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Geometria Plana Exerciacutecios de aacutereas de regiotildees pol igonais

Notaccedilotildees R[x]=raiz quadrada de xgt0 cmsup2=centiacutemetro quadrado

1 Por dois modos distintos mostrar como pode ser decomposta cada uma das regiotildees poligonais em triacircngulos

2 Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente indicadas por b e h Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo qual seraacute relaccedilatildeo entre as aacutereas dos paralelogramos

Resposta A2 = (2b)(2h) = 4bh = 4A1

3 A razatildeo entre as medidas dos lados de dois quadrados eacute 13 Qual eacute a razatildeo entre as aacutereas desses dois quadrados

Resposta a razatildeo eacute 19

4 Eacute possiacutevel obter a aacuterea de um paralelogramo se conhecemos apenas as medidas de seus lados

Soluccedilatildeo Natildeo pois a aacuterea de um paralelogramo depende de sua altura que por sua vez depende do acircngulo entre seus lados como estaacute ilustrado na figura

5 Eacute possiacutevel obter a aacuterea de um losango cujo lado mede 10 cm

Resposta Natildeo pois os lados de dois losangos podem ser diferentes

6 Qual eacute a aacuterea de um losango que possui diagonais medindo 10 cm e 16 cm

Resposta A = 80 cmsup2

7 Calcular a aacuterea de cada quadrilaacutetero indicado abaixo

a Quadrado com lado medindo 53 cm b Quadrado com periacutemetro 12cm c Retacircngulo com comprimento 3cm e periacutemetro 10cm d Quadrado com periacutemetro 12R[3]cm

Respostas

(a) 259 cmsup2 (b) 9 cmsup2 (c) 6 cmsup2 (d) 27 cmsup2

8 Um dos lados de um retacircngulo mede 10 cm Qual deve ser a medida do outro lado para que a aacuterea deste retacircngulo seja equivalente agrave aacuterea do retacircngulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm

Resposta lado = 108 cm

9 Se um retacircngulo possui o comprimento igual ao quiacutentuplo da largura e a aacuterea eacute igual a 80 cmsup2 quais satildeo as medidas de seus lados

Resposta os lados medem 4 e 20 cm

10 Nos iacutetens abaixo indicamos uma mudanccedila na medida de um dos lados Que mudanccedila deveremos realizar na medida do outro lado do retacircngulo para que a aacuterea deste permaneccedila constante

a A base eacute multiplicada por 3 b A altura eacute dividida por 2 c A base eacute aumentada 25 d A base eacute diminuiacuteda 25

Respostas

(a) a altura eacute dividida por trecircs (b) a base eacute multiplicada por dois (c) a altura eacute diminuiacuteda 20 (d) a altura eacute aumentada 13

11 Calcular a aacuterea de um retacircngulo cujo lado mede s e a diagonal mede d

Soluccedilatildeo Devemos calcular a medida do outro lado de retacircngulo seja x este lado pelo teorema de Pitaacutegoras temos que

dsup2=ssup2+xsup2 xsup2=dsup2-ssup2 x = R[dsup2-ssup2] Area=stimesx=stimesR[dsup2-ssup2]

12 Um triacircngulo retacircngulo tem um acircngulo de 30 graus Determinar as medidas dos catetos se a hipotenusa eacute indicada por a

Soluccedilatildeo Dado o triacircngulo retacircngulo ABC traccedilamos BD de modo que o acircngulo CBD tambeacutem tenha 30 graus o triacircngulo ABD eacute um triacircngulo equilaacutetero com AB=BD=a e AC=a2 Como (AB)sup2=(AC)sup2+(BC)sup2 segue que

asup2=(a2)sup2+(BC)sup2 (BC)sup2=(34)asup2 BC = R[3]a2

Se a hipotenusa mede a os catetos medem a2 e R[3]a2


Soluccedilatildeo Dado o triacircngulo ABC com hipotenusa AB=a segue pelo teorema de Pitaacutegoras que asup2=ACsup2+CBsup2 e como o triacircngulo eacute retacircngulo com um acircngulo de 45 graus temos AC = CB entatildeo asup2=2(AC)sup2 e AC=aR[2]

Assim se a hipotenusa mede a os catetos satildeo congruentes e cada uma deles mede a R[2]2

14 Obter a aacuterea de um paralelogramo conhecendo-se o acircngulo Acirc=30 graus e cada um dos dados abaixo

a AD = 4 R[3] cm e AB = 8 cm b AX = 3 cm e AB = 4 R[2] cm c AB = 10 cm e AD = 6 cm d AB = 6 cm e AX= 3 R[3] cm

Respostas

(a) 16 R (3) cmsup2 (b) 4 R (6) cmsup2 (c) 30 cmsup2 (d) 18 cmsup2

15 A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triacircngulo retacircngulo isoacutesceles em cima Se um dos catetos do triacircngulo mede 7 metros qual eacute a aacuterea frontal desta casa

Resposta Aacuterea = 772 msup2

16 A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com um triacircngulo retacircngulo isoacutesceles em cima Se a diagonal do quadrado mede 2R[2] m calcular a aacuterea frontal desta casa

Soluccedilatildeo Como a diagonal do quadrado mede 2R[2]m temos que dsup2=asup2+asup2=2asup2 de onde segue que (2R[2])sup2=2asup2 que equivale a 8=2asup2 Obtemos assim a=2m e Aacuterea do quadrado =4msup2 Como AB=BC e o triacircngulo eacute retacircngulo segue que asup2=ABsup2+BCsup2=2 ABsup2 de onde segue que ABsup2=42=2 Assim temos AB=R[2] Aacuterea do triacircngulo=(ABtimesAB)2=R[2]timesR[2]2=1msup2 Aacuterea total=aacuterea(quadrado)+aacuterea(triacircngulo)=5msup2

17 O lado de um triacircngulo equilaacutetero T1 mede 10 cm Qual deve ser a medida do lado de um outro triacircngulo equilaacutetero T2 que possui o

(a) dobro da aacuterea de T1 (b) triplo da aacuterea de T1 (c) quaacutedruplo da aacuterea de T1

Respostas

(a) lado = 2 R (2) cm (b) lado = 10 R (3) cm (c) lado = 20 cm

18 Os nuacutemeros em cada linha na tabela abaixo referem-se agraves medidas de um triacircngulo onde satildeo conhecidas duas informaccedilotildees dentre Base Altura e Aacuterea Complete a tabela com os dados que estatildeo faltando

Base (cm) Altura (cm) Aacuterea (cmsup2) (a) 5 10 (b) 5 12 (c) 2R[3] 3R[3] (d) 6 12

Soluccedilatildeo As respostas estatildeo em vermelho na tabela abaixo

Base (cm) Altura (cm) Aacuterea (cmsup2)

a 4 5 10

b 5 245 12

c 2R[3] 3R[3] 9

d 4 6 12

19 Os nuacutemeros em cada linha na tabela abaixo referem-se agraves medidas de um trapeacutezio onde b1 e b2 satildeo as bases h eacute a altura e A a aacuterea Complete a tabela com os dados que estatildeo faltando

b1 (cm) b2 (cm) h (cm) A (cmsup2) (a) 10 6 4 (b) 5 3 24 (c) 5 3 12 (d) 12 13 1 (e) 5R[2] 3R[2] 4R[6]

Soluccedilatildeo

As respostas estatildeo em vermelho na tabela abaixo b1 (cm) b2 (cm) h (cm) A (cmsup2)

a 10 6 4 32

b 5 3 6 24

c 3 5 3 12

d 12 13 1 512

e 5R[2] 3R[2] R[3] 4R[6]

20 Calcular a medida do lado de um triacircngulo equilaacutetero com a aacuterea igual a 9 R[3] unidades de aacuterea

Resposta L = 3 R(2) u

21 Um fazendeiro possuiacutea um terreno no formato de um triacircngulo equilaacutetero com lado medindo 6 Km e comprou do vizinho mais uma aacuterea triangular isoacutesceles cuja base mede 4 Km de acordo com a figura em anexo Qual era a aacuterea que o fazendeiro possuiacutea e qual eacute a nova aacuterea

Resposta O fazendeiro possuiacutea 18 R[3] Kmsup2

A nova aacuterea eacute (18 R[3] + 4 R[2]) Kmsup2

22 Um trapeacutezio isoacutesceles com bases medindo 12 cm e 16 cm estaacute inscrito em uma circunferecircncia de raio 10 cm Calcular a aacuterea do trapeacutezio se o centro da circunferecircncia estaacute no interior do trapeacutezio

Na figura ao lado a altura do trapeacutezio mede h=a+b onde asup2=10sup2-8sup2=36 a=6 bsup2=10sup2-6sup2=64 b=8 h=6+8=14

Aacuterea do trapeacutezio = (B+b)h2=(16+12)times7=196cmsup2 23 Um trapeacutezio isoacutesceles com bases medindo 12 cm e 16 cm estaacute inscrito em uma circunferecircncia de raio 10 cm Calcular a aacuterea do trapeacutezio se o centro da circunferecircncia natildeo estaacute no interior do trapeacutezio

Na figura ao lado a altura h do trapeacutezio mede h=b-a onde asup2=10sup2-8sup2=36 a=6 bsup2=10sup2-6sup2=64 b=8 h=8-6=2 cm Aacuterea do trapeacutezio = (B+b)h2=(16+12)times1=28cmsup2

24 Calcular a aacuterea do trapeacutezio isoacutesceles cujo desenho estaacute na figura ao lado se todos os seus lados satildeo tangentes agrave circunferecircncia e as medidas satildeo dadas em cm

Soluccedilatildeo

Seja o triacircngulo isoacutesceles construido prolongando os lados natildeo paralelos do trapeacutezio de acordo com a figura Tomando h=AE e r o raio da circunferecircncia inscrita no trapeacutezio BC=18 e DF=8 logo GC=9 e EF=4 Como o trapeacutezio BCFD eacute isoacutesceles o triacircngulo ABC eacute isoacutesceles O triacircngulo AGC eacute retacircngulo com acircngulo reto em G O triacircngulo AEF eacute retacircngulo com acircngulo reto em E e por semelhanccedila de triacircngulos temos que AEEF=AGGC implica que h4=(h+2r)9 de onde segue que h=8r5

O triacircngulo ATO tem um acircngulo reto em T porque T eacute ponto de tangecircncia Este triacircngulo ATO tambeacutem eacute semelhante ao triacircngulo AGC logo

ATTO=AGGC m(AT)r=(h+2r)9 ()

Acontece que AT=R[hsup2+2hr]=R[16rsup225+2r(8r)5]=12r5 Substituindo este valor em () obtemos

12r 5r = (h+2r)9 125 = (8r5 + 2r)9 r=6 Seja B a base maior do trapeacutezio e b a base menor do trapeacutezio assim a aacuterea do trapeacutezio eacute dada por

A=(B+b)timesh2 A=(18+8)times2times62=78

25 No plano coordenado os veacutertices de um paralelogramo satildeo os pontos A=(-3-2) B=(6-2) C=(103) e D=(13) Determinar a aacuterea do paralelogramo ABCD

Soluccedilatildeo Seja AB a base do paralelegramo e h sua altura entatildeo

AB=6-(-3)=9 h=3-(-2)=5

A Aacuterea do Paralelogramo eacute a base vezes a altura entatildeo

A=9times5=45 unidades de aacuterea

26 Na figura representando o triacircngulo PQR o segmento TS eacute paralelo ao segmento PQ Calcular a razatildeo entre a aacuterea do triacircngulo RTS e a aacuterea do trapeacutezio PQST sob as seguintes condiccedilotildees

a RT=1 cm RP=2 cm b RT=2 cm TP=3 cm c TS=2 cm PQ=3 cm d TS=R[3] cm PQ=2 cm

Dica Obter a razatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos PQR e TSR

Respostas (a) 13 (b) 421 (c) 45 (d) 31

27 Calcular a aacuterea de um triacircngulo equilaacutetero cujas medidas satildeo dadas por Respostas

a Lado = 6 cm aacuterea = 9R[3] cmsup2 b Apoacutetema = 3 cm aacuterea = 27R[3] cmsup2 c Raio = 6 cm aacuterea = 27R[3] cmsup2 d Periacutemetro de medida t cm aacuterea = tsup2 R[3]36 cmsup2

28 Calcular a aacuterea de um hexaacutegono regular cujas medidas satildeo dadas por

a Lado = 4 cm aacuterea = 24R[3] cmsup2 b Apoacutetema = 2R[3] cm aacuterea = 24R[3] cmsup2 c Raio = 6 cm aacuterea = 54R[3] cmsup2 d Periacutemetro = t cm aacuterea = 2tsup2 R[3] cmsup2

29 ABC eacute um triacircngulo retacircngulo com acircngulo reto em C Se m(AB)=15 cm e m(BC)=9 cm qual eacute a aacuterea do quadrado de lado AC

Resposta aacuterea = 144 cmsup2

30 Pesquise a origem e o significado para cada uma das palavras que satildeo usadas em Geometria

a apoacutetema Segmento de reta perpendicular ao lado de um poliacutegono traccedilada a partir do centro do mesmo

b hipotenusa maior lado do Triacircngulo Retacircngulo opondo-se ao acircngulo reto

c catetos catetos satildeo os menores lados do Triacircngulo Retacircngulo Formam o acircngulo de 90deg

d abscissa Nome da coordenada do eixo x em um sistema cartesiano bidimensional e ordenada eacute uma das coordenadas que no sistema cartesiano definem a posiccedilatildeo de

um ponto num plano ou no espaccedilo

31 Os nuacutemeros em cada linha da tabela abaixo referem-se agraves medidas do poliacutegono regular indicado onde L eacute o lado a eacute o apoacutetema p eacute o periacutemetro e A a aacuterea Complete a tabela com os dados que estatildeo faltando

1 L (cm) a (cm) p (cm) A (cmsup2) Triacircngulo 2 R[3]

Pentaacutegono k 4 Hexaacutegono k octoacutegono t k Decaacutegono 40 40k

Soluccedilatildeo As respostas estatildeo em vermelho na tabela abaixo L (cm) a (cm) p (cm) A (cmsup2)

Triacircngulo 12 2 R[3] 36 36 R[3]

Pentaacutegono 45 k 4 2 k

Hexaacutegono k k R[3]2 6 k (3 ksup2R[3])2

octoacutegono t k 8t 4tk

Decaacutegono 2k 2k 40 40k

32 Os lados correspondentes de dois pentaacutegonos semelhantes estatildeo na razatildeo 12 Qual eacute a razatildeo entre as suas aacutereas Qual eacute a razatildeo entre os seus periacutemetros

Resposta a razatildeo entre as aacutereas eacute 14 e a razatildeo entre os periacutemetros eacute 12

33 Dois hexaacutegonos semelhantes possuem aacutereas iguais a 36 cmsup2 e 64 cmsup2 respectivamente Qual eacute a razatildeo entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada hexaacutegono)


34 Dois pentaacutegonos semelhantes possuem aacutereas iguais a 50 cmsup2 e 100 cmsup2 respectivamente Qual eacute a razatildeo entre as medidas de um par de lados correspondentes (um em cada pentaacutegono)


35 No triacircngulo ABC desenhado ao lado AB mede 5 cm e altura CD mede 8 cm Qual deveraacute ser a medida do lado de um quadrado com aacuterea igual agrave aacuterea do triacircngulo ABC

Resposta L=2R[5]

36 A aacuterea de um poliacutegono de n lados eacute 254 da aacuterea de um outro poliacutegono semelhante com n lados Qual eacute a razatildeo entre os periacutemetros dos dois poliacutegonos


37 Os pontos X Y e Z satildeo os pontos meacutedios dos lados de um triacircngulo ABC Qual eacute a razatildeo entre a aacuterea do triacircngulo ABC e do triacircngulo XYZ


38 O lado menor de um poliacutegono de aacuterea igual a 196 cmsup2 mede 4 cm Calcular a aacuterea de um poliacutegono semelhante a este que tem o lado menor medindo 8 cm

Resposta aacuterea 784 cmsup2

39 Os lados de um quadrilaacutetero medem 3 cm 4 cm 5 cm e 6 cm Calcular as medidas dos lados de um quadrilaacutetero semelhante a este com aacuterea 9 vezes maior

Resposta L1 = 9 cm L2 = 12 cm L3 = 15 cm L4 = 18 cm

40 Qual eacute a razatildeo entre as aacutereas de dois triacircngulos equilaacuteteros sabendo-se que um deles estaacute inscrito em uma circunferecircncia de raio 6 cm e o outro circunscrito na mesma circunferecircncia


41 Na figura ao lado D e E satildeo respectivamente os pontos meacutedios dos lados do triacircngulo AC e BC Qual eacute a razatildeo entre as aacutereas dos triacircngulos DEC e ABC


42 Considere dois quadrados inscritos um em uma semicircunferecircncia de raio r e o outro em uma circunferecircncia de mesmo raio Qual eacute a relaccedilatildeo existente entre suas aacutereas


43 Um hexaacutegono regular eacute inscrito em uma circunferecircncia de raio r e um segundo hexaacutegono regular eacute circunscrito na mesma circunferecircncia Se a soma das aacutereas dos dois hexaacutegonos eacute 56 R[3] ua qual eacute o raio da circunferecircncia

Resposta R = 4 u

44 O quadrilaacutetero ABCD eacute um retacircngulo e os pontos E F e G dividem a base AB em quatro partes iguais Qual eacute a razatildeo entre a aacuterea do triacircngulo CEF e a aacuterea do retacircngulo

Resposta razatildeo = 18

45 O retacircngulo ABCD tem aacuterea 105 msup2 Qual a medida do lado do quadrado EFGC

46 De um quadrado cujo lado mede 8 cm satildeo recortados triacircngulos retacircngulos isoacutesceles nos quatro cantos de modo que o octoacutegono formado seja regular como mostra a figura ao lado Qual eacute a medida do lado do octoacutegono

Resposta L = 4 (2-R[2]) cm

7 Calcular a aacuterea de cada quadrilaacutetero indicado abaixo

a Quadrado com lado medindo 53 cm b Quadrado com periacutemetro 12cm c Retacircngulo com comprimento 3cm e periacutemetro 10cm d Quadrado com periacutemetro 12R[3]cm

Respostas

(a) 259 cmsup2 (b) 9 cmsup2 (c) 6 cmsup2 (d) 27 cmsup2

8 Um dos lados de um retacircngulo mede 10 cm Qual deve ser a medida do outro lado para que a aacuterea deste retacircngulo seja equivalente agrave aacuterea do retacircngulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm

Resposta lado = 108 cm

9 Se um retacircngulo possui o comprimento igual ao quiacutentuplo da largura e a aacuterea eacute igual a 80 cmsup2 quais satildeo as medidas de seus lados

Resposta os lados medem 4 e 20 cm

10 Nos iacutetens abaixo indicamos uma mudanccedila na medida de um dos lados Que mudanccedila deveremos realizar na medida do outro lado do retacircngulo para que a aacuterea deste permaneccedila constante

a A base eacute multiplicada por 3 b A altura eacute dividida por 2 c A base eacute aumentada 25 d A base eacute diminuiacuteda 25

Respostas

(a) a altura eacute dividida por trecircs (b) a base eacute multiplicada por dois (c) a altura eacute diminuiacuteda 20 (d) a altura eacute aumentada 13













Respostas








Respostas






a 4 5 10

b 5 245 12

c 2R[3] 3R[3] 9

d 4 6 12



Soluccedilatildeo


a 10 6 4 32

b 5 3 6 24

c 3 5 3 12

d 12 13 1 512

e 5R[2] 3R[2] R[3] 4R[6]











Soluccedilatildeo









AB=6-(-3)=9 h=3-(-2)=5






Respostas (a) 13 (b) 421 (c) 45 (d) 31





























Resposta L=2R[5]
















Resposta R = 4 u


















Respostas








Respostas






a 4 5 10

b 5 245 12

c 2R[3] 3R[3] 9

d 4 6 12



Soluccedilatildeo


a 10 6 4 32

b 5 3 6 24

c 3 5 3 12

d 12 13 1 512

e 5R[2] 3R[2] R[3] 4R[6]











Soluccedilatildeo









AB=6-(-3)=9 h=3-(-2)=5






Respostas (a) 13 (b) 421 (c) 45 (d) 31





























Resposta L=2R[5]
















Resposta R = 4 u










Respostas






a 4 5 10

b 5 245 12

c 2R[3] 3R[3] 9

d 4 6 12



Soluccedilatildeo


a 10 6 4 32

b 5 3 6 24

c 3 5 3 12

d 12 13 1 512

e 5R[2] 3R[2] R[3] 4R[6]











Soluccedilatildeo









AB=6-(-3)=9 h=3-(-2)=5






Respostas (a) 13 (b) 421 (c) 45 (d) 31





























Resposta L=2R[5]
















Resposta R = 4 u








a 4 5 10

b 5 245 12

c 2R[3] 3R[3] 9

d 4 6 12



Soluccedilatildeo


a 10 6 4 32

b 5 3 6 24

c 3 5 3 12

d 12 13 1 512

e 5R[2] 3R[2] R[3] 4R[6]











Soluccedilatildeo









AB=6-(-3)=9 h=3-(-2)=5






Respostas (a) 13 (b) 421 (c) 45 (d) 31





























Resposta L=2R[5]
















Resposta R = 4 u














Soluccedilatildeo









AB=6-(-3)=9 h=3-(-2)=5






Respostas (a) 13 (b) 421 (c) 45 (d) 31





























Resposta L=2R[5]
















Resposta R = 4 u








AB=6-(-3)=9 h=3-(-2)=5






Respostas (a) 13 (b) 421 (c) 45 (d) 31





























Resposta L=2R[5]
















Resposta R = 4 u
































Resposta L=2R[5]
















Resposta R = 4 u

















Resposta R = 4 u






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