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Instituto Federal do Sudeste de Minas Gerais

2a Avaliao de Clculo IVProfessora Judith - 21/12/2015

Instrues:

1. A avaliao individual e sem consulta com durao de 100 minutos;

2. Todas as respostas devem ser devidamente justicadas;

3. As resolues devero ser apresentadas em folha a parte de maneira clara e organi-zada.

Nome:..................................................................................

Questo 1. (10,0) Resolva as seguintes equaes diferenciais ordinrias de 2 a

ordem, exibindo a soluo geral de cada uma.

a) y 4y = e2 x

xy 4y = 0 r 2 4 = 0 2 y1 (x) = e2 x e y2 (x) = e 2 x

W =e2 x e 2 x

2e2 x

2e 2 x = 4 W 1 =

0 e 2 xe x

x 2e 2 x

= 1

x W 2 =

e2 x 0

2e2 x e

x

x

= e4 x

x

u 1 = 1

x : ( 4) u 1 =

14

ln |x |

eu 2 =

e4 x

x : ( 4) u 2 =

14

x

x 0

4tt dt

Assim, y(x) = c1 e2 x + c2 xe 2 x + 14

ln |x |e2 x 14

e 2 x x

x 0

4tt dt .

b) y 3y + 4 y = 2e2 x

y + y = 0 r 2 + 1 = 0 r = i y1 (x) = cosx e y 2 (x) = senx

Como f (x) = senx , y p(x) = Acosx + Bsenx . No entanto, note que estas solues j apareceram, e colocando y p(x) com a descrio acima, estaramos procurandosolues que so l.d. com y1 e y2 . Assim, devemos colocar

y p(x) = x(Acosx + Bsenx ),

de onde segue que

y p(x) = ( Acosx + Bsenx ) + x( Asenx + Bcosx )

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y p (x) = ( Asenx + Bcosx ) + ( Asenx + Bcosx ) + x( Acosx Bsenx ) =

2Asenx + 2Bcosx + x( Acosx Bsenx )

Da, substituindo na equao diferencial temos:

2Asenx + 2Bcosx + x( Acosx Bsenx ) + x(Acosx + Bsenx ) = senx

2A = 1 A = 1

22B = 0 B = 0

Ento,

y(x) = c1 cosx + c2 senx 12

xcosx.

c) y 10y + 25 y = 0

9r 2 12r + 4 = 0 r = 23

y1 (x) = e2 x3 e y2 (x) = xe

2 x3 .

Assim, y(x) = c1 e2 x3 + c2 xe

2 x3 .

Questo 2. (10,0) Seja um circuito em srie L R C , onde L = 1 henry, R = 100ohms, C = 0 , 0004 farad, E (t) = 30 volts, q (0) = 0 coulomb e i(0) = 2 ampres.

a) (6,0)Encontre a carga no capacitor e a corrente no circuito.

d2 q dt 2

+ 100dq dt

+ 1

0, 0004q = 30

d2 q dt 2

+ 100dq dt

+ 2500q = 30

de onde, tiramos a equao auxiliar:

r2

+ 100 r + 2500 = 0 r = 50

Assim, q 1 (t) = e 50 t e q 2 (t) = te 50 t .

Como f (t) = 30 , fazemos:

q p(t) = A

q p (t) = 0

q p(t) = 0

Da, substituindo na equao diferencial:

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2500A = 30 A = 3250

Ento,

q (t) = c1 e 50 t + c2 te 50 t + 3250

.

Como q (0) = 0 , segue que

q (0) = c1 e 50 .0 + c2 0.e 50 .0 + 3250

= 0 c1 = 3250

.

Ento,

q (t) = 3250

e 50 t + c2 te 50 t + 3250

.

Agora, usando que i(0) = 2 e como i(t) = dq dt

, segue que:

q (t) = 3.( 50)

250 e 50 t + c2 e 50 t 50te 50 t .

q (0) = 3.( 50)

250 e 50 .0 + c2 e 50 .0 50.0.e 50 .0 = 2

c2 = 75

Assim, a carga no capacitor dada por:

q (t) = 3250

e 50 t + 75

te 50 t + 3250

.

A corrente, i(t) = dq dt

dada por:

i(t) = 35

e 50 t + 75

e 50 t 70te 50 t = 2 e 50 t 70te 50 t .

b) (3,0)Calcule a carga mxima no capacitor.

Para encontrar a carga mxima, vamos obter os pontos crticos da funo q (t), queso dados por:

dq dt

= 0 2e 50 t 70te 50 t = 0 t = 135

Agora, note que

q 135

= 0 , 01871C

a carga mxima.

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c) (1,0)Classique o circuito em superamortecido, subamortecido ou criticamente amor-tecido.

Como = 0 , o circuito dito criticamente amortecido.

Questo 3. (10,0) Um peso de 0, 25 kg atado a uma mola com constante deelasticidade igual a 4 N/cm. Supondo que uma fora de amortecimento igual ao dobroda velocidade instantnea atua no sitema, a equao diferencial que modela o problema dada por:

14

d2 xdt 2

= 4x 2dxdt

.

a) (7,0)Sabendo que o peso parte da posio de equilbrio com velocidade de 3 m/spara cima, obtenha a soluo do PVI.

Temos o PVI 14

d2 xdt 2

= 4x 2dxdt

x(0) = 0

x (0) = 3.

Ento,

14

d2 xdt 2

= 4x 2dxdt

d2 xdt 2

+ 16x 8dxdt

= 0 ,

que possui a equao auxiliar associada

r 2 + 8 r + 16 = 0 r = 4

Da, x1 (t) = e 4 t e x2 (t) = te 2 t , e x(t) = c1 e 4 t + c2 te 4 t .

Usando, x(0) = 0 , temos

x(0) = c1 e 4 .0 + c2 .0e 4 .0 = 0 c1 = 0 .

Ento,

x(t) = c2 te 4 t .

Agora, fazendo x (0) = 3 temos:

x (t) = c2 e 4 t 4te 4 t

x (0) = c2 e 4 .0 4.0.e 4 .0 = 3 c2 = 3.

Portanto,

x(t) = 3te 4 t .

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b) (3,0)Qual o valor do deslocamento extremo? Trata-se de um valor mximo oumnimo? Explique.

Para encontrarmos valores extremos, calcularemos os pontos crticos de x(t), fa-zendo:

x (t) = 0 3e 4 t + 12 te 4 t = 0 t = 14

.

Ento,

x14

= 314

e 414 = 0, 276

Pelo teste da segunda derivada, vericamos que este um ponto de mximo acima

da posio de equilbrio.

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