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PDF Aep Matematica PedroEvaristo Apostila Parte I
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2013 Copyright. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.
PRF
Matemtica
Apostila Parte 1
Pedro Evaristo
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MATEMTICA 2
PEDRO EVARISTO
CAPTULO 01
CONJUNTO DOS NMEROS
NATURAIS
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
N* = N {0}
INTEIROS
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Z
* = Z {0} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} (inteiros no nulos)
Z+ = (0, 1, 2, 3, 4, ...} (inteiros no negativos)
Z - = {..., -3, -2, -1, 0} (inteiros no positivos)
MLTIPLOS NATURAIS
Denominamos mltiplo de um nmero o produto desse nmero por um nmero natural qualquer. Dessa forma, para obter todos os mltiplos naturais de um nmero N, basta multiplicar N por todos os naturais. EXEMPLOS:
Como os mltiplos de um nmero so calculados multiplicando-se esse nmero pelos nmeros naturais, ento os mltiplos de 7 so:
7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...
EXEMPLOS:
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...}
M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...}
R Reais I Irracionais Q Racionais Z Inteiros N Naturais
LINK:
Importante!
Um nmero tem infinitos mltiplos.
Zero mltiplo de qualquer nmero natural.
Existem tambm os mltiplos negativos (no naturais)
R
N Z
Q I
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MATEMTICA 3
PEDRO EVARISTO
OS 40 PRIMEIROS NOS PRIMOS
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
LINK:
DIVISORES NATURAIS
Um nmero natural divisor de outro quando o resto da diviso for igual a 0, ou seja, quando um nmero natural N for dividido por qualquer de seus divisores, o resultado dessa diviso ter que ser inteiro. EXEMPLOS:
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
M(35) = {1, 5, 7, 35}
PRIMOS
Um nmero natural dito primo quando possui apenas dois divisores naturais distintos, onde um deles o 1 e outro ele mesmo.
PRIMOS ENTRE SI
Dois nmeros inteiros A e B so ditos primos entre si quando seu maior divisor comum o nmero 1, ou ainda, o m.d.c.(A, B) = 1 e o m.m.c.(A, B) = A.B. Sendo assim, A/B sempre uma frao irredutvel.
EXEMPLO:
Os nmeros 14 e 45 so primos entre si, pois o maior divisor comum entre eles 1, uma vez que o 14 divisvel pelos primos 2 e 7, enquanto o que o 45 s divisvel pelos primos 3 e 5. Dessa forma, a frao 14/45 ser irredutvel.
Entende a diferena entre divisvel, divisor e mltiplo?
importante entender essas nomenclaturas! Observe que:
se 15 divisvel por 3, ento 3 divisor de 15, ou
seja, 15 mltiplo de 3.
se 28 divisvel por 7, ento 7 divisor de 28, ou
seja, 28 mltiplo de 7.
LINK:
Interessante!
Se um nmero maior que dez terminar em
{0, 2, 4, 5, 6, 8}, ento no ser primo.
Se um nmero maior que dez for primo,
ento terminar em {1, 3, 7, 9}.
LINK:
Dois nmeros consecutivos N e N+1, sempre sero
primos entre si.
LINK:
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MATEMTICA 4
PEDRO EVARISTO
REGRAS DE DIVISIBILIDADE
EXEMPLO: Verifique se o nmero N = 27720 divisvel pelos naturais de 2 a 12.
SOLUO:
Como 27720 par, ento ele divisvel por 2;
A soma dos algarismos 2+7+7+2+0 = 18. Como 18 divisvel por 3, N tambm divisvel por 3;
Os dois ltimos algarismos formam o nmero 20, que divisvel por 4, logo N tambm divisvel por 4;
Como N termina em 0 ele divisvel por 5;
Como N mltiplo de 2 e 3, ele ser divisvel por 6;
Aplicando a regra do 7, temos 2772 2.0 = 2772, 277 2.2 = 273 e 27 2.3 = 21, que divisvel por 7;
Os trs ltimos algarismos formam o nmero 720, que divisvel por 8, logo N tambm divisvel por 8;
A soma dos algarismos 18. Como 18 divisvel por 9, N tambm divisvel por 9;
Como N termina em 0 ele divisvel por 10;
Somando os algarismos alternando o sinal temos 27+72+0 = 0, que divisvel por 11;
Como N mltiplo de 3 e 4, ele ser divisvel por 12.
2
3
4
5
6
8
9
10
11
12
15
25
Basta que o nmero seja par
A soma dos algarismos um no divisvel por 3
Os dois ltimos algarismos formam um no divisvel por 4
Termina em 0 ou 5
O nmero satisfaz a regra do 2 e do 3
Os trs ltimos algarismos formam um no divisvel por 8
A soma dos algarismos um no divisvel por 9
Termina em 0
A diferena entre as somas dos algarismos de ordem mpar e de ordem par (ou somar e subtrair os algarismos alternadamente) resulta em um n
o div. por 11.
O nmero satisfaz a regra do 4 e do 3
O nmero satisfaz a regra do 5 e do 3
Termina sempre em 00, 25, 50 e 75
7 Separa-se o algarismo das unidades. A diferena entre o nmero restante e o dobro do algarismo das unidades, tem que ser divisvel por 7.
a eb a b ra da pb ob
a2 a3 s4 s5 e6 a8 e9
10 u11 12 u15 o25
vBasta que o nmero seja par iA soma dos algarismos um n
o divisvel por 3
sOs dois ltimos algarismos formam um no divisvel por 4
Termina em 0 ou 5 vO nmero satisfaz a regra do 2 e do 3 eOs trs ltimos algarismos formam um n
o divisvel por 8
lA soma dos algarismos um no divisvel por 9
Termina em 0 pA diferena entre as somas dos algarismos de ordem mpar e de ordem par (ou somar e subtrair alternadamente) resulta em um n
o divisvel por 11.
oO nmero satisfaz a regra do 4 e do 3 rO nmero satisfaz a regra do 5 e do 3 Termina sempre em 00, 25, 50 e 75
77 A diferena entre o dobro do ltimo algarismo e o n
o formado pelos algarismos
restantes, resulta em um no divisvel por 7
N = ABCD
Se D par ento N M(2)
N = ABCD
Se (A+B+C+D)/3 Z ento N M(3)
N = ABCD
Se CD/4 Z ento N M(4)
N = ABCD
Se D = 0 ou 5 ento N M(5)
N = ABCD
Se N M(2) e N M(3) ento N M(6)
N = ABCD
Se (ABC2D)/7 Z ento N M(7)
N = ABCD
Se BCD/8 Z ento N M(8)
N = ABCD
Se (A+B+C+D)/9 Z ento N M(9)
N = ABCD
Se D = 0 ento N M(10)
N = ABCD
Se (AB+CD)/11 Z ento N M(11)
N = ABCD
Se N M(3) e N M(4) ento N M(12)
N = ABCD
Se N M(3) e N M(5) ento N M(15)
N = ABCD
Se CD/25 Z ento N M(25)
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MATEMTICA 5
PEDRO EVARISTO
RACIONAIS
Os nmeros racionais so aqueles que podem ser escritos na forma de frao.
Q = {x = q
p/ p Z e q Z*}
EXEMPLOS:
NATURAIS E INTEIROS Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como frao. Afinal, eles representam divises exatas. Ex.:
5
10
1
22
8
0
1
00
5
30
1
66
2
18
1
9981
DECIMAIS Esse nmero pode ser escrito na forma fracionria colocando-se o nmero sem vrgula sobre 1 seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais, ou seja, aps a virgula. Ex.:
10
44,0
100
1212,0
1000
8125125,8
10
15
100
22525,2
DEMONSTRAO
Seja x = 0,12 ento 100.x = 12
ou seja x = 12100
DZIMA PERIDICA SIMPLES Nem toda dzima pode ser escrita em forma de frao, s as peridicas. No caso das simples, elas possuem apenas uma parte peridica, ou seja, que se repete. Para transformar em frao, basta escrever o nmero que se repete, sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem. Ex.:
9
4...444,04,0
99
12...121212,012,0
999
125....125125125,0125,0
9999
5526....265526552655,05526,0
DEMONSTRAO
Seja x = 0,222... ento 10x = 2,222...
10x = 2 + 0,222... 10x = 2 + x 9x = 2 Logo
x = 29
Seja x = 0,212121... ento 100x = 21,212121...
100x = 21 + 0,212121... 100x = 21 + x 99x = 21 Logo
x = 2199
Seja x = 0,218218218... ento 1000x = 218,218218218...
1000x = 218 + 0,218218218... 1000x = 218 + x 999x = 218 Logo
x = 218999
LINK: POR QUE O DENOMINADOR NO PODE SER ZERO?
Observe, ao lado, que quando isso ocorre, gera uma situao impossvel ou indeterminada.
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MATEMTICA 6
PEDRO EVARISTO
DZIMA PERIDICA COMPOSTAS
No caso das compostas, elas possuem um parte no peridica (que no se repete) e outra parte peridica (que se repete). Para transformar em uma frao equivalente voc pode escrever a parte no peridica seguida da parte peridica, menos a parte no peridica, tudo sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos que esto aps a vrgula.
EXEMPLO:
90
221
90
24245...4555,254,2
900
4846
900
5385384...38444,5438,5
990
804
990
8812...8121212,0128,0
990
5331
990
535384...3848484,5843,5
9
20
9
222...222,22,2
999
5379
999
55384...384384384,5384,5
IRRACIONAIS Como o prprio nome j sugere so aqueles nmeros que no racionais, ou seja, que no podem ser escritos na forma de frao, tais como as dzimas no peridicas.
I = {x q
p/ p Z e q Z*} ou I = R Q
EXEMPLOS: DZIMAS NO PERIDICAS Observe que a raiz de um inteiro que no quadrado perfeito sempre ser uma dzima no peridica.
2 = 1,414213562...
3 = 1,732050807...
5 = 2,236067977...
= 3,141592658...
REAIS o conjunto formado pela reunio de todos os conjuntos racionais e irracionais. Dessa forma, temos:
R = Q I
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MATEMTICA 7
PEDRO EVARISTO
EXERCCIOS 01. (CESGRANRIO) Numa gaveta h 30 meias pretas e 20 brancas, qual o nmero mnimo de meias que uma pessoa deve retirar, no escuro, para ter certeza de formar um par da mesma cor? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 02. (CESGRANRIO) Numa gaveta h 30 meias pretas e 20 brancas, qual o nmero mnimo de meias que uma pessoa deve retirar, no escuro, para ter certeza de formar um par de meias pretas? a) 20 b) 21 c) 22 d) 31 e) 32 03. (CESGRANRIO) Numa gaveta h 30 meias pretas e 20 brancas, qual o nmero mnimo de meias que uma pessoa deve retirar, no escuro, para ter certeza de formar um par de meias brancas? a) 20 b) 21 c) 22 d) 31 e) 32 04. (CESGRANRIO) Numa gaveta h 30 meias pretas e 20 brancas, qual o nmero mnimo de meias que uma pessoa deve retirar, no escuro, para ter certeza de ter duas meias diferentes? a) 20 b) 21 c) 22 d) 31 e) 32
05. Lucas tem em sua cmoda 20 meias pretas, 16 brancas, 10 azuis, 8 vermelhas e 4 marrons. As meias esto todas misturadas. Lucas pega em algumas s escuras, sem lhes ver a cor. Quantas meias deve pegar para ter a certeza de conseguir, pelo menos um par da mesma cor? a) 3 b) 6 c) 17 d) 21 e) 55
ANOTAES:
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MATEMTICA 8
PEDRO EVARISTO
06. Um caramujo resolve subir um muro de 12 metros de altura da seguinte maneira: durante o dia ele sobe 3 metros e durante a noite desce 2 metros. Sabendo-se que iniciou a subida da base, ao amanhecer do 1 dia, quantos dias gastar o caramujo para chegar ao topo? a) 12 dias b) 10 dias c) 09 dias d) 09 dias e meio e) 11 dias 07. Era um verme to pequeno que quase sumia, comeando do cho, no tronco subia. E usando de toda energia, noite 4 metros para cima fazia, mas de dia 2 metros descia. Aps 12 noites, a subida teve fim. Diga baixinho, s pra mim, qual era a altura da rvore do jardim? a) 48m b) 24m c) 22m d) 26m e) 25m
08. Uma grande lagoa apresenta uma mancha de leo em seu interior. Sabendo-se que a mancha dobra diariamente de tamanho e que leva 100 dias para cobrir toda a lagoa, quantos dias gasta, a mancha, para cobrir uma rea correspondente metade da lagoa? a) 50 b) 49 c) 98 d) 99 e) 60
09. Quantos algarismos um datilgrafo digita para numerar cada uma das 250 pginas de um livro? a) 151 b) 250 c) 636 d) 642 e) 750 10. Um estudante terminou um trabalho que tinha n pginas. Para numerar todas essas pginas, iniciando com a pgina 1, ele escreveu 270 algarismos. Ento determine o valor de n. a) 108 b) 126 c) 158 d) 194 11. Um estudante de direito que gostava muito de matemtica percebeu que para numerar todas as pginas de seu volumoso livro a partir do nmero 1, seriam necessrios 4893 dgitos. Determine quantas pginas tm o livro. a) 1500 b) 1850 c) 2520 d) 2889
ANOTAES:
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MATEMTICA 9
PEDRO EVARISTO
12. Em um livro com 380 pginas, quantas vezes em sua numerao aparece o dgito 2? a) 178 b) 138 c) 78 d) 68
13. Em um livro com 380 pginas, quantas vezes em sua numerao aparece o dgito 5? a) 178 b) 138 c) 78 d) 68
14. Em um livro com 380 pginas, quantas vezes em sua numerao aparece o dgito 9? a) 178 b) 138 c) 78 d) 68
15. Em um livro com 1500 pginas, quantas vezes em sua numerao aparece o dgito 3? a) 200 b) 300 c) 400 d) 500 16. Em um livro com 440 pginas, quantas vezes em sua numerao aparece o dgito 4? a) 126 b) 128 c) 130 d) 132
17. Nair tem em seu cofre apenas moedas de 1 centavo, 5 centavos, 10 centavos, 25 centavos e 50 centavos, todas em quantidades iguais, totalizando R$15,47. Nessas condies, qual importncia que ela tem em moedas de 25 centavos? a) 5,75 b) 5,25 c) 4,75 d) 4,25
18. No tempo em que os animais falavam, um gavio sobrevoando um bando de pombinhas, cumprimentou-as: - Bom dia, minhas cem pombinhas! E uma das pombinhas respondeu: - Cem pombinhas no somos ns, mas com outro tanto de ns, mais a metade de ns, mais a quarta parte de ns, mais vs, senhor gavio, cem pombinhas seramos ns. Quantas pombinhas havia no bando? a) 28 b) 32 c) 36 d) 40
ANOTAES:
-
MATEMTICA 10
PEDRO EVARISTO
19. Uma pessoa tira R$100 em um caixa eletrnico, que dispe apenas de cdulas de 10, 20 e 50 reais. De quantas maneiras diferentes ele poder fazer esse saque? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 20. Uma pessoa quer trocar duas clulas de 100 reais por cdulas de 5, 10 e 50 reais, recebendo cdulas de todos esses valores. Nessas condies, qual nmero mnimo de cdulas que ela poder receber? a) 4 b) 9 c) 10 d) 12 e) 15
GABARITO
01. B 02. C 03. E 04. D 05. B 06. D 07. D 08. D 09. D 10. B 11. A 12. A 13. C 14. D 15. D 16. A 17. D 18. C 19. C 20. B
ANOTAES:
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MATEMTICA 11
PEDRO EVARISTO
CAPTULO 02
UNIDADES DE MEDIDAS
INTRODUO O mundo como conhecemos certamente no existiria sem que o homem tivesse inventado uma maneira de medir, pois isso o ajudou a contabilizar, mensurar, comparar, construir e at mesmo guardar
O SISTEMA MTRICO DECIMAL parte integrante do Sistema de Medidas. adotado no Brasil tendo como unidade fundamental de medida o metro. Apenas trs das 203 naes no adotaram oficialmente esse sistema como seu sistema principal ou nico de medio: Mianmar, Libria e Estados Unidos. O Sistema de Medidas um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas de medio. Deste os tempos passados os povos criavam seu mtodo prprio de unidades de medidas. Cada um, desta forma, tinha seus prprios mtodos de medio. Com o comrcio crescente e em expanso na poca, ficava cada vez mais complicado operar com tamanha diversidade de sistemas de medidas e a troca de informaes entre os povos era confusa. Assim foi necessrio que se adotasse um sistema padro de medidas em suas respectivas grandezas. Ento no ano de 1795, um grupo de representantes de diversos pases reuniu-se para discutir a forma de adotar um sistema de medidas nico que facilitasse a troca de informaes entre os povos. Aps isso foi desenvolvido o sistema mtrico decimal.
AS PRIMEIRAS MEDIES
No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que permitem ao
homem moderno medir comprimentos. Porm nem sempre foi desta forma, h 3.000 anos, quando no se existia os recursos atuais, como o homem fazia para efetuar medidas de comprimentos? Esta necessidade de medir espaos to antiga quanto necessidade de contar. Quando o homem comeou a construir suas habitaes e desenvolver sua agricultura e outros meios de sobrevivncia e desenvolvimento econmico, que se fazia necessrio medir espaos, ento houve ai a necessidade de se medir espaos. Desta forma, para medir espaos o homem antigo, tinha como base seu prprio corpo, por isto que surgiram: polegadas, a braa, o passo, o palmo. Algumas destas medidas ainda so usadas at hoje, como o caso da polegada. H algum tempo, o povo egpcio usava como padro para comprimento, o cbito, que a distncia do cotovelo a ponta do dedo mdio. Como as pessoas, claro, tem tamanhos diferentes, o cbito variava de uma pessoa para outra, fazendo com que houvesse muita divergncia nos resultados finais de medidas. Ento, vendo este problema de variao de medidas, o povo egpcio resolveu adotar uma outra forma de medir o cbito, passaram ento ao invs de usar seu prprio corpo, a usarem uma barra de pedra como o mesmo comprimento, assim deu-se origem ento o cbito padro. Como era impossvel realizar medies em extenses grandes, o povo egpcio ento comeou a usar cordas, para medir grandes reas. Tinham ns que eram igualmente colocados em espaos iguais, e o intervalo entre estes ns, poderia medir x cbitos fixos. Desta forma de medio com cordas, originou-se o que chamamos hoje de trena.
-
MATEMTICA 12
PEDRO EVARISTO
SISTEMA IMPERIAL
Embora atualmente no sejam usadas com muita frequncia, principalmente no meio cientfico,
poderemos nos deparar com unidades expressas no Sistema Imperial. A Tabela a seguir fornece dados para converso entre os Sistemas Imperial e Internacional de Unidades.
Sistema Imperial Sistema Internacional
1 in (polegada) = 2,54 cm
1 ft (p) = 12 in (polegadas) = 30,48 cm
1 yd (jarda) = 3 ft (ps) = 36 in (polegadas) = 0,9144 m
1 mile (milha) = 1760 yd (jardas) = 1,609 km
`
O METRO
O metro (m) uma unidade de medida de comprimento padro do
sistema numrico decimal, sendo criado com base nas dimenses da Terra. O nome metro oriundo da palavra grega mtron e tem como significado o que mede.
Inicialmente a medida do metro foi definida como a dcima milionsima parte da distncia entre o Plo Norte e Equador, medida pelo meridiano que passa pela cidade francesa de Paris. O metro padro foi criado no de 1799 e hoje baseado no espao percorrido pela luz no vcuo Atualmente o metro definido como sendo "o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vcuo, durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo".
-
MATEMTICA 13
PEDRO EVARISTO
SISTEMA MTRICO DECIMAL
O Sistema Mtrico Decimal tem o metro (m) como unidade fundamental do comprimento e dele foram criadas outras unidades menos ou maiores a partir de seus mltiplos e submltiplos. Os nomes prefixos destes mltiplos e submltiplos so: quilo (k), hecto (h), deca (da), deci (d), centi (c) e mili (m). Os mltiplos do metro so usados para realizar medio em grandes reas/distncias, enquanto os submltiplos para realizar medio em pequenas distncias. Outras unidades foram criadas de forma direta ou indireta a partir de relao com o metro. Por exemplo, para criar uma unidade especfica de volume foi definido que um cubo de 1dm de aresta, ou seja, com volume igual a 1dm
3, seria denominado de litro (L). Para definir uma unidade especfica para medidas de massa, foi usada
a gua como referncia, onde exatamente um litro de gua pura pesaria o que se conhece por quilograma. Dessa forma, outras unidades surgiram.
LINK: NOMES E FUNES DE ALGUMAS MEDIDAS
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MATEMTICA 14
PEDRO EVARISTO
COMPRIMENTO
O metro uma das unidades bsicas do Sistema Internacional de Unidades. A partir dele so
denominadas outras unidades de medida apenas com o uso de prefixos, pois nem sempre ele prtico Se queremos medir grandes extenses ela muito pequena. Por outro lado, se queremos medir
extenses muito "pequenas", a unidade metro muito "grande", da a necessidade do uso de mltiplos e submltiplos do metro, que so chamados de unidades secundrias de comprimento.
OBSERVE A TABELA ABAIXO:
km hm dam m dm cm mm
quilmetro hectmetro decmetro metro decmetro centmetro milmetro
Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vrgula anda uma casa para esquerda e para cada unidade que mudamos para direita, a vrgula anda uma casa para direita. EXEMPLOS:
4,58 m = 45,8 dm
4,58 m = 458 cm
4,58 m = 4580 mm
LINK:
LINK: MLTIPLOS E SUBMTIPLOS DO METRO
10
x10 x10 x10 x10 x10 x10
10 10 10 10 10
-
MATEMTICA 15
PEDRO EVARISTO
LINK:
REA
As unidades de rea representam ao mesmo tempo duas dimenses e por isso tem um tratamento particular. rea um conceito matemtico que pode ser definida como quantidade de superfcie.
Existem vrias unidades de medida de rea, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m) e os seus mltiplos e sub-mltiplos. So tambm muito usadas as medidas agrrias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu mltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de rea so o acre e o alqueire.
OBSERVE A TABELA ABAIXO:
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
quilmetro quadrado
hectmetro quadrado
decmetro quadrado
metro quadrado
decmetro quadrado
centmetro quadrado
milmetro quadrado
POR QUE A VRGULA DESLOCA DUAS CASAS?
Para unidades de rea ocorrem duas transformaes, nas duas dimenses: largura e comprimento. Por isso, 1 m
2 equivale a 100 dm
2.
LINK:
100
x100 x100 x100 x100 x100 x100
100 100 100 100 100
Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vrgula anda duas casas para esquerda e para cada unidade que mudamos para direita, a vrgula desloca duas casas para direita. EXEMPLOS:
4,58 m2 = 458 dm
2
4,58 m2 = 45800 cm
2
4,58 m2 = 4580000 mm
2
LINK:
SABE QUANTO MEDE UM QUARTEIRO PADRO?
O quarteiro padro um quadrado de
100m de lado.
QUARTEIRO:
100m x 100m 10000m
2
1hm x 1hm 1hm
2
1ha (hectare) 100a (ares)
-
MATEMTICA 16
PEDRO EVARISTO
VOLUME
O volume de um corpo a quantidade de espao ocupada por esse corpo. Volume tem unidades de tamanho cbicas (por exemplo, cm, m, in, etc.).
Sua unidade no Sistema internacional de unidades o metro cbico (m). A seguinte tabela mostra a equivalncia entre volume e capacidade. Contudo, no considerado uma unidade fundamental do SI, pois pode ser calculado atravs dos comprimentos. A unidade mais comum utilizada o litro.
OBSERVE A TABELA ABAIXO:
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
quilmetro cbico
hectmetro cbico
decmetro cbico
metro cbico
decmetro cbico
centmetro cbico
milmetro cbico
1000
x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000
1000 1000 1000 1000 1000
POR QUE A VRGULA DESLOCA TRS CASAS?
Para unidades de volume ocorrem trs transformaes, nas trs dimenses: largura, comprimento e altura.
Por isso, 1 m3 equivale a 1000 dm
3.
LINK:
Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vrgula anda trs casas para esquerda e para cada unidade que mudamos para direita, a vrgula desloca trs casas para direita. EXEMPLOS:
4,58 m3 = 4580 dm
3
4,58 m3 = 4580000 cm
3
4,58 m3 = 4580000000 mm
3
LINK:
LITRO
O litro uma unidade de medida de volume ou capacidade que equivale a um cubo de 1 dm de aresta.
1 L = 1 dm3
1 kL (m3) = 1000 L (dm
3)
1 L (dm3) = 1000 mL (cm
3)
LINK:
-
MATEMTICA 17
PEDRO EVARISTO
PREFIXOS
As abreviaes das unidades derivadas do metro esto expressas na Tabela 1, bem como a medida
equivalente:
Nome Smbolo Fator de multiplicao da unidade
yotta Y 1024
= 1 000 000 000 000 000 000 000 000
zetta Z 1021
= 1 000 000 000 000 000 000 000
exa E 1018
= 1 000 000 000 000 000 000
peta P 1015
= 1 000 000 000 000 000
tera T 1012
= 1 000 000 000 000
giga G 109 = 1 000 000 000
mega M 106 = 1 000 000
quilo k 10 = 1 000
hecto h 10 = 100
deca da 10
deci d 10-1
= 0,1
centi c 10-2
= 0,01
mili m 10-3
= 0,001
micro 10-6
= 0,000 001
nano n 10-9
= 0,000 000 001
pico p 10-12
= 0,000 000 000 001
femto f 10-15
= 0,000 000 000 000 001
atto a 10-18
= 0,000 000 000 000 000 001
zepto z 10-21
= 0,000 000 000 000 000 000 001
yocto y 10-24
= 0,000 000 000 000 000 000 000 001
DENSIDADE
A densidade de um corpo pode ser dita como o quociente entre a massa e o volume desse corpo. Dessa forma, podemos dizer que a densidade mede o grau de concentrao de massa em determinado volume.
A gua referencial, sua densidade presso normal e temperatura de 25 C, de 1,00 g/cm.
DENSIDADE DA GUA
1 g/cm3 (g/mL) = 1 kg/dm
3 (kg/L) = 1 t/m
3 (1000 kg/m
3)
LINK:
-
MATEMTICA 18
PEDRO EVARISTO
UNIDADES DE BASE
As unidades de base do SI so sete, consideradas independentes do ponto de vista dimensional, definidas
para as grandezas e simbolizadas de acordo com o seguinte quadro:
GRANDEZA UNIDADE SI SMBOLO
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Intensidade de corrente elctrica ampere A
Temperatura termodinmica kelvin K
Quantidade de matria Mole mol
Intensidade luminosa candela cd
UNIDADES DERIVADAS
So formadas pela combinao de unidades de base, unidades suplementares ou outras unidades derivadas, de acordo com as relaes algbricas que relacionam as quantidades correspondentes. Os smbolos para as unidades derivadas so obtidos por meio dos sinais matemticos de multiplicao e diviso e o uso de expoentes. Algumas unidades SI derivadas tm nomes e smbolos especiais.
ALGUMAS UNIDADES SI DERIVADAS SIMPLES EM TERMOS DAS UNIDADES DE BASE
Grandeza Unidade Smbolo
rea metro quadrado m2
volume metro cbico m3
velocidade metro por segundo m/s
acelerao metro por segundo quadrado m/s2
nmero de onda metro recproco m-1
densidade quilograma por metro cbico kg/m3
UNIDADES DE USO PERMITIDO COM AS DO SISTEMA INTERNACIONAL
Grandeza Unidade Smbolo Converso
tempo minuto hora dia
mim h d
1 min = 60s 1h = 60 min = 3600s 1d = 24h = 86400 s
volume litro(a) l, L 1 L = 1 dm3 = 10
-3 m
3
massa tonelada(b) t 1 t = 103
kg
-
MATEMTICA 19
PEDRO EVARISTO
TEMPO
Este um item que muito pedido em grande parte de concursos que exigem matemtica, e justamente onde muitas pessoas que estudam este tema tem comprometido seus resultados. POR QUE DIVIDIRAM A HORA E
O MINUTO EM 60 PARTES?
O nmero 60 interessante porque fcil de fracionar, uma vez que divisvel por 2, 3, 4, 5 e 6. Observe:
LINK:
1/2 hora (30 min)
1/3 hora (20 min)
1/4 hora (15 min)
1/5 hora (12 min)
1/6 hora (10 min)
-
MATEMTICA 20
PEDRO EVARISTO
RESOLVIDOS
01. Determine a equivalncia dos tempos a seguir. a) 47/2 de hora
h2
47
2
1
2
46 = 23h 30min
b) 47/3 de hora
h3
47
3
2
3
45 = 15h 40min
c) 47/4 de hora
h4
47
4
3
4
44 = 11h 45min
d) 47/5 de hora
h5
47
5
2
5
45 = 9h 24min
e) 47/6 de hora
h6
47
6
5
6
42 = 7h 50min
f) 47/10 de hora
h10
47
10
7
10
40 = 4h 42min
g) 21/5 de hora
h5
21
5
1
5
02 = 4h 12min
h) 63/10 de hora
h10
63
10
3
10
60 = 6h 18min
i) 16/3 de minuto
min3
16
3
1
3
15 = 5min 20s
j) 35/4 de minuto
min4
35 min
4
3
4
32
= 8min 45s
f) 35/8 de um dia
dia8
35
8
3
8
32 = 4d 9h
g) 3/10 do dia
dia10
3 = h
5
36
5
1
5
35 = 7h 12min
x 60
x 60
x 60
X24
x 60
X60 X24
x 60
x 60
x 60
x 60
x 60
x 60
ANOTAES:
-
MATEMTICA 21
PEDRO EVARISTO
h) 17/36 do dia
dia36
17 = h
3
34
3
1
3
33 = 11h 20min
i) 5,85 horas
0,85h = 51min 5,85h = 5h 51min
j) 8,43 horas
0,43h = 25,8min 0,8min = 48s
8,43h = 8h 25min 48s k) 14,76 horas
0,76h = 45,6min 0,6min = 36s
14,76h = 14h 45min 36s
02. Qual a diferena de tempo entre 24h e 19h14min20s?
24h 19h 14min 20s
23h 59min 60s 19h 14min 20s 4h 45min 40s
X60 X24
X60
X60 X60
X60 X60
23h60min
23h59min60s
ANOTAES:
-
MATEMTICA 22
PEDRO EVARISTO
EXERCCIOS 01. Qual a rea de um terreno retangular que mede 0,3 km de largura por 500 m de comprimento? a) 0,15 ha b) 1,5 ha c) 15 ha d) 150 ha e) 1500 ha 02. Podemos afirma que 0,3 semana corresponde a: a) 2 dias e 1 hora; b) 2 dias, 2 horas e 4 minutos; c) 2 dias, 2 horas e 24 minutos; d) 2 dias e 12 horas; e) 3 dias. 03. (FCC) Durante todo o ms de maro, o relgio de um tcnico estava adiantando 5 segundos por hora. Se ele s foi acertado s 7h do dia 2 de maro, ento s 7h do dia 5 de maro ele marcava a) 7h05min b) 7h06min c) 7h15min d) 7h30min e) 6h54min 04. Na ltima sexta-feira, cheguei ao trabalho s 8h20min da manh, trabalhei durante 21/5 de hora, sa para o almoo e retornei 32/15 de hora depois, trabalhei por mais 23/6 de hora e finalmente acabei meu expediente. A que horas terminei o expediente? a) 18h30min b) 17h30min c) 19h20min d) 16h50min 05. Considerando que um dia equivale a 24 horas, 1,8 dia equivale a: a) 1 dia e 8 horas; b) 1 dia e 18 horas; c) 1 dia e 19 horas; d) 1 dia, 19 horas e 2 minutos; e) 1 dia, 19 horas e 12 minutos.
06. Quantas cermicas quadradas, medindo 20 cm de lado, so necessrias para revestir o piso de uma sala de aula retangular, medindo 8 m de comprimento por 6 m de largura? a) 600 b) 800 c) 1000 d) 1200
ANOTAES:
-
MATEMTICA 23
PEDRO EVARISTO
07. (FCC) Uma mquina, operando ininterruptamente por 2 horas dirias, levou 5 dias para tirar um certo nmero de cpias de um texto. Pretende-se que essa mesma mquina, no mesmo ritmo, tire a mesma quantidade de cpias de tal texto em 3 dias. Para que isso seja possvel, ela dever operar ininterruptamente por um perodo dirio de a) 3 horas. b) 3 horas e 10 minutos. c) 3 horas e 15 minutos. d) 3 horas e 20 minutos. e) 3 horas e 45 minutos.
08. (FCC) Certo dia, um tcnico judicirio trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50 minutos na digitao de um texto. Se ele concluiu essa tarefa quando eram decorridos 11/16 do dia, ento ele iniciou a digitao do texto s a) 13h40min b) 13h20min c) 13h d) 12h20min e) 12h10min
09. Uma torneira despeja 180.000 cm3 de gua em 9
minutos. Quantos litros sero despejados em 2 horas e um quarto? a) 2.345 b) 1.890 c) 2.360 d) 2.700
10. Um gerador alugado ao preo de R$ 3,20 por minuto de operao. Se ele funcionar das 21h 48min at s 23h 16min, o preo do aluguel, em reais, ser de: a) 81,60 b) 89,60 c) 128,00 d) 281,60
11. (CESGRANRIO) Seu Jos produziu 10 litros de licor de cupuau e vai encher 12 garrafas de 750 mL para vender na feira. No havendo desperdcio, quantos litros de licor sobraro depois que ele encher todas as garrafas? a) 1,00 b) 1,25 c) 1,50 d) 1,75 e) 2,00
12. (CESGRANRIO) Um terreno de 1 km2 ser
dividido em 5 lotes, todos com a mesma rea. A rea de cada lote, em m
2, ser de:
a) 1 000 b) 2 000 c) 20 000 d) 100 000 e) 200 000
ANOTAES:
-
MATEMTICA 24
PEDRO EVARISTO
13. Pedro saiu de Fortaleza na segunda-feira s 10h da manh e chegou Goinia 35/8 de dia mais tarde. Qual dia da semana e horrio da chegada? a) quinta-feira s 10h da manh b) quinta-feira s 7h da noite c) sexta-feira s 7h da noite d) sexta-feira s 9h da noite
14. (CESGRANRIO) No modelo abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem mesma reta. O ponto A dista 65,8 mm do ponto D; o ponto B dista 41,9 mm do ponto D, e o ponto C est a 48,7 mm do ponto A.
Qual , em mm, a distncia entre os pontos B e C? a) 17,1 b) 23,1 c) 23,5 d) 23,9 e) 24,8
15. (CESGRANRIO) Jos funcionrio de uma imobiliria e gosta muito de Matemtica. Para fazer uma brincadeira com um colega, resolveu escrever as reas de cinco apartamentos que esto venda em unidades de medida diferentes, como mostra a tabela abaixo.
Em seguida, pediu ao colega que organizasse as reas dos cinco apartamentos em ordem crescente. O colega de Jos respondeu corretamente ao desafio proposto apresentando a ordem a) I < II < III < IV < V b) II < I < IV < V < III c) IV < V < III < I < II d) V < II < I < III < IV e) V < IV < III < II < I
16. Observe as regras que determinam se determinado ano , ou no, ano bissexto.
1 REGRA: Se o ano divisvel por 4 bissexto.
2 REGRA: Se divisvel por 100 no bissexto.
3 REGRA: Se for divisvel por 400 bissexto. Sabendo que a regra n
o 2 prevalece sobre a regra n
o 1
e que a regra no
3 prevalece sobre a regra no 2,
determine quantos dos anos a seguir so bissextos.
a) 4 b) 5 c) 6 c) 8 d) 10
GABARITO 01. C 02.C 03. B 04. A 05. E 06. D 07. D 08. A 09. D 10. D 11. A 12. E 13. C 14. E 15. C 16. C
ANOTAES:
A B C D
1380 1500 1550 1600 1724 1918 1945 2000 2032 2100 2146 2400
-
MATEMTICA 25
PEDRO EVARISTO
CAPTULO 03
RAZO
Podemos dizer que a razo entre duas grandezas o quociente estabelecido entre elas, ou melhor, o
resultado da diviso entre as grandezas.
Assim, dados dois nmeros reais A e B, com B 0, calcula-se a razo entre A e B atravs do quociente da
diviso de A por B.
Para indicarmos a razo entre A e B usamos: B
A ou A : B (l-se A est para B).
Na razo de A por B, o nmero A chamado de antecedente e o nmero B chamado de conseqente.
RAZES INVERSAS
Duas razes so inversas quando o antecedente de uma igual ao conseqente da outra e vice-versa
a
be
b
a. Note que, o produto de duas razes inversas sempre igual a 1.
RAZES ESPECIAIS
CONCORRNCIA DE UM CONCURSO
a razo entre o nmero de candidatos inscritos no concurso e o nmero de vagas oferecidas por ele.
VELOCIDADE MDIA a razo entre a distncia percorrida por um mvel e o tempo gasto para percorr-la.
DENSIDADE DE UM CORPO
a razo entre a massa do corpo e o volume por ele ocupado.
DENSIDADE DEMOGRFICA DE UMA REGIO
a razo entre o nmero de habitantes de uma regio e a rea dessa regio.
1. a
b
b
a
Concorrncia = oferecidasvagasden
inscritoscandden
.
Velocidade mdia = t
SVm
gasto tempo
apercorriad distncia
Densidade = V
md
volume
massa
Densidade demogrfica = regio dessa
regio uma de habitantes de
rea
no
Razo entre B e A = A
B Razo entre A e B =
B
A
-
MATEMTICA 26
PEDRO EVARISTO
ESCALA NUMRICA a razo entre um comprimento no desenho e o seu correspondente comprimento no tamanho real,
medidos na mesma unidade.
Tamanhos de escala
Escala grande: aquela que possui um pequeno denominador, ou seja, aquela destinada a pequenos comprimentos reais (reas urbanas). rica em detalhes. usada em cartas ou plantas.
Escala pequena: aquela que possui um grande denominador, ou seja, aquela destinada a grandes comprimentos reais (reas continentais). pobre em detalhes grficos. usada em mapas e globos.
OBS.: H ainda um outro tipo de escala, chamada escala grfica, que se apresenta sob a forma de um segmento de reta graduado. Nele, cada graduao representa 1cm de comprimento no desenho.
EXEMPLO:
A escala 1:2000 equivale dizer que m 20
cm 1
cm 2000
cm 1
EXEMPLO Numa prova com 50 questes, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais. Responda os itens seguir. a) Qual a razo entre o n de questes certas e erradas? b) Qual a razo entre o n de questes erradas sobre o total de questes da prova? c) Qual a razo entre o n de questes em branco sobre o n de questes certas?
SOLUO:
O importante dividir seguindo a ordem dada, logo
a) 2
7
10
35
ERRADAS
CERTAS= 7 : 2 (proporo de 7 certas para cada 2 questes erradas)
b) 5
1
50
10
TOTAL
ERRADAS= 1 : 5 (proporo de 1 errada para cada 5 questes da prova)
c) 7
1
35
5
CERTAS
BRANCO= 1 : 7 (proporo de 1 em branco para cada 5 questes certas)
VAZO (FLUXO)
A vazo de um lquido o volume desse fluido que passa por uma determinada seo de um conduto por uma unidade de tempo. Geralmente a unidade adotada litros por segundo (l/s), embora existam outras unidades.
tempo
VolumeVazo
Escala = real
desenho no
ocompriment
ocompriment
D
dE
-
MATEMTICA 27
PEDRO EVARISTO
SOMA DAS VAZES
Por exemplo, quando temos duas ou mais torneiras enchendo um mesmo balde, devemos somar as vazes dessas torneiras para encontrar a vazo equivalente, ou seja,
BA VVVazo
O volume do recipiente pode ser representado por uma unidade qualquer. Podemos ento dizer que a vazo da torneira A de 1 balde em tA minutos, da torneira B de 1 balde a cada tB minutos e a vazo equivalente de 1 balde em tE minutos, ou seja
BAe ttt
111
O conceito de fluxo pode ser aplicado a outras situaes diferentes dos lquidos, dessa forma podemos ter fluxo de carros, de pessoas, de dinheiro, de trabalho, etc. EXEMPLO Uma torneira enche um tanque em 3 horas, uma outra em 4 horas e uma terceira pode esvazilo em 2 horas. Se forem abertas as trs torneiras ao mesmo tempo, em quantas horas o tanque ficar completamente cheio? SOLUO:
Observe que quanto mais torneiras, menor o tempo, portanto o tempo equivalente ser dado por
ne tttt
1...
111
21
Nesse caso duas torneiras enchem e uma das torneiras esvazia, logo
2
1
3
1
4
11
et
12
6431
et
12
11
et te = 12 horas
A B
-
MATEMTICA 28
PEDRO EVARISTO
PROPORO
As grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais. Um erro comum achar
simplesmente que quando as duas grandezas crescem so diretamente proporcionais e quando uma aumenta e
outra diminui so ditas inversamente. Na verdade, preciso que haja uma proporo.
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas x e y so diretamente proporcionais quando a razo entre elas constante. Alm disso, quando o valor absoluto de x cresce, o valor absoluto de y cresce na mesma proporo.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas x e y so inversamente proporcionais quando o produto entre elas constante. Pode-se
afirmar tambm que quando o valor absoluto de x cresce, o valor absoluto de y decresce em proporo inversa.
SRIE DE RAZES IGUAIS
Uma srie de razes iguais uma igualdade de duas ou mais razes. Tambm, pode ser chamada de proporo mltipla. Em smbolos, temos:
kb
a
b
a
b
a
b
a
n
n ...3
3
2
2
1
1
A principal propriedade a ser utilizada :
n
n
n
n
bbbb
aaaa
b
a
b
a
b
a
b
a
...
......
321
321
3
3
2
2
1
1 = k
DIRETAMENTE PROPORCIONAL
Os nmeros de uma sucesso numrica A = (x, y, z) so ditos diretamente proporcionais aos nmeros da
sucesso numrica B = (a, b, c), quando as razes de cada termo de A pelo seu correspondente em B forem
iguais , isto :
kc
z
b
y
a
x
LINK:
-
MATEMTICA 29
PEDRO EVARISTO
Este valor k chamado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade, que pode
corresponder a razo entre a soma dos termos de A em relao a soma dos elementos de B.
EXEMPLO
Verificar se os nmeros da sucesso (20, 16, 12) so ou no diretamente proporcionais aos nmeros da sucesso
(5, 4, 3). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade k.
SOLUO:
Note que:
.43
124
4
16;4
5
20 e
Ento as sucesses so diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade k = 4.
EXEMPLO Encontrar x e y sabendo que os nmeros da sucesso (20, x, y) so diretamente proporcionais aos nmeros da
sucesso (4, 2, 1)
SOLUO:
Pela definio de nmeros diretamente proporcionais, temos:
5
10
125
124
20
y
xyxyx
EXEMPLO (FCC) Certo dia, em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar judicirio observou que o nmero de pessoas atendidas no perodo da tarde excedera o das atendidas pela manh em 30 unidades. Se a razo entre a quantidade de pessoas atendidas no perodo da manh e a quantidade de pessoas atendida no perodo da tarde era 3/5, ento correto afirmar que, nesse dia, foram atendidas a) 130 pessoas. b) 48 pessoas pela manh. c) 78 pessoas tarde. d) 46 pessoas pela manh. e) 75 pessoas tarde.
SOLUO:
Seja T nmero de pessoas atendidas no perodo da tarde; M nmero de pessoas atendidas no perodo da manh; Do enunciado, temos:
5
3
T
M
30MT
5
T
3
M
30MT
Ento
35
MT
3
M
5
T
logo
2
30
5
T T = 75 e
2
30
3
M T = 45
cba
zyx
c
z
b
y
a
x
ba
yx
ba
yx
b
y
a
x
52
52
-
MATEMTICA 30
PEDRO EVARISTO
INVERSAMENTE PROPORCIONAL
Os nmeros de uma sucesso numrica A = (x, y, z) so inversamente proporcionais aos nmeros da
sucesso numrica B = (a, b, c), quando os produtos de cada termo da sucesso A pelo seu correspondente em
B forem iguais, isto :
Este valor k tambm chamado de fator ou coeficiente de proporcionalidade.
Na situao exposta, podemos dizer tambm que os elementos da sucesso A so diretamente
proporcionais aos inversos dos elementos da sucesso B, assim como a soma dos elementos de A so
proporcionais a soma dos inversos de B.
Outra tcnica interessante, para facilitar o trabalho, consiste em dividir todos os produtos pelo mmc(a,b,c)
da sucesso numrica B ou simplesmente pelo produto desses nmeros abc, com o intuito de transformar uma
proporo inversa em direta.
EXEMPLO1
Verificar se os nmeros da sucesso (3, 6, 8) so ou no inversamente proporcionais aos nmeros da sucesso
(24, 12, 9). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade k.
SOLUO:
Note que:
3 . 24 = 72; 6 . 12 = 72; 8 . 9 = 72.
Ento as sucesses so inversamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade 72.
EXEMPLO
Encontrar x, y e z, sabendo que os nmeros das sucesses (x, 3, z) e (9, y, 36) so inversamente proporcionais e
tm coeficiente de proporcionalidade k = 36.
SOLUO:
Pela definio, temos:
.13636.
.1236.3
.4369.
zz
yy
xx
EXEMPLO
Repartir o nmero 18 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4.
SOLUO:
Sejam x e y as partes procuradas:
8
102
9
18
454545
18
y
xyxyxyx
yx
c/1b/1a/1
zyx
c/1
z
b/1
y
a/1
x
x.a = y.b = z.c = k
abc
cz
abc
by
abc
ax ...
ab
z
ac
y
bc
x
-
MATEMTICA 31
PEDRO EVARISTO
03. (FCC) No quadro abaixo, tm-se as idades e os tempos de servio de dois tcnicos judicirios do TRF de uma certa circunscrio judiciria.
IDADE TEMPO DE SERVIO
JOO 36 ANOS 8 ANOS
MARIA 30 ANOS 12 ANOS
Esses funcionrios foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razo direta de suas idades e inversa de seus tempos de servio no Tribunal. Se Joo digitou 27 laudas, determine o total de laudas do processo. SOLUO:
Sejam Laudas de Joo: x Laudas de Maria: y Ento
8
36
x =
12
30
y=
12
30
8
36
yx
Como x = 27, temos
8
36
27 =
12
30
8
36
yx
ou seja
36
8.27 =
2
5
2
9
yx
6 = 7
yx
ento x+y = 42
DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAL
Grandeza diretamente proporcional a dois valores ao mesmo tempo:
Grandeza diretamente proporcional a um valor e inversamente a outro:
Grandeza diretamente proporcional a dois valores e inversamente a um terceiro valor:
nmba
yx
nm
y
ba
x
....
nmba
yx
nm
y
ba
x
////
p
nm
c
ba
yx
p
nm
y
c
ba
x
....
-
MATEMTICA 32
PEDRO EVARISTO
(FCC) Valdete deu R$ 32,00 a seus dois filhos, apenas em moedas de 25 e 50 centavos. Eles dividiram a quantia recebida entre si, na razo direta de suas respectivas idades: 7 e 9 anos. Se o mais jovem ficou com todas as moedas de 25 centavos, o nmero de moedas de 50 centavos era a) 28 b) 32 c) 36 d) 48 e) 56
SOLUO:
Do enunciado temos:
97
BA
9
B
7
A
Sabendo que A+B = 32, ento
16
32
9
B B = 18 reais
Como o mais jovem ficou com todas as moedas de 25 centavos, o mais velho ficou com todas as de 50 centavos, portanto o nmero de moedas dele ser: nB = 18/0,50 = 36 moedas
REGRA DE SOCIEDADE O fato que: para ser justo em uma sociedade os lucros e os prejuzos devem ser distribudos entre os
vrios scios proporcionalmente aos capitais empregados (C) e ao tempo (T) durante o qual estiveram empregados na constituio dessa sociedade.
uma aplicao prtica da diviso em partes diretamente proporcionais, portanto:
332211332211 ...... TCTCTC
zyx
TC
z
TC
y
TC
x
Onde (x + y + z) total do lucro a ser dividido.
EXEMPLO:
Trs scios lucraram juntamente R$20.200,00. Para tanto, o primeiro entrou com um capital de R$7.000,00
durante 1 ano, o segundo com R$8.000,00 durante 8 meses e o terceiro com R$9.000,00 durante 1 semestre.
Quanto lucrou cada um?
SOLUO:
Sejam: Lucro Investimento Tempo 1 Scio x R$ 7 mil 12 meses 2 Scio y R$ 8 mil 8 meses 1 Scio x R$ 9 mil 6 meses
Como
332211332211 ...... TCTCTC
zyx
TC
z
TC
y
TC
x
Ento
6.98.812.7
20200
6.9
z
8.8
y
12.7
x
546484
20200
54
z
64
y
84
x
Ou seja
202
20200
84
x x = 8400
202
20200
64
y y = 6400
202
20200
54
z y = 5400
-
MATEMTICA 33
PEDRO EVARISTO
PROPORO
Dados quatro nmeros reais a, b, c e d, todos diferentes de zero, dizemos que eles formam, nesta ordem,
uma proporo, quando a razo entre o primeiro e o segundo (a:b) igual razo entre o terceiro e o quarto (c:d). Representamos isto por:
d
c
b
a ou a : b = c : d
E lemos: a est para b assim como c est para d.
Na proporo d
c
b
a , destacamos que os termos a e d so chamados extremos e os termos b e c so
chamados meios.
a : b = c : d ou d
c
b
a
PROPRIEDADES DE UMA PROPORO
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL Em toda proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos.
cbdad
c
b
a..
SOMA DOS TERMOS Em toda proporo, temos:
d
dc
b
ba
ou
c
dc
a
ba
d
c
b
a
DIFERENA DOS TERMOS Em toda proporo, temos:
d
dc
b
ba
ou
c
dc
a
ba
d
c
b
a
SOMA DOS ANTECEDENTES E CONSEQENTES Em toda proporo, a soma dos antecedentes est para a soma dos conseqentes, assim como qualquer
antecedente est para seu conseqente.
db
ca
d
c
b
a
MEIOS
EXTREMOS
MEIOS
EXTREMOS
-
MATEMTICA 34
PEDRO EVARISTO
QUARTA PROPORCIONAL
Dados trs nmeros reais, a, b e c, no-nulos, chama-se de quarta proporcional desses nmeros dados o nmero x tal que:
x
c
b
a
Note que, a quarta proporcional forma uma proporo com os nmeros a, b e c, nessa ordem.
TERCEIRA PROPORCIONAL
Dados dois nmeros reais a e b, no-nulos, chama-se de terceira proporcional desses nmeros o nmero x tal que:
x
b
b
a
REGRA DE TRS SIMPLES
uma regra prtica que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B, relacionando dois valores de A e dois valores de B. Nos problemas, haver um desses quatro valores que ser desconhecido e dever ser calculado com base nos trs valores dados. Da o nome regra de trs.
Dependendo das grandezas A e B, podemos ter:
Regra de trs direta A e B so grandezas diretamente proporcionais.
2
1
2
1
B
B
A
A
Regra de trs inversa A e B so grandezas inversamente proporcionais.
A1.B1 = A2.B2
EXEMPLO:
Se uma dzia de ovos custa R$1,40, ento quanto deve custar uma bandeja com 30 ovos?
SOLUO:
Faa uma tabela relacionando a quantidade de ovos ao preo, e por meio de setas verifique se estas grandezas
so diretamente ou inversamente proporcionais.
Quantidade de ovos Preo (R$)
12 1,40
30 xxx
As setas tm o mesmo sentido porque as grandezas so diretamente proporcionais, ou seja, quanto mais ovos
se quer comprar, mais dinheiro se tem que gastar. Logo:
50,312
40,1.3040,1
30
12 xx
x
Resposta: Uma bandeja com 30 ovos deve custar R$3,50.
-
MATEMTICA 35
PEDRO EVARISTO
REGRA DE TRS COMPOSTA
uma regra prtica utilizada na resoluo de problemas que envolvem
mais de duas grandezas proporcionais. importante entender que s
podemos comparar grandezas de duas em duas, sempre imaginando que as
demais grandezas esto fixas, como no exemplo ao lado.
A regra de trs composta realizada da seguinte maneira:
1 Passo: Montamos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente,
os valores de cada grandeza.
2 Passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referncia.
3 Passo: Comparamos esta grandeza de referncia a cada uma das outras grandezas, isoladamente,
identificando se h proporcionalidade direta (seta de mesmo sentido) ou inversa (setas invertidas).
4 Passo: Colocamos a razo da grandeza de referncia isolada no 1 membro e, no 2 membro, colocamos o
produto das razes das outras grandezas, lembrando que se h proporcionalidade inversa em relao a
uma grandeza, devemos inverter os elementos da respectiva coluna e escrever a razo inversa no
produto.
EXEMPLO:
Dezoito operrios, trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias, conseguem realizar um determinado servio.
Trabalhando 9 horas por dia, 12 operrios faro o mesmo servio em quantos dias?
1 SOLUO:
Montando a tabela e tomando a quantidade de dias como referncia, temos:
Operrios Horas por dia Dias
18 7 12
12 9 x
Logo:
7
9.
18
1212
x18.7 = 9.x x = 14 dias
Resposta: So necessrios 14 dias.
2 SOLUO:
Montando a tabela e tomando o no de operrios como referncia, temos:
Operrios Horas por dia Dias
18 7 12
12 9 x
Logo:
12.
7
9
12
18 x18.7 = 9.x x = 14 dias
Resposta: So necessrios 14 dias.
-
MATEMTICA 36
PEDRO EVARISTO
EXERCCIOS 01. Um balde de 5 litros pode ser cheio por uma
torneira A em 3 min ou em 6 min por uma torneira B.
Caso sejam ligadas as duas torneira
concomitantemente, em quanto tempo o balde estar
cheio?
a) 2 min b) 2 min e 30 seg c) 4 min e 30 seg d) 9 min
02. Antnio demora 6 horas para pintar uma parede,
enquanto seu auxiliar Baltazar demoraria mais tempo
para executar o mesmo servio. Sabendo que juntos
eles pintariam essa parede em 4 horas, determine em
quantas horas o auxiliar pintaria sozinho.
a) 7 b) 9 c) 12 d) 16 03. Sophia tenta encher sua piscina de plstico
usando duas mangueiras do jardim, sem perceber que
o plstico estava com um pequeno furo na parte
inferior e que poderia esvaziar completamente a
piscina em 60 min. Se no houvesse furo, uma das
mangueiras encheria toda a piscina em 10 min e a
outra mangueira, tambm sozinha e sem furo, enche a
piscina em 20 min. Dessa forma, mesmo com o furo,
em quanto tempo as duas mangueiras enchem
completamente a piscina?
a) 6 min e 40 seg b) 7 min e 10 seg c) 7 min e 30 seg d) 8 min e 20 seg
04. No Banco Dimdim ser dividido um prmio de R$2.400,00 entre os trs funcionrios que mais se destacaram no ltimo ano. A parte que caber a cada funcionrio diretamente proporcional ao tempo de servio prestado a empresa. Sabendo que Aurisvanderson tem 3 anos de empresa, Belarmino 4 anos e Cleosvaldo 5 anos, determine quanto coube ao funcionrio que ficou com a maior quantia. a) R$ 1.200,00
b) R$ 1.000,00
c) R$ 800,00
d) R$ 600,00
05. O dono de uma empresa resolveu distribuir uma
gratificao de R$2.100,00 entre seus dois gerentes,
de forma inversamente proporcional s faltas de cada
um num determinado ms. Quanto caber ao mais
assduo, se os gerentes faltaram 5 e 2 vezes?
a) 600 b) 900 c) 1200 d) 1500
ANOTAES:
-
MATEMTICA 37
PEDRO EVARISTO
06. (FCC) Curiosamente, dois tcnicos bancrios
observaram que, durante o expediente de certo dia os
nmeros de clientes que haviam atendido eram
inversamente proporcionais s suas respectivas
idades: 36 e 48 anos. Se um deles atendeu 4 clientes
a mais que o outro, ento o total de pessoas atendidas
pelo mais velho foi:
a) 20
b) 18
c) 16
d) 14
e) 12
07. Uma empresa ir dividir R$ 24.000,00 entre quatro
funcionrios de forma diretamente proporcional ao
tempo de empresa e inversamente proporcional ao
nmero de faltas. Determine o maior valor recebido
por um dos quatro, sabendo que Andr trabalha a 6
anos e faltou 3 vezes, Bruno trabalha a 2 anos e faltou
apenas uma vez, Clber trabalha a 12 anos e faltou 4
vezes e Daniel trabalha a 10 anos e faltou duas vezes.
a) R$ 2.000,00 b) R$ 4.000,00 d) R$ 6.000,00 d) R$ 10.000,00 e) R$ 12.000,00 08. O lucro de R$ 14.000,00 da lanchonete WR, ser
dividido entre seus dois scios. Wendel aplicou na
empresa R$2.000,00 por 6 meses e Rinaldo aplicou
R$4.000,00 por 4 meses. Quanto, respectivamente,
coube a cada um deles?
a) R$ 4.000,00 e R$ 10.000,00 b) R$ 6.000,00 e R$ 8.000,00 c) R$ 7.000,00 e R$ 7.000,00 d) R$ 9.000,00 e R$ 5.000,00
09. (FCC) Um tcnico bancrio foi incumbido de
digitar as 48 pginas de um texto. Na tabela abaixo,
tm-se os tempos que ele leva, em mdia, para digitar
tais pginas.
NMERODE PGINAS
TEMPO (MINUTOS)
1 12 2 24 3 36 4 48
Nessas condies, mantida a regularidade mostrada
na tabela, aps 9 horas de digitao desse texto, o
esperado que:
a) ainda devam ser digitadas 3 pginas.
b) Todas as pginas tenham sido digitadas.
c) Ainda devam ser digitadas 9 pginas.
d) Ainda devam ser digitadas 8 pginas.
e) Ainda devam ser digitadas 5 pginas.
ANOTAES:
-
MATEMTICA 38
PEDRO EVARISTO
10. Desenvolvendo uma velocidade mdia de 18km
por hora, um pedestre correu durante 1h 20min. Se
tivesse desenvolvido a velocidade mdia de 15km por
hora, teria feito o mesmo percurso em quanto tempo?
a) 1h 16min
b) 1h 26min
c) 1h 36min
d) 1h 46min
11. Quinze teares trabalhando 6 horas por dia,
durante 20 dias, produzem 600m de pano. Quantos
teares so necessrios para fazer 1200m do mesmo
pano, em 30 dias, com 8 horas de trabalho por dia?
a) 15 b) 16 c) 18 d) 20 12. No Banco Dimdim, em dias normais, na agncia central, 10 caixas atendem 900 pessoas trabalhando 6 horas dirias. Em uma manh de segunda-feira, aps um feriado prolongado, dois caixas faltaram e o gerente quer uma previso de quantas pessoas podero ser atendidas nas 2 horas iniciais desse dia atpico, quando espera-se que o nvel de dificuldade do atendimento seja duas vezes maior. Qual a estimativa do nmero de pessoas atendidas nesse intervalo? a) 240 b) 150 c) 120 d) 90
13. Trs ngulos consecutivos somam 360 e so
proporcionais aos nmeros 11, 12 e 13. Determine o
maior dos 3 ngulos, em graus.
a) 130
b) 120
c) 110
d) 100
14. Certo ms, um pai resolve dividir uma mesada de
R$140 entre seus trs filhos, de forma inversamente
proporcional ao nmero de faltas que cada um deles
teve na escola no ms anterior. Alysson faltou apenas
uma vez, Beatriz faltou duas vezes e Carine faltou
quatro vezes. Quanto recebeu o mais ausente?
a) 20
b) 40 c) 60 d) 80
15. (FCC) Certa noite, dois tcnicos em segurana
vistoriaram as 130 salas do edifcio de uma Unidade
de um Tribunal, dividindo essa tarefa em partes
inversamente proporcionais s suas respectivas
idades: 31 e 34 anos. O nmero de salas vistoriadas
pelo mais jovem foi
a) 68 b) 66 c) 64 d) 62
ANOTAES:
-
MATEMTICA 39
PEDRO EVARISTO
16. (FCC) A razo entre as idades de dois tcnicos igual a 5/9. Se a soma dessas idades igual a 70 anos, quantos anos o mais jovem tem a menos do que o mais velho? a) 15 b) 18 c) 20 d) 22 e) 25 17. Para remoo das vtimas da enchente de uma
cidade foram necessrios 480 homens trabalhando
durante 8 dias. Quantos homens seriam necessrios
para se fazer o mesmo trabalho em 6 dias?
a) 720 b) 640 c) 580 d) 520 18. Num estdio de futebol, 60.000 torcedores
acabaram de assistir a um jogo. Por cada uma das
seis sadas disponveis podem passar 1000 pessoas
por minuto. Calcule o tempo mnimo necessrio para
que todos os torcedores saiam do estdio (em
minutos).
a) 5
b) 10
c) 20
d) 25
19. Desejo ler um livro de 400 pginas. Nas primeiras
duas horas, consegui ler 25 pginas. Continuando
neste ritmo, terminarei de ler o restante do livro em:
a) 24 horas
b) 32 horas
c) 48 horas
d) 36 horas
e) 30 horas
20. (FCC) Em uma estrada, dois automveis percorreram a distncia entre dois pontos X e Y, ininterruptamente. Ambos saram de X, o primeiro s 10h e o segundo s 11h30min, chegando juntos em Y s 14h. Se a velocidade mdia do primeiro foi de 50 km/h, a velocidade mdia do segundo foi de a) 60 km/h b) 70 km/h c) 75 km/h d) 80 km/h 21. Beatriz tem 12 anos e sua irm, 18. Daqui a
quantos anos a razo entre a idade de Beatriz e a de
sua irm ser de 3 para 4?
a) 3 anos
b) 4 anos
c) 5 anos
d) 6 anos
ANOTAES:
-
MATEMTICA 40
PEDRO EVARISTO
22. (FUNRIO) As telas dos televisores costumam ser medidas em polegadas. Quando se diz que um televisor tem 29 polegadas significa que a diagonal do vdeo mede 29 polegadas, isto , aproximadamente 73,66 centmetros. Se a medida da diagonal do vdeo de um televisor mede 43,18 centmetros, podemos afirmar que seu nmero de polegadas : a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 20
23. (CONSULPLAN) Daniel um dos funcionrios de
uma Agncia dos Correios. Neste ms ele entrou de
frias e foi viajar com a famlia. A viagem foi feita de
carro, em 4 dias, viajando-se 9 horas por dia a uma
velocidade mdia de 75 km/h. Se Daniel tivesse
viajado a uma velocidade de 90km/h e andado 5h por
dia, teria gasto quantos dias nessa viagem?
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 24. (FCC) Suponha que, pelo consumo de energia eltrica de uma mquina que, durante 30 dias funciona ininterruptamente 8 horas por dia, paga-se o total de R$ 288,00. Se essa mquina passar a funcionar 5 horas por dia, a despesa que ela acarretar em 6 dias de funcionamento ininterrupto ser de a) R$ 36,00. b) R$ 36,80. c) R$ 40,00. d) R$ 42,60. e) R$ 42,80. 25. Se 2000kg de rao so suficientes para alimentar
32 cavalos durante 42 dias, quantos dias duraro
1000kg de rao para 24 cavalos de uma outra raa
que o nvel de consumo dirio duas vezes maior?
a) 14
b) 28
c) 25
d) 30
26. Para construir uma ponte em 75 dias de 8 horas
dirias de trabalho, foram contratados 100 operrios.
Como se deseja terminar a obra em 40 dias de 10
horas dirias de trabalho, determine quantos operrios
a mais devem ser contratados.
a) 150
b) 125 c) 40 d) 50
ANOTAES:
-
MATEMTICA 41
PEDRO EVARISTO
27. Um estdio de futebol est completamente lotado.
Aps a partida se for aberto apenas o porto A, o
estdio se esvazia em 30 min. Abrindo apenas o
porto B, o estdio se esvazia em 60 min. Se forem
abertos os portes A e B ao mesmo tempo, em quanto
tempo o estdio estar completamente vazio?
a) 90 min b) 45 min c) 20 min d) 15 min 28. Uma torneira A, ligada sozinha, capaz de encher um tanque de 1000 litros em 20 minutos. Para encher esse tanque, liga-se somente a torneira A por 4 min e em seguida liga-se tambm a torneira B, enchendo o restante do tanque em apenas 6 min. Supondo constantes as vazes dessas duas torneiras, ento a torneira B, trabalhando sozinho, encheria esse tanque em: a) 20 min. b) 16 min. c) 12 min. d) 10 min. e) 8 min. 29. Em um determinado banco, o funcionrio Antnio, trabalhando sozinho, realiza uma tarefa em 10 dias. Dando incio ao trabalho e tendo trabalhado sozinho apenas 2 dias, no terceiro dia Antnio junta-se ao funcionrio Bernardo e em 3 dias de trabalho concluram a tarefa. Supondo constante o desempenho desenvolvido por esses funcionrios para realizarem seus trabalhos, tem-se que Bernardo, trabalhando sozinho, realizaria toda a tarefa em a) 10 dias. b) 8 dias. c) 6 dias. d) 5 dias. e) 4 dias. 30. O trajeto de 10 km percorrido por um carteiro formado por 2 trechos. Sabe-se que os comprimentos desses trechos, em metros, so nmeros diretamente proporcionais a 2 e 3. Nesse caso, a diferena, em metros, entre os comprimentos do maior trecho e do menor trecho igual a a) 600. b) 1400. c) 1200. d) 1000. e) 800.
GABARITO 01. A 02. C 03. C 04. B 05. D 06. E 07. D 08. B 09. A 10. C 11. A 12. C 13. A 14. A 15. A 16. C 17. B 18. B 19. E 20. D 21. D 22. D 23. C 24. A 25. A 26. D 27. C 28. C 29. C 30. D
ANOTAES:
-
MATEMTICA 42
PEDRO EVARISTO
CAPTULO 04
PORCENTAGEM
INTRODUO A expresso por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento. Assim, quando voc l ou
escuta uma afirmao como "Grande liquidao: 20 por cento de desconto em todos os artigos", significa que voc ter 20 reais de desconto para cada 100 reais do preo do artigo que comprar.
Estabelecemos, ento, a razo 100
20 e podemos afirmar que:
Assim, 100
20 o mesmo que 20 por cento. A expresso por cento pode ser substituda pelo smbolo %. Dessa
forma, temos:
100
20 = 20 %
Veja os exemplos:
8 pessoas em um grupo de 10 correspondem a 10
8ou
100
80ou 80% do grupo.
Num total de R$ 300,00, a quantia de R$ 21,00 equivale a 300
21ou
100
7ou 7% do total.
EXEMPLO: Se uma barra de chocolate dividida em 5 pedaos e uma pessoa come 3 deles, ela ter comido 3/5 do total, mas se tivesse dividido em 100 partes ela teria comido 60 partes, o que na verdade representa a mesma coisa. Veja a ilustrao.
FRAO x PORCENTAGEM
OBSERVAO:
Toda razo a/b na qual b = 100, chama-se taxa de porcentagem.
%60100
60
10
6
5
3
-
MATEMTICA 43
PEDRO EVARISTO
AUMENTOS E DESCONTOS AUMENTO DE 20%
Valor inicial x
Valor do aumento 20% de x
Valor aps o aumento 120% de x DESCONTO DE 20%
Valor inicial x
Valor do desconto 20% de x
Valor aps o desconto 80% de x
Para ganhar tempo (o que fundamental em concursos) lembre-se que se um capital x aumenta 20%, ele ir para 120% de x. Dessa forma no necessrio fazer o desenvolvimento:
x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x
Observe os aumentos e descontos a seguir:
LINK:
x +20%
120%x
x +50%
150%x
x +84%
184%x
x +136%
236%x
x 20%
80%x
x 50%
50%x
x 84%
16%x
x +100%
200%x
x +100%
2x = 200%x
x +200%
3x = 300%x
x +400%
5x = 500%x
x +800%
9x = 900%x R Reais I Irracionais Q Racionais Z Inteiros N Naturais
LINK:
-
MATEMTICA 44
PEDRO EVARISTO
PORCENTAGEM DE CABEA
O segredo para calcular porcentagem de cabea perceber como fcil calcular 10% e 1%.
Para fazer porcentagem de cabea, basta entender a relao de todas as porcentagens com 10%.
10% de 120 = 12 (1/10 de 120 = 120/10 = 12)
20% de 120 = 24 (20% = 10% + 10%, ou seja 12 + 12 = 24)
30% de 120 = 36 (30% = 10% + 10% + 10%, ou seja 12 + 12 + 12 = 3.12 = 36)
5% de 120 = 6 (5% a metade de 10%, logo a metade de 12 6)
1% de 120 = 1,20 (1/100 de 120 = 120/100 = 1,20)
21% de 120 = 25,2 (21% = 10% + 10% + 1%, ou seja 12 + 12 + 1,2 = 25,2)
35% de 120 = 42 (35% = 10% + 10% + 10% + 5%, ou seja 12 + 12 + 12 + 6 = 42)
52% de 120 = 62,4 (52% = 50% (metade) + 1% + 1%, ou seja 60 + 1,2 + 1,2 = 62,4)
90% de 120 = 108 (90% = 100% (o todo) 10%, ou seja 120 12 = 108)
95% de 120 = 114 (95% = 100% (o todo) 5%, ou seja 120 6 = 114)
99% de 120 = 118,8 (99% = 100% (o todo) 1%, ou seja 120 1,2 = 118,8)
125% de 120 = 150 (125% = 100% (o todo) + 25% (um quarto), ou seja 120 + 30 = 150)
151% de 120 = 181,2 (151% = 100% (o todo) + 50% (metade) + 1%, ou seja 120 + 60 + 1,2 = 181,2)
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MATEMTICA 45
PEDRO EVARISTO
EXERCCIOS RESOLVIDOS
01. Em uma sala com 50 alunos, sendo 38 mulheres, qual o percentual de homens?
SOLUO:
Lembre-se que porcentagem frao, mas uma frao cujo denominador 100. Ento, para calcular o percentual que os 12 homens representam diante dos 50 alunos, basta escrever a frao que isso representa, procurando a frao equivalente cujo denominador seja 100. Observe:
02. Em uma viagem de 200km, j foram percorridos 126km, qual o percentual j percorridos?
SOLUO:
A frao do que j foi percorrido, em relao ao total da viagem, pode ser escrito da seguinte forma:
03. Se Joo gastou 18/25 do seu salrio, qual o percentual que ainda resta?
SOLUO:
Quem gasta 18 partes de 25 por que ainda restam 7 partes de 25, logo essa frao equivale a:
04. Sabendo que 7/20 dos vereadores de um municpio votaram contra uma determinada obra, qual o percentual que votou a favor?
SOLUO:
Se 7 entre 20 vereadores votaram contra por que os 13 restantes entre 20 votaram a favor, logo:
05. Aps uma prova, de cada 8 recursos, 5 foram indeferidos. Qual o percentual de deferidos? SOLUO:
Se foram indeferidos 5 dentre 8 recursos, ento foram deferidos 3 dentre 8. Nesse caso, multiplicaremos o numerador e o denominador por 100, para em seguida dividir tudo por 8, pois dessa forma surge o denominador 100. Observe:
06. Em uma festa, o DJ tocou 8 msicas nacionais para cada 11 estrangeiras. Qual o percentual de nacionais nesse repertrio?
SOLUO:
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MATEMTICA 46
PEDRO EVARISTO
07. Dois aumentos sucessivos de 30% e 20% so equivalentes a um nico aumento de quanto?
SOLUO:
Podemos empregar nessa questo um artifcio aritmtico que costumo chamar de truque do 100. A idia consiste em escrever o nmero 100 e seguir os comandos, ou seja, aumentar 30% em cimas dos 100 e em seguida aplicar mais 20% em cima do novo valor, no caso 130. Isso de forma cumulativa, observe:
Dessa forma, como iniciamos com 100 e terminamos com 156, percebe-se facilmente que houve aumento de 56 partes pra cada 100 que colocamos no incio, ou seja, aumento de 56 por 100, ou ainda aumento de 56%. Um fato interessante que a ordem dos aumentos no altera o resultado final, observe:
Isso ocorre pois quando aumentamos 20% estamos multiplicando por 1,20 e quando aumentamos 30% basta multiplicar por 30%, portanto x.1,20.1,30 = x.1,30.1,20 = x.1,56 = 156%.x (aumento de 56%).
08. Descontos sucessivos de 30% e 20% so equivalentes a um nico desconto de quanto?
SOLUO:
Da mesma forma que na questo anterior podemos aplicar o truque dos 100, veja:
Portanto, reduo de 44 para cada 100, ou seja, diminuio de 44%. 09. Trs aumentos sucessivos de 100%, equivalem a um nico aumento de quanto? SOLUO:
Aplicando o truque dos 100, temos:
10. Uma loja, realizando uma promoo, oferece um desconto de 20% nos preos dos seus produtos. Pra voltar
aos preos iniciais, os preos promocionais devem sofrer um acrscimo de A%. Determine o valor A.
SOLUO:
Observe que para cada 100 aplicado desconta-se 20, mas na voltar ao original deve aumentar 20 em relao a 80, ou seja, 1/4 de 80, ou ainda, aumento de 25%.
Observe:
Portanto, para retornar aos preos iniciais, os preos promocionais devem sofrer acrscimo de 25%. 11. Aps um desconto de 30%, Maria pagou por um sof o valor de R$350,00. Quanto era o valor original do sof,
sem o desconto de 30%? SOLUO:
Do enunciado, temos:
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MATEMTICA 47
PEDRO EVARISTO
Dessa forma, podemos afirmar que os 350 reais correspondem a 70% do valor original do sof, ou seja 70%.x = 350 Logo
70/100.x = 350 Portanto x = 500 12. Aps um aumento de 30%, uma cadeira passou a valer de R$390,00. Quanto era o valor original da cadeira,
antes do aumento de 30%? SOLUO:
Do enunciado, temos:
Dessa forma, podemos afirmar que os 390 reais correspondem a 130% do valor original do sof, ou seja 130%.x = 390 Logo
130/100.x = 390 Portanto x = 300 13. Um fichrio tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas esto etiquetadas com nmero par.
Quantas fichas tm a etiqueta com nmero par? SOLUO:
Representando por x o nmero de fichas que tm etiqueta com nmero par e lembrando que 52% = 52/100 = 0,52, temos:
x = 52% de 25 x = 0,52.25 x = 13
Nesse fichrio h 13 fichas etiquetadas com nmero par. 14. No torneio pr-olmpico de basquete, realizado na Argentina em agosto de 1995, a seleo brasileira disputou
4 partidas na 1 fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitrias obtidas pelo Brasil nessa fase? 1 SOLUO:
Vamos indicar por x% o nmero que representa essa porcentagem. O problema pode, ento, ser expresso por: x% de 4 igual a 3
Isso resulta na equao 100
x.4 = 3 4x = 300 x = 75
2 SOLUO:
Do Enunciado temos:
4
3 = 0,75 =
100
75 = 75%
O Brasil venceu 75% dos jogos que disputou nessa fase. 15. Numa indstria trabalham 255 mulheres. Esse nmero corresponde a 42,5% do total de empregados. Quantas
pessoas trabalham, ao todo, nessa indstria? SOLUO:
Vamos representar por x o nmero total de empregados dessa indstria. Esse problema pode ser expresso por: 42,5% de x igual a 255
Sabendo que 42,5% = 100
42,5 = 0,425, podemos formar a equao:
0,425 . x = 255
x = 0,425
255 x = 600
Nessa indstria trabalham, ao todo, 600 pessoas.
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MATEMTICA 48
PEDRO EVARISTO
16. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preo marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preo original dessa mercadoria?
SOLUO:
Se obtive 8% de desconto, o preo que paguei representa 100% 8% = 92% do preo original. Representando o preo original da mercadoria por x, esse problema pode ser expresso por: 92% de x igual a 690
Sabendo que 92% = 100
92 = 0,92, podemos formar a equao:
0,92 . x = 690 0,92x = 690
x = 0,92
690 x = 750
O preo original da mercadoria era R$ 750,00. 17. 40% de 20% corresponde a quantos por cento? SOLUO:
Representando por x% a taxa de porcentagem procurada, o problema se reduz a: 40% de 20% igual a x Se 40% = 0,40 e 20% = 0,20, temos a equao: 0,40 . 0,20 = x x = 0,08
0,08 = 100
8 = 8%
Assim, 40% de 20% corresponde a 8%. 18. Uma geladeira, cujo preo vista de R$ 680,00 tem um acrscimo de 5% no seu preo se for paga em 3
prestaes iguais. Qual o valor de cada prestao? SOLUO
5% de 680 = 0,05 . 680 = 34 (acrscimo) 680 + 34 = 714 (preo em 3 prestaes iguais) 714 : 3 = 238 (valor de cada prestao) Ento, o valor de cada prestao de R$ 238,00. 19. O salrio de um trabalhador era de R$ 840,00 e passou a ser de R$ 966,00. Qual foi a porcentagem de
aumento? SOLUO:
1 modo: 966 840 = 126 (aumento em reais) x% de 840 = 126
100
15
20
3
120
18
840
126 15% (aumento em porcentagem)
2 modo: x% de 840 = 966 (salrio anterior mais aumento)
%15%100%115100
115
20
23
120
138
840
966
Logo, a porcentagem de aumento foi de 15%. 20. Paulo gastou 40% do que tinha e ainda ficou com R$ 87,00. Quanto ele tinha e quanto gastou, em reais? SOLUO:
Quem gasta 40% do que tem, fica com 60% do que tinha, que corresponde a R$ 87,00. Dessa forma, temos:
60% de x = 87
Ou seja
aumento
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MATEMTICA 49
PEDRO EVARISTO
0,6.x = 87
Logo, ele tinha
x = 145 e gastou:
145 87 = 58 ou 40% de 145 = 58 Portanto, Paulo tinha R$ 145,00 e gastou R$ 58,00. 21. Laura gastou R$ 900,00 na compra de uma bicicleta, de um aparelho de som e de uma estante. A bicicleta
custou R$ 60,00 a menos que a estante e o preo do aparelho de som corresponde a 80% do preo da bicicleta. Quanto custou cada uma das mercadorias?
SOLUO:
Sejam: Preo da estante: x Preo da bicicleta: x 60 Preo do aparelho de som: 80% de (x 60)
Sendo o total das mercadorias igual a 900, ento x + x 60 + 80%(x 60) = 900
ou seja 2x 60 + 0,8x 48 = 900 2,8x = 1008 portanto
x = 360 Logo, o preo da estante foi de
R$ 360,00 Da bicicleta foi de
R$ 300,00 (360 60) Do aparelho de som foi de
R$ 240,00 (80% de 300)
22. Cntia e Fbio dispem, cada um, de certa quantia em dinheiro. Se Cntia emprestar a Fbio 20% do que tem, este ficar com R$ 174,00; entretanto, se Fbio emprestar 20% do valor que tem Cntia, ela ficar com R$ 150,00. Determine a quantia que os dois tm juntos.
SOLUO:
Do enunciado, temos: F + 20%C = 174 20%F + C = 150 Somando as equaes, temos: 120%F + 120%C = 324 1,20.(F + C) = 324 Logo, a quantia que eles tem juntos, : F + C = 270 23. (ESAF) Uma estranha clnica veterinria atende apenas ces e gatos. Dos ces hospedados, 90% agem
como ces e 10% como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como ces. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clnica agem como gatos e que os 80% restantes agem como ces. Sabendo-se que na clnica veterinria esto hospedados 10 gatos, determine o nmero de ces hospedados nessa estranha.
SOLUO:
Nmero de gatos: G Nmero de ces: C Do enunciado, temos: Ces que pensam ser gatos: 10% de C Gatos que agem realmente como gatos: 90% de G Animais que pensam ser gatos: 20% de todos os animais (C + G) Ento 10%.C + 90%.G = 20%.(G+C) 10%C + 90%G = 20%G + 20%C
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MATEMTICA 50
PEDRO EVARISTO
90%G - 20%G = 20%C - 10%C 70%G = 10%C C = 7G 24. Um auditrio, com 200 alunos, tem 96% de mulheres e o restante de homens. Saem N mulheres e o
percentual de mulheres passa a ser de 95%. Determine o valor de N. SOLUO:
Do enunciado, temos que o nmero de homens igual a 4% dos 200 alunos, ou seja H = 4%.200 = 8 Perceba que esse nmero de homens fixo e depois da sada das N mulheres eles passaram a valer 5% de um novo total, ou seja H = 5%.x Ento 8 = 5/100.x Logo x = 160 Dessa forma, como eram 200 alunos e agora so apenas 160, saram 40 mulheres.
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MATEMTICA 51
PEDRO EVARISTO
EXERCCIOS 01. Na loja de Bosco, os produtos so anunciados por 80% a mais que seu custo. Quando vendidos a vista, ele d um desconto de 20% sobre o valor marcado na etiqueta. Dessa forma, aps o desconto, qual o percentual de lucro que ele obtm sobre o custo? a) 20% b) 24% c) 36% d) 44% e) 60%
02. Um comerciante resolve aumentar em 40% o preo de todos os produtos de sua loja, para em seguida, anunciar uma liquidao com desconto de 40% em todos eles. Podemos afirmar que, aps o desconto, o valor do produto: a) aumentou 16% em relao ao valor antes do aumento. b) reduziu 16% em relao ao valor antes do aumento. c) no pode ser definido, pois depende do valor marcado na etiqueta. d) no sofreu alterao em relao ao valor antes do aumento.
03. No semestre passado, sabe-se que 30% dos alunos matriculados no curso de idiomas Spanglish estudavam espanhol e os outros 70% estudavam ingls, mas nenhum deles estava matriculado nos dois idiomas. No semestre seguinte, a turma de espanhol teve aumento de 50% no nmero de matrculas, enquanto que a turma de ingls reduziu em 10% o nmero de alunos matriculados. Com base nessas informaes, podemos afirmar que, em relao ao nmero de alunos do semestre passado, o total de alunos matriculados no semestre: a) aumentou 8% b) diminuiu 8% c) aumentou 18% d) diminuiu 18%
ANOTAES:
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MATEMTICA 52
PEDRO EVARISTO
04. A massa crua com que fabricado um certo tipo de po composta de 40% de gua, 58% de farinha e 2% de sal e fermento. Enquanto assada, 75% da gua contida na massa crua evapora, sendo esta a nica substncia perdida nesse processo. Nessas condies, calcule a massa crua de po necessria para obter-se um po assado de 42g. a) 65g b) 60g c) 55g d) 50g
05. Que nmero deve ser somado ao numerador e ao
denominador da frao 23 para que ela tenha um aumento de 20%? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
06. (FUNRIO) A rede Lojas BBB, numa promoo relmpago, estava oferecendo um desconto de 20% em todas as suas mercadorias. Maria se interessou por um sof e pagou pelo mesmo o valor de R$400,00. O valor original do sof, sem o desconto de 20%, era de a) R$480,00 b) R$500,00 c) R$520,00 d) R$540,00 e) R$560,00 07. (FUNRIO) Um reservatrio para gua tem a seguinte propriedade: quando est 40% vazio, o volume da gua excede em 40 litros o volume do reservatrio quando este est 40% cheio. Dessa forma, podemos concluir que a capacidade do reservatrio a) 240 litros b) 220 litros c) 200 litros d) 180 litros e) 160 litros 08. Uma sala de aula, com 50 alunos, tem 60% de mulheres e o restante de homens. Entram mais N mulheres e o percentual de homens passa a ser de 25%. Determine o valor de N. a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 09. Uma pessoa gasta 15% do seu salrio com aluguel. Se o aluguel aumenta 26% e o salrio 5%, que percentagem do salrio esta pessoa passar a gastar com aluguel? a) 15% b) 16% c) 18% d) 20%
ANOTAES:
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MATEMTICA 53
PEDRO EVARISTO
10. Dois aumentos sucessivos de 40% e 10% so equivalentes a um nico aumento de: a) 58% b) 54% c) 50% d) 44%
11. Descontos sucessivos de 30% e 10% so equivalentes a um nico desconto de: a) 40% b) 37% c) 33% d) 20%
12. Um produto alimentcio sofreu dois aumentos mensais seguidos de 20% e 30% e no terceiro ms sofreu uma reduo de 50% em seu valor. Podemos ento afirmar que, ao final desses 3 meses, o valor do produto, em relao ao valor inicial, sofreu: a) aumento de 10% b) reduo de 22% c) reduo de 15% d) nem aumento, nem reduo 13. Uma loja, realizando uma promoo, oferece um desconto de 50% nos preos dos seus produtos. Pra voltar aos preos iniciais, os preos promocionais devem sofrer um acrscimo de A%. Determine o valor A. a) 25 b) 50 c) 80 d) 100 14. Dona Menina investiu 20% de suas economias comprando Euro e o restante comprando Dlar. Sabendo que o Euro valorizou 10% em 6 meses e o Dlar caiu 20% ao final do mesmo perodo, determine o que aconteceu com o investimento que ela fez. a) rendeu 10% b) reduziu 10% c) rendeu 14% d) reduziu 14% 15. (CESGRANRIO) Um aparelho de som pode ser comprado em 4 prestaes de R$ 150,00 ou vista com 10% de desconto. Quanto ser pago, em reais, se a compra for feita vista? a) 480,00 b) 500,00 c) 520,00 d) 540,00 e) 560,00
16. Um refrigerador sofre dois aumentos anuais sucessivos: o primeiro de 25% em um ano e outro de 35% no ano seguinte. Se ele custava R$1.200,00, determine quanto passou a custar depois desses aumentos. a) R$ 1.250,00 b) R$ 2.025,00 c) R$ 1.750,00 d) R$ 2.250,00
ANOTAES:
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MATEMTICA 54
PEDRO EVARISTO
17. O salrio de Rafaela sofreu um aumento de 32% e passou a valer R$ 2.640,00. Quanto era seu salrio antes desse aumento? a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.100,00 c) R$ 2.200,00 d) R$ 2.400,00
18. (FCC) Em dezembro, uma loja de carros aumentou o preo do veculo A em 10% e o do veculo B em 15%, o que fez com que ambos fossem colocados a venda pelo mesmo preo nesse ms. Em janeiro houve reduo de 20% sobre o preo de A e de 10% sobre o preo de B, ambos de dezembro, o que fez com que o preo de B, em janeiro, superasse o de A em a) 11,5% b) 12% c) 12,5% d) 13% e) 13,5%.
19. Joo recebeu um aumento salarial de 15% no incio do ms de maro e, no ltimo dia do mesmo ms, recebeu um outro aumento de 20% sobre seu novo salrio. Qual o percentual total de aumento que Joo recebeu em maro? a) 32% b) 35% c) 38 % d) 135%
20. Joozinho gastou a metade do dinheiro que tinha com um presente que comprou para a sua me. Em seguida, gastou 30% do que lhe restou, na compra de um jogo, e ainda ficou com R$ 63,00. Quantos reais tinha Joozinho antes das compras? a) 120 b) 150 c) 180 d) 200 e) 420
21. Um produto custava, em certa loja, R$ 200,00. Aps dois aumentos consecutivos de 10%, foi colocado em promoo com 20% de desconto. Qual o novo preo do produto (em R$)? a) 176,00 b) 192,00 c) 193,60 d) 200,00
22. Srgio vendeu um relgio por 150% a mais do que lhe custou. Determine o percentual de lucro que ele obteve em relao ao preo de venda. a) 40% b) 50% c) 60% d) 75%
ANOTAES:
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MATEMTICA 55
PEDRO EVARISTO
23. Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preo de venda (margem de lucro). Dessa forma, qual seria o percentual de lucro em relao ao preo de custo? a) 50% b) 75% c) 100% d) 150%
24. Um comerciante obtm lucro de 75% sobre o preo de venda. Determine o percentual do lucro calculado sobre o preo de custo. a) 25% b) 100% c) 300% d) 400%
25. O preo de certo produto alimentcio dobrou trs vezes seguidas, ou seja, durante o perodo da entressafra, que durou trs meses, o produto dobrava de preo em relao ao ms passado. Esses aumentos consecutivos podem ser representados por um nico aumento trimestral de: a) 300% b) 500% c) 600% d) 700% e) 800%
26. (CESGRANRIO) Trs aumentos mensais sucessivos de 30%, correspondem a um nico aumento trimestral de: a) 0,9% b) 90% c) 190% d) 219,7% e) 119,7%
27. (FUNRIO) Constatou-se num vilarejo que, em determinado ano, 120 pessoas foram vitimadas pela dengue. No ano seguinte, esse nmero caiu para 90 pessoas. Podemos dizer, ento, que houve uma reduo no nmero de vitimados da ordem de a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% e) 40 % 28. (FUNRIO) Lus investiu uma determinada quantia comprando aes de uma indstria. No final do primeiro ano ele verificou que as aes tinham valorizado 25%. No final do ano seguinte, ele afirmou: puxa, eu tenho hoje o dobro do dinheiro que investi. Dessa forma, a valorizao das aes no segundo ano foi de a) 45% b) 50% c) 55% d) 60% e) 65%
ANOTAES:
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MATEMTICA 56
PEDRO EVARISTO
29. (FUNRIO) Uma jarra tem 800 ml de refresco, em que 60% dessa quantidade corresponde a gua e 40% corresponde ao concentrado de suco de uva. Para que o concentrado corresponda a 25% da mistura final, a quantidade de gua que deve ser acrescido ao refresco de a) 320 ml b) 400 ml c) 480 ml d) 560 ml e) 640 ml 30. (FCC) O preo de um aparelho P reais. Como eu s possuo X reais, que correspondem a 70% de P, mesmo que me fosse concedido um abatimento de 12% no preo, ainda faltariam R$ 54,00 reais para que eu pudesse comprar esse aparelho. Nessas condies, a quantia que possuo: a) 210,00 b) 230,00 c) 250,00 d) 270,00
GABARITO 01. D 02. B 03. A 04. B 05. B 06. B 07. C 08. D 09. C 10. B 11. B 12. B 13. D 14. D 15. D 16. B 17. A 18. C 19. C 20. C 21. C 22. C 23. C 24. C 25. D 26. E 27. B 28. D 29. C 30. A
ANOTAES:
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MATEMTICA 57
PEDRO EVARISTO
CAPTULO 05
PROBABILIDADE
IINNTTRROODDUUOO
Com certeza voc j utilizou o conceito de probabilidade, mesmo sem saber. Quer ver? Quantas vezes j dissemos frases do tipo a probabilidade de algum ganhar na Mega Sena muito pequena, ele teve muita sorte ou a probabilidade de ns sermos promovidos bem grande, afinal, fizemos um bom trabalho. Quando falamos da porcentagem de chance de um determinado evento ocorrer, estamos falando de probabilidade, mas agora vamos aprender a quantificar isso. Saiba que, em algumas situaes, a anlise combinatria estudada nas aulas anteriores ser de grande importncia para o calculo da probabilidade.
A probabilidade a porcentagem (frao) de chance de um determinado evento ocorrer. um assunto interessante para os at