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QUESTÕES – ANÁLISE COMBINATÓRIA

1)De quantos modos 3 pessoas podem se sentar num sofá de 5 lugares? a)15 b)30 c)60 d)45 Solução: As três pessoas são P={p1,p2,p3} lugares são L={l1,l2,l3} P1 pode escolher 5 lugares; P2 pode escolher 4 lugares; P3 pode escolher 3 lugares; Logo há 5x4x3 = 60 maneiras diferentes Resposta: alternativa c. 2)(UNICAMP-SP)Sabendo que números de telefone não começam com zero nem com 1, o número de telefones que podem ser formados com 7 algarismos é: a) 610.8 b)800.000 c) 610.9 d)NRA Solução: Como o 1º numero não pode ser nem zero e nem 1, só podemos escolher 8 algarismos para iniciar o numero, e 10 para cada uma das demais posições. Veja: ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ 8 10 10 10 10 10 10 Resposta: 610.8 números. Alternativa ª 3)(FATEC-SP) Dispomos de 4 cores diferentes entre si, todas elas devem ser usadas para pintar as 5 letras da palavra FATEC, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos pode ser feito isso? a)4 b)36 c)28 d)24 Solução: A e E serão pintadas com a mesma cor. Assim temos: F AE T C 4 x3 x 2x1 = 24 maneiras Resposta: alternativa d.

2

4)(UFBA) Existem 5 ruas ligando os supermercados s1 e s2 e 3 ruas ligando os supermercados s2 e s3. Para ir de s1 a s3 passando por s2, o número de trajetos diferentes que podem ser utilizados é: a)15 b)10 c)8 d)5 Solução: veja o esquema: S1 S2 S3 Para ir de s1 a s2, podemos escolher 5 ruas e de s2 a s3 podemos escolher 3 ruas. Assim temos 5x3 = 15 trajetos diferentes Resposta: Alternativa d. 5)(Mack – SP) com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Entre eles são divisíveis por 5: a)20 números b)30 números c)60 números d)120 números Solução: Para que esses números sejam divisíveis por 5, com os números dados, eles só podem terminar com 5. ____ ____ ____ 5 5 x 4 x 3 x 1 Assim podemos escolher 5 algarismos, 4 algarismos e 3 algarismos para preencher as outras posições do número e a última posição deve ser o algarismo 5. Resposta: alternativa c. 6)(FUVEST – SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam com vogal é: a)24 b)48 c)90 d)120 Solução: Veja o esquema 2x P4 1 Para a 1ª letra dos anagramas podemos escolher 2 das vogais da palavra. E para a última letra dos anagramas, só temos uma vogal para escolher, visto que uma já foi utilizada na 1ª letra. Para as demais posições temos P4 = 4x3x2x1 =24 x 2 = 48 Resposta: alternativa b.

3

7)Da palavra ADESIVO, os anagramas que podemos formar com as letras SI juntas e nessa ordem são: a)310 b)720 c)240 d)180 Solução: Veja o esquema 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 P6 = 6X5x4x3x2x1 =720 Resposta: alternativa b. 8)(FEI-SP) O número de anagramas formados com as letras da palavra REPÚPLICA, nos quais as vogais se mantém nas respectivas posições é: a)360 b)240 c)120 d)720 Solução: Devemos permutar apenas as letras (R,P,B,L,C). veja o esquema: 5 x 1 x 4 x 1 x 3 x 2 x1 x 1 x 1 = 120 Resposta: alternativa c. 9)(FAAP-SP) Num hospital existem 3 portas de entrada que dão acesso a um amplo saguão no qual existem 5 elevadores. Um visitante deve se dirigir ao 6 º andar utilizando – se de um dos elevadores. O número de maneiras de ele se dirigir ao 6º andar é: a)8 b)15 c)30 d)20 Solução: Ele pode entrar no hospital por 3 portas e pode escolher um dos 5 elevadores. Portanto ele poderá fazer isso de 3x5 = 15 maneiras distintas Resposta: alternativa b. 10)Uma companhia de móveis tem dez desenhos para mesas e quatro desenhos para cadeiras.Quantos pares de desenhos de mesa e cadeira pode a companhia formar? a)20 b)30 c)40 d)NRA Solução: Mesa Cadeira 10 x 4 = 40 Ela pode escolher 10 tipos de desenhos de mesa e para desenho de cadeiras, pode escolher 4. portanto 10 x 4 = 40 Resposta: alternativa c

A D E SI V O

E U I

4

11)A quantidade de números de três algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 1,2,3,4 e 5 é: a)20 b)60 c)40 d)10 Solução: • para o 1º digito podemos escolher qualquer um dos 5 algarismos; • para o 2º digito podemos escolher 4 algarismos, um já foi escolhido como 1º

digito; • para o 3º digito podemos escolher 3 algarismos. Portanto: 5x4x3 =60 números distintos Resposta: alternativa b. 12)(FGV-SP)Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. O número de maneiras em que esta pessoa poderá fazer o pedido é: a)30 b)60 c)120 d)240 Solução: Poderá escolher 2 saladas

Poderá escolher 4 tipos de carne

Poderá Escolher 5 tipos De bebida

3 sobremesas

2 4 5 3 Logo: 2x4x5x3=120 maneiras diferentes Resposta: alternativa c. 13)Quatro times de futebol (Vasco, Atlético, Corinthias e Internacional) disputam um torneio. As possibilidades de classificação para os três primeiros lugares é: a)12 b)24 c)48 d)60 Solução: Temos as seguintes possibilidades:

1º lugar 2º lugar 3º lugar 4 3 2

Logo: 4 x 3 x 2 = 24 Resposta: alternativa b.

5

14)(FEI-SP) Formados e dispostos em ordem crescente, os números que se obtém, permutando-se os algarismos 2,3,4,8 e 9. O número 43892 ocupa o: a)40º lugar b)52º lugar c)54º lugar d)58º lugar Solução: Vamos colocar as permutações em ordem crescente: 2___ ___ ___ ___ P4 = 4x3x2x1=24 3___ ___ ___ ___ P4 = 4x3x2x1=24 4 2 ___ ___ ___ P3 = 3x2x1 = 6 4 3 2 ___ ___ P2 = 2x1 =2 4 3 8 2 ___ P1 = 1 4 3 8 9 2 Número procurado posição 58ª posição resposta: alternativa d. 15)(EEM-SP) De quantos modos podemos ordenar 2 livros de Matemática, 3 de Português e 4 de Física, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem juntos e , além disso, os de Física fiquem, entre si, sempre nessa ordem? a)36 b)72 c)144 d)16 Solução: Veja o esquema: M1M2 P1P2P3 F1F2F3F4 P2 P3 Não permutar 1º Permutação da posição do 3 tipos de livros (P3) 1º Permutação dos dois livros de Matemática (P2) 3º Permutação dos três livros de Português (P3) logo pelo princípio fundamental da contagem temos P3 x P3 xP2 = 3x2x1x3x2x1x2x1 =72 Observação: Os livros de Física não foram permutados pois devem estar sempre na mesma ordem. Resposta: alternativa b. 16)(FEI-SP) Num carro com 5 lugares e mais o lugar do motorista viajam 6 pessoas, das quais 3 sabem dirigir. O número de maneiras que se podem dispor essas 6 pessoas é: a)60 b)120 c)180 d)360 Solução: Veja Motorista lugar 1 Lugar2 Lugar3 Lugar 4 Lugar5 Lugar 6

3 5 4 3 2 1 3 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =360 maneiras resposta: alternativa d.

6

17)(FAAP-SP)Em um campeonato de dois turnos, em que devem jogar 12 equipes de futebol, o número total de jogos será: a)66 b)132 c)164 d)128 Solução: Trata-se de combinação pois a ordem não influi: se jogarem os times A e B ou B e A, trata-se de um mesmo jogo. Assim temos:

6611.62

11.12

!10.1.2

!10.11.12

!10!.2

!12

)!212(!2

!122,12 =====

−=C jogos

como são dois turnos: 2 x 66 = 132 resposta: alternativa b. 18)(UFC-CE)A quantidade de números pares de 4 algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 1,3,4,5,7,8 e 9 é: a)20 c)60 c)240 d)360 Solução: Os números devem terminar em 2, 4 ou 8 ,assim temos: ____ ____ ____ 2 6 x 5 x 4 x 1 = 120 ____ ____ ____ 4 6 x 5 x 4 x 1 = 120 ____ ____ ____ 8 6 x 5 x 4 x 1 = 120 Total 360 números. Resposta: alternativa d 19)(AMAM-RJ) As Diretorias de 4 membros que podemos formar com 10 sócios de uma empresa são: a)540 b)40 c)20 d)210 Solução: Trata-se de combinação pois a ordem influi nas diretorias:

210!6.1.2.3.4

!6.7.8.9.10

)!410(!4

!104,10 ==

−=C

Resposta: alternativa d.

7

20)(FGV-SP) Quantos são os números maiores que 400, pares de três algarismos que podem ser formados com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7 e 8? a)620 b)640 c)160 d)248 Solução: Os números só podem começar com (5,6,7 ou 8) pois devem ser maiores que 400. Logo: _____ _____ _____ 5 x 8 x 4 = 5.8.4 = 160 Explicação: • para o 1º digito eu posso escolher 5 dos números {4,5,6,7,8}; • para o 2º digito eu posso escolher qualquer um dos 8 algarismos; • para o 3º digito eu posso escolher 4 dos algarismos {2,4,6 ou 8} pois o número

formado deve ser par. 21)(UEMT) Sobre uma circunferência marcam-se 7 pontos, distintos 2 a 2. Calcule o número de triângulos que podemos formar com vértice nos pontos marcados. a)3 b)7 c)30 d)35 Solução: Trata-se de combinação pois seja um triângulo (ABC) e (BAC) evidentemente é o mesmo triângulo. A ordem não influi(combinação)

35!4.1.2.3

!4.5.6.7

)!37(!3

!73,7 ==

−=C triângulos

Resposta: alternativa d. 22)(FCC-BA, adaptado) O número de anagramas da palavra ENIGMA, que terminam com A é: a)120 b)60 c)30 d)15 Solução: Fixamos a letra A no final e permutamos as outras 5 letras: ____ ____ ____ ____ ____ A 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 anagramas Resposta: Alternativa a.

8

23)Júlio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor em cada letra. O número de maneiras de Júlio fazer isso, se ele dispõe de 8 cores de tinta é: a)1280 b)3340 c)6720 d)1620 Solução: Trata-se de um arranjo simples: ( a ordem em que as letras são pintadas com cada cor, forma uma pintura diferente)

67204.5.6.7.8!3

!3.4.5.6.7.8

)!58(

!85,8 ==

−=A

Resposta: alternativa c. 24)Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 lugares vagos. O número de maneiras diferentes que essas 2 pessoas podem ocupar esses lugares é: a)21 b)84 c)120 d)42 Solução: Trata-se de arranjos simples

426.7!5

!5.6.7

)!27(

!72,7 ===

−=A maneiras distintas

Resposta: alternativa d. 25)(OSEC-SP) O número de maneiras diferentes segundo as quais 1 casal, 2 filhos e 1 filha podem sentar-se em torno de uma mesa circular, com a condição de que os 2 filhos não fiquem juntos é: a)6 b)12 c)24 d)60 Solução: Com os dois filhos separados e em qualquer posição, fazemos a permutação deles P2 e a permutação do casal e a filha P3. Logo as maneiras deles se sentarem é: P2.P3 = 2.1.3.2.1 = 12 Resposta: alternativa b. 26)Num grande prêmio de fórmula 1, participarão 20 pilotos e somente os 6 primeiros marcam pontos. As possibilidades de classificação nos 6 primeiros lugares é:

a)!14

!20 b)

!5

!10 c)50 d)72

Solução: Trata-se de arranjo simples.

!14

!20

)!620(

!206,20 =

−=A

Resposta: Alternativa A

9

27)Com 10 lâmpadas num galpão, o número de grupos diferentes formados por 4 lâmpadas acesas é: a)110 b)210 c)240 d)40 Solução: As lâmpadas acesas {l1,l2,l3,l4} é o mesmo {l4,l3,l2,l1} a ordem não influi. (combinação simples)

2101.2.3.4

7.8.9.10

!6!.4

!6.7.8.9.10

)!410(!4

!104,10 ===

−=C

resposta: alternativa b. 28)(FATEC-SP) Há 12 inscritos em um campeonato de boxe. O número total de lutas que podem ser realizadas entre os inscritos é: a)12 b)24 c)33 d)66 Solução: A ordem influi, portanto é uma combinação simples:

662

11.12

!10.1.2

!10.11.12

)!212(!2

!122,12 ===

−=C lutas

resposta: alternativa d. 29)(Mack-SP) Se uma sala tem 8 portas, então o número de maneiras distintas de se entrar nela e sair da mesma por uma porta diferente é: a)8 b)16 c)40 d)56 Solução: Para entrar temos 8 opções, pois são 8 portas. Como não podemos sair pela mesma porta que entramos, temos 7 opções para sair da sala. Portanto temos: 8x7 = 56 maneiras distintas. Resposta: alternativa d. 30)Um conjunto A tem 5 elementos. O número de subconjuntos de A com 3 elementos é: a)15 b)10 c)30 d)45 Solução: Como a ordem dos elementos não altera um conjunto, os agrupamentos deste exercício são combinações, logo:

106

60

6

3.4.5

!2.1.2.3

!2.3.4.5

)!35(!3

!53,5 ====

−=C subconjuntos

resposta: alternativa b.