtrair de uma equação outra equação multiplicada por uma constante

diferente de zero”.

É claro que tal operação não altera a solução do sistema, isto é, obtem-se com elaoutro sistema equivalente ao original.

Descrição do algoritmo:

Consideremos o sistema:

=+++

=+++

=+++

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

cuja matriz dos coeficientes chamaremos A(1) .

Montamos a tabela 1:

)1(n

)1(nn

)1(2n

)1(1n

)1(2

)1(n2

)1(22

)1(21

)1(1)1(n1)1(12)1(11

baaa

baaabaaa

onde:

aij(1) = aij ; bi

(1) = bi ; i, j = 1, 2, ..., n

Por hipótese temos que a11(1) ≠ 0, pois det ( A1) ≠ 0.

Primeiro Passo:

Eliminar a incógnita x1 da 2a , 3a , ..., na equações ( isto é, zerar os elementos daprimeira coluna abaixo da diagonal) ; para isso:

Subtraímos da 2a. equação a 1a. equação multiplicada por)1(

11

)1(21

a

a



4


11

)1(31

a

a

Subtraímos da na. equação a 1a. equação multiplicada por)1(

11

)1(1n

a

a

Passamos então da tabela inicial à tabela 2:

)2(N

)2(nn

)2(3n

)2(2n

)2(2

)2(n2

)2(23

)2(22

)1(1

)1(n1

)1(13

)1(12

)1(11

baaa

baaa

baaaa

onde:)1(

11

)1(1i)1(

j1)1(

ij)2(

ija

aaaa −= ; i = 2, 3, ..., n

)1(11

)1(1i)1(

1)1(

i)2(

ia

abbb −= j = 1, 2, ..., n

Temos por hipótese que a222 0( ) ,≠ pois det ( A2) ≠ 0 .

Segundo passo.

Eliminar a incógnita x2 da 3a. , 4a. , ..., na. equações (isto é, zerar os elementos dasegunda coluna abaixo da diagonal) ; para isso


22

)2(32

a

a


22

)2(42

a

a

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - -

Subtraímos da na. equação a 2a. equação multiplicada por)2(

22

)2(2n

a

a

Obtemos então a tabela 3:

)3(n

)3(nn

)3(3n

)3(3

)3(n3

)3(33

)2(2

)2(n2

)2(23

)2(22

)1(1

)1(n1

)1(13

)1(12

)1(11

baa

baa

baaa

baaaa



5

onde)2(

22

)2(2i)2(

j2)2(

ij)3(

ija

aaaa −= ;

)2(22

)2(2i)2(

2)2(

i)3(

ia

abbb −= ; i = 3, 4, ..., n; j = 2, 3, ..., n

E assim sucessivamente, chegaremos ao:

(n -1) º Passo

Temos por hipótese que ( ) .0Adetpois,0a 1n)1n(

1n,1n ≠≠−

−

−−

Eliminar a incógnita xn-1 da na. equação (isto é, zerar o elemento da (n-1)ª colunaabaixo da diagonal); para isso:

Subtraímos da na

. equação, a (n-1)ª. equação multiplicada por .a

a)1n(

1n,1n

)1n(1n,n

−

−−

−

−

E assim, obtemos a tabela n:

−

−

−

−

−

−−

−

−

−

)n(n

)n(nn

)1n(1n

)1n(n,1n

)1n(1n,1n

)3(3

)3(n3

)3(1n,3

)3(33

)2(2

)2(n2

)2(1n,2

)2(23

)2(22

)1(1

)1(n1

)1(1n,1

)1(13

)1(12

)1(11

ba

baa

baaa

baaaa

baaaaa

onde:

)1n(1n,1n

)1n(1n,i)1n(

j,1n)1n(

ij)n(

ija

a.aaa

−

−−

−

−−

−

−−=

bi( n) = bi

(n – 1) -)1n(

1n,1n

)1n(1n,i)1n(

1na

a.b

−

−−

−

−−

−; i = n; j = n – 1, n.

Assim, o sistema triangular superior obtido será:



6

=

=+

=+++

=++++

=+++++

−

−

−

−−

−

−−

−

−

−

)n(nn

)n(nn

)1n(

1nn

)1n(

n,1n1n

)1n(

1n,1n

)3(3n

)3(n3

)3(1n,33

)3(33

)2(2n

)2(n2

)2(1n,23

)2(232

)2(22

)1(1n

)1(n1

)1(1n,13

)1(132

)1(121

)1(11

bxabxaxa

bxaaxa

bxaaxaxa

bxaaxaxaxa

é equivalente ao Sistema Linear original.

Exemplo 1.2.1:

Resolver o sistema:

=

−

13

7

7

823

142

126

3

2

1

x

x

x

usando o método de Eliminação de Gauss.

Temos a tabela 1:

−

138237142

7126



7

1aa

aaaa

0aa

aaaa

3

14b

a

abbb

34a

aaaaa

3

10a

a

aaaa

0aa

aaaa

)2(32)1(

11

)1(31)1(

12)1(

32)2(

32

)2(31)1(

11

)1(31)1(

11)1(

31)2(

31

)2(2)1(

11

)1(21)1(

1)1(

2)2(

2

)2(23)1(

11

)1(21)1(13

)1(23

)2(23

)2(22)1(

11

)1(21)1(

12)1(

22)2(

22

)2(21)1(

11

)1(21)1(

11)1(

21)2(

21

=−=

=−=

=−=

=−=

=−=

=−=

( ) ( ) ( )( )

( )( )

2

19b

a

abbb 2

3111

1311

11

32

3 =−=

Assim obtemos a tabela 2:

−

2 / 192 / 1710

3 / 143 / 43 / 100

7126

2º Passo:

10

81b

a

a.bbb )3(

3)2(22

)2(32)2(

2)2(

3)3(

3 =−=

Omitindo aqui a tabela 3, diretamente, obtemos o seguinte sistema triangularsuperior:

2

17)2(33)1(

11

)1(31)1(

13)1(

33)2(

33 =−= aa

aaaa

0)3(32)2(

22

)2(32)2(

22)12

32)3(

32 =−= a

a

aaaa

10

81)3(33)2(

22

)2(32)2(

23)2(

33)3(

33 =−= aa

aaaa



8

=

−

10 / 81

3 / 14

7

10 / 8100

3 / 43 / 100

126

3

2

1

x

x

x

Solução:

1x7xx2x6

1x3

14x

3

4x

3

10

1x10

81x

10

81

1321

233

33

==−+

==+

==∴

Portanto, a solução de :

=

=

−

1

1

1

xé

13

7

7

x

x

x

823

143

126

3

2

1

1.2.1 O Método de Gauss com Pivoteamento Parcial

1) O elemento )k(kka é o pivot do Kº passo.

2) Se em algum passo K encontrarmos 0a )k(kk = isso significa que det (Ak) = 0.Nesse caso, o sistema ainda pode Ter solução determinada (basta que det (A) ≠ 0 ).O método pode ser continuado simplesmente permutando a kª equação com qualquer

outra abaixo cujo coeficiente da Kª incógnita seja ≠ 0.

3) Análise de propagação de erros de arredondamento para o algorítmo de Gauss indicam a

conveniência de serem todos multiplicadores ( as constantes )k(kk

)k(ik a / a do kº passo)

menores que 1 em módulo; ou seja o pivot deve ser o elemento de maior valor absoluto dacoluna, da diagonal (inclusive) para baixo.

Podemos então em cada passo, escolher na coluna correspondente o elemento de

maior valor absoluto, da diagonal (inclusive) para baixo, e fazer uma permutação nasequações do sistema, de modo que esse elemento venha a ocupar a posição diagonal.

O exemplo abaixo ilustra as observações de nº 2 e 3.

Exemplo 1.2.2:



9

Resolver usando o método de Eliminação de Gauss o sistema:

=+−

=++

=−+

5x5xx

7xx3x3

3xx2x2

321

321

321

Montamos a tabela

−

−

5511

7133

3122

Em vista da observação 3) : passamos da tabela inicial à tabela

−

−

55113122

7133

isto é, colocamos na posição do pivot o maior elemento da coluna, e aplicando o 1º passo,obtemos:

−

−−

3 / 83 / 1420

3 / 53 / 500

7133

Vemos aqui que o elemento 0a )2(32 = (como já dissemos (obs.2) isso significa que

det(A2)= 0. De fato: det( A2) = 22

33

= 0 ).

Como o elemento 0)2(32 ≠a , permutamos a 3ª equação com a 2ª equação e assim

obtemos a tabela:

−−

−

3 / 53 / 500

3 / 83 / 1420

7133

a qual corresponde a um sistema triangular.

Portanto, temos:

−

=

−

−

3 / 5

3 / 8

7

3 / 500

3 / 1420

133

3

2

1

x

x

x

Assim



10

33

5 x− = 1

3

53 =− x

1x7xx3x3

1x3

8x

3

14x2

1321

232

==++

==+−

Logo, a solução de:

=

=+−

=++

=−+

1

1

1

xé

5x5xx

7xx3x3

3xx2x2

321

321

321

1.2.2 O Método de Gauss com Pivoteamento Total

Neste método é adotada a seguinte estratégia:- no k-ésimo passo é escolhido para pivô o elemento de maior módulo entre todos oselementos que ainda atuam no processo de eliminação, ou seja, o elemento pivô será:

)1k(ija

k j,imax −

≥.

- esta estratégia não é usualmente empregada pois envolve uma comparação entre oselementos envolvidos na troca de linhas e colunas, o que , evidentemente acarreta umesforço computacional maior que a estratégia de pivoteamento parcial.

1.2.3- Exercícios

1.2.3.1) Resolver pelo método de Eliminação de Gauss, o sistema:



11

=++

−=−−

−=+−

42

764

532

321

321

321

x x x

x x x

x x x

1.2.3.2) Considere o sistema:

=+−

=++−

−=++

31032

2024

1225

321

321

321

x x x

x x x

x x x

Pede-se:a) Resolver pelo Método de Eliminação de Gauss.b) Calcular o determinante de A, onde A é matriz dos coeficientes.

1.2.3.3) Verificar usando Eliminação de Gauss que o seguinte sistema não tem

solução:

=++

=++

=++

1x2x5x3

5xx3x2

3xx2x

321

321

321

1.2.3.4) Exercícios complementares: fazer exercícios relativos aos tópicos vistos doslivro: Barroso, L.C. e Ruggiero, M. A. G. (ver no link “Conclusão”)

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