20100311205853 Matematica Financeira Sergio Alt 2010

MatemáticaFinanceira

Sumário2 JUROS SIMPLES (Capitalização Simples)

5 JUROS COMPOSTOS (Capitalização Composta)

7 TAXAS SIMPLES

8 TAXAS COMPOSTAS

10 TAXAS SIMPLES EXATO

11 PRAZO, TAXA E CAPITAL MÉDIO

13 CONVENÇÃO EXPONENCIAL

13 CONVENÇÃO LINEAR

15 DESCONTO COMPOSTO

18 DESCONTO SIMPLES

21 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO JURO COMPOSTO. (Rendas variáveis)

24 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO JURO SIMPLES. (Rendas variáveis e uniformes)

30 TAXAS NOMINAL E TAXA EFETIVA NO COMPOSTO

33 TAXA EFETIVA E NOMINAL NO JURO SIMPLES

35 RENDA CERTA OU RENDA UNIFORME (Rendas Uniformes)

41 PROVAS ANTERIORES

52 TABELAS PARA CONSULTA

2 Matemática Financeira

EDITORA APROVAÇÃO

JUROS SIMPLES (Capitalização Simples)Juros Simples comercial é uma modalidade de

juro calculado em relação ao capital inicial, neste modelo de capitalização, os juros de todos os pe-ríodos serão sempre iguais, pois eles serão sempre calculados em relação ao capital inicial.

Veja as fórmulas que usaremos nos exercícios de Juros Simples.

J = C.i.t ou M = C.(1+i+t)

Onde J = juros C = capital i = taxa unitária t = tempo M = Montante

Neste tópico o aluno precisa entender as variá-veis que usará no seus cálculos e descobrir qual das duas fórmulas é a melhor para a resolução dos exer-cícios.

Se bem que qualquer exercício pode ser calcu-lado com qualquer uma delas.

É importante que a unidade da taxa deva coin-cidir com a unidade do tempo para poder utilizar as fórmulas.

O que é Juros?Resposta: Juros é quanto se ganha em uma apli-

cação. Por exemplo: se aplicarmos R$ 100,00 e esse valor se transforma em R$ 140,00, conclui-se que a aplicação gerou um aumento de capital de R$ 40,00, esse valor é o que ganhamos na aplicação, isto é R$ 40,00 é os juros.

O que é Capital?Resposta: É o valor que aplicamos. No exemplo

da resposta anterior, o capital é R$ 100,00.

O que é taxa unitária?Resposta: É a retirada do símbolo de percen-

tagem da taxa. Por exemplo: se estamos utilizando uma taxa de 10%, a taxa unitária é 0,10. Se estamos utilizando uma taxa de 5%, a taxa unitária é 0,05. Isto é, devemos dividir por 100 o valor da taxa per-centual.

O que é tempo?Resposta: É o valor de quanto tempo se aplica

um capital.

O que é Montante?Resposta: Montante é o capital acrescidos de

juros. M = C + J.

Nosso próximo passo é ganhar experiência com os 13 exercícios exemplos resolvidos.

Preste muita atenção na resolução deles, por mais fácil que sejam, existe muita experiência sen-do transmitida.

Repare também que usarei sempre o melhor método de resolução, isto é, aquele onde economi-zamos tempo e espaço de resolução.

Observação: É importante ressaltar que quan-do lemos juros simples,estamos nos retratando ao juros simples comercial, nesta modalidade de juros o ano terá sempre 360 dias e o mês terá sempre 30 dias. Para alguns autores também é chamado de ju-ros simples ordinário.

Exercícios Exemplos Resolvidos

1. Calcular os juros simples que um capital de $ 10.000,00, rende em um ano e meio, aplicado à taxa de 6%a.a.?a) R$ 700,00b) R$ 1.000,00c) R$ 1,600,00d) R$ 600,00e) R$ 900,00

J = ?C = 10.000t = 1,5 a

i = 6% a.a. = 100

6

J = C . i . t

J = 10.000 . 100

6 . 1,5

J = 900LETRA E

3Matemática Financeira

EDITORA APROVAÇÃO

2. Qual o capital que produz, à taxa de 6% a.a., em 3 meses, juro de R$ 78,00?a) R$ 4.300,00b) R$ 3.000,00c) R$ 5.200,00d) R$ 2.600,00e) R$ 3.500,00

C = ?

i = 6% a.a. = 100

6

t = 3 m = 123

a J = 78

J = C . i . t

78 = C . 100

6 .

123

78 = 2003C

C = 3

200.78

C = 5200LETRA C

3. A que taxa anual o capital de R$ 5.000,00, em 1 ano, renderia R$ 300,00?a) 5%b) 6%c) 4%d) 3%e) 2%

i = ? % a.a.= 100

i

C = 5000t = 1 aJ = 300

J = C . i . t

300 = 5000 . 100

i . 1

i = 50300

i = 6% a.a.LETRA B

4. Durante quantos meses um capital de R$ 100,00 aplicado a uma taxa de 30% a.m., ren-deria R$ 240,00?a) 4b) 6c) 8d) 3e) 10

t = ?mC = 100

i = 30% a.m. = 10030

J = 240

J = C . i . t

240 = 100 . 10030 . t

t = 8 mLETRA C

5. Calcule o montante produzido por capital de R$ 5.000,00, aplicado durante 3 meses a uma taxa de 15% a.m?a) R$ 7.500,00b) R$ 4.300,00c) R$ 3.000,00d) R$ 5.000,00e) R$ 7.250,00

M = ?C = 5000t = 3 m

i = 15% a.m. = 10015

J = C. i . t

J = 500 . 10015 . 3

J = 2250M = C + JM = 5000 + 2250M = 7250LETRA E

6. Qual o capital que em dois anos, à taxa de 5% a.a., produz um montante de R$ 6.600,00?a) R$ 5.400,00b) R$ 6.000,00c) R$ 4.200,00d) R$ 5.200,00e) R$ 6.200,00

C = ?t = 2 a

i = 5% a.a. = 100

5

M = 6600

M = C (1 + i .t)

6600 =

+ 2.

10051C

6600 = 10

11C

C = 1110.6600

C = 6000LETRA B

7. A que taxa mensal o capital de R$ 1.200,00, no fim de dois meses, geraria um capital acumu-lado de R$ 2.400,00?a) 12%b) 23%c) 25%d) 15%e) 50%


EDITORA APROVAÇÃO

i = ? % a.m. = 100

i

1200

2400

2

1200

=

=

=

=

J

M

mt

C

J = C . i . t

1200 = 1200 . 100

i . 2

i = 50% a.m.

LETRA E

8. Durante quantos meses um capital de R$ 100,00, aplicado a uma taxa de 30% a.m., ge-raria um montante de R$ 220,00?a) 4b) 6c) 8d) 3e) 10

t = ? m

120220

100=

=

=J

M

C

30100

i = 30% a.m. =

J = C . i . t

120 = 100 . 10030 . t

t = 4mLETRA A

Prática1. (TTN-INTERNO) Qual o capital que produz, à

taxa de 2% a.m., o juro mensal de Cr$ 48,00?a) Cr$ 2.400,00b) Cr$ 2.000,00c) Cr$ 3.200,00d) Cr$ 2.600,00e) Cr$ 3.000,00

2. (TTN-INTERNO) Qual o capital que, em 40 dias, à taxa de 4% a.a., produz o juro de Cr$ 32,00?a) Cr$ 8.200,00b) Cr$ 7.000,00c) Cr$ 9.000,00d) Cr$ 7.200,00e) Cr$ 8.000,00

3. (TTN - INTERNO) Qual o capital que, à taxa 2,5% a.a., no fim de um semestre, produz o montante de Cr$ 8.100,00?a) Cr$ 10.000,00b) Cr$ 5.000,00c) Cr$ 8.000,00d) Cr$ 7.000,00e) Cr$ 9.000,00

4. (TTN-INTERNO) A que taxa anual o capital de Cr$ 5.000,00, em um ano, renderia Cr$ 300,00?a) 5% a.a.b) 6% a.a.c) 4% a.a.d) 3% a.a.e) 2% a.a.

5. (TTN-89) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a Cr$ 1.296,00 no fim de 8 meses, é:a) Cr$ 1.100,00b) Cr$ 1.000,00c) Cr$ 1.392,00d) Cr$ 1.200,00e) Cr$ 1.399,68

6. Calcular o juro e montante de uma aplicação de R$ 1.000,00, durante 3 meses, a taxa de juro simples de 10% a.m.a) R$ 1.300,00 e R$ 3.300,00b) R$ 300,00 e R$ 1.300,00c) R$ 1.100,00 e R$ 2.100,00d) R$ 100,00 e R$ 1.100,00e) R$ 500,00 e R$ 1.500,00

7. Qual o capital que em 40 dias, à taxa de 4% a.a., produz o montante de R$ 7.232,00a) R$ 8.400,00b) R$ 6.000,00c) R$ 5.200,00d) R$ 7.200,00e) R$ 6.200,00

8. (TTN/94-TARDE) Carlos aplicou 1/4 de seu ca-pital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitalização. Sabendo-se que uma das aplica-ções rendeu R$ 594,00 de juros a mais do que a outra, o capital inicial era de R$a) 4.200,00 d) 4.600,00b) 4.800,00 e) 4.400,00c) 4.900,00


EDITORA APROVAÇÃO

9. Qual é o prazo para uma aplicação de 5% a.a., tenha um aumento que corresponda a 1/5 de seu valor?a) 2 anosb) 4 anosc) 6 anosd) 5 anose) 8 anos

10. Em quanto tempo um capital aplicado à taxa de 150% a.a., quadruplique seu valor?a) 2 anosb) 4 anosc) 6 anosd) 5 anose) 8 anos

11. Um capital de R$ 14.400,00, aplicado a 22% a.a., rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quan-to tempo esteve empregado?a) 3 meses e 3 diasb) 3 meses e 8 diasc) 2 meses e 23 diasd) 3 meses e 10 diase) 3 meses

12. Calcule o valor do montante produzido por capital de 150, aplicado a juro simples a uma taxa de 4,8% a.m. , durante 25 dias?a) 151b) 151,2c) 156d) 153,6e) 210,0

13. José colocou 2/3 de meu capital a 36% a.a., e o restante a 18% a.a., recebendo juro anual de R$ 117.000,00. Qual é o meu capital?a) R$ 480.000,00b) R$ 390.000,00c) R$ 410.600,00d) R$ 520.800,00e) R$ 350.000,00

JUROS COMPOSTOS (Capitalização Composta)Juros Composto é uma modalidade de juro cal-

culado em relação ao capital inicial de cada perío-do, onde o capital inicial de cada período é o capital do período anterior acrescidos dos juros do período anterior se houver. É costume dizer que juro com-posto é juros sobre juros.

Veja as fórmulas que usaremos nos exercícios de Juros Compostos.

J = C [(1+i)t - 1 ] ou M = C. (1+i)t

Onde J = juros C = capital i = taxa unitária t = tempo M = Montante


1. O capital de R$ 500.000,00 e aplicado à 5% a.m. de juros compostos, durante 3 meses. Calcule o montante?a) R$ 578.800,00b) R$ 588.810,50c) R$ 570.000,50d) R$ 579.600,00e) R$ 588.882,50

C = 500000i = 5% a.m.t = 3 mM = ?

M = C . (1 + i )t

M = 500000 . (1 + 5%)3

M = 500000 . 1,1576M = 578800LETRA A


EDITORA APROVAÇÃO

2. Calcule o capital que produz o montante de R$ 112.360,00, à taxa de 6% a.m. de juros compostos durante 2 meses é:a) R$ 100.000,00b) R$ 145.000,00c) R$ 230.000,00d) R$ 214.000,00e) R$ 233.000,00

C = ?M= 112360i = 6% a.m.t = 2 m

M = C . (1 + i )t

112360 = C . (1 + 6%)2

112360 = C . 1,1236C = 100000

LETRA A

3. Qual o valor do capital que aplicado a 4% a.m. de juros compostos, produz ao final de 5 me-ses, um montante de R$ 1.300.000,00?a) R$ 1.088.551,70b) R$ 1.135.552,56c) R$ 1.222.642,60d) R$ 1.068.463,88e) R$ 1.155.897,32

C = ?i = 4% a.m.t = 5 mM = 1300000

M = C . (1 + i )t

1300000 = C . (1 + 4%)5

1300000 = C . 1,2167C = 1068463,88

LETRA D

Prática1. Aplicaram-se R$ 400.000,00 a 9% ao bimestre

de juros compostos, durante 1 ano e 4 meses. O valor do capital acumulado é:a) R$ 792.067,06b) R$ 797.025,06c) R$ 700.000,00d) R$ 733.867,53e) R$ 730.800,53

2. Calcular o valor do montante final da aplica-ção de R$ 300.000,00 à taxa composta de 6% ao mês, durante 5 meses.a) R$ 303.337,67b) R$ 501.433,67c) R$ 401.467,67d) R$ 601.457,65e) R$ 501.565,65

3. Após 8 meses de aplicação a 7% ao mês de ju-ros composto, o capital acumulado era igual a R$ 1.374.552,00. Qual o valor do capital apli-cado?a) R$ 800.001,78b) R$ 789.661,78c) R$ 763.301,33d) R$ 850.601,33e) R$ 732.201,11

4. Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000.000,00, a juros compostos, a uma taxa de 15% a.a., produzirá um montante de R$ 2.011.356,00?a) 5 anosb) 4 anosc) 6 anosd) 3 anose) 7 anos

5. O capital R$ 1.060.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses. Ao final do prazo o montante será igual a R$ 1.288.440,00. Qual a taxa da aplicação?a) 9% a.m.b) 8% a.m.c) 7% a.m.d) 6% a.m.e) 5% a.m.

6. Um capital aplicado a 6% ao mês de juros composto, durante 8 meses. A que taxa de juros simples mensal, o mesmo capital deve-ria ser aplicado, durante o mesmo prazo, para produzir o mesmo montante?a) 7,42% a.m.b) 8,42% a.m.c) 9,42% a.m.d) 6,42% a.m.e) 5,42% a.m.

7. Um capital aplicado a 80% ao ano de juros simples, produziu ao final de 1 ano e 4 me-ses, um determinado montante. A que taxa mensal de juros compostos o mesmo capital deveria ser aplicado para produzir o mesmo montante, durante o mesmo prazo?a) 4,6%b) 4,0%c) 5,2%d) 5,0%e) 5,8%


EDITORA APROVAÇÃO

8. Durante quantos meses o capital R$ 500.000,00 deverá ser aplicado a 6% a.m. de juros compostos para se transformar em R$ 844.700,00?a) 5b) 8c) 7d) 6e) 9

9. Quantos bimestres são necessários para o ca-pital R$ 1.000.000,00 se transformar em R$ 3.341.700,00, se for aplicado a 9% a.m. de ju-ros compostos?a) 5b) 8c) 7d) 6e) 9

10. A que taxa de juros compostos R$ 560.000,00 devem ser aplicados para produzirem o mon-tante de R$ 888.608,00 em 6 meses de aplica-ção?a) 8% a.m.b) 7% a.m.c) 6% a.m.d) 5% a.m.e) 4% a.m.

11. O capital R$ 10.000,00 foi aplicado à taxa composta de 5% ao trimestre, durante 8 anos. O valor do capital acumulado é:a) R$ 38.566,88b) R$ 40.224,60c.) R$ 44.120,97d) R$ 47.647,65e) R$ 52.337,56

12. O capital de R$ 10.000,00 e aplicado à 25% a.m. de juros compostos, durante 2 meses. Calcule o montante?a) R$ 15.000,00b) R$ 15.150,00c) R$ 15.350,00d) R$ 15.500,00e) R$ 15.625,00

TAXAS SIMPLESTAXA PERCENTUAL: é aquela que possui o sím-

bolo de porcentagem junto a ela, ou melhor é aquela aparecem nos exercícios. Exemplo: 20% a.m.

TAXA UNITÁRIA: é a retirada do símbolo de porcento. Exemplo : 20/100 ou 0,20 (qualquer uma delas é taxa unitária).

TAXAS PROPORCIONAIS: Duas taxas são proporcionais, se mantiverem entre si a mesma ra-zão entre as taxas e os períodos de tempo a que se referem. Exemplo: a taxa de 30% a.t. é proporcional a 10% a.m.

%1013%30 i

i . Repare que 30% está para 10% assim como 3 meses (1 trimestre) está para 1 mês.

TAXAS EQUIVALENTES: Duas taxas são equivalentes, se para um mesmo capital e para um mesmo período de tempo, produzirem montan-tes iguais. Em outras palavras, tanto faz aplicar R$ 100,00 durante 3 meses a 10% a.m. ou aplicar R$ 100,00 a 30% a.t. durante 1 trimestre que iremos obter o mesmo efeito, o mesmo montante. Veja os fluxos abaixo para um melhor entendimento.

Aplicando R$100,00 a 10%a.m. durante 3 meses.

130120

110100

0m 1m 2m 3mJ1 = 10 J2 = 10 J3 = 10

Aplicando R$100,00 a 30%a.m. durante 1 tri-mestre

Repare que as taxas de 10% a.m. e 30% a.t. são equivalentes, pois elas produzem o mesmo efeito.

130

100

0t 1tJ2 = 30


EDITORA APROVAÇÃO

Observação: Em Juros Simples, as taxas equiva-lentes são numericamente iguais às taxas proporcio-nais. Isto é, o aluno pode usar qualquer modelo de transformação (equivalente ou proporcional) que o valor que irá encontrar servirá para taxa proporcional ou equivalente.

É importante ressaltar que apesar de numerica-mente iguais, taxas equivalentes e proporcionais, são teoricamente diferentes.


1. Qual a taxa anual simples equivalente à taxa simples de 5% a.m.?a) 79,58%b) 69,58%c) 59,58%d) 78,88%e) 60.00%

i = ?% a.a. ↔ 5% a.m..5 . 12 = 60% a.a.LETRA E

2. Calcular a taxa semestral equivalente a juros simples de 2% a.m.?a) 11,61%b) 10,61%c) 12,61%d) 13,61%e) 12,00%

i = ?% a.s. ↔2% a.m.2 . 6 = 12% a.s. LETRA E

3. Calcular a taxa semestral proporcional a juros simples de 36% a.a.?a) 15%b) 16%c) 17%d) 18%e) 19%

i = ?% a.s.↔36% a.a.362

= 18% a.s.

LETRA D

4. Calcular a taxa mensal proporcional a juros simples de 84% a.a.?a) 5%b) 6%c) 7%d) 8%e) 9%

i = ?% a.m.↔84% a.a.8412 = 7% a.m.

LETRA C

TAXAS COMPOSTASTAXAS PROPORCIONAIS: Duas taxas são

proporcionais, se mantiverem entre si a mesma ra-zão entre as taxas e os períodos de tempo a que se referem. Exemplo: a taxa de 30% a.t. é proporcional a 10% a.m.

%1013%30 i

i . Repare que 30% está para 10% assim como 3 meses ( 1 trimestre) está para 1 mês.

TAXAS EQUIVALENTES: Duas taxas são equivalentes, se para um mesmo capital e para um mesmo período de tempo, produzirem montantes iguais.

( ) ( )( ) ( )21

21

21

21

21

11

1.1.tt

tt

ii

iCiC

MM

+=+

+=+

=

Em outras palavras, tanto faz aplicar R$ 100,00 durante 3 meses a 10% a.m. ou aplicar R$ 100,00 a 33,10% a.t. durante 1 trimestre que iremos obter o mesmo efeito, o mesmo montante. Veja os fluxos abaixo para um melhor entendimento.

Aplicando R$100,00 a 10%a.m. durante 3 meses.

133,10121

110100

0m 1m 2m 3mJ1 = 10 J2 = 11 J3 = 12,10


EDITORA APROVAÇÃO

Aplicando R$100,00 a 33,10%a.t. durante 1 tri-mestre

133,10

100

0t 1tJ2 = 33,10

Repare que as taxas de 10% a.m. e 33,10% a.t. são equivalentes, pois elas produzem o mesmo efeito.

Encontrando a taxa equivalente de 10% a.m. sem montar o fluxo, usanado a fórmula de equiva-lência:

(1 + i1)t1 = (1 + i2)

t2

(1 + 10%)3 = (1 + i)1

1,3310 = 1 + ii = 1,3310 -1 i = 0,3310 (taxa equivalente unitária)i = 33,10% (taxa equivalente percentual)

Observação: No Juros Composto, as taxas equi-valentes são numericamente diferentes que as taxas proporcionais. Isto é, você não pode usar qualquer modelo de transformação (equivalente ou propor-cional) para transformar taxas, você deverá usar sem-pre que quiser transformar uma taxa o modelo de equivalência.


1. Qual a taxa anual equivalente à taxa compos-ta de 5% a.m.?a) 79,59%b) 69,58%c) 59,58%d) 78,88%e) 60.00%

(1 + i1)t1 = (1 + i

2)t2

(1 + 5%)12 = (1 + i)1

1,7959 = 1 + ii = 1,7959 -1 i = 0,7959 (taxa equivalente unitária)i = 79,59% (taxa equivalente percentual)LETRA A

2. Calcular a taxa semestral equivalente a juros de 2% a.m.?a) 11,62%b) 10,62%c) 12,62%d) 13,62%e) 12,00%

(1 + i1)t1 = (1 + i2)t2(1 + 2%)6 = (1 + i)1,1262 = 1 + ii = 1,1262 -1 i = 0,1262 (taxa equivalente unitária)i = 12,62% (taxa equivalente percentual)LETRA C

3. Calcular a taxa semestral equivalente a juros composta de 4% a.b.?a) 11,00%b) 12,49%c) 13,49%d) 14,49%e) 12,00%

(1 + i1)t1 = (1 + i2)t2(1 + 4%)3 = (1 + i)11,1249 = 1 + ii = 1,1249 -1 i = 0,1249 (taxa equivalente unitária)i = 12,49% (taxa equivalente percentual)LETRA B

Prática1. Qual a taxa anual equivalente à taxa compos-

ta de 10% a.s.?a) 20%b) 21%c) 5%d) 18,88%e) 22.35%

2. Calcular a taxa semestral proporcional a juros composto de 36% a.a.?a) 15%b) 16%c) 17%d) 18%e) 19%


EDITORA APROVAÇÃO

3. Calcular a taxa semestral equivalente percen-tual juros compostos de 8,16% a.a.?a) 4%b) 4,08%

c) ( 12 0816,1 – 1).100%

d) ( 0816,1 – 1).100%

e) ( 0816,1 – 1)

4. Calcular a taxa mensal equivalente percentu-al a juros compostos de 69% a.b.?a) 34,5%b) 30%

c) ( 12 0816,1 – 1).100%

d) ( 0816,1 – 1).100%

e) ( 0816,1 – 1)

5. Calcular a taxa mensal equivalente unitária a juros compostos de 108% a.a.?

a) 12 08,1

b) 12 08,2

c) ( 12 08,1 – 1).100

d) 12 08,2 – 1

e) 12 08,1 –1

6. Calcular a taxa semestral equivalente percen-tual a juros compostos de 8% a.a.?

a) 08,1 %

b) ( 08,1 – 1).100%

c) ( 8,1 – 1).100%

d) [( 08,1 – 1).100]%

e) 08,1 –1

7. Qual a taxa anual composta equivalente a taxa de 4% a.m.?a) 60,10%b) 48,00%c) 59,26%d) 68,88%e) 58,88%

8. Calcular a taxa semestral equivalente a juros compostos de 10% a.m.a) 61,61%b) 70,61%c) 77,16%d) 60,00%e) 74,61%

9. Um capital foi aplicado a 4% ao mês de juros compostos. A que taxa anual o capital deveria ser aplicado para produzir o mesmo montante?a) 60,10% a.a.b) 6,10% a.a.c) 50,10% a.a.d) 5,10% a.a.e) 7,10% a.a.

JUROS SIMPLES EXATOO juro que calculamos no primeiro capítulo é

chamado de juro comercial e o que iremos calcular neste capítulo chama-se juro exato. A diferença entre eles está no fato que no juro comercial todos os meses apresentam 30 dias enquanto que no juro comercial o mês tem 30, 31, 28 ou 29 dias. Outra diferença entre eles, está no fato que o ano para o juro comercial apre-senta 360 dias enquanto que o juro exato apresenta 365 ou 366 dias. De resto, o processo de calculo é o mesmo, inclusive a fórmula: J = C . i . t

Separo aqui alguns problemas que o aluno pode ter, ao resolver exercícios de juros simples exato.

1º Problema: Descobrir se o ano é ou não é bissexto. Por que isso é tão importante? Para descobrir se fevereiro tem 28 ou 29 dias. Para resolver este problema, devemos dividir o ano por 4, se der resto 0, então o ano é bissexto e com isso fevereiro tem 29 dias, caso o resto for diferente de zero o ano não será bissexto e com isso fevereiro terá 28 dias. Ver exemplo nos exercícios abaixo.

2º Problema: Realizar a contagem de quantos dias o capital foi aplicado. É importante lembrar que o primeiro dia de aplicação é contado e que o dia de resgate da aplicação não é contado.

3º Problema: Quando for resolver um exercício de juros simples exato, a taxa deve estar no período anual ou diário. Por que a taxa deve estar no período anu-al? Para que ao transformá-la para diária, possamos dividi-la por 366 ou 365, sendo assim teremos o que chamamos de taxa diária exata. Se a taxa estiver ao dia, não precisamos transformá-la. Caso a taxa não esteja no período anual, devemos transformá-la.


EDITORA APROVAÇÃO


1. Calcular o juro simples exato do capital R$ 3.800,00, colocado a uma taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 2005 a 28 de maio do mesmo ano?a) R$ 70,00b) R$ 72,00c) R$ 74,00d) R$ 76,00e) R$ 78,00

C = 3800

i = 5% a.a. = 100

5

t = 146 d = 365146

a

02/01/45 02030428/05/45

→→→→→

30 28 31 30 27 .146

o ano de 2005 não é bissexto, em virtude disso fevereiro terá 28 dias.

J = C . i . t

J = 3800 . 365146.

1005

J = 76LETRA D

Prática1. Calcular o juro simples exato do capital R$

5.000,00, colocado, à taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 2005 a 28 de maio do mesmo ano?a) R$ 170,00b) R$ 120,00c) R$ 110,00d) R$ 100,00e) R$ 80,00

2. A quantia de R$ 1.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 8 de agosto de 2003 ao dia 2 de julho de 2004. Calcule os juros exatos obtidos, à taxa de 10% ao mês.a) R$ 90,14b) R$ 90,00c) R$ 1080,00d) R$ 1081,64e) R$ 588,27

3. Um capital foi aplicado no dia 2 de maio de 1990 e o dia 14 de junho de 1991 havia rendi-do juro simples exato no valor de 6/5 de seu próprio valor. A que taxa anual o capital foi aplicado?a) 107,35%b) 95%c) 102,5%d) 110,5%e) 98,5%

PRAZO, TAXA E CAPITAL MÉDIO

Prazo Médio

iCtiC

Tm...

Onde Tm é o prazo médio

Taxa Média

tCtiC

...

Im

Im é a taxa média

Capital Médio

ti

tiCCm

...

Cm é o capital médio


1. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: R$ 300,00 a 8% a.m., R$ 200,00 a 9% a.m. e R$ 100,00 a 6%a.m., sabe-se que o pra-zo de aplicações são iguais. Qual a taxa média da aplicação?a) 10%a.m.b) 18%a.m.c) 8%a.m.d) 7,5%a.m.e) 25%a.m.

C1 = 300i1 = 8% a.m.t1 = t

C2 = 200i2 = 9% a.m.t2 = t

C3 = 100i3 = 6% a.m.t3 = t


EDITORA APROVAÇÃO

im = ( )( )tC

tiC...

∑∑

= tttttt

.100.200.300.6.100.9.200.8.300

++++

= tttt

.600.600.1800.2400 ++ =

tt

.600.4800

im = 8% a.m. LETRA C

2. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: R$ 300,00 a 4% a.m. durante 2 meses, R$ 200,00 a 3% a.m. durante 3 meses e R$ 100,00 a 2%a.m. durante 3 mês. Qual a taxa média da aplicação?a) 8,0%a.m.b) 5,0%a.m.c) 6,5%a.m.d) 3,2%a.m.e) 15,0%a.m.

C1 = 300

i1 = 4% a.m.

t1 = 2 m

C2 = 200

i2 = 3% a.m.

t2 = 3 m

C3 = 100

i3 = 2% a.m.

t3 = 3 m

im = ( )( )tC

tiC...

∑∑

= 3.1003.2002.3003.2.1003.3.2002.4.300

++++

= 30060060060018002400

++++

= 15004800

im = 3,2% a.m.LETRA D

3. Uma entidade financeira usa os seguintes critérios para investimento: R$ 40,00 em 180 dias, R$ 35,00 em 200 dias e R$ 25,00 em 360 dias. Qual é o prazo médio dos seus investi-mentos?a) 302b) 232c) 280d) 240e) 252

C1 = 40t1 = 180 di1 = i

C2 = 35T2 = 200 di2 = i

C3 = 25t3 = 360 di3 = i

tm =

( )( )iC

tiC...

∑∑

=

iiiiii

.25.35.40360..25200..35180..40

=

iiii

.100.9000.7000.7200 ++

= i

i.100

.23200

tm = 232 dLETRA B

4. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: R$ 600,00 a 8% a.m., R$ 500,00 a 9% a.m. e R$ 400,00 a 3%a.m.. Qual o capital mé-dio da aplicação?a) R$ 500,00b) R$ 451,00c) R$ 560,50d) R$ 525,00e) R$ 475,00

C1 = 600

i1 = 8% a.m.

t1 = t

C2 = 500

i2 = 9% a.m.

t2 = t

C3 = 400

i3 = 3% a.m.

t3 = t

Cm = ( )( )ti

tiC.

..∑

∑ = ttt

ttt.3.9.8

.3.400.9.500.8.600++

++

= t

ttt.20

.1200.4500.4800 = 31

124

Cm = 525LETRA D

Prática1. Um investidor aplicou seu capital da seguinte

forma: metade do seu capital a 8% a.m., a terça parte do seu capital a 9% a.m. e o restante à taxa de 6%a.m.. Qual a taxa média da aplicação?a) 10%a.m.b) 18%a.m.c) 8%a.m.d) 7,5%a.m.e) 25%a.m.

2. Uma entidade financeira usa os seguintes cri-térios para investimento: 40% dos seus recur-sos em 180 das, 35% de seus recursos em 200 dias e o restante em 360 dias. Qual é o prazo médio dos seus investimentos?a) 302 d) 240b) 232 e) 252c) 280


EDITORA APROVAÇÃO

3. Um investidor aplicou seu capital da seguinte forma: metade do seu capital a 16% ao mês, a terça parte do seu capital a 12% ao mês e o restante à 6% ao mês. Qual a taxa média da aplicação?a) 10% a.m.b) 18 % a.m.c) 13% a.m.d) 11% a.m.e) 20% a.m.

CONVENÇÃO EXPONENCIALIrei colocar um ponto de vista meu neste tópico

que não interessa muito ao leitor, porém é muito importante a citação deste para compreender me-lhor a convenção exponencial.

Muitos autores classificam este ponto com uma matéria a ser explicada, eu não concordo com este ponto de vista, pois convenção exponencial nada mais é do que juros composto e esta matéria já foi explicada no capítulo de juro composto.

Portanto não há o que explicar, o único pon-to que preciso esclarecer é que esta matéria é Juro Composto.

Veja o exemplo abaixo para entender que não existe nada a explicar.


1. Um investidor aplicou R$ 10.000,00 por 40 meses à taxa de 10% a.a. Qual é o montan-te por ele recebido considerando-se a con-venção exponencial? (dado que (1+10%)1/3 = 1,0323)a.) R$ 13.739,91b.) R$ 15.587,84c.) R$ 14.984,47d.) R$ 11.317,11e.) R$ 13.181,81

C = 10000

t = 40m = 3a e 4 m ( 31

124 )

i = 10% a.a.M = ?

M = C . (1 + i)t

M = 10000 . 313%101

M = 10000 . (1 + 10%)3 . 31

%101M = 10000 . 1,3310 . 1,0323M = 13739,91LETRA A

Normalmente encontramos nos livros a seguin-te fórmula de convenção exponencial

( ) ( )qpt iiCM ++= 1.1.

Onde: t é o tempo inteiro

qp é o tempo fracionário

CONVENÇÃO LINEARA convenção linear é a utilização de juro compos-

to e juro simples ao mesmo tempo em uma aplicação. Juro composto para o tempo inteiro e juro simples para o tempo fracionário. Veja o exemplo abaixo para entender melhor o que estou escrevendo.

Exercícios Exemplos

2. Um investidor aplicou R$ 10.000,00 por 40 meses à taxa de 10% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a conven-ção linear?a) R$ 11.411,25b) R$ 13.753,67c) R$ 12.477,27d) R$ 14.449,48e) R$ 15.455,55

C = 10000

t = 40m = 3a e 4 m ( 31

124 )

i = 10% a.a.M = ?


EDITORA APROVAÇÃO

M = C . (1 + i)t

M = 10000 . 313%101

A resolução do exercício irá ser iniciada deste ponto em diante. Acima, temos a resolução de convenção exponencial.

M = 10.000 . (1 + 10%)3 .

31.%101

M = 10.000 . 1,331 . 1,0333M = 13753,67LETRA B

Normalmente encontramos nos livros a seguin-te fórmula de convenção linear

( )

++=

qpiiCM t .1.1.

Onde: t é o tempo inteiro

qp

é o tempo fracionário

Perceba na fórmula a conclusão já explicada

acima. ( )ti+1 é juro composto e

+

qpi .1

é juro simples. Estamos misturando juro composto e juro simples nesta matéria (convenção linear).

Comparando estas convenções

O montante da convenção linear será sempre maior que o montante calculado pela convenção ex-ponencial, pois entre 0 e 1, juro simples é maior que juro composto. Veja o exemplo abaixo:

(1+10%)1/3 = 1,0323 juro composto

31.%101 = 1,0333

juro simples

Prática1. Qual o montante de um capital de R$

1.000.000,00 durante 3 anos e seis meses, a uma taxa de juros compostos de 10% a.a. Uti-lizando a convenção exponencial

(dado que (1 + 10%)1/2 = 1,0488)a) R$ 1.390.904,00b) R$ 1.312.933,67c) R$ 1.395.964,58d) R$ 1.355.554,67e) R$ 1.455.966,97

2. Qual o montante de um capital de R$ 1.000.000,00 durante 3 anos e seis meses, a uma taxa de juros compostos de 10% a.a. Uti-lizando a convenção linear.a) R$ 1.390.500,00b) R$ 1.397.550,00c) R$ 1.300.000,00d) R$ 1.090.050,00e) R$ 1.055.750,00

3. Um investidor aplicou R$ 20.000,00 por 44 meses à taxa de 15% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a conven-ção exponencial?

(dado que (1 + 15%)2/3 = 1,0977)a) R$ 33.387,87b) R$ 35.587,84c) R$ 34.484,47d) R$ 31.317,11e) R$ 30.181,81

4. Um investidor aplicou R$ 20.000,00 por 44 meses à taxa de 15% a.a. Qual é o montante por ele recebido considerando-se a conven-ção linear?a) R$ 31.411,25b) R$ 33.459,25c) R$ 32.477,27d) R$ 34.449,48e) R$ 35.455,55


EDITORA APROVAÇÃO

DESCONTO COMPOSTODesconto é uma operação financeira que retira

do valor de um título um certo valor, em virtude do fato de não ter sido respeitado o prazo deste títu-lo. O valor que receberemos após ter sido retirado o desconto do valor do título é chamado de valor atual.

Portanto, podemos definir desconto como sendo a diferença entre o valor de um título (valor nominal) e o valor do resgate do pelo título (valor atual).

D = N - A

Onde D = desconto N = valor nominal ou valor de face

ou valor futuro ou valor do título A = valor atual ou valor do resgate

ou valor resgatado ou valor presente ou valor des-contado

Temos um único tipo de DESCONTO COM-POSTO a ser estudado, pelo edital:

DESCONTO RACIONAL (Desconto por den-tro) é juros que pagamos, calculado sobre o valor atual.

( )[ ]11. −+= ftr iAD

Fórmulas que podemos usar no exercícios de desconto simples racional:

( ) ftiAN += 1.

( )[ ]11. −+= ftr iAD

( )( )

+−+=f

f

t

t

r iiND

111.

onde Dr = Desconto racional i = taxa unitária tf = tempo que falta para vencimento

do título N = valor nominal A = valor atual.

Observação: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fór-mula.

2º Tipo: DESCONTO COMERCIAL ou (Des-conto por dentro) é juros que pagamos, calculado sobre o valor atual.

( )[ ]ftc iND −−= 11.


( ) ftiNA −= 1.

( )[ ]ftc iND −−= 11.

( )( )

−−−=

f

f

t

t

c iiAD

111.

onde Dc = Desconto racional i = taxa unitária tf = tempo que falta para vencimen-

to do título N = valor nominal A = valor atual.

Observação: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fór-mula.


1. Determinar o valor do desconto que um título de R$ 408.150,00, com vencimento para 4 me-ses, deverá sofrer se for descontado a 8% a.m. de desconto composto?a) R$ 108.150,00b) R$ 116.867,00c) R$ 146.464,54d) R$ 126.866,56e) R$ 136.855,25


EDITORA APROVAÇÃO

D = ?N = 408150tf = 4 mi = 8% a.m.

N = A . (1 + i)t

408150 = A . (1 + 8%)4

408150 = A . 1,3605A = 300000D = N – AD = 108150LETRA A

2. Um título disponível ao fim de 6 meses foi des-contado a juros composto de 8% a.m. e se redu-ziu a R$ 40.000,00. Qual o valor do título?a) R$ 56.176,26b) R$ 46.867,50c) R$ 50.464,54d) R$ 63.476,00e) R$ 76.866,56

tf = 6 m

i = 8% a.m.

A = 40.000

N = ?

N = A . (1 + i)t

N = 40.000 . (1 + 8%)6

N = 40.000 . 1,5869N = 63.476LETRA D

3. Um título vale em sua data de vencimento, R$ 121.000,00. Um investidor quer saber quan-to tempo poderá antecipar seu resgate para que, havendo um desconto composto de R$ 21.000,00. a taxa de juros compostos cobrada seja de 10% a.a.a) 4 anosb) 3 anosc) 2 anosd) 1 anoe) 7 anos

N = 121.000D = 21.000A = N – DA = 100.000t = ? ai = 10% a.a.

N = A . (1 + i)t

121000 = 100000 . (1 + 10%)4

000.100000.121

= (1 + 10%)t

1,21 = (1 + 10%)t

procurar na coluna do 10% o fator 1,21 e ver a qual tempo está associado este fator.t = 2 aLETRA C

4. O valor atual de um título de R$ 700.000,00 vencível em 4 meses é R$ 478.109,72. Qual a taxa de juros compostos vigente?a) 9% a.m.b) 15% a.m.c) 10% a.m.d) 18% a.m.e) 8% a.m.

N = 700.000t = 4 mA = 478109,72i = ?% a.m.

N = A . (1 + i)t

700000 = 478109,72 . (1 + i)4

72,478109700000

= (1 + i)4

1,4116 = (1 + i)4

procurar na linha do tempo 4, o fator 1,4116 e ver a qual taxa está associado este fator.i = 9% a.m.LETRA A

5. Um título obteve um desconto de R$ 4.641,00 a uma taxa de juros de mercado de 10% a.m. 4 meses antes do seu vencimento. Qual deverá ser o valor de resgate do título?a) R$ 8.500,00b) R$ 9.500,00c) R$ 10.500,00d) R$ 9.000,00e) R$ 10.000,00

D = 4641A = ?tf = 4 mi = 10% a.m.

N = A . (1 + i)t

N = A . (1 + 10%)4

N = A . 1,4641

D = N – A

4641 = 1,4641A - A4641 = 0,4641AA = 10000LETRA E

6. Determinar o valor do desconto comercial que um título de R$ 600.000,00, com vencimento para 4 meses, deverá sofrer se for descontado a 8% a.m. de desconto composto?a) R$ 158.980,00b) R$ 170.160,00c) R$ 146.460,00d) R$ 132.780,00e) R$ 166.540,00


EDITORA APROVAÇÃO

Dc = ?N = 600000tf = 4 mi = 8% a.m.

A = N . (1 - i)t

A = 600000 . (1 - 8%)4

A = 600000 . 0,7164A = 429840D = N – ADc = 170160LETRA B

7. Um título disponível ao fim de 6 meses foi des-contado comercialmente a juros composto de 8% a.m. e se reduziu a R$ 12.128,00. Qual o valor do título?a) R$ 22.175,35b) R$ 20.000,00c) R$ 25.464,54d) R$ 26.866,56e) R$ 24.326,45

A = 12128N = ?tf = 6 mi = 8% a.m.

A = N . (1 - i)t

12128 = N . (1 - 8%)6

12128 = N . 0,6064A = 20000LETRA B

Prática1. Uma letra de câmbio no valor nominal de R$

8.000,00 foi resgatada 4 meses antes de seu vencimento. Qual é o valor de resgate, se a taxa composta de juros corrente for de 4% a.m.?a) R$ 6.638,66b) R$ 5.832,63c) R$ 3.238,22d) R$ 5.855,52e) R$ 6.838,63

2. Pedro receberá R$ 20.000,00 como parte sua numa herança. Contudo, necessitando do di-nheiro 4 meses antes da data de recebimento propõe a um amigo a venda de seus direitos por R$ 16.454,05. Que taxa de juros anual Pe-dro pagou?a) 5,00% a.a.b) 73,77% a.a.c) 9,50% a.a.d) 79,59% a.a.e) 55,55% a.a.

3. Se existe a possibilidade de ganhar 3% a.m., que desconto racional devo exigir na compra de um título no valor nominal de R$ 15.800,00, vencível em 2 meses?a) R$ 906,98b) R$ 868,18c) R$ 110,11d) R$ 868,78e) R$ 915,12

4. Uma Nota Promissória foi quitada 6 meses an-tes de seu vencimento à taxa de 6,0% ao mês de desconto composto. Sendo o valor nomi-nal da promissória R$ 670.000,00. Qual o va-lor do desconto concedido?a) R$ 227.676,42b) R$ 197.676,43c) R$ 337.654,82d) R$ 187.876,88e) R$ 145.663,13

5. Em um título no valor nominal de R$ 6.500,00, o desconto racional sofrido foi de R$ 2.707,31. Se a taxa de juros de mercado for de 8,0% ao mês, qual deverá ser o prazo de antecipação?a) 3 mesesb) 6 mesesc) 7 mesesd) 12 mesese) 2 meses

6. Determinar o prazo de antecipação de um título de R$ 236.736,30, que deverá ser des-contado a 9% ao mês de desconto compos-to e que gerou um valor descontado de R$ 100.000,00.a) 4 mesesb) 8 mesesc) 1 ano e 8 mesesd) 10 mesese) 2 anos e 3 meses

7. Um título vai ser resgatado dois meses antes do seu vencimento. Sabendo que foi adota-do o critério do desconto racional compos-to, a taxa de 15% a.m., qual o valor descon-tado desse título de valor nominal igual a R$ 100.000,00?a) R$ 75.614,37b) R$ 95.619,25c) R$ 99.694,35d) R$ 55.514,57e) R$ 72.214,22


EDITORA APROVAÇÃO

8. Um título vale em sua data de vencimento, R$ 100.000,00. Um investidor quer saber quanto tempo poderá antecipar seu resgate para que, havendo um desconto comercial composto de R$ 27.100,00. a taxa de juros compostos cobrada seja de 10% a.a.a) 4 anosb) 3 anosc) 2 anosd) 1 anoe) 7 anos

9. O valor atual comercial de um título de R$ 700.000,00 vencível em 4 meses é R$ 479.990,00. Qual a taxa de juros compostos vigente?a) 9% a.m.b) 15% a.m.c) 10% a.m.d) 18% a.m.e) 8% a.m.

10. Determinar o valor do desconto bancário que um título de R$ 600.000,00, com vencimento para 4 meses, deverá sofrer se for desconta-do a 8% a.m. de desconto composto, sabendo que os encargos administrativos é de 5%?a) R$ 160.650,00b) R$ 170.160,00c) R$ 180.650,00d) R$ 190.650,00e) R$ 200.160,00

11. Descontando-se um título de valor nominal de R$ 10.500,00 dois meses antes de seu ven-cimento, à taxa de desconto de 3% ao mês e de acordo com o critério do desconto comer-cial composto, o valor do desconto na opera-ção é dea) R$ 600,00b. R$ 610,00c) R$ 615,15d) R$ 620,55e) R$ 639,45

DESCONTO SIMPLESDesconto é uma operação financeira que retira

do valor de um título um certo valor, em virtude do fato de não ter sido respeitado o prazo deste títu-lo. O valor que receberemos após ter sido retirado o desconto do valor do título é chamado de valor atual.

Portanto, podemos definir desconto como sen-do a diferença entre o valor de um título (valor no-minal) e o valor do resgate do título (valor atual).

D = N - A

Onde D = desconto N = valor nominal ou valor de face

ou valor futuro ou valor do título A = valor atual ou valor do resgate

ou valor resgatado ou valor presente ou valor des-contado

Temos dois tipos de DESCONTO SIMPLES a ser estudado, pelo edital:

DESCONTO RACIONAL (Desconto por den-tro) é juros que pagamos, calculado sobre o valor atual.

Dr = A . i . tf


N = A . ( 1 + i . tf )

Dr = A . i . tf

Dr = N . i . tf . ( 1 + i . tf )

Onde Dr = Desconto racional i = taxa unitária tf = tempo que falta para vencimen-


Observação: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fór-mula

DESCONTO COMERCIAL (Desconto por fora) é juros que pagamos, calculado sobre o valor nominal.

Dc = N . i . tf

Fórmulas que podemos usar no exercícios de desconto simples comercial:

A = N . ( 1 - i . tf )


EDITORA APROVAÇÃO

Dc = N . i . tf

Dc = A . i . tf . ( 1 - i . tf )

Onde Dc = Desconto comercial i = taxa unitária tf = tempo que falta para vencimen-


Observação: a unidade da taxa deve coincidir com a unidade do tempo para poder utilizar a fór-mula

Relação entre os descontos racio-nal e desconto comercial

1.) Dc > Dr

2.) Dc = Dr . ( 1 + i . tf )


1. Qual é o valor racional nominal de um título, cujo valor atual vale R$ 200,00, dois meses an-tes do vencimento e cuja taxa combinada fora de 10% a.m.?a) R$ 180,00b) R$ 192,00c) R$ 200,00d) R$ 220,00e) R$ 240,00

N = ?

A = 200

tf = 2 m

i = 10% a.m. = 10010

N = A (1 + i . t)

N = 200 . (1 + 10010

. 2)

N = 200 . ( 100120

)

N = 240LETRA E

2. Qual é o valor comercial atual de um título, dois meses antes do vencimento, cujo valor nominal vale R$ 240,00, e cuja taxa combina-da fora de 10% a.m.?a) R$ 180,00b) R$ 192,00c) R$ 200,00d) R$ 220,00e) R$ 240,00

A = ?tf = 2 mN = 240

i = 10% a.m. = 10010

A = N (1 – i . t)

A = 240 . (1 – 10010

. 2)

A = 240 . ( 100120

)

A = 192LETRA B

3. Calcule o desconto por dentro e o valor atu-al de um título no sétimo mês após feito ne-gócio. Sabendo que a taxa combinada foi de 120% a.a., o prazo combinado de 1 ano e o valor nominal de R$ 3.000,00?a) R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00b) R$ 1.500,00 e R$ 1.500,00c) R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00d) R$ 800,00 e R$ 2.200,00e) R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00Dr = ?A = ? i = 120% a.a. = 10% a.m. =

10010

N = 3000tf = 5 m

N = A (1 + i . t)

3000 = A . (1 + 100150

. 5)

3000 = A . ( 100150

)

A = 2000Dr = 3000 – 2000Dr = 1000LETRA A


EDITORA APROVAÇÃO

4. Calcule o desconto por fora e o valor atual de um título no sétimo mês após feito negócio. Sabendo que a taxa combinada foi de 120% a.a., o prazo combinado de 1 ano e o valor no-minal de R$ 3.000,00?a) R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00b) R$ 1.500,00 e R$ 1.500,00c) R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00d) R$ 800,00 e R$ 2.200,00e) R$ 1.200,00 e R$ 1.800,00

Dc = ?A = ?

i = 120% a.a. = 10% a.m. = 10010

N = 3000tf = 5 m

A = N (1 – i . t)

A = 3000 . (1 – 10010

. 5)

A = 3000 . ( 10050

)A = 1500Dc = 3000 – 1500Dc = 1500LETRA B

Prática1. Se tenho um título com valor nominal de R$

15.000,00.com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 25% a.a. qual o valor atual racional deste título hoje?a) R$ 9.600,00b) R$ 8.700,00c) R$ 9.500,00d) R$ 8.000,00e) R$ 10.000,00

2. Se tenho um título com valor nominal de R$ 10.400,00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% a.a., qual o valor atual racional deste tí-tulo 2 meses antes do seu vencimento?a) R$ 10.315.00b) R$ 12.610,00c) R$ 10.000,00d) R$ 9.615,00e) R$ 14.655,00

3. Se tenho um título com valor nominal de R$ 28.000;00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% a.a., qual! o valor atual racional deste tí-tulo 4 meses depois de adquirido o título?a) R$ 11.600,00b) R$ 11.611,00c) R$ 8.225,00d) R$ 9.220,00e) R$ 20.000,0

4. Se tenho um título com valor nominal de R$ 10.000,00 e com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% .a.a., qual o valor atual comercial des-te título 2 meses antes do seu vencimento?a) R$ 10.315,00b) R$ 12.610,00c) R$ 10.000,00d) R$ 9.600,00e) R$ 14.855;00

5. Se tenho um título com valor nominal de R$ 20.000,00 com vencimento daqui a dois anos e sendo a taxa de juros simples corrente de 24% a.a., qual o valor atual comercial deste título 4 meses depois de adquirido o título?a) R$ 11.800,00b) R$ 11.611,00c) R$ 8.225,00d) R$ 9.220,00e) R$ 12.000,00

6. Determine o desconto racional obtido ao reportar-se uma letra de valor nominal R$ 7.200,00 a 10% a.m. 2 meses antes de seu ven-cimento.a) R$ 12,000,00b) R$ 1.200,00c) R$ 120,00d) R$ 120.000,00e) R$ 12,00

7. Determine a desconto comercial sofrido por um título de R$ 7.200,00 descontado a 2 me-ses antes de seu vencimento a uma taxa de 10% a.m..a) R$ 144.000,00b) R$ 14.400,00c) R$ 8.440,00d) R$ 1.440,00e) R$ 11.200,00


EDITORA APROVAÇÃO

8. (TTN-89) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um título com seu vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de Cr$ 29.500,00 e eu desejo ga-nhar 36% ao ano, é de:a) Cr$ 24.000,00b) Cr$ 25.000,00c) Cr$ 27.500,00d) Cr$ 18.880,00e) Cr$ 24,190,00

9. Quanto tempo antes de seu vencimento foi paga uma letra de R$ 20.000,00, desconta-da a 6% a.a. o desconto comercial foi de R$ 2.400,00?a) 25 mesesb) 1 anoc) 10 mesesd) 3 anose) 2 anos

10. Uma letra, faltando 8 meses para seu ven-cimento, sofre o desconto por fora de R$ 3.200,00. Calcular o valor atual, sendo a taxa de 12% a.a.a) R$ 38.800,00b) R$ 38.600,00c) R$ 36.000,00d) R$ 36.800,00e) R$ 38.000,00

11. Uma letra de R$ 880.000,00 foi apresentada para desconto racional, faltando 1 ano e 3 meses para o seu vencimento. A que taxa foi descontada, se pagou R$ 800.000,00?a) 10% a.a.b) 9% a.a.c) 8% a.a.d) 7% a.a.e) 6% a.a.

12. (TTN-92-RIO) O valor atual de um título é igual a 1/2 de seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto sabendo-se que o pagamento foi antecipado de 5 meses.a) 200% a.a.b) 20% a.m.c) 25% a.m.d) 28% a.m.e) 220% a.a.

13. Um título obteve um desconto racional sim-ples de R$ 4.000,00 a uma taxa de juros de mercado de 10% a.m. 4 meses antes do seu vencimento. Qual deverá ser o nominal do tí-tulo?a) R$ 14.000,00b) R$ 9.500,00c) R$ 10.500,00d) R$ 9.000,00e) R$ 10.000,00

14. Um título obteve um desconto comercial sim-ples de R$ 4.000,00 a uma taxa de juros de mercado de 10% a.m. 4 meses antes do seu vencimento. Qual deverá ser o valor de resga-te do título?a) R$ 8.500,00b) R$ 9.500,00c) R$ 6.000,00d) R$ 9.000,00e) R$ 10.000,00

15. O desconto comercial simples de um título seis meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 10% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples.a) R$ 375,00b) R$ 600,00c) R$ 800,00d) R$ 700,00e) R$ 500,00

Equivalência de Capitais no Juro Composto. (Rendas variáveis)

O objetivo dessa matéria é trocar títulos que vencem em datas futuras por outros títulos que ven-cem em datas diferentes daquelas anteriores. Outro objetivo desta matéria é calcular a taxa de juros que uma empresa aplica ao trocar títulos.

O segredo da matéria é capitalizar (aumentar o valor do título) o título, caso a troca seja por uma data futura ou descapitalizá-lo (diminuir o valor do título) , caso a troca seja por uma data anterior à do vencimento do título.


EDITORA APROVAÇÃO

Veja os gráficos abaixo para entender melhor o processo.

Exemplo 1

T T+1

Exemplo de Capitalização de um título.

X

Quando capitalizamos um título, encontramos o valor nominal dele. Para isso devemos utilizar a seguinte fórmula.

( )TiAN += 1.

Onde N é o valor nominal. A é o valor atual. i é a taxa. t é o número de períodos que capita-

lizamos.

Vejamos abaixo o novo valor do título.

T T+1

X

11. iX

Exemplo 2

T T+1

X

Exemplo de Descapitalização de um título.

Quando descapitalizamos um título, encontra-mos o valor atual dele. Para isso também devemos utilizar a mesma fórmula, porém isolando o valor atual.

( )TiNA+

=1

onde N é o valor nominal. A é o valor atual. i é a taxa. t é o número de períodos que desca-

pitalizamos.


T T+1

X

11 iX


1. Um capital de R$ 900,00 disponível em 90 dias, é equivalente a outro capital, disponível em 150 dias, à taxa de 5% a.m., qual o valor do outro capital?a) R$ 879,35b) R$ 987,70c) R$ 992,25d) R$ 995,50e) R$ 1.008,00

90 d (3 m) 150 d (5 m)

900 X

X = 900 . ( 1 + 5% )5 -3

X = 900 . ( 1 + 5% )2

x = 900 . 1,1025x = 992,25LETRA C

2. Qual o valor do capital, disponível em 210 dias, equivalentes a R$ 10.000,00, disponível em 90 dias, à taxa de 10% a.m.?a) R$ 13.331,00b) R$ 14.641,00c) R$ 15.400,00d) R$ 17.350,00e) R$ 18.151,00


EDITORA APROVAÇÃO

90 d (3 m) 210 d (7 m)

10000 X

X = 10000 . ( 1 + 10% )7 -3

X = 10000 . ( 1 + 10% )4

x = 10000 . 1,4641x = 14641LETRA B

3. Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias e R$ 220,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto com-posto de mercado é 10% a.m.?a) R$ 398,00b) R$ 405,15c) R$ 370,18d) R$ 359,00e) R$ 365,00

X

60 d (2 m) 90 d (3 m) 120 d (4 m)

180 220

X = 180 . ( 1 + 10% )3-2 + 34%101

220

X = 180 . ( 1 + 10% )1 + 1%101220

X = 180 . 1,1 + 1,1220

X = 198 + 200X = 398LETRA A

4. Precisamos trocar três títulos com vencimen-tos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mes-mo valor nominal com vencimento daqui a 4 e 6 meses. Considerando o regime de desconto composto, a uma taxa de 10% a.m., qual o va-lor nominal desses títulos.a) R$ 1.900,00b) R$ 1.915,40c) R$ 1.800,75d) R$ 1.993,48e) R$ 1.887,70

X

1 m 2 m 3 m 4 m 6 m

1000 1000

X

1000

X + X . ( 1 + 10% )6-4 = 1000 . ( 1 + 10% )6-3 + 1000 . ( 1 + 10% )6-2 + 1000 . ( 1 + 10% )6-1

X + X . ( 1 + 10% )2 = 1000 . ( 1 + 10% )3 + 1000 . ( 1 + 10% )4 + 1000 . ( 1 + 10% )5

X + X . 1,21 = 1000 . 1,331 + 1000 . 1,4641 + 1000 . 1,6105

2,21 . X = 1331 + 1464,10 + 1610,502,21 . X = 4405,60

X = 21,260,4405

X = 1993,48LETRA D

Prática1. Um capital de R$ 1.000,00 disponível em 90 dias,

é equivalente a um outro capital, disponível em 150 dias, à taxa de 5% ao mês de desconto com-posto, qual o valor do outro capital?a) R$ 1.276,30b) R$ 1.107,70c) R$ 1.102,50d) R$ 1.055,50e) R$ 1.108,00


EDITORA APROVAÇÃO

2. Qual será a taxa anual de desconto necessá-rio, para que os capitais de R$ 2.000,00 e R$ 2.200,00, vencíveis daqui a 2 e 3 anos, respec-tivamente, sejam equivalentes na data atual pelo regime de capitalização composta.a) 12,5%b) 8,5%c) 11,5%d) 11,4%e) 10%

3. Qual o valor do capital, vencível em 3 anos, equivalente a R$ 115.927,40 vencível em 8 anos, à taxa de 3% ao ano de desconto composto?a) R$ 260.000,00b) R$ 166.056,56c) R$ 166.250,00d) R$ 160.500,25e) R$ 100.000,00

4. Um título de R$ 7.700,00 com vencimento para 120 dias, deve ser substituído por outro título, com vencimento para 90 dias. Se a taxa de des-conto composto vigente é 10% ao mês, qual será o valor do novo título?a) R$ 3.000,00b) R$ 4.000,00c) R$ 5.000,00d) R$ 6.000,00e) R$ 7.000,00

5. Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 100,00 ao final de 60 dias e R$ 220,00 ao final de 120 dias, se a taxa de desconto composto de mercado é 10% ao mês?a) R$ 310,00b) R$ 340,15c) R$ 370,18d) R$ 329,00e) R$ 350,23

6. Um título de R$ 6.000.000,00 com vencimen-to ao final de 6 meses, a contar da época atual. Deve ser liquidado por meio de 2 pagamen-tos iguais, o primeiro, ao final de 3 meses, e o segundo, ao final de 5 meses. Sendo a taxa de juros compostos de mercado 10% ao mês, calcular o valor de cada pagamento.a) R$ 2.468.120,12b) R$ 1.418.120,11c) R$ 2.400.000,00d) R$ 1.468.120,00e) R$ 2.000.000,00

7. Precisamos trocar três títulos com vencimen-tos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mes-mo valor nominal com vencimento daqui a 4 e 6 meses. Considerando o regime de desconto composto, a uma taxa de 8% a.m., qual o valor nominal desses títulos.a) R$ 1.900,00b) R$ 1.915,40c) R$ 1.800,75d) R$ 1.986,56e) R$ 1.887,70

Equivalência de Capitais no Juro Simples. (Rendas variáveis

e uniformes)O objetivo dessa matéria é trocar títulos que

vencem em datas futuras por outros títulos que ven-cem em datas diferentes daquelas anteriores. Outro objetivo desta matéria é calcular a taxa de juros que uma empresa aplica ao trocar títulos.

O esquema da matéria é realizar a troca dos tí-tulos na data focal zero, a não ser que no enunciado seja específica a data de equivalência.

Quando não especificado o tipo de desconto usaremos como convenção o desconto racional.

Irei dividir este tópico em duas partes: equiva-lência usando desconto racional e equivalência uti-lizando desconto comercial.

Primeiro caso: equivalência usando desconto racional


Caso 1

T T+1

Data de equivalência no futuro.

X


EDITORA APROVAÇÃO

Quando a data de equivalência for no futuro, devemos capitalizar o(s) título(s), desse modo, ire-mos encontrar o valor nominal dele(s). Para isso de-vemos utilizar a seguinte fórmula.

( )tiAN .1. +=


lizamos.Vejamos abaixo o novo valor do título.

T T+1

X

1.1. iX

Caso 2

T T+1

X

Data de equivalência no passado.

Quando a data de equivalência for no passado, devemos descapitalizar o(s) título(s), desse modo, iremos encontrar o valor atual dele(s). Para isso, também devemos utilizar a mesma fórmula, porém isolando o valor atual.

( )tiNA

.1 +=

Onde N é o valor nominal. A é o valor atual. i é a taxa. t é o número de períodos que desca-

pitalizamos.


T T+1

X

1.1 iX

Alguns exemplos para facilitar o entendimento.


1. Uma impressora é vendida à vista por R$ 300,00 à vista ou com uma entrada de 30% e mais um pagamento de R$ 220,50 após 30 dias. Qual a taxa mensal envolvida na operação?a) 5%b) 2%c) 10%d) 6%e) 20%

0 30 d (1 m)

300

90220,50


EDITORA APROVAÇÃO

300 = 90 + )1(

50,220i

210 =

)1(50,220i

210 + 210i = 220,50210i = 10,50

i = 21050,10

i = 0,05 = 5% amLETRA A

2. Qual o valor do capital, disponível em 120 dias, equivalente a R$ 10.500,00 disponível em 75 dias à taxa de 80% ao ano de desconto simples racional?a) R$ 10.400,00b) R$ 11.400,00c) R$ 10.000,00d) R$ 11.000,00e) R$ 10.500,00

80% ao ano de desconto simples racional

360120.

100801

36075.

100801

10500 X

9120.

10021

975.

10021

10500 X

=

9001140

9001050

10500 X

1140105010500 X=

X = 10501140.10500

X = 11400LETRA B

3. Os capitais R$ 500,00 e R$ 700,00 com ven-cimentos respectivos em 150 e 360 dias, são equivalentes. Qual a taxa mensal de desconto simples racional vigente?a) 4%b) 5%c) 6%d) 7%e) 8%

0 150 d (5 m) 360 d (12 m)

500

700

)121(700

)51(500

ii

)121(7

)51(5

ii

5 + 60i = 7 + 35i25i = 2

i = 252

i = 0,08 = 8% a.m.LETRA D

Considerações Finais

Sempre que realizarmos equivalência •de capitais, iremos realizar a equiva-lência na data focal zero, a não ser que no enunciado seja especificado umadata de equivalência. É importante que fique bem claro que quando o enun-ciadoespecificarumadatafocal,fiquebemespecificadoqualseráadata.Temque estar escrito algo tipo: “faça a equi-valência na data focal x”, caso não seja especificado claramente a data focal,iremos utilizar a data focal zero.Quandonãoespecificadootipodedes-•conto usaremos como convenção o des-conto racional.


EDITORA APROVAÇÃO

Segundo caso: equivalência usando desconto comercial


Caso 1

T T+1

Data de equivalência no futuro.

X

Quando a data de equivalência for no futuro, devemos capitalizar o(s) título(s), desse modo, ire-mos encontrar o valor nominal dele(s). Para isso de-vemos utilizar a seguinte fórmula.

( )tiAN

.1 −=


lizamos.


T T+1

X

1.1 iX

Caso 2

T T+1

X

Data de equivalência no passado.

Quando a data de equivalência for no passado, devemos descapitalizar o(s) título(s), desse modo, iremos encontrar o valor atual dele(s). Para isso, também devemos utilizar a mesma fórmula, porém isolando o valor atual.

( )tiNA .1. −=

Onde N é o valor nominal. A é o valor atual. i é a taxa. t é o número de períodos que desca-

pitalizamos.


T T+1

X 1.1. iX

Alguns exemplos para facilitar o entendimento.


1. Uma empresa deve um título de valor R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo por um outro que vencerá na data 5, usando uma taxa simples comercial de 10% ao período, qual o valor do novo título.a) R$ 1.760,00b) R$ 1.820,00c) R$ 1.950,00d) R$ 1.880,00e) R$ 1.700,00

0 3 5

1.300

X


EDITORA APROVAÇÃO

Devemos descapitalizar os dois títulos e igua-lar eles, para o obter o valor de X.

5.

100101.3.

100101.1300 X

1300 0,7 = X . 0,5X = 1820LETRA BO novo título terá o valor de R$ 1.820,00 na

data 5.

2. Um capital de R$ 900,00 disponível em 40 dias, é equivalente a outro capital, disponível em 100 dias, à taxa de 60% a.a. de desconto simples co-mercial, qual o valor do outro capital?a) R$ 1.000,00b) R$ 2.000,00c) R$ 3.000,00d) R$ 4.000,00e) R$ 1.008,00

0 40 d 100 d

900

X

60% a.a. de desconto simples comercial

360100.

100601.

36040.

100601.900 X

6100.

10011.

640.

10011.900 X

600500.

600560.900 X=

X = 500560.900

X = 1008LETRA E

Considerações Finais

Sempre que realizarmos equivalência •de capitais, iremos realizar a equiva-lência na data focal zero, a não ser que no enunciado seja especificado umadata de equivalência. É importante que fique bem claro que quando o enun-ciadoespecificarumadatafocal,fiquebemespecificadoqualseráadata.Temque estar escrito algo tipo: “faça a equi-valência na data focal x”, caso não seja especificado claramente a data focal,iremos utilizar a data focal zero.Quandonãoespecificadootipodedes-•conto usaremos como convenção o des-conto racional.

Prática1. Qual o valor do capital, vencível em 45 dias,

equivalente a R$ 840.000,00 vencível em 30 dias, à taxa de 80% ao ano de desconto sim-ples racional?a) R$ 860.000,00b) R$ 866.000,00c) R$ 866.250,00d) R$ 860.500,00e) R$ 860.100,00

2. (AFC/93) Determinar a taxa de juros mensal para que sejam equivalentes hoje os capitais de Cr$ 1.000,00 vencível em dois meses e Cr$ 1.500,00 vencível em três meses, consideran-do-se o desconto simples comercial.a) 15%b) 20%c) 25%d) 30%e) 33,33%

3. Um título de valor nominal de R$ 500,00 com vencimento daqui a 1 mês, precisa ser troca-do por outro de valor nominal de R$ 700,00 com vencimento daqui a três meses. Supondo o critério de desconto racional simples, qual a taxa mensal que deverá ser considerada?a) 25%b) 20%c) 30%d) 15%e) 10%


EDITORA APROVAÇÃO

4. Um título de R$ 50.000,00 e outro de R$ 80.000,00, vencem respectivamente em 60 e 120 dias. Calcular o valor nominal de um úni-co título com vencimento par 30 dias, a fim de substituir os dois primeiros. A taxa de descon-to simples comercial é de 20% ao mês.a) R$ 57.500,00b) R$ 72.000,00c) R$ 55.000,00d) R$ 60.500,00e) R$ 65.000,00

5. Qual o valor do pagamento ao final de 90 dias, capaz de substituir os seguintes pagamentos: R$ 180,00 ao final de 60 dias e R$ 200,00 ao fi-nal de 120 dias, se a taxa de desconto simples comercial de mercado é 20% ao mês?a) R$ 300,00b) R$ 450,00c) R$ 370,00d) R$ 350,00e) R$ 200,00

6. O portador de um título de R$ 800.000,00 com vencimento para 60 dias, quer trocá-lo por dois outros, de igual valor, vencíveis em 30 e 90 dias. Qual o valor de cada novo títu-lo se a taxa de desconto simples comercial de mercado é 120% ao ano?a) R$ 250.000,00b) R$ 350.000,00c) R$ 450.000,00d) R$ 550.000,00e) R$ 400.000,00

7. Precisamos trocar três títulos com vencimen-tos daqui a 1, 2 e 3 meses, todos com valores de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mes-mo valor nominal com vencimento daqui a 4 e 6 meses. Considerando o regime de descon-to comercial simples, a uma taxa de 8% a.m., qual o valor nominal desses títulos.a) R$ 1.900,00b) R$ 2.000,00c) R$ 2.200,00d) R$ 2.100,00e) R$ 1.920,00

8. Uma empresa deve um título de valor R$ 1.300,00 na data 3 e desejá-lo trocá-lo por um outro que vencerá na data 5, usando uma taxa simples de 10% ao período, qual o valor do novo título.

a) R$ 1.400,00b) R$ 1.600,00c) R$ 1.300,00d) R$ 1.200,00e) R$ 1.500,00

9. Um som é vendido da seguinte forma: entrada de R$ 500,00 e duas prestações iguais de R$ 600,00. A primeira daqui a 30 dias e a segunda daqui a 90 dias. Se a loja opera com uma taxa de desconto igual a 20% a.m., qual o preço à vista deste som?a) R$ 1.375,00b) R$ 1.220,00c) R$ 1.750,00d) R$ 1.300,00e) R$ 1.500,00

10. Uma empresa devedora de três títulos pagá-veis em 6, 12 e 18 meses, com valores respec-tivamente de R$ 4.400,00, R$ 6.000,00 e R$ 7.800,00. Verificando que apenas daqui a 12 meses possuirá recursos disponíveis, propõe liquidar esses três títulos nesta data. Qual será o valor deste pagamento, se a taxa de ju-ros simples for de 20% a.a.?a) R$ 15.000,00b) R$ 17.500,00c) R$ 20.000,00d) R$ 22.500,00e) R$ 18.000,00

11. Precisamos trocar três títulos com vencimen-tos daqui a 6, 10 e 30 meses, todos com valo-res de R$ 1.000,00 por dois outros títulos de mesmo valor nominal com vencimento daqui a 40 e 60 meses. Considerando o regime de desconto simples racional, a uma taxa de 10% a.m., qual o valor nominal desses títulos.a) R$ 2.250,00b) R$ 2.750,00c) R$ 3.000,00d) R$ 3.750,00e) R$ 4.250,00

12. Qual o valor do capital, disponível em 80 dias, equivalente a R$ 800,00 disponível em 60 dias à taxa de 50% ao ano de desconto simples co-mercial?a) R$ 900,00b) R$ 915,00c) R$ 825,00d) R$ 805,00e) R$ 925,00


EDITORA APROVAÇÃO

13. Um título de R$ 7.000,00 com vencimento para 120 dias, deve ser substituído por outro título, com vencimento para 90 dias. Se a taxa de desconto simples comercial vigente é de 10% ao mês, qual será o valor do novo título?a) R$ 3.000,00b) R$ 4.000,00c) R$ 5.000,00d) R$ 6.000,00e) R$ 7.000,00

14. Uma empresa devedora de dois títulos de $ 30.000,00 cada, vencíveis em 3 e 4 meses, de-seja liquidar a dívida com um único pagamen-to no quinto mês. Calcular o valor desse paga-mento empregando a taxa simples comercial de 15% a.m.a) $ 114.000,00b) $ 90.000,00c) $ 100.000,00d) $ 110.000,00e) $ 120.000,00

TAXAS NOMINAL E TAXA EFETIVA NO

COMPOSTOTAXA NOMINAL: é a taxa que não coincide

com o período de capitalização de uma aplicação

TAXA EFETIVA: é a taxa que coincide com o período de capitalização de uma aplicação

Observação: Para transformar uma taxa nomi-nal em efetiva ou vice-versa, devemos utilizar o con-ceito de proporcionalidade entre as taxas.

Veja o exemplo abaixo para uma melhor com-preensão.

Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 44% a.a. com capitalização semestral. Qual o montante dessa aplicação?

Resolução errada usando taxas equivalentes:

C = 10000t = 1 a = 2 si = 44% a.a. → taxa nominal

devemos transformar a taxa nominal em taxa efetiva para a resolução do exercício.

Usaremos o conceito de taxas equivalentes(1 + i1)t1 = (1 + i2)t2

(1 + 44%)1 = (1 + i)2

1,44 = (1 + i)2

44,1 = 1 + i1,2 = 1 + ii = 0,2i = 20% (suposta taxa efetiva)

M = C . (1 + i)tM = 10000 . (1 + 44%)1M = 10000 . 1,44M = 14400

Usando a suposta taxa efetiva, repare que iremos obter o mesmo montante, sendo assim não haveria necessidade de transfor-mação das taxas e conseqüentemente não haveria a necessidade da existência desta matéria. Em virtude disso, quando formos transformar a taxa nominal em taxa efetiva usaremos sempre o conceito de taxas pro-porcionais.

M = C . (1 + i)t

M = 10000 . (1 + 20%)2M = 10000 . 1,44M = 14400

Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a ju-ros compostos, durante 1 ano, à taxa de 44% a.a. com capitalização semestral. Qual o mon-tante dessa aplicação?

Resolução correta usando taxas proporcionais

C = 10000t = 1 a = 2 si = 44% a.a. → taxa nominaldevemos transformar a taxa nominal em taxa efetiva para a resolução do exercício.i = 22% a.m. → taxa efetiva


EDITORA APROVAÇÃO

M = C . (1 + i)t

M = 10000 . (1 + 44%)1

M = 10000 . 1,44M = 1400

Perceba-se como o valor do montante será maior e diferente.M = C . (1 + i)t

M = 10000 . (1 + 22%)2

M = 10000 . 1,4884M = 14884


1. Um capital de R$ 1.000.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 60% a.a. com capitalização mensal. Qual o montante dessa aplicação?a) R$ 1.795.900,00b) R$ 1.600.567,00c) R$ 1.700.000,00d) R$ 1.450.340,00e) R$ 1.610.000,00

C = 1000000t = 1 a = 12 mi = 60% a.a. → taxa nominal


i = 5% a.m. → taxa efetiva

M = C . (1 + i)t

M = 1000000 . (1 + 5%)12

M = 1000000 . 1,7959M = 1795900LETRA A

2. Qual o montante de uma aplicação de R$ 1.000.000,00, a juros compostos, durante 6 meses à taxa de 36% a.a., capitalizados men-salmente?a) R$ 1.167.066,00b) R$ 1.450.597,00c) R$ 1.194.000,00d) R$ 1.190.340,00e) R$ 1,203,456,00

M = ?C = 1000000t = 6 mi = 36% a.a. → taxa nominal


i = 3% a.m. → taxa efetiva

M = C . (1 + i)t

M = 1000000 . (1 + 3%)6M = 1000000 . 1,1941M = 1194000LETRA C

3. Determine o prazo de uma aplicação de R$ 550.000,00, a juros compostos, capitalizados mensalmente, se desejo obter um montan-te de R$ 1.106.215,00, a taxa de juro de 15% a.m.a) 2 mesesb) 3 mesesc) 4 mesesd) 5 mesese) 6 meses

t = ? mC = 550000M = 1106215i = 15% a.m.

a taxa em questão já é efetiva.

M = C . (1 + i)t

1106215 = 550.000 (1 + 15%)t

t%)61(550000

1106215 +=

2,0114 = (1 + 15%)t

procurar na coluna do 15% o fator 2,0114 e ver a qual tempo está associado este fator.

t = 5 m

LETRA D


EDITORA APROVAÇÃO

4. Qual a taxa efetiva para que o capital de R$ 1.200.000,00, aplicado durante 1 ano, com ca-pitalização mensal, atinja um montante de R$ 3.021.720,00?a) 4% a.m.b) 8% a.m.c) 5% a.m.d) 9% a.m.e) 10% a.m.

C = 1200000

t = 1 a = 12 m

M = 3021720

i = ?% a.m.

M = C . (1 + i)t

3021720 = 1200000 . (1 + i)1212)1(

12000003021720 i+=

2,5181 = (1 + i)12

procurar na linha do tempo 12 o fator 2,5181 e ver a taxa que está associado este fator.

i = 8% a.m.LETRA B

5. A taxa de juros nominal de 48% a.s., capitali-zada mensalmente, equivale à taxa semestral de:a) 8,00%b) 17,00%c) 25,00%d) 48,00%e) 58,69%

i = 48% a.s. → taxa nominal

devemos transformar a taxa nominal em taxa efe-tiva para a resolução do exercício.

i = 8% a.m. → taxa efetiva8% a.m. → % a.s.

(1 + 8%)6 = (1 + i)11,5869 = 1 + ii = 1, 5869 -1 i = 0, 5869 (taxa equivalente unitária)i = 58,69% (taxa equivalente percentual)LETRA E

Prática1. Qual a taxa efetiva para que o capital de R$

1.200.000,00, aplicado durante 1 ano, com ca-pitalização mensal, atinja um montante de R$ 2.155.027,20.a) 4% a.m.b) 8% a.m.c) 5% a.m.d) 9% a.m.e) 10% a.m.

2. Um título de valor nominal de R$ 500.000,00 vai ser resgatado três meses antes do venci-mento, sob o regime de desconto racional composto. Sabendo-se que a taxa de descon-to racional é de 96% a.a., qual o valor descon-tado e o desconto, considerando capitaliza-ção mensal?a) R$ 396.916,00 e R$ 103.083,88b) R$ 390.900,00 e R$ 100.080,00c) R$ 396.010,00 e R$ 103.080,88d) R$ 300.916,00 e R$ 100.083,88e) R$ 306.916,00 e R$ 100.080,88

3. (AFC/94) Quanto se deve investir hoje, à taxa nominal de juros de 20% ao no, capitalizados trimestralmente, para se obter R$ 100.000,00 daqui a 5 anos?a) R$ 37.680,00b) R$ 30.000,00c) R$ 26.530,00d) R$ 23.020,00e) R$ 8.333,00

4. (AFC/93) A taxa de juros nominal de 30% ao semestre, capitalizados mensalmente equiva-le à taxa semestral de:a) 5%b) 12%c) 15%d) 30%e) 34%

5. (AFC/94) Um banco paga juros compostos de 30% ao ano, com capitalização semestral. Qual a anual taxa efetiva?a) 27,75%b) 29,50%c) 30%d) 32,25%e) 35%


EDITORA APROVAÇÃO

6. Um banco paga juros compostos de 20% a.a., com capitalização semestral, Qual a taxa anual efetiva?a) 20%b) 25%c) 23%d) 21%e) 24%

TAXA EFETIVA E NOMI-NAL NO JURO SIMPLES

Sempre que o valor do desconto comercial sim-ples for equivalente ao desconto racional simples, a taxa do desconto comercial será chamada de taxa nominal enquanto que a taxa do desconto racional será chamada de taxa efetiva. É interessante que quando acontecer o mencionado acima, o valor atu-al racional e o valor atual comercial também serão iguais.

Saliento que alguns autores atribuem outros nomes paras essas duas taxas, veja abaixo:

Taxa do desconto racional = taxa efetiva = taxa real = taxa linear = taxa de juros simples = taxa im-plícita.

Taxa do desconto comercial = taxa nominal = taxa estabelecida.

Relação entre as taxas efetivas e comerciais

1.) A taxa efetiva será sempre maior que a taxa nominal.

2.) ( )ti

tiNtiN

DD

r

rc

rc

.1....

+=

=

simplificando N e t, te-

mos: ( )ti

iir

rc .1+

=

3.) ( )ti

tiAtiA

DD

c

cr

cr

.1..

..−

=

=

simplificando A e t, te-

mos: ( )tiii

c

cr .1−

=

Observação: Repare que para resolver um exer-cícios desta matéria o valor nominal ou o valor atual são desprezíveis. O motivo desta conclusão está no fato que ao deduzir as duas fórmulas acima, os valo-res atuais e nominais são simplificados ao deduzir as duas fórmulas.


1. Desconto simples por fora a uma taxa de 20% ao mês aplicado por 1 mês é equivalente a desconto por dentro, também aplicado por 1 mês, a uma taxa mensal de:a) 10%b) 15%c) 17%d) 20%e) 25%

ir = ?% a.m.ic = 20% a.m. = 0,20tf = 1m

( )tii

ic

cr .1−

=

1.20,0120,0

ri

80,020,0ri

ir = 0,25 = 25% a.m.LETRA E

2. Calcule a taxa simples efetiva mensal de uma aplicação feita utilizando desconto simples por fora a uma de 20% ao mês por 1 mês.a) 10%b) 15%c) 17%d) 20%e) 25%

Antes da resolução desta, é bom enfatizar que o enunciado dela apresenta a mesma idéia do enunciado da questão número três.


EDITORA APROVAÇÃO

ir = ?% a.m.ic = 20% a.m. = 0,20tf = 1m

( )tii

ic

cr .1−

=

1.20,0120,0

ri

80,020,0ri

ir = 0,25 = 25% a.m.LETRA E

3. Desconto simples por dentro a uma taxa de 25% ao mês aplicado por 1 mês é equivalente a desconto por fora, também aplicado por 1 mês, a uma taxa mensal de:a) 10%b) 15%c) 17%d) 20%e) 25%

ic = ?% a.m.ir = 25% a.m. = 0,25tf = 1m ( )ti

iir

rc .1+

=

1.25,0125,0

ci

25,125,0ci

ic = 0,20 = 20% a.m.LETRA D

4) Calcule a taxa simples nominal mensal de uma aplicação feita utilizando desconto simples por dentro a uma de 25% ao mês por 1 mês.a) 10%b) 15%c) 17%d) 20%e) 25%

Antes da resolução desta, é bom enfatizar que o enunciado dela apresenta a mesma idéia do enunciado da questão número três.

ic = ?% a.m.ir = 25% a.m. = 0,25tf = 1m ( )ti

iir

rc .1+

=

1.25,0125,0

ci

25,125,0ci

ic = 0,20 = 20% a.m.LETRA D

Prática1. (Controladoria-RJ/00) Uma promissória de R$

240.000,00 é descontada em um banco 60 dias antes do vencimento pelo desconto comercial simples, aplicando-se uma determinada taxa de desconto. Se a operação resulta em uma taxa linear efetiva de desconto de 12,5% ao mês, a taxa mensal de desconto comercial simples praticada pelo banco é de a) 15,0%b) 10,0%c) 9,5%d) 8,5%e) 6,5%.

2. Calcule taxa de juros simples mensais que um título descontado pelo desconto comercial, utilizando taxa de 16% a.b. em 5 meses:a) 0,80%b) 6,50%c) 13,3%d) 40,0%e) 80,0%.

3. Calcule taxa nominal simples mensal que um título descontado pelo desconto racional sim-ples, utilizando taxa de 6% a.m. em 5 meses:a) 5,00%b) 3,59%c) 2,38%d) 4,62%e) 5,50%.

4. (AFC–05) Marcos descontou um título 45 dias an-tes de seu vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a:a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mêsb) R$ 400.000,00 e 5,4 % ao mêsc) R$ 450.000,00 e 64,8 % ao anod) R$ 400.000,00 e 60 % ao anoe) R$ 570.000,00 e 5,4 % ao mês


EDITORA APROVAÇÃO

RENDA CERTA OU RENDA UNIFORME

(Rendas Uniformes)O objetivo desta matéria é o mesmo da matéria

anterior, porém nesta matéria os títulos apresen-tam os mesmos valores e os vencimentos são conse-cutivos, o que nos levará a ter um jeito alternativo e mais rápido para resolver os exercícios.

Iremos apresentar o novo jeito de resolver os exercícios de equivalência de capitais que se ade-quam ao caso abordado acima.

Quando lidamos com uma série de pagamentos (entradas) iguais e sucessivas, teremos dois casos de exercícios para resolver:

O primeiro caso iremos encontrar o va-•lor atual dos pagamentos iguais e su-cessivos. Podemos dizer que esse valor éovalordofinanciamentoobtidoporuma empresa ou ainda o valor do em-préstimo que a empresa realizou.O segundo caso iremos encontrar o va-•lorqueaempresaobteráseaplicarospagamentos dos seus clientes em uma data futura às datas dos pagamentos.

Vamos abordar o primeiro caso: Cál-culo do Valor Atual.

a) Renda Certa Postecipada, também chamada de Imediata: é aquela onde o primeiro pagamento acontecerá um período após contrair o empréstimo ou o financiamento.

P

t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6t-1

A

Para calcular o valor atual desta renda certa, basta usar a seguinte fórmula:

A = P . an,i

Onde A é o valor atual da renda certa. i é a taxa empregada na descapitali-

zações dos pagamentos.

n é o número de prestações a serem pagas.

P é o valor de cada pagamento da renda certa.

Sabe-se que

( )( )n

n

in iiia

+−+=

1.11

,é um fa-

tor que normalmente é dado das provas. (segunda tabela da nossa apostila). Caso este fator não for dado, para resolver exercícios de renda certa, deve-mos utilizar os mesmo conceitos de equivalência de capitais.

b) Renda Certa Antecipada: é aquela onde o primeiro pagamento acontecerá no ato do emprés-timo ou do financiamento

P

t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6

A

Para calcular o valor atual desta renda certa, ignorar a primeira prestação no fluxo e trabalhar como se a renda certa fosse postecipada com uma prestação a menos e depois para obter o valor atual é só somar a prestação retirada.

A = P . an-1,i + P ou A = P . ( an-1,i + 1)


zações dos pagamentos. n é o número de prestações a serem

pagas. P é o valor de cada pagamento da

renda certa.

c) Renda Certa Diferida: é aquela onde o pri-meiro pagamento acontecerá períodos após ser fei-to o empréstimo ou o financiamento.

P

t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 t+8 t+9

A


EDITORA APROVAÇÃO

Para calcular o valor atual desta renda certa, devemos adicionar quantas prestações forem ne-cessárias para transformar a renda certa diferida em renda certa postecipada e depois retirar estas pres-tações adicionadas com o fator an,i para obter o valor atual do fluxo.

A

P

t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 t+8 t+9

A = P . ( an+x,i - ax,I )



pagas. P é o valor de cada pagamento da

renda certa. x é o número de prestações acres-

centadas.

Veja os exemplos abaixo para entender melhor como resolver problemas de renda certa, com cálcu-lo de valor atual.


1. O valor atual de uma Anuidade Imediata de 4 pagamentos mensais no valor de R$ 10.000,00, à taxa composta de 10% a.m. é:

Este mesmo exercício, poderia se enunciado da seguinte maneira:

1. Uma empresa deve pagar a um banco um fi-nanciamento composto de 4 pagamentos mensais no valor de R$ 10.000,00, à taxa com-posta de 10% a.m. sabe-se que o primeiro pagamento acontece um mês após recebido o financiamento, calcule o valor do financia-mento:a) R$ 31.699,00b) R$ 51.051,00c) R$ 46.410,00d) R$ 26.198,00e) R$ 34.868,00

10.000

0

A

1 2 3 4

A = P . an,i

A = 10000 . a4,10%A = 10000 . 3,1699A = 31699LETRA A

2. O valor atual de uma Anuidade Antecipa-

da de 4 pagamentos mensais no valor de R$ 10.000,00, à taxa composta de 10% a.m. é:


2. Uma empresa deve pagar a um banco um fi-nanciamento composto de 4 pagamentos mensais no valor de R$ 10.000,00, à taxa com-posta de 10% a.m. sabe-se que o primeiro pagamento acontece no ato do recebimento o financiamento, calcule o valor do financia-mento:a) R$ 31.699,00b) R$ 51.051,00c) R$ 46.410,00d) R$ 26.198,00e) R$ 34.869,00

10.000

0 1 2 3

A


EDITORA APROVAÇÃO

Para calcular o valor atual desta renda certa, devemos ignorar a primeira prestação no fluxo e trabalhar como se a renda certa fosse postecipada com uma prestação a menos e depois para obter o valor atual é só somar a prestação retirada.

Transformando a renda certa antecipada em postecipada.

10.000

0 1 2 3

A

A = P . an-1,i + P

A = 10.000 . a3,10% + 10000A = 10.000 . 2,4869 + 10000A = 34869LETRA E

3. Determinar o valor atual de uma renda certa, diferida de 3 meses, com 4 pagamentos men-sais e iguais no valor de R$ 10.000,00, à taxa composta de 10% a.m. é:


3. Uma empresa deve pagar a um banco um finan-ciamento composto de 4 pagamentos mensais no valor de R$ 10.000,00, à taxa composta de 10% a.m. sabe-se que o primeiro pagamento acontece três períodos após o recebimento do financiamen-to, calcule o valor do financiamento:a) R$ 31.699,00b) R$ 51.051,00c) R$ 46.410,00d) R$ 26.198,00e) R$ 34.868,00

10.000

0 1 2 3 4 5 6

A

Para calcular o valor atual desta renda certa, devemos acrescentar duas prestações ao fluxo, transformando a renda certa diferida em renda certa postecipada e depois para obter o valor atual basta subtrair o fator an,i das parcelas que acrescentamos.

Transformando a renda certa diferida em poste-cipada (repare que acrescentamos duas parcelas).

10.000

0 1 2 3 4 5 6

A

A = P . ( an+x,i - ax,I )

A = 10000 . ( a6,10% - a2,10% )A = 10000 . ( 4,3553 - 1,7355 )A = 10000 . ( 2,6198 )A = 26198LETRA D

Vamos abordar o segundo caso: Cál-culo do Montante.

Neste caso, teremos duas abordagens, porém diferentemente do primeiro caso não teremos no-mes para estas abordagens.

a.) Primeira abordagem: nesta abordagem calcularemos o montante de uma renda certa na data do último pagamento ou do último recebi-mento das parcelas que compõe a renda certa. Veja o fluxo abaixo:


EDITORA APROVAÇÃO

P

t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6M

Para calcular o montante desta renda certa, basta usar a seguinte fórmula: M = P . sn,i

Onde M é o montante da renda certa. i é a taxa empregada na descapitali-


pagas. P é o valor de cada entrada da renda

certa.

sabe-se que ( )

iis

n

in11

,−+=

é um fator que normalmente é dado das provas. (terceira tabe-la da nossa apostila). Caso este fator não for dado, para resolver exercícios de renda certa, devemos utilizar os mesmo conceitos de equivalência de ca-pitais.

b.) Segunda abordagem: nesta abordagem calcularemos o montante de uma renda certa em uma data onde o último pagamento ou o último re-cebimento das parcelas que compõe a renda certa não coincide com o montante que desejamos calcu-lar. Veja o fluxo abaixo:

P

t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 t+8 t+9 t+10

M

Caso o último título da renda certa não coinci-dir com o valor do montante que queremos calcular devemos acrescentar títulos e depois retirá-los.

Olhe o fluxo abaixo para entender o explicado.

P

t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6 t+7 t+8 t+9 t+10

M

Para calcular o montante desta renda certa, basta usar a seguinte fórmula:

M = P . ( sn+x,i – sx,i )

Onde M é o montante da renda certa. i é a taxa empregada na descapitali-


pagas. P é o valor de cada entrada da renda

certa. x é o número de prestações acres-

centadas.

Veja os exemplos abaixo para entender melhor como resolver problemas de renda certa, com cálcu-lo de montante.


4. Aplica-se, mensalmente, R$ 10.000,00 duran-te 4 meses, no início de cada mês, à taxa com-posta de 10% a.m.. Qual o valor do montante, no início do 4º mês?a) R$ 31.698,65b) R$ 51.051,00c) R$ 46.410,00d) R$ 26.198,00e) R$ 34.868,52

início

10.000

1 2 3 4

M

M = P . sn,i

A = 10000 . s4,10%A = 10000 . 4,6410A = 46410LETRA C

5. Aplica-se, mensalmente, R$ 10.000,00 duran-te 4 meses, no início de cada mês, à taxa com-posta de 10% a.m.. Qual o valor do montante, no final do 5º mês?a) R$ 51.051,00b) R$ 56.156,00c) R$ 46.410,00


EDITORA APROVAÇÃO

d) R$ 57.156,10e) R$ 41.051,00

10.000

1 2 3 4 5 6

M

Para calcular o montante desta renda certa, devemos acrescentar duas prestações ao fluxo, fazendo com que a última prestação coincida com o valor que queremos calcular e depois para obter o montante basta subtrair o fator sn,i das parcelas que acrescentamos.

10.000

1 2 3 4 5 6

M

A = P . ( sn+x,i - sx,I )

A = 10000 . ( s6,10% - s2,10% )A = 10000 . ( 7,7156 - 2,1000 )A = 10000 . ( 5,6156 )A = 56156LETRA B

Conclusão sob Rendas Certas.

Quando calculamos o valor atual de uma 1) renda certa, a fórmula que usamos descapi-taliza ao mesmo tempo todos os títulos que compõe a renda certa.Quando calculamos o montante de uma ren-2) da certa, a fórmula que usamos capitaliza ao mesmo tempo todos os títulos que compõe a renda certa.

Prática1. O valor atual de uma Anuidade Imediata

de 4 pagamentos mensais no valor de R$ 100.000,00, à taxa composta de 8% a.m. é:a) R$ 331.212,68b) R$ 322.212,79c) R$ 345.665,56d) R$ 335.267,33e) R$ 357.709,70

2. O valor atual de uma Anuidade Antecipada de 4 pagamentos mensais no valor de R$ 100.000,00, à taxa composta de 8% ao mês. é:a) R$ 331.212,68b) R$ 322.212,79c) R$ 345.665,56d) R$ 335.267,33e) R$ 357.709,70

3. O valor atual de uma Renda Certa Imedia-ta com 3 pagamentos mensais e iguais é R$ 329.876,00. Qual o valor de cada pagamento se a taxa composta vigente é 4% ao mês?a) R$ 134.413,11b) R$ 175.755,55c) R$ 214.448,81d) R$ 252.053,14e) R$ 118.870,33

4. O valor atual de uma Renda Certa Antecipa-da com 3 pagamentos mensais e iguais é R$ 329.876,00. Qual o valor de cada pagamento se a taxa composta é 4% ao mês?a) R$ 134.413,11b) R$ 275.755,55c) R$ 214.448,81d) R$ 114.298,42e) R$ 315.435,92

5. Determinar o valor atual de uma Renda Certa, Diferida de 3 meses, com 4 pagamentos men-sais e iguais de R$ 10.000,00, à taxa composta de 5% ao mês.a) R$ 12.882,98b) R$ 22.122,45c) R$ 31.112,65d) R$ 32.162,82e) R$ 52.561,32


EDITORA APROVAÇÃO

6. Qual o valor de cada pagamento mensal de uma Renda Certa, Diferida de 2 meses, com 5 pagamentos iguais, se seu valor atual à taxa composta de 6% ao mês é R$ 557.000,00?a) R$ 240.122,66b) R$ 130.333,56c) R$ 188.863,58d) R$ 140.163,57e) R$ 121.127,77

7. Um carro é vendido a prazo em 4 pagamentos iguais e mensais de R$ 1.000.000,00, vencen-do a primeira prestação um mês após a com-pra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% ao mês, qual o preço a vista desse carro?a) R$ 3.300.000,00b) R$ 3.312.126,00c) R$ 2.839.614,20d) R$ 3.577.097,00e) R$ 3.543.129,78

8. Um carro é vendido a prazo em 4 pagamen-tos iguais e mensais de R$ 1.000.000,00, ven-cendo a primeira prestação no ato da compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% ao mês, qual o preço a vista desse carro?a) R$ 3.300.000,00b) R$ 3.312.126,00c) R$ 2.839.614,20d) R$ 3.577.097,00e) R$ 3.543.129,78

9. Um carro é vendido a prazo em 4 pagamentos iguais e mensais de R$ 1.000.000,00, vencendo a primeira prestação três meses após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 8% ao mês, qual o preço a vista desse carro?a) R$ 3.300.000,00b) R$ 3.312.126,00c) R$ 2.839.614,20d R$ 3.577.097,00e) R$ 3.543.129,78

10. Um débito é formado por 5 prestações men-sais e iguais que deverão vencer nos dias 15 de abril, 15 de maio, 15 de junho, 15 de julho e 15 de agosto, no valor de R$ 75.600 cada uma. Quanto deverá ser pago no dia 15 de janeiro, do mesmo ano, para quitar o débito, se a taxa composta vigente é 7% ao mês?a) R$ 170.347,77b) R$ 171.748,08c) R$ 270.744,07d) R$ 232.733,88e) R$ 259.554,47

11. Aplica-se, mensalmente, R$ 50.000,00 duran-te 8 meses, à taxa composta de 5% ao mês. Qual o valor do montante, ao final do 8° mês? (considere que as aplicações são feitas no fim de cada mês)a) R$ 477.455,45b) R$ 338.786,87c) R$ 322.773,76d) R$ 333.124,56e) R$ 444.768,99

12. Um título de R$ 823.506,00 deverá vencer no dia 12 de julho. Quanto deverá ser depositado nos dias 12 de maio, 12 de junho e 12 de julho, do mesmo ano para saldar o débito, se a taxa composta vigente é 9% ao mês?a) R$ 153.233,56b) R$ 257.289,49c) R$ 241.224,46d) R$ 121.274,77e) R$ 251.214,47

13. Aplica-se, mensalmente, R$ 50.000,00 duran-te 8 meses, à taxa composta de 5% ao mês. Qual o valor do montante, ao final do 8° mês? (considere que as suplicações são feitas no início de cada mês)a) R$ 477.455,45b) R$ 501.328,20c) R$ 522.773,76d) R$ 433.124,56e) R$ 456.006,89

PRÁTICA 41Matemática Financeira

EDITORA APROVAÇÃO

Provas de Concursos Anteriores AFRF (AFTN)

AFTN/91 (Usar a tabela do fim da apostila)

1. Um capital no valor de 50, aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de:a) 51b) 51,2c) 52d) 53,6e) 68

2. A uma taxa de 25% ao período, uma quantia de 100 no fim do período t, mais uma quantia de 200 no fim do período t+2, são equivalentes, no fim do, período t+1, a uma quantia de:a) 406,25b) 352,5c) 325d) 300e) 285

3. Um “comercial paper” com valor de face U$ 1.000.000,00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate.a) U$ 751.314,00b) U$ 750.000,00c) U$ 748.573,00d) U$ 729.000,00e) U$ 700.000,00

4. Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa de 1% ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais:a) 20,324%b) 19,6147%c) 19,196%d) 18,174%e) 18%

5. O pagamento de um empréstimo no valor de 1.000 unidades de valor será efetuado por in-termédio de uma anuidade composta por seis prestações semestrais, a uma taxa de 15% ao semestre, sendo que a primeira prestação, vencerá seis meses após o recebimento do em-préstimo. O valor da referida prestação será:a) 1.000 ÷ 6b) 1.000 ÷ 2,31306c) 1.000 ÷ 3,784482d) 1.000 ÷ 8,753708e) 1.000 ÷ 2,31306

6. Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de 12.000, ao final de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remu-neração do capital é de 4% e que o primeiro depósito é feito ao fim do primeiro mês?a) 12.000 ÷ 15,025805b) 12.000 ÷ ( 12 x 1,48)c) 12.000 ÷ 9,385074d) 12.000 ÷ (12 x 1,601032)e) 12:000 ÷ 12

7. Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de 20.000 no início do primeiro ano, um desembolso de 20.000 no fim do primeiro ano e dez entra-das liquidas anuais e consecutivas de 10.000 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18% ao ano, obtenha o valor atu-al desse fluxo de caixa, no fim primeiro ano.a) 24.940,86b) 11.363,22c) 5.830,21d) 4.940,86e) 1.340,86

AFTN/96 (Usar a tabela dada na prova)

A Tabela abaixo contem números elevados à potências específicas que poderão ser usa-dos para facilitar seus cálculos na resolução das questões desta prova. Alguns resultados podem apresentar diferenças, isso ocorre-rá pois os resultados que fornecemos, estão truncados com quatro casas decimais.

PRÁTICA42 Matemática Financeira

EDITORA APROVAÇÃO

(1,04)2 = 1,0816 (1,10)2 = 1,2100(1,04)3 = 1,1248 (1,10)3 = 1,3310(1,04)4 = 1,1098 (1,10)4 = 1,4641(1,04)5 = 1,2166 (1,10)5 = 1,6105(1,04)6 = 1,2653 (1,10)6 = 1,7715(1,04)7 = 1,3159 (1,10}7 = 1,9487(1,04)8 = 1, 3685 (1,10)8 = 2,1435(1,04)9 = 1,4233 (1,10)9 = 2,3579(1,04)10 = 1,4802 (1,10)10 = 2,5937(1,09)2 = 1,1881 (1,20)2 = 1,4400(1,09)3 = 1,2950 (1,20)3 = 1,7280(1,09)4 = 1,4115 (1,20)4 = 2,0736(1,09)5 = 1,5386 (1,20)5 = 2,4883(1,09)6 = 1,9771 (1,20)6 = 2,9859(1,09)7 = 1,8280 (1,20)7 = 3,5831(1,09)8 = 1,9925 (1,20)8 = 4,2998(1,09)9 = 2,1718 (1,20)9 = 5,1597(1,09)10 = 2,3673 (1,20)10 = 6,1917

1. Uma pessoa possui um financiamento ( taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parce-las. A primeira parcela, no valor de 70% do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de 30% do total dos pagamentos, será paga ao fi-nal do décimo primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é:a) $ 816,55b) $ 900,00c) $ 945,00d) $ 970,00e) $ 995,00

2. Você possui uma duplicata cujo valor de face é $ 150,00. Esta duplicata vence em 3 meses. O banco com o qual você normalmente ope-ra, além da taxa normal de desconto mensal (simples por fora) também fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata a titulo de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua conta este valor desde a data do des-conto até a data do vencimento da duplica-ta. Caso você desconte a duplicata no banco, você receberá liquidos hoje, $105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é:

a) 5,0%b) 5,2%c) 4,6%d) 4,8%e) 5,4%

3. Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este financia-mento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. A instituição financiadora não cobra custos e nem taxas para fazer estas alterações.

Condições pactuadas inicialmente: pagamen-to de duas prestações iguais e sucessivas de $11.024,00 a serem pagas em 50 e 90 dias.

Condições desejadas: pagamento em três prestações iguais; a primeira ao final do 10o mês; a segunda ao final do 30o mês; a terceira ao final do 70o mês.

Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor unitário de cada uma das novas prestações é:a) $ 8.200,00b) $ 9.333,33c) $ 10.752,31d) $ 11.200,00e) $ 12.933,60

4. Uma empresa aplica $ 300,00 à taxa de juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal desta operação é:a) 4,60%b) 4,40%c) 5,0%d) 5,20%e) 4,80%

5. A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivaIente a uma taxa trimestral de:a) 60,0%b) 66,6%c) 68,9%d) 72,8%e) 84,4%

Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para a resolução da questão no

6. Os valores constantes desta tabela ocorrem no final dos meses ali indicados.


EDITORA APROVAÇÃO

Fluxos Meses

1 2 3 4 5 6 7 8

Um 1000 1000 500 500 500 500 250 50

Dois 1000 500 500 500 500 500 500 300

Três 1000 1000 1000 500 500 100 150 50

Quatro 1000 1000 800 600 400 200 200 100

Cinco 1000 1000 800 400 400 400 200 100

6. Considere uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. O fluxo de caixa da tabela acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mês zero) é:a) Fluxo Umb) Fluxo Doisc) Fluxo Trêsd) Fluxo Quatroe) Fluxo Cinco

7. Uma pessoa paga uma entrada no valor de $23,60 na compra de um equipamento, e paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64 cada uma. A instituição fi-nanciadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros com-postos). Com base nestas informações pode-mos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor que à vista do equipamento adquiri-do é:a) $ 70,00b) $ 76,83c) $ 86,42d) $ 88,00e) $ 95;23

8. Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000,00 à taxa de 120% ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000,00 ao final do primeiro mês e $ 3.000,00 ao final do segundo mês. O valor que devera ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é:a) $ 3.250,00b) $ 3.100,00c) $ 3.050,00d) $ 2.975,00e) $ 2.750,00

9. Um empréstimo de $ 20.900,00 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, capi-talizados trimestralmente, e deverá ser liqui-dado através do pagamento de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final do segundo tri-mestre). O valor que mais se aproxima do va-lor unitário de cada prestação é:a) $ 10.350,00b) $ 10.800,00c) $ 11.881,00d) $ 12.433,33e) $ 12.600,00

10. Uma pessoa tomou um empréstimo a taxa de 4% ao mês, com juros compostos capita-lizados mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em 2 parcelas mensais e iguais de $ 1.000,00, daqui a 13 e 14 meses respectiva-mente. O valor que se aproxima do valor de um único pagamento no décimo quinto mês que substitui estes dois pagamentos é:a) $ 2.012,00b) $ 2.121,00c) $ 2.333,33d) $ 2.484,84e) $ 2.510,16

AFTN 98 (Usar a tabela do fim da apostila)

1. Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de R$ 4.800,00. Nessas condições, cal-cule o capital aplicado, desprezando os centavos. a) R$ 4.067,00b) R$ 4.000,00c) R$ 3.996,00d) R$ 3.986,00e) R$ 3.941,00

2. A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros sim-ples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos.a) R$ 720,00b) R$ 725,00c) R$ 705,00d) R$ 715,00e) R$ 735,00


EDITORA APROVAÇÃO

3. Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitá-ria anual equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês.a) 60,0b) 1,0c) 12,0d) 0,6e) 5,0

4. Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais. a) Dois meses e meiob) Três mesesc) Dois meses e vinte e um diasd) Três meses e nove diase) Três meses e dez dias

5. O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples.a) R$ 400,00b) R$ 600,00c) R$ 800,00d) R$ 700,00e) R$ 500,00

6. Indique qual a taxa de juros anual equivalen-te à taxa de juros nominal de 8% ao ano com capitalização semestral.a) 8,20%b) 8,16%c) 8,10%d) 8,05%e) 8,00%

7. O capital de R$ 1.000,00 é aplicado do dia 10 de junho ao dia 25 do mês seguinte, a uma taxa de juros compostos de 21% ao mês. Usando a convenção linear, calcule os juros obtidos, aproximando o resultado em real.a.) R$ 331,00b.) R$ 340,00c.) R$ 343,00d.) R$ 342,00e.) R$ 337,00

8. Obtenha o valor hoje de um título de R$ 10.000,00 de valor nominal, vencível ao fim de três meses, a uma taxa de juros de 3% ao mês, considerando um desconto racional compos-to e desprezando os centavos.a) R$ 9.140,00b) R$ 9.151,00c) R$ 9.100,00d) R$ 9.126,00e) R$ 9.174,00

9. Calcular a soma dos valores atuais, no mo-mento zero, das quantias que compõem o se-guinte fluxo de valores: um desembolso de R$ 2.000,00 em zero, uma despesa no momento um de R$ 3.000,00 e nove receitas iguais de R$ 1.000,00 do momento dois ao dez, consi-derando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar ainda a convenção de despesa negativa e re-ceita positiva, e desprezar os centavos.a) R$ 2.646,00b) R$ 0,00c) R$ 2.511,00d) R$ 3.617,00e) R$ 2.873,00

10. Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado em doze prestações men-sais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Con-siderando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade correspon-de ao saldo devedor e que os termos da anui-dade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos. a) R$ 900,00b) R$ 986,00c) R$ 923,00d) R$ 852,00e) R$ 1.065,00


EDITORA APROVAÇÃO

AFRF 01 (Usar a tabela do fim da apostila)

1. Os capitais de R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo pra-zo, a taxas de juros simples de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais.a) 4,83% ao mêsb) 3,206% ao mêsc) 4,4167% ao mêsd) 4% ao mêse) 4,859% ao mês

2. O desconto racional simples de uma nota pro-missória, cinco meses antes do vencimento, é de R$ 800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Cal-cule o desconto comercial simples correspon-dente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.a) R$ 960,00b) R$ 666,67c) R$ 973,32d) R$ 640,00e) R$ 800,00

3. Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com ca-pitalização mensal.a) 12,3600%b) 12,6825%c) 12,4864%d) 12,6162%e) 12,5508%

4. Um título foi descontado por R$ 840,00, qua-tro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês. a) R$ 140,00b) R$ 104,89c) R$ 168,00d) R$ 93,67e) R$ 105,43

5. Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$ 1.000,00 do pri-meiro ao quarto mês, R$ 2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo mês, R$ 3.000,00 mensal-mente do nono ao décimo segundo mês. Con-siderando que as aplicações são feitas ao fim de cada mês, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros com-postos de 2% ao mês (despreze os centavos).

a) R$ 21.708,00b) R$ 29.760,00c) R$ 35.520,00d) R$ 22.663,00e) R$ 26.116,00

6. Uma empresa deve pagar R$ 20.000,00 hoje, R$ 10.000,00 ao fim de trinta dias e R$ 31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, ob-tenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. a) R$ 63.232,00b) R$ 64.000,00c) R$ 62.032,00d) R$ 62.200,00e) R$ 64.513,28

7. Um capital é aplicado a juros compostos duran-te seis meses e dez dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear?a) 46,11%b) 48,00%c) 41,85%d) 44,69%e) 50,36%

8. Uma pessoa faz uma compra financiada em doze prestações mensais e iguais de R$ 210,00. Obte-nha o valor financiado, desprezando os centavos, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, considerando que o financiamento equivale a uma anuidade e que a primeira prestação vence um mês depois de efetuada a compra.a) R$ 3.155,00b) R$ 2.048,00c) R$ 1.970,00d) R$ 2.530,00e) R$ 2.423,00


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AFRF 02 – Abril (Usar a tabela do fim da apostila)

1. Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais.a) quatro mesesb) quatro meses e cinco diasc) três meses e vinte e dois diasd) dois meses e vinte diase) oito meses

2. Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimen-to a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional.a) R$ 9.810,00b) R$ 9.521,34c) R$ 9.500,00d) R$ 9.200,00e) R$ 9.000,00

3. Indique qual o capital hoje equivalente ao ca-pital de R$ 4.620,00 que vence dentro de cin-qüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia.a) R$ 10.940,00b) R$ 11.080,00c) R$ 12.080,00d) R$ 12.640,00e) R$ 12.820,00

4. Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao período durante quatro perí-odos e meio. Obtenha os juros como porcen-tagem do capital aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante. Considere ainda que:

(1,20)4 =2,0736; (1,20)4,5 =2,271515 e (1,20)5 =2,48832.a) 107,36%b) 127,1515%c) 128,096%d) 130%e) 148,832%

5. Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor de R$ 200.000,00 cada. Imedia-tamente após o pagamento da décima pres-tação, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres. Cal-cule o valor mais próximo da nova prestação do financiamento.a) R$ 136.982,00b) R$ 147.375,00c) R$ 151.342,00d) R$ 165.917,00e) R$ 182.435,00

6. Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contra-tou com um banco aplicar mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguin-tes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a primeira apli-cação seria feita em 1º de setembro e as se-guintes sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1 o de fevereiro.a) R$ 36.000,00b) R$ 38.449,00c) R$ 40.000,00d) R$ 41.132,00e) R$ 44.074,00

7. Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada pe-ríodo: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada paga-mento é de R$ 2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto ra-cional é de 4% ao período.a) R$ 33.448,00b) R$ 31.168,00c) R$ 29.124,00d) R$ 27.286,00e) R$ 25.628,00


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AFRF 02 – Setembro (Usar a tabela do fim da apostila)

1. Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento im-plica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de per-manência de 0,2% por dia útil de atraso, cal-culada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período.a) R$ 2.080,00b) R$ 2.084,00c) R$ 2.088,00d) R$ 2.096,00e) R$ 2.100,00

2. Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 são aplicados respecti-vamente às taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao mês, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa média proporcional anu-al de aplicação destes capitais.a) 4%b) 8%c) 12%d) 24%e) 48%

3. Na compra de um carro em uma concessioná-ria no valor de R$ 25.000,00, uma pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo deve-dor em doze prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar ainda o valor total do se-guro do carro e da taxa de abertura de crédi-to, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, res-pectivamente, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 2% ao mês, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global.a) R$ 1.405,51b) R$ 1.418,39c) R$ 1.500,00d) R$ 1.512,44e) R$ 1.550,00

4. Um país captou um empréstimo por intermé-dio do lançamento de uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 1,000.00 cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ 60.00 cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título.

Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro etc.a) US$ 1, 000.00b) US$ 953.53c) US$ 930.00d) US$ 920.57e) US$ 860.00

5. Considerando a série abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha o número que mais se aproxima do valor atual total destes pagamen-tos no início do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos.

Ano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Valor 400 400 400 400 200 200 200 200 200 1.200

a) 2.208,87b) 2.227,91c) 2.248,43d) 2.273,33e) 2.300,25

6. A quantia de R$ 500.000,00 é devida hoje e a quantia de R$ 600.000,00 é devida no fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois compromissos não poderiam ser hon-rados, uma negociação com o credor levou ao acerto de um pagamento equivalente único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor deste pagamento considerando que foi acer-tada uma taxa de juros compostos de 20% ao ano, valendo a convenção exponencial para cálculo do montante (despreze os centavos).a) R$ 1.440.000,00b) R$ 1.577.440,00c) R$ 1.584.000,00d) R$ 1.728.000,00e) R$ 1.733.457,00


EDITORA APROVAÇÃO

7. Um título sofre um desconto composto racio-nal de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês.a) R$ 25.860,72b) R$ 28.388,72c) R$ 30.000,00d) R$ 32.325,90e) R$ 36.465,1835.

AFRF 03 (Usar a tabela do fim da apostila)

1. Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas men-sais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais.a) 2,9%b) 3%c) 3,138%d) 3,25%e) 3,5%

2. Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do mon-tante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela con-venção linear, dado que 1,401,5 =1,656502.a) 0,5%b) 1%c) 1,4%d) 1,7%e) 2,0%

3. Uma pessoa tem que pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 cada que vencem todo dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com credor um pagamento único equivalente no dia do décimo mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento consideran-do juros simples de 4% ao mês.a) R$ 11.800,00b) R$ 12.006,00c) R$ 12.200,00d) R$ 12.800,00e) R$ 13.486,00

4. Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês.a) R$ 94.608,00b) R$ 88.149,00c) R$ 82.265,00d) R$ 72.000,00e) R$ 58.249,00

5. Um país captou um empréstimo no mercado internacional por intermédio do lançamento de bônus com dez cupons semestrais vencí-veis ao fim de cada semestre, sendo o valor nominal do bônus US$ 1,000.00 e de cada cupom US$ 60.00. Assim, ao fim do quinto ano o país deve pagar último cupom mais o valor nominal do bônus. Considerando que os bônus foram lançados com um ágio de 7,72% sobre o seu valor nominal, obtenha o valor mais próximo da taxa nominal anual cobrada no empréstimo, desprezando custos de regis-tro da operação, de intermediação, etc.a) 16%b) 14%c) 12%d) 10%e) 8%

AFRF 2005

1. Ana quer vender um apartamento por R$ 400.000,00 a vista ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% ao semes-tre. Paulo está interessado em comprar esse apartamento e propõe à Ana pagar os R$ 400.000,00 em duas parcelas iguais, com ven-cimentos a contar a partir da compra. A pri-meira parcela com vencimento em 6 meses e a segunda com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:a) R$ 220.237,00b) R$ 230.237,00c) R$ 242.720,00d) R$ 275.412,00e) R$ 298.654,00


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2. Uma casa pode ser financiada em dois paga-mentos. Uma entrada de R$ 150.000,00 e uma parcela de R$ 200.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe mudar o esquema de pagamentos para seis parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e as demais vencíveis a cada tri-mestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6 % ao trimestre, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:a) R$ 66.131,00b) R$ 64.708,00c) R$ 62.927,00d) R$ 70.240,00e) R$ 70.140,00

3. Uma empresa adquiriu de seu fornecedor mer-cadorias no valor de R$ 100.000,00 pagando 30% a vista. No contrato de financiamento reali-zado no regime de juros compostos, ficou esta-belecido que para qualquer pagamento que for efetuado até seis meses a taxa de juros compos-tos será de 9,2727% ao trimestre. Para qualquer pagamento que for efetuado após seis meses, a taxa de juros compostos será de 4% ao mês. A empresa resolveu pagar a dívida em duas parcelas. Uma parcela de R$ 30.000,00 no fi nal do quinto mês e a segunda parcela dois meses após o pagamento da primeira. Desse modo, o valor da segunda parcela, sem considerar os centavos, deverá ser igual a:a) R$ 62.065,00b) R$ 59.065,00c) R$ 61.410,00d) R$ 60.120,00e) R$ 58.065,00

4. O valor nominal de uma dívida é igual a 5 ve-zes o desconto racional composto, caso a an-tecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ 200.000,00, então o valor nominal da dívi-da, sem considerar os centavos, é igual a:a) R$ 230.000,00b) R$ 250.000,00c) R$ 330.000,00d) R$ 320.000,00e) R$ 310.000,00

5. Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu uma dívida no regime de juros compostos que deveria ser quitada em duas parcelas, to-das com vencimento durante o ano de 2005. Uma parcela de R$ 2.000,00 com vencimento no final de junho e outra de R$ 5.000,00 com vencimento no final de setembro. A taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No final de fevereiro, a empresa decidiu pagar 50% do total da dívida e o restante no final de dezembro do mesmo ano. Assim, descon-siderando os centavos, o valor que a empresa deverá pagar no final de dezembro é igual a:a) R$ 4.634,00b) R$ 4.334,00c) R$ 4.434,00d) R$ 4.234,00e) R$ 5.234,00

6. Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no va-lor de R$ 50.000,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 com prazo de vencimento de três meses. Não ten-do condições de resgatá-los nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor subs-tituir os dois títulos por um único, com ven-cimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, sem considerar os centavos, será igual a:a) R$ 159.523,00b) R$ 159.562,00c) R$ 162.240,00d) R$ 162.220,00e) R$ 163.230,00

7. Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de R$ 50.000,00 em dois bancos diferen-tes. Uma parte dessa quantia foi aplicada no Banco A, à taxa de 3% ao mês. O restante des-sa quantia foi aplicado no Banco B a taxa de 4% ao mês. Após um ano, Paulo verificou que os valores finais de cada uma das aplicações eram iguais. Deste modo, o valor aplicado no Banco A e no Banco B, sem considerar os cen-tavos, foram, respectivamente iguais a:a) R$ 21.948,00 e R$ 28.052,00b) R$ 23.256,00 e R$ 26.744,00c) R$ 26.589,00 e R$ 23.411,00d) R$ 27.510,00 e R$ 22.490,00e) R$ 26.477,00 e R$ 23.552,00


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8. Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples de 24% ao trimestre para ope-rações de cinco meses. Deste modo, o valor mais próximo da taxa de desconto comercial trimestral que o banco deverá cobrar em suas operações de cinco meses deverá ser igual a:a) 19 %b) 18,24 %c) 17,14 %d) 22 %e) 24 %

TRF 2006 (Área Informática)

1. Metade de um capital foi aplicada a juros com-postos à taxa de 3% ao mês por um prazo de seis meses enquanto o restante do capital foi aplicado à taxa de 3% ao mês, juros simples, no mesmo período de seis meses. Calcule o valormais próximo deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 8.229,14 ao fi m do prazo.a) R$ 22.000,00b) R$ 31.000,00c) R$ 33.000,00d) R$ 40.000,00e) R$ 44.000,00

2. Indique qual o valor mais próximo da taxa equivalente à taxa nominal de 36% ao ano com capitalização mensal.a) 2,595% ao mês.b) 19,405% ao semestre.c) 18% ao semestre.d) 9,703% ao trimestre.e) 5,825% ao bimestre.

3. Uma empresa especializada desconta um che-que no valor nominal de R$ 10.000,00 três me-ses antes do seu vencimento por meio de um desconto racional composto calculado à taxa de 4% ao mês. Calcule o valor mais próximo do valor do desconto.a) R$ 1.090,00b) R$ 1.100,00c) R$ 1.110,00d) R$ 1.200,00e) R$ 1.248,00

4. Calcule o valor mais próximo do valor atual no iní-cio do primeiro período da seguinte série de paga-mentos, cada um relativo ao fim de cada período, à taxa de juros compostos de 10% ao período.

Período 1 2 3 4 5 6 7 8

Valor 3.000 2.000 2.000 2.000 1.000 1.000 1.000 1.000

a) 11.700b) 10.321c) 10.094d) 9.715e) 9.414

5. Indique qual o capital que aplicado a juros simples à taxa de 3,6% ao mês rende R$ 96,00 em 40 dias.a) R$ 2.000,00b) R$ 2.100,00c) R$ 2.120,00d) R$ 2.400,00e) R$ 2.420,00

6. Um capital de R$ 100.000,00 é aplicado a juros compostos à taxa de 18% ao semestre. Calcu-le o valor mais próximo do montante ao fim de quinze meses usando a convenção linear.a) R$ 150.108,00b) R$ 151.253,00c) R$ 151.772,00d) R$ 152.223,00e) R$ 152.510,00

7. Desejo trocar uma anuidade de oito paga-mentos mensais de R$ 1.000,00 vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês por outra anuidade equivalente de dezesseis pa-gamentos vencendo também o primeiro pa-gamento ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do valor do pagamento mensal da segunda anuidade considerando a taxa de juros compostos de 3% ao mês.a) R$ 500,00b) R$ 535,00c) R$ 542,00d) R$ 559,00e) R$ 588,00


EDITORA APROVAÇÃO

8. Três capitais nos valores respectivos de 100, 250 e 150 são aplicados a juros simples no mesmo prazo às taxas de 3%, 4% e 2% ao mês, respectivamente. Obtenha a taxa média men-sal de aplicação desses capitais.a) 3,4%b) 3,2%c) 3,0%d) 2,8%e) 2,6%

9. Uma pessoa aplica um capital unitário receben-do a devolução por meio de uma anuidade for-mada por doze pagamentos semestrais, com o primeiro pagamento sendo recebido ao fi m de seis meses, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre. Admitindo que ela consiga aplicar cada parcela recebida semestralmente a uma taxa de juros compostos de 12% ao semes-tre, qual o valor mais próximo do montante que ela terá disponível ao fi m dos doze semestres?a) 2,44b) 2,89c) 3,25d) 3,54e) 3,89

10. Um indivíduo devia R$ 1.200,00 três meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje conside-rando juros simples a uma taxa de 5% ao mês, desprezando os centavos.a) R$ 1.380,00b) R$ 1.371,00c) R$ 1.360,00d) R$ 1.349,00e) R$ 1.344,00

AFRFB 2009

1. No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durante um ano à taxa de 10 % ao ano com capitalização semestral resulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo capi-tal PV, aplicado durante um trimestre à taxa de it% ao trimestre resultará no mesmo valor final FV, se a taxa de aplicação trimestral for igual a:a) 26,25 %b) 40 %c) 13,12 %d) 10,25 %e) 20 %

GABARITO52 Matemática Financeira

EDITORA APROVAÇÃO

TABELAS PARA CONSULTAFATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL (1 + i)n

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1200 1,1500 1,18002 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2544 1,3225 1,39243 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,4049 1,5209 1,64304 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5735 1,7490 1,93885 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,7623 2,0114 2,28786 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,9738 2,3131 2,69967 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,2107 2,6600 3,18558 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,4760 3,0590 3,75899 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,7731 3,5179 4,4355

10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 3,1058 4,0456 5,233811 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,4785 4,6524 6,175912 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,8960 5,3503 7,287613 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 4,3635 6,1528 8,599414 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,8871 7,0757 10,147215 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772 5,4736 8,1371 11,973716 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950 6,1304 9,3576 14,129017 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5,0545 6,8660 10,7613 16,672218 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5,5599 7,6900 12,3755 19,6733

FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS an,i = (1 + i)n –1

i . (1 + i)n

n 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 0,8929 0,8696 0,84752 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 1,6901 1,6257 1,56563 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 2,4018 2,2832 2,17434 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 3,0373 2,8550 2,69015 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 3,6048 3,3522 3,12726 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553 4,1114 3,7845 3,49767 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684 4,5638 4,1604 3,81158 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349 4,9676 4,4873 4,07769 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590 5,3282 4,7716 4,3030

10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446 5,6502 5,0188 4,494111 10,3676 9,7868 9,2526 8,7605 8,3064 7,8869 7,4987 7,1390 6,8052 6,4951 5,9377 5,2337 4,656012 11,2551 10,5753 9,9540 9,3851 8,8633 8,3838 7,9427 7,5361 7,1607 6,8137 6,1944 5,4206 4,793213 12,1337 11,3484 10,6350 9,9856 9,3936 8,8527 8,3577 7,9038 7,4869 7,1034 6,4235 5,5831 4,909514 13,0037 12,1062 11,2961 10,5631 9,8986 9,2950 8,7455 8,2442 7,7862 7,3667 6,6282 5,7245 5,008115 13,8651 12,8493 11,9379 11,1184 10,3797 9,7122 9,1079 8,5595 8,0607 7,6061 6,8109 5,8474 5,091616 14,7179 13,5777 12,5611 11,6523 10,8378 10,1059 9,4466 8,8514 8,3126 7,8237 6,9740 5,9542 5,162417 15,5623 14,2919 13,1661 12,1657 11,2741 10,4773 9,7632 9,1216 8,5436 8,0216 7,1196 6,0472 5,222318 16,3983 14,9920 13,7535 12,6593 11,6896 10,8276 10,0591 9,3719 8,7556 8,2014 7,2497 6,1280 5,2732

FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS sn,i = (1 + i)n –1

in 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%1 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,00002 2,0100 2,0200 2,0300 2,0400 2,0500 2,0600 2,0700 2,0800 2,0900 2,1000 2,1200 2,1500 2,18003 3,0301 3,0604 3,0909 3,1216 3,1525 3,1836 3,2149 3,2464 3,2781 3,3100 3,3744 3,4725 3,57244 4,0604 4,1216 4,1836 4,2465 4,3101 4,3746 4,4399 4,5061 4,5731 4,6410 4,7793 4,9934 5,21545 5,1010 5,2040 5,3091 5,4163 5,5256 5,6371 5,7507 5,8666 5,9847 6,1051 6,3528 6,7424 7,15426 6,1520 6,3081 6,4684 6,6330 6,8019 6,9753 7,1533 7,3359 7,5233 7,7156 8,1152 8,7537 9,44207 7,2135 7,4343 7,6625 7,8983 8,1420 8,3938 8,6540 8,9228 9,2004 9,4872 10,0890 11,0668 12,14158 8,2857 8,5830 8,8923 9,2142 9,5491 9,8975 10,2598 10,6366 11,0285 11,4359 12,2997 13,7268 15,32709 9,3685 9,7546 10,1591 10,5828 11,0266 11,4913 11,9780 12,4876 13,0210 13,5795 14,7757 16,7858 19,0859

10 10,4622 10,9497 11,4639 12,0061 12,5779 13,1808 13,8164 14,4866 15,1929 15,9374 17,5487 20,3037 23,521311 11,5668 12,1687 12,8078 13,4864 14,2068 14,9716 15,7836 16,6455 17,5603 18,5312 20,6546 24,3493 28,755112 12,6825 13,4121 14,1920 15,0258 15,9171 16,8699 17,8885 18,9771 20,1407 21,3843 24,1331 29,0017 34,931113 13,8093 14,6803 15,6178 16,6268 17,7130 18,8821 20,1406 21,4953 22,9534 24,5227 28,0291 34,3519 42,218714 14,9474 15,9739 17,0863 18,2919 19,5986 21,0151 22,5505 24,2149 26,0192 27,9750 32,3926 40,5047 50,818015 16,0969 17,2934 18,5989 20,0236 21,5786 23,2760 25,1290 27,1521 29,3609 31,7725 37,2797 47,5804 60,965316 17,2579 18,6393 20,1569 21,8245 23,6575 25,6725 27,8881 30,3243 33,0034 35,9497 42,7533 55,7175 72,939017 18,4304 20,0121 21,7616 23,6975 25,8404 28,2129 30,8402 33,7502 36,9737 40,5447 48,8837 65,0751 87,068018 19,6147 21,4123 23,4144 25,6454 28,1324 30,9057 33,9990 37,4502 41,3013 45,5992 55,7497 75,8364 103,7403

GABARITO 53Matemática Financeira

EDITORA APROVAÇÃO

GABARITO - Juros Simples1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A D C B D B D E B A D

12 13

C B

GABARITO - Juros Compostos

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

B C A A E A A E C A D

12

E

GABARITO - Taxas

1 2 3 4 5 6 7 8 9

B D A B D D A C A

GABARITO - Juros Simples Ordinário / Juros Simples Exato

1 2 3

D C A

GABARITO - Prazo, taxa, e Capital Médio

1 2 3

C B C

GABARITO - Convenção Exponencial

1 2 3 4

C B A B

GABARITO - Desconto Composto

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

E D A B C D A B A E D

GABARITO - Desconto Simples

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

E C E D E B D B E D C

12 13 14 15

B A C A

GABARITO - Equivalência de Capitais no Juro Composto

1 2 3 4 5 6 7

C E E E A A E

GABARITO - Equivalência de Capitais no Juro Simples. (Rendas variáveis e uniformes)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

C B A A C E D E A E D

12 13 14

C D A

GABARITO - Taxa Nominal e Efetiva

1 2 3 4 5 6

C A A E D D

GABARITO - Taxa Efetiva e Nominal no Juro Simples

1 2 3 4

B C D B

GABARITO54 Matemática Financeira

EDITORA APROVAÇÃO

GABARITO - Renda Certa ou Renda Uniforme

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A E E D D D B D C C A

12 13

E B

GABARITO - Provas AFRF1 2 3 4 5 6 7

B E A B C A E

GABARITO - Prova AFTN 96

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B A D E D C A E C B


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Anulada A D C E B E B A D


1 2 3 4 5 6 7 8

D A B E E C D C

GABARITO - Prova AFTN 02 - Abril

1 2 3 4 5 6 7

A E C C B D D

GABARITO - Prova AFTN 02 - Setembro

1 2 3 4 5 6 7

A E B D C B C


1 2 3 4 5

E C A B D

GABARITO - Prova AFRF 05

1 2 3 4 5 6 7 8

A C E B D A Anulada C

GABARITO - Prova TRF - Área Informática

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

E B C E A C D B D A

GABARITO - Prova AFRFB - 2009

1

E

20100311205853 Matematica Financeira Sergio Alt 2010

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