1 Uma carga de prova q 0 colocada num campo eléctrico DIFERENÇA DE POTENCIAL E POTENCIAL...
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Uma carga de prova q0 colocada num campo eléctrico
DIFERENÇA DE POTENCIAL E POTENCIAL ELÉCTRICO
EqFe
0Sofre a acção de uma força
Trabalho realizado pelo campo eléctrico sobre a carga de prova, num deslocamento infinitesimal é
sdEqsdFW eE
.0
É similar ao trabalho feito por um campo gravitacional sobre um corpo em queda livre
sd
2
sdEqdWdU E
0
.
O trabalho feito por uma força conservativa é igual ao simétrico da variação da energia potencial
Para um deslocamento finito de uma carga de prova q0 entre os pontos A e B, a variação da energia potencial do sistema campo – carga é
B
AAB sdEqUUU
0
A integral acima é calculada ao longo da trajectória na qual a partícula se desloca de A para B denominada integral da trajectória ou integral de linha.
Como a força é conservativa, essa integral não depende da trajectória entre A e B
Por definição, , a diferença de potencial entre os pontos A e B e é igual à variação da energia potencial dividida pela carga de prova q0
AB VVV
0qUUVV AB
AB
B
A
sdEqUV
0
3
Observações
A diferença de potencial não deve ser confundida com a diferença de energia potencial
Diferença de potencial ≠ Energia potencial
As duas grandezas estão relacionadas por U = q0 V
KWU E
Por conveniência, a função V é tomado muitas vezes considerada nula num determinado ponto. Usualmente escolhemos um ponto no infinito (∞) como o ponto de potencial nulo
Com essa escolha podemos dizer que : o potencial eléctrico num ponto arbitrário
é igual ao trabalho necessário, por unidade de carga, para trazer uma carga de prova positiva do infinito até o ponto considerado.
P
P sdEV no 0AV
4
P
P sdEV onde é o campo eléctrico estabelecido pelas cargas – fonteE
Na realidade, VP representa a diferença de potencial entre o ponto P e um ponto no infinito
A unidade SI do potencial: joule por coulomb, denominada volt (V): 1 V 1 J / C
Uma unidade de energia geralmente utilizada na física é o electrão – volt (eV):
1 eV = (1 e)(1 V) =
um eV é a energia cinética ganha por uma partícula com carga e que está sendo acelerada por uma diferença de potencial de valor 1 V
J 106.1 C) / J (1 C 106.1 1919
EXEMPLO: Um electrão no feixe de um tubo de televisão típico pode ter uma velocidade de m / s. Isso corresponde a uma energia cinética de J, que é equivalente a eV. Tal electrão tem de ser acelerado do repouso com uma diferença de potencial de 3.5 kV para atingir essa velocidade.
7105.3 16106.5 3105.3
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DIFERENÇAS DE POTENCIAL NUM CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME
(a) Quando o campo eléctrico E está direccionado para baixo, o ponto B está num potencial eléctrico mais baixo que o ponto A.
Quando uma carga positiva de prova se desloca de A par B, o sistema carga-campo perde energia potencial eléctrica.
(b) Quando o corpo com massa m se desloca para baixo na direcção do campo gravitacional g, o sistema corpo-campo perde energia potencial gravitacional.
B
A
B
A
B
AAB EdsdsEsdEVVV
0cos
Como E é constante, pode ser colocado fora da integral:
EddsEVB
A
o sinal negativo resulta do facto de que o ponto B está num potencial mais baixo do que o ponto A ou seja VB < VA
6
Quando a carga de prova q0 se desloca de A para B
A variação da energia potencial eléctrica do sistema campo – carga é
EdqVqU 00
Por esse resultado, vemos que se q0 for positiva, então U é negativa
Se q0 for negativa, então U na equação acima é positiva e a situação está invertida.
O sistema campo - carga perde energia potencial eléctrica quando uma carga negativa se desloca na direcção oposta à do campo eléctrico.
Não temos nenhum análogo para essa situação no caso gravitacional porque nenhuma massa negativa foi observada até o momento.
7
O sistema campo - carga perde energia potencial eléctrica quando uma carga negativa se desloca na direcção oposta à do campo eléctrico.
O sistema campo - carga perde energia potencial eléctrica quando uma carga positiva se desloca na direcção do campo eléctrico.
Exemplo
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Considere agora o caso mais geral de uma partícula carregada que se desloca entre dois pontos quaisquer num campo eléctrico uniforme
rEsdEsdEVB
A
B
A
representa o vector deslocamento entre os pontos A e B r
A variação na energia potencial eléctrica do sistema campo - carga é
rEqVqU
00
Os nossos resultados mostram que todos os pontos num plano perpendicular a um campo eléctrico uniforme estão no mesmo potencial
Da figura, obtemos: VB - VA = rE
cosrE = - Ed = VC - VA
r
VB = VC
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As superfícies equipotenciais dum campo eléctrico uniforme consistem numa família de planos, todos perpendiculares ao campo.
O nome superfície equipotencial é dado a toda superfície que consista numa distribuição contínua de pontos que têm o mesmo potencial eléctrico.
Observe que, como , nenhum trabalho é necessário para mover uma partícula de prova entre dois pontos quaisquer e numa superfície equipotencial.
VqU 0
Exemplos: Quatro superfícies equipotenciais.
O campo eléctrico é perpendicular às superfícies
Trabalho realizado pelo campo eléctrico sobre uma partícula carregada quando se move de um extremo a outro.
KWU E
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Num campo elétrico, transporta-se uma carga q de 2 µC de ponto X até um ponto Y. O trabalho da força elétrica é de -0,6 µJ. Determine a ddp entre os pontos X e Y.
EXEMPLO
qUV
V 3.0102106.0
6
6
V
KWU E
C 2J6.0
qμWE
X
Y
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POTENCIAL ELÉCTRICO DEVIDO À CARGAS PONTUAIS
Vamos agora focalizar nossa atenção nas cargas pontuais, que sabemos que produzem campos eléctricos que não são uniformes.
B
AAB sdEVV
Considere uma carga pontual positiva isolada q
drdssdr
sdrrqksdE e
cosˆonde
ˆ2
mas
Substituindo na integral ficaB
A
B
A
B
A
r
r
er
re
r
re
B
AAB r
qkrdrqkdr
rqksdEVV
22
ABe rrqk 11 esta equação expressa o importante
resultado de que a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos A e B depende somente das coordenadas radiais rA e rB
Os dois círculos tracejados representam secções transversais das superfícies equipotenciais esféricas
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Como já vimos pode-se definir o potencial de referência como sendo zero em rA =
Com essa escolha, o potencial eléctrico devido a uma carga pontual a qualquer distância r da carga é
rqkV e
V é constante sobre uma superfície esférica de raio r centrado na carga pontual
O potencial eléctrico de duas ou mais cargas pontuais é obtido aplicando-se o princípio da sobreposição
Para um conjunto de cargas, podemos escrever o potencial total em P na forma
i i
ie r
qkV
Observe que a soma nessa equação é uma soma algébrica de grandezas escalares em vez de uma soma vectorial (que é utilizada para calcular o campo eléctrico de um conjunto de cargas)
Além disso é muito mais fácil calcular V para muitas cargas do que calcular o campo eléctrico
q
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ENERGIA POTENCIAL ELÉCTRICA DEVIDO À CARGAS PONTUAIS
Energia potencial eléctrica de interacção de um sistema de partículas carregadas
Se V2 for o potencial eléctrico no ponto P devido à carga q2, o trabalho (de um agente externo) necessário para trazer uma segunda carga q1 do infinito ao ponto P será
21VqW
12r1q
2q
P
esse trabalho representa uma transferência de energia para o sistema na forma de energia potencial U
12
2121 r
qqkVqU e
12r 2q
Prq
kV e2
2
Se tivermos três cargas:
23
32
13
31
12
21
rqq
krqq
krqq
kU eee 12r 23r
13r1q
2q3q
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OBTENÇÃO DO CAMPO ELÉCTRICO PELO POTENCIAL ELÉCTRICO
B
A
B
A
dVVsdEV
sdEdV
Portanto podemos escrever que a diferença de potencial dV entre dois pontos que distam ds um do outro como sendo
Para temos que
dxEsdE x
xEE
dxEdV x
oudxdV
Ex
o campo eléctrico é igual a menos derivada do potencial eléctrico com respeito a alguma coordenada
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Distribuição de carga tem simetria esférica drEsdEdV r
drdVEr
dxdVEx dy
dVE y dzdVEz
Em geral, o potencial eléctrico é uma função de todas as três coordenadas espaciais ),,( zyxV
A variação no potencial é nula para qualquer deslocamento perpendicular ao campo eléctrico
Isso é consistente com a noção de que as superfícies equipotenciais são perpendiculares ao campo:
Campo eléctrico uniforme Carga pontual Dipolo eléctrico
e VE
)( zyx ez
ey
ex
é uma equação diferencial, onde o operador gradiente
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POTENCIAL ELÉCTRICO DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA
rdqkdV e
r
dqkV e
Potencial dV em qualquer ponto P devido ao elemento de carga dq é
O potencial total será
B
A
sdEqUV
0
Um outro método para calcular o potencial de uma distribuição contínua de carga é utilizar
Substituímos E e escolhemos, V como zero em algum ponto conveniente.
Esse procedimento é útil para quando o campo eléctrico já é conhecido a partir de outras considerações, tais como a lei de Gauss.
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Exemplo: Calcular o potencial no ponto P de um eixo perpendicular ao centro no centro de um anel de raio a e carga Q
rdqkV e
dqax
kV e
22
como 22 axr
22 ax
dqkV e
22
ax
QkV e
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POTENCIAL ELÉCTRICO DUM CONDUTOR CARREGADO
Considere um condutor de formato arbitrário com um excesso de carga positiva
O condutor está em equilíbrio electrostático
- toda a carga permanece na superfície, e E = 0 dentro do condutor- o campo eléctrico na face externa do condutor é perpendicular à superfície
Demonstraremos que todo ponto na superfície de um condutor carregado em equilíbrio electrostático está no mesmo potencial eléctrico
0 B
AAB sdEVVV
090cos EdssdE
E é sempre perpendicular ao deslocamento ds entre dois pontos da superfície. Então
A densidade superficial de carga não é uniforme
como o campo eléctrico é zero dentro do condutor, concluímos que o potencial é constante em todo lugar dentro do condutor e igual a seu valor na superfície.