Lei de Gauss - UTFPR

Capítulo 23:

Lei de Gauss

O Fluxo de um Campo Elétrico

A Lei de Gauss

A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb

Um Condutor Carregado

A Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica

A Lei de Gauss: Simetria Plana

A Lei de Gauss: Simetria Esférica

Cap. 23: Lei de Gauss


Definição

Definição:

A Lei de Gauss considera uma superfície fechada(imaginária) que envolve a distribuição de cargas.

Essa superfície gaussiana, como é chamada, pode terqualquer forma, por isso devemos optar por umaque facilite o calculo do campo, levando emconsideração as simetrias do problema.


O Fluxo

cosAvAvFluxo

cosAEAE

No caso do Fluxo Elétrico:

Onde: θ é o ângulo entre o vetor Campo Elétrico e o vetor normal à área A.E


O fluxo elétrico através de uma superfície gaussianaé proporcional ao número de linhas de campoelétrico que atravessam a superfície.

Definição:

O Fluxo Elétrico

P/ Superfícies Gaussianas:

dAnE ˆ

dAnE ˆ

O vetor Normal, , sempre aponta para fora da superfície Gaussiana

n̂


Exemplo:

1. Um disco com raio r = 10 cm está orientado demodo que seu vetor normal faça um ângulo de 30°com o campo elétrico uniforme de módulo 2 x 103

N/C. (a) Qual é o fluxo do campo elétrico do disco? (b)Qual o fluxo de campo elétrico depois que ele gira e anormal fica perpendicular ao vetor campo elétrico? (c)Qual o fluxo elétrico através do disco quando suanormal é paralela à E? (54 N.m2/C; 0; 63 N.m2/C)

2. Um campo elétrico dado ela expressão abaixoatravessa um cubo gaussiano com 2,0 m de aresta,posicionado como na figura ao lado. Determine ofluxo de campo elétrico através das faces: (a)superior; (b) inferior; (c) esquerda ; (d) traseira. (e)Qual o fluxo elétrico total através do cubo?

a)-12 N.m2/C; b) 12 N.m2/C; c) -16N.m2/C; d) 0;

e) 0

CNjiyE /ˆ3ˆ4


Definição:

0

intˆ

qdAnE

A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico em uma superfície fechada (Gaussiana) com a carga elétrica contida no interior dessa superfície.

O fluxo elétrico não depende da geometria dasuperfície fechada, apenas da carga elétricacontida no seu interior.Se a carga for positiva, o campo elétrico apontapara fora da superfície. Se a carga for negativa, o campo elétricoaponta para dentro da superfície. O vetor normal à superfície, , sempre apontapara fora da superfície.

n̂


Exemplo:

1. Sabendo que q1 = q4 = 3,1 nC, q2 = q5 = - 5,9 nC e q3 =- 3,1 nC, determine o fluxo do campo elétrico através dasuperfície S. (- 670 N.m2/C)

0

intˆ

qdAnE

23 – 9. Observa-se experimentalmente que o campo elétrico em uma certa região daatmosfera terrestre aponta para baixo. A uma altura de 300 m o campo tem módulo de 60N/C, e a uma altura de 200 m o campo tem módulo de 100 N/C. Determine a carga emexcesso contida em um cubo de 100 m de aresta e faces horizontais a 200 m e 300 m. (3,54μC)


Obtendo a Lei de Coulomb para uma Carga Pontual

0

intˆ

qdAnE

Cuidados na Escolha da Superfície Gaussiana!

Escolher uma superfície que envolve a cargaque facilite o calculo da área.Essa superfície deve conter o ponto no qual ocampo elétrico deve ser determinado. Ao longo dessa superfície o campo deveapresentar uma dependência espacial conhecida(de preferência constante).

2

int

04

1

r

qE

0

int2 )4(

q

rE rr

qE ˆ

4

12

int

0


Um Condutor Carregado

Em um condutor as cargas em excesso semovimentam com bastante facilidade. Devido a repulsão coulombiana essas cargasmigram para a superfície externa do condutor.Isso ocorre em um intervalo de tempo muitocurto, quase instantaneamente.As cargas se distribuem na superfície externa demodo a minimizar a energia do sistema.

q

1

2q

3

E1 = 0

E2 = 0

E3 ≠ 0

A gaiola de Faraday

Em um condutor no

regime estáticoE = 0


Exemplo: Esfera Condutora

2

04

1

r

qE

Campo elétrico de uma carga puntiforme

Rr Ser

SuperfícieGaussiana

Ad

E

R

Uma casca uniforme de cargas atrai ou repele umapartícula carregada situada do lado de fora da cascacomo se toda a carga estivesse situada no centro.

Rr Se

0E

rSuperfícieGaussiana

R

21r

E

R

Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca uniforme de cargas a casca não exerce nenhuma força eletrostática sobre a partícula.


Distribuição Esférica de Cargas (Isolantes)

Apenas as cargas contidas nointerior da esfera de raio rcontribuem para gerar campoelétrico no ponto p.

int

3

3

3

4

3

4

qr

QR

0

intˆ

qdAnE

3

3

int RQr

q

Se r < R:

3

0

32 )4(

RQr

rE

3

04 RQr

E


Distribuição Esférica

23.19) Uma esfera condutora uniformemente carregada com1,2m de diâmetro possui uma densidade de carga superficialde 8,1 µC/m2. (a) determine a carga da esfera. (b) Determine ofluxo elétrico através da superfície da esfera. (3,66 x 10-5 C;4,14x106 Nm2/C)

Duas cascas esféricas concêntricas carregadas tem raios de10cm e 15cm. A carga da casca menor é 4x10-8 C, e da cascamaior é 2x10-8 C. Determine o campo elétrico (a) em r = 5 cm,(b) r = 12 cm e (c) r = 20 cm. (0 N/C; 2,5x104 N/C; 1,35x104

N/C)

Exemplos:


Distribuição Esférica

23.51) Na figura uma esfera maciça não-condutora de raio a a = 2 cm é concêntricacom uma casca esférica condutora de raiointerno b = 2a e raio externo c = 2,5 a. Aesfera possui um carga q1 = +5 fC e a cascapossui uma carga q2 = -5 fC. Determine omódulo do campo elétrico (a) em r = 0; (b)em r = a/2; (c) em r = a; (d) em r =1,5 a; (e)em r =3,5 a.

(a) 0; b) 5.62x10-2 N/C ;c) 0.112 N/C; d)0.0499 N/C; e) 0)

Exemplos:


Distribuição Linear Infinita de Cargas

0

intˆ

qdAnE

nE ˆ//

hqint

0

)2(

hrhE

rr

E ˆ2

1

0


Exemplo: Distribuição Linear de Cargas

Uma casca cilíndrica de comprimento 200m e raio 6cm tem umadensidade superficial de carga uniforme de 9 nC/m2.(a) Qual a cargatotal na casca? Determine o campo elétrico nas seguintes distânciasradiais do eixo do cilindro. (b) 2 cm; (c) 5,9 cm, (d) 6,1 cm e (e) 10 cm.(679 nC; 0; 0; 1000 N/C; 610 N/C).

rhA 2

rr

E ˆ2

1

0

0

intˆ

qdAnE

http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=cilindro&source=images&cd=&cad=rja&docid=KB7HiLjcRAESSM&tbnid=L4TaO4c9xOm3aM:&ved=0CAUQjRw&url=http://professor.pauloalexandre.com/cilindro-geometria-espacial-1-de-5/&ei=1fkTUZSmCMmmrAGDoYDACQ&psig=AFQjCNENPSZK5YIIxiFnJ_3XuL_d4nPWEQ&ust=1360349941699523


Superfície Condutora Infinita

0

intˆ

qdAnE

nE ˆ//

0AEA

0E


0

intˆ

qdAnE

nE ˆ//

0AEAEA

02E

Superfície Fina, não Condutora, Infinita


Entre Duas Placas Condutora Infinita

0

intˆ

qdAnE

nE ˆ//

0

12

AEA

0E

Aq

12


Exemplo: Placas Infinitas

A figura mostra partes de duas placas de grande extensão, paralelas, não-condutoras, ambas com uma carga uniforme de um dos lados. Os valores dasdensidades superficiais de cargas são σ+ = 6,8µC/m2 e σ- = -4,3µC/m2

.Determine o campo elétrico (a) à esquerda; (b) entre e (c) à direita dasplacas. (1,4x105 N/C; 6,3x105 N/C)


Lista de Exercícios 8ª edição1, 3, 6, 7, 12, 13, 15, 19, 21, 25, 27, 31, 39, 41, 43, 49, 51, 53, 57, 81

Referências

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física:Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3.

TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2.

SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física:Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.

Lista de Exercícios 10ª edição1, 3, 4, 5, 14, 15, 11, 17, 21, 23, 29, 27, 41, 39, 43, 51, 49, 55, 65, 81

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