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GEOMETRIA ANALTICA PLANA

PROF. FERNANDO HENRIQUE

2010

Direitos Autorais Reservados proibida a reproduo total ou parcial desta apostila sem autorizao do autor

y B(0,-b)

M(x,y)

x

A(-a,0)

A(a,0)

B(0,b)

F(-c,0) F(c,0)

a

b

c

a

y


2

Ao Aluno,

Caro aluno. Esta apostila foi elaborada com o propsito de otimizar e facilitar o acompanhamento da primeira parte do programa da disciplina Geometria Analtica ministrada nos cursos de engenharia da FEA-FUMEC. Por se tratar de um assunto extenso e complexo, foram aqui omitidas algumas formalidades matemticas com o intuito de tornar o texto mais amigvel possvel, sem perder a lgica e o rigor necessrios. Contudo desejvel que voc tenha acesso a outras bibliografias relacionadas ao assunto, algumas das quais sero indicadas em sala de aula. Espero que este texto o ajude no entendimento e assimilao desta fantstica ferramenta matemtica que a Geometria Analtica.

Um conhecimento bsico em matemtica e boa vontade so pr-requisitos para o estudo desta disciplina.

Bons estudos.

Belo Horizonte, julho de 2009.


3

Introduo O que Geometria Analtica....................................................................... 4 Captulo 1 Espaos dimensionais; Sistemas de referncia; Sistema de

coordenadas retangulares.......................................................................... 4 1.1 Espaos dimensionais................................................................................... 4 1.2 Sistemas de referncia para R..................................................................... 5 1.3 O sistema de coordenadas retangulares....................................................... 6 Captulo 2 Distncia entre dois pontos; Coordenadas do ponto mdio................... 8 2.1 Distncia entre dois pontos............................................................................ 8 2.2 Coordenadas do ponto mdio........................................................................ 10 2.3 Exerccios propostos...................................................................................... 13 Captulo 3 Retas em R; Coeficiente angular; Equaes da reta; Interseo de

retas; Paralelismo; Perpendicularismo; ngulo entre duas retas; Distncia entre ponto e reta........................................................................ 15

3.1 Retas em R................................................................................................... 15 3.2 Coeficiente angular........................................................................................ 15 3.2.1 Coeficiente angular atravs de dois pontos................................................... 18 3.3 Equaes da reta........................................................................................... 21 3.3.1 Equao da reta em funo de dois pontos.................................................. 21 3.3.2 Equao da reta em funo do coeficiente angular....................................... 22 3.3.3 Equao reduzida.......................................................................................... 23 3.3.4 Equao segmentria.................................................................................... 23 3.3.5 Equao geral................................................................................................ 24 3.4 Interseo de retas......................................................................................... 26 3.5 Paralelismo..................................................................................................... 27 3.6 Perpendicularismo.......................................................................................... 27 3.7 ngulo entre duas retas................................................................................. 29 3.8 Distncia entre ponto e reta........................................................................... 30 3.9 Exerccios propostos...................................................................................... 32 Captulo 4 Circunferncia.............................................................................................. 35 4.1 Definio........................................................................................................ 35 4.2 Equao da circunferncia............................................................................ 36 4.3 Equao geral da circunferncia................................................................... 37 4.4 Identificando o centro e o raio na equao geral da circunferncia............... 38 4.5 Exerccios propostos...................................................................................... 40 Captulo 5 As Sees Cnicas...................................................................................... 42 5.1 Elipse.............................................................................................................. 43 5.1.1 Elementos da elipse....................................................................................... 43 5.1.2 Equao reduzida da elipse........................................................................... 45 5.1.3 Equaes reduzidas genricas da elipse....................................................... 46 5.1.4 Excentricidade................................................................................................ 48 5.1.5 Exerccios propostos...................................................................................... 50 5.2 Hiprbole........................................................................................................ 52 5.2.1 Elementos da hiprbole.................................................................................. 53 5.2.2 Equaes reduzidas genricas da hiprbole................................................. 54 5.2.3 Excentricidade................................................................................................ 56 5.2.4 Exerccios propostos...................................................................................... 59 5.3 Parbola......................................................................................................... 61 5.3.1 Elementos da parbola.................................................................................. 62 5.3.2 Equaes reduzidas genricas da parbola.................................................. 63 5.3.3 Exerccios propostos...................................................................................... 66 Captulo 6 Translao de eixos coordenados............................................................. 68 6.1 Objetivo.......................................................................................................... 68 6.2 Relao entre os sistemas XoY e XoY........................................................ 71 6.3 Exerccios propostos...................................................................................... 74 Captulo 7 Noes do sistema de coordenadas polares............................................ 76 7.1 Introduo...................................................................................................... 76 7.2 Elementos...................................................................................................... 77 7.3 Relao entre os sistemas cartesiano e polar............................................... 78 Apndice I lgebra.......................................................................................................... 81 Apndice II Frmulas Trigonomtricas.......................................................................... 82 Apndice III Geometria...................................................................................................... 83 Apndice IV Sees Cnicas............................................................................................ 85 Descartes ........................................................................................................................ 88 Bibliografia ........................................................................................................................ 89

Introduo O que Geometria Analtica?

O estudo da geometria um assunto que fascina os matemticos desde a antiguidade. provvel que a prpria matemtica tenha surgido impulsionada pela necessidade do entendimento de problemas cotidianos, de povos antigos, relacionados geometria. Existem vrios ramos de estudo da geometria como a geometria projetiva, geometria descritiva e geometria analtica. A Geometria Analtica considerada por muitos autores como sendo um mtodo de estudo de geometria. A lgebra a ferramenta utilizada no estudo de geometria atravs da Geometria Analtica. Na essncia, a Geometria Analtica consiste na transformao de problemas geomtricos em problemas algbricos correspondentes. Para a Geometria Analtica um ponto uma combinao de nmeros reais e uma curva uma equao.

Captulo 1 Espaos Dimensionais; Sistemas de Referncia; Sistema de Coordenadas Retangulares.

1.1 Espaos Dimensionais.

Quando iniciamos um estudo em Geometria Analtica precisamos definir em qual espao dimensional esto baseadas nossas informaes para a correta interpretao e soluo dos problemas. Podemos trabalhar em nReRRR 32 ,,

O sistema dimensional R composto pela reta real (uma dimenso). Uma reta onde representamos infinitos pontos que so associados aos nmeros reais, de modo que cada ponto corresponde a apenas um nmero real.

1 2 3 -1 0 -3 -2

pi 3 32


5

O Sistema dimensional 2R o plano, (duas dimenses) onde os pontos so representados por um par de nmeros reais e as equaes das curvas tm duas variveis.

J 3R , o que chamamos de espao, (trs dimenses) onde os pontos so definidos por um terno de nmeros reais e as equaes das curvas tm trs variveis.

Podemos trabalhar, teoricamente, em uma dimenso qualquer, nR , mas neste

texto nos concentraremos principalmente em 2R .

1.2 Sistemas de Referncia para 2R .

Para utilizar o fantstico poder da geometria analtica no estudo de questes geomtricas, precisamos, antes de mais nada, saber localizar com preciso, os pontos em um plano. Podemos definir precisamente a posio de um ponto num plano por meio de um par de nmeros reais (coordenadas do ponto). Para isso precisamos de um sistema de referncia. Um sistema de referncia composto de um referencial e de uma regra que define como os pontos sero localizados em relao a este referencial.

Existem vrios sistemas de referncia que so regularmente utilizados na Geometria Analtica. Como exemplo, podemos citar o sistema de coordenadas retangulares (chamado tambm de Plano Cartesiano) e o sistema de coordenadas polares. Estes sistemas so os mais usados, mas existem outros. Na verdade, podemos criar sistemas de referncia de acordo com nossa necessidade, bastando para isso, definir um referencial e uma regra para a localizao dos pontos no plano.

Podemos estudar as curvas planas por meio de equaes descritas em relao a um sistema de referncia. Uma curva plana um conjunto de pontos que obedecem a uma determinada regra e sua equao uma expresso matemtica que define tal regra. Por exemplo, para que um conjunto de pontos seja


6

considerado uma reta, eles precisam estar alinhados e obedecer a uma regra do tipo 0=++ cbyax que uma equao em relao ao sistema de coordenadas

retangulares. Cada curva tem uma equao bem definida em relao a um sistema de referncia. Ao mudarmos o sistema de referncia mudamos tambm a equao da curva. s vezes uma curva possui uma equao mais simples, ou mais apropriada, em relao a um determinado sistema de referncia. Por isso existem vrios, e so utilizados de maneira conveniente.

1.3 O Sistema de Coordenadas Retangulares.

O sistema de coordenadas retangulares tem como referencial um par de retas, chamados de eixos coordenados, infinitos e perpendiculares entre si. Para cada eixo definida uma escala (normalmente a mesma para os dois) cuja origem a interseo. Os nmeros reais so representados nestes eixos, sendo que a distncia entre dois nmeros inteiros, uma unidade da escala definida. O nmero zero est na interseo dos eixos e chamado de origem do sistema. O eixo horizontal o eixo das abscissas que so representadas pela letra x. O eixo vertical o eixo das ordenadas, representadas pela letra y.

A figura 1.1 mostra o sistema de coordenadas retangulares como um sistema de referncia de um plano. Com isso, qualquer ponto pertencente ao plano pode ser

1 2 3 -1 0 -3 -2

1

2

3

-1

-3

-2

y

x

Figura 1.1


7

perfeitamente localizado. Esta localizao ser feita medindo-se a distncia orientada (considerando o sinal negativo) de um ponto aos eixos coordenados. A distncia do ponto ao eixo y ser sua abscissa e a distncia do ponto ao eixo x ser sua ordenada. Isto ir conferir ao ponto um par ordenado de nmeros reais do tipo ),( yxP . Esta a regra para a localizao de pontos em um plano em relao ao sistema de coordenadas retangulares. importante observar que, a distncia do ponto em relao a um eixo coordenado o valor absoluto de uma de suas coordenadas, ou seja, se o ponto estiver localizado esquerda do eixo y, sua abscissa ter sinal negativo, bem como sua ordenada ter sinal negativo se ele estiver localizado abaixo do eixo x. Cada ponto do plano ser ento identificado por um, e apenas um, par ordenado de nmeros reais e, cada par ordenado de nmeros reais representar apenas um ponto do plano. o que chamamos de caracterstica biunvoca do sistema de coordenadas retangulares.

Em homenagem a Ren Descartes (1596 1650), cujo nome em Latim era Renatus Cartesius, filsofo e matemtico francs, considerado o pai da Geometria Analtica (vide texto pgina 85), o sistema de coordenadas retangulares desenvolvido por ele, tambm denominado de Sistema Cartesiano ou Plano Cartesiano. Assim o chamaremos daqui em diante.

A figura 1.2 acima mostra, representados no Sistema Cartesiano, os pontos ).3,2()2,2();2,1();1,2( DeCBA

)1,2(A

)2,1(B

)2,2( C

)3,2( D

x 1 2 3 -1 0 -3 -2

1

2

3

-1

-3

-2

y

Figura 1.2


8

Captulo 2 Distncia entre dois pontos; Coordenadas do ponto mdio.

2.1 Distncia Entre Dois Pontos.

Como foi dito anteriormente, a Geometria Analtica utiliza a lgebra como ferramenta. Ento, se quisermos saber qual a menor distncia entre dois pontos do plano teremos que calcular, e no medir com uma rgua. Vamos para tanto, desenvolver uma tcnica, ou frmula, para calcular a distncia entre dois pontos quaisquer de um plano. Devemos utilizar, contudo, pontos de coordenadas genricas, ou seja, pontos que estaro representando qualquer um dos infinitos pontos de um plano. Com isso a tcnica, ou frmula, desenvolvida para calcular a distncia entre estes pontos genricos, servir para calcular a distncia entre dois pontos especficos quaisquer do plano.

Obviamente precisaremos tambm do nosso j conhecido Plano Cartesiano, pois j sabemos que, sem um sistema de referncia no possvel localizar pontos num plano por meio de coordenadas e, muito menos, calcular distncias.

Figura 2.1

A menor distncia entre dois pontos o comprimento do segmento de reta que os une

)x( 2'Q

)y,xR( 12)y,x(P 11

0

y

x

)(y2 "Q )y,(x 22Q

)y(P 1 "

)x( 1'P

r


9

A figura 2.1 mostra dois pontos de coordenadas genricas ),( 11 yxP e ),( 22 yxQ representados em algum lugar do Plano Cartesiano. Nosso objetivo definir uma frmula para calcular a distncia entre estes dois pontos. Faremos isso passo a passo.

As projees dos pontos P e Q nos eixos coordenados nos do os pontos P e Q no eixo x, e P e Q no eixo y;

Pelo ponto P passa uma reta paralela ao eixo x, onde marcamos o ponto R;

O tringulo PQR retngulo;

Ento, baseado no teorema de Pitgoras, temos:

212

212

212

212

2

12

12

222

)()(

)()()(,

)('''')(''

,)()()(

yyxxd

yyxxdPQento

yyQdPdRQxxQdPdPR

masdRQdPRdPQ

+=

+=

==

==

+=

Como P e Q so pontos genricos, podemos utilizar a frmula acima para calcular a distncia entre dois pontos quaisquer do plano, por isso substitumos

dpordPQ .

Distncia entre dois pontos


10

Exerccio resolvido:

Prove que o tringulo ABC issceles.

R: Como dAC = dBC podemos concluir que o tringulo issceles.

2.2 Coordenadas do Ponto Mdio.

Um segmento de reta definido por dois pontos, que so suas extremidades. O Ponto Mdio de um segmento de reta qualquer, o ponto que o divide em duas partes congruentes (de mesma medida). Podemos determinar as coordenadas de tal ponto. Vamos ento deduzir uma frmula para este fim, utilizando para isso pontos genricos representados no Plano Cartesiano. Veja a figura 2.2.

Figura 2.2

A (-7,2)

B (3,-4) C (1,4)

68644)44()31(68464)24()71(

13636100)24()73(

22

22

22

=+=++=

=+=++=

=+=++=

BC

AC

AB

d

d

d

)('' 2yQ

)(" yM

)('' 1yP );( yxM

),( 2 yxS

),( 22 yxQ

s

r

);( 1yxR

x

y

),( 11 yxP

)(' 1xP )(' xM )(' 2xQ


11

O ponto ),( yxM o ponto mdio do segmento definido pelos pontos ),( 11 yxP e ),( 22 yxQ ;

As projees dos pontos P, M e Q nos eixos coordenados nos do os pontos P, M e Q no eixo x, e P, M e Q no eixo y;

Pelo ponto P, traamos uma reta r, paralela ao eixo x, e obtemos o ponto ),( 1yxR ;

Pelo ponto M, traamos uma reta s, tambm paralela ao eixo x, e obtemos o ponto ),( 2 yxS ;

Podemos identificar ento, dois tringulos retngulos PRM e MSQ, que so congruentes, pois:

)()(

)(

retosSR

mdiopontoMMQPMentescorrespond

SQMMRP

Sendo congruentes os tringulos, podemos concluir que seus respectivos catetos PR e MS tm a mesma medida;

O cateto PR, tem a mesma medida do segmento PM que por sua vez mede ).( 1xx O cateto MS, tem a mesma medida do segmento MQ que por sua vez mede )( 2 xx , ento:

2

2

21

21

21

21

xxx

xxx

xxxx

xxxx

+=

+=

+=+

=

221 yyy += analogamente:


12

Concluindo:

A abscissa do ponto mdio de um segmento de reta ser a metade da soma das abscissas das extremidades do segmento, e, a ordenada do ponto mdio ser a metade da soma das ordenadas das extremidades.

++

2,

22121 yyxxM

Exerccios resolvidos:

1) A mediana de um tringulo um segmento de reta que une um vrtice ao ponto mdio do lado oposto. Ache o comprimento das medianas do tringulo cujos vrtices so: A(2,3) ; B(3,-3) e C(-1,-1)

Clculo dos pontos A, B, C

Ponto mdio

C (-1, -1) )2,1(' A

0,25

'C

1,21

'B

A (2, 3)

B (3, -3)

AA, BB e CC so as medianas do ABC.

Clculo do comprimento das medianas

1,21

`B

)2,1(` A

=

=

=

+=

=

=

=

=

=

=

=

=

02

3325

232

12

1321

212

22

13

12

13

`

`

`

`

`

`

yC

xC

yB

xB

yA

xA

5321

4531

449

127)10(1

25

8921

48916

425

425)31(3

21

26251)32()21(

22

2`

22

22

`

22`

==+=

+

=++

+=

==+=

+

=++

=

=+=+=

mCC

mBB

mAA

0,25

'C


13

2) Determinar B, sabendo que M(7,-3) o ponto mdio de AB, dado A(1,2).

2.3 Exerccios propostos:

1) Calcular a distncia entre os pontos ( )4,3 + baA e ( )1,1 ++ baB . 2) Se M(4,2), N(2,8) e P(-2,6) so os pontos mdios dos lados AB, BC e CA

respectivamente de um tringulo ABC, determinar A, B e C.

3) Determinar os pontos que dividem o segmento AB em quatro partes congruentes, sendo dados: A(-3,11) e B(5,-21).

4) Num tringulo ABC so dados: A(2,0) e M(-1,4) ponto mdio de AB . obter o vrtice C do tringulo, sabendo que os lados AC e BC medem 10 e 10 2 respectivamente.

5) Ache as abscissas dos pontos tendo ordenada 4 e que esto a uma distncia de 117 do ponto P(5,-2).

6) Prove que o quadriltero com vrtices consecutivos em (1,2), (5,-1), (11,7) e (7,10) um retngulo.

7) Prove que os pontos (2,4), (1,-4) e (5,-2) so vrtices de um tringulo retngulo e ache sua rea.

8) Prove que os pontos (1,-1), (3,2), (7,8) so colineares, usando a frmula da distncia entre dois pontos.

9) Os vrtices opostos de um quadrado esto em (3,-4) e (9,-4). Ache os outros dois vrtices.

)8,13(

81362141

223

217

==

=+=+

+=

+=

B

yxyx

yx

A (1, 2) B (x, y) M (7,-3)


14

10) Um tringulo ABC retngulo em A, que pertence ao eixo das ordenadas. Tendo os pontos B(2,3) e C(-4,1) determinar A.

11) Dados A(-3,1) e B(3,5) obter o ponto em que a reta AB corta a bissetriz dos quadrantes mpares.

12) Dados A(5,7) e B(-6,5) obter o ponto em que a reta AB corta a bissetriz dos quadrantes pares.

Respostas:

1) 5 2) A(0,0), B(8,4) e C(-4,12) 3) (-1,3), (1,-5) e (3,-13) 4) C1(-6,-6) e C2(10,6) 5) 144 == xoux

9) (6,-7) e (6,-1) 10) A1(0,-1) e A2(0,5) 11) (9,9)

12)

1367

,

1367


15

Captulo 3 Retas em R; Coeficiente angular; Equaes da reta; Interseo de retas; Paralelismo; Perpendicularismo; ngulo entre duas retas; Distncia entre ponto e reta.

3.1 Retas em R.

Comearemos agora o estudo das equaes de algumas curvas planas. Neste captulo vamos discutir as particularidades e estudar a equao de uma curva simples, porm de extrema importncia. A reta. Sim, a reta tambm chamada de curva, numa generalizao deste termo. Uma curva plana formada por um conjunto de pontos num plano que obedecem a uma determinada regra, que sua equao. A reta, como sugere o prprio nome, um conjunto de pontos alinhados.

Para que tenhamos uma reta bem definida num plano, basta conhecer dois de seus infinitos pontos, ou seja, conhecendo apenas dois pontos de uma reta podemos determinar sua equao.

Mas tambm podemos determinar a equao de uma reta conhecendo um de seus pontos e seu coeficiente angular.

Ento, o que o coeficiente angular de uma reta?

3.2 Coeficiente Angular.

y

r

x

P

Q

y

x

O coeficiente angular tambm chamado de inclinao ou declividade

Figura 3.1


16

Imagine uma partcula se movendo do ponto P ao ponto Q ao longo da reta r. Ao fazer este movimento a partcula se deslocou horizontalmente x e verticalmente

y . O coeficiente angular da reta r, denotado pela letra m, por definio a razo

entre o deslocamento vertical e o deslocamento horizontal.

x

yhorizontaliao

verticaliaom

==

var

var

Observando a figura 3.1 podemos identificar um tringulo retngulo cuja hipotenusa o segmento PQ e os catetos so y e x . O ngulo o ngulo entre a reta e o sentido positivo do eixo x, que correspondente ao ngulo agudo adjacente ao cateto x do tringulo retngulo.

A tangente do ngulo calculada por: x

ytg

= .

Ento o coeficiente angular de uma reta pode ser calculado atravs da expresso:

tgm =

Atravs do coeficiente angular de uma reta podemos saber se ela crescente, decrescente, constante ou vertical.

Ora, se retas so crescentes, o ngulo entre elas e o sentido positivo do eixo x

pode variar no intervalo 2

0 pi m . Lembre-se: tgm = .

O coeficiente angular de uma reta a tangente do ngulo entre a reta e o sentido positivo do eixo x.


17

Se retas so decrescentes, o ngulo estar no intervalo pipi


18

3.2.1 Coeficiente Angular atravs de dois pontos.

Podemos tambm, determinar o coeficiente angular de uma reta, atravs das coordenadas de dois pontos pertencentes reta.

Observe a figura 3.3 onde esto representados, uma reta e dois de seus pontos com coordenadas genricas.

Figura 3.3

As projees dos pontos A e B nos eixos coordenados nos do os pontos A e B no eixo x, e A e B no eixo y;

Pelo ponto A, traamos uma reta s, paralela ao eixo x, e obtemos o ponto R;

O tringulo ARB retngulo, ento:

ARRB

tg = ou 12

12

xx

yytg

=

)('' 1yA

)('' 2yB

y

s

),( 22 yxB

)(' 2xB )(' 1xA

),( 11 yxA R

x

r


19

Portanto, o coeficiente angular de uma reta pode ser calculado usando a frmula:

12

12

xx

yym

=

Exerccio resolvido:

1) Determinar o coeficiente angular das retas e esboar os grficos:

32

32

2513

)

12

12

1

=

=

=

=

m

m

xx

yym

r

10202

)

12

12

2

=

=

=

m

xx

yym

r

)4;2()3;2(

)4;2()4;3(

)2;2()1;1(

)2;2()0;0(

)3;5()1;2(

5

55

4

44

3

33

2

22

1

11

BA

rBA

r

BA

rBA

rBA

r

B1

A1

x

y

B2

A2

y

x


20

133

1212

)

12

12

3

=

=

+=

=

m

xx

yym

r

03244

)

12

12

4

=

+

=

=

m

xx

yym

r

/=+=

=

07

034

)

12

12

5

m

xx

yym

r

Obs: Logicamente o coeficiente angular de uma reta pode ser obtido tomando-se quaisquer pares de pontos pertencentes mesma.

y

x

B3

A3

x

B4 A4

y

A5

x

B5

y

0=m , para todas as retas paralelas ao eixo x. Retas constantes.

m , no definido para todas as retas perpendiculares ao eixo x. Retas verticais.


21

3.3 Equaes da Reta.

Como vimos uma reta fica bem determinada num plano, se conhecemos dois de seus pontos ou se conhecemos um de seus pontos e seu coeficiente angular. A partir desses elementos podemos definir uma equao matemtica, ou seja, uma regra que nos fornece ou representa todo o infinito conjunto de pontos que pertencem a uma reta. Para isso precisamos, como j sabemos, de um sistema de referncia que ir nos possibilitar identificar os pontos por meio de coordenadas. Se utilizarmos o plano cartesiano, teremos para as retas, equaes do 1 grau com duas variveis.

3.3.1 Equao da reta em funo de dois pontos.

Figura 3.4

Os pontos A e B so pontos conhecidos da reta e esto representados no plano cartesiano, com coordenadas genricas, pois a equao obtida servir como um modelo para se obter a equao de uma reta especfica qualquer. O ponto M um ponto qualquer da reta, ou um ponto genrico, e suas coordenadas sero as variveis da equao.

y

),( yxM

),( 22 yxB

),( 11 yxA

r

x


22

Podemos calcular o coeficiente angular da reta acima utilizando ou os pontos A e M ou os pontos A e B. Ento:

12

12

1

1

xx

yyxx

yy

mm ABAM

=

=

3.3.2 Equao da reta em funo do coeficiente angular.

Uma simples alterao na frmula nos possibilita determinar facilmente a equao de uma reta no plano quando conhecemos apenas um de seus pontos e seu coeficiente angular.

)( 112

121 xx

xx

yyyy

=

A equao de qualquer reta no plano, pode ser obtida substituindo as coordenadas de dois de seus pontos na frmula, ou modelo, acima.

)(:

:

)(

:

11

12

12

112

121

xxmyyento

mxx

yymas

xxxx

yyyy

temos

=

=

=


23

3.3.3 Equao Reduzida.

interessante trabalhar com a equao reduzida de uma reta, pois deste modo podemos visualizar facilmente seu coeficiente angular e seu coeficiente linear (intercepto do eixo y). A equao reduzida tem um formato caracterstico como veremos a seguir:

)(:

11 xxmyytemos

=

Se o ponto conhecido for ),,0( bB ento:

)0( = xmby

3.3.4 Equao Segmentria.

A equao de uma reta na forma segmentria muito interessante, pois temos a informao imediata dos interceptos da reta nos eixos coordenados.

Figura 3.6

Coeficiente linear (onde corta o eixo-y) Coeficiente angular

bmxy +=

A (a,0)

B (0,b)

y

x

),0( bB

y

x

Figura 3.5


24

Substituindo os pontos A e B na frmula da equao da reta, temos:

=+

=+

=+

+=

=

=

=

1

)(

)(0

00

)( 112

121

a

x

by

bb

abbx

by

bportudoividindobxa

by

bxa

by

axa

by

axa

by

xxxx

yyyy

d

onde

3.3.5 Equao Geral.

a equao da reta na forma:

onde a e b no so nulos simultaneamente.

a o intercepto eixo-x b o intercepto eixo-y

1=+by

a

x

0=++ cbyax

0bea


25

Para relembrar:

verticalretamteconsretam

edecrescentretamcrescenteretam

bmxySeja

=

+=

tan000

Exerccio resolvido:

1) Ache a equao da reta que passa pelos pontos A(8,-8) e B(12,-16) nas formas reduzida, geral e segmentria:

Sol:

Clculo de m

=

+=

=

48

812816

2

12 mxx

yym

82

1628)8(28)( 11

+=

+=+

=+

=

xy

xyxy

xxmyy

082 =+ yx

2=m

Eq. reduzida

Eq. geral Eq. segmentria

88

882

82

=+

=+

yxyx

184

=+yx


26

3.4 Interseo de retas.

Figura 3.7

O ponto de interseo de duas retas deve satisfazer equao de ambas, portanto, para determin-lo, basta resolver um sistema formado por tais equaes.

Em geral a soluo de um sistema de equaes, , ou so, os pontos de interseo de seus grficos.

Ex: Obter o ponto I de interseo das retas 3x + 4y - 12 = 0 e 2x 4y + 7 = 0

sol:

=

=

=+

=

=

=+

=+

49

,149

3124012413

:,

1055

:

074201243

Iy

yy

temosequaoprimeiranaxdevalorolevandox

x

temosequaesassomandoyxyx

y

x

I


27

3.5 Condio de Paralelismo.

Duas retas so consideradas paralelas se possuem o mesmo coeficiente angular e coeficientes lineares distintos.

Figura 3.8

3.6 Condio de Perpendicularismo.

Os coeficientes angulares de duas retas distintas tambm podem nos dizer se elas so perpendiculares. Vejamos a figura 3.9 abaixo.

Figura 3.9

y

x r s

s

r

( )

msmr

stgrtgcorrespsr

=

=

=

.

r s

s r

y

x

s r

t


28

Pelo ponto de interseo das retas, traamos uma reta t, paralela ao eixo-x. Com isso podemos identificar os ngulos correspondentes de res entre as retas r e

s e a reta t.

Podemos relacionar os ngulos res da seguinte maneira:

0.1:2

:2.1

:2

)(

,

2

,

2

=+

=

+

=

=

+=

stgrtgentotg

mastgstgrtgstgrtg

identidadeausandotgsrgt

seguesr

ousr

pi

pi

pi

pi

pi

msmrmsmr

msmr

stgrtg

11.

0.1

0.1

==

=+

=+

Concluindo:

Duas retas r e s distintas so perpendiculares, se e somente se, ms

mr1

= ,

o que equivale a dizer que, se duas retas so perpendiculares, o coeficiente angular de uma igual ao da outra invertido e com o sinal oposto.

Por exemplo, se o coeficiente angular de uma reta igual a 3, ento o coeficiente

angular de qualquer reta perpendicular a ela 31

.

tgbtgatgbtgabatg+

=

1)(


29

3.7 ngulo entre Duas Retas. Com a ajuda da figura 3.10, podemos deduzir uma frmula para o clculo do ngulo entre duas retas quaisquer, tambm utilizando seus coeficientes angulares.

Figura 3.10

+

=

=

=

stgrtgstgrtg

tg

srtgtg

sr

1

)(

Exerccio resolvido:

1) Obter o ponto P, simtrico de Q(-1,8) em relao reta r de equao 03 = yx

msmr

msmrtg

+

=

1

M o ponto mdio de PQ.

M r: x y 3 = 0

Q(-1, 8)

P(x, y)

r

y

x

r s

r s

s


30

Clculo da inclinao da reta r

1303

==

=

rmxyyx

ento : 1=PQm

Equao da reta PQ

0718

)1(18)( 11

=+

=

+=

=

yxxy

xyxxmyy

Determinao do ponto M PQr

5102

0102

0703

=

=

=

=+

=

x

x

x

yxyx

)2,5(235

035

Myy

y

=

=

=

3.8 Distncia Entre Ponto e Reta.

A menor distncia de um ponto ),( 00 yxP a uma reta 0: =++ cbyaxr o comprimento do segmento que vai do ponto reta e perpendicular mesma, como vemos na figura 3.11.

Concluindo:

11101

215

221

=

=+

+=

+=

x

x

x

xxx

448

282

221

=

=+

+=

+=

yy

y

yyy

)4,11(

P


31

Figura: 3.11

Podemos calcular a menor distncia do ponto P reta r utilizando a frmula:

22

00Prba

cbyaxd

+

++=

Exerccio resolvido:

1) Calcular a medida da altura AH do tringulo cujos vrtices so: A(1,1), B(-1,-3) e C(2,-7).

utilizando a frmula da distncia entre ponto e reta, temos:

4520

2520

916131.31.4

01334:)1,1(

===

+

++=

=++

dpr

dpr

yxBCretaA

Ento a altura AH mede 4 unidades.

H B(-1,-3)

A(1, 1)

C(2,-7)

0: =++ cbyaxr

),( 00 yxP


32

2) Calcular a distncia entre as retas paralelas r: 7x + 24y 1 = 0 e s: 7x + 24y + 49 = 0

3.9 Exerccios propostos:

1) Em cada caso determine a equao geral da reta: a) que passa pelo ponto A(-1,6) e tem inclinao 3; b) que passa pelos pontos P(2,-1) e Q(0,5); c) bissetriz do 1 e 3 quadrantes;

d) que passa pela origem e tem coeficiente angular 32

=m .

2) Verifique se a afirmao est correta: a) a reta 01042: =+ yxr perpendicular reta 062: =++ yxs ; b) a reta 023: =+ yxt paralela reta 0526: = yxu .

3) Determinar a equao da reta que passa pelo ponto P(-1,2) e paralela reta 0132: =+ yxr .

4) Determinar a equao da reta que passa por Q(2,-3) e perpendicular reta 072: =+ yxs .

5) Determinar os vrtices A, B e C do tringulo cujos lados tm as equaes 01: =+ yxAB , 0177: =++ yxBC e 01135: =+ yxCA .

6) Achar o ponto B simtrico de A(3,-1) em relao reta 01032: =+ yxr .

Tomamos um ponto P de r, atribuindo um valor qualquer a x e calculando y

rPento

yy

yyx

==

=

=+=

)2,7(,

22448

4912401247.77

logo:

22550

5764949)2.(247.7

==

+

++== dPsdrs , ou seja: a distncia entre r e s de 2 unidades

s

r

P(7,-2)


33

7) Provar que so perpendiculares as diagonais do quadriltero de vrtices consecutivos A(2,-1), B(6,-1), C(4,5) e D(0,1).

8) Determinar o valor de k de modo que a reta 073: =++ kyxr passe pelo ponto A(3,-2).

9) Calcular a distncia do ponto A(3,4) reta 01043: =+ yxs . 10) Determinar a distncia do ponto P origem do sistema cartesiano onde P a

interseo das retas 02: =xr e 03: =ys .

11) Encontre a equao da reta que passa pelo ponto A(3,2) e que forma com os eixos coordenados, no 1 quadrante, um tringulo de rea igual a 12.

12) Calcular a interseo da reta 012: =+ yxr com a reta que passa pelos pontos A(0,3) e B(1,1).

13) Determinar o ponto da reta 043: =++ yxr que eqidistante dos pontos P(-5,6) e Q(3,2).

14) Ache a equao da reta suporte da altura relativa ao vrtice A do tringulo de vrtices A(2/3,1), B(-3,0) e C(6,1).

15) Obter o ponto de interseo das diagonais AC e BD do quadriltero ABCD, sendo dados A(0,0), B(4,1), C(7,7) e D(-1,6).

16) Obter a equao da mediatriz do segmento AB, dados A(1,-7) e B(6,-12). 17) Dadas as retas 0343: =+ yxr e 22: += xys , determine o ponto P da reta s,

que dista 6 unidades da reta r. 18) O baricentro de um tringulo ABC G(4,-2). Obter C, sabendo que A(5,-7) e

B(8,-3). Obs.: baricentro:

++++

3,

3yCyByAxCxBxAG

19) Obter os vrtices B e C do tringulo ABC sendo dados o vrtice A(0,0), o ponto M(1,2) mdio do lado AB e o baricentro G(0,5).

20) Verificar se os pontos )2,1()3,2(),1,(` ++++ bCebaBbaA so colineares. 21) Existe alguma reta passando por )4,3()2,1(),1,(` +++++ aaCeaaBaaA ? 22) Determinar x de modo que )12,1()3,2(),2,(` CeBxA sejam colineares. 23) Obter o baricentro do tringulo MNP, dados ),(),,(` fecbNedbaM e

),( dfacP .


34

24) Calcular a altura relativa ao vrtice A do tringulo de vrtices ).2,5()1,2(),3,0( CeBA

Respostas:

1) a) 093 =+ yx

b) 053 =+ yx

c) 0= yx

d) 032 =+ yx

2) a) sim b) sim

3) 0832 =+ yx

4) 012 =+ yx

5) A(1,2), B(-3,-2) e C(4,-3)

6)

1329

,

1367B

8) k=8 9) 3

10) 13 11) 01232 =+ yx

12)

2,21

13) (-2,2) 14) 079 =+ yx

15)

25

,

25

16) 013 = yx

17) )12,5()12,7( 21 PeP

18) C(-1,4) 19) B(2,4) e C(-2,11) 20) sim 21) sim 22) 1=x 23) G(0,0)

24) 23


35

Captulo 4 Circunferncia.

4.1 Definio.

A circunferncia uma curva plana que, como a reta, tambm formada por um conjunto de infinitos pontos de 2R . Sua definio matemtica, ou seja, a regra que define como esses pontos devem estar posicionados no plano para que descrevam uma circunferncia a seguinte:

Circunferncia o conjunto de pontos em um plano, que so eqidistantes de um ponto fixo deste plano.

Este ponto fixo chamado de centro da circunferncia, e a distncia constante seu raio. O centro e o raio so os principais elementos de uma circunferncia.

Figura 4.1

Na figura 4.1, temos uma circunferncia de centro c e raio r, representada em um plano pi . Os pontos nMMMM ,,, 321 pertencem circunferncia, se e somente se, a

distncia de cada um deles ao centro da circunferncia for igual ao raio.

rdcMndcMdcMdcM ==== 321

r

P

Q

c

M1

M2

M3

pi

Mn


36

A distncia do ponto Q ao centro maior que o raio e portanto ele no pertence circunferncia, (Q um ponto exterior), assim como o ponto P tambm no pertence circunferncia pois sua distncia ao centro menor que o raio, (P um ponto interior).

rdcPerdcQ

4.2 Equao da Circunferncia.

Para determinar a equao de uma circunferncia, necessrio conhecer seu centro e seu raio.

Na figura 4.2 abaixo, est representada no plano cartesiano uma circunferncia de centro ),( khc e raio r. Sabemos pela definio de circunferncia que a distncia de um ponto qualquer ),( yxM ao centro ),( khc igual ao raio r.

Figura 4.2

M(x,y)

c(h,k)

r

y

x

( )222

22

22

22

)()(

)()()()(

:

:

rkyhx

rkyhx

rkyhx

entordcMmatemticaDefinio

=+

=+

=+

=

Eq. da circunferncia na forma centro-raio


37

Quando a equao de uma circunferncia se apresenta na forma centro-raio relativamente fcil identificar seus principais elementos, ou seja, centro e raio.

Por exemplo, a equao 1752)3(

22

=

++ yx representa uma circunferncia

de centro

52

,3 e raio 17 .

Exerccio resolvido:

Determinar a equao da circunferncia cujo centro o ponto C(-3,4) e o raio r=6.

sol:

222 )()( rkyhxraiocentroequao=+

36)4()3( 22 =++ yx

4.3 Equao Geral da Circunferncia.

A equao de uma circunferncia tambm pode ser representada de forma geral, como o desenvolvimento da equao centro-raio. Vejamos:

( )

022:

22:sen

)()(,

22222

22222

222

=+++

=+++

=+

rkhkyhxyxordememcolocando

rkkyyhhxxtemosvolvendode

rkyhxrraioekhCcentrodeequaoaSeja

a equao pedida, atravs da qual podemos identificar facilmente o centro e o raio.


38

0

:,

22

:

22

222

=++++

=+

=

=

FEyDxyx

temosFrkhEkDh

fazendo

importante observar que toda equao geral de circunferncia possui os dois termos do 2 grau e seus coeficientes devem ser obrigatoriamente iguais.

Vamos desenvolver a equao do exerccio anterior

01186

03616896

36)4()3(:

22

22

22

=++

=++++

=++

yxyx

yyxx

yxtemos

4.4 Identificando o Centro e o Raio na Equao Geral da Circunferncia.

Se no podemos identificar facilmente o centro e o raio, ento teremos de calcular, pois so os principais elementos da circunferncia. Faremos o seguinte:

Seja a equao geral: 022 =++++ FEyDxyx

Para identificar o centro e o raio na equao acima utilizaremos os coeficientes D, E e F.

==

==

2,

222

22

),(:

EDCEkkE

DhhD

khccentro

Esta equao est na forma Geral.

No podemos identificar facilmente o centro e o raio ao olhar.

Esta a Equao Geral da circunferncia


39

24

44

44

22

:

22222

222

222

222

FEDr

FEDr

FEDr

FEDr

rkhFrraio

+=

+=

+=

+

=

+=

realnciacircunferaFEDsepontoumapenasnciacircunferaFEDse

vazioconjuntonciacircunferFEDseObs

>+

=+


40

4.5 Exerccios propostos: 1) Determine o centro e o raio, caso a circunferncia exista:

a) 014222 =++ yxyx b) 0918333 22 =++ yxyx c) 03110722 =+++ yxyx d) 03222 =+ yyx e) 034223 22 =++ yxyx f) 0922 =+ yx g) 0422 =++ yx h) 08222 =+++ yxyx

2) Determine a equao geral da circunferncia cujo centro o ponto C(3,-5) e tangente reta 0143: =+ yxr .

3) Determinar a equao da reta tangente circunf. 0392222 =++ yxyx no ponto A(4,5).

4) Determinar a equao da circunferncia que passa pelo ponto A(0,1) e tangencia a reta 034 =+ yx no ponto B(0,3).

5) Achar a equao cartesiana da circunferncia que passa pelo ponto A(4;8) e tangencia as retas .010 == yey

6) Determinar os pontos de interseo da reta 05 =+ yx com a circunferncia 014222 =++ yxyx e fazer um esboo do grfico das duas curvas.

7) Determinar as equaes das circunferncias de raio r = 2 e tangentes reta 01 =+ yx e centro sobre o eixo x.

8) A reta 01 =+y tangente circunferncia de centro (-1,m) e raio 2. Ache uma equao de cada circunferncia que tem essa propriedade.

9) Dada a circunferncia 03222 =+ yyx e os pontos ( )31,1 M e ( )1,2N que pertencem a mesma. Calcular o comprimento da corda MP, sabendo que N e P so os extremos de um dimetro.


41

10) Obter as equaes das circunferncias de raio 3, tangentes reta 07 =y e tangentes exteriormente circunferncia .422 =+ yx

11) Determinar a equao da circunferncia que passa pelos pontos ).4,1()0,5(),3,2( PeNM

Respostas:

1) a) r=2, c(1,2)

b) r=25

, c

3,21

c) r=25

, c

5,

27

d) r= 2 , c ( )1,0 e) no circunferncia f) r=3 , c ( )0,0 g) conjunto vazio h) conjunto vazio

2) 0210622 =++ yxyx

3) 04045 =+ yx

4) ( ) ( ) 1724 22 =+ yx 5) ( ) 255 22 =+ yx e ( ) ( ) 2558 22 =+ yx 6) )4,1()2,3( e

7) ( ) 21 22 =++ yx e ( ) 23 22 =+ yx 8) ( ) ( ) 411 22 =++ yx e ( ) ( ) 431 22 =+++ yx 9) 2=MPd

10) ( ) ( ) 943 22 =++ yx e ( ) ( ) 943 22 =+ yx 11) 0458422 =++ yxyx


42

Captulo 5 O Estudo das Cnicas.

Sees Cnicas.

Circunferncias, elipses, hiprboles e parbolas: todas essas curvas so encontradas a partir de sees de um plano em uma superfcie cnica. (ver apndice IV). Muitas descobertas importantes em matemtica pura e na cincia em geral esto relacionadas s sees cnicas. Os gregos clssicos - Arquimedes, Apolnio e outros - estudavam essas belas curvas por puro prazer, como forma de desafio, sem qualquer pensamento em possveis aplicaes. As primeiras aplicaes apareceram quase 2.000 anos depois, no incio do sculo XVII. Em 1604, Galileu descobriu que, lanando-se um projtil horizontalmente do topo de uma torre, supondo que a nica fora atuante fosse a gravidade - isto , a resistncia do ar e outros fatores complicadores so desconsiderados -, sua trajetria ser uma parbola. Um dos grandes eventos da histria da Astronomia ocorreu alguns anos mais tarde, apenas em 1609, quando Kepler publicou sua descoberta de que a rbita de Marte era uma elipse, lanando a hiptese de que todos os planetas se moveriam em rbitas elpticas. Cerca de 60 anos depois disso, Newton provou matematicamente que a rbita planetria elptica causa e conseqncia de uma lei de atrao gravitacional, baseada no inverso do quadrado da distncia. Isso levou Newton a formular e publicar (em 1687) sua famosa Teoria de Gravitao Universal, para explicar o mecanismo do sistema solar, teoria esta considerada como sendo a maior contribuio feita a cincia por um s homem. Esses desenvolvimentos ocorreram centenas de anos atrs, mas o estudo das sees cnicas no , ainda hoje, nem um pouco anacrnico. De fato, essas curvas so instrumentos importantes nas exploraes espaciais dos dias de hoje, e tambm nas pesquisas do comportamento de partculas atmicas: os satlites artificiais movem-se em torno da terra em rbitas elpticas e a trajetria de uma partcula alfa movendo-se no campo eltrico de um ncleo atmico uma hiprbole. Esses exemplos e muitos outros mostram que a importncia das sees cnicas, tanto antigamente como atualmente, no pode ser desprezada.


43

5.1 A Elipse.

A Elipse uma curva plana, formada por um conjunto de infinitos pontos de 2R . Sua definio matemtica, ou seja, a regra que define como esses pontos devem estar posicionados no plano para que descrevam uma elipse a seguinte:

Elipse o conjunto de infinitos pontos de um plano cuja soma das distncias a dois pontos fixos deste plano (focos) constante (k).

Cada elipse tem a sua constante k.

Figura 5.1

kFdMFdMelipseMn nn =+'

5.1.1 Elementos da Elipse.

A figura 5.2 mostra uma elipse com centro na origem do sistema cartesiano.

F

M1

pi

M2

Mn

F

y

x

2a B(0,-b)

A(-a,0) A(a,0)

B(0; b) 2c

F(-c,0) F(c,0)

B(0,b)

Figura 5.2


44

Seus principais elementos so:

Eixo maior: o segmento AA, cuja medida vale 2a; Eixo menor: o segmento BB, cuja medida vale 2b; Vrtices: so os pontos )0,()0,(' aAeaA ; Focos: so os pontos fixos )0,()0,(' cFecF , a distncia focal (entre focos)

mede 2c; Os pontos ),0(),0(' bBebB so as extremidades do eixo menor.

Importante:

1. A constante k, caracterstica de cada elipse, igual ao comprimento de seu eixo maior 2a.

Ento: ak 2= Podemos provar esta afirmao utilizando o ponto )0,(' aA que pertence elipse e por

isso deve satisfazer condio:

kFdAFdA =+ '''

de fato:

aKkcaca

entocaFdAcaFdA

2

,

'

''

=

=++

+=

=

2. Relao entre a, b e c.

222 cba +=

Definio matemtica

y B(0,-b)

M(x,y)

x

A(-a,0) A(a,0)

B(0,b)

F(-c,0) F(c,0)

a b

c

a

y


45

5.1.2 Equao Reduzida da Elipse.

Primeiramente estudaremos as cnicas tomando como referncia um sistema de eixos coordenados, as elipses e hiprboles estaro posicionadas tal que seus vrtices e focos fiquem sobre um dos eixos e simtricos em relao origem como na figura 5.2. No caso das parbolas, seu foco dever estar sobre um dos eixos e seu vrtice posicionado na origem. Com isso vamos obter as equaes reduzidas destas curvas.

Vamos agora determinar a equao de uma elipse especfica, cujos focos so )0,3()0,3(' FeF e cujo eixo maior 2a mede 10 unidades. Lembrando que ka =2 .

Esta elipse est representada na figura 5.3

Figura 5.3

Seja o ponto genrico elipseyxM ),(

adMFdMFmatemticaDefinio 2: ' =+

ento:

M(x, y)

x

2a = 10

A(-5,0) A(5,0) F(-3,0) F(3,0)

y


46

10)3()3( 2222 =++++ yxyx

5.1.3 Equaes Reduzidas Genricas da Elipse.

Podemos determinar uma equao genrica reduzida para todas as elipses com focos e vrtices sobre um dos eixos coordenados e simtricos em relao origem. A figura 5.4 mostra uma elipse cujos elementos esto com coordenadas genricas em relao ao sistema cartesiano. Determinaremos sua equao aplicando a definio matemtica.

Figura 5.4

( ) ( )

( )

116251625

1

40025

40016

400400

)400(25164002516225625

2522515025625150996(256251509

)3(5)253()4()3(2010012

6)3(20100696)3(2010096

)3(10)3(

2222

22

22

22

222

222

2222

22

22

222222

222

222

=++=

+=

+=

+=

++=+

++=+

+=

+=

+=

++++=+++

+=++

yxyx

yx

yx

yx

yxxxx

yxxxx

yxx

yxx

xyxx

yxxyxyxx

yxyx

ou Equao reduzida da elipse na sua forma caracterstica aps simplificao.

Para lembrar: 222 cba +=

y

M(x,y)

x

A(-a,0) A(a,0) F(-c,0) F(c,0)

y


47

( ) ( )

( )

22

22

22

22

22

22

22222222

222

22222222

222222224

22222224222

22224222

22222

222

222

222222222

222

222

2222

'

)(

)()(

22)2(2

)()()4()(444

2)(4422)(442

)(2)(2)()(

2

baya

baxb

baba

bayaxbba

bcaazendo

yacaxcaa

yaxcxacaa

yacacxaxaacxaxc

yccxxaacxaxc

ycxaacx

ycxaacx

cxycxaacx

yccxxycxaayccxx

ycxaycx

aycxycx

adMFdMF

+=

+=

=

+=

+=

++=+

++=+

+=

+=

+=

/+/+/++=/+/++/

+=++

=++++

=+

f

122

2

2

=+by

a

x

Analogamente, temos:

Eq. genrica reduzida de uma elipse com focos e vrtices sobre o eixo-y e simtricos em relao origem.

y

x

A(0, -a)

A(0,a)

B(-b,0) B(b,0)

F(0,c)

F(0,-c)

Eq. genrica reduzida de uma elipse com focos e vrtices sobre o eixo-x e simtricos em relao origem

122

2

2

=+a

ybx

Figura 5.5


48

Importante:

Notemos que no caso da elipse, 22 baentoba >> sendo 0, >ba , ou seja:

o 2a que nos indicar a posio dos focos e vrtices ser sempre o maior denominador na equao reduzida.

5.1.4 Excentricidade.

Excentricidade a razo a

ce = que nos informa o quo achatada uma elipse.

Como 10


49

Uma elipse com uma excentricidade prxima de 1, uma elipse bastante achatada. Para que a excentricidade se aproxime de 1 necessrio que c fique prximo de a.

Exerccio resolvido:

1) Determinar a equao da elipse com focos no eixo-x, onde temos:

I.

=

=

82122

c

a

sol:

12036

20

16363616

46

222

2

2

222

=+=

=

=

=

==

yxb

bbbac

cea

II.

=

=

2162

e

b

sol:

4119

9141

9121

1

3

2

2

2

2

2

2

2

=

=

=

=

=

a

a

a

a

be

b

1912

12

363

439

222

2

2

=+=

=

=

yxa

a

a


50

5.1.5 Exerccios propostos: 1) Determinar a equao reduzida da elipse nos seguintes casos:

a) 2a = 10; 2c = 8 , com focos no eixo x b) 2b = 24; 2c = 10 , com focos no eixo y

c) 2b = 12; e = 45

, com focos no eixo x

2) Determinar os elementos da elipse:

a) 141

22

=+yx

b) 05102 22 =+ yx

3) Determinar na elipse 1425

22

=+yx

os pontos cujas abscissas so iguais a -3.

4) Determinar os pontos da elipse 136100

22

=+yx

cujas distncias ao foco direito

medem 14. 5) Determinar os pontos de interseo da reta 072 =+ yx com a elipse

0254 22 =+ yx .

6) Determinar a equao reduzida da elipse, cujo eixo maior est sobre o eixo y, sabendo que passa pelos pontos )22,2()14,1( QeP . 7) Determinar a equao reduzida da elipse, com eixo maior sobre o eixo x,

excentricidade 21

e que passa pelo ponto P(2,3).

8) Determinar as equaes das circunferncias inscrita e circunscrita elipse 01616 22 =+ yx .

9) Um satlite de rbita elptica e excentricidade 31

viaja ao redor de um planeta

situado num dos focos da elipse. Sabendo que a distncia mais prxima do satlite ao planeta de 300 km, calcular a maior distncia.

10) O teto de um saguo com 10m de largura na base, tem a forma de uma semi-elipse com 9m de altura no centro e 6m de altura nas paredes laterais. Calcule a altura do teto a 2m de cada parede.


51

Respostas: 1)

a) 1925

22

=+yx

b) 1169144

22

=+yx

c) 136

11576

22

=+yx

2)

a) ( )

=

23

)3,0()3,0('0,1)0,1('

)2,0()2,0('

e

FeF

BeBAeA

b)

=

52

)0,2()0,2('2

1,0

21

,0'

0,250,

25

'

e

FeF

BeB

AeA

3)

58

,358

,3 e

4) ( ) ( )27,527,5 e 5) ( )2,3

23

,4 e

6) 1168

22

=+yx

7) 11216

22

=+yx

8) 116 2222 =+=+ yxeyx

9) kmd 600= 10) mh 4,8=


52

5.2 A Hiprbole.

Assim como a elipse, a hiprbole tambm uma curva plana, formada por um conjunto de infinitos pontos de 2R . Sua definio matemtica a seguinte:

Hiprbole o conjunto de infinitos pontos de um plano cuja diferena das distncias a dois pontos fixos deste plano (focos) , em valor absoluto, uma constante (k).

Cada hiprbole tem a sua constante k.

Figura 5.6

kFdMFdMhiprboleMn nn = '

y

x F F

Mn

M2

M1

pi


53

5.2.1 Elementos da Hiprbole.

A figura 5.7 mostra uma hiprbole com centro na origem do sistema cartesiano.

Figura 5.7

Seus principais elementos so:

Eixo transverso (ou real): o segmento AA, cuja medida vale 2a; Eixo conjugado (ou imaginrio): o segmento BB, cuja medida vale 2b; Vrtices: so os pontos )0,()0,(' aAeaA ; Focos: so os pontos fixos )0,()0,(' cFecF , a distncia focal (entre focos)

mede 2c;

Assntotas: so as retas xa

byxa

by == e .

by =

ax =

ax =

by =

F(-c,0) F(c,0)

y

x

xa

by =

xa

by =

B(0,-b)

A(-a,0)

B(0,b)

A(a,0)

Obs: Os focos esto sobre o eixo x e simtricos em relao origem


54

Importante:

A constante k, caracterstica de cada hiprbole, igual ao comprimento de seu eixo transverso 2a.

Ento: ak 2= Podemos provar esta afirmao utilizando o ponto )0,(aA que pertence hiprbole e por isso deve satisfazer condio:

kdAFdAF ='

de fato:

022

,

)()('

>=

=

=++

=+

=

apoisakak

kaccaento

kaccakdAFdAF

5.2.2 Equaes Reduzidas Genricas da Hiprbole.

Vamos determinar uma equao genrica reduzida para todas as hiprboles com focos e vrtices sobre um dos eixos coordenados e simtricos em relao origem. A figura 5.8 mostra uma hiprbole cujos elementos esto com coordenadas genricas em relao ao sistema cartesiano. Determinaremos sua equao aplicando a definio matemtica.

Definio matemtica


55

Figura 5.8

Seja o ponto genrico hiprboleyxM ),(

:

2: '

ento

adMFdMFmatemticaDefinio =

aycxycx 2)()( 2222 =+++

Eliminando os radicais, simplificando e fazendo:

222 bac =

encontramos:

122

2

2

=

by

a

x Eq. genrica de uma hiprbole com focos e vrtices

sobre o eixo-x e simtricos em relao origem.

Relao importante: 222 bac +=

A(-a,0) F(-c,0) F(c,0) A(a,0)

M(x,y)

x

y


56

Analogamente:

Importante:

Na equao reduzida da hiprbole o 2a tambm nos indicar a posio dos focos e vrtices e neste caso ser sempre o denominador da parcela positiva.

nota: se ba = temos o que chamamos de hiprbole eqiltera.

5.2.3 Excentricidade.

Tambm calculada pela razo a

ce = que nos d a abertura dos ramos da

hiprbole.

Como ac > a excentricidade da hiprbole sempre ser 1> .

Outra frmula para o clculo da excentricidade:

2

2

2

22

22

22

222

222

1a

be

a

bae

a

bae

bac

bacbac

+=+

=

+=

+=

+=

=

F

A

A

F

122

2

2

=

bx

a

y Eq. genrica de uma hiprbole com focos e vrtices

sobre o eixo-y e simtricos em relao origem.


57


1) Determinar as coordenadas dos focos e vrtices das hiprboles:

a) 3694 22 = yx

b) 822 = xy

c) 22 22 = yx

sol:

a) 3636

369

364 22

=

yx

149

22

=

yx

49 22 == bea

131349

2

2

222

==

+=

+=

cc

c

bac

b) 88

88

22

=

xy

188

22

=

xy

88 22 == bea Focos e vrtices esto sobre o eixo y.

)8,0()8,0(')4,0()4,0('4

162222

AeA

FeFcc

bac

=

=

+=

( ) ( )( ) ( )0,30,3'

0,130,13'

AeAFeF

Focos e vrtices esto sobre o eixo x.


58

c) 22

222 22

=

yx

121

22

=

yx

21 22 == bea Focos e vrtices esto sobre o eixo x.

)0,1()0,1(')0,3()0,3('3

212222

AeAFeFc

c

bac

=

+=

+=

2) Obter a equao da hiprbole, com centro na origem do sistema cartesiano, nos casos: a) 2a = 8 e um dos focos (5,0)

2c = 10 c = 5 c2 = 25

c2 = a2 + b2

b2 = c2 a2

b2 = 25 16

b2 = 9

b) 2b = 2 e um dos focos (-2,0)

2b = 2 b = 1 b2 = 1

2c = 4 c = 2 c2 = 4

c2 = a2 + b2

a2 = c2 b2

a2 = 4 1

a2 = 3

O eixo transverso est contido no eixo x.

= 122

2

2

by

a

x 1916

22

=

yx

O eixo transverso est contido no eixo x.

= 122

2

2

by

a

x 1

13

22

=

yx


59

c) 2a = 6 e um dos focos (0,-5)

2a = 6 a = 3 a2 = 9

2c = 10 c = 5 c2 = 25

c2 = a2 + b2

b2 = c2 a2

b2 = 25 9

b2 = 16

5.2.4 Exerccios propostos: 1) Determinar a equao da hiprbole cujos focos esto no eixo das ordenadas e

simtricos em relao origem. a) a = 6; b = 18

b) 2c = 10; 35

=e

2) Verificar se o ponto

49

,5M pertence hiprbole 0144169 22 = yx .

3) Determinar a equao da hiprbole cujos focos so simtricos em relao origem e esto no eixo x, sabendo:

a) P(6,-1) e Q (-8, 22 ) hiprbole;

b)

1,

29P hiprbole e xy

32= so as equaes das assntotas.

4) Achar os pontos de interseo da reta 0102 = yx com a hiprbole

1520

22

=

yx.

5) Esboar o grfico da hiprbole eqiltera 922 = yx .

O eixo transverso est contido no eixo y.

= 122

2

2

bx

a

y

1169

22

=

xy


60

Respostas: 1)

a) 132436

22

=

xy

b) 1169

22

=

xy

2) Pertence 3)

a) 1832

22

=

yx

b) 1818

22

=

yx

4) ( )2,632

,

314

e


61

5.3 A Parbola.

Uma das curvas planas mais conhecidas e com vrias aplicaes na matemtica e na engenharia a parbola cuja definio matemtica :

Um conjunto de infinitos pontos de um plano que so eqidistantes de uma reta diretriz (d) e de um ponto fixo, foco (F), deste plano.

O foco no pertence diretriz.

Figura 5.9

)(ddMFdMparbolaMn nn =

y pi

F

(d) diretriz

nM


62

5.3.1 Elementos da Parbola.

A figura 5.10 mostra uma parbola com vrtice na origem do sistema cartesiano, concavidade voltada para a direita e foco sobre o eixo x.

Figura 5.10

Os elementos desta curva so:

Foco: o ponto fixo F ; Diretriz: a reta fixa (d); Eixo: a reta que contm o foco e perpendicular diretriz; Vrtice: o ponto de interseo da parbola com seu eixo; Parmetro*: chamaremos de parmetro (P) a distncia do foco ao vrtice,

sendo ento 2p a distncia do foco diretriz; Lado reto: o segmento cujos extremos so pontos da parbola,

perpendicular ao eixo e passa pelo foco.

* alguns autores consideram o parmetro p como sendo a distncia entre o foco e a diretriz.

Neste caso a distncia entre o foco e o vrtice 2p

.

y

x

F(p,0) -p

v

L

R

(d) x=-p


63

Como j foi dito, estudaremos primeiramente as equaes reduzidas das parbolas. Neste caso o plano cartesiano ter a sua origem coincidindo com o vrtice da parbola cujo eixo, e conseqentemente seu foco, estar sobre um dos eixos coordenados.

5.3.2 Equaes Reduzidas da Parbola.

Seja o ponto genrico parbolayxM ),(

)(: ddMdMFmatemticaDefinio =

(d)

00 =++=

pyxoupx

22

00

212

212 )()(

:

bacbyax

dpr

yyxxd

lembrarpara

+

++=

+=

y

x

F(p,0) -p

v

M(x,y)


64

+=+

++=

+=

pxpyx

ddM

ypxdMF

01.0.1)(

)(

2

22

( )pxyppxxyPpxx

pxypx

pxypx

ento

422

)(

)(

222222

2222

22

=++=++

+=+

+=+

podemos concluir por analogia que temos quatro tipos de equaes reduzidas para as parbolas.

Eq. genrica reduzida de uma parbola com a concavidade voltada para a direita.

x=-p y

x

F(p,0) -p

pxy 42 =

x=p y

x

F(-p,0) p

pxy 42 =

F(0,p)

y

x

-p

y=-p

pyx 42 =

y

x

p

F(0,-p)

y=p

pyx 42 =


65


1) Esboar o grfico, dar as coordenadas do foco e a equao da diretriz da parbola 042 = xy

sol:

xy 42 =

vamos comparar a equao dada com a equao genrica pxy 42 =

1444

42

2

=

==

=

pppxy

xy

2) Determine a equao da parbola cujo foco

0,

21F e a diretriz a reta 012 =x

sol:

a equao da diretriz pode ser escrita como 21

=x

pela posio do foco e da diretriz podemos concluir que trata-se de uma parbola com vrtice na

origem e concavidade voltada para a esquerda cuja equao genrica pxy 42 =

seu parmetro p vale 21

.

ento:

xy

xy

2

.

21

.4

2

2

=

=

x=-1 y

x

F(1,0) -1

xy 42 =


66

5.3.3 Exerccios propostos: 1) Para cada uma das parbolas abaixo, construir o grfico e encontrar o foco e a

equao da diretriz: a) yx 42 = b) xy 62 = c) xy 82 = d) 02 =+ yx e) 02 = xy f) 032 =+ xy g) 0102 = yx h) 092 2 = xy

i) 16

2xy =

j) 12

2yx =

2) Determinar a equao da parbola com vrtice na origem, eixo sobre o eixo y e que passa pelo ponto M(6,3).

3) Um arco parablico tem uma altura de 2,0m e uma largura de 3,6m na base. Se o vrtice da parbola est no topo do arco, a que altura sobre a base o arco tem uma largura de 1,8m?

4) Um telescpio refletor tem um espelho parablico para o qual a distncia do vrtice ao foco 30cm. Se o dimetro do espelho 10cm, qual a sua profundidade?

5) Admita que a gua que escoa do final de um tubo horizontal que est a 2,5m do cho descreva uma curva parablica. O vrtice da parbola est no final do tubo. Se em um ponto a 80cm abaixo da linha do tubo o fluxo dgua curvou-se 1,0m alm da reta vertical que passa pelo fim do tubo, a que distncia desta reta a gua tocar o cho?

6) A diretriz da parbola pxy 42 = tangente circunferncia que tem o foco da parbola como centro. Ache a equao da circunferncia e os pontos de interseo das duas curvas.


67

7) Prove que o comprimento do lado reto de qualquer parbola 4p.

Respostas: 1)

a) 1;)1,0( = yF

b) 23

;0,23

=

xF

c) ( ) 2;0,2 = xF d)

41

;41

,0 =

yF

e) 41

;0,41

=

xF

f) 43

;0,43

=

xF

g) 25

;25

,0 =

yF

h) 89

;0,89

=

xF

i) ( ) 4;4,0 =yF j) ( ) 3;0,3 = xF

2) yx 122 = 3) m5,1 4) cm208,0 5) m77,1 6) )2,()2,(;032 222 ppeppppxyx =+


68

Captulo 6 Translao de Eixos Coordenados.

6.1 Objetivo.

Como vimos nos captulos anteriores, podemos determinar equaes para algumas curvas planas em relao a um determinado referencial. Se o referencial mudar de posio no plano em relao curva, esta ter sua equao modificada.

A figura 6.1 mostra uma curva plana qualquer e trs sistemas de referncia num mesmo plano.

Figura 6.1

Como temos trs sistemas de referncia diferentes podemos determinar trs equaes diferentes para a mesma curva em questo. Na verdade podemos determinar infinitas equaes para uma mesma curva plana, pois podemos posicionar um sistema de referncia em qualquer lugar do plano.

O

Y

X O

Y

X

Y

X O


69

Em relao aos trs sistemas da figura 6.1, nenhum deles nos dar uma equao reduzida para a curva, que uma elipse, pois obviamente os focos e vrtices da mesma no esto sobre nenhum eixo.

Para obtermos uma equao reduzida para a elipse acima temos que posicionar um novo sistema de referncia num local que atenda s exigncias que vimos no captulo 5.

Este procedimento o que chamamos de Translao de Eixos Coordenados.

Ento, o objetivo de uma translao de eixos coordenados reduzir as equaes de algumas curvas a uma forma mais simples.

Numa translao de eixos no alteramos as caractersticas originais do sistema de referncia, apenas mudamos de lugar, ou seja:

dois sistemas cartesianos ''' YoXeXoY so transladados quando os eixos '''' YoeXo so respectivamente paralelos aos eixos .oYeoX

Figura 6.2

O

Y

X O

Y

X

oYYoeoXXotranslaoexiste //// ''''


70

Para ilustrar o que acabamos de ver, vamos resolver o seguinte exerccio:

Determinar a equao geral da circunferncia cujo centro )4,3(c e o raio .2=r

1. Em relao ao plano .XoY

02186

04168962)4()3(

)()(

22

22

222

222

=++

=+++

=+

=+

yxyx

yyxx

yx

rkyhx

2. Agora vamos determinar a equao da mesma circunferncia em relao ao sistema ''' YoX com eixos paralelos aos do sistema XoY e com sua origem no centro da circunferncia.

O

Y

X

C(3,4)

2

X

X

Y

O

O

Y

C(3,4)

2

sol:

4)()( 2'2' =+ yx

pois o centro da circunferncia o ponto (0,0) do sistema ''' YoX


71

Concluso:

Podemos observar que a equao da circunferncia ficou bem mais simples em relao ao novo sistema transladado, inclusive os termos do 1 grau sumiram. Para uma translao bem feita, temos que saber onde posicionar a origem do novo sistema. No caso de uma circunferncia, teremos uma equao reduzida se a origem do sistema coincidir com seu centro. Veremos a seguir como identificar a melhor localizao do sistema de referncia para as outras curvas cnicas.

6.2 Relao Entre os Sistemas ''' YoXeXoY

dados:

PPontoYoXSistema

XoYSistema'''

Figura 6.3

os pontos o e P possuem dois pares de coordenadas pois existem dois sistemas de referncia no plano

O

Y

X

)0,0(),(

'kh

o

Y

X

),(),('' yx

yxP

A2(x)

B(y)

A1(h)

B1(k)

B2(y)

A(x)


72

Importante: ),( kh a origem do sistema transladado ''' yox em relao ao sistema original xoy .

Tomando as projees dos pontos o e P nos eixos coordenados, podemos dizer que:

kyyBBOBOB

hxxxhx

ento

xAoAAhOAxOA

masAAOAOA

+=+=

+=+=

==

=

=

+=

'

2112

''

'''

21

1

2

2112

:

Concluindo:

as relaes

+=

+=

kyyhxx

'

'

sero utilizadas para determinar a origem ( )kh, do sistema de referncia transladado ( )''' YoX .


73


Dada a equao da cnica abaixo, pede-se:

Identific-la; Determinar seus elementos;

Fazer um esboo do grfico.

011191281501625 22 =++ yxyx

Esta a equao de uma elipse, pois podemos identificar dois termos do 2 grau, ambos positivos. Como sabemos, as equaes reduzidas das elipses possuem dois termos do 2 grau e um termo independente. Ento para obter uma equao reduzida, sem os termos do 1 grau, que represente a mesma curva acima temos que utilizar um sistema de referncia transladado.

Para mudar de sistema de referncia utilizamos a seguinte relao:

+=

+=

kyyhxx

'

'

( )

1100

)(64

)(

1600)(16)(25,

4,340128323015050

,1011191281501625)12832()15050()(16)(25

011191281281501501632)(162550)(2501119)(128)(150)(16)(25

2'2'

2'2'

'

22''2'2'

''2'2'2'2'

''2'2'

=+

=+

==

==+

=+++++++

=+++++++

=++++++

yx

ou

yx

ficaequaonakehdosubstituinokh

hhtemosgraudotermososanulando

khkhykxhyxparcelasasordenando

kyhxkkyyhhxxkyhxkyhx

o

Equao reduzida de uma elipse em relao ao plano xoy com focos sobre o eixo-y.


74

Determinando seus elementos:

)6,0()6,0()10,0()10,0(

664100

6410100

'

'

222

2

2

FeFAeA

c

c

bacb

aa

=

=

=

=

==

6.3 Exerccios propostos: 1) Determine a equao da elipse cujo centro est no ponto C(1,4), um foco o

ponto F(5,4) e a excentricidade 32

.

2) Determine a equao da elipse com eixo maior igual a 10 e focos F(2,-1) e F(2,5).

3) Determine a equao da elipse com centro no ponto C(-3,0), um foco em F(-1,0) e que tangente ao eixo y.

4) Faa um esboo do grfico das seguintes elipses: a) 0369636169 22 =+++ yxyx b) 031164501625 22 =+++ yxyx

5) Determine a equao da hiprbole com centro no ponto C(3,2), um vrtice em A(1,2) e um foco em F(-1,2).

6) Determine a equao da hiprbole com vrtices em (3,-2) e (5,-2) e um foco em (-1,-2).

7) Determine a equao da hiprbole com vrtices em (5,-1) e (5,5) e excentricidade 2.

8) Faa um esboo do grfico das seguintes hiprboles: a) 043161849 22 = yxyx b) 01991864916 22 =+ yxyx

X

X O

Y Y

O(-3,4)

Curva fora da escala


75

9) Determine a equao da parbola cujo vrtice o ponto V(-2,3) e o foco o ponto F(-2,1).

10) Determine a equao da parbola cujo foco F(-7,3) e a diretriz a reta 03 =+x .

11) Determine a equao da parbola que tem seu vrtice no ponto V(4,-3), seu eixo paralelo ao eixo x, e que passa pelo ponto P(2,1).

12) Faa um esboo do grfico das seguintes parbolas: a) 012842 =+++ yxx b) 0392022 = yxx c) 0441642 =++ xyy d) 0492162 =++ yxy

Respostas: 1) 031721095 22 =+ yxyx 2) 0236641001625 22 =+ yxyx 3) 03095 22 =++ xyx 4)

a) )3,2(' O b) )2,1(' O

5) 0114183 22 =++ yxyx 6) 0356419224 22 =+ yxyx 7) 04012103 22 =++ yxyx 8)

a) )2,1(' O b) )1,2(' O

9) 020842 =++ yxx 10) 049682 =++ yxy 11) 023682 =++ yxy 12)

a) )1,2(' O b) )2,1(' O

c) )2,3(' O d) )1,3(' O


76

Captulo 7 Noes do Sistema de Coordenadas Polares.

7.1 Introduo.

Veja a figura 7.1 abaixo.

Figura 7.1

Para localizar o ponto M no plano pi ns precisamos de um sistema de referncia. At agora o nico que conhecemos o Plano Cartesiano ou Sistema de Coordenadas Retangulares.

Vamos ver ento uma outra forma ou um outro sistema para localizar o ponto M:

Traamos uma semi-reta OX no plano pi ;

pi

M

pi

M

O

X

)


77

Medimos a distncia orientada do ponto O (origem da semi-reta) ao ponto M. Chamaremos esta distncia de (ro);

=dOM ;

Medimos o ngulo , positivo no sentido anti-horrio, formado a partir do

eixo OX at o segmento OM; O ponto M fica bem determinado no plano pelo par ordenado ),( ; Este par ordenado faz parte do sistema de Coordenadas Polares.

7.2 Elementos.

Figura 7.2

Vejamos:

Seja o ponto

5,6piA

M

O X

plo eixo polar

ngulo polar

raio polar

5,6piA

O X


78

O sistema de coordenadas polares no possui a caracterstica biunvoca do sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, cada ponto do plano pode ser representado por infinitos pares ordenados do tipo ),2( pi +kP

Como exemplo, vamos verificar que podemos representar o ponto

5,6piA de

vrias formas:

+

+

+

5,6

2

5,26

5,6

5,6

11

5,6

5

pipi

pipi

pipi

pi

pi

kA

A

A

A

A

7.3 Relao entre os Sistemas Cartesiano e Polar.

Podemos definir uma relao entre os sistemas polar e cartesiano para transformar equaes de curvas de um sistema para outro. Vamos notar que algumas curvas possuem equaes mais simples em relao a um determinado sistema de referncia. Por exemplo, as cnicas geralmente tm suas equaes mais simplificadas no sistema polar.

A figura 7.3 abaixo mostra um ponto P representado nos dois sistemas, cartesiano e polar, onde suas origens coincidem num mesmo ponto e o eixo polar se sobrepe ao eixo cartesiano das abscissas.

xeixoOX ),(),(

yx

P

O

X

x

Y

y

)(1 xP

)(2 yp


79

PolarCartesiano

)sen,cos(),(

sen.

cos.1

=

=

yx

yx

retnguloPOP

CartesianoPolar

+

+=

=

22

22

,),( yxx

yarctg

yxx

yarctg


1) Passar a equao cartesiana 0632 =+ yx para a forma polar.

sol:

sen3cos26

6)sen3cos2(6sen3cos2

06)sen(3)cos(2:

sen

cos

=

=

=

=+

=

=

ento

yx


80

2) Passar a equao polar

cos24

= para a forma cartesiana.

sol:

( ) ( )( )

016843

0816448164

42

42

4cos2:

22

222

222

2222

22

22

=+

=+

++=+

+=+

=+

=

+=

xyx

xxyx

xxyx

xyx

xyx

entao

yx

3) Passar a equao polar

cos

3= para a forma cartesiana.

sol:

3

3cos

=

=

x


81

Apndice I

lgebra

1. Lei dos Expoentes

n mnmmnnmmmmnmnm aaaabaabaaa ==== + /;)(;)(;

Se :0a m

mnm

n

m

aaaa

a

a 1;1; 0 ===

2. Zero (a diviso por zero no definida)

Se :0a 00,1,00 0 === aaa

Para qualquer nmero a: 0.00. == aa

3. Fraes

ba

ba

ba

c

dba

dcba

bdac

dc

ba

bdbcad

dc

ba

==

==+

=+ ;//

;;

4. Produtos Notveis

32233

222

33)(

2)(

babbaaba

bababa

+++=+

++=+

5. Diferena de Potncias Inteiras Iguais

))((

))((

))((

322344

2233

22

babbaababa

babababa

bababa

+++=

++=

+=

6. Frmula Quadrtica (Bskara)

Se 0a , 02 =++ cbxax

a

acbbx

242

=


82

Apndice II

Trigonometria

1. Definies e Identidades Fundamentais

Seno:

ecr

ysen

cos

1==

Cosseno:

sec

1cos ==

r

x

Tangente:

gx

ytg

cot1

==

2. Identidades

tgBtgAtgBtgABAtg

tgBtgAtgBtgABAtg

senBsenABABAsenBsenABABAsenBABsenABAsensenBABsenABAsen

sen

sensensen

gectgsen

sensen

+

=

+=+

+=

=+

=

+=+

=

+=

==

+=+==+

==

1)(

1)(

coscos)cos(coscos)cos(

coscos)(coscos)(

22cos1

;2

2cos1cos

cos2cos;cos22cot1cos;1sec;1cos

cos)cos(;)(

22

22

222222

senAAAAsen

senAAAAsen

=

+=

+

=

=

2cos;cos

2

2cos;cos

2pipi

pipi

x

y

P(x,y)

x

y r

0


83

Apndice III

Geometria

1. Cevianas

Ceviana um segmento de reta, ou semi-reta, que liga um vrtice do tringulo ao lado oposto correspondente ou ao do seu prolongamento. So exemplos de cevianas a Mediana, a Altura e a Bissetriz.

Mediana de um tringulo o segmento de reta que liga um vrtice deste tringulo ao ponto mdio do lado oposto a este vrtice. As trs medianas de um tringulo so concorrentes e se encontram no centro de massa, ou baricentro do tringulo.

Altura um segmento de reta perpendicular a um lado do tringulo ou ao seu prolongamento, traado pelo vrtice oposto. O ponto de interseo das trs alturas de um tringulo denomina-se ortocentro.

Bissetriz a semi-reta que divide um ngulo em dois ngulos congruentes. As trs bissetrizes internas de um tringulo se encontram no centro de uma circunferncia inscrita ao tringulo, ou incentro.


84

2. Mediatriz

Mediatriz a reta perpendicular a um lado do tringulo, traada pelo seu ponto mdio. As trs mediatrizes de um tringulo se encontram em um nico ponto, o circuncentro, que o centro da circunferncia circunscrita ao tringulo, que passa pelos trs vrtices do tringulo.

3. Frmulas de Geometria Plana


85

Apndice IV Sees Cnicas

As curvas cnicas so conhecidas e estudadas h muitos sculos. Os trabalhos mais antigos sobre o assunto foram feitos por Menaechmus (380 320 a.C.), Aristeu e Euclides. Mas foi Apolnio, conhecido como O Grande Gemetra que nasceu por volta de 262a.C. em Perga, no sul da sia Menor e morreu por volta de 190a.C. em Alexandria, que desenvolveu um estudo mais completo e detalhado sobre as sees cnicas. Sua grande obra Sees Cnicas supera completamente os trabalhos anteriores sobre o assunto (EVES, 1997).

FIGURA 1 Sees cnicas no degeneradas

Na FIG. 1, v-se a obteno das sees cnicas como cortes de um plano em uma superfcie cnica de revoluo.

Variando o ngulo do plano em relao ao eixo da superfcie cnica, obtm-se as diferentes curvas cnicas. (FIG. 2).

FIGURA 2 Variao do ngulo do plano de corte


86

A circunferncia tambm considerada uma cnica, pois pode ser obtida quando um plano secciona uma superfcie cnica perpendicularmente ao eixo. Existem ainda, as chamadas cnicas degeneradas que ocorrem quando o plano intercepta a superfcie cnica em seu vrtice e dependendo de seu ngulo surgem um ponto, uma reta ou duas retas concorrentes, (FIG. 3).

FIGURA 3 Cnicas degeneradas a) uma reta b) um ponto c) duas retas concorrentes

Winterle (2000), descreve como obter uma superfcie cnica a partir de duas retas (FIG. 5). Sejam duas retas e e g concorrentes em o e no-perpendiculares. Conservemos fixa a reta e e faamos g girar 360 graus em torno de e mantendo constante o ngulo entre estas retas. Nestas condies, a reta g gera uma superfcie cnica circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vrtice o.

FIGURA 1 Superfcie cnica

e

g

o


87

No incio os matemticos estudavam estas elegantes curvas sem maiores preocupaes com aplicaes prticas. Mas ao longo do tempo inmeras descobertas importantes em matemtica pura e na cincia em geral estavam ligadas s sees cnicas.

Dois exemplos clssicos so, a descoberta de Galileu Galilei que em 1604 descobriu que um projtil que era lanado horizontalmente do topo de uma torre tinha uma trajetria em forma de parbola se considerando atuante apenas a fora da gravidade e a publicao de Kepler em 1609 de sua descoberta de que a rbita de Marte em torno do Sol era uma elipse, lanando a hiptese que todos os planetas se moveriam em rbitas elpticas, o que foi comprovado dcadas mais tarde por Isaac Newton. (EVES, 1997).


88

Descartes, por vezes chamado o fundador da filosofia moderna e o pai da matemtica moderna, considerado um dos pensadores mais importantes e influentes da histria humana. Ele inspirou os seus contemporneos e geraes de filsofos. Na opinio de alguns comentadores, ele iniciou a formao daquilo a que hoje se chama de Racionalismo continental (supostamente em oposio escola que predominava nas ilhas britnicas, o Empirismo), posio filosfica dos sculos XVII e XVIII na Europa

O interesse de Descartes pela matemtica surgiu cedo, no College de la Fleche, escola do mais alto padro, dirigida por jesutas, na qual ingressara aos oito anos de idade. Mas por uma razo muito especial e que j revelava seus pendores filosficos: a certeza que as demonstraes ou justificativas matemticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de freqentar rodas matemticas em Paris (alm de outras) j graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opes dignas que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da Frana. Durante os quase nove anos que serviu em vrios exrcitos, no se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da cincia e da filosofia.

A Geometria Analtica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como um dos trs apndices do Discurso do mtodo, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o mtodo matemtico como modelo para a aquisio de conhecimentos em todos os campos.

Fonte: Wikipdia

Ren Descartes (31 de Maro de 1596, La Haye en Touraine, Frana 11 de Fevereiro de 165

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