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12º Ano - Matemática A - Probabilidades - Exercícios Resolvidos - 4 Pág. 1 de 11

Alguns exercícios com explicação - página 90 a 133 (inclusive)Análise Combinatória e Probabilidades - Distribuições

1. Uma caixa contém seis bolas, indistinguíveis ao tato: uma com o número 5, duas com onúmero 6 e três com o número 7

a) Retira-se, ao acaso, uma bola da caixa. Seja a variável aleatória « ». número saído

Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória

b) Retiram-se, ao acaso, duas bolas da caixa. Seja a variável aleatória « ». maior dos número saídos

Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória

Resolução

a) ou seja

b) ou seja

2. Considera três caixas, , e , dentro das quais estão bolas indistinguíveis ao tato. Sabe-se que: • a caixa tem duas bolas com o número e uma bola com o número • a caixa tem duas bolas com o número e uma bola com o número • a caixa tem uma bola com o número e uma bola com o número Retira-se, ao acaso, uma bola de cada caixa e observa-se o respetivo número.

a) Seja a variável aleatória « ». produto dos três números observados Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória Apresenta as probabilidades na forma de fração irredutível.

b) Considera os acontecimentos: : « » o produto dos três números observados é igual a zero : « » a bola extraída da caixa tem o número Averigua se os acontecimentos e são independentes.

Resoluçãoa) Quando tiramos uma bola de cada caixa, obtemos uma sequência de três números. Comecemos por fazer uma lista das sequências que podem ocorrer. Para cada uma delas, indica-se o respetivo produto e a respetiva probabilidade. Com o objetivo de facilitar a exposição, numeraram-se as sequências de 1 a 8


Sequência nº Caixa A Caixa B Caixa C Produto Probabilidade

1

2

3

4

5

6

7

8

Daqui resulta:

b) Tem-se: e pelo que

O acontecimento é « o produto dos três números observados é igual a zero ea bola extraída da caixa tem o número » .

A probabilidade deste acontecimento é (sequências números 3 e

7)

Como , e são acontecimentos independentes.

3. Um saco contém cinco bolas: duas são pretas e três são brancas. Tiram-se, simultaneamente e ao acaso, duas bolas do saco. Seja . a variável aleatória «número de bolas brancas extraídas» Determina o valor médio e o desvio padrão da variável aleatória

Resolução Comecemos por construir a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória

ou seja , , ,

Tem-se, então: , , , ,

, , , , , , , , , Portanto, o valor médio é , e o desvio padrão é ,


4. Uma pessoa pretende abrir uma porta. Dispõe de sete chaves idênticas, mas só umadelas abre a porta. Começa por escolher uma chave ao acaso e experimenta abrir aporta. Se não conseguir, põe a chave de parte e experimenta outra. Vai procedendodesta forma até conseguir abrir a porta.

Em média, quantas tentativas são necessárias para abrir a porta?

ResoluçãoSeja o número de tentativas até abrir a porta. é uma variável aleatória que pode tomar os valores e Tem-se:

(a chave correta sai à primeira tentativa)

(a primeira tentativa não resulta e a segunda resulta)

e assim sucessivamente.

Tem-se, assim, a seguinte tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória :

Daqui vem:

Portanto, em média, são necessárias quatro tentativas para abrir a porta.

5. Uma variável aleatória tem a seguinte distribuição de probabilidades:

, , ( e designam números reais positivos)

Sabe-se que o valor médio da variável aleatória é , . Qual é o valor de ?

ResoluçãoTem-se: , , , Vem, então: , , , ,

6. Uma variável aleatória tem a seguinte distribuição de probabilidades:

1 2 3 ( , e designam números reais positivos)

Sabe-se que a variável aleatória tem valor médio e variância

Determina os valores de , e


ResoluçãoTem-se:

7. Num jogo de casino, um jogador aposta 1 euro por jogada.

Uma jogada consiste no seguinte: o jogador escolhe um número de 1 a 6; lançam-se dois dados equilibrados, com as faces numeradas de 1 a 6, e observam-

se os números saídos; se nenhum dos números saídos coincidir com o número queo jogador escolheu, o jogador perde o euro que apostou; caso contrário, essedinheiro é devolvido, acrescido de um ou dois euros, consoante o número que ojogador escolheu tenha saído apenas num dado, ou tenha saído nos dois dados.

Por exemplo:• suponhamos que o jogador escolhe o número 4;• lançam-se os dois dados e observam-se os números saídos;

- se nenhum deles for igual a 4, o jogador perde o euro que apostou;- se apenas um deles for igual a 4, o jogador recebe de volta o euro que apostou e

recebe mais 1 euro;- se forem ambos iguais a 4, então o jogador recebe de volta o euro que apostou e

recebe mais 2 euros.

A Marina vai jogar este jogo, tencionando fazer noventa jogadas.É de esperar que ela ganhe dinheiro ou que perca dinheiro? E que quantia?


Resolução

Seja a variável aleatória «Saldo da Marina numa jogada (em euros)». pode tomar os valores , e .

Tem-se:• , se nenhum dos números saídos coincidir com o número escolhido pela Marina;

• , se apenas um dos números saídos coincidir com o número escolhido pela Marina;

• , se os dois números saídos coincidirem com o número escolhido pela Marina.

A tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória é, portanto,

1 ou seja 1

O valor médio (que corresponde ao saldo médio de uma jogada) é:

Portanto, é de esperar que, em média, a Marina perca euros por jogada.

Ao fim de noventa jogadas, é de esperar que ela perca euros, ou seja, é de

esperar que a Marina perca 32 euros e 50 cêntimos.

8. Um certo medicamento é eficaz no tratamento de uma determinada doença em 70%dos casos.

Considera que esse medicamento é aplicado a seis pacientes que sofrem dessadoença.

Determina a probabilidade de o medicamento ser eficaz em:a) exatamente 4 pacientesb) pelo menos 4 pacientesc) entre 3 e 5 pacientesd) no máximo 2 pacientese) pelo menos 3 pacientesf) todos os pacientesg) nenhum pacienteh) pelo menos 1 paciente


ResoluçãoSeja o número de pacientes em que o medicamento é eficaz. Tem-se ,

a) , , ,

b) , , , , , ,

c) , ,

3

, , , , ,d) , , , , , ,

e) ,

f) , ,

g) , ,

h) ,

9. O Joaquim retira, sucessivamente e ao acaso, quatro cartas de um baralho completo.

a) Admite que a extração é feita com reposição, isto é, que o Joaquim repõe no baralhocada carta que retira, antes de extrair a carta seguinte.

Seja a variável aleatória « número de cartas de copas saídas».

a1) Justifica que é uma variável aleatória binomial.

a2) Determina o valor médio da variável aleatória e interpreta o valor obtidono contexto do problema.

a3) Considera o acontecimento « ».sair, no máximo, uma carta de copas Utiliza a variável aleatória para representar, em linguagem matemática, a

probabilidade deste acontecimento e, em seguida, determina essaprobabilidade.

Apresenta o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas.

b) Admite agora que a tiragem é feita sem reposição. do acontecimento «Determina a probabilidade sair, no máximo, uma carta de

copas». Apresenta o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas.

Resolução

a1) Como o Joaquim repõe no baralho cada carta que retira, antes de extrair a cartaseguinte, a probabilidade de, em cada extração, sair uma carta de copas, é sempre amesma, pelo que estamos perante um processo de provas repetidas.

é uma variável aleatória binomial porque pode ser definida como «número de

sucessos (neste caso, saída de carta de copas) num processo de provas repetidas(neste caso, 4 extrações de uma carta de um baralho).


a2) Comecemos por construir a tabela de distribuição de probabilidades da variávelaleatória

pode tomar os valores e , tendo-se:

Vem, então:

Tem-se:

Interpretação: ao extrair, com reposição, quatro cartas de um baralho completo,obtém-se, em média, uma carta de copas.

a3) Probabilidade de sair, no máximo, uma carta de

copas ,738

b) Uma vez que é irrelevante a ordem pela qual as cartas são extraídas, a

probabilidade é ,743

4 3

4

10. Um saco contém vinte bolas indistinguíveis ao tato: duas brancas e dezoito pretas. Um jogo consiste em retirar, ao acaso, três bolas do saco. A tiragem é feita em três

etapas, retirando uma bola em cada etapa. A Sofia vai jogar este jogo. Ela tem prémio caso retire pelo menos uma bola branca.

a) Determina a probabilidade de a Sofia ter prémio em cada um dos casos seguintes:

a1) .Recoloque no saco cada bola retirada Apresenta o resultado na forma de dízima.

a2) .Cada bola retirada permaneça fora do saco até ao fim do jogo Apresenta o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas.

b) Considerando novamente que a tiragem é feita com reposição, determina quantasbolas brancas devem existir, no total das vinte bolas, para que a probabilidade dea Sofia ter prémio seja igual a 48,8%


Resolução

a1) Como a tiragem é feita com reposição, estamos perante um processo de provas

repetidas.

O número de provas é igual a 3, pois o jogo consiste em retirar, ao acaso, três bolas

do saco.

Em cada prova, pode sair uma bola branca ou uma bola preta. Sempre que sai uma

bola branca, vamos dizer que ocorre um sucesso.

Seja o número de sucessos nas três provas. Tem-se

A Sofia tem prémio caso retire pelo menos uma bola branca.

A probabilidade de tal acontecer é . Tem-se:

, ,

a2) A probabilidade pedida é ,

b) Seja a probabilidade de, em cada prova, sair bola branca (sucesso).

Seja o número de sucessos nas três provas. Tem-se Vem:

, , , , ,

Como de é igual a , terão de existir quatro bolas brancas, no total das

vinte bolas, para que a probabilidade de a Sofia ter prémio seja igual a 48,8%

11. Uma variável aleatória tem distribuição normal de valor médio 10 Qual dos valores seguintes é maior?

(A) (B) (C) (D)


ResoluçãoTal como as figuras ilustram, tem-se:• é maior do que . Tal permite excluir a alternativa • é maior do que . Tal permite excluir a alternativa

Entre as alternativas que restam, tem-se que é maior do que

Resposta D

12. Uma variável aleatória tem distribuição normal. Sabe-se que é maior do que Qual dos valores seguintes pode ser o valor médio da variável aleatória ?

(A) (B) (C) (D)

ResoluçãoSe o valor médio fosse , ter-se-ia inferior a , e superior a ,Portanto, se o valor médio fosse , seria menor do que

Se o valor médio fosse , ter-se-ia inferior a , e igual a , Portanto, se o valor médio fosse , seria menor do que

Se o valor médio fosse , ter-se-ia inferior a , e inferior a , Como está mais próximo de do que de , seria menor do que

Se o valor médio fosse , ter-se-ia inferior a , e inferior a , .Como está mais próximo de do que de , seria maior do que

Resposta D


13. O tempo, em segundos, que o Mário demora a correr 200 metros é uma variávelaleatória com distribuição normal, de valor médio 27

É raro o Mário demorar mais de meio minuto a correr os 200 metros. Maisprecisamente, isso acontece em apenas 6% das vezes que ele corre os 200 metros.

Qual é a probabilidade de o Mário demorar entre 24 e 27 segundos, a correr 200metros?Resolução

Seja o tempo, em segundos, que o Máriodemora a correr 200 metros.

é uma variável aleatória com distribuiçãonormal, de valor médio 27

Como , vem , Portanto, tal como ilustrado na figura junta,

, , , A probabilidade de o Mário demorar entre 24 e 27

segundos é igual a 44%

14. Admite que a massa de açúcar existente em cada pacote embalado numadeterminada fábrica segue, aproximadamente, uma distribuição normal, de valormédio gramas. Escolhe-se um pacote de açúcar ao acaso.

Considera os acontecimentos: : «a massa de açúcar existente no pacote é superior a gramas e inferior a

gramas» : «a massa de açúcar existente no pacote é superior a gramas» Sabe-se que % e que % Determina a probabilidade de a massa de açúcar existente no pacote estar entre 7 e

gramas.Resolução

Seja a massa, em gramas, de umpacote de açúcar embalado na referidafábrica.

é uma variável aleatória comdistribuição normal, de valor médio 7.Tem-se:

• , • , A situação está ilustrada na figura junta. A simetria desta Curva de Gauss em

relação à reta de equação , e o facto de se ter ,permitem obter as probabilidades dosrestantes intervalos.

Portanto, a probabilidade de a massa deaçúcar existente no pacote estar entre 7e gramas é 25%.


15. O diâmetro, em centímetros, das rodas produzidas por uma máquina segue umadistribuição normal, de valor médio 10 e desvio padrão 0,1.

Uma roda é defeituosa se, e só se, o seu diâmetro for inferior a 9,7 cm ou superior a 10,3cm.

À medida que vão sendo produzidas, as rodas são embaladas em caixas, para efeitos decomercialização.

Em cada caixa são colocadas vinte rodas. Qual é a probabilidade de uma caixa conter pelo menos duas rodas defeituosas? Apresenta o resultado na forma de dízima, arredondado às milésimas.

ResoluçãoSeja o diâmetro, em centímetros, das rodas produzidas pela referida máquina. é uma variável aleatória com distribuição normal, de valor médio 10 e desvio padrão 0,1Portanto, a probabilidade de uma roda não ser defeituosa é: , , , , , , ,

Então, a probabilidade de uma roda ser defeituosa é , , Seja o número de peças defeituosas que existem numa caixa. é uma variável aleatória com distribuição binomial.Tem-se, assim, que

, , , ,

Portanto, a probabilidade de uma caixa conter pelo menos duas rodas defeituosas é 0,001

16. O tempo, em horas, que um operário demora a produzir uma certa peça segue umadistribuição normal, de valor médio 7 e desvio padrão 1

Em cada dia, o operário trabalha oito horas. O horário de trabalho prevê uma interrupção a meio da manhã, outra interrupção para

almoço e uma terceira interrupção a meio da tarde. Cada período de trabalho é, portanto,de duas horas seguidas.

Num certo dia, o operário começou a produzir uma peça, assim que iniciou o trabalho. Quando chegou a interrupção do meio da tarde, o operário ainda não tinha acabado de

produzir a peça. Qual é a probabilidade de o operário concluir a produção da peça nesse dia? Apresenta o

resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas. Resolução

Seja o tempo, em horas, que o operário demora a produzir a peça. é uma variável aleatória com distribuição normal, .de valor médio 7 e desvio padrão 1

Pretende-se saber

Recordando que

tem-se:

,68, ,

( , , ,

A probabilidade de o operário concluir a produção da peça nesse dia é 0,81

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