527921-ESTATÍSTICA Probabilidade 3 (1)

7/17/2019 527921-ESTATÍSTICA Probabilidade 3 (1)

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Estatística

Probabilidade

Probabilidade

A compreensão e a utilização da probabilidade éessencial para a descrição, o planejamento e aanálise de sistemas não determinísticos.

Os fenômenos determinísticos são aqueles em que osresultados são sempre os mesmos, qualquer que sejao número de ocorrências verificadas.

Nos fenômenos aleatórios, os resultados não serãoprevisíveis, mesmo que haja um grande número derepetições do mesmo fenômeno.

Probabilidade A probabilidade é usada para quantificar a chance de

uma medida cair dentro de um conjunto de valores.

A chance de X, massa de bolachas artesanais, estarentre 10,8 e 11,2 g é de 25% é uma afirmação quequantifica nosso sentimento acerca da possibilidadeda massa do produto.

A probabilidade é quantificada atribuindo-se umnumero no intervalo [0,1] ao conjunto de valores (ouuma percentagem de 0 a 100%). Número maiores

indicam que o conjunto de valores é mais provável.

Probabilidade

Um fenômeno ou experimento se diz aleatório se:

O experimento pode ser repetido sob condiçõesidênticas; Todos os possíveis resultados do experimento são

conhecidos de antemão; Em qualquer realização do experimento, não de pode

predizer com certeza, qual resultado particularocorrerá, quando o experimento for realizado.



Probabilidade Um modelo probabilístico consiste na execução de um

experimento (ε), um espaço amostral (S), associado aε, uma classe de eventos (A1, A2, A3, ... , An) e umnúmero P (Ai); i = 1, 2, 3, ..., n, chamado deProbabilidade.

Exemplos (Experimentos aleatórios): ε1- lançamento de um dado

ε2- escolher numa urna um número entre 0 e 100 ε3- lançamento de uma moeda ε4- uma caixa contém 4 embalagens, onde 1 está defeituosa,

o experimento consiste em fazer retiradas uma a uma atéencontrar a defeituosa.

Probabilidade Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados

possíveis de um experimento aleatório, e serárepresentado por S ou . Cada elemento desseconjunto (dos resultados possíveis) é chamado ponto amostral . Considerando os experimentos dados:

Exemplos:

S 1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 S2 = 01, 02, 03, 04,..., 100 S3 = C, K S4 = D, BD, BBD, BBBD

Ω

Probabilidade Eventos: É um subconjunto do espaço amostral, e é

sempre representado por letras maiúsculas A, B, etc.

Se um evento A é formado por apenas um pontoamostral, A é dito evento elementar .

Dado que os eventos associados a um espaçoamostral, são, por sua vez conjuntos, podemosefetuar as operações do tipo: união, intercessão,complementação e diferença.

= Evento impossível = Evento certo

φ

Ω

Probabilidade



Probabilidade Exemplos:

Uma fábrica produz caramelos de leite e de chocolate. Dalinha de produção, são retirados 03 doces e classificadoscomo C (chocolate), L (leite). Um espaço amostral associadoao experimento é:

S = CCC, LLL, CCL, LCC, LLC, LCL, CLL, CLC

Considere o experimento que consiste em selecionar umalanchonete aleatoriamente, em certo distrito do Seridó, e

verificar o nº sanduíches que este estabelecimento vende emuma hora. Um espaço amostral associado a esteexperimento é:

S = 0, 1, 2, 3, 4, ...

Probabilidade Exemplos:

Um dado é lançado e o nº que aparece na face superior éobservado. Um espaço amostral é:S = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Lançamento de duas moedas, o espaço amostral é:

ProbabilidadeExemplos: estudar 3 artigos (D = difícil, B = básico) A = “obter dois artigos difíceis ”. Logo, A = DDB, DBD, BDD

B = “obter no mínimo 1 artigo básico ”. Logo, B = DDB, DBD,BDD, BBD, BDB, DBB, BBB

C = “obter no máximo 1 artigo difícil ”. Logo, C = BBB, BBD,BDB, DBB

Então poderemos ter, por exemplo, os novos eventos(resultantes das operações).

A ∩ B = DDB, DBD, BDD = A A ∩ C = ∅, (portanto A e C são incompatíveis ou mutuamente

exclusivos ou excludentes). A ∪ C = BBB, BBD, DBB, DDB, DBD, BDD, BDB Bc = DDD, (portanto Bc é um evento elementar).

ProbabilidadeTeoremas

I - Se ∅ é um conjunto vazio, então P(∅) = 0 a) Sejam A e B eventos quaisquer, então,

(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). Se A e B são incompatíveis, mutuamente exclusivos

(ou disjuntos),então temos; A ∩ B = ∅ e P(∅) = 0, setem então que P(A ∪ B) = P(A) + P(B), comA ∩ B = ∅

b) Se Ac é o complementar de A, então:P(Ac) = 1 – P(A).



ProbabilidadeResultados Equiprováveis

Cálculo de probabilidades

possíveiscasos

favoráveiscasos

S espaçodoelementosdeº n

Aeventodoelementosdeº n) A(P ==

ProbabilidadeDetermine a probabilidade P de cada evento: 1. Um número par aparece no lançamento de

um dado não viciado. 2. Um rei aparece ao extrair-se uma carta de

um baralho comum de 52 cartas. 3. Pelo menos uma coroa ocorre no

lançamento de três moedas não viciado. 4. Um caramelo de leite ser selecionado ao se

retirar uma único doce de uma seção da linhade produção contendo 4 caramelos de leite, 3de morango e 5 de chocolate.

ProbabilidadeCombinação

Combinação é qualquer seleção de k dos nobjetos, sem considerar sua ordem.

Combinações das letras a, b, c, d, tomadas 3a 3, são:

a, b, c , a, b, d , a, c, d , b, c, d

= k

n

k)C(n, )!(nk!

n!k)C(n, k −=

Probabilidade

Ex.:

Uma fábrica de doces produz 8 variedades edeseja comercializar porções com 3 docesdiferentes. De quantas maneiras estas porçõespodem ser formadas?



Probabilidade

Ex.:Para ser emitido um alvará de funcionamento daempresa TICA, um técnico em alimentos precisaadequar 8 das 10 unidades de processamento deuma indústria (U1, U2, U3... U10). Quantasalternativas ele tem? Quantas alternativas, se eledeve adequar as 3 primeiras unidades? Quantas,

se deve adequar ao menos 4 das 5 primeirasunidades?

Probabilidade

Eventos IndependentesA partir do teorema do produto podemos afirmarque se os eventos A e B são independentes entãose tem:P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Probabilidade

Ex.: Considerando um lançamento simultâneo deuma moeda e um dado ambos honestos. Qual aprobabilidade de ocorrer cara (C) e o valor 5 dodado?

Probabilidade

Ex.:

Uma empresa de alimentos fornece refeições,com 6 itens, formadas a partir de 12 opções,sendo 2 entradas e 10 pratos principais. Quantasopções podem ser formadas considerando 1entrada e 5 pratos principais?Em um determinado dia, 1 entrada e 2 pratosprincipais escolhidos precisaram ser excluídos. Dequantas formas isso pode ser feito?



Probabilidade

Probabilidade Condicional

Probabilidade condicional de A, dado que Docorreu. A qual será escrita sob a forma P(A / D),sendo definida como:

)D(P

)DA(P)D / A(P ∩= , com P(D) > 0.

Probabilidade

Ex.:Um par de dados “honestos” é lançado. Qual aprobabilidade de ocorrer o nº 2 em pelo menosum dos dados, se já se tem a informação que asoma dos nº dos dados é igual a seis?

Probabilidade

Ex.:

Consideremos novamente o lançamento de doisdados “honestos”. Qual a probabilidade de ocorrera soma igual a 6, se, sabe-se que em um dosdados apareceu o nº. 2”

Probabilidade

Teorema de Bayes: A probabilidade P(Ai /B), de

ocorrência da causa Ai, dado que ocorreu oevento B é dado por:

)A / B(P)A(P...)A / B(P)A(P)A / B(P)A(P

)A / B(P)A(P)B / A(P

nn2211

iii

⋅++⋅+⋅

⋅=



Probabilidade

Ex.: Um empresa fabrica 3 tipos de chocolatesClassic, Premium e Gold , que podem ser ao leiteou amargo. Foram retiradas 5 caixas da linha deprodução, com 6 doces em cada. Duas sãoClassic , com 3 ao leite; duas Premium com 2 aoleite; uma Gold com 6 ao leite. Qual a

probabilidade da caixa se Gold , sabendo-se que ochocolate escolhido é ao leite?

Probabilidade

Distribuição BinomialConsideremos n tentativas de um mesmo experimentoaleatório. Cada tentativa admite apenas dois resultados:fracasso com probabilidade q e sucesso comprobabilidade p , p + q = 1. As probabilidades de sucesso efracasso são as mesmas para cada tentativa.

( ) knk qpk

nkXP −

== .

Probabilidade

Ex.: Um aromista realizará uma seleção com 50 tipos

fragrâncias diferentes. Para cada tipo de fragrância,existem 5 opções de aroma. Apenas uma opção de aromaé adequada a fragrância a ser utilizada em um produtoalimentício. Qual a probabilidade de selecionar 50% dasfragrâncias adequadamente?

Probabilidade

Distribuição de Poisson

Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucessosem um determinado intervalo. A probabilidade daocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional aointervalo. A probabilidade de mais de um sucesso nesseintervalo é bastante pequena com relação à probabilidadede um sucesso.

!k

.e)k X(P

k λ==

λ−



Probabilidade

Ex.: Em um grande pedido de salgadinhos, com 800 lotes,há 800 pacotes com baixo peso. Qual a probabilidade deque em um lote contenha 0 pacotes com pesoinadequado? Pelo menos 3 pacotes com pesoinadequado?



Probabilidade

Assume-se Distribuição Normal: É a mais importante

distribuição contínua daprobabilidade

Representa o resultado daação conjunta de causasaleatórias.

Uma variável contínua x, que

possa tomar qualquer valorreal (-∞<x<∞), terádistribuição normal, onde afunção de probabilidade Pr (x)ou P(x) é dada por:

Não épossívelexibir estaimagemno momento.



Probabilidade

Y pode ser expresso em termos de uma variávelreduzida z. z é normalmente distribuído com média iguala ZERO e variância igual a 1.


Probabilidade



Probabilidade Probabilidade





Exemplo: Uma indústria de achocolatado produz emmédia 1000 latas de 400 g por hora. O desvio padrãoobservado é de 50 latas por hora. O limite superior einferior de produção é de 1150 e 850 latas,respectivamente. um ajuste de peso na embalagem foirealizada e a média passou para 1100 latas. Qual aprobabilidade de um valor individual cair acima do limite

superior de produção?

Probabilidade

Exemplo: O nº de doces cristalizados apresenta média

de 150 doces/lote e desvio padrão de 30. Assumindo quea distribuição da variável “nº de doces cristalizados” énormal, calcule a probabilidade de se ter amostras com:

P(x ≤ 202 doces/lote)P(120≤ x 165 ≤ doces/lote)P(180≤ x ≤ 210 doces/lote)

Probabilidade

Exemplo: O valor médio para o peso de pacotes de

determinado cereal é 297g com desvio padrão de 24g.Assumindo que a distribuição da variável “peso depacotes” é normal, calcule a probabilidade de se teramostras com peso igual ou menor a 274g.

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