3.5 a Geometria Euclidiana

8/12/2019 3.5 a Geometria Euclidiana

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A Geometria Euclidiana

Euclides foi um dos maiores matemáticos gregos daantiguidade. Não se sabe com certeza a data do seunascimento, talvez tenha sido por volta do ano 325antes de Cristo. Sabe-se que ele viveu na cidade deAlexandria, no atual Egito, quase certamentedurante o reinado de Ptolomeu I (323 BC–283 BC) emorreu, de causas desconhecidas, no ano 265 antesde Cristo. Por essa razão ele é citado como Euclidesde Alexandria.

Euclides nos deixou um conjunto de livros dematemática, os Elementos, que pode serconsiderado um dos mais importantes textos na

história da matemática. Nesse monumental conjuntode 13 volumes Euclides reuniu toda a geometriaconhecida em sua época ou seja, os váriosresultados originalmente obtidos por outrosmatemáticos anteriores a ele e seus trabalhosoriginais. O fato importante é que Euclidesapresentou esses resultados dentro de umaestrutura logicamente coerente e simples. Ele atémesmo apresentava provas de teoremasmatemáticos que haviam sido perdidos.

Euclides deduzia, entre vários outros resultados, aspropriedades dos objetos geométricos a partir de umpequeno conjunto de axiomas. Axiomas sãiafirmações que não possuem prova mas são aceitascomo auto-evidentes. Por esses motivo Euclides é

considerado o "pai da geometria" e o fundador dochamado "método axiomático da matemática".

O sistema geométrico apresentado por Euclides noslivros que formam os Elementos durante muitotempo foi considerado "a" geometria. Era a únicadisponível e podia ser usada na vida diária semcontradições aparentes. Os "Elementos" de Euclidesforam os fundamentos do ensino de geometriapraticamente até o início do século XX.

Hoje a geometria apresentada por Euclides échamada de "geometria Euclidiana" para distingui-la das outras formas de geometria chamadas "geometriasnão-Euclidianas" que foram descobertas no século XIX.

As geometrias não-Euclidianas cresceram a partir de mais de 2000 anos de investigação sobre o quinto

postulado de Euclides, um dos axiomas mais estudados em toda a história da matemática. A maior partedessas investigações envolveram tentativas de provar o quinto postulado, relativamente complexo epresumivelmente não intuitivo, usando os outros quatro postulados. Se eles tivessem sido bem sucedidosteriam mostrado que esse postulado seria na verdade um teorema. Na verdade os "Elementos" consistem deduas partes: a primeira é formada por teoremas que são provados sem o auxílio do quinto postulado eformam o que chamamos de "geometria absoluta" e a parte formada por teoremas que estão baseados noquinto postulado e que formam a "geometria Euclidiana" propriamente dita.

As imagens abaixo mostram páginas de um manuscrito grego do século XI com os "Elementos".



Os axiomas de Euclides são os seguintes:

1. dados dois pontos há um intervalo que os une.

2. um intervalo pode ser prolongado indefinidamente.

3. um círculo pode ser construido quando seu centro e um ponto sobre ele são dados.

4. todos os ângulos retos são iguais.

5. se uma linha reta inclinada sobre duas linhas retas faz os ângulos interiores do mesmo ladomenores do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, seencontram naquele lado no qual os ângulos sãomenores do que dois ângulos retos.

Vemos que o quinto postulado de Euclides tem umenunciado bem mais complicado que os outros. Na verdadeele pode ser colocado de uma maneira bem mais simples:

"Através de um ponto C, não localizado sobre uma dadalinha reta AB, somente uma linha reta paralela a AB podeser traçada, ou seja, uma linha situada no mesmo plano

onde está a linha reta dada e que não a intersepta."

ou então

"Duas linhas paralelas são equidistantes"

Por mais de 2000 anos os matemáticos têm tentadodemonstrar esse postulado sem sucesso.

A geometria Euclidiana é aquela que as pessoas comunsusam na sua vida diária. Nessa geometria a soma dosângulos internos de um triângulo é igual a 180o, comovemos na figura ao lado.

Em uma geometria plana, ou geometria euclidiana, a distância entre dois pontos pode ser facilmentecalculada. Se considerarmos somente

• uma dimensão:

a distância entre dois pontos será dada por ds

ds= dx2 - dx1

• duas dimensões:

essa distância será obtida por intermédio do chamado "teorema de Pitágoras" (o quadrado dahipotenusa de um triângulo retângulo e igual à soma dos quadrados dos catetos)



ds2 = dx2 + dy2

• três dimensões:

a distância entre os dois pontos será obtida a partir da relação:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2

Essas são as expressões que nos dão a distância entre dois pontos em uma geometria euclidiana, nãoimportando se eles estão muito afastados ou muitíssimo próximos.

No entanto, embora o nosso mundo diário seja descrito por três dimensões espaciais, a matemática estáligando muito pouco para isso! Para ela um espaço pode ter um número qualquer de dimesões, até mesmoinfinitas dimensões. E é essa a generalização que faremos agora, uma vez que precisaremos disso maistarde.

Vamos então generalizar as expressões mostradas acima, e que nos ensinam como medir a distância entredois pontos, para um número qualquer de dimensões espaciais. Para isso é melhor substituir as coordenadas

x, y, z por xn onde n é um índice que pode ser igual a qualquer número inteiro positivo. Assim x serásubstituido por x1, y será escrito como x2, z será x3, e assim por diante até atingirmos o número equivalenteà dimensão do espaço que queremos estudar. Em geral se queremos dizer que o espaço tem um númeroqualquer de dimensões escrevemos xn onde n assume os valores 1, ou 2, ou 3 ou qualquer outro valorinteiro positivo. Isso pode ser resumido escrevendo-se n = 1, 2, 3,....

Podemos então generalizar a expressão que nos dá a distância entre dois pontos em um espaço euclidianode dimensão qualquer n escrevendo

ds2 = dx12 + dx2

2 + dx32 + ..... + dxn

2



onde n = 1, 2, 3, 4, ....

A expressão ds2, que é chamada de elemento de linha ou métrica, é de importância vital nos cálculos dateoria da relatividade geral. A partir desse momento sempre que nos referirmos à distância entre dois pontosem um espaço de qualquer dimensão sempre a representaremos por ds2.

Voltemos então às transformações de Lorentz, mostradas ao lado. Já sabemosque elas nos ensinam como estão relacionadas as coordenadas de um corpo

vistas em um referencial em repouso e em um referencial que se desloca comvelocidade constante v. Note que as transformações de Lorentz, por seremdefinidas para um espaço-tempo de 4 dimensões, misturam as coordenadas doespaço (x,y,z) com a de tempo (t).

Entretanto, havia sido demonstrado que as leis físicas tinham que serinvariantes por uma transformação de Lorentz. Isso quer dizer que as leis físicasnão mudam quando são observadas em referencias inerciais, aqueles que estãoem repouso ou em movimento retilíneo com velocidade constante.Consequentemente, um "elemento de linha" de uma geometria tem que serinvariante por uma transformação de Lorentz.

Vimos acima o elemento de linha que descreve um espaço de três dimensões.Vimos que essa expressão pode ser generalizada para um número qualquer dedimensões. Então, resta-nos perguntar qual seria a forma do elemento de linhaque descreve a geometria do espaço-tempo de Lorentz, o espaço-tempo dateoria da relatividade restrita?

Nossa primeira idéia é acrescentar o termo temporal ao elemento de linha quedescreve a distância entre dois pontos no caso tri-dimensional visto acima.Ficariamos com

ds2 = dt2 + dx12 + dx2

2 + dx32

Mas isso está errado! Lembre-se que dx1, dx2 e dx3 são coordenadas de espaço,respectivamente dx, dy e dz, e, portanto, só podem somadas a outras

coordenadas com dimensões de espaço. Como dt tem dimensão temporal nós o multiplicamos pelavelocidade da luz para que o primeiro termo do elemento de linha acima também fique com as dimensões deespaço (lembre-se que espaço = velocidade x tempo).

Se chamarmos o termo cdt de dx0, para mantermos a mesma forma das expressões usadas para as

coordenadas do espaço, ficamos então com

ds2 = dx02 + dx1

2 + dx22 + dx3

2

Essa seria a generalização quadri-dimensional da expressão que nos dá a distância entre dois pontos muitopróximos no espaço Euclidiano.

Esse elemento de linha de um espaço-tempo de quatro dimensões está correto sob o ponto de vista dedimensões físicas (todos os termos tem dimensões de comprimento) mas, parafraseando Nelson Rodrigues,esse elemento de linha é "bonitinho mas ordinário". Ele não presta para descrever o espaço-tempo quadri-dimensional pois não é invariante por uma transformação de Lorentz!

Foi Minkowski quem mostrou que o "elemento de linha" invariante por uma transformação de Lorentz paraum espaço-tempo com 4 dimensões deveria ser escrito como

ds2 = dx02 - dx12 - dx22 - dx32

ou, equivalentemente,

ds2 = - dx02 + dx1

2 + dx22 + dx3

2

Com esse elemento de linha podemos falar de uma "geometria do espaço-tempo" do mesmo modo comofalamos da geometria do espaço somente. Essa expressão é o elemento de linha ou métrica de umespaço-tempo plano 4-dimensional, também conhecido como espaço-tempo de Minkowski.



O conjunto de sinais (+ - - -) ou (- + + +) que antecedem os termos das expressões acima é chamado deassinatura da métrica. Note que ambos os conjuntos de sinais são corretos. Os dois elementos de linhadescritos acima, com as duas assinaturas de métrica diferentes, são válidos para descrever o espaço-tempo de Minkowski e esse espaço-tempo plano é onde definimos a teoria da relatividade restrita.

Como vimos anteriormente, podemos usar vários sistemas de coordenadas para descrever um espaço.Podemos usar as coordenadas cartesianas como feito acima, mas também podemos usar coordenadascilíndricas e esféricas, por exemplo. Mostramos em um dos itens anteriores que as coordenadas esféricas

são representadas por (, , ). As relações entre as coordenadas cartesianas (x, y, z) ou (x1, x2, x3) e as

coordenadas esféricas (, , ) são dadas por:

x = x1 = sen cos

y = x2 = sen sen

z = x3 = cos

Se substituirmos isso na expressão da métrica de Minkowski dada acima teremos a expressão dessa métricaem coordenadas esféricas (que é a que os relativistas usam mais comumente):

ds2 = c2dt2 - dr 2 - r 2 (d2 + sen2 d2)

Como dissemos antes essa é a expressão da distância entre dois pontos em um espaço-tempoquadridimensional em coordenadas esféricas. Ela é invariante por uma transformação de Lorentz e,portanto, satisfaz às exigências da teoria da relatividade especial. Essa expressão é o elemento de linha deMinkowski ou métrica de Minkowski em coordenadas esféricas.

Um outro ponto a considerar é que se você compara a assinatura da métrica Euclidiana em um espaço-tempo quadri-dimensional qualquer com a métrica de Minkowski nota imediatamente a diferença de sinalque existe entre elas. A métrica Euclidiana tem assinatura (+ + + +) enquanto que a métrica de Minkowski,por satisfazer às transformações de Lorentz, tem assinatura (+ - - -). A uma métrica que possui assinaturasemelhante à métrica de Minkowski ou seja, com sinais diferentes em seus termos não importando se é (+ -- -) ou (- - - +), damos o nome de métrica pseudo-euclidiana.

DEFINIÇÃO TÉCNICADefinição matemática de Espaço Euclidiano:

Seja V um espaço vetorial n-dimensional sobre R e seja uma forma bilinear simétrica em V tal que (v,v)

> 0 para todo v em V com v diferente de 0. Então o par (V,) é chamado de espaço Euclidiano.

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