12. Taxa de variação - pertenceamatematica /...

IFRS – CAMPUS RIO GRANDE 27

Engenharia Mecânica

12. Taxa de variação

Muitos conceitos e fenômenos físicos, econômicos, biológicos, etc. estão

relacionados com taxa de variação.

Definição 10: Taxa de variação média. Considere x variável independente e y

variável dependente. Taxa de variação média de A(x1,y1) para B(x2,y2) é

calculada por:

tvm = 12

12

xx

yy

x

y

O coeficiente angular de uma reta é uma taxa de variação, velocidade e

aceleração de um móvel são taxas de variação. Se quisermos estudar a variação

da variável dependente quando a independente varia, temos uma taxa de

variação.

Definição 11: Taxa de variação Instantânea. Considere x variável independente

e y variável dependente. Taxa de variação instantânea em A(x0,y0) para B(x,y)

é a variação da variável dependente quando a variação da variável independente

tende a zero, para medir-se a taxa de variação no instante x = x0.

tvi = 0

0

xx0z xx

yylim

x

ylim

0

Se quisermos a taxa de variação instantânea numa função dada, tem-se y=f(x)

e y0 = f(x0), e:

tvi = 0

0

xx xx

)x(f)x(flim

0

ou tvi =

h

)x(f)hx(flim

00

0h

Exemplo: A tabela abaixo representa a altura de uma bola em relação ao solo

t segundos após seu lançamento.

t(seg) 0 0,5 1 1,5 2

h(m) 2 6,25 8 7,25 4

Calcule as seguintes velocidades médias:

(a) de t = 0,5 para t = 1 (b) de t = 1 para t = 1,5

Nesse caso não teríamos como calcular a velocidade instantânea em t = 1, pois

não temos a lei da função que relaciona a altura da bola com o tempo decorrido.

Exemplo: Considere que altura da bola é descrita pela função:

h(t) = -5t² + 11t + 2

Determine a velocidade instantânea da bola em t = 1s.



13. Derivada

Definição 12: A derivada de uma função, cuja lei é y = f(x), num ponto em que

x = x0 é:

0

0

xx0

xx

)x(f)x(flim)x('f

0

ou f’(x0) =

h

)x(f)hx(flim

00

0h

Se o limite existir a função é dita derivável em x = x0. Se o limite não

existir, assim, a função não é derivável em x = x = x0.

Notações: f’(x0), y’(x0), )x(dx

dy0, )x(

dx

df0

Veremos adiante, que a derivada pode não existir, pois a definição é a partir

de limite e o limite pode não existir, ou ser infinito.

Observação muito importante: A derivada de uma função num ponto é definida

como a taxa de variação instantânea dessa função nesse ponto e ainda é o

coeficiente angular da reta tangente à função no mesmo ponto.

Exemplo:1. Calcule a derivada da função, cuja lei é f(x) = x² - 9 nos pontos:

(a) x = 1

(b) x = 2

2. Calcule a derivada da função f(x) = senx no ponto x = 0.

Em vez de calcularmos n vezes limites muito semelhantes, podemos definir

a função derivada f’(x) e se precisarmos calcular em pontos específicos apenas

substituir valores de x.

14. Interpretação geométrica da derivada

Nos gráficos abaixo constam o gráfico da função real f(x); os pontos

P(x0,f(x0)) e Q(x,f(x)); a reta s que passa por P e Q e o triângulo retângulo

PAQ, que define o coeficiente angular da reta s. Deste modo, o coeficiente



angular da reta s é dado por a = tan = x

y

. Ou seja, o coeficiente angular

da reta secante é a taxa de variação média da função entre P e Q.

x = 1 x = 0,6

x = 0,4 x = 0,2

A medida que diminuímos x, ou melhor, fazemos x 0, observamos que Q P

e assim, no limite, a reta secante é a reta tangentea à função no ponto P.

Observação: A derivada de uma função num ponto, ou seja, a taxa de variação

instantânea no ponto x = x0 é o coeficiente angular da reta tangente à curva

no ponto P(x0,f(x0)).

Equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P(x0,f(x0))

y – y0 = f’(x0)(x-x0)

Também podemos definir a reta normal a uma curva, já que esta é perpendicular

à reta tangente.

Equação da reta normal à curva y = f(x) no ponto P(x0,f(x0))

y – y0 = )x('f

1

0

(x-x0)

a Por definição reta tangente a uma curva e a curva interseccionam-se em

apenas um ponto.



Exemplo: Determine a equação da reta tangente e normal ao gráfico da

função f(x) = -2x²+ 4x + 2 no ponto em que x = 0.

15. Derivada de uma função

Definição 13: Função derivada. Se f é derivável para todo ponto de seu domínio,

f é dita derivável e a função derivada f’ é a função resultante do seguinte

limite:

f’(x) = h

)h(f)hx(flim

0h

Exemplo: Calcule as funções derivadas das funções, cujas leis são:

(a) f(x) = 2

(b) f(x) = 3x + 8

(c) f(x) = x²

Na medida que resolvermos a função derivada para funções básicas, temos como

aplicar para toda função do mesmo tipo, dando origem a uma espécie de

formulário. Por exemplo, a derivada da função f(x) = 2 é f’(x) = 0, e se

f(x) = 3, f(x) = -1, ou melhor, se f(x) = k, k ℝ?



Funções derivadas de funções básicas:

Proposição 23: f(x) = k , k ℝ

dx

kd 0

Demonstração:

Sendo f(x) = k, então f(x+h) = k. Usando a definição de função derivada.

0h

0lim

h

kklim

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(df

0h0h0h

CQD

Exemplo: y =

Proposição 24: f(x) = x

dx

xd 1

Demonstração:

Sendo f(x) = x, então f(x+h) = x + h. Usando a definição de função derivada.

1h

hlim

h

xhxlim

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(df

0h0h0h

Proposição 25: g(x)= af(x) dx

)x(dfa

dx

))x(af(d

Demonstração:

Sendo g(x) = af(x), então g(x+h) = af(x+h). Usando a definição de função

derivada.

h

)x(f)hx(falim

h

)x(af)hx(aflim

h

)x(g)hx(glim

dx

)x(dg

0h0h0h

= dx

)x(dfa

h

)x(f)hx(flima

0h

CQD

Exemplo: y = ax

Proposição 26: u(x)= f(x) + g(x) dx

)x(dg

dx

)x(df

dx

))x(g)x(f(d

Demonstração:

Sendo u(x) = f(x) + g(x), então u(x+h) = f(x+h)+g(x+h). Usando a definição de

função derivada.

h

)x(g)x(f)hx(g)hx(flim

h


dx

)x(du

0h0h

dx

)x(dg

dx

)x(df

h

)x(g)hx(glim

h

)x(f)hx(flim

h

)x(g)hx(g)x(f)hx(flim

0h0h0h

CQD

Exemplo: f(x) = ax + b



Proposição 27: f(x) = xn

dx

xdn

nxn-1

Demonstração: Considere o binômio de Newton

bba1-n

n...ba

3

nba

2

n+ ba

1

n + a=b)+(a

n1-n33-n22-n1-nnn

e n1n

n

1

n

, números binomiais que

Sendo f(x) = xn, então f(x+h) = (x+h)n E por sua vez

(x+h)n= hhxn...hx3

nhx

2

n+ hxn + x

n1-n33-n22-n1-nn

Usando a definição de função derivada.

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(df

0h

=

h

x-hhxn...hx3

nhx

2

n+ hxn + x

lim

nn1-n33-n22-n1-nn

0h

=

h

hhxn...hx3

nhx

2

n+ hxn

lim

n1-n33-n22-n1-n

0h

=

1n2-n23-n2-n1-n

0h

hhxn...hx3

nhx

2

n+ nxlim nxn-1 CQD

Exemplo: f(x) = 4x³ - 3x + 5

Proposição 28: u(x) = f(x).g(x) dx

)x(df)x(g

dx

)x(dg)x(f

dx

))x(g)x(f(d

Demonstração:

Sendo u(x) = f(x).g(x), então u(x+h) = f(x+h).g(x+h). Usando a definição de

função derivada.

h


dx

)x(du

0h

=

h

)x(g)x(f)x(g)hx(f)x(g)hx(f)hx(g)hx(flim

0h

=

h

)x(f)hx(f)x(g)x(g)hx(g)hx(flim

0h

Somar ZERO

Colocar f(x+h) em evidência Colocar g(x) em evidência



=

h

)x(f)hx(f)x(glim

h

)x(g)hx(g)hx(flim

0h0h

=

dx

)x(df)x(g

dx

)x(dg)x(f

h

)x(f)hx(flim)x(g

h

)x(g)hx(glim)x(f

0h0h

. CQD

Exemplo: f(x) = (ax + b)2

g(x)=(ax + b)3

Proposição 29: f(x) = senx xcosdx

)senx(d

Demonstração:

Sendo f(x) = senx, então f(x+h) = sen(x+h) = sen(x)cos(h)+sen(h)cos(x). Usando

a definição de função derivada.

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(df

0h

=

h

)xcos()h(sen)x(sen)hcos()x(senlim

h

)x(sen)xcos()h(sen)hcos()x(senlim

0h0h

h

)h(senlim)xcos(

h

1)hcos(lim)x(sen

h

)xcos()h(senlim

h

1)hcos()x(senlim

0h0h0h0h

=

=

)xcos(

1)hcos(h

1)h(coslim)x(sen1)xcos(

1)hcos(

1)hcos(

h

1)hcos(lim)x(sen

2

0h0h

=

)xcos(

1)hcos(h

)h(sen)h(senlim)x(sen)xcos(

1)hcos(h

)h(senlim)x(sen

0h

2

0h

=

)xcos(

1)hcos(

)h(sen

h

)h(senlim)x(sen

0h xcosxcos

1)hcos(

)h(senlim)x(sen

0h

CQD

0

Proposição 30: f(x) = cosx senxdx

)x(cosd

Demonstração:

Sendo f(x) = cosx, então f(x+h) = cos(x+h) = cos(x)cos(h)-sen(x)sen(h). Usando

a definição de função derivada.

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(df

0h

Fundamental

do seno!!!

Fundamental

do seno!!!



=

h

)h(sen)x(sen)xcos()hcos()xcos(lim

h

)xcos()h(sen)x(sen)hcos()xcos(lim

0h0h

h

)h(senlim)x(sen

h

1)hcos(lim)xcos(

h

)h(sen)x(senlim

h

1)hcos()xcos(lim

0h0h0h0h

=

0 (já resolvemos)

= )x(sen1)x(sen0)xcos( CQD

Proposição 31: f(x) = ax alnadx

)a(d x

x

Demonstração:

Sendo f(x) = ax, então f(x+h) = ax+h. Usando a definição de função derivada.

h

aaalim

h

aalim

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(dfxhx

0h

xhx

0h0h

=

aln.ah

1alima

h

1aalim

x

h

0h

x

hx

0h

CQD

Exemplo: Derive a função f(x) = 1x .

Corolário 32: f(x) = ex x

x

edx

)e(d

Demonstração:

Sendo f(x) = ex, basta aplicar a proposição 31, com a = e.

xxx

x

e1eelnedx

)e(d

Proposição 33: Regra da cadeia Suponhamos que sejam deriváveis a função

f(x) e g(x) em relação à variável x, sendo elas f’(x) e g’(x), então:

dx

)x(gd)x(g

dx

df

dx

)x(fogd

Demonstração:

fog’(x)=h

))x(g(f))hx(g(flim

0h

=

)x(g)hx(g

)x(g)hx(g.

h

))x(g(f))hx(g(flim

0h

h

)x(g)hx(g.

)x(g)hx(g

))x(g(f))hx(g(flim

0h h

)x(g)hx(glim.

)x(g)hx(g

))x(g(f))hx(g(flim

0h0h

(1)

Sabemos que h

)x(g)hx(glim

0h

= g’(x). Precisamos resolver:

)x(g)hx(g

))x(g(f))hx(g(flim

0h

Faremos uma troca de variáveis: t = g(x+h) – g(x). Com h 0, teremos t 0.

Isolando g(x+h) = g(x) + t. Substituindo isso no limite:

Fundamental

do seno!!!

Proposição 22!!!



))x(g('ft

))x(g(f)t)x(g(flim

)x(gt)x(g

))x(g(f)t)x(g(flim

0t0t

.

Voltando a (1):

dx

)x(fogd

h

)x(g)hx(glim.

)x(g)hx(g

))x(g(f))hx(g(flim

0h0h

=

dx

)x(gd)x(g

dx

df CQD

Observação: 1. Sabendo as derivadas f’(x) e g’(x), a derivada da composta é

o produto de derivada de f, substituindo x por g(x), )x(gdx

df, por g’(x).

2. Toda essa demonstração NÃO É PARA ESQUECERES A MULTIPLICAÇÃO POR g’(x).

Ela é fundamental, sem ela a derivada ESTÁ TOTALMENTE ERRADA.

Exemplo: Derive as funções abaixo:

(a) f(x) = )x5(sen

(b) g(x) = )5(senx

(c) h(x) = )5(senxcos

(d) u(x) = )5(senxcos2

Corolário 35: Seja f(x) e g(x)=xn, considerando a função g(x) derivável, ou

seja, g’(x) existe, então a derivada da função gof(x) = g(f(x)) = f(x)n é dada

por:

dx

)x(fd)x(nf

dx

)x(fd 1n

n

Demonstração: Aplicando a regra da cadeia: Usando a versão gof(x):

dx

)x(fd)x(f

dx

dg

dx

)x(gofd



Considere g(x) = xn e f(x) qualquer função de x. gof(x) =f(x)n. A derivada de

g(x) é : dx

)x(dg= nxn-1, então 1n

)x(nf)x(fdx

dg . Substituindo na regra da cadeia:

dx

)x(fd)x(nf

dx

)x(fd 1n

n

. CQD

Exemplo: Determine as funções derivadas das funções abaixo:

(a) f(x)= (x2 + 1)100

(b) g(x)= 3²x4

(c) h(x)= 22

x3x

1

Proposição 36: u(x) = )x(g

)x(f

)²x(g

dx

)x(gd)x(f

dx

)x(fd)x(g

)x(g

)x(f

dx

d

Demonstração: Podemos demonstrar a derivada da divisão de duas funções

considerando que dividir equivale a multiplicar pelo inverso.

A proposição 28 nos diz que dx

)x(df)x(g

dx

)x(dg)x(f

dx

))x(g)x(f(d

. Nela, faremos a

seguinte adaptação: 1)x(g)x(f

)x(g

)x(f . Assim substituindo na proposição 28:

dx

)x(df)x(g

dx

)x(gd)x(f

dx

))x(g)x(f(d

)x(g

)x(f

dx

d 1

11

. (1)

Conhecemos f(x) e g(x), também suas derivadas, mas ainda não sabemos quem é

a derivada de [g(x)]-1 = )x(g

1.b

b Não podemos confundir [g(x)]-1 com g-1(x). Como por exemplo, se g(x) = ax, então

[g(x)]-1 = a-x e g-1(x)=logax. Uma é O inverso, e a outra é A inversa. Conceitos

matemáticos totalmente diferentes.



Agora, usando o corolário 35, temos que

dx

)x(gd)x(g

dx

)x(gd)x(g1

dx

)x(gd 211

1

.

Precisamos voltar para a equação (1):

)x(g

)x(f

dx

d

dx

)x(df)x(g

dx

)x(gd)x(g).x(f

12 =

dx

)x(df

)x(g

1

dx

)x(gd

)x(g

)x(f2

.

Neste ponto do desenvolvimento para chegar na resposta, só precisamos

manipular algebricamente a expressão.

)x(g

)x(f

dx

d

222)x(g

dx

)x(gd)x(f

dx

)x(fd)x(g

)x(g

dx

)x(gd)x(f

)x(g

dx

)x(fd

dx

)x(gd

)x(g

)x(f

dx

)x(fd

)x(g

1

. CQD

Exemplo: Determine as funções derivadas das funções abaixo: NO CADERNO

(a) f(x)= x³ - 2x +1

(b) g(x)= (x + 3)(4x² - 3)

(c) h(x) = x43

1x2

(d) f(x)= (x³ - 2x +1)²

(e) h(x)= tanx

(f) g(x)= lnx

(g) f(x)= ln(x2-1)

(h) h(x)= sen(ln(2x+1))

(i) g(x)= 32x-1 .cos(2x)

(j) f(x)= 1e

)x4tan(

x2

(k) f(x)= 1xlncos2

16. Derivada da Função Inversa

Temos como calcular a derivada de uma função conhecendo a derivada de sua

inversa. Por exemplo, f(x) = x2 em ]0,+[ e g(x) = x em ]0,+[ são funções inversas.

Vejamos: f’(x) = 2x e g’(x)= x2

1

Reescreveremos da seguinte maneira, considerando que y = f-1(x)= x

g’(x)= y2

1=

)y('f

1

Teorema 37: Teorema da função inversa Seja f: I ℝ uma função derivável e

crescente (ou decrescente) em um intervalo não trivial I. Se f’(x) 0 para

todo x I, então f-1 é derivável em f(I) e (f-1)’(f(x))= )x('f

1.

Exemplo: Determine as derivadas das funções abaixo, pelo teorema da função

inversa. NO CADERNO

(a) y = logax (b) y = arcsenx

(c) y = arccosx (d) y = arctanx



17. Derivadas Sucessivas

O princípio é simples. Dizemos que derivada segunda de uma função é a

derivada da função derivada. A derivada terceira é a derivada da derivada

segunda e assim por diante.

Notação: Para derivada segunda (derivada da derivada) "y"fdx

fd

2

2

Para derivada terceira (derivada da derivada segunda) 3

3

dx

fd= f”’ = y”’

Observações:1. Nada podemos garantir sobre a derivabilidade de uma função n

vezes. Existem funções que são infinitamente deriváveis e outras não existe

se quer a derivada de ordem 2. Podemos relacionar este fato com a continuidade

das funções. 3. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em função do

tempo. Por sua vez, velocidade é a taxa de variação do deslocamento em função

do tempo, ou seja, a aceleração é a derivada segunda do deslocamento em relação

ao tempo.

Exemplo: Determine as derivadas indicadas:

(a) Derivada segunda de f(x)= (x2 + 1)100

(b) Derivada quinta de f(x)= arcsen(cos(5x))

18. Funções não deriváveis

Existem funções que não possuem

derivadas em alguns pontos e também que não

são deriváveis em nenhum ponto. Vamos analisar

a característica geométrica da função que não

é derivável em algum ponto.

Como sabemos, a derivada em um ponto é o

coeficiente angular da reta tangente ao

gráfico da função no ponto dado. Para a

derivada não existir, o limite que a define

não existe, ou seja:

0

0

xx0

0

xx xx

)x(f)x(flim

xx

)x(f)x(flim

00

O coeficiente da reta tangente que se

aproxima

do ponto

em que x =

x0 pela

esquerda é

diferente

do

coeficiente da reta tangente que se

aproxima pela direita. Assim temos duas

retas tangentes distintas para o mesmo

ponto. Quando isso acontece? Observe o

gráfico ao lado. A reta a (azul) é a reta

tangente ao gráfico no ponto A(2,0) pela

esquerda. A reta b (vermelha) é a reta

tangente ao gráfico no ponto A pela



direita. O gráfico possui um “bico” neste ponto, assim como no ponto B(-2,0).

A função f não é derivável nos pontos A e B. Para uma função ser derivável o

comportamento do gráfico não pode ter mudanças abruptas. Outro fator que torna

uma função não derivável num ponto é a descontinuidade. Pelo mesmo motivo dos

“bicos”, quando a função é descontínua num ponto, as retas tangentes pela

esquerda e pela direita deste ponto não coincidem.

No gráfico à esquerda, a função é descontinua no ponto O(0,0). A reta

tangente à função no ponto O pela esquerda é a reta horizontal d (verde) e a

reta tangente à função no ponto O pela direita é a reta vertical e (vermelha).

Também não é derivável.

Proposição 38: Se a função y = f(x) não é contínua no ponto x = x0, então f(x)

não é derivável no ponto x= x0.

Corolário 39: (Contra recíproca) A função derivável no ponto x = x0 é contínua

no ponto x = x0.

19. Derivadas Laterais

Definição 15: Derivada lateral à direita da função y=f(x) no ponto x = xo é

dado por f’+(x0) =

0

0

xx xx

)x(f)x(flim

0

.

Definição 16: Derivada lateral à esquerda da função y=f(x) no ponto x = xo é

dado por f’-(x0) =

0

0

xx xx

)x(f)x(flim

0

.

Importante definição para, por exemplo, determinarmos retas tangentes a curvas

em ponto com “picos”, ou em pontos de descontinuidade, cujas derivadas não

existem, mas as laterais podem existir.

18. Alguns exercícios

Atenção: Os exercícios aqui indicados são apenas uma amostra.

RECOMENDAMOS EXPRESSAMENTE que busques fontes bibliográficos

para complementar teu estudo.

Em relação às funções abaixo, calcule as derivadas nos pontos indicados se

existirem:

1- f(x) = x³ determine f’(1)

2- f(x) = x²+x

1 determine f’(1)

3- f(x) = x2 determine f’(2)

4- f(x) = 1²x

1

determine f’(0)

Determine a equação da reta tangente às funções abaixo, nos pontos

indicados:

5- f(x) = x²- 3x – 4 no ponto em que x = -1



6- f(x) = x

1 no ponto em que x = 1

7- f(x) = 1x no ponto em que x = 5

8- Um projétil é lançado de um penhasco de 122,5 metros de altura. O

deslocamento s, em metros, do projétil em função do tempo t, em segundos, é

descrito pela função s(t)=4,9t², determine a velocidade e a aceleração do

projétil nos instantes:

(a) t = 0 s (b) t = 1 s (c) t = 3 s (d) Em que atinge o solo.

Determine as funções derivadas das funções abaixo:

9- f(x) = 3x(8x³-2)

10- g(x) = 3²x

1x

11- h(x) = 3 2x7²x6

12- f(x) = e(x³+2)³

13- g(x) = )1x2ln(

1x2

14- h(x) = 1x

ex

15- f(x) =

4

x21

1x3

16- g(x) = x11

17- h(x) = cos(4x²-1)

18- f(x)=

2

9x4²sen

19- g(x)=ln(cos(5x))

20- h(x) = tan(x)

21- f(x) =

x4²x3

senxln

22- g(x) =

2

xe

²x9ln

23- h(x) = (3x²+5)4x+1

24- f(x) = )x5(tan12

12. Taxa de variação - pertenceamatematica /...

Documents

Transcript of 12. Taxa de variação - pertenceamatematica /...