FACULDADE PITGORAS

CLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL IProf. Nilson Costa nilson.mtm@hotmail.com So Luis 2011

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Limites das Funes TranscendentesFunes Contnuas Como vimos, quando se trata de funes polinomiais ou racionais, o clculo do limite relativamente simples. A pergunta que surge, naturalmente, a seguinte: existem funes cujo clculo do limite similar ao clculo para funes polinomiais e racionais? A resposta a esta pergunta sim, e as funes que cumprem esta propriedade so denominadas Funes Contnuas. Esta classe de funes formam um importante subconjunto do conjunto das funes, que veremos em detalhes a 2 seguir.

Limites das Funes TranscendentesFunes Contnuas Definio (Funo Contnua no Ponto). Dizemos que a funo f contnua em a Dom(f ) se,

Exemplo : Seja .

temos que o Logo, f contnua em x = 1.

Exemplo : Seja .

temos que o Logo, f contnua em x = 0.3

Limites das Funes TranscendentesObservao: 1. Decorre da definio de funo contnua num ponto que s faz sentido indagar a continuidade de uma funo f em x = a se este ponto pertence ao domnio de f . 2. Se f no verifica qualquer uma das condies da definio anterior, dizemos que f descontnua em a ou, simplesmente, que f descontnua. 3. A continuidade de uma funo em um ponto indica que o grfico desta no apresenta interrupes nesse ponto. 4

Limites das Funes TranscendentesExemplo: A funo descontnua, pois f no contnua em x = 3.

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Limites das Funes TranscendentesExemplo: Seja a funo f definida em R dada por

f no contnua em 1, pois lim f ( x) lim( x 1) x 1

x 1

2 f (1) 0

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Limites das Funes TranscendentesObservao: Se consideramos a funo f definida por f (x) =(x2 1)/(x 1) sem especificar o seu domnio, fica subentendido que o domnio de f o maior subconjunto dos nmeros reais para os quais (x2 1)/(x 1) faz sentido, ou seja R-{1}. Deste modo, f contnua. De fato,Exemplo: Seja a funo g uma funo definida por

contnua em 2?7

Limites das Funes TranscendentesA funo g no contnua em 2, pois no existe o limite de g(x) quando x2. Veja o grfico.

Nota. A definio de continuidade pode ser expressa em funo de e . De fato, limite de f(x) quando xa igual a f (a) significa que: para todo > 0 existe um > 0 tal que se x Dom(f ) e 8 |x a| < , ento |f (x) f (a)| < .

Limites das Funes TranscendentesProposio (Propriedades das Funes Contnuas). Sejam f e g funes contnuas no ponto a. Ento, as seguintes funes so contnuas em a:

Definio (Funo Contnua num Intervalo). Uma funo f : (c, d) R contnua em (c, d) se contnua em todos os pontos deste intervalo. Nota. Se f uma funo contnua em todos os pontos do seu domnio dizemos, simplesmente, que f contnua. 9

Limites das Funes TranscendentesTeorema. Uma funo polinomial contnua. Prova: Consideremos f como sendo uma funo polinomial. Pelo Teorema que diz (Seja f uma funo polinomial definida num intervalo real, com valores reais. Ento, lim f(x) = f(a) , o que prova que f contnua. xa

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Limites das Funes TranscendentesTeorema [do Confronto ou do Sanduche]. Se as funes com valores reais f (x), g(x) e h(x), definidas em R, so tais que f g h e, se

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Limites das Funes Transcendentes

Teorema. A funo equivalentemente,

cosseno

contnua

ou,

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Limites das Funes Transcendentes

Teorema. A funo tangente contnua. Mais precisamente,

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Limites das Funes TranscendentesAlm dos exemplos anteriores, contnuas: 1.As Funes racionais; so tambm

2.As Funes secante, cossecante, cotangente;

3.As Funes logartmicas.

exponenciais

e

as

Funes

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Limites das Funes TranscendentesDefinio. A funo f contnua direita (resp. esquerda) se est definida para x = a e Se f contnua em (a, b) e em seus extremos, diremos que f contnua no intervalo [a, b]. Proposio (Limite de uma Funo Composta). Sejam I e J intervalos, a I , f uma funo definida em I , exceto possivelmente em a e e g contnua em b, ento, temos que:15

Limites das Funes TranscendentesComo aplicao direta deste resultado temos: Exemplo: As funes u(x) = ex , g(x) = sen(x), h(x) = cos(x) so funes contnuas em R e a funo s(x) = ln(x) contnua em (0,+). Se ento:

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Limites das Funes TranscendentesExemplo: Exemplo:

Exemplo:

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Limites das Funes TranscendentesTeorema. [Continuidade da Funo Composta] Se a funo g contnua em a e a funo f contnua em g(a), ento a funo composta (f g)(x) = f (g(x)) contnua em a.

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Limites das Funes TranscendentesExemplo: A funo f (x) = |x3 + 5x + 3| uma funo contnua em R, pois f a composta da funo h(x) = x3 + 5x + 3 com a funo g(x) = |x|.

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Exerccios Propostos1-Verifique se a funo contnua em R. Soluo: Sim. uma funo

2-Determine, se possvel, as constantes reais a e b de modo que f seja contnua em 3, sendo

Soluo: a = 4 e b = 13/9 .20

Exerccios Propostos3- Determine, se possvel, a constante real k de modo que f seja contnua em a, sendo Soluo: k = 6. 4- Para cada funo f a seguir, verifique se f contnua em x0 = a.

Soluo:(a) No; (b) Sim.21

Exerccios Propostos5- Determine, se possvel, b R para que exista lim f(x), sendo: xa Soluo: b = 10. 6- Determine o valor de b R para que f seja contnua em a = 1, sendo

Soluo: b = 1.

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Limites

AGORA A SUA VEZ BONS ESTUDOS

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Referncias Bibliogrficas[1] GUIDORIZZI, H. L. Um curso de clculo. 5.ed. So Paulo: LTC, 2001. [2] THOMAS, George B. Clculo. v.1. 10.ed. So Paulo: Addison Wesley, 2006. ISBN-13: 9788588639065 / ISBN-10: 8588639068.[3] STEWART, James. Clculo. v.1. So Paulo: Thomson Learning, 2005. ISBN: 8522104794. [4] LEITHOLD, Louis. O clculo com geometria analtica. v.1. So Paulo: Harbra, 1994.24

Referncias Bibliogrficas[5] FLEMMING, Diva Marlia. Clculo A. 5a edio. So Paulo: Makron Books Ltda., 1.992. [6] HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Clculo: um curso moderno e suas aplicaes. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. ISBN: 9788521616023.[7] LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce. H. Clculo com aplicaes. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. ISBN: 9788521614333. [8] ANTON, Howard. Clculo: Um Novo Horizonte Vol. 1. 6a edio. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000.25