1 Revisao de Matematica Apostila
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Medidas e Circuitos Elétricos Prof. Christiomar de Georgio Mokdese
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1. Revisão de Matemática aplicada em Medidas e Circuitos Elétricos
1.1 Arredondamento
Na escrita ou computação de uma grandeza, por vezes, é necessário suprimir uma quantidade
qualquer de algarismos significativos, sempre nas casas de menor peso, porque um grande número deles pode trazer um excesso de informação, muitas vezes inútil. A essa supressão dá-se nome de arredondamento.
1.1.1 Critérios para arredondamento
Segue algumas regras convencionadas:
a) Se determinado algarismo significativo dever ser suprimido e ele é representado pelo 0, 1, 2, 3 ou 4, o algarismo anterior fica inalterado.
4,732 = 4,73
b) Se determinado algarismo significativo deve ser suprimido e ele é representado pelo 6, 7, 8 ou 9, o algarismo anterior deve ser acrescido de uma unidade.
4,738 = 4,74
c) Se determinado algarismo significativo deve ser suprimido e ele é representado pelo 5, há duas alternativas:
c.1. Se o algarismo 5 for seguido por um zero em qualquer casa posterior, o algarismo anterior ao 5 deve ser acrescido de uma unidade
4,7530 = 4,8 4,3502 = 4,4
4,65003 = 4,7
c.2. Se o algarismo 5 for seguido por apenas zeros ou se for o último significativo, o algarismo anterior só será acrescido de uma unidade se este for ímpar. 4,55 = 4,6 4,7500 = 4,8 4,65 = 4,6 4,8500 = 4,8
d) É vetada a realização de arredondamentos sucessivos. Quando se quer suprimir vários algarismos, o arredondamento deve ser feito uma única vez, seguindo as regras anteriores.
4,3458→4, 3 e não 4,3458→4,346→4,35→4,4
e) Qualquer operação aritmética deve ser realizada integralmente, com todos os algarismos significativos das parcelas, e só depois será realizado o arredondamento.
4,56+3,76=8,32 e não 4,6+3,8=8,4
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Exercícios:
01- Os dados abaixo são valores de tensão obtidas analiticamente. Faça os arredondamentos com um número após a vírgula:
a) 35,94 b) 18,09 c) 18,009 d) 19,55 e) 19,93 f) 29,97 g) 10,05 h) 10,55 i) 16,66 j) 18,88 l) 10,00 m) 26,06 n) 16,04 o) 17,65 p) 17,75
02 – Efetue a operação matemática e arredonde o valor final com um número após a vírgula:
a) 124,57+12,4+3,37 b) 12,346-3,24
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1.2 Triângulo retângulo
1.2.1 Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Num triângulo retângulo ABC, reto em Â, temos:
SENO(sen) de um ângulo agudo = medida do cateto oposto ao ângulo medida da hipotenusa
COSSENO(cos) de um ângulo agudo = medida do cateto adjacente ao ângulo medida da hipotenusa
TANGENTE(tg) de um ângulo agudo = medida do cateto oposto ao ângulo medida do cateto adjacente
Observações:
i. Num triângulo a soma de seus ângulos internos mede 180° ii. Num triângulo retângulo a soma dos ângulos agudos mede 90°
iii. As razões trigonométricas são obtidas com o uso de tabelas trigonométricas ou calculadoras
a = hipotenusa b = cateto c = cateto
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Segue exemplo de tabela trigonométrica:
Exercícios: 1) No triângulo retângulo abaixo, determine as razões: a) sen A ; cos A ; tg A; sen B; cos B; tg B
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2) Nos triângulos retângulos, calcule o valor de x:
a)
b)
c)
3) Num circuito de corrente alternada RL(Resistencia e Indutância), a tensão sobre o indutor L está
adiantada de 90° em relação à tensão sobre a resistência R. Supondo VL=3V e VR=4V, determinar o ângulo de fase(Ѳ) entre a tensão sobre o indutor L e a tensão sobre a resistência R.
Representando os dados do circuito no plano cartesiano, temos:
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4) Para tornear uma peça de ferro, com a forma de tronco de cone(conforme figura), cujos diâmetros têm 20mm, 46mm e 60mm de comprimento, necessitamos do ângulo α.
5) O para raio tipo Frankilin forma um cone de proteção, cujo raio da base é sempre r= √ , onde h é
a distância do vértice do para raio ao solo. Determine o ângulo α formado no vértice do cone, conforme figura, onde h=80m.
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1.3 Arcos e ângulos
1.3.1 Arcos de circunferência
Se dois pontos A e B são tomados sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes denominadas ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA ou simplesmente, ARCOS.
Os pontos A e B são as extremidades desses arcos.
1.3.2 Ângulos
As semi-retas OM e ON, de origem comum O, dividem o plano em duas regiões(ambas contendo as semi-retas). Cada uma dessas regiões é denominada ÂNGULO.
Na figura acima, o ângulo I é denominado CONVEXO e o ângulo II CÔNCAVO.
1.3.3 Medida de um arco
Fixando-se sobre uma circunferência um arco PQ, arco unitário de comprimento u, não nulo, define-se MEDIDA DE UM ARCO AB de comprimento l da mesma circunferência, como sendo a razão entre os comprimentos de AB e PQ. Em outros termos: é o número de vezes que o arco PQ cabe no arco AB.
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1.3.4 Medida de um ângulo
É igual à medida do arco que ele determina sobre uma circunferência. Cujo centro é vértice.
1.3.5 Unidade de arcos
As unidades usuais de arcos são:
a) GRAU é um arco unitário igual e 1/360 da circunferência que contém o arco a ser medido b) RADIANO é um arco unitário cujo comprimento l é igual ao do raio r da circunferência que
contém o arco a ser medido.
1.3.6 Círculo trigonométrico ou Circunferência Trigonométrica
É uma circunferência orientada que satisfaz as seguintes condições: a) O centro da circunferência será o ponto de interseção dos eixos cartesianos; b) O raio é tomado como unidade de comprimento(r=1); c) A origem dos arcos é o ponto A(1;0).
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1.3.6.1 SENO
Chama-se FUNÇÃO SENO, de um arco x, aquela que associa a todo arco x real, o número real y=senx
sen AM = sen x = OP
X grau 0 90 180 270 360
rad 0 π/2 π 3 π/2 2 π
Y=sen x 0 1 0 -1 0
1.3.6.2 COSSENO
Chama-se FUNÇÃO COSSENO, de um arco x, aquela que associa a todo arco x real, o número real y=cosx.
cosAM = cos x = OQ
X grau 0 90 180 270 360
rad 0 π/2 π 3 π/2 2 π
Y=cos x 1 0 -1 0 1
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1.3.6.3 TANGENTE Eixo das tangentes é o eixo(t), tangente ao ciclo no ponto A, e orientado no mesmo sentido do eixo
das ordenadas(y). Tangente de um arco AM(tg AM), é a medida algébrica do segmento AT, que tem origem em A e
extremidade na interseção T do eixo t com o suporte do raio OM
tgAM=tg x=AT Se representarmos por ε, um arco positivo, suficientemente pequeno, isto é, ε tendendo a zero,
temos:
X grau 0 90- ε 90 90+ ε 180 270- ε 270 270+ ε 360
rad 0 π/2- ε π/2 π/2+ ε π (3 π/2)-ε 3 π/2 (3 π/2)+ε 2π
Y=tg x 0 +∞ -∞ 0 +∞ -∞ 0
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1.4 Matrizes
Matriz é, por definição, um conjunto de elementos dispostos em linhas e colunas. Sua representação mais comum é:
(
) uma matriz quadrada 3X3, ou seja, de ordem 3
Podemos representar uma matriz genérica indicando cada um dos seus elementos por uma letra
minúscula, de 2 índices i e j . O primeiro índice i indica e linha e o segundo j a coluna. Exemplo:
(
) uma matriz quadrada 3x3
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1.5 Determinante
Determinante de uma matriz quadrada M é um número associado a esta matriz, obtido seguindo-se as regras previamente estabelecidas.
1.5.1 Notação
Representa-se o determinante de uma matriz:
M=(
) por :
det [
] ou det M
1.5.2 Cálculo de um determinante
Para o cálculo do determinante e uma matriz M de ordem n, temos:
a) Se M for de ordem 1:
M=( ), então detM=-5
b) Se M for de ordem 2:
M=(
), então ( ) ( )
Exemplo:
M=(
) ( ) ( )
c) Se M for de ordem 3, calcula-se o determinante de terceira ordem através da regra de Sarrus, que consiste em: 1. Repetir as duas primeiras colunas à direita da matriz ou as duas primeiras linhas abaixo da
matriz; 2. Multiplicar os elementos da diagonal principal e os que aparecem dispostos paralelamente
em grupos de 3; 3. Multiplicar os elementos da diagonal secundária e os que aparecem dispostos paralelamente
em grupos de 3; 4. Determinar a diferença da soma dos produtos do item 2 pela soma dos produtos do item 3.
Então, para:
M=(
), temos:
det M = [
]
det M [( ) ( ) ( )]
[( ) ( ) ( )]
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Se M é de ordem 4 ou superior, o determinante M é calculado através do abaixamento da ordem da matriz. Para o curso de Medidas e Circuitos elétricos as matrizes que trabalharemos será no máximo de ordem 3.
Exercícios: Calcular o determinante das matrizes abaixo:
a) M=(
)
b) M=(
)
c) M= (
)
d) M=(
)
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1.6 Sistemas lineares
Um sistema de equação linear, é dito assim porque em todas as equações do sistema cada termo é um monômio do 1º grau; isto é: em cada termo aparece uma única incógnita e seu expoente é igual a 1.
Sistema de equações lineares é um conjunto de m equações lineares com n incógnitas. Seja S um destes sistemas, então:
S=
{
Outro exemplo:
S= {
A resolução deste sistema, quando m=n(número de equações é igual ao número de incógnitas), se faz através da regra prática de Cramer, que consiste em (será considerado uma matriz de 3ª ordem):
1. Calcular o determinante D da matriz dos coeficientes:
D = [
]
2. Se D≠0,o sistema admite uma única solução, dada por:
, onde:
Dx1 = [
] Dx2= [
] Dx3 = [
] , ou seja:
Dx é o determinante que se obtém substituindo-se, na matriz dos coeficientes, a coluna dos
coeficientes de x pelos termos independentes das respectivas equações.
3. Se D=0 e todos os Dx forem nulos, o sistema é indeterminado. 4. Se D=0 e existir pelo menos um Dx=0, o sistema é impossível.
Exercícios:
1. Resolva os sistemas pela Regra de Cramer:
a) {
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b) {
2. O circuito abaixo, foi analisado pelo método das malhas e resultou no sistema de equações S. Encontre os valor das correntes de malha I1, I2 e I3.
S = {