TURMA DO M˘RIO Álgebra Porcentagem Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b é a razão 0≠

x100

tal que: x100 b= a , e se indica: x x%

100= .

A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de

um número, significa multiplicar este número por x100

.

Exemplo: 15 % de 200 = 15 . 200 30100

= .

Potenciação Definições

0

n n 1

a R a 1 a R e n N a a . a−

∀ ∈ ⇒ =∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ =

Propriedades 1. m n m na . a a +=

2. m

m nn

a a ,aa

−= ≠ 0

n

3. m n m . n(a ) a=4. n n(a . b) a . b=5. (a : b)n = an : bn , b 0≠

6. a – n = n

1 , a 0a

≠

Nota: Em geral ( ) nnm ma a≠

Em geral ( ) n n na b a b+ ≠ + Radiciação Propriedades 1. n na . b a . b= n 2. n n na : b a : b , b 0= ≠

3. ( )m mnn a a=

4. m n . mn a a=

5. m

mn na a=

6. n . p m . p mna a=

www.turmadomario.com.br -1

Produtos notáveis

(a + b) � (a – b) = a2 - b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2 � (ab + ac + bc)

Fatoração

ab + ac = a � (b + c)

ab + ac + db + dc = a � (b + c) + d � (b + c) = (b +c) � (a + d)

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

ax2 + bx + c = a.(x – �1) � (x – �2), onde �1 e �2 são as raízes de ax2 + bx + c = 0.

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

a3 + b3 = (a + b) � (a2 – ab + b2)

a3 – b3 = (a – b) � (a2 + ab + b2)

a2 + b2 +c2 + 2 � (ab + ac + bc) = (a + b + c)2

Números naturais

Números primos: Um número natural e maior que 1 é primo se ele tiver apenas doisdivisores naturais distintos: 1 e ele mesmo.

Números primos entre si: Dois números naturais são primos entre si se o único divisornatural comum entre eles for 1.

Quantidade de divisores naturais de um número natural

Se n = ap.bq.cr.ds..., então n tem (p+1) � (q+1) � (r+1)... divisores positivos, sendo n umnúmero natural e a, b, c, d, ... fatores primos do número n.

Seqüências

Definições

Seqüência real é toda função f : I � R, onde I = N* ou I = {1, 2, 3, ... ..., n}Se I = N*, a seqüência é chamada infinita.Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a seqüência é chamada finita.

2

Progressão Aritmética (PA)

Definição

Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica onde, a partir do primeiro termoencontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razão da PA.

Conseqüência da definição: r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... ... = a n+1 – a n = r

Classificação das PA´s

Uma PA de números reais pode ser:

I.crescente: (razão positiva): r >0 � a n+1 > a nII.decrescente (razão negativa): r < 0 � a n+1 < a nIII. constante (razão nula): r = 0 � a n+1 = a n

Fórmula do termo geral de uma PA

Termos eqüidistantes em PA

Na PA genérica: PA(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), tem-se:

Soma dos n primeiros termos de uma PA

Seja a PA(a1, a2, a3,... ..., an,......) , a soma de seus n primeiros termos é dada por:

3

Seja a PA(a1, a2, a3, ... ... an). Então:

Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p(ap), poderemos utilizar a regra:

an = a1 + (n – 1) � r, n� N*

an = ap + (n – p) � r, n,p� N*

aa a

2pp k p k�

com p, k� IN*

S(a a ) n

2n1 n� �

Progressão Geométrica (PG)

Definição

Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, éigual ao produto do termo anterior por uma constante q, que é chamada razão da P.G.

Conseqüência da definição:

Se an � 0, então q =aan 1

n

; ou seja, encontramos a razão da PG dividindo um termo

qualquer pelo seu antecessor.

Classificação das PG´s:

Uma PG pode ser:

I.Crescente: quando an+1 > anExemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2

II.Decrescente: quando an+1 < anExemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/3

III.Constante: quando an+1 = anExemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1

IV.Alternante: quando a1 � 0 e q < 0Exemplo: PG(2, – 4, 8, – 16, 32, ...), a1 = 2 e q = –2

V. Não decrescente: quando a1 < 0 e q = 0Exemplo: PG(– 2, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = – 2 e q = 0

VI.Não crescente: quando a1 > 0 e q = 0Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = 5 e q = 0

Fórmula do termo geral da PG

Termos eqüidistantes em PG

Na PG genérica: PG(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), então:

Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn)

4

Seja a PG genérica: PG(a1, a2, a3, a4, ......). Assim:

Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p

(ap), poderemos utilizar a regra:

an = a1 �qn – 1, n� N*

an = ap �qn – p, n,p� N*

(ap)2 = (ap – k) � (ap + k), p,k� N*

Seja a PG(a1, a2, a3, ..., an, ..., .... ) indicaremos por Pn o produto de seus n primeiros

termos. Assim: Pn = a1n �q

n(n 1)2

�

ou Pn = (a1 � an)n2

Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn)

Soma dos termos de uma PG infinita (S)

Seja a P.G. = (a1, a2, a3, . . . , an, . . . ) de razão q e a soma de seus infinitos termos

Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (série)

Quando lim S = Sn

n��

existe e é finito, dizemos que a série converge para S.

Quando esse limite não existe ou não é finito dizemos que a série diverge (não se pode

determinar tal soma). Se – 1 < q < 1, pode-se demonstrar que: lim S = Sn

n��

=a

1 q1

Função Exponencial

f(x) = ax ; a > 0 e a � 1 Imf = IR *

Df = IR

Propriedades de potência

1. am . an = am + n

2. am : an = am – n , a � 0

3. (am)n = am .n

4. amn = am n, n� IN / n >1

5. a– n =1

an, a � 0

5

0

1

x

a > 1

função crescente

0 x

0 < a < 1

função decrescente

y y

Sn =a (q 1)

q 11

n�

Sn = n � a1

Seja (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma PG de razão q e indiquemos por Sn a soma de seus nprimeiros termos. Assim:

Se a PG não for constante, ou seja q � 1 teremos:

Se a PG for constante, ou seja q = 1 teremos:

Equação exponencial

af(x) = ag(x) � f(x) = g(x)

Inequação exponencial

af(x) > ag(x) � f(x) > g(x), se a >1

af(x) > ag(x) � f(x) < g(x), se 0 < a < 1

Logaritmo

Definição

logba = x � a = bx com a > 0, 0 < b � 1

Propriedade de logaritmo

1. logc (a.b) = logca + logcb; a > 0, b > 0, 0 < c � 1

2. logcab

��

��� = logca – logcb; a > 0, b > 0, 0 < c � 1

3. logc am = m . logca; a > 0, 0 < c � 1 e m� IR

4. log acm =

1m

. logca; a > 0, 0 < c � 1 e m� IR*

Função Logarítmica

f(x) = logax , a > 0 e a � 1 Imf = IRDf = IR

*

6

0 01 1x x

a > 1

função crescente

0 < a < 1

função decrescente

y y

Geometria Plana

Relações métricas no triângulo retângulo

Relações métricas no círculo

PA � PB = PC � PD PA � PB = PC � PD (PT)2 = PA � PB

Lei dos

Lei dos cossenos

7

A

BC

D

P

T

B

A

P

A

BC

DP

h

m n

a

b c

h2=m � n b � c=a � h

b2=a � m a2=b2 + c2 (Pitágoras).

c2=a � n

asen

bsen

csen

2R� � �

� � �

a2 = b2 + c2 – 2 � b � c �cos �

b2 = a2 + c2 – 2 � a � c �cos �

c2 = a2 + b2 – 2 � a � b �cos �

Teorema de Tales

a1 // a2 // a3 // .....

Teorema da bissetriz interna

Teorema da bissetriz externa

Semelhança de triângulos

ax

by

cz

Hh

k� � � �Área ABC

Área PQRk2�

��

8

ABA'B'

BCB'C'

CDC'D'

ACA'C'

ADA'D'

� � � �

x y

b c

S

A

bx

cy

�

c

y

x

b c

C SB

A

bx

cy

�

bc

A

aB C

H yz

P

xQ R

h

Arcos e ângulos

� = a � �a2

� �a+b

2

� �a – b

2� �

a2

Razões trigonométricas

Comprimento da circunferência

Base média de triângulo

9

b

senba

� � senca

� �

cosca

� � cosba

� �

tgbc

� � tgcb

� �

R

C 2� �R

MN�

// BC�

MN =BC2

Base média de trapézio

Baricentro de triângulo

Polígonos convexos

Sendo n = número de lados;

d = número de diagonais;

Si = soma dos ângulos internos e

Se = soma dos ângulos externos,

temos: d=n(n – 3)

2Si = (n – 2) � 180ºe Se = 360º

Áreas

Retângulo Quadrado Paralelogramo

Triângulo Trapézio

10

MN�

// AB�

MN =AB+CD

2

Losango 1 Losango 2

Fórmulas especiais para área do triângulo

A3

4�

�2

Ab c2

��

A p(p – a) (p – b)(p – c)� �

em que pa b c

2�

A12

a b sen� � � � � A = r p Aa b c

4R�

� �

pa b c

2�

Círculo

Setor circular

AR2

�� �� �360º

AR2

���2

AR

���

2� em radianos

11

C

B A(AC) (BD)

Los ��2

R

A R2� ��

Análise Combinatória / Probabilidades

Número binomial:n

p=

n!p!(n – p)!

= C =combinação de n objeto

n, p

���

�

���

s distintos

agrupados de p em p

���

�

���

Teorema binomial: (a + b)n =n

0

���

�

��� anb0 +

n

1

���

�

��� an – 1b1 +. . .+

n

n

���

�

��� a0bn =

n

ia b

i o

nn–i i

���

�

���

��

Arranjo: An, p =n!

(n – p)!� n objetos distintos seqüenciados (enfileirados) de p em p

Permutação de n objetos distintos: Pn = n!

Probabilidade de ocorrer um evento =n.o de elementos do conjunto eventon.o de elementos do espaço amostral

=n(A)n(E)

= P(A)

probabilidade de ocorrer

o evento Ae em se

���

�

��� guida

ocorrer o

evento B=

���

�

���

=probabilidade de

ocorrer o evento Ax

prob

���

�

���

abilidade de

ocorrer o evento B

que A ocorsabendo reu

�

���

�

�

���� Teorema da multiplicação

Exemplo:

Conjuntos, Funções e Inequações

Relação

Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, chamamos relação (binária) de A e B aqualquer subconjunto do produto cartesiano ( A x B = {(x; y) / x� A � x� B}).

Definição

Uma relação f de A em B é uma função de A em B, se, para todo x� A, existe um único y� B tal que (x; y)� f. (Indica-se: f : A � B).

12

Permutação de elementos repetidos: Pn� � �, , =

n!! ! !� � �

, � objetos iguais entre si� objetos iguais entre si� objetos iguais entre si

2 bolas azuis5 bolas verdes

Ptirar uma bola azul e em

seguida uma bola azul

���

�

��� =

27

16

�

chance de retirar umabola azul sabendo quejá saiu uma azul

Exemplo Contra-exemplo

Tipos de função

Função crescente e decrescente

� Uma função f é crescente em A � Df � (x1 < x2 � f(x1) < f(x2), � x1, x2� A).

� Uma função f é decrescente em A � Df � (x1 < x2 � f(x1) > f(x2), � x1, x2� A).

Função injetora, sobrejetora e bijetora

� Uma f : A � B é injetora se todos os elementos distintos em A têm imagens distintas emB (� x1, x2� A, x1 � x2 � f(x1) � f(x2)).

� Uma f : A � B é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens de elementos de A(Im(f) = CD(f) ou � y� B, � x� A / f(x) = y)

� Uma função de f : A � B é bijetora se é injetora e sobrejetora.

Exemplos:

Função par e ímpar

� Uma função f : A � B é par � � x� A, f(x) = f( – x).

� Uma função f : A � B é ímpar � � x� A, f(x) = – f( – x).

Função periódica

� Uma função f : A � B é periódica de período p � � x� A, f(x + p) = f(x), p > 0.

Função composta

� Dadas duas funções f e g, podemos obter uma outra função fog, tal quefog(x) = f(g(x)), chamada função composta de f com g.

13

1

2

3

4

5

A Bf

f é sobrejetora

e não é injetora

3

4

6

1

2

3

A Bf

f é bijetora

1

2

3

4

5

6

A Bf

f não é injetora

e nem sobrejetora

1

3

5

4

3

2

1

A Bf

f é injetora

e não é sobrejetora

1

2

5

1

2

3

3

4

6

4

5

6

A AB Bf g

f é função g não é função

� Domínio de f = D(f) = A = {1, 2, 5}

� Conjunto Imagem de f = Im(f) = {3, 4}

� Contradomínio = CD(f) = B = {3, 4, 6}

� 4 é imagem de 5, isto é, 4 = f(5)

� 4 é imagem de 2, isto é, 4 = f(2)

Função inversa

� Denomina-se inversa da função bijetora y = f(x), f : A � B a função f– 1: B � A, tal quef–1 (y) = x.

Observação:Para se obter a inversa de uma função f (bijetora) definida por uma sentença matemáticay = f(x)a. troca-se x por y e y por x;b. coloca-se o novo y em função do novo x.

Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

Propriedades dos determinantes

a. det(At) = det(A).

b. Se uma linha (ou coluna) é formada só de zeros, o determinante é igual a zero.

c. Quando trocamos de lugar duas linhas (ou colunas) paralelas, o determinante ficamultiplicado por –1.

d. Se duas linhas (ou colunas) paralelas são iguais (ou proporcionais), o determinante éigual a zero.

e. Se os elementos de uma linha (ou coluna) apresentam um fator comum k, este pode sercolocado em “evidência”.

f. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então det(k.A) = kn.det(A)

g. Teorema de Binet: det(A.B) = det(A).det(B)Atenção: em geral, det(A+B) � det(A) + det(B)

h. Teorema de Jacobi (importante para obtenção de zeros). O determinante de umamatriz não se altera quando somamos a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna)paralela multiplicada por uma constante.

i. Matriz Triangular: A

1 0 0 0

–3 4 0 0

2 3 – 5 0

5 6 7 8

det(A) 1 4(–5) 8�

�

�

!

"

####

� � � �

Multiplicação de matrizes

a b

c d

x y

z w=

ax+bz ay+bw

cx+dz cy+dw

���

�

��� �

���

�

���

���

�

���

a. Todo sistema de equações lineares apresenta apenas uma solução, ou seja, é umsistema possível e determinado (s. p. d.), quando D � 0, onde D é o determinante damatriz dos coeficientes de tal sistema.

b. Para os casos onde D = 0, para analisar o sistema, ou seja, dizer se o mesmo éimpossível (s. i.) ou indeterminado (s. p. i.), deve-se escalonar tal sistema, eliminandoordenadamente as incógnitas das equações.A equação, na incógnita x, ax = b tem apenas uma solução para a � 0; tem infinitassoluções para a = 0 e b = 0 e não tem solução para a = 0 e b � 0.

14

Trigonometria

Relações Fundamentais Conseqüências xk2

� ��

���

�

sen2x + cos2x = 1, � �x R cotgx1

tgx�

tgxsenxcosx

x2

k� � ��

���

�� 1 + tg2x = sec2x

cotgxcosxsenx

x k� �( �$ 1 + cotg2x = cossec2x

secx1

cosxx

2k� �

��

���

�� cos x

1

1+ tg x2

2�

cossecx1

senxx k� �( )� sen x

tg x

1+ tg x2

2

2�

Fórmulas de adição

cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b

cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b

sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a

tg(a b)tg a tg b

1– tg a tg b �

�

tg(a b)tg a tg b

1+ tg a tg b–

–�

�

Fórmulas de multiplicação

15

Arcos duplos

sen 2a = 2 sen a cos a

cos 2a =

cos a – sen a

ou

2cos a – 1

ou

2 2

2

1– 2sen a2

%

&

'''

(

'''

tg 2a =2 tg a

1– tg a2

Arcos Triplos

sen 3a = 3 sen a – 4 sen3 a

cos 3a = 4 cos3 a – 3 cos a

tg 3a =3 tga – tg a

1– 3tg a

3

2

Fórmulas de divisão

senx2

=1– cos x

2) cos

x2

=1+cos x

2) tg

x2

=1– cos x1+cos x

)

Fórmulas de transformação em produto

cos p+cos q= 2 cosp+q

2cos

p – q2

cos p – cos q= –2 senp+q

� �

�2

senp – q

2

sen p+sen q= 2 senp+q

2cos

p – q2

sen p – sen q=

�

� �

2 senp – q

2cos

p+q2

tg p+ tg q=sen(p+q)

cos p cos q

tg p

� �

�

– tg q=sen(p – q)

cos p cos q�

Equações trigonométricas fundamentais

sen � = sen �� � = �+ 2k� ou � = (� – �) + 2k�

cos � = cos �� � = )� + 2k�

tg � = tg �� � = �+ k�

Funções circulares inversas

y = arc senx � seny = x e –�2

* y *�2

y = arc cosx � cosy = x e 0 * y * �

y = arc tgx � tgy = x e –�2

< y <�2

16

Geometria Espacial

� O volume de um prisma e o de um cilindro (retos ou oblíquos) é igual ao produto daárea da base (B) pela altura (H). E o volume de uma pirâmide e o de um cone reto (ouoblíquo) é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura.

� Planificando a superfície lateral de um cilindro reto de raio R e altura H obtemos umretângulo de lados 2�R e H. Então a área lateral (AL) do cilindro reto é:

� Planificando a superfície lateral de um cone reto de raio R e geratriz g obtemos um setorcircular de raio g e arco 2�R. Então a área lateral do cone reto é.

� O volume V e a área A de uma esfera de raio R são dados por:

17

B

H H

R

V = BH

B

H Hg

R

V = BH13—

AL = Asetor � AL =2

2�R g�

� AL = �Rg

Sendo � a medida, em graus, do setor,temos:

Asetor =2

2�R g�

=�

360º�g2 � R =

�360º

g

R A = 4 �R2 e V =43

�R3

Números Complexos

Forma algébrica

Nomenclatura

z = a + bi (a, b� IR)

i = unidade imaginária

a = Re (z) = parte real de z

b= Im (z) = coeficiente da parte imaginária de z

Exemplos de números complexos

z = 3i = 0 + 3i = número imaginário puro.

z = – 6 = – 6 + 0i = número real.

z = a + bi (b � 0) = número imaginário ou número complexo não real.

Potências inteiras de i (ik, k� ZZ)

i0 = 1 e i4k = 1

i1 = i e i4k+1 = i4k . i1 = i

i2 = – 1 e i4k+2 = i4k . i2 = – i

i3 = – i e i4k+3 = i4k . i3 = – i

Conjugado de z = a + bi (a, b� IR)

z = a – bi

Propriedades

1. z + w = z + w

2. z . w = z . w

3.zw

=z

w ��

���

4. z = z )n n( (n� ZZ)

5. ( z ) = z

Produtos e divisões notáveis

1. (1 + i)2 = 2i

2. (1 – i)2 = – 2i

3. (1+ i)(1 – i) = 2

4.1+i1– i

= i

5.1– i1+i

= – i

18

Igualdade na forma algébrica

Representação no plano de Argand-Gauss

Propriedades

1. | z |2 = z . z

2. |z . w | = | z | . | w |

3.zw

=z

w(w 0)�

4. | z n | = | z | n , n� ZZ

5. | z + w | * | z | + | w |

6. | z | = | z |

Forma trigonométrica de z � C*

z = a + bi = | z | (cos isen )+ +

| z | = a b2 2 e

cos =az

sen =bz

+

+

%

&''

(''

Igualdade na forma trigonométrica

|z|( cos +i sen

z

+ + $� ���� ����

= |w|( cos +i sen

w

� � $� ���� ����

19

a + bi = c + di � a = c e b = d (a, b, c, d� IR)

z = a + bi = (a, b) = P (a, b� IR)

P = afixo de z

dop = |z| = a +b2 2 = módulo de z

+ + k . 2� = arg(z) = argumento de z

(0 * + < 2�)

+ = argumento principal de z

0

z = w � |z| = |w| e+ = � + k . 2�

k� ZZ

Operações na forma trigonométrica

Sejam z = |z| (cos isen )+ +

z1 = |z1| (cos isen )+ +1 1

z2 = |z2| (cos isen )+ +2 2

� Multiplicação

z1 . z2 = |z1| . |z2| . [cos (+1 + +2) + isen (+1 + +2)]

� Divisão

zz

1

2

=|z

|z1

2

|

|[cos (+1 – +2) + isen (+1 – +2)]

� Potenciação

zn = |z|n . [cos (n +) + isen (n+)]

� Radiciação

z = w = z cosn

+kn

+i senn

+kn

n Ck n + � + �

� ��

��� �

��

���

�

�

2 2 !

"# , (k = 0, 1, 2, . . . , n – 1)

Propriedades

1. w0 + w1 + w2 + . . . + wn – 1 = 0

2. A raiz enésima de z divide a circunferência em n partes iguais.

3. O raio dessa circunferência é | z |n .

4. O “ponto de partida” (wo) é o arco+n

e o “pulo’ de uma raiz para outra é de2�n

.

Equação binômia em C

axn + b = 0 (a � 0)

axn = – b � xn =–ba

� x =–ba

n

C

= wk , (k = 0, 1, 2, . . . , n – 1)

Geometria Analítica

Distâncias

De dois pontos A e B

d (x – x ) (y – y )AB B A2

B A2�

Do ponto P à reta (r) ax + by + c = 0

d|ax +by +c|

a +b

P P

2 2�

20

Pontos especiais

a.

M divide AB na razãoAMMB

= r

r =x – xx x

=y – yy y

M A

B M

M A

B M– –

Se M é ponto médio de AB, M =x + x y + yA B A B

2 2,

��

�

��

b. Ponto do eixo x: A = (a, 0)

Ponto do eixo y: B = (0, b)

Ponto da bissetriz dos quadrantes pares: C = (k, k)

Ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares: D = (k, – k)

Baricentro do �ABC: G =x x x

3y y y

3A B C A B C

��

�

��,

Área do �ABC

S =|D|

2onde D =

x y 1

x y 1

x y 1

A A

B B

C C

Observação: Se A, B e C são colineares, D = 0.

Equação de circunferência

(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2

Centro C e raio r, equação reduzida.

Equação de reta

� Geral: ax + by + c = 0 (r)

Conhecendo 2 pontos A e B de r:

x y 1

x y 1

x y 1

A A

B B = 0

� Reduzida: y = mx + k

21

m... coeficiente angular de r

k.... coeficiente linear de r

m = tg� (não existe, se m é vertical)

Conhecendo 2 pontos A e B da reta, my – yx – x

B A

B A

�

Paralelas / perpendiculares

� r // s � mr = ms

Exemplos:

Paralela a y = 2x – 3 é y = 2x + k

Paralela a 2x + 5y – 3 é 2x + 5y + k = 0

� r , s �mr . ms = – 1

Exemplos:

Perpendicular a y =23x – 3 é y = –

32x + k

Perpendicular a 2x + 5y – 6 = 0 é 5x – 2y + k = 0

Observação:

Se P pertence a ax + by + c = 0, então axP + byP + c = 0.

22