4. Teoria dos Conjuntos4.1 SimbologiaPara termos uma linguagem precisa e concisa, sero utilizados os seguintes smbolos.SmboloLeia-se

Pertence

No pertence

Est contido

No est contido

Contm

No contem

a, / : tal queTal que

xExiste x

xNo existe x

|existe apenas um / existe um nico x

xPara todo x

PQSe P, ento Q

PQP se, e somente se Q

, { }Conjunto vazio

NConjunto dos nmeros naturais

ZConjunto dos nmeros inteiros

QConjunto dos nmeros racionais

Q'= I Conjunto dos nmeros irracionais

RConjunto dos nmeros reais

4. Teoria dos Conjuntosa) Na implicao PQ, deve-se entender que, partindo da proposio P, deduz-se a proposio Q. Assim, por exemplo, sendo x um nmero real, as sentena (x5)(x3 ) verdadeira , pois todo nmero maior que 5 maior que 3, enquanto que a sentena (x3)(x5) falsa, pois existem nmeros maiores que 3, que no so maiores que 5.b) A bi-implicao PQ equivalente a sentena (PQ) (QP).Assim, por exemplo: x = 5 x + 1 = 6 uma sentena verdadeira, pois as sentenas x = 5 x + 1 = 6 e x + 1 = 6 x = 5 so ambas verdadeiras.4.2 Conceitos Primitivos O ponto de partida da teoria do conjunto consiste nos seguintes conceitos primitivos.. Conjunto. Elemento de um conjunto. Igualdade de conjuntos Para indicar que x um elemento do conjunto A escrevemos x A ( leia-se tambm x pertence a A).A notao x A significa que x no elemento do conjunto A. importante observar que acima no consta o conceito de elemento e sim o conceito de elemento de um conjunto assim, no h sentido em discutir se x elemento ou no. Discute-se apenas se x ou no elemento de um dado conjunto. 4.3 Representao de um conjuntoAlm de se representar um conjunto por uma letra (na maioria das vezes maiscula), so usadas nas seguintes representaes. { e1, e2,..., en }, onde e1, e2,..., a lista de elementos do referido conjunto dispostos numa ordem qualquer, com ou sem repetio. { x A: S(x)}, onde S(x) uma propriedade sobre a varivel x, que tem por finalidade selecionar elementos de A: por exemplo: { x A: x5}.Adotaremos o seguinte postuladoSe todo elemento de A e elemento de B e todo elemento de B e elemento de A, ento os conjuntos A e B so iguais.Exemplos:1) {1,2} = {2,1} e {1,2} = {1, 2,1, 2, 2}

4. Teoria dos Conjuntos2) Sendo N = {0,1, 2 ....10, 11....} o conjunto dos nmeros naturais, quantos so os elementos do referido conjunto?{x N: 2x + 5 17}?2x + 5 172x 17 52x 12 12x ----- x 6 2

Tem-se ento que x 6 e x {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.Logo, os elementos do referido conjunto so 0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, e, portanto, este possui 7 elementos. Resposta: 73) Quais so os elementos do conjunto N dos nmeros naturais que satisfazem a condio S(x): x + 2 1?x + 2 1x 1 2 x 1Resposta: Nenhum Repare que no h nmero natural que satisfaz tal condio. Mais postulados Para que possamos operar com conjuntos, sem correr o risco de ficar operando com o nada, como no ltimo exemplo, vamos estabelecer que: Existe um conjunto sem elementos que chamamos de conjunto vazio e que indicaremos, sem preferncia por { } ou por (postulado).O conjunto vazio, por conveno, subconjunto de qualquer conjunto, ou seja A.Sendo assim, podemos, volta ao item 2 e obter maior preciso, se ficar estabelecido que:Dados um conjunto A e uma sentena S(x), na varivel x ocorre pelo menos uma vez sem ser introduzida por existe x, nem por para todo x existe sempre um conjunto B tal que B = {X A; S(x)} (postulado). Assim,a) {x N: 2x + 5 17} 122x + 5 17 2x 17 5 2x 12 x ------ x = 6 2Resposta: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) {x N : x + 2 1} x + 2 1 x 1 2 x 1 Resposta: ou { } 4. Teoria dos Conjuntos4.4 Subconjunto Dizemos que A subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A elemento de B, isto : x U, x A x B. Neste caso, diz-se que A est contido( em B ou B contm A ( B A ). O conjunto U, denominado CONJUNTO UNIVERSO, fixo e contm todos os conjuntos que possam ser envolvidos.Notao: A B (leia-se A est contido em B).

AB (x) ( X A(X B)Exemplo:1) {a,b} {a, b, c, d} 2) {a} {a, b}Convm atentar que, se existir ao menos um elemento de A que no pertena a B, ter-se- A B. Em outras palavras, temos que A B x U : x A x B.4.4.1 Propriedades e observaes importantes do Subconjunto1) A, temos A A ( inclusive !!! ) propriedade reflexiva;2) A, temos A;3) Se A tem n elementos, ento o nmero de subconjuntos de A 2n. Esse um exerccio de Anlise Combinatria elementar, tente faz-lo!4) A B e A B A = B - propriedade anti-simtrica;5) Atentar para a diferena entre pertinncia e incluso: enquanto um elemento pertence a um conjunto, um subconjunto est contido em um conjunto (mesmo que a esse subconjunto pertena apenas um elemento!).Ateno!! A Qualquer que seja o conjunto A) A A() relao de pertinncia entre um elemento e um conjunto.() relao de incluso entre um conjunto e outro conjunto.

4. Teoria dos Conjuntos4.4 Subconjunto a) Dado o conjunto A =,{1, 2, 3 {3, 4}, classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes proposies:a) A possui 4 elementos (V)b) 1 A e 2 A (V)c) {1, 2} A (V)d) {3, 4} A (F)e) {{3, 4}} A (V)O conjunto a possui 4 elementos, a saber, os nmeros 1, 2 , 3 e o conjunto binrio {3,4}; portanto tem-se que: 1 A, 2 A, 3 A e {3, 4} A [1,2} A, pois 1 e 2 so elementos de A. {3, 4} A, pois 4 no elemento de A. {{3,4}}A, pois {3,4} elemento de A.

Sendo assim, a nica afirmao falsa a D.

4. Teoria dos Conjuntos4.5 Teoremas Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que o conjunto vazio e o subconjunto de A. Pois, se no fosse, deveria existir pelo menos um elemento do conjunto vazio que no pertencesse a A (o que absurdo). Todo o conjunto A subconjunto do prprio, ou seja AA.Pois todo elemento de A elemento de A.Tem-se ento que ( AA mesmo com A = { } .Repare ainda que a expresso todo elemento de A no implica que o conjunto A tenha elementos. Assim, por exemplo: a afirmao toda tarefa deve ser cumprida no implica que haja tarefa.Sendo A e B conjuntos, tem-se que:AB e BA se, e somente se A = B Sendo A um conjunto finito com n elementos, prova-se que o nmero de subconjuntos de A 2n.4.6 Conjunto das Partes de um Conjunto Se A um conjunto qualquer, chamas-se conjunto das partes A, e indica-se P (A) ao conjunto formado por todos os subconjuntos de A.P(A) = { x/x A }4.6.1 Propriedades a) P(A), Qualquer que seja o conjunto A. b) A P(A), Qualquer que seja o conjunto A.c) Se A tem n elementos, ento P(A) tem 2n elementos.Observao:Se um conjunto possui n elementos, ento esse conjunto ter 2n subconjuntos.Exemplos:a) Dado o conjunto A = {1, 2 } considerando: {1, 2}{1} {1, 2}{2} {1, 2}{1,2} {1, 2}Logo, P{A} = { , {1}, {2}, {1, 2} }2n = 22= 4 elementos no conjunto A = {1, 2},

4. Teoria dos Conjuntosb) Dado o conjunto A = {1, 2,3} , obter o conjunto das partes de A.Como o nmero de elementos de A 3, conclui-se que o nmero de seus subconjuntos e 23 = 8. Os subconjuntos de A so.

{1, 2, 3}{1} {1, 2, 3}{2} {1, 2, 3}{3} {1, 2, 3}{1,2} {1, 2, 3}{1,3} {1, 2, 3}{2,3} {1, 2, 3}{1,2, 3} {1, 2, 3}Logo, P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2, 3} }23 = 8 elementos no conjunto A = {1,2, 3} 4.7 Complementar CAB Dados os conjuntos A e B chama-se de complementar B em relao a A ao conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e no pertencem ao conjunto B.

CAB, = A B { x A: x B }Exemplo:A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 1, 2, 5, 6 } CAB, = { 3, 4 }4.7.1 Propriedades do Complementar CAB1) A (B C) = (A B) (A C) Propriedade Distributiva 2) A (B C) = (A B) (A C) Propriedade Distributiva 3) A (A B) = A Lei da absoro 4) A (A B) = A Lei da absoro

4. Teoria dos Conjuntos4.8 Universo U Em qualquer discusso na teoria dos conjuntos devemos fixar sempre um conjunto U, que contem todos os conjuntos que possam ser envolvidos. O conjunto U ser chamado de conjunto universo. Sendo U o conjunto universo e A um conjunto qualquer: chama-se complementar de A ao conjunto.

__ A = CAU = { X U: X A }Exemplo: Considerando como universo o conjunto U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, e dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 2, 4 }, tem-se que: O complementar de B em relao a A CBA = { 1,3}.O complementar de A em relao a A CAA = { }. __O complementar de B B = { 0, 1, 3, 5 ,6 }. __ O complementar de A A = { 0, 5, 6 }. __ __Obs.: A, B a relao ao conjunto universo.

4. Teoria dos Conjuntos4.9 Unio ou Reunio Dados os conjunto A e B num universo U, chama-se de unio ( ou reunio) de A com B ao conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B. Assim escrevemosA B = { x U: x A ou) x B }

A B4.9.1 Propriedades da Unio Ou Reunio a) A A = A b) A B = B A ( Propriedades comutativa da unio ) c) B A AB = A d) A{ } ou = A e) ( A B ) C = A ( B C ) = A B C Propriedade associativa da uniof) A= U ( onde U o conjunto universo)g) A B e AB A A B B Exemplos:a) { 1, 2, 3 4 } { 3,4 , 5 } = { 1, 2, 3, 4, 5 } = Ub) { 3, 4, 5 } { 1, 2, 3, 4 } = { 1, 2, 3, 4, 5 } = Uc) { 1, 2, 3, 4 } { 3, 4 } = { 1, 2, 3, 4 } = U d) { 1, 2, 3, 4 } { } = { 1, 2, 3, 4 } = U

4. Teoria dos Conjuntos4.10 Interseco Dados os conjuntos A e B num universo U, chama-se de interseco de A com B ao conjunto dos elementos comuns entre A e B. Isso equivale a dizer que:A B = { xU: x A (e) x B }

4.10.1 Propriedades da Interseco1) A B = B A Propriedade comutativa2) ( A B) C = A ( B C ) = A B C (A B)(A B) propriedade associativa3) A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) Propriedade distributiva 4) A ( B C ) = ( A B ) ( A C )5) B A A B = A 6) A = 7) A B C ( A B ) ( A B ) 8) A A = A9) A U = A onde U o conjunto universo .Exemplos: a) {1,2,3, 4}{3,4,5} = {3,4}b) {3, 4,5}{1,2,3, 4} = {3,4}c) {1,2,3, 4}{3,4} = {3,4}d) {1,2,3, 4}{ } = { }

4. Teoria dos Conjuntos4.11 Diferena entre conjuntos A B Dados os conjuntos A e B num universo U, chama-se de diferena entre A e B, nesta ordem, ao conjunto dos elementos de A que no so elementos de B.

A B = { xU: x A (e) x B }4.11.1 Propriedades da diferena de conjunto A B 1) ( A B ) A2) ( A B ) ( B A ) = 3) A = A 4) A = 5) A ( A B ) = A B 6) B A A B = CBA7) A A = 8) A B B A, se A B ( a diferena no comutativa ).Exemplo: a) { 1, 2, 3 ,4) { 3, 4, 5 } = { 1, 2 }b) {`3, 4, 5 } { 1, 2, 3, 4 } = { 5 } c) { 1, 2 } { } = { 1, 2 } d) { } { 1, 2 } = { } e) Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 3, 4, 5, 6, 7 } obter os conjuntos A B , A B, A B e B AResposta: A B = { 3, 4 } A B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } A B = { 1, 2 }B A = { 5, 6, 7 }

4. Teoria dos Conjuntos b) Sejam A e B conjuntos num universo U tais que: O complementar de __ A A = {e, f, g, h, i }.A B = { a, b, c, d, e, f, g }A B = { c, d }Obter os conjuntos A e B A B = { c, d } c e d so os nicos elementos que A e B tm em comum. __a A a A e a (A B) Logo, a ( A B )Analogicamente, conclui-se que: b ( A B ) __ e A e A e ( A B ) logo, e ( B A) Analogicamente para f e g.Reparem que h e i no pertencem a A nem a B, pois no pertencem a A B.Resposta: A = { a, b, c , d } B = { c, d, e. f, g }

4. Teoria dos Conjuntosc) Numa prova de matemtica caram apenas dois problemas. Terminada sua correo, constatou-se que: 300 alunos acertaram somente um dos problemas.260 acertaram o segundo.100 acertaram os dois.210 erraram o primeiro.Quantos alunos fizeram a prova?

X + Z = 300 Y + Z = 260 Y = 100 Z + W = 210100 + Z = 260 Z = 260 100 Z = 160X + Z = 300 X + 160 = 300 X = 300 160 X = 140 Z + W = 210 160 + W = 210 W = 210 160 W = 50 Y = 100X + Y + Z + W 140 + 100 + 160+ 50 = 450Resposta: 450 alunos

4. Teoria dos Conjuntos4.12 Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos A e B so considerados iguais se, e somente se, todo elemento de A pertence a B e vice-versa.A = B x ( x A x B)Exemplos:a) { x R / 2x + 1 = 5 } = { 2 } 42x + 1 = 5 2x = 5 1 2x = 4 x = ---- x = 2 2b) Considerando os conjuntos A = { a, b, c }, B = { m. n}, C = , D = { b, c, a }, E = { } e F = { n, m, n }, verifique a igualdade ou no do conjunto abaixo. D: a, b, c A: B: --- F: D: a, b, c A: A: --- F: C: , { } E:4.13 Propriedades das Desigualdades a) Se a b e b c ento a c Exemplo:10 0 10 10 10b) Se a b ento a c b c Exemplo:10 5 10 5 15 5 e 5 15c) Se a b e c 0 ento ac bcExemplo:10 x 5 10 x 5 50 50d) Se a b e c 0 ento ac bcExemplo:10 x 3 10 x 3 30 30e) Se a b ento 1 1 se a 0 e b 0 --- --- a b

4. Teoria dos Conjuntos4.12 ComplementaridadeDados dois conjuntos A e X com A X (ateno!!), denomina-se complementar de A em relao a X ao conjunto:CXA = { x X : x A }.Verificar as diferenas entre complementaridade e diferena!

Obs.: se o conjunto X no for especificado, infere-se que X = U e neste caso __ usual indicar o complemento de A por A ou AC.4.12.1 Propriedades Importantssimas!1) A AC = 2) A AC = U3) ( AC)C = A 4) A BC = A B5) ( A B )C = AC BC (relaes de Morgan prove!)6) ( A B )C = AC BC 7) B A A B = CAB 8) { }C = U9) A BC = A A B =