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Artigo Original DOI:10.5902/2179460X14529

Cincia e Natura, Santa Maria, v. 37 Ed. Especial PROFMAT, 2015, p. 47 57Revista do Centro de Cincias Naturais e Exatas - UFSMISSN impressa: 0100-8307 ISSN on-line: 2179-460X

Mtodo para resolver equaes diofantinas com coecientes no

conjunto dos nmeros racionais

thod for solving Diophantine equations with coecients in the set of rational

numbers

Josias Neubert Savis*1e Daiane Freitas2

1,2 Universidade Federal do Rio Grande, RS, Brasil

Resumo

Desenvolver um conhecimento slido sobre as equaes diofantinas lineares em duas variveis possibilita a

resoluo de muitos problemas do cotidiano e, tambm, o real entendimento de alguns conceitos matemticosensinados na escola, mas que parecem sem utilidade e sem aplicao prtica. Alm disso, as relaes que estasequaes estabelecem com outros contedos que j esto inseridos na educao bsica justicam o seu ensinoe a tornam uma importante ferramenta de contextualizao e interdisciplinaridade. Neste trabalho tambmmostraremos, a importncia do ensino dos nmeros racionais e neste contexto fazer uma anlise sobre um novoconceito de mximo divisor comum, chamado mximo divisor comum generalizado, com isto poderemos usaros racionais como conjunto numrico dos coecientes das equaes diofantinas, expandindo a abrangncia de

problemas solucionados por estas equaes. A criao de vrios problemas prticos de aplicao da teoria estudadaserve para nos convencermos da importncia deste trabalho e para incentivar a sua aplicao e a criao de novos

problemas levando em considerao a realidade de cada escola e de seus alunos.

Palavras-chave: Equaes diofantinas. Nmeros racionais. Problemas prticos. Contedos relacionados

Abstract

Develop a solid understanding of linear Diophantine equations in two variables facilitates the resolution of manyproblems of daily life and also the real understanding of some mathematical concepts taught in school but they seemuseless and without practical application. Moreover, the relationships that these equations are established withother content that are already inserted into the basic education justify their education and become an importanttool for contextualizing and interdisciplinarity. This work also aims to show the importance of teaching of rationalnumbers and in this context do analysis on a new concept of greatest common divisor,called generalized maximumcommon divisor, and thus we can use the numberpad as rational coecients of Diophantine equations, expandingthe breadth of problems solved by these equations. The creation of various practical problems of implementation ofthe theory studied serves to convince us of the importance of this work and to encourage their implementation and

creating new problems taking into account the reality of each school and its students.

Keywords: Diophantine Equations. Rational numbers. Practical problems. Related contents.

Recebido: 26/06/2014 Aceito: 08/10/2014

*[email protected]

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1 Introduo

Equao diofantina linear em duas variveis um tipo

de equao que, alm de apresentar conceitos especi-ais na sua resoluo, como por exemplo a viso de so-luo geral da equao que determinada atravs dainsero de um parmetro (conceito este usado no es-tudo das equaes paramtricas, em geometria anal-tica), ajudam a resolver vrios problemas curiosos e in-teressantes e tambm desenvolver o raciocnio dos alu-nos atravs da unio da resoluo de clculos com ainterpretao de problemas. Para que seja possvel ensi-nar estas equaes, outros conceitos devem ser aborda-dos como pr-requisitos, como por exemplo a divisoeuclidiana, o algoritmo de Euclides e o mximo divisor

comum (mdc) entre dois ou mais nmeros inteiros.

Mesmo que as equaes diofantinas no estejam de-finidas como contedo da educao bsica, possvelimprovisar e inserir este contedo no contexto escolar,de preferncia relacionando-o com outros contedos jtrabalhados normalmente, os contedos de matemticatm uma flexibilidade que permite adaptar o ensino deacordo com a necessidade e realidade de cada turma,escola ou regio.

Fato curioso sobre as equaes diofantinas linearesem duas variveis, as quais podem ser escritas da formaax+by = c, o de que os coeficientes desta equaodevem pertencer ao conjunto dos nmeros inteiros (Z),ou seja , a, b, c Z. muito difcil olhar para estasequaes e em algum momento no pensar "ser que seos coeficientes pertencessem a outro conjunto numricoteramos condies de encontrar sua soluo geral?"oumesmo difcil analisar um problema aplicado resol-vido atravs das equaes diofantinas e no passar namente o devaneio de tentar criar um problema envol-vendo dinheiro e decimais de igual resoluo atravs

dos mesmos conceitos e do mesmo formato de equao.

Por isso, desenvolvemos uma relao interessante einovadora entre nmeros racionais e equaes diofan-tinas, possibilitando a resoluo de uma infinidade deproblemas didticos e do cotidiano. Esta relao poss-vel atravs da generalizao de conceitos at ento ado-tados somente no conjunto dos nmeros inteiros aos n-meros racionais (Q), e reais comensurveis, tais como oconceito de mximo divisor comum que nos racionaischamaremos de mximo divisor comum generalizado

(mdcg) e os coeficientes de uma equao do tipo diofan-tina que podero pertencer ao conjunto dos nmerosracionais (Q).

2 Divisibilidade e Mximo Divisor

Comum (MDC)

Ao longo deste trabalho, mostraremos algumas defini-es, proposies e teoremas que so necessrias paraa compreenso do mesmo. Porm, algumas proposi-es e teoremas que julgamos de fcil compreenso nosero demonstradas, mas podem ser encontradas em(Hefez, 2011), (Martinez, 2011) e (Neto, 2012).

Definio 2.1. Dados a,b Z, com b = 0, dizemos que bdivide a, ou que b um divisor de a, ou ainda que a mltiplode b, e escrevemos b|a, se existir q Z tal que a= bq. Casob no divida a, escrevemos ba.

Proposio 2.1. Sejam a, b, c Z e x ,y inteiros quaisquer.Tem- se que:(a) Se b|a , ento|b| |a|.(b) Se b|a e a|b , ento a= b.(c) Se c|b e b|a , ento c|a.(d) Se c|a e c|b, ento c|(ax+by).(e) Se c|b, ento c|ab( um caso particular do item anterior).(f) Se b|a , ento bc|ac.

Teorema 2.1(Diviso Euclidiana). Para quaisquer a, b

Z, com b=0, existem nicos q, r Z , tais que a= bq+r,onde0 r < |b|.

Definio 2.2. O Mximo Divisor Comum de dois inteirosa e b (com a ou b diferente de zero), denotado por mdc (a, b)ou simplesmente por(a, b), o maior inteiro que divide a e b,ou seja, o maior inteiro que pertence ao conjunto dos diviso-res de a e b.

Definio 2.3. O Mnimo Mltiplo Comum de dois inteirosa e b (com a ou b diferente de zero), denotado por mmc (a, b)ou simplesmente por [a, b], o menor inteiro que mltiploa e b, ou seja, o menor inteiro que pertence ao conjunto dosmltiplos de a e b.

Lema 2.1. Sejam a e b dois inteiros positivos e a = bq+r,com0 r < b e q Z. Ento mdc(a, b) =mdc(b, r).

Assim, pelo lema anterior, dados a, b inteiros posi-tivos com a b, o problema de encontrar o mdc(a, b),reduz-se a encontrar o mdc(b, r), onde r tal que a =bq+r, com 0 r < b. De posse desse resultado, po-

demos mostrar o algoritmo de Euclides. Este algoritmoapresenta duas funes muito importantes: primeiro, oalgoritmo de Euclides fornece o mdc(a, b) de maneirarpida e sistemtica; segundo, atravs deste algoritmo

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possvel escrever omdc(a, b)como combinao linearde a e b , fato este que ser indispensvel para a resolu-o das equaes diofantinas lineares com duas vari-veis, que sero abordadas mais adiante.

Vamos ao mtodo chamado de algoritmo de Eucli-des. Sejam a e b inteiros positivos, com a b. Na-turalmente, repetindo o algoritmo da diviso euclidi-ana,temos:

a = bq1+r1, com 0 r1 < b

b = r1q2+r2, com 0 r2 < r1

r1 = r2q3+r3, com 0 r3 < r2...

rn2 = rn1qn+rn, com 0 rn 0 e 284 7t > 0,

e portanto,t 36 et 40Deste modo o valor da varivel t fica delimitado as-

sim: 36 t 40.

Analisando as sentenas gerais que determinam onmero de carros e de motocicletas, podemos perceberque quanto maior o valor de t maior ser o nmero decarros e menor o de motos, e quanto menor o valor de to nmero de motos ser mximo e o nmero de carrosser mnimo, ou seja, quando t = 40 ento C = 18 eM = 4 e quando t = 36 ento C = 2 e M = 32. Destaforma conclumos que passou no mximo 18 carros ouno mximo 32 motos neste pedgio.

6.2 Resoluo de equaes do tipo diofantinascom coeficientes racionais

Exemplo 6.2. Guardo em um cofre s moedas de R$ 0,25e R$ 0,10. Quantas moedas so necessrias, no mnimo,tendo ao menos 6 moedas de cada valor, para que eu tenhaR$ 25,00?

Este problema ser resolvido utilizando os conheci-mentos sobremdc generalizado.

Resoluo

Do problema acima extramos a equao 0,25X+0,10Y= 25. Pelo Teorema 4.2, temos que

mdcg(0,25;0,10) = mdcg

1

4,1

10

=

mdc(1,1)

mmc(4,10) =

1

20=0,05

Assim, utilizando o algoritmo de Euclides para en-contrar o mdcg como combinao linear dos coeficien-tes, temos a equao

0,05= 0,25+0,10.(2)que multiplicada por 500 resulta

25= 0,25.(500) +0,10.(1000)

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Se pensarmos em uma resoluo anloga ao Teo-rema 5.2 para os coeficientes racionais, teremos

X = 500+ 0,10,05

t

Y = 10000,250,05

t

Ento a "soluo geral"da equao com coeficientesracionais dada por

X = 500+2t, comt Z

Y = 1000 5t, comt Z

Calcula-se agora os limites do valor de t possveisde acordo com as exigncias do problema.

500+2t 6 1000 5t 6t 247 t 202

Analisando o problema percebe-se que o nmero m-nimo de moedas ocorre quando t = 202. Dessa ma-neira,

X = 500+2.(202) =96 moedas

Y = 1000 5.(202) =10 moedas

O nmero mnimo de moedas deve ser 96 moedasde R$ 0,25 e 10 moedas de R$ 0,10.

Exemplo 6.3. Em um posto de combustvel o preo da gaso-lina R$ 2,89 o litro e o preo do leo diesel R$ 2,39 o litro.Em um dia foram arrecadados R$ 5000,00 com a venda decombustvel. Calcule o total de litros de gasolina e leo dieselvendidos, sabendo que foi vendido mais gasolina do que diesel,mas a diferena foi a mnima possvel.

Resoluo

Usando G para representar a quantidade de litrosde gasolina e D para a quantidade de litros de leo die-sel vendidos, podemos encontrar uma equao do tipodiofantina mas com coeficientes racionais para solucio-nar o problema.

2,89G+2,39D = 5000

mdcg(2,89;2,39) = mdcg( 289100

,239100

)

= mdc(289,239)

mmc(100, 100)

= 1100

=0,01

Como omdcg(2,89;2,39) =0,01 divide 5000, ento oproblema tem soluo e podemos usar o algoritmo deEuclides para encontrar o mdcgdos coeficientes comocombinao linear dos coeficientes da equao.

1 4 1 3 1 1 52,89 2,39 0,5 0,39 0,11 0,06 0,05 0,010,5 0,39 0,11 0,06 0,05 0,01

Fazendo as substituies necessrias, encontramos a"soluo geral"

G =

21500000+239t , com t Z

D = 26000000 289t ,com t Z

Usando as restries do problema, temos:

21500000+239t > 26000000 289t

528t > 47500000

t 89963

G = 21500000+239.89963=1157

D = 26000000 289.89963=693

Portanto, foram vendidos 1157 litros de gasolina e693 litros de leo diesel.

O problema acima pode em alguma turma da educa-o bsica "assustar os alunos"devido aos altos valoresdas solues G0, D0 e tambm da varivel t. Mas valelembrar que existem infinitas solues gerais de umaequao diofantina, e pode ser encontrado uma solu-o geral que tenha os valores dex0e y0bem menorese com isto os limites da varivel t tambm se tornammenores.

7 Relao entre equaes diofantinas

e funo afim

Ao estudarmos as equaes diofantinas lineares em duasvariveis inevitvel a comparao das mesmas comuma funo polinomial do 1o grau (ou funo afim),pois toda funo afim pode ser escrita da forma ax +by = c, coma, b, c, x,y R.

Contudo, esta comparao deve ser efetuada commuito cuidado, devido aos conjuntos numricos distin-tos em que so trabalhados uma equao diofantina euma funo afim. correto afirmar, por exemplo, que

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toda equao diofantina linear com duas variveis re-presenta uma funo afim que tenha a restrio das va-riveisxe ypertencerem ao conjunto dos nmeros intei-ros (Z) (ou seja, representa um conjunto de pontos queesto alinhados no plano) ou que ao permitirmos queas variveisx e yde uma equao diofantina pertenamao conjunto dos nmeros reais (R) obtm-se uma fun-o afim. Porm, no verdade que toda funo afimrepresenta uma equao diofantina, e para mostrar istobasta tomar os coeficientesa, b I, onde I representa oconjunto dos nmeros irracionais.

Para esclarecer melhor estas diferenas citadas acima,vamos analisar um exemplo atravs da sua resoluo esua representao geomtrica no plano cartesiano.

Exemplo 7.1. Encontre a soluo geral da equao diofan-tina3x+ 2y= 7, represente esta soluo no plano cartesianoe compare com o grfico da funo afim f : R Rque tema forma cartesiana3x+2y= 7.

Resoluo

A equao 3x+ 2y= 7 pode ser resolvida facilmenteusando os conhecimentos adquiridos at o momento.

1 = 3 (1) +2 (1) (7)7 = 3 (7) +2 (7)

A soluo geral x = 7+2t e y = 73t, comt Z. A representao no plano da equao acima apresentada na Figura 3.

O grfico apresentado na Figura 4 o grfico dafuno afim 3x+2y = 7, com x,y R e serve paraque possamos comparar e entender as semelhanas ediferenas entre a funo afim 3x+2y= 7 e a equao

diofantina 3x+2y= 7.Fazendo a anlise do grfico acima, percebemos que

a partir do momento em que encontramos um nicoponto(x0,y0)ondex0,y0so uma soluo particular daequao diofantina estudada conseguimos encontrar to-dos os outros pontos que tambm so soluo da equa-o, pois como a soluo geral representa por x =

x0+b

dt e y = y0

a

dt com t Z e d = mdc(a, b)como

j vimos anteriormente, basta aumentar ou diminuir b

dno valor da abscissa x0 e respectivamente diminuir ou

aumentar a

d no valor da ordenada y0 e repetir este pro-cesso em cada ponto (xn,yn)encontrado.

Figura 3: Soluo da equao diofantina 3x+2y= 7.

Figura 4: Grfico da funo afim 3x+2y= 7.

8 Relao entre equaes diofantinas

e progresso aritmtica (P.A.)

Uma progresso aritmtica (P.A.) uma sequncia nu-

mrica em que a diferena entre um termo e seu anteces-sor sempre a mesma, para qualquer termo da sequn-cia. O termo geral de uma P.A. encontrado atravs dafrmula an = a1+ (n1).r, onde an o termo geral,a1 o primeiro termo da P.A., n N

a posio dotermo procurado e r a razo da P.A. que definidaporr = a2a1 = ... = anan1. Para facilitar a asso-ciao que pretendemos fazer, vamos escrever o termogeral da P.A. comoan = a1 r+rn. E o fato de n N

condio necessria em uma P.A. pois n a ordem doelementoan.

Para representar uma progresso aritmtica no planocartesiano podemos escrever a P.A. como funo de x ey onde an = y e n = x. Mas como n pertence ao con-junto N = {1,2,3,4,5, }, podemos perceber que seugrfico ser discreto, ou seja ser igual ao grfico deuma equao diofantina. Ento, podemos estabeleceruma relao entre estes assuntos de matemtica. Fa-zendo as substituies de x e y temos:

an = a1r+rn

y = a1r+rx

e portanto

rx + y= a1r

-

-

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Figura 5: Grfico da P.A an = 1 + 3ne soluo da equa-o3x+y= 1

A equao rx + y = a1 r uma equao dio-fantina, onde a = r, b = 1 e c = a1 r. Comomdc(r,1) = 1 e 1|a1r ento a equao tem soluo.E a soluo geral ser x = x0+t = 1+t, pois sempreteremosx0 =1 e y = y0+rt, comt N, y0 = a1 er a razo da P.A. que da origem a esta equao.

Pelo que foi provado acima, podemos concluir quetoda equao diofantina da forma ax+y = c que obe-

decem as restries adicionais de s admitir x N

e t N, representam tambm, automaticamente, umaprogresso aritmtica (P.A.). Mas fcil verificar que arecproca no verdadeira, ou seja, nem toda P.A. determo geral an = a1+ (n1).r gera uma equao dio-fantina. Basta tomar uma P.A. em que o primeiro termo um nmero decimal.

Veja o exemplo abaixo de uma progresso aritm-tica que pode ser trabalhada como uma equao dio-fantina, relacionando os dois contedos e mostrandograficamente a correspondncia entre os dois formatos.

Exemplo 8.1. Seja a P.A. (4,7,10,13,...). Encontre a equaodiofantina correspondente a esta P.A., calcule sua soluo ge-ral, e construa o grfico discreto que representa esta sequnciae equao simultaneamente.

Resoluo

Na P.A. acima temos a1 = 4, r = 3 e ento o ternogeral ser an = 1+3n. Fazendo as substituies dean = y e n = x chegamos na equao desejada:

y = 1+3x

3x+y = 1

A soluo geral neste caso pode ser calculada utili-zando as informaes da P.A. destacados nas frmulascitadas acima:

x = 1+t , com t N

t = 4+3t , com t N

O grfico apresentado na Figura 5 representa a P.Ade termo geral an =1+3ne a soluo da equao dio-fantina3x+y = 1 foi construdo utilizando a 1a ma-neira de construo que citamos, utilizando as funesde uma planilha eletrnica no Geogebra.

9 Concluses

Tivemos a oportunidade de esclarecer e desenvolver oestudo das equaes diofantinas lineares em duas vari-veis, um tipo de equao que se mostra eficaz na reso-luo de vrios problemas do cotidiano dos estudantese rica em relao quantidade, diversidade e propor-es destes problemas. Outro fator importante que foiapresentado e comprovado, o fato de estas equaesse relacionarem diretamente com outros contedos deoutras reas de conhecimento da matemtica que j so

abordadas normalmente na educao bsica.

A aceitao de um novo conjunto de coeficientespara estas equaes se baseia na fundamentao tericade um novo conceito demdc, o mximo divisor comumgeneralizado (mdcg), que possibilita explorar o conjuntodos nmeros racionais Q em sua totalidade e com amos-tras prticas de utilizao dos conhecimentos adquiri-dos sobre este assunto. Nos exemplos de aplicao dasequaes do tipo diofantinas com coeficientes racionaistrabalhamos com situaes que realmente podem acon-tecer no dia a dia, seja na zona urbana ou na zona rural.

Devido aos altos valores encontrados em suas resolu-es, acreditamos, que alguns destes exemplos poderocausar espanto nos alunos em um primeiro momento,mas que uma de suas funes ser cumprida depois doseu entendimento que mostrar a realidade da mate-mtica.

Referncias

Eves, H., 2011. Introduo histria da matemtica., 5thEdition. Editora da Unicamp, So Paulo.

Hefez, A., 2011. Elementos de Aritmtica, 2nd Edition.SBM, Rio de Janeiro.

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Referncias

EVES, H., 2011. Introduo histria da matemtica.,5th Edition. Editora da Unicamp, So Paulo.

HEFEZ, A., 2011. Elementos de Aritmtica, 2nd Edition.SBM, Rio de Janeiro.

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MA RTINEZ, F. B., 2011. Teoria dos nmeros, um passeiocom primos e outros nmeros familiares pelo mundointeiro, 2nd Edition. IMPA, Rio de Janeiro.

NETO, A. C. M., 2012. Tpicos de Matemtica Elementar:teoria dos nmeros. Vol. 5. SBM, Rio de Janeiro.

RIB EIR O, J., 2009. Matemtica 7o ano;Coleo ProjetoRadix. SCIPIONE, So Paulo.

RIP OL L, J., RIP OL L, C., SA NTANA , A., 2006. O

mnimo mltiplo comum e o mximo divisor comumgeneralizados, 5974.

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