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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss

Isolantes

III - Lei de Gauss

António Amorim, SIM-DF

Electromagnetismo e Óptica

Lei de Gauss - 2010/2011

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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss

Isolantes

Índice

1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico

2 Lei de GaussEnunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias

3 IsolantesCilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios

António Amorim, SIM-DF III - Lei de Gauss

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Fluxos e ConservaçãoLei de Gauss

Isolantes

Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico

Outline

1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico

2 Lei de GaussEnunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias

3 IsolantesCilindroPlanoEsferaProblemas/Anúncios

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Isolantes

Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico

Distribuição Contínua (rev.)

De�nindo a densidade de carga por unidade de volume (C/m3)

ρ =∆Q

∆V

1 Aplicando a sobreposição ∆Q = ρ ∆V

2 Calcula-se

3 Resulta, assumindo a soma sobre~r ′:

~E (~r) =1

4πε0

∫V

ρ(~r ′)r̂ ′

r ′2dV

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Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico

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1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico

2 Lei de GaussEnunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias

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Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico

Conservação da Carga

Num sistema fechado a carga total conserva-se:

Q =∫V

ρ dV

Mas e se houver �uxo de cargas?

Mais geral: Num �uido em movimento a massa conserva-seAo que está dentro acresce o que entrou e subtraí-se o que saiu

M →M + ∆M M →M + ∆M M →M + ∆M1−∆M2

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Isolantes

Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico

Carga e Corrente

Na superfície:

∆Q =∫S

∆Q

∆S·∆S

∆Q

∆S=

ρ∆V

∆S=

ρ∆r∆S

∆S= ρ∆r

o que signi�ca:∆Q =∫S ρ∆r ·∆S

dividindo pelo intervalo de tempo:

dQ

dt=−

∫S

ρ v ∆S

onde v = drdt

é a velocidade.(-) de v > 0 se v para fora comdQdt

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Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico

Teorema da Continuidade

Fluxo de cargas, ou matéria, ou energia:

dQ

dt=−

∫S

ρ v dS

Introduzindo a carga no volume:∫V

∂ρ

∂ tdV =−

∫S

ρ v dS

A variação no volume é o �uxo sobre a superfície.

Por analogia de�nimos o vector ~J = ρ~v chamamos �uxo de ~J a

Φ =∫S

~J ·~ndS

~J ·~n (~n normal à superfície), obliquamente aparece cos(θ)

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Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico

Fluxo de um vector

Fluxo do vector ~A é (com ~dS =~ndS) ΦA =∫S~A · ~dS

ΦA depende do ângulo θ entre ~A e a normal à superfície ~n:

Se θ é 0 o �uxo é máximo : ~A ·~n = |~A|Se θ é 90º o �uxo é 0.

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Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico

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Distribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico

Fluxo do Campo Eléctrico

O �uxo de campo eléctrico é:

ΦE =∫S

~E · ~dS (Nm2/C )

∮E , fechada,

~dS para fora

ΦE =∮A

~E · ~dS

1 Divide-se em elementos2 Cada ~E · ~dS = E dS cos(θ)3 Soma-se ΦE = ∑ ~E · ~dS4 Faz-se o limite dS → 0

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Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias

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Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias

Lei de Gauss

O �uxo de ~E em S fechada ~ carga no interior Q/ε0

Q

ε0=∮S

~E · ~dS

A carga é �fonte� de ~E

Qualquer superfície fechada(escolher a mais simples)Soma com sinais + e -As cargas fora não contamΦS1 = q

ε0, ΦS2 =− q

ε0,

ΦS3 = 0, ΦS4 = 0

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1 Fluxos e ConservaçãoDistribuições continuas de cargaFluxo de cargaFluxo do campo eléctrico

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Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias

Simetria Esférica (rev.)

Se as cargas estão numa esfera ou esferas concêntricas:

Rotações sobre qualquer eixo que passe pelo centro não contam

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Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias

Carga Pontual

Aplicando o teorema de Gauss

Q

ε0=∮S

~E · ~dS

Aplicando a simetria esférica ⇒ ~E radial

Q

ε0=∮S

~E · ~dS = E cos(0)∮dS = E

(4πr2

)Resolvendo para ~E (Lei Coulomb):

E =Q

4πr2ε0

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Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias

Campo Eléctrico num condutor

Num condutor, o �uxo de carga:

~J = ρ~v = σ~E

onde σ é a condutividade eléctrica > 0

Isto signi�ca que

~F−e = (−e)~E nos electrões

com �atrito� no cristal ~vmedia ∝~F−e

Num estado estático

~vmedia =~0 =⇒ ~J =~0 =⇒ ~E =~0

Isolado em equilíbrio estacionário ~E =~0

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Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias

Carga num condutor isolado

Onde está a carga Q?

Aplicar a lei de Gauss na superfície interna

~E =~0 =⇒ Qinterior = 0

Como é valido para qualquer superfície

ρ = 0 no interior

Por absurdo:

se ρ > 0 em P: bola centrada em P com Q>0

se ρ < 0 em P: bola centrada em P com Q<0

Num condutor, a carga electrostática está sempre na superfície

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Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias

Carga num condutor com cavidade

A carga Q pode estar na cavidade?

Aplicar a lei de Gauss na superfície cavidade

~E =~0 =⇒ Qcavidade = 0

para qualquer superfície!

então ρ = 0 no interior

Q electrostática, num condutor apenas na superfície externa

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Enunciado da lei de GaussLei de Coulomb e lei de GaussCondutoresSimetrias

Campo na Superfície de um condutor

Teorema de Gauss com dl <�< dA

Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3

dl → 0 ⇒ Φ2→ 0∆Qε0

= ~E1 ·~n1dA+ ~E3 ·~n3dADe�nindo a densidade super�cial

σS =∆Q

∆A

e como ~n3 =−~n1

~E1 ·~n− ~E3 ·~n =σS

ε0

A descontinuidade da componente normal de ~E é σSε0

Condutor em equilíbrio ~E3 =~0 logo ~E1 ·~n = σSε0

Demonstraremos que a componente tangente de ~E1 é zero.(Lei de Faraday)

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Simetria Esférica (rev.)

A luz está �xa.

As esferas foram rodadas?

Sob que eixo foram rodadas?

O mesmo (~E ) para qualquer rotação sobre qualquer eixo.

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Simetria Cilíndrica (rev.)

A luz está �xa.

Os cilindros foram rodadas sob o seu eixo?

O mesmo (~E ) para qualquer rotação sob o seu eixo (�xo).

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Simetria de Translação (rev.)

O plano in�nito moveu-se para:

direita/esquerda?frente/trás?

O plano rodou segundo um eixo a eleperpendicular?

Os mesmos efeitos (~E ) para qualquer:

translação no plano.rotação segundo um eixo perpendicular ao plano.

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Aplicar a Lei de Gauss

Como fazer:

1 Fazer esquema da distribuição de carga

2 Identi�car a/as simetrias da carga e logo de ~E

3 Escolher a superfície que torne o cálculo mais simples

4 Use a lei de Gauss ΦE = Qε0

para determinar o �uxo

5 Utilize o valor do �uxo para determinar ~E

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Campo de um varão in�nito

Densidade linear de carga: λ = ∆Q∆l

~E radial em coordenadas cilíndricas

Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3 com Φ1 = Φ3 = 0

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Folha isoladora in�nita

~E perpendicular à folha (rotação)

~E é simétrico cima/baixo da folha

Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3 com Φ2 = 0 e Φ3 = Φ1

Φ = 2EA e Φ = σSA

ε0

2EA = σSA

ε0=⇒ E = σ

2ε0

~E independente da distancia à folha

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Folha condutora

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Campo de duas folhas paralelas

Densidades de carga opostas σ1 = σ

2 e −σ1 =−σ

2

As placas atraem-se

Dentro ~Ei T. Gauss em S: Φ = EiA = 2σ1Aε0

=⇒ Ei = σ

ε0

Fora ~Eo T. Gauss em S': Φ = 2EoA′ = (σ1−σ1)A

ε0=⇒ Eo = 0

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Camada esférica isoladora

Campo: radial

Dentro: Φ = 4πr2Ei = Qε0

= 0 logoEi = 0

Fora: Φ = 4πr2Eo = Qε0

logo

E = Q

4πε0r2

Equivalente a toda a carga no centro

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Campo de uma esfera uniformemente carregada

Campo: radial

Carga: Q(r) = r³R³Q

Dentro:

Fora: = Carga Pontual

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Esfera uniformemente carregada II

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Problemas

Qual o campo eléctrico entre duas placas condutoras paralelascom uma densidade super�cial de carga de ±1C/m2?

Qual o campo eléctrico gerado por um �o com uma densidadede carga de 0.02C/m a 1 cm do �o?

Uma esfera, uniformemente carregada, ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=2 cm?

Uma esfera uniformemente carregada ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=0.5 cm?

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Problemas

Qual o campo eléctrico entre duas placas condutoras paralelascom uma densidade super�cial de carga de ±1C/m2?

Qual o campo eléctrico gerado por um �o com uma densidadede carga de 0.02C/m a 1 cm do �o?

Uma esfera, uniformemente carregada, ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=2 cm?

Uma esfera uniformemente carregada ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=0.5 cm?

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Problemas

Qual o campo eléctrico entre duas placas condutoras paralelascom uma densidade super�cial de carga de ±1C/m2?

Qual o campo eléctrico gerado por um �o com uma densidadede carga de 0.02C/m a 1 cm do �o?

Uma esfera, uniformemente carregada, ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=2 cm?

Uma esfera uniformemente carregada ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=0.5 cm?

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Problemas

Qual o campo eléctrico entre duas placas condutoras paralelascom uma densidade super�cial de carga de ±1C/m2?

Qual o campo eléctrico gerado por um �o com uma densidadede carga de 0.02C/m a 1 cm do �o?

Uma esfera, uniformemente carregada, ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=2 cm?

Uma esfera uniformemente carregada ter uma carga de 0.01Ce um raio de 1cm. Qual o campo eléctrico a r=0.5 cm?

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