149539884 Numeros Complexos e Polinomios Caio Guimaraes

Caio dos Santos Guimares

Matemtica

Em Nvel IME/ITA

Volume 1: Nmeros Complexos e Polinmios

1 Edio

Editora Vestseller So Jos dos Campos SP

2008

proibida a reproduo parcial ou total por quaisquer meios sem autorizao prvia do autor. Os transgressores sero punidos nos termos da lei. Denuncie o plgio, cpias ilegais, pirataria pela internet, sites para download pirata, comunidades piratas na internet anonimamente atravs do correio eletrnico do autor :

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Todos os direitos desta edio reservados a: 2008 Caio dos Santos Guimares

Editor responsvel: Renato Brito Bastos Neto Editorao: Renato Brito Bastos Neto

Capa: Cleiton Maciel

Esta obra pode ser adquirida diretamente na EDITORA VESTSELLER

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FICHA CATALOGRFICA: Preparada por Ruth Helena Linhares Leite e Luiza Helena de Jesus Barbosa.

B327m Guimares, Caio dos Santos

Matemtica em Nvel IME ITA / Caio dos Santos Guimares - So Jos dos Campos: Vestseller, 2008. 324p. ; v.1.

I. Matemtica II. Complexos (segundo grau) III. Polinmios IV. Ttulo

CDD 531

FOTOCPIA

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punidos com base no artigo 7, da lei 9.610/98. Denuncie o

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Todo o contedo dessa obra encontra-se registrado

na Biblioteca Nacional do Rio de Janeiro.

Sumrio 01 Nmeros Complexos : Introduo

1.1 A histria dos nmeros complexos.......................................... 07 1.2 Algumas Definies e Propriedades ...................................... 09 1.3 Representao Trigonomtrica do Complexo......................... 19 1.4 Representao Exponencial do Complexo.............................. 22 1.5 Propriedades Importantes..................................... ................. 27 1.6 Razes n-simas da unidade................................................... 35 1.7 Exerccios de Fixao ............................................................. 37

02 Nmeros Complexos: Geometria e os Complexos

2.1 O complexo como vetor .......................................................... 45 2.2 A Geometria Plana ................................................................. 51 2.3 Representao de Lugares Geomtricos ............................... 59 2.4 Exerccios de Fixao.............................................................. 65

03 Nmeros Complexos: Aplicao em Somatrios

3.1 Somatrios Binomiais ............................................................... 69 3.2 Outras Somas .......................................................................... 74 3.3 Interpretao Geomtrica......................................................... 79 3.4 Produtrios ............................................................................... 81 3.5 Exerccios de Fixao ............................................................. 82

04 Polinmios

4.1 A histria dos polinmios ........................................................ 86 4.2 Introduo: Razes de um polinmio ...................................... 88 4.3 Operaes com Polinmios e Fatoraes Importantes ......... 96 4.4 Relaes de Girard ................................................................ 108 4.5 Teorema de Newton ............................................................... 114 4.6 Teorema de Girard ............................................................... 117 4.7 MDC de Polinmios e Razes Comuns .................................. 122 4.8 Razes Mltiplas ..................................................................... 128 4.9 Exerccios de Fixao ............................................................. 132

05 Polinmios: Equaes Algbricas

5.1 Inspeo Algbrica de Razes................................................ 140 5.2 Equaes Recprocas ............................................................ 143 5.3 Transformadas Polinomiais ................................................... 150 5.4 Polinmio Interpolador de Lagrange ...................................... 161 5.5 Exerccios de Fixao ........................................................... 166

06 Polinmios: Anlise Grfica de Funes Polinomiais

6.1 Traando Grficos Polinomiais ............................................. 168 6.2 Comportamentos Especiais .................................................. 177 6.3 Teorema de Bolzano ............................................................. 187 6.4 Exerccios de Fixao ........................................................... 191

07 Resolues Comentadas Resolues Comentadas ..................................................................... 195 Apndice Apndice.................................................................................................322

Bibliografia Bibliografia.............................................................................................333

Projeto Rumo ao ITA Projeto Rumo ao ITA ............................................................................334

Prefcio

Os estudantes e professores do segmento IME ITA sempre estudaram

Complexos e Polinmios por bons livros didticos, mas ainda no dispunham

do livro que contasse todos os segredos, teoremas e artimanhas poderosas

para a resoluo de problemas mais avanados de nvel IME ITA. O livro s

agora foi publicado.

Esse manual de Complexos e Polinmios do Caio Guimares pode ser

chamado de O Livro vermelho dos Complexos e Polinmios. O autor no

poupou esforos para revelar em sua obra todas as ferramentas poderosas

importantes relacionadas aos Complexos e Polinmios, fornecendo ao leitor

tanto interpretaes algbricas quanto geomtricas sempre que possvel,

versatilidade essa que proporcionar ao leitor desse livro uma viso alm do

alcance. Mesmo os problemas mais inquietantes agora tero solues

elegantes e concisas, quando se dispe das melhores ferramentas para

resolv-los. Essas ferramentas foram todas concentradas nessa obra prima.

Assim, com muita honra que a VestSeller brinda os estudantes e

professores de todo o Brasil com a publicao dessa obra de valor

inestimvel. Estamos certos de que o empenho e a dedicao investidos pelo

autor em mais de ano ano de trabalho rduo certamente foram

compensados.

Ganhamos todos, os estudantes, os professores e a sofrida educao

brasileira

Parabns ao Caio Guimares.

Prof. Renato Brito Bastos neto

(autor do livro Mecnica Para Vestibulandos IME ITA)

Apresentao O livro Matemtica em Nvel IME/ITA tem como objetivo no somente dar a base aos alunos que desejam encarar as difceis provas de vestibular do IME e do ITA, mas tambm ajudar a aumentar a barra de dificuldade das matrias de matemtica lecionadas no ensino mdio, a fim de atingir o nvel exigido nessas provas. A leitura desse material tambm indicada a professores de cursos preparatrios para pr-vestibular, principalmente aqueles com nfase nos vestibulares militares. Compilamos neste livro um material que contm tanto a carga terica que o aluno pode precisar para consulta, quanto sries de exerccios (e muitos!), com resolues, que daro a ele a confiana necessria para encarar o vestibular militar. Neste primeiro volume, abordamos dois assuntos de extrema importncia, e principalmente, reincidncia nas provas tanto do IME quanto do ITA: Nmeros Complexos e Polinmios. O nosso objetivo, neste volume, de, junto teoria bsica desses assuntos, tambm mostrar diferentes aplicaes dos mesmos, bem como diversas situaes problemas que podem ser pedidas no grande dia da prova e os grandes truques de como se comportar frente a ela.

Caio dos Santos Guimares

So Jos dos Campos, SP - 2008

Dedicatria

Esse livro dedicado minha famlia (as pessoas mais importantes na minha vida): Ciro, Lcia, Marcos e minha companheira mais do que especial de todos os momentos, Fernanda. Amo vocs!

Agradecimentos Gostaria de agradecer a todos colaboradores desse projeto. Em especial, os que tiveram contato direto com o trabalho. Entre elas cito meus verdadeiros amigos aqui no ITA (meus colegas de quarto), que colaboraram, no s com o apoio moral (e uma amizade fundamental), mas tambm muitas vezes com seu intelecto, ajudando na confeco de diversas partes do livro: Hlder Suzuki, Henry Wei, Rodolpho Castro, Luiz Adolfo Schiller, Rafael Daigo Hirama, Felipe Moraes. Agradeo a Alessandra Porto pela ajuda com o material para o contexto histrico do livro e pelo pessoal da AER-09 pela ajuda na reviso do material. Agradeo tambm aos colaboradores Edmilson Motta (Etapa), a SBM (Sociedade Brasileira de Matemtica) e Sergio Lima Netto, que permitiram o uso de seus artigos e trabalhos para referncia. No poderia esquecer tambm os grandes mentores que tive durante a minha preparao para o vestibular, os professores e restante da equipe GPI (RJ) Turma IME/ITA 2003-2005 (verdadeiros mestres que nunca esquecerei!). Junto a eles gostaria de agradecer aos meus companheiros de cursinho (turma IME/ITA GPI 2004): Marcello Nunes, Jorge Veloso, Vinicius Assis; sem eles, eu no teria alcanado os objetivos dos meus sonhos de passar no to sonhado vestibular. E, finalmente, gostaria de agradecer minha famlia e aos meus amigos, que sempre estiveram presente em todas as minhas dificuldades e sucessos. Na hora de apoiar a escrita desse livro no foi diferente. A eles devo tudo que tenho e conquistei at hoje (e ainda sonho em conquistar!)

Como Estudar o Livro?

O livro muito voltado a resolues de questes do nvel IME/ITA.

Portanto, a teoria apresentada direcionada a resultados que sero bastante teis na resoluo das questes do gnero. O livro no destinado queles que nunca estudaram o assunto antes. Embora abranja todo contedo, para a melhor compreenso do material, aconselhvel que o aluno/professor j tenha tido contato com o assunto previamente.

As questes do IME e do ITA, em geral, abrangem mais de um assunto em um mesmo enunciado, portanto comumente nas questes que aqui so propostas, ser requerido que o aluno/professor saiba o bsico de outros ramos da matemtica (progresses aritmticas e geomtricas, geometria analtica, etc.). Quando isso for requisitado em algum segmento da parte terica, mencionaremos o assunto que deve ser pesquisado (por fora) para a total compreenso do segmento.

Recomendamos que o aluno/professor leia toda a parte terica (mais de uma vez, se necessrio) para a fixao das idias destacadas (lembre-se que todo o contedo aqui apresentado ser importante, no sendo aconselhvel que parte alguma seja descartada). D uma ateno especial aos exemplos resolvidos, que serviro de base para a resoluo dos Exerccios de Fixao.

Feito isso, o aluno/professor deve passar ento para a parte dos Exerccios de Fixao. Nessa seo voc no encontrar exerccios fceis (todos tm o estilo de questes IME/ITA), porm encontrar alguns exerccios mais difceis que os outros. Para melhor orientao criamos o seguinte cdigo:

a - Nvel Difcil 1 - Nvel Insano

Muitas das questes acompanham o nome de onde foram tiradas (algum vestibular, ou livro citado na bibliografia). Em alguns casos comum ver a palavra adaptada junto referncia. Isso acontece nos casos em que a questo a mesma que caiu no vestibular citado, porm com alguma alterao, tornando-a mais interessante para o nosso assunto (em alguns casos, a adaptao tornar uma questo mltipla-escolha em discursiva).

Recomendamos que, tendo resolvido as questes propostas em cada captulo, o leitor olhe as resolues comentadas no Captulo 7 para conferir suas respostas e confirmar se no houve algum descuido na hora de formular sua soluo. Lembramos aos leitores que organizao fundamental na hora de resolver uma questo numa prova (a banca precisa entender seu raciocnio), ento recomendamos que o leitor se baseie no estilo de formulao das solues propostas no capitulo 7 para treinar sua escrita.

Bons estudos!

1 Nmeros Complexos Introduo .13

Captulo 1 - Nmeros Complexos Introduo

1.1 A Histria dos Complexos

A entidade conhecida na Matemtica por nmero complexo um nmero da forma a + bi, onde a e b so nmeros reais e i a unidade imaginria, possuindo a propriedade de que 2i 1= , ou ainda, i 1= . Mas qual o sentido e, mais importante, a utilidade, de se definir a raiz de nmeros negativos? De onde surgiu o conceito de nmero complexo? Os matemticos da Grcia antiga julgavam bvia a constatao de que um nmero negativo no possua raiz. As equaes matemticas eram representaes de problemas concretos ou seja, chegando-se raiz de um negativo, conclua-se que o problema no tinha soluo. A necessidade de se atribuir um sentido raiz de -1 no surgiu, como muitos crem, a partir do estudo das equaes de segundo grau, mas sim da anlise da soluo de Cardano-Tartaglia para as equaes de terceiro grau da forma:

3x ax b= + A soluo dessa equao (veremos a demonstrao adiante) dada por:

= + + 2 3 2 3

3 3b b a b b ax 2 2 3 2 2 3

De acordo com o raciocnio anterior sobre razes de negativos, uma equao dessa forma s ter soluo se

2 3b a 0

2 3

Mas tomemos como exemplo a equao = +3x 15x 4 . evidente que x = 4 soluo dessa equao, pois 4 = 64 = 15.4 + 4. No entanto,


1.3 Representao Trigonomtrica do Complexo

Uma das formas mais comuns de se ver representado um nmero complexo na sua forma trigonomtrica. Todo complexo pode ser representado como um vetor no plano complexo de Argand-Gauss, tendo sua parte imaginria marcada no eixo vertical e parte real marcada no eixo horizontal.

Da representao geomtrica da figura 1.2.3:

( )( )

= = Re z z .cos

Im z z .sen

Podemos ento escrever um complexo z qualquer, de argumento como sendo:

( )= + z z . cos i.sen

Definio 1.3.1

z

Fig. 1.2.3

Notao: comum denotar + cos i.sen pela abreviao cis . Faremos o mesmo deste ponto em diante no livro. Exemplo 1.3.a Determine a forma trigonomtrica do complexo = +z 1 i Soluo: Podemos representar o afixo z no plano complexo de Argand-Gauss. Da geometria do problema na Fig. I, o mdulo de z, que corresponde hipotenusa do tringulo, determinado pelo Teorema de Pitgoras.

= + =2 2 2z 1 1 z 2

26 Matemtica em Nvel IME/ITA

z

Fig. I

Com uma ajuda de trigonometria bsica, podemos achar o valor do argumento do complexo z.

= =1tg1 4

Sabendo-se o mdulo e o argumento, podemos montar o complexo (Def. 1.3.1)

= + = z 1 i 2.cis 4

Exemplo 1.3.b possvel mostrar duas importantes relaes, citadas a seguir: ( ) ( )

( ) ( ) = + = = =

z 1 cis 2.cos .cis2 2

w 1 cis 2.i.sen .cis2 2

Soluo: Vamos utilizar trs identidades trigonomtricas conhecidas (ver Apndice):

2

2

sen 2.sen .cos2 2

1 cos 2.cos2

1 cos 2.sen2

= + = =

Se voc no conhece as relaes acima, sugerimos que pesquise a respeito de transformaes em arco-metade (trigonometria)! Analisando primeiro z:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )cis 2

z 1 cis 1 cos i.sen

2.cos i.2.sen .cos 2.cos . cos i.sen2 2 2 2 2 2

= + = + + = + = +

( ) ( )z 2.cos .cis2 2 =


Ou seja: ( ) ( )z 1 cis 2.cos .cis2 2 = + =

Frmula 1.3.1

OBS: O complexo z tem argumento igual metade de e mdulo igual a

( )2.cos 2 Fazendo o mesmo com w:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

w 1 cis 1 cos i.sen

2.sen i.2.sen .cos2 2 2

2.sen . sen i.cos2 2 2

= = =

=

Ao contrrio do caso anterior, a expresso dentro dos colchetes no exatamente ( )c is 2 . Vamos tentar fazer com que se torne algo do tipo. Multiplicando em cima por i. i = 1, no alteramos o valor de w:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

cis 2

w 1 cis 2.sen . sen i.cos .( i.i)2 2 2

2.i.sen . i sen i.cos2 2 2

2.i.sen . cos i.sen2 2 2

2.i.sen . cis2 2

= = =

= +

=

Ou seja: ( ) ( )w 1 cis 2.i.sen .cis2 2 = =

Frmula 1.3.2


Autor: No necessrio que o aluno decore essas duas expresses mostradas acima, mas importante saber que possvel representar os complexos z e w na forma trigonomtrica, pois isso ter um papel importante na resoluo de muitos dos exerccios que veremos ainda. A deduo, uma vez entendida, poder ser facilmente reproduzida pelo aluno ao ser requisitado que a mesma seja utilizada.

1.4 Representao Exponencial do Complexo

Eu tenho uma outra idia de representao para os complexos que facilitar muito a nossa vida quando formos demonstrar algumas relaes e propriedades!

No se assuste com a demonstrao. Leia e releia quantas vezes for necessrio!

Leonard Euler


Outra forma comum, e muito til como veremos mais a frente, de se representar um nmero complexo usando a sua forma exponencial (forma de Euler):

( )= + = i.xz z . cos x i.senx z .e

Frmula 1.4.1 Demonstrao: Para mostrarmos que todo complexo pode ser escrito na forma exponencial acima, devemos mostrar que, para todo x real, vale:

i.xcos x i.senx e+ =

Para isso, vamos recorrer a um resultado conhecido do Clculo Diferencial. O Teorema de Taylor diz que funes derivveis em qualquer ordem num ponto de seu domnio podem ser escritas na forma de um polinmio com grau infinito em torno desse ponto (tambm chamados de Sries Infinitas).

0 1 2 3cos x A A .x A .x A .x ...= + + + + 0 1 2 3senx B B .x B .x B .x ...= + + + +

x0 1 2 3e C C .x C .x C .x ...= + + + +

Vamos tentar descobrir os coeficientes desses polinmios. Faremos como exemplo a srie infinita de cosx .

0 1 2 3cos x A A .x A .x A .x ...= + + + + A expresso deve ser vlida para qualquer x. Fazendo x 0=

0 1 2 3 0cos0 A A .0 A .0 A .0 ... A 1= + + + + =

Derivando a Srie de Taylor de cosx em relao a x:

1 2 3 4senx A 2.A .x 3.A .x 4A .x .... = + + + +

Novamente a expresso deve ser vlida para todo x. Fazendo x 0=

1 2 3 4 1sen0 A 2.A .0 3.A .0 4A .0 ... A 0 = + + + + = Derivando novamente a Srie de Taylor em relao a x:


Exemplo 1.5c (IME) Mostre que a seguinte expresso representa um complexo (ou mais de um), e escreva-o(s) na forma x + y.i

17 24.i+

Soluo: Vimos que a radiciao de um complexo gera mais de um complexo (Frmula

1.5.7), i.e., podemos ter mais de uma raiz quadrada de um dado complexo.

( )2

Identidade

2

4 2

7 24.i a b.i 7 24.i a b.i a b 2.a.b.i

a b 7a b 712b2.a.b 24 a

144a 7a

a 7.a 144 0

+ = + + = + = + = = ==

= =

Como a real, devemos ter como nica soluo dessa equao do segundo

grau em a a soluo positiva:

7 25a a 42+= =

Como a.b = 12, temos: 4 3.i

7 24.i4 3.i++ =

De onde segue:

( ) ( )1 1 4 3.i 4 3.i

4 3.i 4 3.i . 4 3.i 257 24.i = = = + + +

1 4 3.i

257 24.i= + ^

Mostraremos a seguir uma Segunda Soluo para o mesmo problema.

40 Matemtica em Nvel IME/ITA 2 Soluo: No ensino mdio comum os alunos aprenderem (ao estudarem fatorao em geral) a expresso conhecida como Expresso do Radical Duplo.

+ + = + A A B A A BA B

2 2

A demonstrao dessa expresso simples e deixamos para que o leitor a faa como exerccio (Basta elevar o membro direita ao quadrado para concluirmos a prova). O sinal negativo para o membro direito veio do fato de que estamos trabalhando com complexos, e a radiciao pode sim levar a um resultado negativo. Vamos utilizar esse resultado na soluo da questo proposta.

7 24.i 7 24 1 7 576+ = + = +

Utilizando a Expresso do Radical Duplo:

( )( )

7 49 576 7 49 5767 24.i 7 5762 2

7 625 7 6252 2

7 25 7 252 2

16 9

4 3.i

+ + + + = + = + + = + + = +

= + = +

A partir da, a soluo anloga Soluo 1 e obtemos:

1 4 3.i257 24.i= + ^


Autor: Por enquanto o assunto parece no servir para muita coisa, a menos que a questo cobre especificamente as propriedades das razes n-simas da unidade. Guarde a ansiedade para o captulo 2 no qual usaremos e muito as tais razes da unidade para resolver problemas interessantssimos de geometria! 1.7 Exerccios de Fixao

Exerccio 1.1 Para que valores de n natural ser real o nmero:

n1 iz i.1 i+ =

Exerccio 1.2 Determine o valor de para que o complexo

i 1tg i +

esteja sobre a bissetriz do primeiro quadrante do plano de Argand-Gauss. Exerccio 1.3 Mostre que se z x y.i= + pertence circunferncia de raio unitrio centrada na origem do plano complexo, com exceo do complexo -1 ento z pode ser escrito na forma:

1 x y.iz1 x y.i+ += +

Exerccio 1.4 (IME - 1983) aProve que se ( ) ( )P(x) x a b.i x c d.i= + + + + onde a,b,c,d so reais no-nulos, admite uma raiz real, ento abd d bc= +

44 Matemtica em Nvel IME/ITA Exerccio 1.5 1 Mostre que todo complexo de mdulo unitrio e com parte real diferente de 1 pode ser escrito na forma abaixo, sendo k um nmero real arbitrrio.

k ik i+

Exerccio 1.6 Mostre que as razes n-simas da unidade esto em progresso geomtrica, e determine a razo dessa P.G. Exerccio 1.7 Determine os complexos que satisfazem seguinte equao:

5z z= Exerccio 1.8 Resolva novamente o exemplo 1.4, desta vez usando o resultado j mostrado:

1 cis 2.cos .cis2 2 + =

Exerccio 1.9 Mostre que o seguinte produtrio real:

( )( )( )( )3 3 5 5 7 7z z z .z z z z .z+ + Exerccio 1.10 (IME - 1983) Seja

n

n n1

S a= onde os na so complexos. Os mdulos dos na esto em P.G. e os seus argumentos em P.A. Calcule o limite da soma nS quando n tende a infinito. So dados:

( ) ( )= + =1 4 i. 3 127a . 3 i e a2 2 , Exerccio 1.11 (IME - 1977) a Seja o conjunto: { }A z : z 1= =^ . Determine a imagem de A pela funo g, complexa de varivel complexa tal que: ( )g(z) 4 3i z 5 i= + + . Exerccio 1.12 (IME, ITA) 1 Mostre que todas as razes da equao: ( )5 5z 1 z 0+ + = pertencem a uma mesma reta paralela ao eixo imaginrio no plano complexo. Exerccio 1.13 (IME - 2003) 1 Sendo a, b e c nmeros naturais em progresso aritmtica e z um nmero complexo de mdulo unitrio, determine um conjunto de valores para a,b,c,z de forma que eles satisfaam a igualdade:


a b c 91 1 1 1z z z z

+ + = Exerccio 1.14 (IME - 1982 adaptada) Sabendo que 1x x 2.cos + = , mostre que real a seguinte expresso, e a calcule, em funo de :

2008 2008x x +

Exerccio 1.15 (OBM-U) a Determine todos os valores inteiros positivos de m para os quais o polinmio ( )m mx 1 x 1+ + + divisvel por ( )2x x 1+ + . Sugesto: Um polinmio P(x) divisvel por Q(x) quando todas as razes de Q forem razes de P. Exerccio 1.16 (ITA - 2003) a Seja z pertencente aos complexos. Calcule a soma das razes 2z z z 2z 0+ + = . Exerccio 1.17 (ITA - 2000) O nmero complexo z a seguir possui argumento igual a 45. Determine o valor de a.

( )1 cosa 1 2cosa 2.senaz i. ; a 0, 2sena.cosa sen2a + = +

Exerccio 1.18 Mostre que: z i.z

Re 0z i.z

= + para qualquer z complexo.

Exerccio 1.19 (ITA - 2002) Seja z complexo. Das seguintes informaes, julgue quais so as verdadeiras.

2 22iz 5z i 2iz 5z iI Se w w

1 3.z 2iz 3 z 2 z 1 3.z 2iz 3 z 2 z+ + + = =

+ + + + + + +

( )2 z 3. 22iz 3i 3II Se z 0 e w , ento w

1 2i z z 5++ + = +

( ) ( )1 i zIII Se w , ento 2argz um arg w124 3 4i

+ = ++

a) Todas b) apenas I e II c) apenas II e III d) apenas I e III e) apenas II

46 Matemtica em Nvel IME/ITA Exerccio 1.20 (ITA - 2002) Das seguintes informaes a respeito da equao 2 3 41 z z z z 0+ + + + = , julgue quais so as verdadeiras. I. A equao possui pelo menos um par de razes reais. II. A equao possui duas razes de mdulo 1, uma raiz de mdulo menor

que 1 e uma raiz de mdulo maior que 1. III. Se n um natural no nulo, e r uma raiz dessa equao, ento:

kn

k 1

r 13 2=

+ + + = . Determine o menor n natural para que nz um imaginrio puro. Exerccio 1.22 a Sendo w uma raiz n-sima da unidade diferente de 1, mostre que: n 1 n1 2w 3w 4w ... n.w

w 1+ + + + + =

Exerccio 1.23 a Mostre que se um polinmio de coeficientes reais de grau n possui uma raiz complexa, ento o conjugado dessa raiz tambm ser raiz do polinmio. Exerccio 1.24 Determine o lugar geomtrico do conjunto das imagens no plano complexo do conjunto de complexos z tais que:

[ ]itz(t) 2 4.e , t 0,2= + Determine tambm o mdulo do complexo de mdulo mximo dentro do conjunto imagem dos complexos definidos acima. Exerccio 1.25 Mostre como poderamos obter um valor numrico para o numero complexo: ii

Exerccio 1.26 (Spiegel) Sendo z cis= , determine o valor de ( )i.zarg e Exerccio 1.27 (ITA 1991 adaptada) Sendo ( )2.cis 20 uma raiz quntupla de w. Determine as razes da equao:


Captulo 2 Nmeros Complexos Geometria e os Complexos

Neste captulo apresentaremos a importante relao entre o estudo dos nmeros complexos e questes de geometria. Obviamente, mesmo dominando o contedo desse captulo e resolvendo todos os respectivos exerccios no significar que todos os seus problemas acabaram. A geometria , no s um dos ramos mais bonitos da matemtica, como tambm um dos mais difceis. Por essa razo devemos ter em mente que as questes que sero resolvidas com o auxlio dos nmeros complexos so bastante especficas, e cabe ao aluno saber quando usar essa ferramenta na resoluo de um exerccio. Para que essa capacidade de distinguir quando ou no usar essa ferramenta se torne mais acentuada, propomos que o leitor dedique sua ateno leitura desse captulo. Vamos comear o captulo exemplificando que os complexos e a geometria caminham lado a lado. Exemplo: Vamos mostrar, usando um argumento geomtrico, a relao j provada analiticamente no captulo 1 (Exemplo 1.3b).

1 cis 2.cos .cis2 2 + =

Representao do circulo unitrio no plano complexo:

cis1 cis+

Fig. 1


Fig. 2.1.3

Autor: A representao vetorial de complexos nos permite resolver problemas de vetores com a ferramenta dos nmeros complexos e vice-versa! Vejamos como essa nova ferramenta poder nos ajudar a resolver aquelas questes trabalhosas de rotao de vetores!

Exemplo 2.1.a Considere o quadro ABCD definido pela diagonal AC com extremidades ( )A 1,1 ; B (3,4)= = . Determine os demais vrtices do polgono. Soluo:

2 Geometria e os Nmeros Complexos 53

Vamos imaginar o problema no plano complexo. Note que o vetor BCJJJG

dado pela rotao do vetor AB

JJJGde 90 graus nos sentido trigonomtrico. Podemos

escrever:

Fig. I

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

= = + = + + + = +

+ + = =+ + + = =

=

JJJG JJJGBC i.AB C B i. B A

3 4i B i.B i. 1 i

3 4i i 1 1 i .B2 5i 2 5i 1 iB .1 i 1 i 1 i

7 3i 7 3,2 2 2

7 3B ,2 2

Para achar o ponto D poderamos proceder da mesma forma. Outra forma seria perceber que os vetores so

JJJG JJJGAB e DC equivalentes (vetores

eqipolentes).

= = = + = JJG JJG 1 7AB DC B A C D D C B A ,

2 2

= 1 7D ,2 2

Rotao de Eixos Um famoso problema da Geometria Analtica consiste em determinar as coordenadas de um ponto de uma figura geomtrica em relao a um novo sistema de coordenadas rotacionado de certo ngulo em relao ao sistema de eixos original. Tal problema nos permite determinar, por rotao, equaes simplificadas de figuras geomtricas (por exemplo, as sees cnicas).


Re

Im

z1z2

z3

z4

z5z6

z7

z0

Fig. 2.2.1

Exemplo: 8z 1 0 = A soma das razes da equao, pela relao de Girard, nula (j estudamos isso!), o que est coerente com o fato do polgono formado acima ser regular (uma vez que, nesse caso, todos os vetores representantes dos afixos se anulam).

Concluso: Os afixos das razes n-simas da unidade formam no plano complexo um polgono regular de n lados. Condies para um tringulo ser eqiltero Teorema: Os afixos dos complexos 1 2 3z ,z ,z formam um tringulo eqiltero, se e somente se 1 2 3z w.z w.z 0+ + = , onde w uma raiz cbica da unidade, diferente de 1.

Resultado 2.2.1

Fig. 2.2.2

58 Matemtica em Nvel IME/ITA Demonstrao: 1 2 3z ,z ,z formam um tringulo eqiltero

2 1 2 3z z e z zJJJJG JJJJJG

formam um ngulo de 60 ( )3 2 1 2z z .cis z z3

=

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 i 3 2cis w2 2 3

w

z z . cis 1 z .cis 03 3

2 4z z .cis z .cis 03 3

z z .w z .w 0

= = =

=

+ =

+ =

+ + =

Exemplo 2.2.a (Putnam 67) Seja ABCDEF um hexgono inscrito em uma circunferncia de raio r. Mostre que se AB CD EF r= = = , ento os pontos mdios de BC,DE,FA so os vrtices de um tringulo eqiltero.

AB

C

D E

F

M2M1

M3

60

60 60

Fig. I

Soluo: Consideremos a origem do plano complexo no centro da circunferncia. Sabendo que os afixos B, D, F correspondem, respectivamente, s extremidades dos vetores rotacionados de 60 representantes dos afixos A, C, E, podemos escrever:

62 Matemtica em Nvel IME/ITA Teorema: Dois tringulos so semelhantes ( 1 2 3 1 2 3z z z ~ w w w ) se e somente se:

1 1

2 2

3 3

z w 1 z w 1 0z w 1

=

Resultado 2.2.4

Demonstrao: 1 1

2 2 1 2 3 1 2 3 3 2 2 1 1 2

3 3

2 1 2 1

3 1 3 1

z w 1 z w 1 0 z .w z .w z .w z .w z .w z wz w 1

z z w w

z z w w

= + +

=

Note que a condio para que um tringulo seja eqiltero est coerente com esse resultado. Se o tringulo 1 2 3z z z for semelhante ao tringulo 1w w onde w uma raiz cbica da unidade diferente de 1, deveremos ter que o tringulo 1 2 3z z z eqiltero. De fato, usando o teorema que acabamos de mostrar:

Im

Re1

w

wFig. 2.2.4

( ) ( ) ( )= + + =

+ + =

1

2 1 2 3 3 1 2

3

1 2 3

z 1 1 z w 1 0 z w z w z z .w z .w z 0 z w 1

z . w w z . w 1 z . 1 w 0

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 2 3

1 2 3

Se w w 1 0z .w 1 w z . w 1 z . 1 w 0

z .w 1 w z . 1 w 1 w z . 1 w 0

+ + = + + = + + =

( )

+ + =1 2 3w

z .w z . 1 w z 0

+ + =1 2 3z .w z .w z 0


2.3 Representaes de Lugares Geomtricos Vimos no captulo I que podemos interpretar o mdulo da diferena entre dois complexos como sendo a distncia entre os afixos dos mesmos no plano complexo. Muitos lugares geomtricos dos mais estudados na geometria analtica so definidos pelo conceito de distncia. No nos preocuparemos com propriedades especficas desses L.G., mas sim, como trabalharmos com eles no ramo dos complexos. Sugerimos que para a total compreenso do que discutiremos a seguir, o aluno tenha uma noo das definies dos L.G. citados, consultando um livro de geometria analtica. Vamos agora justamente analisar como descrever esses lugares geomtricos na forma de representao no plano complexo. Circunferncia o lugar geomtrico dos pontos que eqidistam de um mesmo ponto fixo no plano. A expresso que nos d a noo de distncia o mdulo da diferena entre dois complexos.

=z k R

Circunferncia de

centro em k e raio R

k , R ^ \

Alguns casos particulares:

< z k R

z R


Elipse o lugar geomtrico dos pontos tais que a soma das distncias desses pontos a dois pontos fixos (os focos da elipse) constante e maior que a distncia entre os mesmos dois pontos fixos. Com essa definio fica evidente que podemos representar o conjunto de elipses no plano complexo como sendo:

+ =1 2z F z F 2a

Elipse de focos F1 e F2, e eixo maior 2a.

^ \1 2F ,F , a

Alguns casos particulares:

Fig. 2.3.4

+ 1 2 z F z F 2a

Fig. 2.3.5

+ 1 2 z F z F 2a

Fig. 2.3.6

68 Matemtica em Nvel IME/ITA Vejamos outro exemplo de degenerao: { }: 1 1 1z z z + + =^ No difcil verificar que no existe z complexo que atenda condio dada no conjunto (deixamos como exerccio pro leitor que verifique isso). Quando isso acontece dizemos que a imagem do conjunto dado o conjunto vazio. Exemplo 2.3.a (ITA) Considere o conjunto dos complexos tais que:

z i.a k onde a e k so constantes reais positivas tais que >a k . Determine o complexo z pertencente imagem desse conjunto com o menor argumento. Soluo: A representao geomtrica do conjunto no plano complexo a mostrada na Fig. I Note que as imagens de z percorrem a circunferncia ilustrada, ou o interior dela, e para que z tenha argumento mnimo z deve ser tal que seu vetor representante seja tangente circunferncia. Do tringulo retngulo OAT formado segue:

a z k z a k= + =

ka

Im

Re

z

Z arg. Mn.

O

A

T

Fig. I Da geometria do problema, fcil ver que:

zk a kcos sena a a

= = = Logo o complexo de argumento mnimo ser:

2 22 2 k a kz z .cis a k . i.

a a

= = +

2k a kz k. 1 i.

a a = +

70 Matemtica em Nvel IME/ITA 2.4 Exerccios de Fixao Exerccio 2.1 Dados dois vrtices (0,0) e (4,3), qual a coordenada do terceiro vrtice que faz desse polgono um tringulo eqiltero? Exerccio 2.2 Dados dois vrtices (0,0) e (4,3), quais so as coordenadas dos outros dois vrtices que fazem desse polgono um quadrado cujos vrtices dados so de um mesmo lado? Exerccio 2.3 Determine uma condio entre z,w,u,v,z,w,u,v para que zw e uvJJJG JJG

sejam vetores paralelos no plano complexo. Exerccio 2.4 Determine uma condio entre z,w,u,v,z,w,u,v para que zw e uvJJJG JJG

sejam vetores ortogonais no plano complexo. Exerccio 2.5 Considere o ponto (1,3) no sistema de coordenadas ortogonal. Determine as coordenadas do mesmo ponto num sistema rotacionado de 30 no sentido trigonomtrico em relao ao sistema original. Exerccio 2.6 Considere u 3 11i; v 2 4i; w 1 5i; z 1 i= + = = + = + . Sobre os afixos desses complexos citados, podemos afirmar: (a) u,v,w so colineares (b) u,v,w formam um tringulo eqiltero (c) uv paralelo a wz (d) uv perpendicular a wz Exerccio 2.7 (SBM; Colmbia) 1 Dados um ponto P sobre uma circunferncia unitria e os vrtices 1 2 nA ,A ,...A de um n-gono regular

inscrito, prove que 2 2 21 2 nPA PA ... PA+ + + constante. Exerccio 2.8 a Se 1 2 nA ,A ,...A so vrtices de um polgono regular convexo inscrito em uma circunferncia de raio unitrio, prove que: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 4 1 nA A . A A . A A ..... A A n= Exerccio 2.9 (Putnam 55) 1 1 2 nA ,A ,...A um polgono regular inscrito em uma circunferncia de raio r e centro O. P um ponto sobre 1OA

JJJJJG. Mostre

que:

== n n nk

k 1PA OP r .


Exerccio 2.10 1 Utilize o resultado do desafio (Exerccio 1.34) para mostrar que os ngulos agudos do tringulo retngulo 3, 4, 5 so irracionais quando expressos em graus. Exerccio 2.11 (Teorema de Napoleo) 1 Seja ABC um tringulo qualquer. Sejam BCD, ACE e ABF tringulos eqilteros externos do tringulo ABC. Prove que os baricentros dos tringulos BCD, ACE e ABF so vrtices de um tringulo eqiltero.

Exerccio 2.12 1 Seja ABCD...PQ um polgono regular de n lados inscrito em um circulo de raio unitrio. Calcule o produto das medidas das diagonais AC, AD,...,AP. Exerccio 2.13 (ITA 03) a Determine o conjunto dos nmeros complexos z para os quais o nmero w pertence ao conjunto dos Reais. Interprete o conjunto geometricamente.

z z 2wz 1 z 1 3

+ += + +

Exerccio 2.14 (ITA 06) a Determine o conjunto A dos complexos z tais que:

z 2z 3 e 0 z 2i 1z 2i z 2i

+ = < +


Captulo 3 Nmeros Complexos Aplicao em Somatrios

Neste captulo apresentaremos mais uma aplicao de nmeros complexos em possveis situaes de questo tanto do IME quanto do ITA. A dificuldade do assunto est em saber exatamente quando utilizar a ferramenta apresentada para resolver problemas de somatrios, que no so resolvidos convencionalmente usando nmeros complexos. 3.1 Somatrios Binomiais Algo interessante que podemos retirar das propriedades de nmeros complexos a propriedade cclica de suas potncias. Em ciclos de quatro potncias o numero complexo ni se repete.

0 4 8 12

1 5 9 13

2 6 10 14

3 7 11 15

i i i i .... 1

i i i i .... i

i i i i .... 1

i i i i .... i

= = = = == = = = == = = = = = = = = =

Vejamos como podemos tirar proveito disso. Vamos analisar o desenvolvimento binomial conhecido como Binmio de Newton:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n 0 1 2 n0 1 2 nn n n n1 x C . x C . x C . x ... C . x+ = + + + +

Dessa expresso do Binmio de Newton, podemos tirar algumas importantes propriedades, tambm conhecidas como os teoremas do tringulo de Pascal. Fazendo x 1= na expresso do binmio:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n 0 1 2 n0 1 2 nn n n n1 1 C . 1 C . 1 C . 1 ... C . 1+ = + + + + De onde segue o importante resultado, conhecido, como Teorema das Linhas do tringulo de Pascal.

0 1 2 n nn n n nC C C ... C 2+ + + + =

Resultado 3.1.1

Analogamente, fazendo x 1= na expresso do binmio:

3 Complexos Aplicaes em Somatrios 75

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n 0 1 2 n0 1 2 nn n n n1 1 C . 1 C . 1 C . 1 ... C . 1 = + + + +

De onde segue mais um importante resultado:

( )n0 1 2 3 nn n n n nC C C C ... 1 C 0 + + + =

Resultado 3.1.2

Somando os dois ltimos resultados 3.1.1 e 3.1.2, e dividindo por 2 nos dois membros da soma, temos ainda:

0 2 4 n 1n n nC C C ... 2

+ + + =

Resultado 3.1.3

Da mesma forma, subtraindo os mesmos resultados 3.1.1 e 3.1.2, e dividindo por 2 nos dois membros da soma, temos tambm:

1 3 5 n 1n n nC C C ... 2

+ + + =

Resultado 3.1.4

OBS: Usamos as reticncias (...) para representar os demais binomiais da mesma seqncia (cuidado para no achar que existem infinitos termos

nessa sequncia). Continuaremos a usar essa notao nos prximos

exemplos.


Procuramos um nmero que se repita em potncias de 3. Ou seja, procuramos um nmero z, tal que

0 3 6z z z ...= = =

Ou ainda: 3z 1=

Ora, ns conhecemos os complexos que possuem essa propriedade, e, inclusive, j os estudamos! Basta tomar z como sendo uma das razes triplas da unidade.

2.k.z cis , k 0,1,23 = =

Ou seja, aconselhvel que analisemos o comportamento do desenvolvimento de Newton, para o binmio, por exemplo:

n21 cis3

+ A soma acima foi pedida justamente em uma prova do IME do ano de 2005, e encontra-se na lista de exerccios na seo 3.3 (Exerccio 3.4). Sua resoluo pode ser encontrada no captulo 7. 3.2 Outras Somas Vimos na seo anterior que somatrios muitas vezes esto ligados aos nmeros complexos. As resolues de questes envolvendo esses somatrios se baseiam na forma trigonomtrica da representao de um complexo e se utilizam das suas propriedades (Lei de De Moivre, por exemplo). comum vermos tambm progresses geomtricas como sendo a sada de problemas do mesmo gnero. Vejamos um exemplo a seguir: Exemplo 3.2.a (Spiegel) Determine o valor da soma, para n natural, tal que n > 1:

( )2 n 12 4 6S sen sen sen ... senn n n n

= + + + +

80 Matemtica em Nvel IME/ITA Soluo:

Os termos do somatrio so funes seno com o argumento crescendo em progresso aritmtica. A experincia adquirida na seo anterior nos sugere analisar a seguinte soma:

( )2 2 2 2A cis cis 2. cis 3. ... cis n 1 .n n n n = + + + +

Ora, pela Lei de De Moivre a soma A torna-se:

2 3 n 12 2 2 2A cis cis cis ... cisn n n n

= + + + +

Sendo: 2z cisn =

Temos: n 1A z z z ... z = + + + +

Note que a soma A exatamente uma soma de termos em progresso geomtrica de razo z.

n 1 nz 1 z zA z.z 1 z 1

= =

Da Lei de De Moivre: n2z cis z 1n = =

Portanto 1 zA 1z 1 = = para n > 1

Ora, pela construo da resoluo, sabemos que a soma pedida S justamente a parte imaginria de A, que nula

( )2 n 12 4 6S sen sen sen ... sen 0n n n n

= + + + + =

Exemplo 3.2.b (SBM) Determine o valor da soma, ligeiramente diferente da anterior para n natural:

2 3 nS sen sen sen ... senn n n n = + + + +


( ) ( )2. n 1 2 n 12 21 cis 1 cis ... 1 cis 1 cis nn n n n

=

Percebendo que, a cada 2 termos do produto, temos algo do tipo:

( ) ( )( ) ( )( )1 cis 1 cis 2 cis cis 2 2.cos = + = Aplicando isso no produto:

( )

( )n 1

2. n 12 42 2.cos 2 2cos ... 2 2cos nn n n

2 n 12 42 . 1 cos . 1 cos ... 1 cos nn n n

= =

Portanto:

( )n 1

2 n 12 4 n1 cos . 1 cos ... 1 cosn n n 2

=

3.5 Exerccios de Fixao Exerccio 3.1 Considere o seguinte desenvolvimento:

( )n 2 2n0 1 2 2n1 x x A A .x A .x ... A .x+ + = + + + + Determine expresses matemticas simplificadas para as seguintes somas:

0 1 2 2n 0 2 4 2n

1 3 5 2n 1 0 2 4 6

1 3 5 7 0 4 8

a) A A A ... A b) A A A ... Ac) A A A ... A d) A A A A ...e) A A A A ... f ) A A A ...

+ + + + + + + ++ + + + + + + + + + +

Exerccio 3.2 Calcule uma expresso matemtica para a soma:

2 6 10 14n n n nC C C C ... ?+ + + =

Exerccio 3.3 Faa o mesmo para a soma:

3 7 11 15n n n nC C C C ... ?+ + + =

88 Matemtica em Nvel IME/ITA Exerccio 3.4 1 (IME-05) Sejam as somas S0 e S1 definidas por:

3 n / 30 3 6 90 n n n n n

3 (n 1) / 3 11 4 7 101 n n n n n

S C C C C ... C

S C C C C ... C

+

= + + + + += + + + + +

Calcule o valor de S0 e S1 em funo de n, sabendo que r representa o maior inteiro menor ou igual a r. Sugesto: utilize o desenvolvimento do binmio de Newton para

n21 cis3 +

Exerccio 3.5 (ITA 95 adaptada) Para cada n pertencente aos naturais, quanto vale a seguinte soma ?

2 4 4n 24n 4n 4n1 C C ... C 1

+ + Exerccio 3.6 a Determine uma expresso matemtica simples, em funo de x para a seguinte soma:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 nn n n nC .sen x C .sen 2x C .sen 3x ... C .sen n.x+ + + + Exerccio 3.7 Mostre (sem necessariamente utilizar nmeros complexos) :

( )n k n 1 n 2nk 0

k.C n.2 n. n 1 .2 =

= + Exerccio 3.8 1 Faa o mesmo para a soma, com k sendo tomado em grupos de 4:

kn

k 0,4,8,...k.C

=

Exerccio 3.9 Mostre (sem necessariamente utilizar nmeros complexos):

( )n k n 1 nnk 0

k 1 .C n.2 2=

+ = + Exerccio 3.10 1 Faa o mesmo para a soma, com k sendo tomado em grupos de 4:

( ) knk 1,5,9,...

k 1 .C=

+ Exerccio 3.11 Mostre (sem necessariamente utilizar nmeros complexos):

kn n 1n

k 0

C 2 1k 1 n 1

+

==+ +


Exerccio 3.12 1 Faa o mesmo para a soma, com k sendo tomado em grupos de 4:

knn

k 0,4,8,...

Ck 1= +

Exerccio 3.13 (Spiegel) a Mostre que:

( )2 n 12 4 6cos cos cos ... cos 1n n n n

+ + + + =

Exerccio 3.14 Determine uma expresso simples para as somas:

( ) ( ) ( ) ( )a) cos x cos 2x cos 3x ... cos nxb) sen(x) sen(2x) sen(3x) ... sen(nx)

+ + + ++ + + +

Exerccio 3.15 (ITA 04) Sendo ( )1z . 1 i2

= + , calcule: 60

k 2 3 60

k 1z z z z ... z

== + + + +

Exerccio 3.16 Interprete geometricamente o resultado da soma da questo anterior. Exerccio 3.17 Calcule: ( )2003Im 1 2i 3.i 4.i ... 2004.i+ + + + +

Exerccio 3.18 (Spiegel) 1 Calcule:

( )n 12 3sen sen sen ... senn n n n

Exerccio 3.19 (ITA adaptada) Sejam x e y nmeros reais tais que:

x 3xy 13xy y 1

= = Ento o nmero complexo x+ i.y tal que z e z valem?

Exerccio 3.20 a A partir dos resultados do Exerccio 2.8, usando um argumento geomtrico, determine novamente o valor do produto:

( )n 12 3sen sen sen ... senn n n n


Captulo 4 Polinmios

4.1 A Histria dos Polinmios Ao longo da histria da humanidade, um dos problemas mais fascinantes entre os matemticos antigos era o de resolver equaes polinomiais. Para que valores de x, por exemplo, seria satisfeita a equao:

x 5x 6 0 + = ? A soluo de equaes do 2 grau creditadas ao hindu Bskara na verdade, de autoria de Sridahara, do sculo XI, tambm hindu. Os hindus participaram com um grande papel na matemtica, junto aos rabes, uma vez que uma das grandes potncias da matemtica, a Grcia antiga, estagnou-se em suas pesquisas durante invaso de seu territrio pelo Imprio Romano.

Uma das grandes discusses matemticas registradas na histria a ocorrida entre os matemticos italianos Girolamo Cardano e Nicol Fontana, mais conhecido como Tartaglia (Tartaglia traduzido a portugus significa gago, apelido dado ao matemtico devido aos seus distrbios de fala) em meados do sculo XVI. Naquela poca eram comuns publicaes anuais de matemtica, nos quais as mentes brilhantes da Europa propunham desafios a outros matemticos. Publicaes essas que faziam crescer o nome de muitos matemticos que conhecemos historicamente hoje, como Newton, irmos Bernouilli, Leibniz, entre outros. A histria diz que no incio do sculo XVI o matemtico Scipione del Ferro descobriu uma soluo para a equaes do tipo x px q 0+ + = , porm faleceu antes de public-la. Seu discpulo, Antonio Fior, conhecia o mtodo e resolveu publicar em uma dessas edies anuais o desafio, afim de engrandecer seu nome perante os matemticos contemporneos. O desafio constava em dar as solues numricas de equaes do tipo que del Ferro havia estudado. O matemtico Tartaglia, um humilde matemtico de origem pobre, aceitou o desafio e respondia todos com respostas diretas e precisas a respeito das razes, porm no revelava seu mtodo de obteno das mesmas. Por mais que Fior ousava desafiar Tartaglia, a resposta vinha sempre com preciso por parte do matemtico com distrbio de fala. Para finalizar a humilhao para cima de Fior, Tartaglia props um desafio ao mesmo que era de resolver equaes do tipo: x n.x px q 0+ + + = . Ao matemtico Fior, que no tinha mritos o suficiente para responder ao

4 P o l i n m i o s 91

desafio, restou aceitar a humilhao perante todos os matemticos contemporneos.

Nicolo Fontana Tartaglia

Nesta mesma poca, Girolamo Cardano, tambm italiano, estava escrevendo um trabalho de lgebra, e solicitou a Tartaglia que revelasse o mtodo de resoluo das equaes do 3 grau para que fosse publicado, com os devidos crditos, no seu livro. Tartaglia recusou, alegando que iria publicar ele mesmo o mtodo. Cardano era conhecido por sua falsidade, mas mesmo assim conseguiu convencer (sob juras de que seria devidamente creditado) o matemtico Tartaglia a revelar a soluo. Quebrando sua promessa, em meados do sculo, surgiu a publicao Ars Magna contendo a soluo das equaes do 3 grau sem meno alguma ao seu conterrneo.

Com a soluo de equaes cbicas conhecida, um grande problema na matemtica surgiu (refira-se introduo histrica dada aos Nmeros Complexos no captulo 1 deste livro) quando os matemticos pararam para analisar melhor a soluo de Cardano-Tartaglia para equaes do 3 grau:

= +x a.x b. A soluo vinda do matemtico italiano dizia que:

= + + 2 3 2 3

3 3b b a b b ax2 2 3 2 2 3

At o momento no era tido como algo matematicamente verdadeiro a raiz quadrada de nmeros negativos, de modo que equaes como x 15.x 4= + , no apresentassem solues de interpretao matemtica concreta, uma vez que de acordo com a soluo de Tartaglia:

3 3x 2 121 2 121= + + Desta forma criou-se em paralelo ao estudo das equaes algbricas polinomiais, o estudo dos Nmeros Complexos.

96 Matemtica em Nvel IME/ITA II) Polinmios do 3 Grau sem o termo do 2 grau (Regra de Cardano) A partir do grau 3, fica mais difcil determinar algebricamente (sem o auxlio de outras condies do problema) as razes para o polinmio, em geral. Veremos mais a frente (pedimos que por enquanto o leitor apenas acredite) que todo polinmio do 3 grau com coeficientes reais, admite pelo menos uma raiz real. A Regra de Cardano mostra que possvel determinar um algoritmo para achar essa raiz para um polinmio de 3 grau do tipo:

*P(x) x b.x c , b,c= + + \ Ex: *P(x) x b.x c , b,c= + + \ Vamos supor uma raiz real do tipo: u v = + com u e v a serem determinados.

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

P( ) 0 u v b. u v c 0

u 3.u.v.(u v) v b.(u v) c 0

u v u v . 3.u.v b c 0

= + + + + = + + + + + + = + + + + + =

Queremos achar u e v para que a igualdade acima seja satisfeita. Vamos tomar, por exemplo, u e v tais que:

u v c3.u.v b + = =

Para u e v acima, teremos = u + v sendo raiz do polinmio. Podemos, ainda, escrever:

u v cbu .v

27

+ = =

Vamos denotar: u p , v q = = p q c

b 1 bp . c p c.p 0b 27 p 27p.q27

+ = + = + = =

Usando a Regra de Bskara para resolver a equao do 2 grau acima:

c c b c c bp ; q2 4 27 2 4 27

= + = + +

Voltando s variveis u e v:

106 Matemtica em Nvel IME/ITA Exemplo 4.3.b (IME 1994) Mostre que P(x) divisvel por Q(x) onde P e Q so os dados:

= + + + + + + + + +999 888 777 666 555 444 333 222 111P(x) x x x x x x x x x 1 = + + + + + + + + +9 8 7 6 5 4 3 2Q(x) x x x x x x x x x 1

Soluo: Vamos determinar todas as razes de Q(x):

9 8 7 6 5 4 3 2Q(x) x x x x x x x x x 1= + + + + + + + + + O desenvolvimento de Q(x) uma soma de P.G. de razo x:

10x 1Q(x)x 1

= Portanto, as razes de Q(x) sero do tipo , tais que:

10 101 1 0Q( ) 0 01 1

= = =

Utilizando a frmula 1.6.1 da seo de Nmeros Complexos, temos que as razes de Q(x) so:

2kcis , k 1,2,3,...,910 = =

Verifiquemos se todas essas razes so razes de P(x):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

9 8 7 6 5111 111 111 111 111 111

1111010 111111 10

111 111 111

P( ) ... 1 =

2k 2kcis 1 cis1 1 10 101 1 1

= + + + + + + + = = = =

.10

( )( )

111

111

111

111 111

1

1

cis 2k 1 1 1 01 1

= = =

Portanto, todas as razes de Q(x) so razes de P(x). Do Resultado 4.3.3, temos que P(x) divisvel por Q(x). Exemplo 4.3.c (ITA adaptada) Suponhamos que os polinmios P(x), Q(x), p(x) e q(x) satisfaam as seguintes condies:

+ = = =^ P(x).p(x) Q(x).q(x) 1 x

P( p(1) ) 0 , Q(0) 0

Mostre que p(x) no divisvel por (x 1).

4 P o l i n m i o s 113

Como as razes esto em progresso aritmtica, podemos dizer que so do tipo:

r, , r + Das relaes de Girard para o polinmio, obtemos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1G3G

S r r 15 3 15 5

S r . . r 80 . r 80 r 3

= + + + = = = = + = = =

De onde segue que as 3 razes so:

2, 5, 8

Exemplo 4.4.b Para o polinmio 4 3 2P(x) x 5.x 9x 8= + determine a soma dos quadrados das suas razes.

Soluo: No sabemos o mtodo prtico de determinar as razes do polinmio do 4 grau dado. Porm, para calcular a soma dos quadrados delas no preciso que as conheamos individualmente. Sejam a, b, c, d essas razes: Das relaes de Girard para o polinmio, obtemos:

( )1G2G

S (a b c d) 0

S a.b b.c a.c a.d b.d c.d 5

= + + + = = + + + + + =

Levando em considerao que:

( ) ( )a b c d a b c d 2. a.b a.c a.d b.c b.d c.d+ + + = + + + + + + + + + Teremos:

( ) ( )1 2G GS 0 S 5

a b c d a b c d 2. a.b a.c a.d b.c b.d c.d

= =+ + + = + + + + + + + +

a b c d 10+ + + =

OBS: Note que, no exerccio anterior, calculamos a soma dos quadrados das razes do polinmio, sem conhecermos as mesmas, ou sequer sabermos se as razes eram reais puras ou no. De fato, o resultado de Girard geral, e no faz essa distino, nos permitindo aplic-lo para qualquer polinmio de coeficientes complexos.


k k 1 k 2 k 3

k k 1 k 2 k 3

k k 1 k 2 k 3

a. b. c. d. 0

a. b. c. d. 0

a. b. c. d. 0

+ + + = + + + = + + + =

Se somarmos membro a membro as 3 equaes teremos: ( ) ( )

( ) ( )* *k k 1

* *k 2 k 3

k k k k 1 k 1 k 1

S S

k 2 k 2 k 2 k 3 k 3 k 3

S S

a. b.

c. d. 0

+ + + + + +

+ + + + + + =

Exemplo 4.5.a Sendo a, b, c, d as razes do polinmio 4 2x 5.x 2x 1 0 + + = , determine a soma 4 4 4 4a b c d+ + + . Soluo: A soma pedida justamente *4S (leia-se S quatro de Newton). Pelo teorema de Newton (4.6.1), temos:

* * * * *4 3 2 1 0(S ) 0.(S ) 5.(S ) 2.(S ) 1.(S ) 0+ + + = .

Calculando as demais somas de Newton necessrias:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

*2

2

21 2G G

* 11 G* 0 0 0 00

S a b c d

a b c d 2. ab ac ad bc bd cd

S 2. S 0 2. 5 10

(S ) a b c d (S ) 0

(S ) a b c d 4

= + + + = + + + + + + + + = = = = + + + = = = + + + =

Substituindo na expresso de Newton:

* *4 3

* 4 4 4 44

(S ) 0.(S ) 5 10 2 0 1 4 0

S a b c d 46

+ + + =

= + + + =


4.9 Exerccios de Fixao

Exerccio 4.1 (ITA 2005 adaptada) O nmero complexo 2 + i raiz do polinmio 4 3 2x x p.x x q+ + + + com p, q sendo reais. Determine todas as razes do polinmio. Exerccio 4.2 (IME/ITA) Mostre que racional:

3 32 5 2 5+ +

Exerccio 4.3 (ITA 2003) Sejam a, b, c, d constantes reais. Sabendo que a diviso de 4 2x a.x b+ + por 2x 2x 4+ + exata, e que a diviso de x c.x dx 3 + + por x x 2 + tem resto igual a 5. Determine o valor de a + b + c + d. Exerccio 4.4 (IME) O polinmio P(x) de grau 2n + 1 tem todos os seus coeficientes iguais a 1. Ao dividirmos P(x) por D(x) do 3 grau encontramos o resto R(x). Sabendo que as razes de D(x) so distintas e so razes de

4x 1 e D(1) no nulo, determine R(x). Exerccio 4.5 (IME-1979) Resolva as equaes abaixo sabendo-se que a primeira tem uma raiz cujo valor o triplo do valor de uma raiz da segunda.

x 7.x 204x 1260 0x 15.x 394x 840 0

+ = + =

Exerccio 4.6 (IME-1983) Determine os valores de m para os quais as razes da equao biquadrada abaixo sejam reais e estejam em progresso aritmtica.

( ) ( )4 2x 3m 5 .x m 1 0 + + + =

Exerccio 4.7 a Demonstre as relaes de Girard (Resultado 4.4.1) pelo processo de Induo Finita. Exerccio 4.8 (IME - 2006) a Considere o polinmio:

5 4 3 2x 3.x 3.x 27.x 44.x 30 + + Sabendo que o produto de duas de suas razes complexas igual a 3 i e que as partes reais e imaginrias de todas as suas razes so inteiras e no-nulas, calcule todas as razes do polinmio.

4 P o l i n m i o s 137

Exerccio 4.9 (IME) Sem resolver a equao, calcule o valor do somatrio dos inversos dos cubos das razes (para m inteiro maior que zero):

4 3 2m.x 8.x 139.x 18.x 9 0+ + = Exerccio 4.10 Determine as solues da equao abaixo dados que uma das razes igual soma das outras duas. 36.x 12.x 5x 1 0 + = Exerccio 4.11 (IME - 1995) a Determine o valor de b para que o polinmio, de coeficientes reais, 4 3 2x a.x b.x c.x d+ + + + tenha quatro razes no-reais, duas somando 3 + 4.i e as outras duas com produto 13 + i. Exerccio 4.12 (IME 2006 adaptada) Seja p(x) um polinmio do 5 grau com coeficientes inteiros (sendo o coeficiente do termo de maior grau unitrio). Sabe-se que as cinco razes de p(x) so nmeros inteiros positivos, sendo quatro deles pares e um mpar. O nmero de coeficientes pares de p(x) ?

Exerccio 4.13 Mostre que a fatorao a seguir vlida.

( )2 2 3 4 5 61 x x x 1 2x 3x 4x 3x 2x x+ + + + + + + + + Exerccio 4.14 (IME - 2003) 1 As razes distintas do polinmio a seguir so

1 nz ,...,z . 2 3 23 24 25 47P(x) x 2.x 3.x ... 23.x 24.x 23.x ... x= + + + + + + + +

Seja kb a parte real de kz . Determine o valor da soma: 1 2 nb b ... b+ + + Exerccio 4.15 (IME - 2000) Determine todos os nmeros inteiros m e n para os quais o polinmio m 3n m 3n m2.x a .x a+ divisvel por x + a, onde a no-nulo. Exerccio 4.16 O valor da soma das razes comuns s equaes

4 3 2

4 3 2

x 7.x 16.x 15.x 3 0

x 3.x x 7.x 2 0

+ + = + =

Exerccio 4.17 (IME 2004 adaptada) a Determine o valor das razes comuns das equaes:

4

4

x 2x 11.x 18.x 18 0

x 12x 44.x 32.x 52 0

+ + = + =

Exerccio 4.18 Determine o polinmio do 3 grau que satisfaa ( ) ( ) ( )2P x 1 P x 2x = + e utilize o resultado para determinar a soma:


( )2 4 6 ... 2n + + + +

Exerccio 4.19 (ITA 1994) A identidade abaixo valida para todo x real, diferente de -1. Determine o valor de a + b + c.

x 4 a b.x c1x 1 x 1 x x 1 + + + ++ + +

Exerccio 4.20 (ITA) Se x px q + + divisvel por x ax b + + e x rx s + + , demonstrar que ( )b r. a r= + . Exerccio 4.21 (ITA 1999) Seja P(x) um polinmio de grau m, A(x) e B(x) polinmios de grau maior que um e admita que existam polinmios C(x) e D(x) tais que a igualdade A(x).C(x) + B(x).D(x) = 1 se verifique para todo x real. Prove que A(x) no divisvel por B(x). Exerccio 4.22 aDetermine o maior valor de k inteiro para o qual ( )kx 1 divide ( ) ( )2n 1 n 1 nx 2n 1 .x 2n 1 .x 1+ + + + + . Exerccio 4.23 (ITA) Verifique a veracidade da afirmao: Seja P(x) um polinmio de grau m. Mostre que, se P(x) admite raiz inteira, ento P(1).P(0).P(1) divisvel por 3. Exerccio 4.24 (IME - 2001) Determine a condio que os coeficientes de P(x) do quarto grau devem satisfazer para que P(x) = P(1-x) para todo x real. Resolva este exerccio utilizando a condio de identidade entre dois polinmios. Exerccio 4.25 (ITA adaptada) a Seja um polinmio P(x) do 6 grau, com P(0) = 1 e tal que: P(1) P( 1) P(2) P( 2) P( 3) P(3) 2= = = = = = . Determine o valor de P(4). Exerccio 4.26 (IME) 1 Seja um polinmio P(x) do 5 grau tal que a diviso de P(x) por ( )3x 1+ nos d resto 1 e a diviso por ( )3x 1 nos d resto 1. Determine P(x). Sugesto: Monte as equaes de diviso euclidiana do enunciado e derive-as com relao varivel x. Exerccio 4.27 (ITA 1994) As razes da equao de coeficientes reais x a.x b.x c 0 + + + = so inteiros positivos consecutivos. A soma dos quadrados dessas razes igual a 14. Ento, quanto vale a b c + + ?

149539884 Numeros Complexos e Polinomios Caio Guimaraes

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