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Probabilidade e Estatstica Prof. Jefferson Herclito

Curso de Engenharia Civil4/20/2015Unidade II Teoria das Probabilidades 4/20/2015 Introduo Aleatoriedade Experimento aleatrio Espao amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos ProbabilidadeTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/2015 Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaos amostrais finitos Teoria da contagem Espaos amostrais finitos equiprovveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independncia estatstica Teorema de BayesTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/2015Modelo probabilstico:

Adotado para explicar os fenmenos aleatrios, que so aqueles cujos resultados, mesmo em condies normais de experimentao, variam de uma observao para outra, dificultando dessa maneira a previso de um resultado futuro.

Portanto, esses fenmenos so insubmissos s leis sistemticas, pois so regidos ou influenciados pelo acaso.2.1 Introduo4/20/20152.1 IntroduoA estatstica tem por objetivo obter, organizar e analisar dados estatsticos, a fim de descrev-los e explic-los, alm de determinar possveis correlaes e nexos causais.

A estatstica se utiliza das teorias probabilsticas para explicar a freqncia da ocorrncia de eventos, tanto em estudos observacionais quanto experimentais.

Em outras palavras, a estatstica procura modelar a aleatoriedade e a incerteza de forma a estimar ou possibilitar a previso de fenmenos futuros, conforme o caso.4/20/2015Estudo dos fenmenos de observao: deve-se distinguir o prprio fenmeno e o modelo matemtico que melhor o explique, se determinstico ou probabilstico.

Modelo determinstico: Adotado para explicar fenmenos submissos s leis sistemticas.

Baseia-se, portanto, num encadeamento em que a relao causa-efeito pressupe nexos definidos em forma unvoca e imutvel.2.1 Introduo4/20/2015A estatstica estuda os fenmenos aleatrios e o modelo matemtico ser o clculo das probabilidades.

Diante de um acontecimento aleatrio possvel, s vezes, atribuir-lhe uma lei ou distribuio de probabilidade.2.1 Introduo4/20/2015 Introduo Aleatoriedade Experimento aleatrio Espao amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos ProbabilidadeTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/20152.2 AleatoriedadeAleatoriedade ou acontecimento aleatrio pode ser explicado considerando-se as seguintes afirmaes:a- Se x + 8 = 3x 4, ento x = 6;b- A prxima carta retirada de um baralho ser um s.A afirmao a pode ser confirmada ou negada de forma conclusiva, utilizando-se elementos da matemtica; uma afirmao categrica (verdadeira ou falsa).Na afirmativa b, entretanto, somente pode ser afirmado que o fato possvel, mas que possvel, tambm, a sada de qualquer uma das 52 cartas do baralho.4/20/2015No segundo caso somente a realizao do experimento permitir estabelecer se a afirmao falsa ou verdadeira; trata-se de um acontecimento aleatrioEm geral, os acontecimentos aleatrios se caracterizam por admitirem dois ou mais resultados possveis, e no se tem elementos de juzo suficientes para predizer qual deles ocorrer em um determinado experimento.2.2 Aleatoriedade4/20/2015 Introduo Aleatoriedade Experimento aleatrio Espaos amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos ProbabilidadeTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/2015Definio:Um experimento que pode fornecer diferentes resultados, muito embora seja repetido toda vez da mesma maneira, chamado de um Experimento Aleatrio. (Montgomery e Runger, 2013).2.3 Experimento Aleatrio4/20/20152.3 Experimento AleatrioCaractersticas:Para que um experimento seja considerado aleatrio necessrio que apresente as seguintes caractersticas:Cada experimento poder ser repetido indefinidamente sob as mesmas condies;

No se conhece, a priori, um particular valor do experimento; entretanto, pode-se descrever todos os possveis resultados (as possibilidades);4/20/2015Caractersticas:Quando o experimento for repetido um grande nmero de vezes, surgir uma regularidade na apresentao dos resultados, ou seja, ocorrer uma estabilizao da frao freqncia relativa:

onde: n o nmero de repeties, e r o nmero de sucessos de um particular resultado estabelecido antes da realizao do experimento.2.3 Experimento Aleatrio4/20/2015Exemplos:Jogar um dado e observar o nmero mostrado na face superior.

Jogar uma moeda um certo nmero de vezes e observar o nmero de coroas obtidas.

Contar o nmero de peas defeituosas da produo diria da mquina A.2.3 Experimento Aleatrio4/20/2015 Introduo Aleatoriedade Experimento aleatrio Espao amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos ProbabilidadeTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/20152.4 Espao AmostralDefinio:Para cada experimento aleatrio E, define-se espao amostral S como o conjunto de todos os possveis resultados desse experimento (Fonseca e Martins, 1996).O conjunto de todos os resultados possveis de um experimento aleatrio chamado de espao amostral do experimento. O espao amostral denotado por S. (Montgomery e Runger, 2013).4/20/20152.4 Espao AmostralExemplos: E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada. S = R+ ={x | x > 0}

E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada. S = {x | 10 < x < 11}

E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada. S = {baixa,mdia, alta}

E: medir espessura de um barra de ferro galvanizada. S = {sim, no}

4/20/20152.4 Espao AmostralExemplos:E: jogar um dado e observar o nmero na face superior. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E: lanar duas moedas e observar o resultado. S = {(c, c), (c, k), (k, c), (k, k)}, onde c- cara e k- coroa.

E: Fabricar um lmpada, coloc-la em um suporte, acend-la e registrar o tempo de funcionamento at fundir o filamento: S = {t : t 0}

4/20/2015Exemplos:E: Registrar a temperatura continuamente durante um perodo de 24 horas em uma determinada localidade; as temperaturas mnima e mxima so registradas: S = {(x, y) : x y}, onde x a temperatura mnima e y a mxima

E: Admitir que a temperatura mnima nessa localidade no poder ser menor que um certo valor (m) e a temperatura mxima no poder ser superior a um certo valor (M). S = {(x, y) : m x y M}

2.4 Espao Amostral4/20/20152.4 Espao AmostralDiagrama em forma de rvore:

4/20/20152.4 Espao AmostralExerccio 01: Cada mensagem em um sistema digital de comunicao ser classificada dependendo de ela ser recebida dentro de um tempo especfico pelo projeto do sistema. Se trs mensagens forem classificadas, aplique o diagrama em forma de rvore para representar o espao amostral de resultados possveis.4/20/20152.4 Espao AmostralExerccio 02: Uma construtora fornece imveis com alguns opcionais. Cada imvel encomendado:

com ou sem garagem;com ou sem ar-condicionado;com uma das trs escolhas de esquadrias;com uma das quatro cores existentes. Se o espao amostral consistir no conjunto de todos os tipos possveis de imveis, qual ser o nmero de resultados no espao amostral?4/20/2015 Introduo Aleatoriedade Experimento aleatrio Espao amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos ProbabilidadeTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/20152.5 EventoDefinio: um conjunto de resultados do experimento.

Em analogia com os conjuntos, um subconjunto de S.Observao: Em particular, o espao amostral, S, e o conjunto vazio, , so eventos.S dito o evento certo e o evento impossvel.

4/20/2015Exemplo 1:E: lanar o dado e observar o nmero da face superior.S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Eventos:A: ocorrer nmero par: A = {2, 4, 6}B: ocorrer nmero impar: B = {1, 3, 5}C: ocorrer nmero mltiplo de 2 e 3: C = {6}.2.5 Evento4/20/2015Exemplo 2:E: jogar trs moedas e observar o resultado.S = {(c, c, c), (c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (k, k, k), (k, k, c), (c, k, k), (k, c, k)}Eventos: A: ocorrer pelo menos duas caras: A = {(c, c, k), (k, c, c), (c, k, c), (c, c, c)} B: ocorrer somente coroa: B = {(k, k, k)}.2.5 Evento4/20/2015Observaes:

- Sendo S um espao amostral finito com n elementos, pode- se verificar que o nmero total de eventos extrados de S dado por 2n;

- No exemplo 1 (lanamento do dado), o nmero total de eventos 26 = 64.2.5 Evento4/20/2015Observaes:

- A partir do uso das operaes com conjuntos, novos eventos podem ser formados:

a) o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem;

b) o evento que ocorre se A e B ocorrem simultaneamente;

c) ou A o evento que ocorre se A no ocorre.

2.5 Evento4/20/2015Exemplo:

E: lanar um dado e observar o resultado.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = ocorrer nmero mltiplo de 2: A = {2, 4, 6}

B = ocorrer nmero mltiplo de 3: B = {3, 6}

= {2, 3, 4, 6}

= {6}

= {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

2.5 Evento4/20/2015 Introduo Aleatoriedade Experimento aleatrio Espao amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos ProbabilidadeTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/20152.6 Eventos Mutuamente exclusivosDois eventos A e B so denominados mutuamente exclusivos se os mesmos no puderem ocorrer simultaneamente, ou seja,

Exemplo: E: lanar um dado e observar o resultado. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = ocorre nmero par A = {2, 4, 6} B = ocorrer nmero mpar B = {1, 3, 5} ; logo, A e B so mutuamente exclusivos, pois a ocorrncia de um nmero que seja par e mpar no pode ser verificada como decorrncia do mesmo evento.

4/20/2015 Introduo Aleatoriedade Experimento aleatrio Espao amostral Evento Eventos mutuamente exclusivos ProbabilidadeTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/20152.7 ProbabilidadeDefinio:

- Dado um experimento aleatrio E, sendo S o seu espao amostral, a probabilidade de um evento A ocorrer, P(A), uma funo definida em S que associa a cada evento um nmero real, satisfazendo os seguintes axiomas:

(i) 0 P(A) 1;

(ii) P(S) = 1;

(iii) Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos , ento

4/20/2015 Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaos amostrais finitos Teoria da contagem Espaos amostrais finitos equiprovveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independncia estatstica Teorema de BayesTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/20152.8 Teoremas FundamentaisT1: Se o conjunto vazio, ento .

Demonstrao:

- Seja A um evento qualquer, A e so disjuntos, pois ;

- De (iii), temos que ;

- Como , ento ou

- Logo .

4/20/2015T2: Se o complemento do evento A, ento P() = 1 P(A).

Demonstrao:

- Do diagrama, pode-se escrever .

- Como (so mutuamente exclusivos), ,

; - De (ii) 1 = P(A) + P(), - Logo P() = 1 P(A).

AS

2.8 Teoremas Fundamentais4/20/2015T3: Se , ento P(A) P(B).

Demonstrao:

- Do diagrama, pode-se escrever que .

- Como (so mutuamente exclusivos), , e P(B) P(A) 0, (de i), tem-se que P(A) P(B).

SAB

2.8 Teoremas Fundamentais4/20/2015T4: (Teorema da soma) Se A e B so dois eventos quaisquer, ento .

Demonstrao: a) Se A e B so mutuamente exclusivos , recai-se no axioma (iii);

AB

S2.8 Teoremas Fundamentais4/20/2015Demonstrao:

b) Se A e B no so mutuamente exclusivos , tem-se:

- Os eventos A e so mutuamente exclusivos; logo, pelo axioma (iii)

- Mas , B a unio dos eventos mutuamente exclusivos e ;

- Logo,

AB

S2.8 Teoremas Fundamentais4/20/2015Demonstrao:

- Substituindo o valor de na expresso anterior, tem-se:

2.8 Teoremas Fundamentais4/20/2015 Teoremas Fundamentais Probabilidades finitas dos espaos amostrais finitos Teoria da contagem Espaos amostrais finitos equiprovveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independncia estatstica Teorema de BayesTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/2015Seja S um espao amostral finito S = {a1, a2, ..., an}.

Considere-se o evento formado por um resultado simples A = {ai}.

A cada evento simples {ai} associa-se um nmero pi denominado probabilidade de {ai}, que satisfaz as condies: a) pi 0, i = 1, 2, ..., nb) p1 + p2 + ...+ pn = 1

A probabilidade de cada evento composto (mais de um elemento) definida, ento, pela soma das probabilidades dos pontos de A.2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos4/20/2015Exemplo: Trs cavalos A, B e C esto em uma corrida. Se A tem duas vezes mais probabilidades de ganhar de B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar de C. a) Quais so as probabilidades de cada um dos cavalos ganhar? b) Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar?

Soluo:P(C) = p; P(B) = 2.P(C) = 2p; P(A) = 2.P(B) = 4pComo P(A) + P(B) + P(C) = 1, ento4p + 2p + p = 1, de onde se obtm p = 1/7.2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos4/20/2015Soluo (continuao):

a) P(A) = 4/7; P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7.

b)

Do axioma (iii):

= 2/7 + 1/7 = 3/7.

2.9 Probabilidades Finitas dos S Finitos4/20/2015 Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaos amostrais finitos Teoria da contagem Espaos amostrais finitos equiprovveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independncia estatstica Teorema de BayesTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/20152.9.1 Teoria da Contagem4/20/20152.9.1 Teoria da Contagem4/20/20152.9.1 Teoria da Contagem4/20/20152.9.1 Teoria da Contagem4/20/2015 Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaos amostrais finitos Teoria da contagem Espaos amostrais finitos equiprovveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independncia estatstica Teorema de BayesTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/2015O espao amostral chama-se equiprovvel quando cada ponto amostral desse espao est associada a mesma probabilidade.

Portanto, se S contm n pontos, ento a probabilidade de cada ponto ser igual a 1/n.

Se um evento A contm r pontos, ento:2.10 Espaos Amostrais Finitos Equiprovveis

4/20/2015Freqentemente, este mtodo de avaliar a probabilidade enunciado da seguinte forma:

2.10 Espaos Amostrais Finitos Equiprovveis4/20/2015Exemplo 1: Numa escolha aleatria de uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de sair um rei? e uma carta de copas?

Soluo: Seja A = {a carta um rei} e B = {A carta de copas}

2.10 Espaos Amostrais Finitos Equiprovveis

4/20/2015Na maioria dos casos, utiliza-se os conhecimentos de anlise combinatria (Teoria de Contagem) para se obter o nmero de casos favorveis e o nmero total de casos.

Exemplo 2: De um lote de doze peas onde quatro so defeituosas, retira-se duas peas. Calcular a probabilidade:a) de ambas serem defeituosas;b) de ambas no serem defeituosas;c) de pelo menos uma ser defeituosa.

2.10 Espaos Amostrais Finitos Equiprovveis4/20/2015Solues:

a) A = {ambas so defeituosas}

2.10 Espaos Amostrais Finitos Equiprovveis4/20/2015Solues:

b) B = {ambas no so defeituosas}

2.10 Espaos Amostrais Finitos Equiprovveis

4/20/2015Solues:

c) C = {pelo menos uma defeituosa}

2.10 Espaos Amostrais Finitos Equiprovveis

4/20/2015 Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaos amostrais finitos Espaos amostrais finitos equiprovveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independncia estatstica Teorema de BayesTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/2015Considere o experimento aleatrio E: lanar um dado e observar o resultado, e o evento A = {sair o n 3}. EntoP(A) = 1/6.

Considere agora o evento B = {sair um n mpar} = {1, 3,5}, ento P(B) = 1/2.

A probabilidade de ocorrer o evento A condicionada ocorrncia do evento B, representada por P(A/B), ser P(A/B) = 1/3.2.11 Probabilidade Condicional4/20/2015Com a informao da ocorrncia do novo evento, reduz-se o espao amostral. No exemplo dado, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para S* = {1, 3, 5}, e neste espao reduzido que a probabilidade do novo evento avaliada.

Definio: Se A e B so dois eventos, a probabilidade do evento A ocorrer quando o evento B tiver ocorrido denominada probabilidade condicionada, P(A/B), dada por:

2.11 Probabilidade Condicional4/20/2015Para o exemplo apresentado, tem-se:

No caso de aplicaes mais complexas, mais prtico se utilizar a seguinte frmula:

2.11 Probabilidade Condicional4/20/2015Exemplo: No experimento do lanamento de dois dados, considere os eventos: A = {(x1,x2)|(x1 + x2) = 10} e B = {(x1,x2)| x1 > x2}, onde x1 o resultado do dado 1 e x2 o resultado do dado 2. Avalie P(A), P(B) e P(B/A).Solues:S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), A = {(6,4), (5,5), (4,6)} (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), B = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3), (5,1), (5,2), (5,3). (5,4), (5,5), (5,6), (5,4), (6,4), (6,5)} (6,1). (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A B = {(6,4)}2.11 Probabilidade Condicional4/20/2015Solues:

2.11 Probabilidade Condicional

4/20/2015 Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaos amostrais finitos Espaos amostrais finitos equiprovveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independncia estatstica Teorema de BayesTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/2015O Teorema do Produto pode ser enunciado a partir da definio de probabilidade condicional, como:

A probabilidade da ocorrncia simultnea de dois eventos, A e B, do mesmo espao amostral, igual ao produto da probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade condicional do outro em relao ao primeiro.

Assim:2.12 Teorema do Produto

4/20/2015Exemplo: Em um lote de peas contendo doze unidades onde quatro so defeituosas, duas so retiradas, uma aps a outra, sem reposio. Qual a probabilidade de que ambas no sejam defeituosas?

Soluo: A = { a primeira pea retirada boa} B = {a segunda pea retirada boa}

2.12 Teorema do Produto4/20/2015 Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaos amostrais finitos Espaos amostrais finitos equiprovveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independncia estatstica Teorema de BayesTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/2015Definio: Um evento A considerado independente de um outro evento, B, se a probabilidade de A igual a probabilidade de A condicionada a B, ou2.13 Independncia Estatstica

Se A independente de B, ento B independente de A; logo:- Do teorema do produto, pode-se afirmar que, se A e B so independentes, ento:

4/20/2015- Dados n eventos A1, A2, ..., An, diz-se que eles so independentes se o forem 2 a 2; 3 a 3, ..., n a n, isto :

2.13 Independncia Estatstica

4/20/2015Exemplo 1: Uma caixa contm doze peas, sendo quatro defeituosas; retira-se duas peas, uma aps a outra, com reposio. Calcular a probabilidade de ambas no possurem defeitos?Soluo: A = {a primeira pea no possui defeito} B = {a segunda pea no possui defeito}

- Como a primeira pea foi reposta, B no condicionado por A, ou seja, A e B so independentes; logo:

2.13 Independncia Estatstica4/20/2015Exemplo 2: Sendo S = {1, 2, 3, 4} um espao amostral equiprovvel, e A = {1, 2}, B = {1, 3} e C = {1, 4} eventos de S, verificar se estes eventos so independentes.Soluo: S = {1, 2, 3, 4}; A = {1, 2}; B = {1, 3}; C = {1, 4};

2.13 Independncia Estatstica

4/20/2015Soluo (continuao):

2.13 Independncia Estatstica4/20/2015Soluo (continuao):

- Portanto, os eventos A, B e C no so independentes. 2.13 Independncia Estatstica4/20/2015 Teoremas fundamentais Probabilidades finitas dos espaos amostrais finitos Espaos amostrais finitos equiprovveis Probabilidade condicional Teorema do produto Independncia estatstica Teorema de BayesTeoria das Probabilidades - Sumrio4/20/2015Sejam A1, A2, A3, ..., An, n eventos mutuamente exclusivos, tais que .Sejam P(Ai) as probabilidades conhecidas dos vrios eventos, e B um evento qualquer de S, tal que so conhecidas todas as probabilidades condicionais P(B/Ai). Ento, para cada i, tem-se:que o Teorema de Bayes.

2.14 Teorema de Bayes4/20/2015Exemplo: Tem-se trs urnas (u1, u2, u3), cada uma contendo bolas pretas, brancas e vermelhas, nas quantidades mostradas no quadro abaixo. De uma urna escolhida ao acaso retira-se uma bola tambm ao acaso, verificando-se que a mesma branca. Qual a probabilidade da bola escolhida ter vindo da urna 2? e da urna 3?Cores / Urnasu1u2u3P (preta)B (branca)V (vermelha)3154322332.14 Teorema de Bayes4/20/2015Soluo:

Cores / Urnasu1u2u3P (preta)B (branca)V (vermelha)3154322332.14 Teorema de Bayes4/20/2015Soluo (continuao):

2.14 Teorema de Bayes

4/20/2015Soluo (continuao):

2.14 Teorema de Bayes4/20/2015FIM4/20/2015