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Cálculo Diferencial e Integral III

Prof. Robson Rodrigues – www.robson.mat.br

1ª Lista de Exercícios – Funções reais de várias variáveis reais

Questão 01. Os cientistas colocaram um transmissor de rádio em um tubarão branco e começaram a

monitorar seus movimentos. Tomaram como origem a posição inicial do tubarão, chamaram a direção norte

de semieixo positivo y e associaram coordenadas tridimensionais a cada ponto de transmissão. Obtiveram os

seguintes dados para os três primeiros dias de observação:

Dia Posição

1° (0,6; -3; -0,02)

2° (-1,3; -6, -0,3)

3° (3, 4, 0)

As coordenadas estão expressas em centenas de metros. Determine a distância a que o tubarão se encontrava

da origem no primeiro, segundo e terceiro dia. O que representa o eixo z?

Questão 02. Considere a função real de duas variáveis reais, definida por f(x, y) =2225 yx .

Encontre os valores indicados abaixo:

a) f(3, -4) b) f(-2, 1) c) f(3, 5) d) f(a, b)

Questão 03. A temperatura T em um ponto (x, y) de uma placa de metal plana é dada por T(x, y) = x2 + y2.

Determine a temperatura da placa nos seguintes pontos: A(2,3) e B(-1,2).

Questão 04. Em cada caso a seguir, determine o valor da função nos pontos dados:

a) f(x, y) = 2x2 – 3xy + 5y2 – x ; (0,0), (0,1), (-2,3) e (2, -3).

b) g(s, t) = 22

2

ts

st

; (1,0), (-3,4), ( 55, ) e (8,8).

c) f(x, y) = ln(22 yx ) ; (1,0), (-1,0), (e,0) e (-3,-4).

7 1a Lista de Exercícios – Função real de várias variáveis reais

Questão 05. Uma empresa vende dois tipos de produtos, A e B. O preço unitário do produto A é R$ 3,00 e

o preço unitário de B é R$ 4,00. A empresa vende x unidades de A e y unidades de B.

a) Escreva uma expressão matemática para a receita dessa empresa.

b) Qual é a receita dessa empresa se forem vendidos 5 unidades do produto A e 2 unidades do produto B?

Questão 06. Sensação térmica (ou a temperatura aparente) é uma indicação da percepção da temperatura

do ar, que pode ser diferente da temperatura real devido a fatores climáticos que afetam a transferência de

calor entre o corpo e o ar, como a humidade, densidade e a velocidade do vento. Para calcular a sensação

térmica (S) os meteorologistas utilizam o seguinte modelo matemático:

𝑆 = 33 + (10√𝑣 + 10,45 − 𝑣)(𝑇 − 33

22)

Sendo que v indica a velocidade do vento em m/s e T a temperatura em °C.

Determine a sensação térmica para uma temperatura de 30° C e velocidade do vento dada por 9 m/s.

Questão 07. Uma placa de metal está situada em um plano xy de modo que o potencial elétrico (V) em cada

ponto (x, y) é inversamente proporcional à distância da origem. Sabendo-se que o potencial elétrico no ponto

P(3, 4) é de 100 volts, determine a função que fornece o potencial elétrico em cada ponto da placa.

Questão 08. Um depósito de gás tem formato de um cilindro circular reto de altura h e raio r, com teto em

forma de uma semiesfera. Determine o volume desse depósito em função de h e r.

Questão 09. Em Medicina, às vezes, se utiliza uma função conhecida como função de Dubois para determinar

a superfície corporal (S) de uma pessoa. Sabendo-se que:

S(P, h) = 0.0072P0.425 h0.725

Sendo S a superfície corporal (em m2), P seu peso em (Kg) e h a altura em (cm), determine a medida da sua

superfície corporal.

Questão 10. O potencial elétrico em uma região do plano xy é dado por V(x, y) = 120

𝑥2+𝑦2 sendo V medido

em volts. Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano cujo potencial elétrico é 30 volts?