51576224 Apostila de Matematica I

Matemática I

1 IFES – Instituto Federal do Espírito Santo

PROF. RONALDO BARBOSA ALVIM

MATEMÁTICA I

VITÓRIA 2009

Matemática I


Governo Federal Ministro de Educação Fernando Haddad CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo Diretor Geral Jadir José Péla Diretor de Ensino Dênio Rebello Arantes Coordenadora do CEAD – Centro de Educação a Distância Yvina Pavan Baldo Coordenadoras da UAB – Universidade Aberta do Brasil Yvina Pavan Baldo Maria das Graças Zamborlini Designer Instrucional Jonathan Toczek Souza

Curso de Licenciatura em Informática Coordenação de Curso Giovany Frossard Teixeira Professor Especialista/Autor Ronaldo Barbosa Alvim DIREITOS RESERVADOS CEFET-ES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo Av. Vitória – Jucutuquara – Vitória – ES - CEP - (27) 3331.2139 Créditos de autoria da editoração Capa: Leonardo Tavares Pereira Projeto gráfico: Danielli Veiga Carneiro Iconografia: Moreno Cunha Editoração eletrônica: [Nome de quem editou ou do próprio professor] Revisão de texto: Ilioni Augusta da Costa Maria Madalena Covre da Silva COPYRIGHT – É proibida a reprodução, mesmo que parcial, por qualquer meio, sem autorização escrita dos autores e do detentor dos direitos autorais.

Matemática I


Olá, Aluno(a)!

É um prazer tê-lo conosco. O Cefetes oferece a você, em parceria com as Prefeituras e com o

Governo Federal, o Curso de Licenciatura em Informática, na modalidade à distância. Apesar de este curso ser ofertado à distância, esperamos que haja proximidade entre nós, pois, hoje, graças aos recursos da tecnologia

da informação (e-mails, chat, videoconferênca, etc.), podemos manter uma comunicação efetiva.

É importante que você conheça toda a equipe envolvida neste curso: coordenadores, professores especialistas, tutores à distância e tutores presenciais. Assim, quando precisar de algum tipo de ajuda, saberá a

quem recorrer. Na EaD - Educação a Distância - você é o grande responsável pelo

sucesso da aprendizagem. Por isso é necessário que se organize para os estudos e para a realização de todas as atividades, nos prazos

estabelecidos, conforme orientação dos Professores Especialistas e Tutores.

Fique atento às orientações de estudo que se encontram no Manual do Aluno!

A EaD, pela sua característica de amplitude e pelo uso de tecnologias modernas, representa uma nova forma de aprender, respeitando, sempre,

o seu tempo. Desejamos a você sucesso e dedicação!

Equipe do IFES

Matemática I


ICONOGRAFIA Veja, abaixo, alguns símbolos utilizados neste material para guiá-lo em seus estudos.

Fala do professor.

Conceitos importantes. Fique atento!

Atividades que devem ser elaboradas por você, após a leitura dos textos.

Indicação de Materiais complementares, referentes ao conteúdo estudado.

Destaque de algo importante, referente ao conteúdo apresentado. Atenção!

Reflexão, Curiosidade ou outros conceitos referente ao conteúdo apresentado.

Espaço reservado para as anotações que você julgar necessárias.

Matemática I


Olá

Meu nome é Ronaldo Barbosa Alvim, responsável pela disciplina Matemática I. Atuo como professor do IFES no campus de Cachoeiro de Itapemirim. Sou graduado em Matemática (2000) pela UFF, Especialista em Matemática e Estatística (2001) pela UFLAe Mestre em Modelagem Computacional (2004) pela UERJ. Minhas áreas de interesse são: Modelagem Matemática, Cálculo Numérico, Problemas Inversos, Probabilidade e Estatística.

Nesta disciplina você conhecerá a teoria dos conjuntos, que é um tema central para vários ramos da matemática e relacionado aos primórdios da matemática, sendo tratada a teoria dos conjuntos de modo informal e não axiomática, irá estudar também as funções reais, sendo capaz de realizar uma primeira análise gráfica, iniciando é claro seu estudo com um enfoque mais geral, ou seja, o de relações entre conjuntos.

Comentários de natureza histórica estão presentes ao longo de todo o material, situando você no tempo e conhecendo os grandes matemáticos que deixaram contribuições marcantes em nossa evolução.

O material tem o intuito de ser um guia na orientação da disciplina de Matemática I onde podemos ressaltar os pontos mais importantes da teoria que está sendo abordada, por meio de exemplos de aplicações diversas tentando contextualizar a matemática em nossa vida, pois de exemplos da vida que ela se iniciou. Um ponto importante para um bom curso de Matemática e utilizar a bibliografia indicada, procurando mais exemplos e outras abordagens que poderemos discutir nos fóruns. Quando estudarmos funções reais será interessante e necessário o uso de algum visualizador gráfico, no mercado existem vários pacotes famosos como Maple e Matlab, mas vamos optar por utilizar um software livre, o Winplot, onde seu download estará disponível em nosso ambiente.

Cada capítulo é acompanhado de exercícios que devem ser resolvidos e enviados pelo ambiente moodle, quando solicitados, onde serão avaliado, os gabaritos de todas as atividades encontram-se no final do material. Lembre-se que estas atividades possuem tempo determinado de entrega, levando vocês a criarem o hábito de estudo contínuo, importante em qualquer aprendizado e indispensável no ensino a distância.

Concluo, desejando a todos muito sucesso!

Prof. Ronaldo Barbosa Alvim

Matemática I


Sumário

1. CONJUNTOS E SUBCONJUNTOS ........................................................................................................................... 7

1.1. NOTAÇÃO ........................................................................................................................................................ 7 1.2. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS ........................................................................................................................ 8 1.3. IGUALDADE DE CONJUNTOS .................................................................................................................... 98 1.4. CONJUNTO NULO .......................................................................................................................................... 9 1.5. SUBCONJUNTOS ............................................................................................................................................ 9 1.6. SUBCONJUNTO PRÓPRIO ........................................................................................................................... 80 1.7. COMPARABILIDADE ................................................................................................................................... 80 1.8. TEOREMA DA DEMONSTRAÇÃO .............................................................................................................. 80 1.9. CONJUNTOS DE CONJUNTOS ...................................................................................................................... 8 1.10. CONJUNTO UNIVERSAL ............................................................................................................................... 8 1.11. CONJUNTO DE POTÊNCIA .............................................................................................................................. 81 1.12. CONJUNTOS DISJUNTOS ............................................................................................................................ 82 1.13. DIAGRAMAS DE VENN ............................................................................................................................... 82 1.14. DIAGRAMAS DE LINHA .............................................................................................................................. 83 1.15. DESENVOLVIMENTO AXIOMÁTICO DA TEORIA DOS CONJUNTOS ................................................. 83

CAPÍTULO 2 -OPERAÇÕES DE CONJUNTOS ........................................ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.5

2.2. UNIÃO DE CONJUNTOS .......................................................................... ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO. 2.3. INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS .................................................................................................................... 8 2.4. DIFERENÇA DE CONJUNTOS ....................................................................................................................... 8 2.5. COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO ....................................................................................................... 8 2.6. OPERAÇÕES EM CONJUNTOS COMPARÁVEIS ........................................................................................ 8

CAPÍTULO 3 -RELAÇÕES E FUNÇÕES ...................................................ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.5


CAPÍTULO 4 -FUNÇÃO LINEAR ...............................................................ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.5


CAPÍTULO 5 -FUNÇÃO QUADRÁTICA....................................................ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.5


CAPÍTULO 6 -FUNÇÃO MODULAR ..........................................................ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.5

2.2. UNIÃO DE CONJUNTOS .......................................................................... ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO. 2.3. INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS .................................................................................................................... 8

Matemática I


2.4. DIFERENÇA DE CONJUNTOS ....................................................................................................................... 8 2.5. COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO ....................................................................................................... 8 2.6. OPERAÇÕES EM CONJUNTOS COMPARÁVEIS ........................................................................................ 8

CAPÍTULO 7 -FUNÇÃO EXPONENCIAL..................................................ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.5


CAPÍTULO 8 -FUNÇÃO LOGARTIMICA .................................................ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.5


CAPÍTULO 9 -PROGRESSÕES ...................................................................ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.5


GABARITOS .....................................................................................................ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.

REFERÊNCIAS .................................................................................................ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.

ANEXOS.............................................................................................................ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.

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1. CONJUNTOS E SUBCONJUNTOS

Prezado aluno,

Começaremos nossa primeira aula estudando a fundamental teoria dos conjuntos primeiramente concebida pelo matemático do século XIX Georg Cantor, estudo que tratava da teoria das Séries Trigonométricas. Seu trabalho inicialmente não foi aceito pela comunidade acadêmica mais influenciou profundamente matemáticos e estudiososdo século XX. Em geral, esta disciplina gera pré-requisitos, ou seja, a compreensão dos conceitos estudados em umaaula é a base para o entendimento das aulas posteriores.

Bom estudo!

1.1. Notação

Em geral representamos conjuntos listando seus elementos entre chaves e o denominando por uma letra maiúscula, como no exemplo abaixo:

A = {a,b,c,d,e,f}

Observe que seus elementos são separados por vírgula e em geral representados por letras minúsculas.

Quando o conjunto possui um número muito grande de elementos podemos simplificar sua notação utilizando reticências ... , dando o sentido de continuação. Veja sua utilização no exemplo abaixo:

B = {1,5,9,13,...,21,25,29}

Esta forma de notação de conjunto é chamada de forma tabular, que como vimos exibe os elementos do conjunto. Mas podemos representar um conjunto pela propriedade que seus elementos possuem em comum, evitando desta maneira escrever por extenso os elementos do conjunto. Veja o exemplo:

C={x/x é consoante} que é equivalente a dizer C={a,e,i,o,u}

Quando um conjunto possui elementos repetidos, não é necessário representá-los mais de uma vez. Para ilustrar no exemplo abaixo, vamos representar o conjunto das letras da palavra CONTATO

D={c,o,n,t,a}

George Cantor

(1845-1918)

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Como vimos podemos representar um conjunto por uma propriedade, mas podemos destacar uma propriedade que não caracteriza um conjunto. Um paradoxo que caracteriza é atribuído ao matemático Bertrand Russel, o famoso paradoxo do Barbeiro. Observe:

Em uma aldeia onde, todos os dias, um barbeiro faz a barba de todos os homens que não barbeiam a si próprios e a mais ninguém. Quem barbeia o barbeiro?

Concluímos que, se o barbeiro se barbear, então ele não barbeia a si próprio, e se ele se não se barbear, então ele se barbeia.

Perceba que o paradoxo é equivalente a proposição de que existe o conjunto que contém todos os conjuntos.

Relação de Pertinência

A relação entre elemento e conjunto é conhecida como relação de pertinência que simbolizamos por ∈ “pertence” e ∉ “não pertence”. Por exemplo

Maçã ∈ {Laranja, Melão, Maçã, Uva}

Carro ∉{Cafeteira, Liquidificador, Batedeira, Forno de microondas}

1.2. Conjuntos Finitos e Infinitos

Os conjuntos finitos possuem um número definido de elementos, ou seja, sua contagem chega a um final, o oposto o classificamos como conjunto infinito

O conjunto A é um conjunto infinito

A={2,6,10,14,18,...}

O conjunto B é um conjunto finito

B={x/x é uma rua do Brasil}

Bertrand Russel

(1845-1918)

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Perceba que embora o conjunto B seja difícil de ser enumerado, mesmo assim, é um conjunto finito.

1.3. Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos são iguais se e somente se possuem os mesmos elementos, não necessariamente na mesma ordem, observe os exemplos:

Seja A={φ , β ,γ ,ϑ , ρ ,ϖ }, B={ϖ ,γ ,τ ,ξ , µ } e

C={ ρ ,ϑ , β ,φ ,γ ,ϖ }, logo

A = C “A é igual a C”

A ≠ B “A é diferente de B”

Ou seja, cada elemento que pertence a A, pertence também a B, e cada elemento que pertence a B pertence também a A.

1.4. Conjunto Nulo

O conjunto nulo é também chamado de conjunto vazio, utilizamos o símbolo ∅ ou { } para simbolizá-lo. O Conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum elemento. Os conjuntos abaixo são exemplos de conjuntos nulos.

A={x/x é professor da Licenciatura em Informática com mais de 150 anos}

B={x/x é um número natural menor que 30 e maior que 50}

Cuidado!

Vários alunos utilizam de forma errônea o símbolo {∅} para simbolizar conjunto vazio, sendo que o significado do que está escrito não passa de um simples conjunto unitário.

1.5. Subconjuntos

As relações de inclusão auxiliam muito na introdução do conceito de subconjunto, pois a utilizamos para relações entre conjuntos ou entre subconjuntos e conjuntos. Os símbolos são

⊂ lê-se “está contido”

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⊄ lê-se “não está contido”

⊃ lê-se “contém”

⊇ lê-se “não contém”

Seja A = {1,2,3}

Então {1,2} ⊂ A ou A ⊃ {1,2}

Utilizando a notação acima se B é subconjunto de C então podemos registrar B ⊂ C, sendo que todo elemento do conjunto B seja também elemento do conjunto C. Logo diremos que B ⊄ C se B possuir algum elemento que não pertence ao conjunto C.

1.6. Subconjunto Próprio

Como cada conjunto A é um subconjunto de si mesmo, denominamos B de subconjunto próprio de A. Se primeiramente B for subconjunto de A e, segundo, não é igual a A. Concluindo

B ⊂ A e B ≠ A

Alguns autores utilizam uma notação diferenciada

B ⊆ A para “B é subconjunto de A”

B ⊂ A para “B é subconjunto próprio de A”

1.7. Comparabilidade

Dizemos que dois conjuntos são comparáveis quando pelo menos um está contido no outro, ou seja, A ⊂ B ou B ⊂ A.

1.8. Demonstração

A demonstração em Matemática tem sido abandonada das aulas de ensino fundamental e médio e praticamente extinta de grande parte dos livros didáticos, este hábito descaracteriza como a Matemática torna verdadeira suas afirmações, assim desestimulando o aluno ao seu aprendizado, encontrando os conceitos resumidos a fórmulas prontas, dando ao aluno a sensação de impotência, de ser capaz de entender como aquelas idéias foram concebidas. O rigor das demonstrações matemáticas é a que distingue de outras ciências. Pense nisso, pois você amanhã será um professor; estamos num curso de licenciatura, e não devemos retirar de nossas aulas experiências que levem a formação de alunos críticos.

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Teorema sobre conjuntos:

Se A é um subconjunto de B, e se B é um subconjunto de C, logo A é um subconjunto de C, ou seja,

A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C

1.9. Conjuntos de Conjuntos

A expressão conjuntos de conjuntos, utilizada para representar conjuntos exclusivamente formadas por conjuntos é freqüentemente substituída por família de conjuntos ou classe de conjuntos.

Simbolizamos famílias de conjuntos geralmente por letras manuscritas como

A,B,...

Um caso muito raro na teoria de conjuntos são conjuntos formados de membros que são conjuntos e outros que não são conjuntos. Veja o exemplo

A = {7,{1,2,8},{5,9},12}

Observe que o conjunto A não é uma família de conjuntos, pois alguns de seus membros são conjuntos e outros não.

1.10. Conjunto Universal

A concepção do conjunto Universo, foi realizada pelo brilhante matemático Augustus De Morgan (1806-1871). O conjunto universo é o conjunto de todos os elementos de interesse para o problema que estamos tratando.

1.11. Conjunto de Potência

É possível quantificarmos quantos subconjuntos possui um conjunto sem ser necessário exibi-los um a um. O família de todos os subconjuntos de um conjunto A é denominada, conjunto de potência de A, ou, conjunto das

partes do conjunto A.

Por exemplo, seja A = {1,2,3}

Então 2A = {{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},∅}}.

Algumas observações são importantes de serem realizadas:

Augustus D. Morgan

(1806-1871)

Matemática I


- O conjunto vazio é subconjunto do conjunto A, como é subconjunto de qualquer conjunto;

- O conjunto A é subconjunto dele mesmo;

- Se utilizarmos a expressão 2n, sendo n o número de elementos do conjunto inicial A, teremos o número de subconjuntos de A;

A possui 3 elementos, logo, 23 = 8, que é o número de subconjuntos do conjunto A.

1.12. Conjuntos Disjuntos

Alguns conjuntos não possuem nenhum elemento em comum estes conjuntos são denominados conjuntos disjuntos.

A = {r,w,t,v} e B = {ϕ,λ,θ}, são conjuntos disjuntos, pois não conseguimos encontrar nenhum elemento que pertença ao conjunto A e também ao conjunto B.

Diferente do exemplo abaixo:

C = {k,l,x,τ} e D = {a,f,h,τ}, note que τ ∈ C e τ ∈D, logo C e D, não são conjuntos disjuntos.

1.13. Diagrama de Venn

O matemático inglês John Venn (1834-1923), criou uma representação visual para os conjuntos, onde delimitamos os conjuntos por áreas no plano onde se facilita muito o trabalho de se relacionar conjuntos.

O conjunto A = {1,4,7,10} é representado abaixo pelo diagrama de Venn

A

John Venn

(1834-1923)

.1 .4 .7

.10

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A relação de inclusão C ⊂ D é representada também pelo diagrama de Venn abaixo

1.14. Desenvolvimento Axiomático da Teoria dos Conjuntos

Para iniciarmos um desenvolvimento axiomático em qualquer área da Matemática, necessitamos de termos indefinidos e relações indefinidas, em que se encaixa a teoria dos conjuntos, pois elemento e conjunto são termos indefinidos e “elemento pertence a um conjunto” é uma relação indefinida.

Logo:

Axioma da Extensão:

Dois conjuntos A e B são iguais se cada elemento de pertence também a B e cada elemento em B pertence a A.

Axioma de Especificação:

Seja P(x) uma proposição qualquer e seja A um conjunto qualquer. Existe assim um conjunto

B = {a/a ∈A, P(a) é verdadeiro}

Observe que P(x) é uma sentença variável para a qual P(a) é verdadeiro ou falso para qualquer a ∈ A.

Axioma da Extensão:

Dois conjuntos A e B são iguais se cada elemento de pertence também a B e cada elemento em B pertence a A.

Axioma de Especificação:

Seja P(x) uma proposição qualquer e seja A um conjunto qualquer. Existe assim um conjunto

D C

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B = {a/a ∈A, P(a) é verdadeiro}

Observe que P(x) é uma sentença variável para a qual P(a) é verdadeiro ou falso para qualquer a ∈ A.

1.15. Operações com Conjuntos

1.15.1. União de Conjuntos

Simbolizamos a união de dois conjuntos por A∪B, conjunto este formado pelos elementos pertencentes a A ou pertencentes a B. Veja o exemplo:

Sendo A = {1,2,3,5,6} e B = {5,6,7,8,9}, temos:

BA ∪ = {1,2,3,5,6,7,8,9}

Observe que não devemos simbolizar mais de uma vez na união os elementos comuns aos dois conjuntos.

A união de conjuntos é comutativa pois ABBA ∪=∪

{ }BxouAxxBA ∈∈=∪ /

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1.15.2. Interseção de Conjuntos

Entendemos como interseção de conjuntos a operação que identifica quais elementos são comuns entre os conjuntos. Veja o exemplo:

Sendo A = {1,2,3,5,6} e B = {5,6,7,8,9}, temos:

BA∩ = {5,6}

Como é obvio de se observar a interseção de conjuntos é uma operação comutativa, pois BABA ∩=∩

1.15.3. Diferença de Conjuntos

Um grande erro ao executar essa operação é entendê-la com o objetivo de simplesmente mostrar o que é diferente aos dois conjuntos, sendo que a correta leitura é identificar o que é exclusivo do primeiro conjunto. Veja o exemplo:

Sendo A = {1,2,3,5,6} e B = {5,6,7,8,9}, temos:

A-B = {1,2,3}, ou seja, os elementos que são exclusivos do conjunto A;

B-A = {7,8,9}, ou seja, os elementos que são exclusivos do conjunto B.

Observe que a diferença de conjuntos não é comutativa pois ABBA −≠− .

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1.15.4. Complementar de um Conjunto

Dado o universo U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e o conjunto A = {1,3,5,7}, dizemos que o complementar de A em relação a U é {0,2,4,6,8,9}, ou seja, é o conjunto formado pelos elementos de U que não pertencem a A.

Cuidado!

O complementar de um conjunto só tem sentido quando fixamos um conjunto universo U.

De um modo geral, dado um conjunto A de um certo universo U, chama-se complementar de A em relação a U o conjunto formado pelos elementos de

U que não pertencem a A; indica-se AUC ou cA ou A .

Logo, { }AxeUxxAc ∉∈= /

Propriedades

- ( ) AAcc = para todo UA ⊂ (o complementar do complementar de um conjunto A é o

próprio conjunto A).

- Se BA ⊂ , então cc AB ⊂ (se um conjunto está contido em outro, seu complementar contém o complementar desse outro). Escrevendo de outra forma:

cc ABBA ⊂⇒⊂

1.15.5. Relação entre União e Interseção de Conjuntos

( ) ( ) ( ) ( )BAnBnAnBAn ∩−+=∪

Exemplo:

Numa pesquisa de opinião pública sobre dois jornais A e B, obtemos o seguinte resultado:

- 70% dos entrevistados lêem o jornal A;

- 60% dos entrevistados lêem o jornal B.

Qual o percentual de entrevistados lê os dois jornais, sendo que todos entrevistados lêem pelo menos um dos jornais A e B?

Matemática I


( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) %30

%100%130

%60%70%100

=∩

−=∩

∩−+=

∩−+=∪

BAn

BAn

BAn

BAnBnAnBAn

1.15.6. Produto Cartesiano

Dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é

elemento de B, ou seja ( ){ }ByouAxyxAXB ∈∈= /,

Exemplo

Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e será dado por:

AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2) ,(d,3)}

1.16. Conjuntos Numéricos

Neste tópico, estudaremos os conjuntos em que seus elementos são números. Por isso, denominamos conjuntos numéricos. Perceba que em cada um deles, os elementos têm características em comum. Farão parte deste breve estudo os conjuntos dos números naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por último o conjunto dos números reais.

1.16.1. Conjunto dos Números Naturais

“Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.”

(Leopold Kronecker)

Giuseppe Peano

(1858-1932)

Leopold Kronecker

(1823-1891)

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As afirmações abaixo são conhecidas como axiomas de Peano. Tudo o que se sabe sobre os números naturais pode ser demonstrado como conseqüência desses axiomas.

Propriedades:

- Todo número natural tem um único sucessor;

- Números naturais diferentes têm sucessores diferentes;

- Existe um único número natural, chamado um e representado pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro;

- Seja X um conjunto de números naturais (isto é, NX ⊂ ). Se X∈1 e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X ainda pertence a X, então X = N.

1.16.2. Conjunto dos Números Inteiros

O conjunto dos números inteiros é representado por:

Z = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

Destacamos os seguintes subconjuntos de Z:

- N, pois ZN ⊂ .

- { }0* −= ZZ ou

*Z = {...,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,..}

Observe que o símbolo (*), exclui o número “0” (zero).

Curiosidade!

O símbolo dos inteiros Z é a primeira letra da palavra ZAHI, que em alemão significa número.

Matemática I


1.16.3. Conjunto dos Números Racionais

Ao incluirmos as frações não aparentes positivas e negativas ao conjunto dos inteiros, obtemos o conjunto dos números racionais que simbolizamos por Q. Veja então exemplos de números racionais:

.,4

3,

2

1,0,

2

1,2,

4

3,5 etc−−−−

Lembre-se que todo racional pode ser escrito na forma b

a, com

0, ≠∈∈ beZbZa

Curiosidade!

O símbolo dos racionais Q tem origem da palavra quociente.

Existem três formas de decimais que são gerados de frações, que temos o hábito de chamá-las frações geratrizes, são eles os decimais exatos, dízimas periódicas simples, dízimas periódicas compostas.

Vamos, agora, ver como podemos transformar decimais em suas respectivas frações geratrizes:

Decimais Exatos

Para extrair a fração geratriz de um decimal exato, basta eliminarmos a vírgula e dividimos o número encontrado por uma potência de 10, com o número de zeros equivalente a quantidade de casas decimais do decimal original. Veja:

2

25

10

1255,12 ==

Dízima Periódica Simples

Para extrair a fração geratriz de uma dízima periódica simples, devemos dividir os números após a vírgula por um número formado unicamente pelo algarismo “9”, na quantidade de algarismos que se repetem na dízima original. Veja:

11

4

99

36...363636,0

9

7...7777,0

==

=

Vamos agora mostrar um exemplo onde a dízima periódica simples possui valores diferentes de zero a esquerda da vírgula (números inteiros). Neste caso, devemos utilizar o velho conceito de número misto. Veja:

Matemática I


9

31

9

43...4444,3 ==

Para sairmos de um número misto acima foi feita a operação (3 X 9 + 4 = 31) e repetimos o denominador.

99

409

99

134...131313,4 ==

Dízima Periódica Composta

O que diferencia uma dízima periódica simples, de uma dízima periódica composta é o fato de a dízima composta possuir após a vírgula parte não periódica e periódica, diferente da simples, que após a vírgula possui apenas parte periódica.

Veja que “13” representa a parte não-periódica e “26” a parte periódica.

...13262626,0

Aprenderemos como encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica composta .

Devemos escrever no numerador o número representado até o início da primeira repetição e após devemos subtrair a parte não periódica após a vírgula, no denominador devemos escrever um algarismo “9” para cada algarismo que se repita na dízima, e um algarismo “0” para cada algarismo que não se repita após a vírgula. Veja a extração da fração geratriz da dízima acima:

9900

1313

9900

131326...13262626,0 =

−=

Se existir um número inteiro à esquerda, devemos proceder da mesma forma que aprendemos na dízima periódica simples, ou seja, utilizando número misto.

990

4309

990

3494

990

33524...3525252,4 ==

−=

Matemática I


Atenção!

Uma outra notação correta para dízima periódica é escrevermos um traço sobre a parte periódica da dízima.

794,23...47979,23 = (Dízima Periódica Composta)

47,2...474747,2 = (Dízima Periódica Simples)

1.16.4. Conjunto dos Números Irracionais

Você viu no tópico anterior que existem três tipos de decimais que pertencentes ao conjunto dos racionais, pois podem ser escritos na forma de uma fração. Mas os decimais infinitos e não-periódicos não podem ser escritos na forma de uma fração; estes são conhecidos como irracionais.

Veja o exemplo:

...7320508,13

...4142135,12

=

=

Existem dois números irracionais muito conhecidos no meio científico. Em função disso, receberam nomes e simbologias diferenciadas:

O Número Pi

...1415926535,3=π

O Número de Euler

...718,2=e

1.16.5. Conjunto dos Números Reais

O conjunto dos números reais é obtido da união do conjunto dos números racionais e irracionais, ou seja, IQR ∪= .

Os números racionais não são suficientes para esgotar todos os pontos da

reta real. Números como 5 não era alcançado com os números racionais, mas agora temos uma relação biunívoca, ou seja, todo ponto da reta é representado por um único número real, assim como, cada número real representa um único ponto da reta.

Leonhard Euler

(1707-1783)

Matemática I


Cuidado!

É comum escutarmos nos meios de comunicação, principalmente na televisão, pessoas utilizando a palavra incomensurável em frases do tipo:

“Existia um número incomensurável de pessoas no protesto.”

Deviríamos dizer incontável, ficando assim:

“Existia um número incontável de pessoas no protesto”

Pode aparentar ser a mesma coisa, mas em Matemática incomensurável é uma relação entre duas grandezas de mesma espécie, ou seja, nada será incomensurável se não comparado com outro objeto (grandeza) de sua mesma espécie.

O diagrama abaixo relaciona os conjuntos numéricos que estudamos até este momento:

Todos os números naturais, inteiros, racionais e irracionais, são números reais.

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Atividades

1. Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados: A - 48% A e B - 18% B - 45% B e C - 25% C - 50% A e C - 15% nenhuma das 3 - 5% a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas A, B e C? b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma das três marcas? 2. (Universidade Federal do Paraná - 97) Foi realizada uma pesquisa para avaliar o consumo de três produtos designados por A, B, C. Todas as pessoas consultadas responderam à pesquisa e os resultados estão indicados no quadro a seguir:

Observação: O consumidor de dois produtos está incluído também como consumidor de cada um destes dois produtos. Com base nestes dados, calcule o número total de pessoas consultadas. 3. Sendo A = {2, 3, 4, 5, 9}, B = {2, 3, 7, 8, 10} e C = {2, 3, 4}, faça o diagrama das reuniões a seguir, hachurando as regiões correspondentes a) A » B b) A » C

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4. Complete com os símbolos: Æ, È, Å, Ä, ¿ ou não está contido as sentenças a seguir, de forma a torná-las todas verdadeiras: a) 5 _____ { 2, 3, 4, 5, 6, 7} b) {7, 9} _____ {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} c) ¹ _____ 8 d) {5, 7} _____ {5} e) 7 È {5, 6, _____, 8, 9} 5. Se um conjunto Z tem apenas 32 subconjuntos, quantos elementos tem esse conjunto Z? 6. Monte um conjunto A e um conjunto B, sabendo-se que A tem apenas 2 elementos, que B tem pelo menos 3 elementos e que A » B Å H, sendo H = {1, 3, 4, 8, 16, 24, 40} 7. Se A, B e C são três conjuntos onde n(A) = 25, n(B) = 18, n(C) = 27, n(A º B) = 9, n(B º C) = 10, n(A º C) = 6 e n(A º B º C) = 4, (sendo n(X) o número de elementos do conjunto X), determine o valor de n ((A » B) º C). 8. Em uma turma de 60 alunos, 21 praticam natação e futebol, 39 praticam natação e 33 praticam futebol. a) Qual a porcentagem de alunos que praticam um, e somente um, desses esportes? b) Qual a porcentagem de alunos que não praticam nenhum desses esportes? 9. Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 150 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos B ou C. Sabendo que 95 dessas pessoas não usam o produto C e 25 não usam o produto B, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos B e C? 10. Um trem viajava com 242 passageiros, dos quais: - 96 eram brasileiros, - 64 eram homens, - 47 eram fumantes, - 51 eram homens brasileiros, - 25 eram homens fumantes, - 36 eram brasileiros fumantes, - 20 eram homens brasileiros fumantes. Calcule: a) o número de mulheres brasileiras não fumantes; b) o número de homens fumantes não brasileiros; c) o número de mulheres não brasileiras, não fumantes.

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11. Considere um grupo de 50 pessoas que foram identificadas em relação a duas categorias: quanto à cor dos cabelos, louras ou morenas; quanto à cor dos olhos, azuis ou castanhos. De acordo com essa identificação, sabe-se que 14 pessoas no grupo são louras com olhos azuis, que 31 pessoas são morenas e que 18 têm olhos castanhos. Calcule, no grupo, o número de pessoas morenas com olhos castanhos. 12. Em uma escola, foi feita uma pesquisa entre 320 alunos para verificar quantos falam inglês ou espanhol. O resultado foi o seguinte: - 45 não falam esses idiomas - 250 falam inglês - 180 falam espanhol Quantos dos alunos entrevistados falam esses dois idiomas? 13. As marcas de cerveja mais consumidas em um bar, num certo dia, foram A, B e S. Os garçons constataram que o consumo se deu de acordo com a tabela a seguir:

a) Quantos beberam cerveja no bar, nesse dia? b) Dentre os consumidores de A, B e S, quantos beberam apenas duas dessas marcas? c) Quantos não consumiram a cerveja S? d) Quantos não consumiram a marca B nem a marca S? 14. Dos 135 funcionários de uma empresa localizada em Niterói, 2/3 moram na cidade do Rio de Janeiro. Dos funcionários que moram na cidade do Rio de Janeiro, 3/5 usam ônibus até a estação das barcas e, em seguida, pegam uma barca para chegar ao trabalho. Sabe-se que 24 funcionários da empresa usam exclusivamente seus próprios

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automóveis para chegar ao trabalho, sendo que 1/3 destes não mora na cidade do Rio de Janeiro. Os demais funcionários da empresa usam somente ônibus para chegar ao trabalho. Determine: a) o número de funcionários da empresa que usam somente ônibus para chegar ao trabalho; b) o número de funcionários da empresa que usam somente ônibus para chegar ao trabalho e que não moram na cidade do Rio de Janeiro. 15. Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidores sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados da pesquisa indicaram que: - 310 pessoas compram o produto A; - 220 pessoas compram o produto B; - 110 pessoas compram os produtos A e B; - 510 pessoas não compram nenhum dos dois produtos. Indique o número de consumidores entrevistados, dividido por 10. 16. Uma amostra de 100 caixas de pílulas anticoncepcionais fabricadas pela Nascebem S.A. foi enviada para a fiscalização sanitária. No teste de qualidade, 60 foram aprovadas e 40 reprovadas, por conterem pílulas de farinha. No teste de quantidade, 74 foram aprovadas e 26 reprovadas, por conterem um número menor de pílulas que o especificado. O resultado dos dois testes mostrou que 14 caixas foram reprovadas em ambos os testes. Quantas caixas foram aprovadas em ambos os testes? 17. Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades de esporte: natação, tênis e futebol. Nenhum associado pôde se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por problemas administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerradas as inscrições, verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as aulas de tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o número de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o número de inscritos só para as de tênis. Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas de futebol e natação? 18. Os 87 alunos do 3¡. ano do ensino médio de uma certa escola prestaram vestibular para três universidades: A, B e C. Todos os alunos dessa escola foram aprovados em pelo menos uma das

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universidades, mas somente um terço do total obteve aprovação em todas elas. As provas da universidade A foram mais difíceis e todos os alunos aprovados nesta foram também aprovados em pelo menos uma das outras duas. Os totais de alunos aprovados nas universidades A e B foram, respectivamente, 51 e 65. Sabe-se que, dos alunos aprovados em B, 50 foram também aprovados em C. Sabe-se também que o número de aprovados em A e em B é igual ao de aprovados em A e em C. Quantos alunos foram aprovados em apenas um dos três vestibulares prestados? Justifique. 19. Uma pesquisa sobre os grupos sangüíneos ABO, na qual foram testadas 6000 pessoas de uma mesma raça, revelou que 2527 têm o antígeno A, 2234 o antígeno B e 1846 não têm nenhum antígeno. Nessas condições, qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, escolhida aleatoriamente, tenha os dois antígenos? 20. Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar o Museu de Ciência e o Museu de História da cidade. Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos um desses museus. 20% dos que foram ao de Ciência visitaram o de História e 25% dos que foram ao de História visitaram também o de Ciência. Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus. 21. Dados os subconjuntos de IR calcule: (faça o gráfico) A = {x Æ IR / -2 ´ x < 3}; B = {x Æ IR / 1 ´ x < 4}; C = {x Æ IR / x < 0} a) A » B b) A º B c) (A º C) º B 22. Complete as sentenças a seguir com os símbolos referentes às funções contém, não contém, contido, não contido de forma a tornar todas elas verdadeiras:

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23. Classifique em V ou F:

24. Usando Æ ou È complete:

25. Obtenha as geratrizes das seguintes dízimas periódicas. Use o dispositivo prático. a) -2,0313131.... b) 5,121212.... 26. Complete com os símbolos Å, Ä, Æ, È de modo a tornar verdadeira cada uma das sentenças a seguir:

27. Complete as sentenças a seguir com os símbolos apropriados (pertinência, não pertinência, continência, não continência, contido e não contido), para torná-las todas verdadeiras.

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28. Escreva na forma de fração m/n a soma 0, 2222... + 0, 23333.... 29. Sabe-se que o número A = 2Ñ . 3Ò . 5ö . 31 é o mínimo múltiplo comum dos números 2480 e 1500. Determine a soma x + y + b + t. 30. Se 1/[(1/3) + (1/4)] = p/q, onde p e q são números inteiros positivos relativamente primos, determine p+q. 31. Seja A/B, com A e B inteiros primos entre si, a fração geratriz da dízima periódica 4,373737.... Indique a soma dos algarismos de A.

[1]LIPSCHUTZ, S. Teoria dos Conjuntos. Ed McGraw-Hil do Brasil, Ltda, 5. Ed, 1973.

[2] FRANCO DE SOUZA, A.J. Teoria de Conjuntos Intuitiva e Axiomática. . Ed. Livraria Escolar.

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2. RELAÇÕES E FUNÇÕES

As necessidades do homem, com os mais variados propósitos, fizeram dele, através dos tempos, um estudioso dos problemas naturais, bem como de suas causas e efeitos.

Essa busca nos fez perceber que tudo e todos estão relacionados de tal forma que nenhum efeito tem origem numa única causa.

Para perceber essa relação vamos usar como exemplo uma flor, que aos olhos de um admirador representa a beleza, o amor e a paz e aos olhos de um sensível observador, a imagem de nosso mundo, cofatores individuais, físicos, econômicos, humanos e sociais.

Na linguagem do dia-a-dia é comum ouvirmos frases como: “Uma coisa depende da outra” ou “Uma está em função da outra”. Não é raro também abrirmos revistas ou jornais e encontrarmos gráficos, sobre os mais variados assuntos, mostrando a dependência entre os fatores em estudo.

A ideia de um fator variar em função de outro e de se representar essa variação por meio de gráficos, de certa forma, já se tornou familiar em nossos dias. No entanto, essa forma de representação não foi sempre assim. O conceito de função sofreu várias interpretações até chegar ao modernamente utilizado.

No século XVIII, Leibniz considerou como função as quantidades geométricas variáveis, relacionadas com uma curva.

Bernoulli chamou de funções as expressões analíticas que envolvem apenas uma quantidade variável.

Posteriormente, Euler enfatizou menos a representação analítica e deixou antever como conceito de função toda variável que dependa da outra, ou seja, se a segunda variar a primeira também irá variar.

Já no século XIX, matemáticos como Dirichlet e Lagrange deram novas contribuições para os estudos das funções.

No capítulo anterior, estudamos as possíveis relações que podem se estabelecer entre os elementos que formam um conjunto. Mas como se estabelece uma relação entre os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto? A resposta a essa pergunta é dada pelo estudo das relações entre eles. Entretanto, como elas têm uma definição muito ampla, se quisermos uma informação mais precisa sobre as relações que se estabelecem,teremos de impor certas condições. As relações que se ajustarem aos critérios restritivos são as funções.

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2.1. Relações Reais

Sejam A e B dois conjuntos. Uma relação R de A em B é um subconjunto qualquer de A x B.

Exemplo:

Sejam os conjuntos { }5,4,3,2,1=A e { }11,9,7,5,3=B . Que estão

relacionados de acordo com a lei { }12/ +=∈= xyAxR

Observe como ficou a relação BAR →: entre os conjuntos A e B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }11,5;9,4;7,3;5,2;3,1=R

b) Representação de uma relação

Podemos representar uma relação ou por um diagrama de setas ou no plano cartesiano.

Veja o exemplo de uma representação de relação no plano cartesiano:

O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o contradomínio da relação, denotado por CoDom(R).

Dom(R) = { x∈ A: existe y em B tal que (x,y) ∈ R} Im(R)={y∈ B: existe x∈ A tal que (x,y) ∈ R}

R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}

Veja agora exemplos de relações representados por diagramas de setas:

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R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}

R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}

Dados os conjuntos A = {-1,0,1,2,3} e B={1,0,4,5} e a relação R={ (x,y) ∈ A x B /y = x2}

R={(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)}, cuja representação pode ser por diagramas ou no plano cartesiano.

2.2. Funções

a) Definição

Dados dois conjuntos, A e B, não-vazios, dizemos que a relação f de A em B é uma função se, e somente se, para qualquer x pertencente ao conjunto A existe, em correspondência, um único y pertencente a B tal que o par ordenado (x,y) pertença a f. Vamos mostrar agora situações de relações que não consistem em funções

Dados os conjuntos A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação

R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) }

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não é uma função em A x B, pois associados ao mesmo valor “a” existem dois valores distintos que são 1 e 3.

Dados os conjuntos A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação

R5 = {(a,1), (a,3), (b,2), (c,3)}

não é uma função em A x B, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A estão associados a elementos do segundo conjunto B.

Uma boa técnica, que pode através dos gráficos identificar se uma relação é ou não uma função, consiste em traçar retas paralelas ao eixo y, se alguma delas tocar o gráfico em mais de um ponto, esta não será uma função. Veja nos exemplos abaixo

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2.3. Qualidade de uma Função

a) Funções Injetoras

Uma função BAf →: é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A sempre possuírem imagens distintas em B, isto é:

21 xx ≠ implica que ( ) ( )21 xfxf ≠

ou, de forma equivalente,

( ) ( )21 xfxf = implica que 21 xx =

Exemplos:

1. A função RRf →: definida por ( ) 23 += xxf é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x).

2. A função RRf →: definida por ( ) 52 += xxf não é injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=-1 temos f(-1)=6.

b) Funções Sobrejetoras

Uma função BAf →: é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que ( )xfy = .

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Exemplos:

i) A função RRf →: definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função.

ii) A função f:R → (0, ∞ ) definida por f(x) = x² é sobrejetora, pois todo elemento pertencente a (0, ∞ ) é imagem de pelo menos um elemento de R pela função.

ii) A função RRf →: definida por f(x)=2x não é sobrejetora, pois o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do domínio.

c) Funções Bijetoras

Uma função BAf →: é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

Exemplo

A função RRf →: dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e sobrejetora.

2.4. Função Par e ímpar

a) Função par

Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OY.

Exemplo

A função f(x)=x² é par, pois f(-x)=x²=f(x). Observe o gráfico de f! Outra função par é g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x).

a) Função ímpar

Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(-x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.

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Exemplo

As funções reais f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) e g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x). Veja o gráfico para observar a simetria em relação à origem.

Atividades

1. Determine A x B e A x A, sendo: A = {1, 2, -4} e B= {2/3 , 8} 2. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio.

3. Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5, 9}, enumere os elementos da seguinte relação: R = {(x, y) Æ A × B | y = x + 1}.

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3. FUNÇÃO POLINOMIAL DO PRIMEIRO GRAU

O papiro de Rhind, uns dos documentos mais antigos e importantes sobre Matemática Egípcia, nos mostra que em 1700 a.C. o homem já trabalhava com problemas que envolviam quantidades desconhecidas. No século III, o matemático grego Diofanti dá a esses problemas um tratamento especial, iniciando a teoria das equações. Só a partir do século XVI, no entanto, com desenvolvimento da notação algébrica, é que a teoria das equações passa a ser um ramo independente da Matemática.

A linguagem algébrica tem sido extremamente importante para ampliação do conhecimento. Quanto mais a dominamos, mais facilmente podemos expressar e resolver problemas científicos ou cotidianos. Estudaremos neste capítulo as equações algébricas. O que as caracteriza, de modo geral, é a presença de uma variável e o sinal de igualdade. O sinal de igual (=) tem o significado amplo em Matemática. Nas equações, é utilizado para expressões que somente são iguais para certos valores (ou para nenhum valor) de suas variáveis. Aqui,as variáveis são chamadas de termos desconhecidos ou incógnitas. Escrever essas igualdades equivale a dar as variáveis a condição de igualarem duas expressões.

Neste capítulo, estudaremos também como modelar a função do primeiro grau que passa por dois pontos, para modelarmos problemas onde as grandezas apresentam uma relação de proporcionalidade.

3.1. Modelo da Função Polinomial do primeiro grau

baxy +=

→y variável dependente

→x variável independente

→a coeficiente angular

→b coeficiente linear

3.2. Significado dos coeficientes

O coeficiente “a” representa a taxa de crescimento da grandeza representada no eixo das ordenadas em relação à grandeza representada do eixo das abscissas, ou seja,

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0

0

xx

yya

−

−=

No gráfico, o coeficiente angular é a tangente do ângulo formada pela reta, com a horizontal

αtga =

Quando a função representa um crescimento, o valor do coeficiente angular é positivo. Observe no gráfico da função ( ) 12 += xxf , onde o coeficiente angular tem valor positivo (a = 2).

Quando a função representa um decrescimento, o valor do coeficiente angular é negativo. Observe no gráfico da função ( ) 12 +−= xxf , onde o coeficiente angular tem valor positivo (a = -2).

Isso faz muito sentido, pois se a função é crescente o ângulo formado pela reta com o horizontal é agudo; logo pertencente ao primeiro quadrante, onde a tangente é positiva. Quando a função é decrescente, o ângulo formado pela

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reta e a horizontal é obtuso; logo, pertencente ao segundo quadrante onde a tangente é negativa.

O coeficiente linear “b” representa a quantidade inicial da grandeza representada no eixo das ordenadas “y”. No gráfico é o ponto onde a reta intercepta o eixo “y”.

3.3. Raízes ou zeros da função Polinomial do primeiro grau

A raiz ou zero da função polinomial do primeiro grau é ponto onde a reta intercepta o eixo das abscissas (eixo x), ou seja, o valor de “x” que quando atribuído à função torna o valor de “y” nulo.

Genericamente temos:

( ) baxxf +=

0=+ bax , logo, a

bx −= .

Concluindo temos 0=

−

a

bf

Veja no gráfico a raiz da função ( ) 3−= xxf , destacada em preto

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3.4. Construção da lei da função do primeiro grau

Vamos apresentar três maneiras de construir a lei da função do primeiro grau.

Na primeira maneira, vamos utilizar o modelo da função do primeiro grau baxy += .

Exemplo: Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(2,3) e B(5,7).

Substituindo no modelo temos

( )( ) ba

ba

+=

+=

57

23

Resolvendo o sistema

=+

=+

75

32

ba

ba

Multiplicando a primeira equação por (-1) e depois adicionando as equações, encontramos

34

43

75

32

=

=

=+

−=−−

a

a

ba

ba

Agora, substituindo em qualquer equação do sistema, vamos escolher aleatoriamente a primeira.

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3

13

83

383

42

=

−=

=+

b

b

b

Logo o modelo da função é 3

1

3

4+= xy

Na segunda maneira, vamos usar uma condição da geometria analítica, onde o determinante entre três pontos de uma mesma reta é sempre nulo, conhecido como condição de alinhamento de três pontos.

Os três pontos são A(2,3) ; B(5,7) e C (x,y). Então, temos:

0

175

132

1

=

yx

Aplicando a regra de Sarrus, para extração do determinante de ordem 3 X 3 (três linhas X três colunas) devemos repetir as duas primeiras linhas ou as duas primeiras colunas, multiplicar as diagonais principais (mantendo o sinal), e multiplicar as diagonais secundárias invertendo o sinal. Veja

132

1

0

175

132

1

yx

yx

=

3

1

3

4

143

0143

027155143

+=

+=

=−−

=−−−++

xy

xy

xy

yxyx

Na terceira maneira, vamos utilizar de um modelo conhecido como equação da reta:

( )00 xxayy −=−

Primeiramente, vamos calcular o coeficiente angular como vimos no início da aula

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3

4

25

370

0

=−

−=

−

−=

a

xx

yya

Não se preocupe sobre qual par será ( )00 , yx ou qual será ( )yx, , pois na

verdade isso não faz diferença. Então substituindo o coeficiente angular encontrado em algum dos pontos no modelo, temos:

( )

3

1

3

43

143

984

33

84

23

43

+=

+=

+−=

+−

=

−=−

xy

xy

xy

xy

xy

3.5. Inequação do Primeiro grau

a) Inequação do Primeiro grau com duas variáveis

Primeiro Passo: Substituímos a desigualdade por uma igualdade depois traçamos a reta no plano cartesiano. Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz ou não a desigualdade inicial.

Segundo Passo: Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar.

Terceiro Passo: Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto àquele ao qual pertence o ponto auxiliar.

Exemplo:

Representa graficamente a inequação 42 ≤+ yx

Tabela

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x y (x, y)

0 4 (0, 4)

2 0 (2, 0)

Verificação do ponto Auxiliar:

(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação).

A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0,0).

b) Sistema de Inequações do primeiro grau com duas variáveis

Para resolver um sistema de inequações do 1º grau graficamente, devemos traçar num mesmo plano o gráfico de cada inequação; determinar a região correspondente à intersecção dos dois semiplanos.

Exemplo:

Dado o sistema de inequações

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Traçando as retas -x + y = 4 e 3x + 2y = 6.

Tabela 1

x y (x, y)

0 4 (0, 4)

-4 0 (-4, 0)

Tabela 2

x y (x, y)

0 -1 (0, -1)

1 0 (1, 0)

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Atividades

1. Seja m µ 0 um número real e sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x£ - 2|x| + 1 e g(x) = mx + 2m. a) Esboçar, no plano cartesiano representado a seguir, os gráficos de f e de g quando m = 1/4 e m = 1.

b) Determinar as raízes de f(x) = g(x) quando m = 1/2. c) Determinar, em função de m, o número de raízes da equação f(x) = g(x). 2. Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de R$ 800,00 mais uma comissão de 5% sobre as vendas do mês. Em geral, cada duas horas e meia de trabalho, ele vende o equivalente a R$ 500,00. a) Qual seu salário mensal em função do número x de horas trabalhadas por mês? b) Se ele costuma trabalhar 220 horas por mês, o que é preferível: um aumento de 20% no salário fixo, ou um aumento de 20% (de 5% para 6%) na taxa de comissão? 3. Um gerente de uma loja de bolsas verificou que quando se produziam 500 bolsas por mês, o custo total da empresa era R$ 25.000,00 e quando se produziam 700 bolsas o custo mensal era R$ 33.000,00. a) Admitindo que o gráfico do custo mensal (C) em função do número de bolsas produzidas por mês (x) seja formado por pontos de uma reta, obtenha C em função de x. b) Se a capacidade máxima de produção da empresa for de 800 unidades por mês, obtenha o custo médio de produção de uma bolsa, em função de x e determine o custo médio mínimo.

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4. A receita mensal de vendas de uma empresa (y) relaciona-se com os gastos mensais com propaganda (x) por meio de uma função do 1¡. grau. Quando a empresa gasta R$ 10.000,00 por mês de propaganda, sua receita naquele mês é de R$ 80.000,00; se o gasto mensal com propaganda for o dobro daquele, a receita mensal cresce 50% em relação àquela. a) Qual a receita mensal se o gasto mensal com propaganda for de R$30.000,00? b) Obtenha a expressão de y em função de x. 5. O preço do gás natural para um consumidor residencial na cidade do Rio de Janeiro é obtido a partir das informações:

O consumidor paga pelo que gasta de acordo com quatro níveis de consumo: Os sete primeiros metros cúbicos custam R$ 2,20 cada, os próximos dezesseis já custam mais caro, R$ 2,90 cada. Se o consumo for acima desses 23, mais caro fica (R$ 3,60 por cada metro cúbico)... e ainda existe mais uma faixa! Por exemplo, se o consumo da sua casa for de 25 m¤, você deverá pagar 7 × 2,20 + 16 × 2,90 + 2 × 3,60 = R$ 69,00. a) Quanto pagará uma família cujo consumo for de 85 m¤? b) Escreva uma expressão que dê o valor pago por uma residência cujo consumo mensal, N, está entre 8 e 23 m¤/mês.

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6. O custo de uma corrida de táxi, na cidade do Rio de Janeiro, é calculado da seguinte forma: - R$ 3,70 é a bandeirada (valor inicial independente da distância a ser percorrida) - R$ 0,15 para cada 100 metros percorridos, a partir dos primeiros 500 metros. - O taxímetro só muda o valor a cada 100 metros percorridos. Assim, por exemplo, se a viagem tiver sido de 780 metros, o passageiro pagará 3,70 + (200/100) . (0,15) = R$ 4,00 (o mesmo que numa corrida de 700 metros). a) Quanto custa uma corrida de 9,5 km? b) Considere N um número múltiplo de 100, maior que 500, que indica quantos metros o passageiro percorre. Escreva uma fórmula que expresse o custo de uma corrida de N metros. 7. Em uma fábrica, o custo de produção de 500 unidades de camisetas é de R$ 2.700,00, enquanto o custo para produzir 1.000 unidades é de R$ 3.800,00. Sabendo que o custo das camisetas é dado em função do número produzido através da expressão C(x) = q x + b, em que x é a quantidade produzida e b é o custo fixo, determine: a) Os valores de b e de q. b) O custo de produção de 800 camisetas. 8. Uma loja anunciou a contratação de funcionários e para isso fez a seleção aplicando um teste com 40 questões objetivas. O critério de avaliação foi o seguinte: para cada questão respondida corretamente somavam-se 3,5 pontos e subtraía-se 1,5 ponto para cada questão respondida erradamente ou não respondida. Quantas questões acertou um candidato que fez 95 pontos?

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9. Observe a figura 1 que representa um leitor de áudio na posição de início de leitura. Os suportes circulares A e B têm 1cm de raio e uma fita de 90 m está totalmente enrolada em A formando uma coroa circular de espessura 1,5 cm. A leitura da fita é feita pela peça C a uma velocidade constante. À medida que a fita passa, nos suportes A e B, formam-se duas coroas circulares com raios maiores x e y, respectivamente, como sugere a figura a seguir.

a) Esboce o gráfico que mostra o comprimento da fita enrolada em A, função do tempo de leitura. b) Calcule y em função de x. 10. Para calcular 3/2 - 12/5, Paulo subtraiu os numeradores e dividiu o resultado por 10 obtendo: 3/2 - 12/5 = (3 - 12)/10 = - 0,9 a) Determine de forma correta o valor da expressão 3/2 - 12/5. b) Considerando que Paulo tenha calculado com base na fórmula (x/2)-(y/5)=(x-y)/10, onde x e y são reais, identifique o lugar geométrico dos pontos (x, y) do plano cartesiano que tornam essa igualdade verdadeira. Esboce, também, o gráfico cartesiano.

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11. O gráfico adiante representa, em bilhões de dólares, a queda das reservas internacionais de um determinado país no período de julho de 2000 a abril de 2002.

Admita que, nos dois intervalos do período considerado, a queda de reservas tenha sido linear. Determine o total de reservas desse país, em bilhões de dólares, em maio de 2001. 12. Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao ser exalado, tem temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Através de medições realizadas em um laboratório foi obtida a função TÛ = 8,5 + 0,75 × T½ , 12° ´ T½ ´ 30°, em que TÛ e T½ representam, respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente. Calcule: a) a temperatura do ambiente quando TÛ = 25°C; b) o maior valor que pode ser obtido para TÛ.

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13. No gráfico a seguir, x representa a quantidade de batatas, em quilogramas, vendidas na barraca de seu Custódio, em um dia de feira, e y representa o valor, em reais, arrecadado com essa venda. A partir das 12 horas, o movimento diminui e o preço do quilograma de batatas também diminui.

a) Calcule a redução percentual do preço do quilograma das batatas a partir das 12 horas. b) Se o preço não diminuísse, teria sido arrecadado um valor V na venda de 80 kg. Determine o percentual de V que corresponde à perda causada pela redução do preço. 14. Um fabricante de bonés opera a um custo fixo de R$ 1.200,00 por mês (correspondente a aluguel, seguro e prestações de máquinas). O custo variável por boné é de R$ 2,00. Atualmente são comercializadas 1.000 unidades mensalmente, a um preço unitário de R$ 5,00. Devido à concorrência no mercado, será necessário haver uma redução de 30% no preço unitário de venda. Para manter seu lucro mensal, de quanto deverá ser o aumento na quantidade vendida? 15. O preço de uma certa máquina nova é R$10.000,00. Admitindo-se que ela tenha sido projetada para durar 8 anos e que sofra uma depreciação linear com o tempo, ache a fórmula que dá o preço P(t) da máquina após t anos de funcionamento, 0´t´8, e esboce o gráfico da função P.

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16. A Cerâmica Marajó concede uma gratificação mensal a seus funcionários em função da produtividade de cada um convertida em pontos; a relação entre a gratificação e o número de pontos está representada no gráfico a seguir.

Observando que, entre 30 e 90 pontos, a variação da gratificação é proporcional à variação do número de pontos, determine a gratificação que um funcionário receberá no mês em que obtiver 100 pontos. 17. Um reservatório, contendo inicialmente 400 litros de água, começa a receber água a uma razão constante de 3 litros por segundo, ao mesmo tempo que uma torneira deixa escoar água desse reservatório a uma razão, também constante, de 1 litro por segundo. Considerando o instante inicial (t = 0) como o instante em que o reservatório começou a receber água, determine: a) o volume de água no reservatório decorridos dez segundos (t = 10) a partir do instante inicial; b) uma expressão para o volume (V), em litro, de água no reservatório em função do tempo decorrido (t), em segundo, a partir do instante inicial. 18. Para organizar uma competição esportiva tem-se um custo de R$ 2.000,00. Se a taxa de inscrição por participante para essa competição é de R$ 30,00 determine a quantidade mínima de inscritos nessa competição, para que o valor arrecadado com a taxa de inscrição cubra o custo do evento. 19. Um reservatório de água tem a forma de um cubo de arestas 10 m. Por causa de um vazamento, a cada hora perde-se 5% do volume total do reservatório. a) Se o reservatório estiver completamente cheio no início do vazamento, em quanto tempo ele estará vazio? b) Se o vazamento permanecer por 12 horas, quantos litros de água restarão no reservatório?

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20. Em um sítio destinado à produção de leite, o custo mensal com a mão-de-obra é de R$ 360,00 fixos, mais 10% do total, T, arrecadado com a venda do leite. Os demais custos de produção representam juntos 45% de T. a) Expresse o lucro, obtido em um mês, em função de T. b) Se o litro do leite é vendido por R$ 0,50, qual a quantidade mínima de leite que deve ser produzida ao mês para que o produtor não tenha prejuízo? 21. Duas empresas financeiras, E� e E‚, operam emprestando um capital C, a ser pago numa única parcela após um mês. A empresa E� cobra uma taxa fixa de R$ 60,00 mais 4% de juros sobre o capital emprestado, enquanto a empresa E‚ cobra uma taxa fixa de R$ 150,00 mais juros de 3% sobre o capital emprestado. Dessa forma, a) determine as expressões que representam o valor a ser pago em função do capital emprestado, nas duas empresas, e esboce os respectivos gráficos; b) calcule o valor de C, de modo que o valor a ser pago seja o mesmo, nas duas empresas. 22. Sabendo que os pontos (2, -3) e (-1, 6) pertencem ao gráfico da função f: IR ë IR definida por f(x)=ax+b, determine o valor de b-a. 23. Um vídeo-clube propõe a seus clientes três opções de pagamento: Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado. Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado. Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão. Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano. Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta. 24. Seja f: IR ë IR a função definida por f(x) = 3x - 5. a) Esboce o gráfico da função f no plano cartesiano IR×IR e marque nele os pontos (1,f(1)), (2,f(2)), (3,f(3)) e (4,f(4)). b) Calcule a soma S = f(1) + f(2) +...+ f(199) + f(200).

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25. A academia "Fique em Forma" cobra uma taxa de inscrição de R$ 80,00 e uma mensalidade de R$ 50,00. A academia "Corpo e Saúde" cobra uma taxa de inscrição de R$ 60,00 e uma mensalidade de R$ 55,00. a) Determine as expressões algébricas das funções que representam os gastos acumulados em relação aos meses de aulas, em cada academia. b) Qual academia oferece menor custo para uma pessoa que pretende "malhar" durante um ano? Justifique, explicitando seu raciocínio. 26. Um vendedor comprou n bolsas por d reais cada uma. Ele vendeu 2 bolsas para um bazar escolar beneficente pela metade do preço de custo. O restante ele vendeu para uma loja com um adicional de 8 reais por bolsa. Se após as vendas para o bazar e para a loja o lucro total foi de 72 reais, determine o menor valor possível para n. 27. A distância entre duas cidade, A e B, é de 156 km. De A para B, a extensão das descidas é 0,7 vezes a extensão das subidas. Um ciclista pedala a 25 km/h, nas partes planas da estrada, a 15 km/h, nas subidas, e a 30 km/h, nas descidas. A diferença entre o tempo de ida e o tempo de volta do ciclista é de 48 minutos. Calcule, em quilômetros, a extensão da parte plana do trajeto, desconsiderando a parte fracionária de seu resultado, caso exista. 28. Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, recolhe-se a um SPA onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições: a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após n semanas. b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá com menos de 120 kg de peso. 29. Um operário ganha R$3,00 por hora de trabalho de sua jornada semanal regular de trabalho, que é de 40 horas. Eventuais horas extras são pagas com um acréscimo de 50%. Encontre uma fórmula algébrica para expressar seu salário bruto semanal, S, para as semanas em que trabalhar h horas, com hµ40.

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30. Apresentamos a seguir o gráfico do volume do álcool em função de sua massa, a uma temperatura fixa de 0°C.

Baseado nos dados do gráfico, determine: a) a lei da função apresentada no gráfico; b) qual é a massa (em gramas) de 30 cm¤ de álcool. 31. O gráfico representa uma função f que descreve, aproximadamente, o movimento (em função do tempo t em segundos) por um certo período, de um golfinho que salta e retorna à água, tendo o eixo das abscissas coincidente com a superfície da água.

a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é constituída por segmentos de retas, determine a expressão matemática de f nos instantes anteriores à saída do golfinho da água. Em que instante o golfinho saiu da água? b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte de uma parábola, dada por: f(t) = (- 3/4) t£ + 6t - 9. Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da água e a altura máxima, em metros, atingida no salto.

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32. Seja x o número de anos decorridos a partir de 1960 (x = 0). A função y = f(x) = x + 320 fornece, aproximadamente, a média de concentração de CO‚ na atmosfera em ppm (partes por milhão) em função de x. A média de variação do nível do mar, em cm, em função de x, é dada aproximadamente pela função g(x) = (1/5) x. Seja h a função que fornece a média de variação do nível do mar em função da concentração de CO‚. No diagrama seguinte estão representadas as funções f, g e h.

Determine a expressão de h em função de y e calcule quantos centímetros o nível do mar terá aumentado quando a concentração de CO‚ na atmosfera for de 400 ppm. 33. A Companhia de Abastecimento de Água de uma cidade cobra mensalmente, pela água fornecida a uma residência, de acordo com a seguinte tabela: Pelos primeiros 12 m¤ fornecidos, Cr$ 15,00 por m¤; pelos 8 m¤ seguintes, Cr$ 50,00 por m¤; pelos 10 m¤ seguintes, Cr$ 90,00 por m¤ e, pelo consumo que ultrapassar 30 m¤, Cr$ 100,00 o m¤. Calcule o montante a ser pago por um consumo de 32 m¤. 34. Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públicos considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas. Qual a estimativa do número de pessoas presentes numa praça de 4000m£ que tenha ficado lotada para um comício, segundo essa avaliação? 35. Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a fórmula: C = 5(F - 32)/9 onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus centígrados. a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit. b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus centígrados?

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36. A troposfera, que é a primeira camada da atmosfera, estende-se do nível do mar até a altitude de 40.000 pés; nela, a temperatura diminui 2 °C a cada aumento de 1.000 pés na altitude. Suponha que em um ponto A, situado ao nível do mar, a temperatura seja de 20 °C. Pergunta-se: a) Em que altitude, acima do ponto A, a temperatura é de 0 °C? b) Qual é a temperatura a 35.000 pés acima do mesmo ponto A? 37. Suponha que uma tabela (incompleta) para o cálculo do imposto de renda fosse a seguinte:

OBS. O imposto é calculado aplicando-se à renda a porcentagem correspondente e subtraindo-se desse resultado a parcela a deduzir. a) Calcule os valores dos impostos a serem pagos por dois contribuintes cujas rendas são de R$ 1.000,00 e de R$ 2.000,00. b) Escreva a tabela acima no caderno de respostas, completando-a com a parcela a deduzir para a faixa de R$ 2.000,00 a R$ 3.000,00 e com a alíquota que corresponde à faixa de renda superior a R$ 3.000,00. 38. O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial Q³, fixo, mais um valor que varia proporcionalmente à distância D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos 3,6 km, a quantia cobrada foi de R$ 8,25, e que em outra corrida, de 2,8 km, a quantia cobrada foi de R$ 7,25. a) Calcule o valor inicial Q³. b) Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$ 75,00 em 10 corridas, quantos quilômetros seu carro percorreu naquele dia? 39. Sejam dadas as funções f(x) = px e g(x) = 2x + 5, em que p é um parâmetro real. a) Supondo que p = - 5, determine para quais valores reais de x tem-se f(x) . g(x) < 0. b) Determine para quais valores de p temos g(x) ´ f(x) para todo x Æ [- 8, - 1].

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40.

Responda às questões a seguir, tomando por base os dados fornecidos na tabela e na figura mostradas. a) Calcule a área total do município de Campinas, sabendo que os distritos norte, leste, sul e noroeste da cidade têm, respectivamente, 175 km£, 350 km£, 120 km£ e 75 km£. b) Suponha que, como uma medida de combate à dengue, o município de Campinas tenha decidido fazer uma nebulização (ou pulverização) de inseticida. Na fase inicial da nebulização, será atendido o distrito com maior número de casos de dengue por km£. Reproduza o diagrama acima. Em seu diagrama, marque os pontos correspondentes aos cinco distritos de Campinas. Identifique claramente o distrito associado a cada ponto. Com base no gráfico obtido, indique o distrito em que será feita essa nebulização inicial. Justifique sua resposta. 41. Duas locadoras de automóveis oferecem planos diferentes para a diária de um veículo econômico. A locadora Saturno cobra uma taxa fixa de R$ 30,00, além de R$ 0,40 por quilômetro rodado. Já a locadora Mercúrio tem um plano mais elaborado: ela cobra uma taxa fixa de R$ 90,00 com uma franquia de 200 km, ou seja, o cliente pode percorrer 200 km sem custos adicionais. Entretanto, para cada km rodado além dos 200 km incluídos na franquia, o cliente deve pagar R$ 0,60. a) Para cada locadora, represente no gráfico a função que descreve o custo diário de locação em termos da distância percorrida no dia. b) Determine para quais intervalos cada locadora tem o plano mais barato. Supondo que a locadora Saturno vá manter inalterada a sua taxa fixa, indique qual deve ser seu novo custo por km rodado para que ela, lucrando

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o máximo possível, tenha o plano mais vantajoso para clientes que rodam quaisquer distâncias. 42. Na década de 1960, com a redução do número de baleias de grande porte, como a baleia azul, as baleias minke antárticas passaram a ser o alvo preferencial dos navios baleeiros que navegavam no hemisfério sul. O gráfico mostra o número acumulado aproximado de baleias minke antárticas capturadas por barcos japoneses, soviéticos / russos e brasileiros, entre o final de 1965 e o final de 2005.

a) No gráfico acima, trace a curva que fornece o número aproximado de baleias caçadas anualmente por barcos soviéticos / russos entre o final de 1965 e o final de 2005. Indique também os valores numéricos associados às letras A e B apresentadas no gráfico, para que seja possível identificar a escala adotada para o eixo vertical. b) Calcule o número aproximado de baleias caçadas pelo grupo de países indicado no gráfico entre o final de 1965 e o final de 1990. 43. Sejam f e g funções tais que f(x) = 5x + 2 e g(x) = -6x + 7. Determine a lei que define a função afim h, sabendo que h(-5) = 1 e que o gráfico de h passa pelo ponto de intersecção dos gráficos de f com g.

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44. Como resultado de uma pesquisa sobre a relação entre o comprimento do pé de uma pessoa, em centímetros, e o número (tamanho) do calçado brasileiro, Carla obteve uma fórmula que dá, em média, o número inteiro n (tamanho do calçado) em função do comprimento c, do pé, em cm. Pela fórmula, tem-se n = [x], onde x = (5/4) c + 7 e [x] indica o menor inteiro maior ou igual a x. Por exemplo, se c = 9 cm, então x = 18,25 e n = [18,25] = 19. Com base nessa fórmula, a) determine o número do calçado correspondente a um pé cujo comprimento é 22 cm. b) se o comprimento do pé de uma pessoa é c = 24 cm, então ela calça 37. Se c > 24 cm, essa pessoa calça 38 ou mais. Determine o maior comprimento possível, em cm, que pode ter o pé de uma pessoa que calça 38. 45. Chama-se margem de contribuição unitária à diferença entre o preço unitário de venda e o custo unitário de um produto. Se o preço unitário de venda é p e o custo unitário é c: a) Qual o valor de p em função de c, sabendo-se que a margem de contribuição unitária é 10% do preço de venda? b) Se a margem de contribuição unitária for 30% do preço de venda, qual a margem de contribuição unitária em porcentagem do custo unitário? 46. Uma empresa A paga a cada um de seus vendedores uma remuneração mensal que é função do 1¡. grau de suas vendas mensais. Quando ele vende R$ 50.000,00 sua remuneração é R$ 1.800,00 e quando vende R$ 80.000,00 sua remuneração é R$ 2.400,00. a) Obter a remuneração RÛ em função das vendas (x). b) Uma outra empresa B paga a cada um de seus vendedores uma remuneração mensal R½ dada por: R½ = 1500 + 0,01x, onde x são as vendas mensais . Para que valores de x a remuneração mensal do vendedor em A é superior à do vendedor em B? 47. Determine o maior valor de x que satisfaz o sistema: ý(3x - 2)/2 ´ 5 þ ÿ(1 - x)/5 < (x - 1)/4 48. Resolva a inequação (2x - 3)/(x + 1) ´ 1. 49. Resolver, em IR, a inequação 1/(x - 1) < 2/(x - 2) com x · 1 e x · 2. 50. Uma indústria trabalha com um custo fixo de produção (sem contar os impostos) de R$ 200.000,00 por ano e tem de pagar em impostos 25% do seu faturamento bruto. Quanto deve faturar para que seu lucro no ano seja de, no mínimo, R$ 40.000,00?

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4. FUNÇÃO QUADRÁTICA

Há registros de problemas envolvendo equações quadráticas com três termos, deixados pelos babilônios há aproximadamente 4000 anos. Esses estudos demonstram uma grande flexibilidade existente na Álgebra desenvolvida entre eles.

Outros povos também contribuíram com esta parte da Álgebra, até que se chegasse à

representação atual de uma equação quadrática, 02 =+− cbxax com “a” não-nulo, na qual

o valor de x é obtido pela fórmula de Bháskara: a

acbb

2

42 −±−.

Essa organização de símbolos, que simplifica o estudo das quadráticas, é recente se for comparada com a idade da Álgebra. Foi no século XVII que Descartes utilizou as letras a, b e c para representar quantidades conhecidas e as letras do final do alfabeto, x, y e z, para representar as incógnitas. Além disso, passou a usar a representação x2 em lugar de x.x e x3

em lugar de x.x.x.

René Descartes (1596-1650) era francês, formado em Direito e aos vinte anos sua insatisfação o lançou como reformulador da filosofia que influenciava os acadêmicos da época.

4.1. Modelo da Função Quadrática

cbxaxy ++= 2



O sinal do coeficiente “a” determina o sentido da concavidade da função quadrática. Quando o coeficiente é positivo a concavidade da parábola é para cima.

Veja o gráfico da função ( ) 2xxf =

Bháskara Akiria

(1114-1185)

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E quando o coeficiente “a” é negativo temos o sentido da concavidade para baixo.

Veja o gráfico da função ( ) 2xxf −=

Além da interpretação do sinal do coeficiente “a”, temos que entender graficamente o efeito do valor do módulo do coeficiente “a”.

Observe: quanto maior o módulo do coeficiente “a” menor a abertura da concavidade da parábola.

( ) 2xxf = , gráfico em azul (onde o coeficiente a, vale “1”)

( ) 22xxg = , gráfico em vermelho (onde o coeficiente a, vale “2”)

( ) 23xxh = , gráfico em verde (onde o coeficiente a, vale “3”)

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O coeficiente “c” é a quantidade inicial da grandeza representada no eixo das ordenadas (eixo “y”). No gráfico é o ponto que a parábola intercepta o eixo das ordenadas.

A mudança de valor do coeficiente “b” translada a parábola sobre o eixo “x”.

4.2. Raízes ou Zeros da Função Quadrática

A raiz ou zero da função quadrática são os pontos (ou ponto) em que a parábola intercepta o eixo “x”. A raiz é o valor do “x” que quando atribuído na função torna nulo o valor de “y”.

Veja no gráfico abaixo as raízes da função ( ) 652 +−= xxxf ,destacadas de vermelho e verde.

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De uma forma genérica, onde a função quadrática é dada na forma

( ) cbxaxxf +−= 2 , fazendo ( ) 0=xf , temos as raízes encontradas por

a

acbbx

2

42 −±−=

Logo, 02

42

=

−±−

a

acbbf

4.3. Relação entre coeficientes e raízes

A relação entre coeficientes e raízes é apenas um caso da relação de Girard

a) Relação de Soma

a

bxx −=+ 21

b) Relação de Produto

a

cxx =21.

4.4. Número de raízes da função quadrática

a) 0>∆ (Duas raízes ou zeros reais distintos)

A função ( ) 652 +−= xxxf , possui 1=∆ . É por isso que observamos seu gráfico interceptar o eixo das abscissas em dois pontos.

Pierre Simon Girard

(1765-1836)

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b) 0=∆ (Um zero ou raiz real dupla)

A função ( ) 442 +−= xxxf , possui 0=∆ . É por isso que observamos seu gráfico interceptar o eixo das abscissas em apenas um ponto.

c) 0<∆ (Não possui raízes reais)

A função, ( ) 332 +−= xxxf possui 3−=∆ , por isso que observamos seu gráfico não interceptar o eixo das abscissas.

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4.5. Inequação do 2 Grau

4.5.1. Estudo do Sinal

Para resolvermos uma inequação do 2o grau, utilizamos o estudo do sinal.

As inequações são representadas pelas desigualdades: > , > , < , < .

Ex: x2 – 3x +6 > 0

Resolução:

x2 – 3x +6 = 0

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x´= 1, x´´ = 2

Como desejamos os valores para os quais a função é maior que zero,

devemos fazer um esboço do gráfico e ver para quais valores de x isso

ocorre.

Vemos, que as regiões que tornam positivas a função são: x<1 e x>2

Resposta: {xR| x<1 ou x>2}

4.5.2. Inequação Produto e Inequação Quociente do segundo grau

São as desigualdades da forma: f(x) . g(x) > 0, f(x) . g(x) < 0, f(x) .g(x) > 0

e f(x) .g(x) < 0. f(x) / g(x) > 0, f(x) / g(x) < 0, f(x) / g(x) > 0 e f(x) / g(x) < 0,

respectivamente.

Exemplo:

( )( ) 044109 22 ≤−−−− xxxx

Resolução:

Trabalhar f(x) e g(x) separadamente

01092 =−− xx (I)

0442 =−− xx (II)

Determinar as raízes das funções

(I) x´= -1, x´´ = 10

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(II) x´= x´´ = 2

Fazer o estudo do sinal para cada função.

I) x<-1 ou x>10 II) x¹2

Calcular a solução, que é dado pelo sinal de desigualdade da função de origem, isto

é:

> intervalo positivo e bolinha fechada

> intervalo positivo e bolinha aberta

< intervalo negativo e bolinha fechada

< intervalo negativo e bolinha aberta

Calcular a solução, que é dado pelo sinal de desigualdade da função de

origem, isto é:

> intervalo positivo e bolinha fechada

> intervalo positivo e bolinha aberta

< intervalo negativo e bolinha fechada

< intervalo negativo e bolinha aberta

Observações:

No quadro de respostas (ou soluções), se os intervalos forem em: f(x)

positivo e g(x)positivo o h(x) será +. Assim, temos:

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+=++

−=−+

−=+−

+=−−

e

e

e

e

Na inequação quociente, observar a C.E (condição de existência) do

denominador, que influenciará o resultado nos intervalos, no que diz respeito

a intervalo fechado ou aberto, ou seja, os intervalos oriundos do

denominador em hipótese alguma serão fechados. Quanto à forma de

resolver, é idêntica à realizada na inequação produto.

Assim, as únicas regiões positivas (maiores que zero) são em 1−<x e

10>x

Resposta: { Rx ∈ | 1−<x ou 10>x }

4.5.3. Inequação simultânea do segundo grau

Estamos falando neste tópico em inequações que apresentam ao mesmo

tempo mais de uma desigualdade, como no exemplo abaixo

-8 < x2 –2x –8 < 0

Resolução:

Devemos separar as inequações , obedecendo o intervalo dado.

Temos:

I) 8822 −>−− xx e

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II) 0822 <−− xx

Agora vamos determinar as raízes ou zeros de cada uma das funções obtidas

pela separação.

I) 022 >− xx II) 0822 <−− xx

x´ = 0 x´= x´´ = 1

x´´ = 2

Determinado 'x e "x , devemos fazer o estudo do sinal para cada função.

I) x< 0 ou x>2

II)x diferente de 1.

Calcular a solução S, que é dada pela interseção dos intervalos de S1 e S2.

Obs: o quadro de resposta será preenchido pelo intervalo achado.

Resposta: { Rx ∈ / x<0 ou x>2}

4.6. Estudo do Vértice da Parábola

O ponto de vértice da parábola é um ponto extremamente importante para problemas de otimização, ou seja, calcular pontos de maximização e minimização de um problema.

Por exemplo, num problema de geometria plana, calcular qual será a área máxima ou mínima, ou as dimensões do terreno que tornam essa área máxima ou mínima.

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Num problema de economia, encontrar qual é o custo mínimo que uma empresa pode ter na fabricação de um produto, ou qual o lucro máximo que esta pode obter. Ou encontrar o número de produtos fabricados que levam a esse lucro máximo ou custo mínimo.

a) Coordenada “x” do vértice

a

bxv 2

−=

b) Coordenada “y” do vértice

ayv 4

∆−=

Logo, o ponto de vértice é dado por

∆−−

aa

b

4,

2

Claro que quando a parábola tem seu coeficiente angular positivo, ou seja, concavidade com sentido para cima, o vértice é um ponto de mínimo da função.

Veja em destaque o vértice da função ( ) 652 +−= xxxf , que é um ponto de mínimo.

Veja em destaque o vértice da função ( ) xxxf 32 −−= , que é um ponto de mínimo.

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Atividades

1. Mostre que, dentre esses retângulos, o que tem área máxima é um quadrado. TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES. Um retângulo, cuja base é de 16 cm, sofre alteração em suas medidas de forma que a cada redução de x cm em sua base, sendo x µ 0, obtém-se um novo retângulo de área dada por A(x) = -x£ + 8x + 128. 2. Determine a e b em h(x) = ax + b, onde h(x) denota a altura desses retângulos. 3. Quantas unidades essa empresa deve produzir para obter o maior lucro possível? TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES. O lucro de uma empresa é dado pela relação R = L + C, em que L é o lucro, R é a receita e C é o custo de produção. Numa empresa que produziu x unidades de um produto, verificou-se que C(x) = 2x£ + 2500x + 3000 e R(x) = x£ + 7500x + 3000. 4. Esboce o gráfico da função L.

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5. O preço de ingresso numa peça de teatro (p) relaciona-se com a quantidade de freqüentadores (x) por sessão através da relação; p = - 0,2x + 100 a) Qual a receita arrecadada por sessão, se o preço de ingresso for R$ 60,00? b) Qual o preço que deve ser cobrado para dar a máxima receita por sessão? Observação: receita = (preço) x (quantidade) 6. O lucro mensal de uma empresa é dado por L = -x£ + 30x - 5, onde x é a quantidade mensal vendida. a) Qual o lucro mensal máximo possível? b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195? 7. A tabela indica as projeções do PIB de um país, em bilhões de dólares, daqui a n anos:

Admitindo que no intervalo 1 ´ n ´ 6 (n Æ IR) as projeções do PIB possam ser estabelecidas por um modelo quadrático, pede-se: a) a função que relaciona a projeção do PIB (em bilhões de dólares) com n, no intervalo 1 ´ n ´ 6 (n Æ IR); b) sendo PŠ o PIB daqui a n anos, esboce o gráfico que relaciona n com a diferença PŠø� - PŠ para 1 ´ n ´ 5 (n Æ IN)

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8. No retângulo ABCD da figura a seguir, AD = 6 m e AB = 4 m, e os pontos M, N, P e Q dos lados AD, AB, CB e CD, respectivamente, são tais que AM = AN = CP = CQ.

Determine o valor máximo da área do quadrilátero MNPQ. 9. Seja f(x) = ax£ + (1 - a) x + 1, onde a é um número real diferente de zero. Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x)=0 são reais e o número x=3 pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes. 10. Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x£ + mx + 2. Nessas condições: a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x). b) Determine os valores de m Æ IR para os quais a imagem de f contém o conjunto {y Æ IR : µ 1}. c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y Æ IR : y µ 1} e, além disso, f é crescente no conjunto {x Æ IR : x µ 0}. d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y µ 2, o único valor de x µ 0 tal que f(x) = y. 11. Calcule m, de modo que a função f(x) = mx£ - 4x + m tenha um valor máximo igual a 3. 12. Considere a função quadrática f(x) = (p£ - 1) x£ + 2 (p - 1) x + 1. Então determine o valor de "p" que, para todo "x" real, f(x) > 0. 13. Determine o menor valor que a expressão Ë(x£ + y£) pode assumir, se 2 x + 3 y = 1.

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14. Sejam f(x) = x + (5/4) e g(x) = 1 - x£. Determine: a) os valores reais de x para os quais. f(x) µ g(x). b) os valores reais de x para os quais. f(x) ´ g(x). 15. Qual a maior área possível de um terreno retangular (medindo a metros por b metros), dado que a + 2b = 120? 16. No interior de uma floresta, foi encontrada uma área em forma de retângulo, de 2 km de largura por 5 km de comprimento, completamente desmatada. Os ecologistas começaram imediatamente o replantio, com o intento de restaurar toda a área em 5 anos. Ao mesmo tempo, madeireiras clandestinas continuavam o desmatamento, de modo que, a cada ano, a área retangular desmatada era transformada em outra área também retangular. Veja as figuras:

A largura (h) diminuía com o replantio e o comprimento (b) aumentava devido aos novos desmatamentos. Admita que essas modificações foram observadas e representadas através das funções: h(t) = -(2t/5) + 2 e b(t) = 5t + 5 (t = tempo em anos; h = largura em km e b = comprimento em km). a) Determine a expressão da área A do retângulo desmatado, em função do tempo t (0 ´ t ´ 5), e represente A(t) no plano cartesiano. b) Calcule a área máxima desmatada e o tempo gasto para este desmatamento, após o início do replantio. 17. Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vende cada fruta por R$2,00. A partir daí, o preço de cada fruta decresce R$0,02 por dia. Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia. a) Expresse o ganho do fruticultor com a venda das frutas como função do dia de colheita. b) Determine o dia da colheita de maior ganho para o fruticultor.

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18. Considere as seguintes funções, relativas a uma ninhada de pássaros: C = 5 + 10n; C = custo mensal, em reais, para a manutenção de n pássaros. V = 5n£ + 100n - 320; V = valor arrecadado, em reais, com a venda de n pássaros, 4 ´ n ´ 16. Sabe-se que o lucro mensal obtido é determinado pela diferença entre os valores de venda V e custo C. a) Determine os possíveis valores de n, para que haja lucro nas vendas. b) Calcule o valor de n que proporciona o maior lucro possível e o valor, em reais, desse lucro. 19. A foto a seguir mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB = 8 m e altura central OC = 5,6 m. Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola. Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um determinado ponto do arco parabólico.

Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy.

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20. Observe a parábola de vértice V, gráfico da função quadrática definida por y = ax£ + bx + c, que corta o eixo das abscissas nos pontos A e B.

Calcule o valor numérico de Ð = b£ - 4ac, sabendo que o triângulo ABV é equilátero. 21. Um polinômio p, do segundo grau, é tal que ýp(-1) = -3 þp(1) = 3 ÿp(2) = 12 Após determinar p, encontre o valor de p(3). 22. Uma empresa de turismo promove um passeio para n pessoas, com 10 ´ n ´ 70, no qual cada pessoa paga uma taxa de (100 - n) reais. Nessas condições, o dinheiro total arrecadado pela empresa varia em função do número n. Qual é a maior quantia que a empresa pode arrecadar? 23. Um portal de igreja tem a forma de um arco de parábola. A largura de sua base AB (veja figura) é 4m e sua altura é 5m. Qual a largura XY de um vitral colocado a 3,2m acima da base?

24. Um comerciante compra peças diretamente do fabricante ao preço de R$ 720,00 a caixa com 12 unidades. O preço de revenda sugerido pelo fabricante é de R$ 160,00 a unidade. A esse preço o comerciante costuma vender 30 caixas por mês. Contudo, a experiência tem mostrado que a cada

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R$ 5,00 que dá de desconto no preço sugerido, ele consegue vender 3 caixas a mais. Por quanto deve vender cada peça para que seu lucro mensal seja máximo? 25. A parábola abaixo representa o lucro mensal L (em reais) obtido em função do número de peças vendidas de um certo produto.

Determine: a) o número de peças que torna o lucro nulo; b) o(s) valor(es) de x que torna(m) o lucro negativo; c) o número de peças que devem ser vendidas para que o lucro seja de R$ 350,00. 26. Um muro, com 6 metros de comprimento, será aproveitado como PARTE de um dos lados do cercado retangular que certo criador precisa construir. Para completar o contorno desse cercado o criador usará 34 metros de cerca. Determine as dimensões do cercado retangular de maior área possível que o criador poderá construir.

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27. Um quadrado de 4cm de lado é dividido em dois retângulos. Em um dos retângulos, coloca-se um círculo, de raio R, tangenciando dois de seus lados opostos, conforme figura abaixo.

a) Escreva uma expressão que represente a soma das áreas do círculo e do retângulo, que não contém o círculo, em função de R. b) Qual deve ser o raio do círculo, para que a área pedida no item anterior seja a menor possível? 28. Considere a função f: R ë R, definida por f(x) = -x£ - (Ë2)x - 2¾, onde n é um número real. Determine o valor de n, de modo que f tenha valor máximo igual a 1/4. 29. Um quadrado de 4cm de lado é dividido em dois retângulos. Em um dos retângulos, coloca-se um círculo tangenciando dois de seus lados opostos, conforme figura a seguir.

Determine o raio que o círculo deve ter, para que a soma das áreas do círculo e do retângulo, que não o contém, seja a menor possível

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30. Um supermercado vende 400 pacotes de 5 kg de uma determinada marca de arroz por semana. O preço de cada pacote é R$ 6,00, e o lucro do supermercado, em cada pacote vendido, é de R$ 2,00. Se for dado um desconto de x reais no preço do pacote do arroz, o lucro por pacote terá uma redução de x reais, mas, em compensação, o supermercado aumentará sua venda em 400x pacotes por semana. Nestas condições, calcule: a) O lucro desse supermercado em uma semana, caso o desconto dado seja de R$ 1,00. b) O preço do pacote do arroz para que o lucro do supermercado seja máximo, no período considerado. 31. Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação em função do tempo, em semanas, concluiu-se que o tamanho da população é dado por: f(t) = - 10t£ + 20t + 100. a) Determine o intervalo de tempo em que a população de insetos ainda cresce. b) Na ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos é igual à população inicial? Quando? c) Entre quais semanas a população de insetos seria exterminada? 32. Considere a função f : IR ë IR, f (x) = - 2 x£ + bx - 6, onde b Æ IR. a) Para quais valores de b Æ IR a função f admite pelo menos uma raiz real? b) Na figura a seguir está representada uma parábola, na qual A, B e C são os pontos de interseção da mesma com os eixos coordenados. Sabendo-se que a área do triângulo ABC, hachurado, é de 6 unidades, determine o único valor de b, para que a função f tenha como gráfico esta parábola.

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33. Uma loja vende diariamente 40 unidades de um produto a R$ 50,00 cada uma. Quando esse produto entra em promoção, observa-se que para cada R$ 1,00 de desconto no preço do produto, as vendas aumentam 10 unidades. a) Calcule o valor do desconto que faz com que o faturamento seja máximo. b) Calcule o faturamento máximo que a loja pode obter com essa promoção. 34. Seja a função f tal que f(0) = 4 e f(a) = 1, definida pelas duas expressões f(x) = x£ - ax + b se x µ (a/2) e f(x) = x + 5 se x < (a/2). Em relação à função f a) INDIQUE a expressão utilizada no cálculo de f(0). JUSTIFIQUE sua resposta e CALCULE o valor de b. b) DETERMINE o sinal de a, e seu valor e os valores de x tais que f(x) = 9. 35. O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por: C = 2510 - 100n + n£. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo? 36. Um jornaleiro compra os jornais FS e FP por R$ 1,20 e R$ 0,40, respectivamente, e os comercializa por R$ 2,00 e R$ 0,80, respectivamente. Analisando a venda mensal destes jornais sabe-se que o número de cópias de FS não excede 1.500 e o número de cópias de FP não excede 3.000. Supondo que todos os jornais comprados serão vendidos e que o dono da banca dispõe de R$ 1.999,20 por mês para a compra dos dois jornais, determine o número N de cópias de FS que devem ser compradas por mês de forma a se maximizar o lucro. Indique a soma dos dígitos de N. 37. Quando o preço do pão francês era de R$0,12 a unidade, uma padaria vendia 1000 unidades diariamente. A cada aumento de R$0,01 no preço de cada pão, o número de pães vendidos por dia diminui de 50 unidades. Reajustando adequadamente o preço do pão, qual a quantia máxima (em reais) que pode ser arrecadada diariamente pela padaria com a venda dos pães? Assinale metade do valor correspondente à quantia obtida. 38. Uma pesquisa sobre a relação entre o preço e a demanda de certo produto revelou que: a cada desconto de R$ 50,00 no preço do produto, o número de unidades vendidas aumentava de 10. Se, quando o preço do produto era R$ 1.800,00 o número de unidades vendidas era de 240, calcule o valor máximo, em reais, que pode ser obtido com a venda das unidades do produto.

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39. Um avião tem combustível para voar durante 4 horas. Na presença de um vento com velocidade v km/h na direção e sentido do movimento, a velocidade do avião é de (300+v)km/h. Se o avião se desloca em sentido contrário ao do vento, sua velocidade é de (300-v)km/h. Suponha que o avião se afaste a uma distância d do aeroporto e retorne ao ponto de partida, consumindo todo o combustível, e que durante todo o trajeto a velocidade do vento é constante e tem a mesma direção que a do movimento do avião. a) Determine d como função de v. b) Determine para que valor de v a distância d é máxima. 40. Um fabricante está lançando a série de mesas "Super 4". Os tampos das mesas dessa série são retangulares e têm 4 metros de perímetro. A fórmica usada para revestir o tampo custa R$10,00 por metro quadrado. Cada metro de ripa usada para revestir as cabeceiras custa R$25,00 e as ripas para as outras duas laterais custam R$30,00 por metro.

a) Determine o gasto do fabricante para revestir uma mesa dessa série com cabeceira de medida x. b) Determine as dimensões da mesa da série "Super 4" para a qual o gasto com revestimento é o maior possível. 41. Um grupo de 40 moradores de uma cidade decidiu decorar uma árvore de Natal gigante. Ficou combinado que cada um terá um número n de 1 a 40 e que os enfeites serão colocados na árvore durante os 40 dias que precedem o Natal da seguinte forma: o morador número 1 colocará 1 enfeite por dia a partir do 1¡. dia; o morador número 2 colocará 2 enfeites por dia a partir do 2¡. dia e assim sucessivamente (o morador número n colocará n enfeites por dia a partir do n-ésimo dia). a) Quantos enfeites terá colocado ao final dos 40 dias o morador número 13? b) A Sra. X terá colocado, ao final dos 40 dias, um total de m enfeites. Sabendo que nenhum morador colocará mais enfeites do que a Sra. X, determine m.

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42. Para quantos números reais x, o número y, onde y = - x£ + 6x -1, é um número pertencente ao conjunto IN = {1, 2, 3, 4, ...}? 43. Cíntia, Paulo e Paula leram a seguinte informação numa revista: "conhece-se, há mais de um século, uma fórmula para expressar o peso ideal do corpo humano adulto em função da altura: P = (a - 100) - [(a - 150)/k] onde P é o peso, em quilos, a é a altura, em centímetros, k = 4, para homens, e k = 2, para mulheres" a) Cíntia, que pesa 54 quilos, fez rapidamente as contas com k = 2 e constatou que, segundo a fórmula, estava 3 quilos abaixo do seu peso ideal. Calcule a altura de Cíntia. b) Paulo e Paula têm a mesma altura e ficaram felizes em saber que estavam ambos exatamente com seu peso ideal; segundo a informação da revista. Sabendo que Paulo pesa 2 quilos a mais do que Paula, determine o peso de cada um deles. 44. Após uma análise de mercado, concluiu-se que um produto seria vendido de conformidade com a fórmula Q=2000-100P, na qual Q representa a quantidade que será vendida ao preço unitário P. Sabendo que o lucro por unidade vendida é P-10, encontre a) uma fórmula que determine o lucro total, em função de P; b) o valor de P, para que o lucro total seja o maior possível. 45. Uma pedra é atirada para cima, com velocidade inicial de 40 m/s, do alto de um edifício de 100m de altura. A altura (h) atingida pela pedra em relação ao solo, em função do tempo (t) é dada pela expressão: h(t) = - 5t£+ 40t + 100. a) Em que instante t a pedra atinge a altura máxima? Justifique. b) Esboce o gráfico de h(t).

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46. Em um jogo de futebol foi cometida uma falta frontal ao gol a uma distância de 36 m. Para a cobrança da falta o juiz montou uma barreira de cinco jogadores, todos com 1,80 m de altura, e posicionou-os a 9 m da bola. Entretanto, logo após o apito do árbitro para a cobrança da falta, a barreira deslocou-se em direção à bola a uma velocidade de 10 cm/s, e o jogador que cobrou a falta só chutou a bola 10s depois de o árbitro ter apitado. Sabendo-se que a baliza mede 2,44 m de altura e que a falta foi cobrada segundo a trajetória de uma parábola representada pela função y = (61/5400) . (-x£ + 42x), pergunta-se: Qual dentre as narrações a seguir melhor representa a situação, após a cobrança da falta? Justifique sua resposta com cálculos. Situação I ë Vai ser cobrada a falta, começa a vibrar a torcida, correu o jogador, chutou e é gol. Golaço! Situação II ë Tudo pronto para a cobrança, autoriza o juiz, a torcida está impaciente... Chutou o jogador. No pau! Que susto! Sensacional a batida no travessão! Situação III ë O estádio é uma só emoção! Corre o jogador, atira e a bola encobre o goleiro. Por cima do travessão... e a torcida faz huum... Situação IV ë Tudo pronto para a cobrança, autoriza o juiz, que demora... Chutou mal: direto na barreira! 47. Considere as funções f: IR ë IR e g: IR ë IR dadas por: f(x) = x£ - x + 2 e g(x) = -6x + 3/5. Calcule f(1/2) + [5g(-1)]/4. 48. Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = -2t£ + 8t (t µ 0), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute: a) o instante em que a bola retornará ao solo; b) a altura máxima atingida pela bola.

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49. Na figura a seguir, estão esboçadas duas parábolas, que são os gráficos das funções f e g. Considere a função h:IRëIR (onde IR representa o conjunto dos números reais), definida por h(x)=|f(x)+g(x)| e determine em que ponto o gráfico de h intercepta o eixo das ordenadas y.

50. Em uma barragem de uma usina hidrelétrica, cujo reservatório encontra-se cheio de água, considere que a vista frontal dessa barragem seja retangular, com 46m de comprimento e 6 m de altura conforme representado na figura adiante. Sendo h a altura, em metros, medida a partir da parte superior da barragem até o nível da água, tem-se h=6, quando o reservatório está vazio, e h=0, no caso de o reservatório apresentar-se cheio.

Nessas condições, a força F, em newtons, que a água exerce sobre a barragem é uma função de h, isto é, F = F(h). Por exemplo, se h = 6, F(6) = 0. É conhecido que a função F é dada por um polinômio do segundo grau na variável h. Além disso, foram determinados os seguintes valores: F(5) = 25,3 x 10¤ N e F(4) = 46 x 10¤ N. Com essas informações, é possível determinar o valor de F para todo h Æ [0, 6]. Calcule o valor F(0)/10¤, desconsiderando a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

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5. FUNÇÃO MODULAR

Neste capítulo, estudaremos a função modular, explorando a solução de suas equações modulares, inequações modulares, e o efeito do módulo no gráfico de uma função que já conhecemos como sendo “do primeiro grau” e “do segundo grau”.

Bom Estudo !

5.1. Definição

O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:

Então:

Se x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x. Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15

Se x é negativo, | x | é igual a -x. Exemplos: | -2 | = -(-2) = 2 ; | -20 | = -(-20) = 20 Sendo que o gráfico de f(x) = |x| é semelhante ao gráfico de f(x) = x,

sendo que a parte negativa do gráfico será “refletida” sempre para um f(x)

<−

≥=

0 se ,

0 se ,

xx

xxx

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positivo.

Um outro exemplo para uma função modular seria a função modular do 2º grau, sendo f(x) = |x2 – 4| , assim :

,

Assim, temos o gráfico:

O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de

um número real nunca é negativo. Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual

à distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim:

• Se | x | < a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é

menor que a, isto é, x deve estar entre –a e a, ou seja, | x | < a ⇔ -a< x < a.

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Se | x | > a (com a>0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real, ou seja: | x | > a ⇔ x > a ou x < -a.

5.2. Equações Modulares

Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular.

Exemplos: a) | x2-5x | = 1 b) | x+8 | = | x2-3 |

Algumas equações modulares resolvidas: 1) Resolver a equação | x2-5x | = 6.

Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x2-5x = 6 caso 2: x2-5x = -6

Resolvendo o caso 1: x2-5x-6 = 0 => x’=6 e x’’=-1. Resolvendo o caso 2: x2-5x+6 = 0 => x’=3 e x’’=2.

Resposta: S={-1,2,3,6}

2) Resolver a equação | x-6 | = | 3-2x |.

Resolução: Temos que analisar dois casos: caso 1: x-6 = 3-2x caso 2: x-6 = -(3-2x) Resolvendo o caso 1: x-6 = 3-2x => x+2x = 3+6 => 3x=9 => x=3 Resolvendo o caso 2: x-6 = -(3-2x) => x-2x = -3+6 => -x=3 => x=-3

>

<⇒

>

<⇒

⇒

<−

+<⇒

<+−

+−<−⇒<+−<−⇒<+

2

4

42

82

42

262

262

622 2622 2 | 62x- |

x

x

x

x

x

x

x

xx

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Resposta: S={-3,3}

5.3. Inequações Modulares

Chamamos de inequações modulares as inequações nos quais aparecem módulos de expressões que contém a incógnita.

Algumas inequações modulares resolvidas: 1) Resolver a inequação | -2x+6 | < 2.

Resolução: S = {x ∈ IR | 2<x<4}

2) Dê o conjunto solução da inequação |x2-2x+3| ≤ 4.

Resolução: |x2-2x+3| ≤ 4 => -4 ≤ x2-2x+3 ≤ 4. Então temos duais inequações (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo): Eq.1: -4 ≤ x2-2x+3 Eq.2: x2-2x+3 ≤ 4 Resolvendo a Eq.1: -4 ≤ x2-2x+3 => -4-3 ≤ x2-2x => -7 ≤ x2-2x => x2-2x+7 ≥ 0 => sem raízes reais Resolvendo a Eq.2: x2-2x+3 ≤ 4 => x2-2x-1 ≤ 0

5.4. Domínio da Função Modular

Podemos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares:

Exemplo 1: Determinar o domínio da função

}2121|{

21''

21' raízes as sencontramo Bhaskara Aplicando

+≤≤−∈=

+=

−=

xIRxS

x

x

3||

1)(

−=

xxf

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Resolução:

Exemplo 2: Determinar o domínio da função

Resolução:

Atividades

1. Seja f a função real dada por f(x) = ax£ + bx + c, com a > 0. Determine a, b e c sabendo que as raízes da equação | f (x) | = 12 são -2, 1, 2 e 5. Justifique.

|1|2)( −−= xxf

}31|{ :Resposta

31 1212 212

212 2|1| 2|1| 0|1|2 :Então

.0|1|2 se IR em possível é só |1|2 que Sabemos

≤≤−∈=

≤≤−⇒+≤≤+−⇒≤−≤−

≤−≤−⇒≤−⇒−≥−−⇒≥−−

≥−−−−

xIRxD

xxx

xxxx

xx

}3ou 3|{ :Resposta

3ou 3 3|| 03|| :Então

.03|| se IR em possível é só 3||

1 que Sabemos

−≠≠∈=

−≠≠⇒≠⇒≠−

≠−−

xxIRxD

xxxx

xx

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2. a) Esboce, para x real, o gráfico da função f(x) = | x - 2 | + | 2x + 1 | - x - 6. O símbolo | a | indica o valor absoluto de um número real a e é definido por | a | = a, se a µ 0 e | a | = - a, se a < 0. b) Para que valores reais de x, f(x) > 2x + 2?

3. Dada a função: f(x) = | x - 1 | + 1, x Æ [-1, 2], a) esboce o gráfico da função f; b) calcule a área da região delimitada pelo gráfico da função f, pelo eixo das abscissas e pelas retas x = -1 e x = 2. 4. O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a seguinte equação: V = 10 - |4 - 2t| - |2t - 6|, t Æ IRø Nela, V é o volume medido em m¤ após t horas, contadas a partir de 8h de uma manhã. Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante. 5. Esboce o gráfico da seguinte função real de variável real: ý2x£ + | x | - 3, para x ´ -1 ou x µ 1 f(x) = þ ÿË(1 - x£) para -1 < x <1 6. Sejam f e g as funções definidas para todo x Æ IR por f(x) = x£ - 4x + 4 e g(x) = |x - 1|. a) Calcule f(g(x)) e g(f(x)). b) Esboce os gráficos das funções compostas fog e gof.

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7. Considere a função f: R ë R definida por f(2x) = |1 - x |. Determine os valores de x para os quais f(x) = 2. 8. Considere uma quantidade Q > 0 e seja M um valor aproximado de Q, obtido através de uma certa medição. O erro relativo E desta medição é definido por E = | Q - M | / Q. Considere ainda um instrumento com uma precisão de medida tal que o erro relativo de cada medição é de, no máximo, 0,02. Suponha que uma certa quantidade Q foi medida pelo instrumento e o valor M = 5,2 foi obtido. Determine o menor valor possível de Q. 9. Durante o ano de 1997 uma empresa teve seu lucro diário L dado pela função L(x) = 50 ( | x - 100 | + | x - 200 | ) onde x = 1, 2, ..., 365 corresponde a cada dia do ano e L é dado em reais. Determine em que dias (x) do ano o lucro foi de R$10.000,00. 10. Resolver a equação x£ - 3| x | + 2 = 0, tomando como universo o conjunto R dos números reais. 11. Determine os pontos de intersecção dos gráficos das funções reais definidas por f(x)=|x| e g(x)=-x£+x+8 pelo método algébrico. 12. Seja f(x) = |2x£ - 1|, x Æ R. Determinar os valores de x para os quais f(x) < 1. 13. Determine todos os valores de x Æ IR que satisfazem simultaneamente às inequações seguintes: (2x+3)/(x-1) µ 1 -x£ + 3x - 2 ´ 0 |x-2| - |x| µ 0

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14. Considere as inequações (I) 3 ´ Ë(x + 1) ´ 4 (II) |2x - 11| ´ 9 a) Determine os conjuntos-soluções S(I) e S(II) das equações I e II respectivamente. b) Represente os conjuntos S(I) e S(II) na reta real. c) Determine S(I) º S(II) e S(I) » S(II). TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO Na(s) questão(ões) a seguir julgue os itens e escreva nos parênteses (V) se for verdadeiro ou (F) se for falso. 15. Julgue os itens. ( ) Sendo a e b números reais, então Ë(a£ + b£) = a + b ( ) Se x é um número real, -1 < x ´ 1, então |x + 1| / |x + 2| - 3 = -1 ( ) Se p é um número real não nulo, então a equação 2px£ - 2(p - 1)x - 1 = 0, tem duas raízes reais diferentes, qualquer que seja o valor de p. 16. Seja R o conjunto dos números reais. Considere a função f: IR ë IR, definida por f(x) = |1 - |x||. Assim, ( ) f(-4) = 5. ( ) o valor mínimo de f é zero. ( ) f é crescente para x no intervalo [0,1]. ( ) a equação f(x) = 1 possui três soluções reais distintas.

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6. FUNÇÃO EXPONENCIAL

Olá aluno,

Este capítulo traz uma ferramenta fascinante dentro da álgebra onde temos como exemplos de aplicações extremamente conhecidas o crescimento populacional e o decaimento radioativo.

6.1. Modelo da Função Exponencial

xbay =



O coeficiente “b” da função exponencial determina a quantidade inicial da grandeza representada no eixo “y”. No gráfico é o ponto onde a curva exponencial intercepta o eixo “y”.

O coeficiente “a” da função exponencial determina a taxa de crescimento ou decrescimento da grandeza do eixo “y” em relação a grandeza do eixo “x”.

Quando o valor do coeficiente “a” é maior que “1” a função é crescente.

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Quando o valor do coeficiente “a” esta no intervalo aberto entre “0 e 1” a função é decrescente.

6.2. Equações Exponenciais

Equações exponenciais são, simplesmente, equações com incógnita no expoente.

Exemplos:

Os dois métodos fundamentais utilizados na resolução de equações exponenciais são:

• Método de redução a uma base comum;

• Método que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.

Trataremos neste capítulo apenas do primeiro método. O segundo será visto no próximo capítulo sobre logaritmo.

6.2.1. Método de redução a uma base comum

Este método, como o próprio nome diz, consiste no uso de técnicas que permitam, através de transformações baseadas nas propriedades de potências, reduzir ambos os membros de uma equação a uma potência de mesma base. É claro que o método só poderá ser utilizado caso seja possível a redução.

Como a função exponencial é injetora podemos concluir que:

ou seja, que potências iguais e de mesma base têm expoentes iguais.

Veja alguns exemplos de equações exponenciais resolvidas aumentando o nível de dificuldade de um exemplo para o outro.

Os exercícios foram selecionados visando apresentar técnicas de soluções diferenciadas.

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6.3. Inequações Exponenciais

A solução da Inequação exponencial é bem simples de ser encontrada. Quando a base a ser cancelada é maior que “1” devemos manter o sinal da desigualdade e quando a base esta no intervalo aberto entre “0 e 1” devemos inverter a o sinal de desigualdade.

Caso 1: 1>base (Manter a desigualdade)

( )

( )

1

23

22

64263

3

−>

>+

>

>+

+

x

x

x

x

{ }1/ −>∈= xRxS

Caso 1: 10 << base (Inverter a desigualdade)

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2

3

32

472

3

1

3

1

81

1

3

1

472

72

−≥

−≥

≥+

≤

≤

+

+

x

x

x

x

x

−≥∈=2

3/ xRxS

6.4. Gráfico da Função Exponencial

Caso 1: 1>base (Função Crescente)

Exemplo: ( ) xexf .2=

Observe como a função intercepta o eixo das ordenadas exatamente no ponto “2” que é o valor do coeficiente “b”

Caso 1: 10 << base (Função Decrescente)

Exemplo: ( )x

xg

=

2

1.1

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Observe como a função intercepta o eixo das ordenadas exatamente no ponto “1” que é o valor do coeficiente “b”.

6.5. Aplicações da Função Exponencial

6.5.1. Crescimento Populacional de Bactérias

Exemplo:

As bactérias em um recipiente se reproduzem de forma tal que o aumento do seu número em um intervalo de tempo de comprimento fixo é proporcional ao número de bactérias presentes no início do intervalo. Suponhamos que, inicialmente, haja 1000 bactérias no recipiente e que, após 1 hora, este número tenha aumentado para 1500. Quantas bactérias haverá cinco horas após o início do experimento?.

( )

a

a

atn

abyt

x

=

=

=

=

5,1

.10001500

.1000

.

1

Logo o modelo da função do problema é

( ) ( )ttn 5,1.1000= Então para descobrirmos o número de bactérias após 5 horas basta substituir no modelo encontrado

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( ) ( )( )( ) 75945

75,75935

5,1.10005 5

≅

=

=

n

n

n

6.5.2. Meia-Vida (Decaimento Radioativo)

Exemplo: A meia vida do isótopo radioativo do carbono (C

14) é de 5500 anos.

Que percentual da massa original de C14

restará em uma amostra após 10000 anos?

( )

( )

5500

1

5500 1

55001

5500

55000

0

55000

0

2

2

2

2

1

.2

.5500

.

.

−

−

−

=

=

=

=

=

=

=

=

a

a

a

a

amm

amm

amtm

abyt

x

Logo o modelo da função do problema é

( )t

mtm

=

−

5500

1

0 2.

Então para descobrirmos a massa após 10000 anos basta substituir no modelo encontrado

( )

( )

( ) 0

008,10

8,10

5500

10000

0

10000

5500

1

0

%35,28

2835,05263,3

1

2

1

222

mtm

mmmtm

mmmtm

≅

===

==

= −

−−

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Atividades

TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 3 QUESTÕES. Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores dos candidatos A e B variava em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funções: A(t) = 2.10¦(1,6) B(t) = 4.10¦(0,4) Considere as estimativas corretas e que t = 0 refere-se ao dia 1 de janeiro de 2000. 1. Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B em 1 de janeiro de 2000. 2. Mostre que, em 1 de outubro de 2000, a razão entre os números de eleitores de A e B era maior que 1. 3. Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores. 4. Seja f: IR ë IR x ë y = 3 Ñ¥ Sabendo-se que f(g(x)) = x£/81, obtenha: a) um esboço do gráfico de f; b) a lei da função g.

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5. Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é

em que S³ representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial desintegre-se? 6. A bula de certo medicamento informa que, a cada seis horas após sua ingestão, metade dele é absorvida pelo organismo. Se uma pessoa tomar 200 mg desse medicamento, quanto ainda restará a ser absorvido pelo organismo imediatamente após 18 horas de sua ingestão? E após t horas? 7. Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T³ obedece à seguinte relação:

Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100°C, colocada numa sala de temperatura 20°C. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40°C. a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala. b) Considerando Øn 2 = 0,7 e Øn 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade.

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8. No programa de rádio HORA NACIONAL, o locutor informa: "Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber uma notificação da defesa civil do País alertando para a chegada de um furacão de grandes proporções nas próximas 24 horas. Pede-se que mantenham a calma, uma vez que os órgãos do governo já estão tomando todas as providências cabíveis". Para atender às solicitações que seguem, suponha que o número de pessoas que tenha acesso a essa informação, quando transcorridas t horas após a divulgação da notícia, seja dado pela expressão

sendo t µ 0 e P a população do País. a) Calcule o percentual da população que tomou conhecimento da notícia no instante de sua divulgação. b) Calcule em quantas horas 90% da população tem acesso à notícia, considerando que, em 1 hora após a notícia, 50% da população do país já conhecia a informação.

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9. O gráfico a seguir ilustra o número de assinantes residenciais da Internet no Brasil, em milhares, nos últimos cinco anos.

A partir desses dados, é importante obter um modelo matemático capaz de estimar o número de assinantes residenciais da Internet do Brasil em datas diferentes das fornecidas. Para isso, aproxima-se o número anual de assinantes, em milhares, por uma função exponencial do tipo mostrado abaixo do gráfico em que t é o ano, e=2,718... é a base do sistema neperiano de logaritmos, A e k são constantes a serem determinadas. Considerando que F(1998)=1.600 e F(1999)=2.000, calcule, em centenas de milhares, a estimativa do número de assinantes no ano de 2003, desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista. 10. Considere função dada por f(x)= 3£Ñ®¢ + m 3Ñ + 1. a) Quando m = - 4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0. b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equação f(x) = m + 1 não tem solução real x. 11. Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p (t), o preço após t anos, pede-se: a) a expressão para p (t); b) o tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use: log 2 ¸ 0,301 e log 3¸0,477.

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12. Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t)=a.2ö , onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial. b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? c) Esboce o gráfico da função F(t) para tÆ[0,40]. 13. O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por:

onde T(t)é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TÛ é a temperatura ambiente, suposta constante, e ‘ e ’ são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de -18°C. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0°C após 90 minutos e chegou a -16°C após 270 minutos. a) Encontre os valores numéricos das constantes ‘ e ’. b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas (2/3)°C superior à temperatura ambiente. 14. A função L(x) = aeöÑ fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada. a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes. b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.

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15. Um objeto parte do ponto A, no instante t = 0, em direção ao ponto B, percorrendo, a cada minuto, a metade da distância que o separa do ponto B, conforme figura. Considere como sendo de 800 metros a distância entre A e B.

Deste modo, ao final do primeiro minuto (1¡. período) ele deverá se encontrar no ponto A�; ao final do segundo minuto (2¡. período), no ponto A‚; ao final do terceiro minuto (3¡. período), no ponto Aƒ, e, assim, sucessivamente. Suponhamos que a velocidade se reduza linearmente em cada período considerado. a) Calcule a distância percorrida pelo objeto ao final dos 10 primeiros minutos. Constate que, nesse instante, sua distância ao ponto B é inferior a 1 metro. b) Construa o gráfico da função definida por "f(t) = distância percorrida pelo objeto em t minutos", a partir do instante t = 0. 16. Resolva, em IR, a equação

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17. Determine uma das soluções da equação

18. A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a.bÑ, conforme o gráfico a seguir.

Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio. 19. Resolva o sistema ý3Ñ + 3Ò = 36 þ ÿ3Ñ ® Ò = 243

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20. a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio: "Como 1/4>1/8 tem-se (1/2)£>(1/2)¤ e conclui-se que 2>3." Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão absurda. b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine o menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz à inequação:

21. Determinar o valor de x na equação 5Ñ®¢ + 5Ñ + 5Ñ¢ = 775. 22. O valor de x, que satisfaz a equação 2£Ñ®¢ - 3.2Ñ®£ = 32, é: 23. Em um experimento com uma colônia de bactérias, observou-se que havia 5.000 bactérias vinte minutos após o início do experimento e, dez minutos mais tarde, havia 8.500 bactérias. Suponha que a população da colônia cresce exponencialmente, de acordo com a função P(t) = P³eÑ , em que P³ é a população inicial, x é uma constante positiva e P(t) é a população t minutos após o início do experimento. Calcule o valor de P³/100, desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista. 24. Duas funções f(t) e g(t) fornecem o número de ratos e o número de habitantes de uma certa cidade em função do tempo t (em anos), respectivamente, num período de 0 a 5 anos. Suponha que no tempo inicial (t = 0) existiam nessa cidade 100 000 ratos e 70 000 habitantes, que o número de ratos dobra a cada ano e que a população humana cresce 2 000 habitantes por ano. Pede-se: a) As expressões matemáticas das funções f(t) e g(t). b) O número de ratos que haverá por habitante, após 5 anos. 25. Resolva as equações exponenciais, determinando os correspondentes valores de x. a) 7Ñ¤ + 7Ñ£ + 7Ñ¢ = 57 b) (1/3)Ñ + (1/3)Ñ®¢ - (1/3)Ñ£ = -207

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26. Considere a equação 2Ñ + m2£Ñ - 2m - 2 = 0, onde m é um número real. a) Resolva essa equação para m = 1. b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação tem uma única raiz real. 27. Seja a, 0 < a < 1, um número real dado. Resolva a inequação exponencial a£Ñ®¢ > (1/a)Ñ¤. 28. Seja uma função f definida como mostra a função a seguir

. Determine os valores de x tais que f(x) seja menor do que 8.

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7. FUNÇÃO LOGARÍTIMICA

Prezado Aluno,

Neste capítulo, você entrará em contato com uma teoria fascinante, com aplicações em diversas áreas, e com simplificadora de alguns cálculos problemáticos da própria Matemática. É comum escutarmos de alguns professores de Matemática do Ensino Médio que ensinam logaritmo, que embora lecionem este conteúdo, ele não serve para nada. Cuidado, aluno de licenciatura, pois falas como essa inibem o aprendizado do aluno e retiram a beleza da Matemática. Ninguém conhece todas as aplicações de um determinado conteúdo, mas procurar conhecer é essencial na atividade de um professor. Por exemplo, com logaritmo conseguimos calcular o nível sonoro de uma onda, medir a energia liberada por um terremoto, calcular o PH de uma substância, e outras aplicações que você verá com maior detalhe ao longo deste capítulo.

7.1. Uma Breve História

Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração.

Napier foi um dos que impulsionaram fortemente seu desenvolvimento, perto do início do século XVII. Ele é considerado o inventor dos logaritmos, muito embora outros matemáticos da época também tenham trabalhado com ele.

Já antes dos logaritmos, a simplificação das operações era realizada através das conhecidas relações trigonométricas, que relacionam produtos com somas ou subtrações. Esse processo de simplificação das operações envolvidas passou a ser conhecido como prostaférese, sendo largamente utilizado numa época em que as questões relativas à navegação e à astronomia estavam no centro das atenções. De fato, efetuar multiplicações ou divisões entre números muito grandes era um processo bastante dispendioso em termos de tempo. A simplificação, provocada pela prostaférese, era relativa e, sendo assim, o problema ainda permanecia.

John Napier

(1550-1617)

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O método de Napier baseou-se no fato de que associando aos termos de uma progressão geométrica b, b2, b3, b4, b5, … , bn, …

os termos da progressão aritmética

1, 2, 3, 4, 5, ... , n, ...

Então, ao produto de dois termos da primeira progressão, bm.bp, está associada a soma m+p dos termos correspondentes na segunda progressão.

Considerando, por exemplo,

PA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

PG 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16394

Para efetuar, por exemplo, 256 x 32, basta observar que:

• 256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira;

• 32 na segunda linha corresponde a 5 na primeira;

• como 8+5=13,

• 13 na primeira linha corresponde a 8192 na segunda.

Assim, 256x32=8192 resultado esse que foi encontrado através de uma simples operação de adição.

A fim de que os números da progressão geométrica estivessem bem próximos, para ser possível usar interpolação e preencher as lacunas entre os termos na correspondência estabelecida, evitando erros muito grosseiros,

Napier escolheu para razão o número 9999999,010

11

7=−=b , que é bem

próximo de 1. Segundo Eves, para evitar decimais, ele multiplicava cada potência

por 710 . Então, se L

N

−=

77

10

1110 , ele chamava L de "logaritmo" do

número N.

Assim, o logaritmo de Napier de 710 é 0 e o de

−

77

10

1110 é 1.

Enquanto Napier trabalhava com uma progressão geométrica onde o primeiro termo era 107.b e a razão b, ao que parece, de forma independente, Bürgi também lidava com o problema dos logaritmos.

Bürgi empregou uma razão um pouco maior do que 1, qual seja 1,0001=1+10-4. O primeiro termo de sua PG era 108 e ele desenvolveu uma tabela com 23027 termos.

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Como Napier, Bürgi considerou uma PG cuja razão era muito próxima de 1, a fim de que os termos da seqüência fossem muito próximos e os cálculos pudessem ser realizados com boas aproximações.

Posteriormente, Napier, juntamente com Briggs, elaboraram tábuas de logaritmos mais úteis de modo que o logaritmo de 1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse uma potência conveniente de 10, nascendo assim os logaritmos briggsianos ou comuns, ou seja, os logaritmos dos dias de hoje.

Ainda segundo Eves, durante anos ensinou-se a calcular com logaritmos na escola média ou no início dos cursos superiores de Matemática; também por muitos anos a régua de cálculo logarítmica foi o símbolo do estudante de engenharia do campus universitário.

Hoje, porém, com o advento das espantosas e cada vez mais baratas e rápidas calculadoras, ninguém mais em sã consciência usa uma tábua de logaritmos ou uma régua de cálculo para fins computacionais. O ensino dos logaritmos, como um instrumento de cálculo, está desaparecendo das escolas, os famosos construtores de réguas de cálculo de precisão estão desativando sua produção e célebres manuais de tábuas matemáticas estudam a possibilidade de abandonar as tábuas de logaritmos. Os produtos da grande invenção de Napier tornaram-se peças de museu.

A função logarítmica, porém, nunca morrerá pela simples razão de que as variações exponencial e logarítmica são partes vitais da natureza e da análise. Conseqüentemente, um estudo das propriedades da função logarítmica e de sua inversa, a função exponencial, permanecerá sempre uma parte importante do ensino da Matemática.

Recentemente, no século XX, com o desenvolvimento da Teoria da Informação, Shannon descobriu que a velocidade máxima Cmáx - em bits por segundo - com que sinais de potência S watts podem passar por um canal de comunicação, que permite a passagem, sem distorção, dos sinais de freqüência até B hertz, produzindo um ruído de potência máxima N watts, é dada por:

=

N

SBCmáx 2log

Dessa forma, os logaritmos claramente assumem um papel fundamental, pois constituem uma ferramenta essencial no contexto da moderna tecnologia

7.2. Definição de Logaritmo

“A base do Logaritmo elevada ao logaritmo é igual ao logaritmando”

cab =log

abc =

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Condição de Existência do Logaritmo

O Logaritmando deve ser maior que zero.

A base do logaritmo deve ser maior que zero e diferente de 1.

7.3. Propriedades em Consequencia da Definição

7.3.1. O Logaritmo de “1” em qualquer base válida é igual a zero.

Exemplo:

01log1log1log5

173 ===

7.3.2. Quando a base do Logaritmo coincide com o logaritmando a solução é o expoente do logaritmando

Exemplo:

137log 137 =

7.3.3. Base real elevada a um expoente logarítmico onde a base do logaritmo coincide com a base real, a solução é o logaritmando

Exemplo:

52 5log2 =

7.3.4. Igualdade de logaritmos de mesma base equivale a igualdade de seus logaritmandos

Exemplo:

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( ) ( )( ) ( )

6

392

932

9log32log 33

=

−=−

+=+

+=+

x

xx

xx

xx

7.4. Propriedades Operatórias de Logaritmo

7.4.1. Propriedade da Potência

( ) ana cn

c loglog =

7.4.2. Propriedade do Produto

( ) baba ccc logloglog +=+

7.4.3. Propriedade do Quociente

bab

accc logloglog −=

7.5. Logaritmos Especiais

É importante conhecermos a grafia destes logaritmos que ao longo do tempo receberão uma representação diferenciada.

7.5.1. O Logaritmo Decimal

É o logaritmo onde a base é o número natural “10 (dez)” .

aa 10loglog =

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7.5.2. O Logaritmo Neperiano

É o logaritmo onde a base é o número irracional “e = 2,718...” conhecido como número de Euler.

ana elog=l

7.5.3. Cologaritmo

( ) aaCo cc log1log −=

7.6. Mudança de Base de um Logaritmo

Podemos mudar a base do logaritmo para qualquer base que desejarmos, sendo que tem que ser uma base válida, ou seja, positiva e diferente de 1.

A mudança é feita da seguinte forma

Para converter ablog para base “c”

b

aa

c

cb log

loglog =

Ou seja, fazemos log do antigo logaritmando na base desejada, sobre log da antiga base na base desejada.

Veja o exemplo:

Calcule 15log2 , adotando log 2 = 0,3 e log 3= 0,48.

Inicialmente, mudando para a base decimal

2log

15log15log2 =

Trocando 15 por 2

30, temos:

2log2

30log

15log2

=

Agora, aplicando a propriedade do quociente

Matemática I


2log

2log30log15log2

−=

Fatorando o logaritmando “30” , temos:

( )

2log

2log10log3log15log

2log

2log103log15log

2

2

−+=

−=

x

Aplicando os valores aproximados de logaritmo decimal de “2” e logaritmo decimal de “3”, e observando que temos a propriedade de logaritmando igual a base do logaritmo, encontramos:

93,33,0

18,1

3,0

3,0148,015log2 ≅=

−+=

7.7. Equações Logarítmicas

Antes de iniciar a solução de uma equação logarítmica é muito importante montar sua condição de existência. Nos exemplos abaixo era será registrada antes do início de cada solução.

Exemplo 1: ( ) 34log 22 =−+ xx

Condição de Existência { 042 >−+ xx

Resolvendo temos

32 24 =−+ xx

Logo, x = -4 ou x = 3

Testando as raízes,

x = -4

( ) ( )

( )verdadeiro08

0816

0444 2

>

>−

>−−+−

x = 3

Matemática I


( ) ( )

( )verdadeiro01

019

0433 2

>

>−

>−+

Logo, o conjunto solução é { }3,4−=S

Exemplo 2: ( ) 015log2log 22

2 =−− xx

Condição de Existência { 0>x

Vamos utilizar o artifício de trocar momentaneamente yx =2log . Obtemos uma simples equação quadrática:

01522 =−− yy

Onde suas raízes são y = -3 e y = 5

Retornando ao artifício temos;

8

1

2

3log3

2

=

=

−=−

x

x

x

32

2

5log5

2

=

=

=

x

x

x

Testando as raízes na condição de existência, temos:

( )

( )verdadeiro

verdadeiro

032

08

1

>

>

Logo, o conjunto solução é

= 32,8

1S

Exemplo 3: 024loglog4 =−+ xx

Condição de Existência

≠

>

1

0

x

x

Vamos mudar para “4” a base do segundo logaritmo.

02log

4loglog

4

44 =−+

xx

02log

1log

44 =−+

xx

Matemática I


Retirando o MMC (mínimo múltiplo comum), temos:

( ) 01log2log 42

4 =+− xx

Vamos utilizar o artifício de trocar momentaneamente yx =4log . Obtemos uma simples equação quadrática:

0122 =+− yy

Onde sua única raiz é y = 1

Retornando ao artifício temos:

4

4

1log1

4

=

=

=

x

x

x

Testando a raíz na condição de existência, temos:

( )( )verdadeiro

verdadeiro

14

04

≠

>

Logo, o conjunto solução é { }4=S

7.8. Inequações Logarítmicas

a) Inequações redutíveis a uma desigualdade entre logaritmos de mesma base

Existem dois casos para serem considerados:

• A base é maior que 1. Nesse caso, a relação desigualdade entre ( )xf e ( )xg tem o mesmo sentido que a desigualdade entre os

logaritmos. Para existirem os logaritmos, devemos impor também que ( )xf e ( )xg sejam positivos. Então, a solução pode ser obtida impondo-se que

( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf aa <<⇒< 0loglog

• A base está entre 0 e 1. Nesse caso, a relação de desigualdade entre ( )xf e ( )xg tem sentido contrário ao da desigualdade entre os

logaritmos. Para existirem os logaritmos, devemos impor também que ( )xf e ( )xg sejam positivos. Então a solução pode ser obtida impondo-se que:

( ) ( ) ( ) ( ) 0loglog >>⇒< xgxfxgxf aa

Matemática I


Exemplo 1: ( ) xx 33 log52log <−

Condições: ( ) xx <−< 520

Logo, temos:

( )

( ) 5522

5052

<⇒<−

>⇒>−

xxx

xx

Da interseção dos intervalos acima, resulta-se:

<<∈= 52

5/ xRxS

Exemplo 2: ( )2loglog2

12

2

1 +< xx

Condições: 022 >+> xx

Logo, temos:

21022

20222 >−<⇒>−−⇒+>

−>⇒>+

xouxxxxx

xx


{ }212/ >−<<−∈= xouxRxS

b) Inequações redutíveis a uma desigualdade entre um logaritmo e um número real

Para resolver uma equação deste tipo

( ) kxfa >log ou ( ) kxfa <log

Basta substituir “k” por ra alog ; assim, retornaremos numa equação do tipo

da letra (a) deste tópico. Veja nos exemplos abaixo:

Exemplo 1:

( )

( ) 422

2

2log12log

412log

<−

<−

x

x

Condições: ( ) 16120 <−< x

Matemática I


<<∈=2

17

2

1/ xRxS

Exemplo 2:

( )

( )2

3

12

3

1

2

3

1

3

1log8log

28log

−

>−

−>−

xx

xx

Condições: 980 2 <−< xx

Logo, temos:

9109898

800822

2

<<−⇒<−−⇒<−

><⇒>−

xxxxx

xouxxx


{ }9801/ <<<<−∈= xouxRxS

7.9. Gráfico de uma função Logarítmica

O Gráfico da função logarítmica é crescente quando a base é maior que “1”.

Veja o exemplo da função ( ) ( )xxf 10log=

O Gráfico da função logarítmica é decrescente quando a base esta no intervalo 10 << x .

Matemática I


Veja o exemplo da função ( ) ( )xxf2

1log=

7.10. Aplicações da Função Logarítmica

7.10.1. Nível Sonoro

Pierre Bouguer (1760) e depois Ernst Heinrich Weber (1831) estudaram a menor variação perceptível para determinados estímulos. Para isso apresentaram estímulos variáveis a diversos indivíduos para determinar o funcionamento quantitativo de diversos tipos de percepção. A lei de Bouguer-Weber estipulava que o limiar sensorial (a menor diferença perceptível entre dois valores de um estímulo) aumenta linearmente com o valor do estímulo de referência. O médico Gustav Fechner (inventor do termo psicofísica) modificou essa lei, para que ela se tornasse válida aos valores extremos do estímulo: "a sensação varia como o logaritmo da excitação". Esta lei pode ser aplicada a diversas formas de percepção. Não se sabe ao certo a causa neurológica dessa lei, mas ela pode ser percebida em diversos fenômenos da percepção. Por exemplo, na percepção de alturas, as pessoas percebem intervalos iguais, quando suas freqüências variam exponencialmente. Por exemplo, a relação entre as freqüências de 220 Hz e 440 Hz é percebida como um intervalo de uma oitava. A relação entre 440 Hz e 880 Hz é percebida como um intervalo igual de uma oitava, mesmo que a distância real entre as freqüências não seja igual. Relações semelhantes se aplicam à percepção de intensidade sonora, intensidade luminosa, cores e diversos outros aspectos da percepção

A lei de Weber-Fechner é dada pela expressão

=

0

log10I

INS

Matemática I


NS - Nível Sonoro (dB)

I - Intensidade das ondas sonoras do ambiente (W/m2)

0I - Intensidade Mínima Auditiva “limiar auditivo” (W/m2)

2120 /10 mWI −=

7.10.2. Escala Richter

A escala Richter, desenvolvida originalmente em 1935 por Charles Richter e Beno Gutenberg, do Caltech (Instituto de Tecnologia da Califórnia), é uma forma de medir a magnitude dos terremotos com base nas ondas sísmicas que se propagam a partir do local de origem do tremor no subsolo. Quanto maior a energia liberada pelo terremoto, maior a amplitude do movimento do solo causada por ele, e maior a pontuação na escala Richter. A escala, em princípio, não tem limites, mas terremotos com magnitude 10 ou superior nunca foram registrados.

A escala Richter usa logaritmos como base matemática, o que, na prática,

significa que uma variação de apenas um número na magnitude de um

terremoto -- passando de 7 para 8, por exemplo -- na verdade significa um

aumento de dez vezes na amplitude. Em relação à energia liberada pelo

terremoto, a diferença de um terremoto 7 para um 8 equivale a 32 vezes mais

energia.

Os efeitos de um terremoto obviamente dependem, entre outras coisas, de

sua magnitude na escala Richter. Até a magnitude 1,9, por exemplo, só

sismógrafos são capazes de detectar o tremor. Os primeiros danos aparecem

em magnitudes entre 4 e 4,9, com quebra de janelas e outros objetos. Com

magnitudes entre 7 e 7,9, prédios podem sair de suas fundações e rachaduras

aparecem no solo.

Nas estimativas de energia liberada no interior do planeta pelos tremores, a

pontuação 7 na escala Richter equivale à maior bomba termonuclear já

testada pelo homem. No nível 10, a energia gerada seria parecida com a da

explosão de um meteorito de 20 km ao atingir a Terra. Grande parte dessa

energia, no entanto, fica retida no fundo do planeta e não chega à superfície

quando um terremoto ocorre.

=

0

log3

2

E

Er

r - Registro na Escala Richter (dB)

Charles Richter

(1-1)

Beno Gutenberg

(1-1)

Matemática I


E - Energia Liberada registrada (W/m2)

0E - Energia Mínima Percebida (W/m2)

2120 /10 mWI −=

Atividades

1. Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura T de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é T³ obedece à seguinte relação:

Nesta relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e k e c são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100°C, colocada numa sala de temperatura 20°C. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40°C. a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala. b) Considerando Øn 2 = 0,7 e Øn 3 = 1,1, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade.

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2. Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p (t), o preço após t anos, pede-se: a) a expressão para p (t); b) o tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use: log 2 ¸ 0,301 e log 3¸0,477. 3. A função L(x) = aeöÑ fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada. a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes. b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto. 4. a) Seja f : IR ë IR*ø uma função do tipo f(x) = k . aÑ cujo gráfico passa pelos pontos (2, 2) e (3, 4). Determine a inversa da função f, fornecendo sua lei de formação, seu domínio e contra-domínio. b) No plano cartesiano a seguir, encontra-se representado o gráfico da função f : ]0,+¶[ ë IR, definida por f(x) = log‚ (x). Construa, neste mesmo plano cartesiano, o gráfico da função g : ]0,+¶[ ë IR, definida por g(x) = log‚ (2x).

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5. Seja f: ] 0 , ¶ [ ë IR dada por f(x) = logƒ x.

Sabendo que os pontos (a, -’), (b, 0), (c, 2) e (d, ’) estão no gráfico de f, calcule b + c + ad. 6. Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções:

a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas. b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.

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7. O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamado de magnitude aparente da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de 10 parsecs (1 parsec é aproximadamente 3 × 10¢¤ km). As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmula M = m + 5 . logƒ (3 .d¡'¥©) onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem aproximadamente magnitude aparente 0,2 e magnitude absoluta - 6,8. Determine a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra. 8. A área da região hachurada na figura A vale log�³ t, para t>1.

a) Encontre o valor de t para que a área seja 2. b) Demonstre que a soma das áreas das regiões hachuradas na figura B (onde t = a) e na figura C (onde t = b) é igual à área da região hachurada na figura D (onde t = ab). 9. Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce 15% ao ano. Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes nos próximos anos. a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui a um ano. b) Essas duas populações serão iguais após um determinado tempo t, medido em anos. Se t = 1/logx, determine o valor de x.

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10. Em 2002, um banco teve lucro de um bilhão de reais e, em 2003, teve lucro de um bilhão e duzentos milhões de reais. Admitindo o mesmo crescimento anual para os anos futuros, em quantos anos, contados a partir de 2002, o lucro do banco ultrapassará, pela primeira vez, um trilhão de reais? (Obs.: use as aproximações Øn (1000) ¸ 6,907, Øn (1,2) ¸ 0,182.) 11. O preço p de um terreno daqui a t anos é estimado pela relação p = a . (b) . a) Se hoje o terreno vale R$ 80.000,00 e o valor estimado daqui a 10 anos é R$120.000,00, obtenha a e b. b) Se a estimativa fosse dada por p = a . (1,02) , daqui a quantos anos o preço do terreno dobraria? 12. Uma empresa estima que após completar o programa de treinamento básico, um novo vendedor, sem experiência anterior em vendas, será capaz de vender V(t) reais em mercadorias por hora de trabalho, após t meses do início das atividades na empresa. Sendo V(t) = A - B.3¾ , com A, B e n constantes obtidas experimentalmente, pede-se: a) determinar as constantes A, B e n, sabendo que o gráfico da função V é

b) admitindo-se que um novo programa de treinamento básico introduzido na empresa modifique a função V para V(t) = 55 - 24.3 , determinar t para V(t) = 50. Adote nos cálculos log 2 = 0,3 e log 3 = 0,5. 13. Paulo é pecuarista e possui um rebanho bovino de 1.200 cabeças, cuja taxa de crescimento anual é uma porcentagem representada por t. Paulo realizou a venda de 1.800 cabeças, comprometendo-se a entregar 1.000 no final de 1 ano e, as outras 800, no final de 2 anos. a) Determine t, considerando que, após a 2� entrega, não sobre cabeça alguma. b) Se log 2 = 0,3 e t = 25%, quantos anos aproximadamente o pecuarista levaria para fazer a 2� entrega?

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14. A população de uma cidade cresce aproximadamente 4,166...% ao ano, ou seja, 1/24 ao ano. Após quantos anos o número de habitantes dessa cidade será o dobro da sua população atual? São dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. 15. Dada a equação x = (1 + y)¾, onde Øn x = 16 e Øn (1 + y) = 8, tal que x > 0 e y > -1, determine o valor de n. 16. Sabendo-se que

calcule o valor do menor inteiro a que satisfaz a inequação log… 6 + log† 7 + log‡ 8 + logˆ 5 < a. 17. Resolvendo o sistema ýlog x + log y = 5 þ , ÿlog x - log y = 7 x e y assumirão que valores? 18. Seja a função f(x) = log [(1 - x)/(1 + x)]. Verifique que, se x� e x‚ Æ (-1 , 1), a igualdade f(x�) + f(x‚) = f[(x� + x‚)/(1 + x�x‚)] é verdadeira. 19. Resolva a equação do 2¡. grau (log‚ a) . x£ + (log‚ a) . x - 2 log‚ N = 0 na variável x, onde a e N são números estritamente positivos.

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20. Seja a função f dada por

Determine todos os valores de x que tornam f não-negativa. 21. Para b > 1 e x > 0, resolva a equação em x:

22. O número de bactérias numa cultura, depois de um tempo t, é dado pela função N(t) = N³ . eÑ , em que N³ é o número inicial de bactérias e x é a taxa de crescimento. Se a taxa de crescimento é de 5% ao minuto, em quanto tempo a população de bactérias passará a ser o dobro da inicial? Dado: Øn 2 = 0,6931

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23. Leia atentamente a reportagem a seguir. UMA BOA NOTÍCIA Lançado na semana passada, o livro "Povos Indígenas no Brasil - 1996/2000" mostra que as tribos possuem hoje cerca de 350.000 habitantes e crescem ao ritmo de 3,5% ao ano, quase o dobro da média do restante da população. Mantendo o atual ritmo de crescimento, é possível imaginar que a população indígena demoraria 60 anos para atingir o tamanho registrado em 1500, na época do Descobrimento. (Adaptado de "Veja", 11/04/2001.) Admita que a população indígena hoje seja de exatamente 350.000 habitantes, e que sua taxa de crescimento anual seja mantida em 3,5%. De acordo com esses dados, estime a população das tribos indígenas do Brasil nos seguintes momentos: a) daqui a um ano; b) em 1500, utilizando a tabela de logaritmos a seguir.

24. Um grupo de 20 ovelhas é libertado para reprodução numa área de preservação ambiental. Submetidas a um tratamento especial, o número N de ovelhas existentes após t anos pode ser estimado pela seguinte fórmula: N = 220 / [ 1 + 10 (0,81) ] Admita que a população de ovelhas seja capaz de se manter estável, sem esse tratamento especial, depois de atingido o número de 88 ovelhas. a) Calcule o número de ovelhas existentes após seis meses. b) Considerando Øn 2 = 0,7, Øn 3 = 1,1 e Øn 5 = 1,6, calcule a partir de quantos anos não haverá mais a necessidade de tratamento especial do rebanho.

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25. Durante um período de oito horas, a quantidade de frutas na barraca de um feirante se reduz a cada hora, do seguinte modo: - nas t primeiras horas, diminui sempre 20% em relação ao número de frutas da hora anterior; - nas 8 - t horas restantes, diminui 10% em relação ao número de frutas da hora anterior. Calcule: a) o percentual do número de frutas que resta ao final das duas primeiras horas de venda, supondo t = 2; b) o valor de t, admitindo que, ao final do período de oito horas, há, na barraca, 32% das frutas que havia, inicialmente. Considere log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. 26. A International Electrotechnical Commission - IEC padronizou as unidades e os símbolos a serem usados em Telecomunicações e Eletrônica. Os prefixos kibi, mebi e gibi, entre outros, empregados para especificar múltiplos binários são formados a partir de prefixos já existentes no Sistema Internacional de Unidades - SI, acrescidos de bi, primeira sílaba da palavra binário. A tabela na figura 1 indica a correspondência entre algumas unidades do SI e da IEC. Um fabricante de equipamentos de informática, usuário do SI, anuncia um disco rígido de 30 gigabytes. Na linguagem usual de computação, essa medida corresponde a p × 2¤¡ bytes. Considere a tabela de logaritmos na figura 2.

Calcule o valor de p.

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27. A energia potencial elástica (E) e a variação no comprimento (ÐØ) de uma determinada mola estão associadas conforme a tabela:

Sabe-se, também, que a relação entre y e x é estabelecida pela equação y = nx + log(K/2), sendo K a constante elástica da mola e n uma constante. a) Determine os valores das constantes K e n. b) Determine o valor de E para ÐØ = 3. 28. A equação - x¥ + 11x¤ - 38x£ + 52x - 24 = 0 tem duas de suas raízes iguais a 2. Dadas as funções reais f e g definidas, respectivamente, por f(x) = -x¥ + 11x¤ - 38x£ + 52x - 24 e g(x) = log(f(x)), determine o domínio de g. 29. Calcule o valor do número natural n que satisfaz a equação log�³(0,1) + log�³(0,1)£ + ... + log�³(0,1)¾ = - 15 30. A teoria da cronologia do carbono, utilizada para determinar a idade de fósseis, baseia-se no fato de que o isótopo do carbono 14 (C-14) é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio e que a quantidade de C-14 na atmosfera é a mesma que está presente nos organismos vivos. Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação, cessa, e a quantidade de C-14 presente no fóssil é dada pela função C(t) = C³10¾ , onde t é dado em anos a partir da morte do organismo, C³ é a quantidade de C-14 para t = 0 e n é uma constante. Sabe-se que 5 600 anos após a morte, a quantidade de C-14 presente no organismo é a metade da quantidade inicial (quando t = 0). No momento em que um fóssil foi descoberto, a quantidade de C-14 medida foi de C³/32. Tendo em vista estas informações, calcule a idade do fóssil no momento em que ele foi descoberto.

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31. O valor da expressão numérica a seguir é um número inteiro. Determine esse número.

32. Sendo x e y números reais e y · 0, expresse o logaritmo de 3Ñ na base 2Ò em função de x, y e log‚3. 33. Considere a = log [ x - (1/x) ] e b = log [ x + (1/x) - 1 ], com x >1. Determine log [ x£ - x + (1/x) - (1/x£) ] em função de a e b. 34. Ana e Bia participam de um site de relacionamentos. No dia 1¡. de abril de 2005, elas notaram que Ana tinha exatamente 128 vezes o número de amigos de Bia. Ana informou que, para cada amigo que tinha no final de um dia, três novos amigos entravam para sua lista de amigos no dia seguinte. Já Bia disse que, para cada amigo que tinha no final de um dia, cinco novos amigos entravam para sua lista no dia seguinte. Suponha que nenhum amigo deixe as listas e que o número de amigos aumente, por dia, conforme elas informaram. a) No dia 2 de abril de 2005, vinte novos amigos entraram para a lista de Bia. Quantos amigos havia na lista de Ana em 1¡. de abril? b) Determine a partir de que dia o número de amigos de Bia passa a ser maior do que o número de amigos de Ana. Se precisar, use a desigualdade 1, 584 < log‚3 < 1, 585.

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35. Dados a e y números reais positivos, y · 1, define-se logaritmo de a na base y como o número real x tal que yÑ = a, ou seja, x = logÙ a. Para n · 1, um número real positivo, a tabela a seguir fornece valores aproximados para nÑ e nÑ. Com base nesta tabela, determine uma boa aproximação para:

a) o valor de n; b) o valor de logŠ (1/10). 36. Os habitantes de um certo país são apreciadores dos logaritmos em bases potência de dois. Nesse país, o "Banco ZIG" oferece empréstimos com a taxa (mensal) de juros T=logˆ225, enquanto o "Banco ZAG" trabalha com a taxa (mensal) S=log‚15. Com base nessas informações, a) estabeleça uma relação entre T e S; b) responda em qual dos bancos um cidadão desse país, buscando a menor taxa de juros, deverá fazer empréstimo. Justifique. 37. Resolvendo a inequação logarítmica log (x-3)µ3, qual a solução encontrada? Obs.: considere o logaritmo na base 1/2.

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38. Uma peça metálica foi aquecida até atingir a temperatura de 50 °C. A partir daí, a peça resfriará de forma que, após t minutos, sua temperatura (em graus Celsius) será igual a

Usando a aproximação Øn 2 ¸ 0,7, determine em quantos minutos a peça atingirá a temperatura de 35 °C. 39. A tabela mostra 3 números com as correspondentes mantissas de seus logaritmos na base 10.

a) Escreva os valores dos log�³(x). b) Calcule os valores aproximados de log�³(3,04), log�³(3010) e log�³(302).

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40. Sejam ‘ e ’ constantes reais, com ‘ > 0 e ’ > 0, tais que log�³‘=0,5 e log�³’=0,7. a) Calcule log�³ ‘’, onde ‘’ indica o produto de ‘ e ’. b) Determine o valor de x Æ IR que satisfaz a equação

41. A função a seguir expressa, em função do tempo t (em anos), aproximadamente, a população, em milhões de habitantes, de um pequeno país, a partir de 1950 (t = 0). Um esboço do gráfico dessa função, para 0 ´ t ´ 80, é dado na figura.

a) De acordo com esse modelo matemático, calcule em que ano a população atingiu 12 milhões de habitantes. (Use as aproximações logƒ2 = 0,6 e logƒ5 = 1,4.) b) Determine aproximadamente quantos habitantes tinha o país em 1950. Com base no gráfico, para 0 ´ t ´ 80, admitindo que p(80) = 17, dê o conjunto solução da inequação p(t) µ 15 e responda, justificando sua resposta, para quais valores de k a equação p(t) = k tem soluções reais.

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42. A temperatura média da Terra começou a ser medida por volta de 1870 e em 1880 já apareceu uma diferença: estava (0,01) °C (graus Celsius) acima daquela registrada em 1870 (10 anos antes). A função

com t(x) em °C e x em anos, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura média da Terra (em relação àquela registrada em 1870) no ano (1880 + x), x µ 0. Com base na função, determine em que ano a temperatura média da Terra terá aumentado 3°C. (Use as aproximações log‚(3) = 1,6 e log‚(5) = 2,3) 43. A função

com x em anos, fornece aproximadamente o consumo anual de água no mundo, em km¤, em algumas atividades econômicas, do ano 1900 (x = 0) ao ano 2000 (x = 100). Determine, utilizando essa função, em que ano o consumo de água quadruplicou em relação ao registrado em 1900. Use as aproximações log 2 = 0,3 e log 5 = 0,7.

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44. A escala de um aparelho de medir ruídos é definida como R’ = 12 + log�³ I, em que R’ é a medida do ruído, em bels, e I é a intensidade sonora, em W/m£. No Brasil, a unidade mais usada para medir ruídos é o decibel, que equivale a um décimo do bel. O ruído dos motores de um avião a jato equivale a 160 decibels, enquanto o tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade atinge 80 decibels, que é o limite a partir do qual o ruído passa a ser nocivo ao ouvido humano. a) Escreva uma fórmula que relacione a medida do ruído Rd’, em decibels, com a intensidade sonora I, em W/m£. Empregue essa fórmula para determinar a intensidade sonora máxima que o ouvido humano suporta sem sofrer qualquer dano. b) Usando a fórmula dada no enunciado ou aquela que você obteve no item (a), calcule a razão entre as intensidades sonoras do motor de um avião a jato e do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade. 45. O sistema de ar condicionado de um ônibus quebrou durante uma viagem. A função que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função de t, o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar condicionado,é

onde T³ é a temperatura interna do ônibus enquanto a refrigeração funcionava, e T(ext) é a temperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem). Sabendo que T³ = 21 °C e T(ext) = 30 °C, responda às questões. a) Calcule a temperatura no interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar condicionado. Em seguida, esboce o gráfico de T(t). b) Calcule o tempo gasto, a partir do momento da quebra do ar condicionado, para que a temperatura subisse 4 °C. Se necessário, use log�³ 2 ¸ 0,30, log�³ 3 ¸ 0,48 e log�³ 5 ¸ 0,70. 46. Uma droga na corrente sangüínea é eliminada lentamente pela ação dos rins. Admita que, partindo de uma quantidade inicial de Q³ miligramas, após t horas a quantidade da droga no sangue fique reduzida a Q(t) = Q³(0,64) miligramas. Determine: a) a porcentagem da droga que é eliminada pelos rins em 1 hora. b) o tempo necessário para que a quantidade inicial da droga fique reduzida à metade. Utilize log�³ 2 = 0,30.

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47. Suponha que a taxa de juros de débitos no cartão de crédito seja de 9% ao mês, sendo calculada cumulativamente. Em quantos meses uma dívida no cartão de crédito triplicará de valor? (Dados: use as aproximações ln(3) ¸ 1,08 e ln(1,09) ¸ 0,09.) 48. Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre: a) O capital acumulado após 2 anos. b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. [Se necessário, use log�³ 2 = 0,301 e log�³3 = 0,477]. 49. É dada a função f definida por: f(x) = log‚x - log„(x-3) a) Determine os valores de x para os quais f(x) ´ 2. b) Determine os valores de x para os quais f(x) > 2. 50. Resolva a inequação (16 - x£) . logƒ (x - 2) > 0.

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8. PROGRESSÕES

Neste capítulo estudaremos duas sequências numéricas importantes, as progressões aritméticas e progressões geométricas.

Existem relatos do uso de progressões no papiro de Ahmés (século XVII a.C.), os Pitagóricos também deram a sua contribuição através dos estudos do som, eles concluíram que a vibração das cordas produzia uma frequência que formava uma sequência numérica. Matemáticos como Euclides de Alexandria (século III a.C.), Diofanto (século III d.C.) e o hindu Aryabhata (499 d.C.) estabeleceram em seus trabalhos regras relacionadas às progressões.

As sequências numéricas criadas por Fibonacci davam continuidade aos estudos e de alguma forma as progressões estavam presentes em diversas pesquisas. Gauss (1777 – 1855) foi um dos maiores gênios da Matemática, chegou a ser chamado de príncipe da Matemática, contribuindo de vez para a introdução dos cálculos sobre progressões.

As progressões representam uma importante ferramenta, pois sua aplicabilidade se encontra em situações relacionadas à Matemática Financeira. Os juros simples podem ser relacionados às progressões aritméticas e os juros compostos estão diretamente ligados às progressões geométricas.

8.1. Progressão Aritmética

8.1.1. Definição de Progressão Aritmética

É uma sequência numérica onde cada termo pode ser encontrado adicionando ao termo anterior uma constante (razão da P.A). Chamamos essa progressão de P.A, pois cada termo da sequência é uma média aritmética dos termos vizinhos:

211 −+ +

= nnn

aaa

Observe a progressão P.A (2,5,8,11,..)

52

10

2

82

231

2 ==+

=+

=aa

a

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82

16

2

115

242

3 ==+

=+

=aa

a

8.1.2. Razão da P.A

A razão da P.A pode ser encontrada pela diferença de um termo e seu antecessor na sequência numérica

1−−= nn aar

Utilizando novamente a sequência P.A (2,5,8,11,..)

3811

358

325

34

23

12

=−=−=

=−=−=

=−=−=

aar

aar

aar

Vemos que realmente que a razão da P.A. é uma constante.

8.1.3. Termo Geral da P.A

Siga esse raciocínio lógico

rarraraa

rarraraa

rarraraa

raa

43

32

2

1145

1134

1123

12

+=++=+=

+=++=+=

+=++=+=

+=

Logo podemos concluir que qualquer termo da P.A. pode ser encontrado pelo modelo

( )rnaan 11 −+=

Com esse modelo podemos encontrar qualquer termo da P.A. que desejamos. Veja:

Sendo a P.A (2,5,8,11,..), encontre o termo 200a

Substituindo temos

599

5972

3)199(2

3)1200(2

200

200

200

200

=

+=

+=

−+=

a

a

a

a

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8.1.4. Classificação da P.A

a) P.A Crescente ( 0>r )

Exemplo: P.A (2,5,8,11,13,...) r = 3 ( 0>r )

b) P.A. Decrescente ( 0<r )

Exemplo: P.A (2,0,-2,-4,-6,...) r = -2 ( 0<r )

c) P.A Constante ( 0=r )

Exemplo: P.A (2,2,2,2,2,...) r = 0

8.1.5. Soma dos termos da P.A.

Segundo reza a lenda, Gauss concebeu esse conceito desta fórmula na escola primária e utilizou-a para calcular imediatamente a soma dos números inteiros de 1 a 100, tarefa que os restantes alunos demoraram toda a aula para realizar.

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles.

Expresse a PA de duas maneiras:

( ) ( )( )( ) ( )( )dnadna

dadaaSn

12

...2

11

111

−++−++

+++++=

( )( ) ( )( )( ) ( ) nnn

nnn

adada

dnadnaS

+−+−+

+−−+−−=

2

...21

Adicione os dois lados da equação. Todos os termos envolvendo d se cancelam, e então ficamos com:

Carl Friedrich Gauss

(1777-1855)

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( )nn aanS += 12

Rearranjando e se lembrando que ( )rnaan 11 −+= , nós temos:

( )2

1 nn

aanS

+=

Utilizando a P.A (2,5,8,11,..), encontre o termo a somo dos primeiros duzentos termos:

( )2

2200 200200

aS

+=

Como calculamos no tópico anterior 599200 =a , temos

( )( )

60100

601100

5992100

200

200

200

=

=

+=

S

S

S

8.2. Progressão Geométrica

8.2.1. Definição de P.G

É uma sequência numérica onde cada termo pode ser encontrado multiplicando o termo anterior por uma constante (razão da P.G)

A sequência é conhecida como progressão geométrica, pois cada termo é a média geométrica dos termos vizinhos

11. +−= nnn aaa

Sendo a P.G (2,6,18,54,...), veja:

18324)54(6.

636)18(2.

423

312

====

====

aaa

aaa

8.2.2. Razão da P.G

A razão da P.G é o quociente entre o termo e o seu antecessor

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1−

=n

n

a

aq

Sendo a P.G (2,6,18,54,...), veja:

318

54

36

18

32

6

3

4

2

3

1

2

===

===

===

a

aq

a

aq

a

aq

Vemos que realmente a razão da P.G. é uma constante

8.2.3. Termo Geral da P.G

Siga o raciocínio lógico

31

2134

21123

12

....

....

.

qaqqaqaa

qaqqaqaa

qaa

===

===

=

Podemos concluir que qualquer termo pode ser encontrado pelo modelo

11.

−= nn qaa

Sendo a P.G (2,6,18,54,...), encontre o quinto termo

16281.23.23.2 4155 ==== −a

8.2.4. Classificação da P.G

a) P.G Crescente

Caso 1: ( 01 >a e 1>q )

Exemplo: P.G (2,6,18,54,...) 3=q

Caso 2: ( 01 <a e 10 << q )

Exemplo: P.G (-8, -4,-2,-1,...) 2

1=q

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b) P.G Decrescente

Caso 1: ( 01 >a e 10 << q )

Exemplo: P.G (8,4,2,1,...) 2

1=q

Caso 2: ( 01 <a e 1>q )

Exemplo: P.G (-3,-6,-12,-24,,...) 2=q

c) P.G Constante ( 1=q )

Exemplo: P.G (3,3,3,3,3,...) 1=q

d) P.G Oscilante ( 0<q )

Exemplo: P.G (-3,6,-12,24,-48,...) 2−=q

8.2.5. Soma dos termos da P.G Finita

Imagine a soma de n termos da P.G

)(...321 IIaaaaS nn ++++=

Multiplicando os dois membros pela razão da P.G (q) temos a equação (II)

)(...321 IIqaqaqaqaqS nn ++++=

Efetuando (I) – (II)

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )q

qaS

qaqS

qaaqS

qqaaqS

qaaqSS

n

n

nn

nn

nn

nnn

−

−=

−=−

−=−

−=−

−=−−

1

1

11

1

1

1

1

11

111

1

Encontre a soma dos quatro primeiros termos da P.G (2,6,18,54,...)

( ) ( ) ( ) 808012

8112

31

312 4

4 =−−=−

−=

−

−=S

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8.2.6. Soma dos termos da P.G Infinita

A única P.G, que conseguimos fazer soma dos infinitos termos, é a P.G decrescente, pois sua soma é convergente. Mas o que é ser convergente?

Dada a P.G (1, 2

1,

4

1,

8

1,

16

1,

32

1,...)

96875,132

19375,1

9375,116

1875,1

875,18

175,1

75,14

15,1

5,12

11

656

545

434

323

212

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

aSS

aSS

aSS

aSS

aaS

Observe que quanto mais termos adicionamos, a soma (resultado) converge a 2. Mas encontraríamos o soma exatamente 2, quando somássemos infinitos termos, ou seja, 2=∞S .

Vamos agora aumentar de forma consecutiva a razão da P.G, mostrada acima

015625,064

1

2

1

03125,032

1

2

1

0625,016

1

2

1

125,08

1

2

1

25,04

1

2

1

5,02

1

2

1

12

1

6

5

4

3

2

1

0

==

==

==

==

==

==

=

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Observe, que quanto mais aumentamos o valor do expoente, mais o resultado se aproxima de 0 (zero). O resultado será exatamente zero quando o expoente valer ∞ .

Dizemos então 0lim =∞→n

nq (limite de nq , quando n tende ao infinito é zero)

Aplicando este resultado no modelo visto no tópico anterior temos

( )( )q

qaS

n

n−

−=

1

11

( )( )

( )

q

aS

q

a

q

a

q

qaS

−=

−=

−

−=

−

−=

∞

∞

∞

1

11

01

1

1

1

111

Veja o modelo encontrado aplicado a P.G (1, 2

1,

4

1,

8

1,

16

1,

32

1,...)

2

11

2

11

1

11

=

−

=

−=

∞

∞

∞

S

S

q

aS

2=∞S

Atividades

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO Faça os cálculos e não os apague. Eles justificam a sua resposta.

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1. Observe as figuras a seguir. São todas formadas por bolinhas do mesmo tamanho.

Apesar da figura 5 não estar desenhada, foi possível completar a tabela com o número de bolinhas pretas, bolinhas brancas e com o total de bolinhas. Isso, porque existe uma regra para construção das figuras. Descubra que regra é essa e faça os itens a seguir. a) Na tabela, complete quantas bolinhas pretas, bolinhas brancas e o total de bolinhas que serão usadas para formar a figura 6. b) Quantas bolinhas pretas serão necessárias para formar a figura 21? c) Quantas bolinhas brancas serão necessárias para formar a figura 23? d) Qual o número total de bolinhas necessário para formar a figura 35? 2. Calcule as seguintes somas

3. Considere a seqüência cujo termo geral é aŠ = (-1)¾ (2 + 3n), onde n = 1, 2, 3, ... . a) Escreva os seis primeiros termos dessa seqüência. b) Calcule a soma dos 2007 primeiros termos dessa seqüência.

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4. Observe na figura o número de mesas e o número máximo de lugares disponíveis em cada configuração.

Considere que a sequência de configurações continue, segundo o padrão apresentado. a) Complete a tabela anterior: b) Quantos lugares, no máximo, estarão disponíveis em uma configuração com 100 mesas? 5. Seja a�, a‚, ... uma progressão aritmética infinita tal que

Determine o primeiro termo e a razão da progressão. 6. Sabendo que o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em progressão aritmética, calcule a medida do lado do quadrado.

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7. Observe a tabela de Pitágoras.

Calcule a soma de todos os números desta tabela até a vigésima linha. 8. Dois corredores vão se preparar para participar de uma maratona. Um deles começará correndo 8 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distância em 2 km; o outro correrá 17 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distância em 1 km. A preparação será encerrada no dia em que eles percorrerem, em quilômetros, a mesma distância. Calcule a soma, em quilômetros, das distâncias que serão percorridas pelos dois corredores durante todos os dias do período de preparação. 9.

A figura acima apresenta 25 retângulos. Observe que quatro desses retângulos contêm números e um deles, a letra n. Podem ser escritos, em todos os outros retângulos, números inteiros positivos, de modo que, em cada linha e em cada coluna, sejam formadas progressões aritméticas de cinco termos. Calcule: a) a soma dos elementos da quarta linha da figura; b) o número que deve ser escrito no lugar de n.

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10. Moedas idênticas de 10 centavos de real foram arrumadas sobre uma mesa, obedecendo à disposição apresentada no desenho: uma moeda no centro e as demais formando camadas tangentes.

Considerando que a última camada é composta por 84 moedas, calcule a quantia, em reais, do total de moedas usadas nessa arrumação. 11. Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma medalha olímpica de ouro na modalidade salto em distância. Em um treino, no qual saltou n vezes, a atleta obteve o seguinte desempenho: - todos os saltos de ordem ímpar foram válidos e os de ordem par inválidos; - o primeiro salto atingiu a marca de 7,04 m, o terceiro a marca de 7,07 m, e assim sucessivamente cada salto válido aumentou sua medida em 3 cm; - o último salto foi de ordem ímpar e atingiu a marca de 7,22 m. Calcule o valor de n. 12. Os lados a, b, e c do triângulo ABC são opostos aos ângulos internos ‘, ’ e –, respectivamente, e as medidas, em graus, dos ângulos ‘, ’ e ,– estão, nessa ordem, em progressão aritmética com razão positiva. a) Determine a medida do ângulo ’. b) Sabendo-se que a medida do lado a é a metade da medida do lado c, determine as medidas dos ângulos ‘ e –. 13. A soma dos n primeiros termos da seqüência de números reais a�, a‚, ..., an, ... é n£/3, para todo inteiro positivo n. a) Verifique se a seqüência é uma progressão geométrica ou uma progressão aritmética ou nenhuma das duas. Justifique sua resposta. b) Calcule o milésimo termo da seqüência. 14. Um tecido com 1 mm de espessura produzido continuamente por uma máquina é enrolado em um tubo cilíndrico com 10 cm de diâmetro. Nessas condições, expresse o comprimento total de tecido, em centímetros, enrolado no tubo em função do número de voltas dadas pelo tubo.

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15. A figura a seguir representa uma seqüência de cinco retângulos e um quadrado, todos de mesmo perímetro, sendo que a base e a altura do primeiro retângulo da esquerda medem 1 cm e 9 cm, respectivamente. Da esquerda para a direita, as medidas das bases desses quadriláteros crescem, e as das alturas diminuem, formando progressões aritméticas de razões a e b, respectivamente. Calcule as razões dessas progressões aritméticas.

16. Seja S a soma dos naturais menores ou iguais a 1.000 que são produtos de dois naturais pares. Indique a soma dos dígitos de S. 17. Nos quilômetros 31 e 229 de uma rodovia estão instalados telefones de emergência. Ao longo da mesma rodovia e entre estes quilômetros, pretende-se instalar 10 outros telefones de emergência. Se os pontos adjacentes de instalação dos telefones estão situados a uma mesma distância, qual é esta distância, em quilômetros? 18. Uma reta divide o plano em 2 regiões; duas retas dividem- no em, no máximo, 4 regiões; três retas dividem-no em, no máximo, 7 regiões; e assim sucessivamente. Em quantas regiões, no máximo, 37 retas dividem o plano? Justifique.

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19. Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Calcule o determinante da matriz

Justifique. 20. Um jogo de computador tem diversas fases. As fases são compostas por níveis. A primeira fase tem um único nível, que dá acesso aos três níveis da segunda. Cada um dos níveis da fase k dá acesso a três níveis da fase k + 1, de acordo com o esquema da figura 1. Assim, o diagrama correspondente às 4 primeiras fases é o apresentado na figura 2.

a) Quantos níveis tem a fase 6? b) De quantas maneiras diferentes, partindo da primeira fase, é possível chegar ao nível 3072 da fase 13?

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21. Uma pessoa pode subir uma escada da seguinte forma: a cada degrau, ou ela passa ao degrau seguinte ou galga dois degraus de uma só vez, pulando um degrau intermediário. A exceção dessa regra ocorre se a pessoa estiver no penúltimo degrau, quando ela só tem a opção de passar ao último degrau. Seja PŠ o número de modos diferentes que a pessoa tem de subir uma escada de n degraus dessa maneira. a) Calcule P‡ . b) Determine N tal que PŠ = 987. 22. Uma parede triangular de tijolos foi construída da seguinte forma. Na base foram dispostos 100 tijolos, na camada seguinte, 99 tijolos, e assim sucessivamente até restar 1 tijolo na última camada, como mostra a figura. Os tijolos da base foram numerados de acordo com uma progressão aritmética, tendo o primeiro tijolo recebido o número 10, e o último, o número 490. Cada tijolo das camadas superiores recebeu um número igual à média aritmética dos números dos dois tijolos que o sustentam.

Determine a soma dos números escritos nos tijolos. 23. Em uma biblioteca arrumaram-se os livros em uma prateleira de 12 linhas e 25 colunas. Para distribuir melhor os volumes considerou-se o critério peso, representado pela expressão P = i . j + 150 gramas, sendo i a linha e j a coluna onde está localizado o livro. Mas devido a um temporal, em que a água inundou a biblioteca através da janela, foi necessário retirar os volumes da última linha (próxima ao chão) e da última coluna (próxima à janela) para que não fossem destruídos. Qual o peso total dos livros removidos devido a enchente? 24. Em uma PA não constante de 7 termos, com termo médio igual a 6, os termos 2¡., 4¡. e 7¡., nesta ordem, formam uma PG. Determine esta PA. 25. Numa sala de aula, cada um dos 100 alunos recebe um número que faz parte de uma seqüência que está em progressão aritmética. Sabendo-se que a soma de todos os números é 15.050 e que a diferença entre o 46¡. e o 1¡. é 135, determine o 100¡. número.

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26. Observe o padrão de formação das figuras numeradas.

a) Sabendo-se que as figuras 1, 2 e 3 são formadas, respectivamente, por 5, 13 e 25 quadrados de área 1 cm£, calcule a área da figura 10 da seqüência indicada. b) Seja x o número da figura x, e f(x) o número de quadrados de 1 cm£ que compõem essa mesma figura. Em relação à função f, determine sua lei de formação e seus conjuntos domínio e imagem. 27. A ANATEL determina que as emissoras de rádio FM utilizem as freqüências de 87,9 a 107,9 MHz, e que haja uma diferença de 0,2 MHz entre emissoras com freqüências vizinhas. A cada emissora, identificada por sua freqüência, é associado um canal, que é um número natural que começa em 200. Desta forma, à emissora cuja freqüência é de 87,9 MHz corresponde o canal 200; à seguinte, cuja freqüência é de 88,1 MHz, corresponde o canal 201, e assim por diante. Pergunta-se: a) Quantas emissoras FM podem funcionar [na mesma região], respeitando-se o intervalo de freqüências permitido pela ANATEL? Qual o número do canal com maior freqüência? b) Os canais 200 e 285 são reservados para uso exclusivo das rádios comunitárias. Qual a freqüência do canal 285, supondo que todas as freqüências possíveis são utilizadas?

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28. Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir. Observe que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo.

a) Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Suponha também que F�, F‚ e Fƒ indiquem, respectivamente, o número de palitos usados para produzir as figuras 1, 2 e 3, e que o número de fósforos utilizados para formar a figura n seja FŠ. Calcule F�³ e escreva a expressão geral de FŠ. b) Determine o número de fósforos necessários para que seja possível exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras. 29. João investiu R$ 10.000,00 num fundo de renda fixa que remunera as aplicações à taxa de juro composto de 20% ao ano, com o objetivo de comprar um automóvel cujo preço atual é R$ 30.000,00, que é desvalorizado à taxa de juro de 10% ao ano. Depois de quantos anos, João conseguirá adquirir o automóvel pretendido? São dados: log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48. 30. Um atleta corre 1.000 metros numa direção, dá meia-volta e retorna metade do percurso; novamente dá meia-volta e corre metade do último trecho; torna a virar-se e corre metade do trecho anterior, continuando assim indefinidamente. a) Quanto terá percorrido aproximadamente esse atleta, desde o início, quando completar o percurso da oitava meia-volta? b) Se continuar a correr dessa maneira, indefinidamente, a que distância do ponto de partida inicial o atleta chegará? 31. Uma TV de plasma, cujo valor à vista é R$ 4.000,00, pode ser comprada a prazo, num plano de pagamento de duas parcelas e a primeira, no valor de R$ 2.124,00, vence somente 90 dias após a compra. Se o financiamento foi realizado à taxa de juro composto de 10% ao mês, determine o valor da segunda parcela, com vencimento em 120 dias.

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32. Uma seqüência de números reais a�, a‚, aƒ, ... satisfaz à lei de formação aŠø� = 6aŠ , se n é ímpar aŠø� = (1/3) aŠ, se n é par. Sabendo-se que a� = Ë2 , a) escreva os oito primeiros termos da seqüência. b) determine aƒ‡ e aƒˆ. 33. A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é 1/2 .Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. Nessas condições, determine: a) A razão da PG. b) A soma dos três primeiros termos da PG. 34. Num tubo de ensaio, estão sete amebas. Elas se multiplicam tão rapidamente que dobram de volume a cada minuto. Se para encher o tubo elas levam quarenta minutos, quanto tempo levarão para encher a metade do tubo? 35. Considere um triângulo isósceles ABC, retângulo em B. Sobre o lado BC, considere, a partir de B, os pontos D e E, tais que os comprimentos dos segmentos BC, BD, DE, EC, nesta ordem, formem uma progressão geométrica decrescente. Se ’ for o ângulo EÂD, determine tg ’ em função da razão r da progressão. 36. Ache m e n tais que os três números 3, m, n estejam em progressão aritmética e 3, m + 1, n + 5 estejam em progressão geométrica. 37. Escreva a seqüência 2, 5, 20, 71, 230, ... como diferença de uma progressão aritmética e uma progressão geométrica, ambas de razão 3. 38. João tem três filhas. A filha mais velha tem oito anos a mais que a do meio que por sua vez tem sete anos mais que a caçula. João observou que as idades delas formam uma progressão geométrica. Quais são as idades delas? 39. No dia 1¡. de março, o saldo devedor da conta corrente de João era de R$1.000,00. No final de cada mês, o banco cobra 10% de juros sobre o saldo devedor naquele momento. a) Supondo que João não faça nenhum depósito e nenhum saque, qual será o saldo devedor no dia 1¡. de julho? b) João foi ao banco no dia 2 de maio e conseguiu renegociar a dívida: a taxa passou para 5% ao mês a partir desse momento (mas não retroativamente). Supondo que João não faça nenhum depósito e nenhum saque, qual será o saldo devedor no dia 1¡. de julho?

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40. Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce 15% ao ano. Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes nos próximos anos. a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui a um ano. b) Essas duas populações serão iguais após um determinado tempo t, medido em anos. Se t = 1/logx, determine o valor de x. 41. Numa reserva florestal foram computados 3.645 coelhos. Uma determinada infecção alastra-se de modo que, ao final do primeiro dia, há cinco coelhos infectados e, a cada cinco dias, o número total de coelhos infectados triplica. a) Determine a quantidade de coelhos infectados ao final do 21¡. dia. b) Calcule o número mínimo de dias necessário para que toda a população de coelhos esteja infectada. 42. João recorta um círculo de papel com 10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao meio várias vezes, conforme ilustrado na figura 1. Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e coloca o número 1 nas duas extremidades da primeira dobra. Sucessivamente, no meio de cada um dos arcos formados pelas dobras anteriores, João escreve a soma dos números que estão nas extremidades de cada arco. A figura 2 a seguir ilustra as quatro etapas iniciais desse processo.

João continuou o processo de dobradura, escrevendo os números, conforme a descrição anterior, até concluir dez etapas. Calcule a soma de todos os números que estarão escritos na etapa 10.

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43. Numa progressão aritmética crescente, cujo primeiro termo é 2, os termos a�, a„ e a�³ estão em progressão geométrica. Determine a razão dessa progressão aritmética. 44. Considere a função real de variável real definida por f(x)=2Ñ. Calcule o valor de f(0) - f(1) + f(2) - f(3) + f(4) - f(5) + ... 45. A progressão geométrica infinita (a�,a‚,...,aŠ,...) tem razão q = 1/2 e a� = 1. Determine o menor inteiro positivo n tal que SŠ a soma dos n primeiros termos da progressão, satisfaz a desigualdade SŠ > 8191/4096. 46. Os termos gerais de duas seqüências são dados, respectivamente, por: xŠ = 1/2¾ e yŠ = 1/ËxŠ , n Æ IN* Considere a seqüência de termo geral aŠ=[(xŠ-xŠø�).yŠ]/2, n Æ IN* e calcule: a) a razão da progressão geométrica {a� , a‚, ..., aŠ, ...}; b) a soma infinita S = a� + a‚ + ... + aŠ + ...

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47. Ao observar problemas de transmissão de dados via linha telefônica, o matemático Benoit Mandelbrot associou a distribuição dos erros de transmissão com o conjunto de Cantor. Para construir o conjunto de Cantor, a partir de um segmento de comprimento m, utiliza-se o seguinte processo: No 1¡. passo, divide-se o segmento em três partes iguais e retira-se a parte central; no 2¡. passo, cada segmento restante do 1¡. passo é dividido em três partes iguais, retirando-se a parte central de cada um deles; e assim sucessivamente, como mostra a figura a seguir.

Repetindo-se esse processo indefinidamente, obtém-se o conjunto de Cantor. Com base nesse processo, calcule a soma dos tamanhos de todos os segmentos restantes no 20¡. passo.

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48. Um foguete, partindo da origem O, realiza um movimento espiralado como na figura. As distâncias a³, a�, ..., aŠ estão em progressão aritmética de razão r = 2 e as distâncias b³, b�, ..., bŠ estão em progressão geométrica de razão q = 0,01. Determine o número aproximado de termos da progressão geométrica para que o deslocamento à direita seja aproximadamente igual ao deslocamento à esquerda. Tem-se a³ = 1, b³ = 99 e, como q é pequeno, assuma q¾ = 0, se n µ 2.

49. Uma dívida deve ser paga em quatro parcelas de valores decrescentes segundo uma razão constante. Calcule o valor dessa dívida sabendo que a primeira parcela é de R$ 6400,00 e a quarta é de R$ 800,00. 50. Quantas soluções a equação sen£x + [(sen¥x)/2] + [(sen§x)/4] + ... = 2, cujo lado esquerdo consiste da soma infinita dos termos de uma progressão geométrica, de primeiro termo sen£x e razão (sen£x)/2, admite, no intervalo [0, 20™]?

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9. Gabaritos

Teoria dos Conjuntos 1. a) 10 % b) 57 % 2. 71 3. Observe a figura a seguir:

4. a) Æ b) Ä c) È d) Ä e) È 5. Z = {5} 6. A = {1, 3} B = {4, 8, 16} 7. n((A»B)ºC) = n((AºC)»(BºC)) = n(AºC) + n(BºC) - n(AºBºC) = 6 + 10 - 4 = 12. 8. a) 50%. b) 15%. 9. 30 10. a) 29 b) 5 c) 127 11. número de pessoas morenas com olhos castanhos = 13

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12. 155 falam os dois idiomas 13. a) 315 b) 75 c) 235 d) 155 14. a) 57 funcionários usam somente ônibus. b) 37 funcionários usam somente ônibus e moram fora da cidade do Rio de Janeiro. 15. 93 16. 48 17. 23 associados 18. Observe a figura a seguir:

Classificando os 87 alunos segundo o diagrama, temos os seguintes dados do problema (representamos por **X o número de elementos do conjunto X): (1) x+y+z+v+u+w+29 = 87 (**A»B»C = 87) (2) z = 0 (AÅB»C) (3) v+w+z+29 = 51 (**A = 51) (4) u+29 = 50 (**BºC = 50) (5) x+v+29 = 65 (**B = 65) (6) v+29 = w+29 (**AºB = **AºC) Queremos x + y + z. De (2) temos z = 0, o que nos dá x + y + z = x + y. Substituindo (4) em (1) e subtraindo (3), obtemos x+y+21=87-51=36. Logo, x + y + z = 36 - 21 = 15 alunos.

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Note que as equações (4) e (5) são supérfluas, ou seja: os dados (**B = 65) e (**AºB = **AºC) são desnecessários para a solução do problema. 19. 607/6000 ¸ 10% 20. 6 alunos 21. Observe a figura a seguir:

22. a) Å b) Ä c) Å d) Ä e) Å 23. a) F b) F c) F d) V 24. a) È b) Æ c) È d) Æ 25. a) -2011/990 b) 5116/999 26. a) Æ b) Å c) È d) È e) Å f) Ä g) Æ h) È 27. a) Æ

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b) Æ c) Å d) Æ e) Å 28. 41/90 29. x = 4, y = 1, b = 3, t = 1. logo: x + y + b + t = 9 30. p + q = 19 31. 10

Relações e Funções

1. A x B = (1, 2/3); (1, 8); (2, 2/3); (2, 8); (-4, 2/3); (-4, 8) A x A = (1, 1); (1, 2); (1, -4); (2, 1); (2, 2); (2, -4); (-4, 1); (-4, 2); (-4, -4) 2. a) É função; D = {-2, 0, 2, 4}; Im = {0, 4, 16}; CD = {0, 4, 8, 12, 16} b) Não é função 3. R = { (0, 1), (2, 3), (4, 5), (8, 9) }

Função Polinomial do Primeiro Grau

1. a) Observe a figura:

b) -3/2; 0 e 5/2 c) m = 0 ë 2 raízes distintas 0 < m <1/2 ë 4 raízes distintas m = 1/2 ë 3 raízes distintas m > 1/2 ë 2 raízes distintas

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2. a) 800 + 10x b) Aumento na taxa de comissão 3. a) C = 40x + 5000 b) C médio = 40 + 5000/x e C médio mínimo = 46,25 (em reais) 4. a) R$ 160.000,00 b) y = 4x + 40.000 5. a) R$ 285,34 b) 2,9N - 4,9 6. a) R$ 17,20 b) 3,70 + [(N - 500)/100] . 0,15 7. a) q = 11/5 e b = 1600 b) C(800) = R$ 3.360,00 8. 31. 9. a) Observe o gráfico a seguir

b) y = Ë(7,25 - x£); 1 ´ x ´ 2,5 10. a) 3/2 - 12/5 = (15 - 24)/10 = - 9/10 = - 0,9 b) Observe o gráfico a seguir

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11. total de reservas = 24,26 bilhões de dólares 12. a) T½ = 22°C b) TÛ = 31°C 13. a) 25% b) 6,25% 14. Aumento de 1.000 unidades. 15. P(t) = - 1250t + 10000 (0 ´ t ´ 8) Observe o gráfico a seguir:

16. R$ 710,00. 17. a) 420 litros b) V(t) = 400 + 2t 18. 67 pessoas 19. a) 20 h b) 400 m¤

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20. a) L = 0,45 T - 360 b) 800 litros 21. a) M� = 1,04C + 60 M‚ = 1,03C + 150

b) R$ 9.000,00 22. 6 23. Não, pois a melhor opção para este cliente seria a opção III. A opção feita corresponde ao aluguel de 18 DVDs mais R$ 20,00 de taxa. Nestas condições, na opção I, o cliente gastaria 40 + 1,2 . 18 = R$ 61,60 e, na opção III, 3 . 18 = R$ 54,00. 24. a) Observe a figura a seguir

b) s = 59300 25. a) "Fique em Forma": G(x) = 80 + 50x "Corpo e Saúde": G(x) = 60 + 55x b) "Fique em Forma": G(12) = 80 + 50 . 12 = R$ 680,00 "Corpo e Saúde": G(12) = 60 + 55 . 12 = R$ 720,00

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A academia "Fique em Forma" oferece menor custo. 26. n = 12 27. 20 km 28. a) P = 156 - 2,5n b) O menor número inteiro será 15 semanas. 29. S = 4,50 h - 60,00 30. a) v = 5/4 m, com m µ 0 b) 24 g 31. a) f(t) = 2t - 4 para 0 ´ t ´ 2; 2 s b) 4 s; 3 m 32. h(y) = (y - 320)/5 e h(400) = 16 cm 33. 12 . 15 + 8 . 50 + 10 . 90 + 2 . 100 = = 180 + 400 + 900 + 200 = 1680 Cr$ 1680,00 34. Observe a figura a seguir:

35. a) F = 95 b) C = 160 36. a) 10000 pés b) - 50°C 37. a) zero e R$150,00 b) Observe a tabela a seguir:

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38. a) R$ 3,75 b) 30 km 39. a) x < - 5/2 ou x > 0. b) p ´ - 3. 40. a) 800km£ b)

Unindo a origem a cada um dos pontos, é fácil ver que a reta que possui a maior taxa de variação (índice) é a que passa pelo ponto SO. Logo, a região Sudoeste é a que possui o maior índice. 41. a) Cs(x) = 0,4 . x + 30 e ý90, se 0 ´ x ´ 200 Cm(x) = þ ÿ0,6 . x - 30, se x > 200' onde Cs(x) e Cm(x) denotam, respectivamente, o custo diário nas locadoras Saturno e Mercúrio para x quilômetros percorridos.

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b) ýSaturno : 150km ´ x ´ 300km þ ÿMercúrio : 0km < x <150km ou x < 300km R$0,30 por quilômetro rodado. 42. a) Observe o gráfico a seguir:

b) 83.840 43. h (x)= (3x/5) + 4 44. a) 35 b) 24,8 cm 45. a) p = 10c/9 b) 42,86 %

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46. a) RÛ(x) = 0,02 + 800,00. b) Superior a R$70 000,00. 47. 4 48. S = {x Æ IR | -1 < x ´ 4} 49. S = {x Æ IR / 0 < x < 1 ou x > 2} 50. R$ 320.000,00 por ano Função Polinomial do Segundo Grau

1. A(x) = -x£ + 8x + 128. Logo, a função A tem valor máximo para x = -8/-2 = 4. Assim, a altura do retângulo de área máxima é h(4) = 4.1 + 8 = 12 e a base deste mesmo retângulo é dada por 16.1 - 4 = 12. Altura 12cm e Base 12 cm. Portanto, é um quadrado. 2. a = 1 e b = 8 3. 2500 unidades. 4. L(x) = R(x) - C(x) = - x£ + 5000x, com x µ 0.

5. a) A receita por sessão é de R$ 12.000,00 b) O preço a ser cobrado é de R$ 50,00 6. a) 220 b) 10 ´ x ´ 20. 7. a) P(n) = n£ + 2n + 50, 1 ´ n ´ 6 (n Æ IR) b) Observe o gráfico a seguir:

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8. 12,5 m£ 9. - 2/3 ´ a < 0 10. a) V = [ - m/2, (8 - m£)/4]. b) m ´ - 2 ou m µ 2. c) m = 2 d) x = [Ë(y - 1)] - 1. 11. m = -1 12. p > 1 13. (Ë13)/13 14. a) para todo x real b) para x = -1/2 15. 1.800 metros quadrados 16. a) A(t) =[(-2t/5) + 2] . (5t + 5) Ì A(t) = -2t£ + 8t + 10. Observe o gráfico a seguir

b) Área máxima: 18 km£. Ocorreu dois anos após o início do replantio.

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17. a) 160 + 0,4n - 002 n£ b) 10Ž dia 18. a) n Æ Z tal que 5 < n < 13 b) 9 filhotes gerando 80 reais de lucro. 19. 3 m 20. Ð = 12 21. p(3) = 25 22. R$ 2500,00 23. xy = 2,4 m 24. R$ 135,00 25. a) O lucro é nulo para 100 peças ou para 500 peças. b) O lucro é negativo para 0´x<100 e 500<x´600. c) Devem ser vendidas 150 ou 450 peças. 26. 10 m. 27. a) ™R£ - 8R + 16 b) 4/™ 28. n=-2 29. ™/4 30. a) R$ 800,00 b) R$ 5,50 31. a) Até 1 semana após a aplicação do pesticida. b) Após duas semanas a população de insetos será igual à inicial. c) A população será exterminada na quinta semana. 32. a) b ´ - 4Ë3 ou b µ - 4Ë3 b) b = 8 33. a) o desconto de 23 reais produz faturamento máximo.

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b) 7.290 reais. 34. a) f(0) = f(x) = x£ - ax + b b = 4 b) a < 0, a = -4 f(x) = 9 Ì x = 1 35. 50 u 36. 18 37. 64 38. 450.000 reais. 39. a) d = (1/150) . (90000 - v£) b) 600 km 40. a) Gasto = 120 + 10x - 10x£ b) 1/2 m 41. a) P�ƒ = 364 b) m = 420 42. 15 valores reais 43. a) A altura de Cintia é 164 cm. b) Paulo pesa 56 quilos e Paula 54 quilos. 44. a) LT = - 100 P£ + 300 P - 20000 b) P = 15 45. a) altura máxima = -b/2a = -40/-10 = 4 s b) Observe o gráfico a seguir:

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46. Situação II 47. 10 48. a) 4 s b) 8 m 49. (0; 8) 50. 82 Função Modular

1. 9. Temos duas equações: (i) ax£ + bx + c = 12 e (ii) ax£ + bx + c = - 12. Em ambos os casos, a soma das raízes é - b/a. Na equação ( i ), o produto das raízes é (c - 12)/a; na ( ii ), o produto é (c + 12)/a > (c - 12)/a. Logo, a equação ( i ) tem raízes - 2 e 5 e a ( ii ) tem raízes 1 e 2. Portanto: -b/a = 3, (c - 12)/a = -10, (c + 12)/a = 2. R.: a = 2, b = - 6, c = - 8 2. a) Observe o gráfico a seguir

b) S = {x Æ IR | x < -6/7}. 3. a)

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b) 5,5 u.a. 4. Entre 10h e 11h. 5. Observe o gráfico a seguir:

6. a) f(g(x)) = |x-1|£ - 4|x-1| + 4 g(f(x)) = |x£ - 4x + 3| b) gráficos:

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7. x = - 2 ou x = 6 8. Q ¸ 5,092 9. x = 50 e x = 250 10. V = {-2; -1; 1; 2} 11. (2Ë2, 2Ë2) e (-2, 2) 12. {x Æ IR* | -1 < x < 1} 13. S = {x Æ IR / x ´ -4 ou -1 < x ´ 1} 14. a) S(I) = {x Æ IR / 8 ´ x ´ 15} S(II) = {x Æ IR / 1 ´ x ´ 10} Observe a figura a seguir:

15. F F V 16. F V F V

Função Exponencial

1. Candidato A = 200.000 eleitores Candidato B = 400.000 eleitores 2. Observe a demonstração a seguir:

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3. 6 meses 4. a) Observe a figura a seguir

b) g(x) = logƒx£, (x·0) 5. t = 4 anos 6. Após 18 horas restará 25 mg no organismo. A função seguinte explicita a quantidade f(t), em mg, do medicamento presente no organismo após t horas da ingestão.

7. a) 22,5 °C

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b) aproximadamente 15 min 8. a) 10% b) 2 horas 9. 48 10. a) x = 0 ou x = -1 b) -12 < m ´0 11. a) p(t) = F (0,81) b) 15 anos 12. a) a = 1024 e b = 1/10 b) t(min) = 30 anos c) Observe o gráfico a seguir:

13. a) ‘ = 54 e ’ = -1/90 b) 360 minutos 14. a) a = 120 e b = -Øn 2 b) 3 m 15. a) A distância percorrida é 800 - (25/32) = 25575/32 m, e a distância até o ponto B é 25/32 <1 b) Observe o gráfico abaixo:

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16. S = {0} 17. x = 1 ou x = -1 18. taxa de inflação = 60% 19. x = 2, y = 3 ou x = 3, y = 2 20. a) José cometeu o erro na última etapa do seu raciocínio, uma vez que a função exponencial dada por f(x) = (1/2)Ñ é decrescente. b) Observe a demonstração a seguir:

21. 03 22. 03 23. 17 24. a) f(t) = 100000 . 2 e g(t) = 70000 + 2000 . t b) 40 ratos por habitante 25. a) x = 3 b) x = - 3 26. a) 1

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b) m = 1 ou m ´ 0 27. f(x) é estritamente decrescente pois 0<a<1, ou seja, x�<x‚ Ì f(x�> f(x‚). Logo: a£Ñ®¢>(1/a)Ñ¤ Ì a£Ñ®¢>aÑ®¤ Ì 2x+1<-x+3 Ì x<2/3. V = ] -¶; 2/3 [ 28. -6 < x < 1

Função Logarítmica

1. a) 22,5 °C b) aproximadamente 15 min 2. a) p(t) = F (0,81) b) 15 anos 3. a) a = 120 e b = -Øn 2 b) 3 m 4. a) f¢ : R*øë R onde f¢(x) = log‚ (2x) b)

5. b + c + ad = 11 6. a) altura: 1 metro; diâmetro: 10cm b) 20cm 7. 7,29 × 10¢¦ km

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8. a) t = 100 b) Se (SB), (SC) e (SD) forem, respectivamente, as áreas hachuradas das figuras B, C e D, então: (SB) + (SC) = log�³a + log�³b = log�³(a.b) = (SD), portanto (SB)+(SC)=SD 9. a) 1.265.000 habitantes b) x = 115/102 1 ¸ 1,127 10. 38 anos 11. a) a = 80 000 b = ¢¡Ë(1,5) b) Observe a figura a seguir:

12. a) A = 50, B = 30 e n = 1/2 b) t = 1,4 meses ou 1 mês e 12 dias 13. a) aproximadamente 33,3% b) 2 anos após a 1� entrega 14. 15 15. n = 2 16. a = 5 17. x = 10§ e y = 10¢ 18. Veja a expressão abaixo:

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19. Observe a figura.

20. 1/5 ´ x ´ 1 21. S = { 1/6 } 22. t = 13,862 minutos ou 13 minutos e 52 segundos, aproximadamente. 23. a) 362.250 habitantes b) 2.742.000 habitantes 24. a) 22 ovelhas b) A partir de nove anos e meio. 25. a) 64%

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b) t = 3 horas. 26. p = 28 27. a) n = 2 k = 200 b) E = 900 28. Dom g = {x Æ R | 1 < x < 2 ou 2 < x < 6} ou Dom g = ] 1, 2 [ U ] 2, 6 [ 29. n = 5 30. 28 000 anos. 31. 17 32. Observe demonstração a seguir:

33. a + b. 34. a) 512 b) A partir do dia 13 de abril. 35. a) n = 2,5 b) x ¸ - 2,5 36. a) T/S = 2/3 b) A menor taxa é do "Banco ZIG" 37. 3 < x ´ 25/8

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38. 7 minutos 39. a) log�³(301) = 2,4786, log�³(303) = 2,4814 e log�³(304) = 2,4829. b) log�³(3,04) = 0,4829, log�³(3010) = 3,4786 e log�³(302) = 2,4800. 40. a) log (‘.’) = 1,2 b) x = 12 41. a) 1968 b) Em 1950 o país tinha aproximadamente 9,61 milhões de habitantes. S = {t Æ R | 32 ´ t ´ 80}. 125/13 ´ k ´ 17, em milhões de habitantes. 42. 2044 43. 1960 44. a) Rd’ = 120 + 10 . log�³ I e I = 10¥ W/m£. b) 10©. 45. a) T(4) = 29,1°C.

b) 1,04h. 46. a) 36% b) 1,5 hora 47. 12 meses. 48. a) R$ 13.996,80 b) 10 anos

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49. a) V = {x Æ IR | 4 ´ x ´ 12} b) V = {x Å IR | 3 < x < 4 ou x > 12} 50. v = ]3;4[

Progressões

1. a) 6; 8; 14 b) 21 c) 25 d) 72 2. a) 440 b) 10 3. a) -5, 8, -11, 14, -17, 20 b) S = - 3014 4. a) Observe a tabela a seguir.

b) 202 5. O primeiro é: a� = Ë2 - (™/3) A razão é: r = 2™/3 6. 2(Ë2) -1 u.c. 7. 2520 8. 385 km 9. a) 375.

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b) n = 105 10. R$ 63,10 11. n = 13 12. a) ’ = 60° b) – = 90° e ‘ = 30° 13. a) Seja SŠ a soma dos n primeiros termos da seqüência. Temos: aŠ = SŠ - SŠ÷� = (n£/3) - [(n - 1)£/3] = = (2n - 1)/3. Logo aŠ = (2n - 1)/3 e aŠ÷� = (2n - 3)/3, ¯ n Æ Zø. E como aŠ - aŠ÷� = (2n - 1)/3 - (2n - 3)/3 = 2/3, podemos concluir que a seqüência é uma progressão aritmética de razão 2/3. b) a�³³³ = 1999/3 14. C(n) = 0,1™n£ + 9,9™n; onde n é o número de voltas dadas pelo tubo. 15. a = 0,8 e b = - 0,8 16. 13 17. A distância é de 18 km. 18. Observemos, inicialmente, que, dadas n - 1 retas no plano, sempre é possível encontrar uma enésima que as intercepte (de fato: basta que o ângulo da nova reta com uma reta fixa seja diferente dos que as retas já dadas fazem com a mesma reta fixa) e não passe por nenhum dos pontos de interseção já existentes. Observemos, ainda, que, se o plano está dividido em k regiões convexas e introduzimos uma nova reta, passamos a ter k + p regiões convexas, onde p é o número de regiões atravessadas pela reta. Ora, se temos n - 1 retas dividindo o plano em SŠ÷� regiões e introduzimos a enésima reta, esta, ao cruzar m retas (em pontos outros que os de interseção destas), atravessa exatamente m + 1 regiões. Como a nova reta pode, no máximo, cruzar todas as n - 1 retas já existentes, passamos a ter, no máximo, SŠ÷� + n regiões. Para cada n Æ N, seja SŠ o número máximo de subdivisões obtido com n retas. Então,

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Portanto, SŠ = 1 + (1 + 2 + 3 + ... + n) = 1 + [(1 + n)n/2] e, para n = 37, obtemos Sƒ‡ = 704. 19.

Como a, b, c, d estão em PA, então, para algum número real n, temos b = a + n, c = a + 2n, d = a + 3n. Portanto, detA = e£ò®¤¾ - e£ò®¤¾ = 0. 20. a) 63 b) duas maneiras 21. a) P‡ = 21 b) N = 15. 22. 1.262.500. 23. O peso total será de 7650g + 3300g = 10950g 24. (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 25. a�³³ = 299 26. a) 221 cm£. b) f(x) = 2x£ + 2x + 1, x Æ IN*

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D = IN* Im = {y | y = 2x£ + 2x + 1, x Æ IN*}. 27. a) 101 emissoras; canal de número 300. b) 104,9 MHz 28. a) F�³ = 76 e FŠ = 8n - 4, n Æ IN*. b) 10 000. 29. 4 anos 30. a) 1996,10 metros b) 2000/3 metros 31. R$ 3.520,00 32. a) Ë2, 6Ë2, 2Ë2, 12Ë2, 4Ë2, 24Ë2, 8Ë2 e 48Ë2. b) aƒ‡ = 2¢© . Ë2 e aƒˆ= 2¢ª . 3Ë2 33. a) -2. b) 3/22. 34. 39 minutos 35. tg ’ = r£/(2 - r) 36. m = 5 e n = 7 ou m = - 1 e n = - 5. 37. Sejam aŠ e bŠ, respectivamente, os termos gerais de uma PA e de uma PG, ambas de razão 3. Logo, aŠ = a� + (n - 1) . 3 = a� + 3n - 3 e bŠ = b� . 3¾ ¢ Seja cŠ o termo geral da seqüência dada, tal que cŠ = bŠ - aŠ. Para: n = 1, temos c� = b� - a� = 2 n = 2, temos c‚ = 3b� - a� - 3 = 5 => 3b� - a� = 8 Resolvendo o sistema, encontramos b� = 3 e a� = 1. Portanto, cŠ = bŠ - aŠ, com bŠ = 3¾ e aŠ = 3n - 2. 38. 49, 56 e 64 anos

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39. a) R$1.464,10 b) R$1.334,03 40. a) 1.265.000 habitantes b) x = 115/102 1 ¸ 1,127 41. a) 405 coelhos b) 31 dias 42. 39.366 43. r = 2/3 44. 2/3 45. O menor inteiro positivo que satisfaz a desigualdade é 14. 46. a) (Ë2)/2 b) (1 + Ë2)/4 47. (2/3)£¡ . m 48. 10 49. R$ 12.000,00. 50. 20

51576224 Apostila de Matematica I

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