SERVIO PBLICO FEDERALINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO TCNICA,TECNOLGICA SUL-RIO-GRANDENSECOORDENADORIA DE CINCIAS DA NATUREZA,MATEMTICA E SUAS TECNOLOGIASCLCULO AVANADOODAIR ANTONIO NOSKOSKIPELOTAS2010EMENTASrie de Fourier contnuae discreta. Integral de Fourier. Transformadade Fourier contnuaediscreta. Funo gama. Transformada inversa de Fourier. Integral de convoluo. Transformada deLaplace. Transformada inversa de Laplace.PROGRAMAUNIDADE 1: SRIES DE FOURIER1.1- Sries trigonomtricas1.2- Sries de Fourier1.3- Convergncia de sries de Fourier1.4- Generalizaes de sries de Fourier1.5- Srie de Fourier de senos e cossenos1.6- Srie de Fourier para qualquer perodo pUNIDADE 2: FUNES ORTOGONAIS E TRANSFORMADA DE FOURIER2.1- Sries de funes ortogonais2.2- Forma complexa das sries de Fourier2.3- Identidade de Parseval para as sries de Fourier2.4- Transformada nita de Fourier2.5- A integral de Fourier2.6- Transformada de Fourier2.7- Teorema da convoluo2.8- Identidade de Parseval para integrais de FourierUNIDADE 3: A TRANSFORMADA DE LAPLACE3.1- Denio da transformada de Laplace3.2- Transformada de Laplace de algumas funes elementares3.3- Algumas propriedades importantes da transformada de Laplace3.3.1- Propriedade da linearidade3.3.2- Primeira propriedade de translao ou deslocamento3.3.3- Segunda propriedade de translao ou deslocamento3.3.4- Propriedade de mudana de escala3.3.5- Transformadas de Laplace de derivadas3.3.6- Transfromadas de Laplace de integrais3.3.7- Multiplicao por t3.3.8- Diviso por t3.3.9- Funes peridicas3.4- Funes especiais3.5- Transformada de Laplace de funes especiais3.6- Relao entre transformada de Fourier e de LaplaceUNIDADE 4: A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE4.1- Denio de transformada de Laplace4.2- Unicidade das transformadas inversas de Laplace4.3- Algumas propriedades importantes da transformada inversa de Laplace4.3.1- Propriedade da linearidade4.3.2- Primeira propriedade de translao ou deslocamento4.3.3- Segunda propriedade de translao ou deslocamento4.3.4- Propriedade de mudana de escala4.3.5- Transformada inversa de Laplace de integrais4.3.6- Multiplicao por s4.3.7- Diviso por s24.3.8- A propriedade da convoluo4.4- Mtodo das fraes parciais para encontrar transformadas inversas de Laplace4.5- A frmula de desenvolvimento de Heaviside4.6- Aplicaes da transformada e transformada inversa de Laplace s equaes diferenciaisBIBLIOGRAFIA:1. KAPLAN, W., Clculo Avanado. So Paulo: Edgard Blcher, v. I, 1972.2. KAPLAN, W., Clculo Avanado. So Paulo: Edgard Blcher, v. II, 1972(Fourier).3. SPIEGEL, M. R., Clculo Avanado. So Paulo: McGraw-Hill. Coleo Schaum.4. SPIEGEL, M. R., Transformadas de Laplace. So Paulo: McGraw-Hill, 1979(Laplace e Fourier).5. ZILL, Dennis G. e CULLEN, Michael R., Equaes Diferenciais. So Paulo: Pearson MakronBooks, v. I, 2001(Laplace).6. ZILL, Dennis G. e CULLEN, Michael R., Equaes Diferenciais. So Paulo: Pearson MakronBooks, v. II, 2001(Fourier).3Captulo 1SRIES DE FOURIER1.1 Sries trigonomtricasChama-se srie trigonomtrica a srie12a0 +a1 cos(x) +b1sen(x) +a2 cos(2x) +b2sen(2x) + +an cos(nx) +bnsen(nx) + (1.1)em que os coecientes an e bn so constantes.Todos os termos repetem-se em intervalos de 2:cos(x+2) = cos(x), sen(x+2) = sen(x), , cos[n(x+2)] = cos(nx+2n) = cos(nx)(1.2)Se f(x) =12a0 + a1 cos(x) +b1sen(x) + +an cos(nx) + bnsen(nx) +converge, entof(x + 2) = f(x), ou seja, f(x) peridica de perodo 2.De uma forma geral, f peridica com perodo p ,= 0 para todo o x, ento f(x +p) = f(x).Exemplos:1) cos(2x), tem perodo 2 e .2) cos(nx), tem perodo2n , ou seja o menor perodo para n=1, 2, 3, respectivamente,2, ,23 ,2,25 ,.Todos os termos compartilham do perodo 2.Se f(x) tem perodo p, ento substituindo x = pt2, transforma f(x) em f(t) com perodo 2.Se f(x +p) = f(x), ento f_pt2+p_ = f_pt2_, quando p = 2, temos f (t + 2) = f (t).Funo peridica com perodo 2:yx0p = 22 4 2 4Figura 1.1: Funo com perodo 2.Captulo 1. SRIES DE FOURIER 2Problemas fsicos com funes peridicas de 2:Vibraes de uma corda.Movimento dos planetas ao redor do sol.Rotao da Terra em torno de seu eixo.Movimento de um pndulo.Mars e movimentos ondulatrios em geral.Circuitos eltricos.Teorema 1Toda funo peridica de x satisfazendo a certas condies muito gerais pode ser repre-sentada na forma (1.1), isto , como uma srie trigonomtrica.O termo12a0 representa a posio neutra ( ou o termo DC - Direct Current)Os termos a1 cos(x) +b1sen(x) representam o tom fundamental.Os termos a2 cos(2x) +b2sen(2x) representam o primeiro harmnico (a oitava).x tempof(x) deslocamentoEnto f(x) pode ser escrito como combinao de harmnicos simples:an cos(nx) +bnsen(nx).CadaparpodeserescritocomoAnsen(nx+), emqueAn=_a2n +b2n, an=Ansen()ebn= An cos().An+1 mede a importncia do n-simo harmnico.1.2 Sries de FourierSeja f(x) peridica, ento podemos escreverf(x) =12a0 +

n=1(an cos(nx) +bnsen(nx)) (1.3)Qual a relao entre os coecientes an e bn e a funo f(x)?Multiplicando (1.3) por cos(mx) integramos de e :_ f(x) cos(mx)dx =__a02cos(mx) +

n=1 (an cos(nx) cos(mx) +bnsen(nx) cos(mx))dx_ f(x) cos(mx)dx =a02_ cos(mx)dx+

n=1_an_ cos(nx) cos(mx)dx +bn_ sen(nx) cos(mx)dx_Com ajuda das identidades para cos(x) cos(y) e sen(x) cos(y). Acha-se:_cos(nx) cos(mx)dx =_0, n ,= m, n = mCaptulo 1. SRIES DE FOURIER 3_sen(nx) cos(mx)dx = 0Se m = 0, ento _ f(x)dx =a02 2= a0.Para qualquer m:Se m ,= n: _ f(x) cos(mx)dx = 0.Se m = n, temos:_ f(x) cos(mx)dx =a02 0 + [an +bn0]_ f(x) cos(mx)dx = am (m = 1, 2,) ou _ f(x) cos(nx)dx = an (n = 1, 2,)Multiplicando (1.3) por sen(mx), achamos: _ f(x)sen(mx)dx = bm (m = 1, 2,)Conclui-se que:a0=1_ f(x)dxan=1_ f(x) cos(nx)dxbn=1_ f(x)sen(nx)dx.Denio 1Seja f(x) satisfazendo as seguintes condies:1) f(x) denida no intervalo < x < ;2) f(x) e f(x) so seccionamente contnuas em < x < ;3) f(x + 2) = f(x), isto , f(x) peridica com perodo 2.Ento, em todo ponto de continuidade, temos f(x) =12a0 +

n=1 (an cos(nx) +bnsen(nx)),em quea0=1_ f(x)dxan=1_ f(x) cos(nx)dxbn=1_ f(x)sen(nx)dx.Num ponto de descontinuidade em x0, o lado esquerdo substitudo por12_limxx+0f(x) +limxx0f(x)_isto , o valor mdio na descontinuidade.Teorema 2Toda srie trigonomtrica uniformemente convergente uma srie de Fourier. Mais pre-cisamente, se a srie (1.1) converge uniformemente a f(x) para todo x, ento f(x) contnua paratodo x, f(x) tem perodo 2, e a srie (1.1) a srie de Fourier de f(x).Corolrio 1Se duas sries trigonomtricas convergem uniformemente para todox e tm a mesmasoma para todo x:12a0 +

n=1(an cos(nx) +bnsen(nx)) 12a0 +

n=1_an cos(nx) +bnsen(nx)_Para obter srie de Fourier na forma amplitude-fase troca-se an cos(nx)+bnsen(nx) = Ansen (nx +),em que An=_a2n +b2n, an=Ansen() e bn=An cos(). o ngulo de fase. Ele determinade fato quanto a curvay=sen(nx) deve ser empurrada para a esquerda ou para a direita a m decombinar com a oscilao dada. A amplitude An apenas ajusta a escala vertical.Captulo 1. SRIES DE FOURIER 4Exerccios:Ache a srie de Fourier de cada uma das seguintes funes peridicas de perodo 2:a) f(x) =_0, se x < 01, se 0 x b) f(x) =_0, se x < 0x, se 0 x c) f(x) =_ x, se x < 0x, se 0 x d) f(x) = x2, se x e) f(x) =_ 12 x2, se x < 012 x2, se 0 x f) f(x) =_2 x2 x24, se x < 02+x2 x24, se 0 x Vericao grca da soluo usando Matlab:a) Grco da funo e da srie de Fourier:clearx = 10 : 0.01 : 10;% Funo:for n = 1 : length(x)if x(n) >= 0 & x(n) operador lgico "e"// | > operador lgico "ou"for n = 1 : lxif(x(n, 1) >= 4%pi & x(n, 1) = 2%pi & x(n, 1) = 0 & x(n, 1) = 2%pi & x(n, 1) 0, n0=n0() N tal queCaptulo 1. SRIES DE FOURIER 9n > n0= d(fn(x), g(x)) < , x X.Teorema 4Sejaf(x) contnuapor partespara x . Os coecientesdasoma parcial12a0+a1 cos(x)+b1sen(x)++an cos(nx)+bnsen(nx) da srie de Fourier de f(x) so exatamenteaqueles entre os coecientes da funo gn(x)=12p0 + p1 cos(x) + q1sen(x) ++ pn cos(nx) +qnsen(nx) que tornam mnimo o erro quadrtico _ [f(x) gn(x)]2dx.Alm disso, o erro quadrtico mnimo En satisfaz a equao:En=_[f(x)]2dx _12a20 +n

k=1_a2k +b2k__.Corolrio 2Se f(x) contnua por partes para x e a0, a1, , b1, b2,so os coe-cientes de Fourier de f(x), ento12a20 +n

k=1_a2k +b2k_ 1_[f(x)]2dx,de modo que a srie n=1_a2n +b2n_ converge. Alm disso, limnan= 0 e limnbn= 0.Como j foi visto, o termoa02pode ser dado pora02=12_f(x)dx.O segundo membro simplesmente a mdia de f(x) no intervalo x , ou de outra forma__f(x) a02_dx = 0.Outro ponto de vista d a mesma frmula paraa02 . Dado o erro quadrtico total de uma funog(x) em relao a f(x) da seguinte formaE=_[f(x) g(x)]2dx.Vamos procurar uma funo y= g0 tal que o erro seja o menor possvel.E(g0) =_[f(x) g0]2dx =_[f(x)]2dx 2g0_f(x)dx + 2g20,ou de outra forma, E(g0) = A2g0B + 2g20, onde B=_ f(x)dx e A =_ [f(x)]2dx. EntoE(g0) ser mnimo quandodEdg0= 0.dEdg0= 2B + 4g0= 0 = g0=2B4=B2g0=B2=12_f(x)dx =a02Captulo 1. SRIES DE FOURIER 10Logo y=a02 a melhor aproximao.Exerccios:Dada as funes:a) f(x) =___1, se x < 01, se 0 x 0, seno;b) f(x) =___2+x, se x < 02 x, se 0 x 0, seno;c) f(x)=x+1 para x R;d) Funo dente de serraxy0 2 3 2Dente de Serra1Figura 1.4: Funo Dente de Serra.1) Determinar a srie de Fourier para cada funo:2) Fazer o grco da funo e da srie (no mesmo plano cartesiano) no domnio x (usandoo Matlab). Para:2.1)n=0; 2.2)n=1; 2.3)n=2; 2.4)n=4; 2.5)n=5; 2.6)n=10;2.7) n = 20; 2.8) n = 100;3) Fazer o grco da funo e da srie (no mesmo plano cartesiano) no domnio 10 x 10. Para:3.1)n=0; 3.2)n=1; 3.3)n=2; 3.4)n=4; 3.5)n=5; 3.6)n=10;3.7) n = 20; 3.8) n = 100;1.4 Generalizaes de Sries de FourierGeneralizaes:Sef(x)umafunodeperodo2, pode-seusarcomointervalobsicoqualquerintervaloc x c + 2, isto , qualquer intevalo de perodo2. Ento a srie de Fourier pode ser escritaCaptulo 1. SRIES DE FOURIER 11como:a02+

n=1(an cos(nx) +bnsen(nx)) ,em quea0=1_c+2cf(x)dx;an=1_c+2cf(x) cos(nx)dx;bn=1_c+2cf(x)sen(nx)dx.Exemplo:Encontre a srie de Fourier para a funo f(x) =_0, se 0 x < 1, se x 2.1.5 Sries de Fourier de senos e cossenosFuno parUma funo f(x) denida em um intervalo I par se f(x) = f(x) nesse intervalo.Funo mparUma funo f(x) denida em um intervalo I mpar se f(x) = f(x) nesse intervalo.Teorema 5Seduasfunesf(x)eg(x)soparesemumintervaloI, entooprodutoh(x) =f(x)g(x) tambm par.Demonstrao: h(x) = f(x)g(x) = f(x)g(x) = h(x)Teorema 6Sef(x) par eg(x) mpar em um intervaloI, ento o produtoh(x)=f(x)g(x) mpar.Demonstrao: h(x) = f(x)g(x) = f(x)[g(x)] = f(x)g(x) = h(x)Teorema 7Se duas funesf(x) eg(x) so mpares em um intervaloI, ento o produtoh(x)=f(x)g(x) par.Demonstrao: h(x) = f(x)g(x) = [f(x)][g(x)] = f(x)g(x) = h(x)Propriedade:_aaf(x)dx =_0, se f mpar2_a0f(x)dx, se f parExerccios:Resolva as integrais usando a propriedade acima:a) _xcos(nx)dx =xnsen(nx) +1n2cos(nx)b) _xsen(nx)dx =xncos(nx) +1n2sen(nx)Captulo 1. SRIES DE FOURIER 12Exemplo:Ache a srie de Fourier da funo f(x) = x + 1 no intervalo < x < .Resposta: Srie:1 +

n=12n cos(n)sen(n)1.5.1 Sries de Fourier de cossenosSe f par, entof(x) =a02+

n=1an cos(nx),em quean=2_0f(x) cos(nx)dx.Se a funof(x) dada somente no intervalo entrex=0 ex=, a srie acima dita srie deFourier de cossenos para f(x).1.5.2 Sries de Fourier de senosSe f mpar, entof(x) =

n=1bnsen(nx),em quebn=2_0f(x)sen(nx)dx.Se a funof(x) dada somente no intervalo entrex=0 ex=, a srie acima dita srie deFourier de senos para f(x).Exerccios:1) Seja f(x) = x. Representar f(x) por uma srie de Fourier no intervalo < x < .2) Representar a mesma funo f(x) = x por uma srie de Fourier no intervalo 0 < x < .1.5.3 Mudana de perodoSe f(x) tem perodo p, ou seja f(x+p) = f(x) (p ,= 0), ento a substituio x =p2t transformaf(x)numafunog(t)tal queg(t) =f(p2t), emqueg(t)temperodo2poisg(t+2) =f_p2(t + 2) = f_pt2+p_ = f_pt2_ = g(t).A mudana dex parat apenas uma mudana de escala. Comog tem perodo2 e supondomuito lisa por partes, ento a srie de Fourier de g(t) g(t) =a02+

n=1(an cos(nt) +bnsen(nt)) , (1.4)em quea0=1_ g(t)dtCaptulo 1. SRIES DE FOURIER 13an=1_ g(t) cos(nt)dtbn=1_ g(t)sen(nt)dt.1.6 Srie de Fourier para qualquer perodo pSe t =2px e dt =2pdx, ento:f(x) =a02+

n=1_an cos 2npx +bnsen2npx_, (1.5)em que p = 2La0=1L_LLf(x)dxan=1L_LLf(x) cos_2npx_dxbn=1L_LLf(x)sen_2npx_dx.1.6.1 Srie de Fourier de cossenos com perodo pf(x) =a02+

n=1an cos 2npx, (1.6)para 0 x L, em que a0=2L_L0f(x)dx e an=2L_L0f(x) cos_2npx_dx.1.6.2 Srie de Fourier de senos com perodo pf(x) =

n=1bnsen2npx, (1.7)para 0 x L, em que bn=2L_L0f(x)sen_2npx_dx.Exemplos:1) Seja f(x) = 2x + 1. Represente f(x) por uma srie de Fourier no intervalo 0 < x < 2.2) seja f(x) = x. Represente f(x) por uma srie de Fourier de senos no intervalo < x < .Captulo 1. SRIES DE FOURIER 14Exerccios:1) Encontrar a srie de Fourier de cada uma das seguintes funes:a) f(x) =_0, x < 01, 0 x b) f(x) =_0, x < 0x, 0 x c) f(x) =_ x, x < 0x, 0 x d) f(x) = x2, x 1.2.9 A Soma de convoluoConsiderando duas funes discretasx[n] eh[n] denidas emZ. Ento, deni-se a soma deconvoluo das duas sequncias x[n] e h[n] comoy[n] =

k=x[k]h[n k].Esta operao de convoluo pode ser representada simbolicamente por y[n] = x[n] h[n].Exemplo: Considereasduassequnciasx[n] eh[n] denidasabaixo. Determiney[n] tal quey[n] = x[n] h[n].x[n] =___0, 5, n = 02, n = 10, senoh[n] =_1, n = 0, 1, 20, senoExerccios:1) Dada a funo f(x) = 1, onde 0 < x < l, encontre:a) a transformada nita de Fourier em senos;b) a transformada nita de Fourier em cossenos.2) Dada a funo f(x) = x2, onde 0 < x < l, encontre:a) a transformada nita de Fourier em senos;b) a transformada nita de Fourier em cossenos.3) Se Fsf(x) =1cos nn22, em que 0 < x < , encontre f(x).4) SeFcf(x)=6(senn2cos n)(2n+1)paran=1, 2, 3,e2paran=0, em que0 1a) encontre a transformada de Fourier de f(x);b) calcule _0_x cos xsenxx3_cosx2dx.8) Seja a funo denida por f(x) =_1, se 0 x < 10, se x 1a) Encontre a transformada de Fourier em senos de f(x).b) Encontre a transformada de Fourier em cossenos de f(x).c) Nos itens a e b, faa o grco de f(x) e sua transformada.9) Seja a funo denida por f(x) = ex, para x 0.a) Encontre a transformada de Fourier em senos de f(x).b) Mostre que _0xsenmxx2+1dx =2em, m > 0 usando o resultado em a.10) Resolva para y(x) a equao integral_0y(x)senxtdx =___1, se 0 t < 12, se 1 t < 20, se t 2e verique a soluo por substituio direta na equao integral.11) Calcule usando a identidade de Parseval:a) _0dx(x2+1)2b) _0x2dx(x2+1)2(Sugesto: Use a transformada de Fourier em senos e cossenos de ex, com x > 0)12) Use o problema 8 para mostrar que:a) _0_1cos xx_2dx =2b) _0sen4xx2dx =213) Mostre que _0(xcos xsenx)2x6dx =15.14) Dadas as funes f(x) e g(x). Determinar a funo h(x) tal que h(x) = f(x) g(x):a)f(x) = g(x) =_1, se 0 x < 10, senob)f(x) = g(x) =___1, se 1 x < 01, se 0 x < 10, senoc)f(x) = g(x) =_1, se 1 x < 10, senoCaptulo 2. Funes Ortogonais e Transformadas de Fourier 25d)f(x) =_1, se 1 x < 10, senoe g(x) =___x + 1, se 1 x < 0x + 1, se 0 x < 10, senoe)f(x) =_2, se 0 x < 10, senoe g(x) =_3, se 1 x < 30, seno15) Dadas as sequncias x[n] e h[n]. Determinar a sequncia y[n] tal que y[n] = x[n] h[n]:a)x[n] = h[n] =_1, se n = 0, 10, senob)x[n] = h[n] =___1, se n = 1, 01, se n = 0, 10, senoc)x = [n] = h[n] =_1, se n = 1, 0, 10, senod)x[n] =_1, se n = 1, 0, 10, senoe h[n] =___1, se n = 00, 5, se n = 1, 10, senoe)x[n] =_2, se n = 0, 10, senoe h[n] =_3, se n = 1, 2, 30, senoResposta dos exerccios:1) a)l(1cos n)nb) 0 se n = 1, 2, 3,; l se n = 0.2) a)2l3n33(cos n 1) l3n cos n se n = 1, 2, 3,;l33se n = 0 b)2l3n22(cos n 1)3)23

n=1_1cos nn2_sennx4)12+3

n=1_senn2cos n2n+1_cosn45) a) 2

n=1cos2n3(2n+1)2sennx b) 1 + 2

n=1cos2n3(2n+1)2cos nx6) a)senb) 17) a) 4_cos sen3_b)3168) a)1cos b)sen9) a)1+210) y(x) =2+2 cos x4 cos 2xx11) a)4b)4Captulo 3Transformada de Laplace3.1 A transformada de LaplaceDenio 2Seja f(t) uma funo de t denida para t > 0. Ento, a transformada de Laplace def(t), denotada por Lf(t), denida porLf(t) = F(s) =_0f(t)estdt. (3.1)Diz-se que a transformada de Laplace de f(t) existe se a integral (3.1) converge para algum valor des, caso contrrio, ela no existe.3.2 A transformada de Laplace de algumas funes elementares1) f(t) = 1 Lf(t) = F(s) =_01estdt =1sest[0=1s_limte0 =1s, s > 02) f(t) = t Lf(t)=F(s) =_0t estdt =_tsest1s2est[0=limt_tsest1s2est _0se01s2e0 =1s2, s > 03) f(t) = eatLf(t) = F(s) =_0eatestdt =_0eastdt =1ase(as)t[0=1as_limte(as)t1 =1sa, s > aCaptulo 3. Transformada de Laplace 273.3 Tabela de transformada de Laplace de algumas funes elementaresTabela 3.1: Tabela de transformada de Laplace.Nof(t) Lf(t) = F(s)..1 11s.., s > 02 t1s2.., s > 03 tn, n = 0, 1, 2, n!sn+1.., s > 04 eat1sa.., s > a5 senatas2+a2.., s > 06 cos atss2+a2.., s > 07 senhatas2a2.., s > [a[8 cosh atss2a2.., s > [a[Exemplos:Determine a transformada de Laplace das funes abaixo:a) f(t) = t2b) f(t) = sen3t c) f(t) = t2+ 1 d) f(t) = cosh 5t e) f(t) = t3+e2t3.4 Funes de ordem exponenciaisDenio 3Dizemos quef de ordem exponencial em[0, +[ se existem constantesC>0 etais que[f(t)[ Cet, t > 0. (3.2)Exemplos:tn, eat, sen(bt), d) cos (at), eattnsen(bt), eattncos (bt).Como consequncia, tambm so funes de ordem exponencial os polinmios e os polinmiosde ordem exponencial.Uma funo de ordem exponencial satisfazendo (3.2) ser chamada de funo de ordem exponen-cial .Captulo 3. Transformada de Laplace 28Teorema 4(Condies sucientes para a existncia da transformada de Laplace)Sef contnua por partes e de ordem exponencial, ento existe um real tal que _0f(t)estdtconverge para os valores de s > .3.5 Algumas propriedades importantes da transformada de LaplaceSupondo, a menos que se diga ao contrrio, que as funes satisfaam as condies do teorema 4de modo que as transformadas de Laplace existam.3.5.1 Propriedade da linearidadeSe C1 e C2 so constantes quaisquer e f1(t) e f2(t) so funes com transformadas de LaplaceF1(s)eF2(s), respectivamente, entoLC1f1(t) +C2f2(t)=C1Lf1(t)+C2Lf2(t)=C1F1(s) +C2F2(s).Exemplo:Encontre a transformada de Laplace L_4t23 cos 2t + 5et_.3.5.2 Primeira propriedade de translao ou de deslocamentoSe Lf(t) = F(s), entoL_eatf(t)_ = F(s a).Exemplo:a) Encontre a transformada de Laplace L_etcos 2t_.b) Encontre a transformada de Laplace L_t2e3t_.3.5.3 Segunda propriedade de translao ou de deslocamentoSe Lf(t) = F(s) e g(t) =_f(t a), t > a0, t < a, ento Lg(t) = easF(s).Exemplos:a) Determine a transformada de Laplace da funo g(t) =_(t 2)3, t > 20, t < 2.b) Encontrar a transformada de Laplace da funo f(t) =_cos (t 23), t >230, t 0demodoquef(t+T) =f(t), entoLf(t) =R T0estf(t)dt1esT.Exemplo:a) Faa o grco da funo f(t) =_sent, 0 < t < 0, < t < 2, estendida periodicamente com perodo2.b) EncontreLf(t).3.6 Mtodos para encontrar transformadas de Laplace3.6.1 Mtodo diretoUsa diretamente a denioLf(t) = F(s) =_0f(t)estdt.3.6.2 Mtodo das sriesSe f(t) tem expanso em sries de potncias dada porf(t) = a0 +a1t +a2t2+ =

n=0antnAssimLf(t) =a0s+a1s2+2!a2s3+ =

n=0n!ansn+1.3.7 Funes especiais3.7.1 Funo gamaSe n > 0, denimos a funo gama por (n) =_0un1eudu.0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.002468101214161820yxFigura 3.1: Funo gama (n) para n > 0.Captulo 3. Transformada de Laplace 31Propriedades:1) (n + 1) = n(n), n > 0,se n um inteiro positivo, ento (n + 1) = n! (funo fatorial).2) _12_ = 3) (p)(1 p) =senp, 0 < p < 14) Para n grande (n + 1)2nnnen5) Para n < 0, (n) =(n+1)n5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 51510505101520(n)xFigura 3.2: Funo gamapara domnio D(f) =x IR 0, 1, 2, 3,.5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 521012345yxFigura3.3: Funoinversomulti-plicativo da funo gama y=1(x).3.7.2 Funo de BesselJn(t) =tn2n(n+1)_1 t22(2n+2)+t424(2n+2)(2n+4) _Propriedades:1) Jn(t) = (1)nJn(t) se n inteiro positivo.2) Jn+1(t) =2ntJn(t) Jn1(t)3)ddt tnJn(t) = tnJn1(t) se n = 0, J0(t) = J1(t).4) Funo geradora das funes de Bessel e(1/2)t(u1/u)=

n=Jn(t)un5) Jn(t) satisfaz equao de Bessel t2y(t) +ty(t) + (t2n2)y(t) = 00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201.00.80.60.40.20.00.20.40.60.81.0J0(t)eyxFigura3.4: J0(t), t > 0 eafuno envelope y= _2t.0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201.00.80.60.40.20.00.20.40.60.81.0J0,J1,J2eJ3xJ0(t)J1(t) J2(t)J3(t)Figura 3.5: J0(t)(preto),J1(t)(azul), J2(t)(vermelho),J3(t)(verde), para t > 0.Captulo 3. Transformada de Laplace 323.7.3 Funo erroA funo erro denida porerf(t)=2_t0 eu2du, em quef(x, , )=12e(x)222 afuno densidade de probabilidadede uma distribuio normal com desvio padro=1 e mdia = 0.Comandos do Scilab:t = -3 : 0.01 : 3;yn = ( 2 / sqrt ( % pi ) ) exp (- t . ^2) ;xset(window,1), xbasc(), xgrid(12); plot2d( t , yn, rect=[-3, -0.2, 3, 1.2] );t = 0 : 0.01 : 2.5;ye = erf(t);xset(window,2), xbasc(), xgrid(12); plot2d( t , ye, rect=[0, -0.2, 2.5, 1.2] );3 2 1 0 1 2 30.20.00.20.40.60.81.0yxFigura 3.6: Funo densidadede prob-abilidade y =2eu2de uma dis-tribuionormal commdia =0edesvio padro = 1.0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.20.00.20.40.60.81.0yxFigura 3.7: Funo erro y= erf(t).3.7.4 Funo erro complementarAfunoerrocomplementardenidoporerfc(t) =1 erf(t) =1 2_t0 eu2du=2_teu2duComandos do Scilab:t = 0 : 0.01 : 2.5;yec=erfc(t);xset(window,3), xbasc(), xgrid(12); plot2d( t , yec, rect=[0, -0.2, 2.5, 1.2] );Captulo 3. Transformada de Laplace 330.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.20.00.20.40.60.81.0yxFigura 3.8: Funo erro complementar y= erfc(t).3.7.5 Integrais seno, cosseno e exponencial:Si(t) =_t0senuuduCi(t) =_tcos uuduEi(t) =_teuudu0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202.01.51.00.50.00.51.01.52.0Si(t)x0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201.00.50.00.51.01.52.0Ci(t)x0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.00.51.01.52.02.53.03.54.0Ei(t)xFigura 3.9: Funo integral senoy=Si(t), funo integral cossenoy=Ci(t) e funo integralexponencial y= Ei(t)3.7.6 Funo degrau unitrioFuno escalo unitrio, ou funo de Heaviside ou mais conhecida como funo degrau unitrio.u(t a) =_0, se t < a1, se t aGrco da funo degrau unitrio u(t 2):Comandos do Scilab:t=-1:0.001:5; ll=length(t);y2=zeros(1,ll); y23=zeros(1,ll);for n=1:llif t(n)>=2 y2(1,n)=1; end;if t(n)>=2 & t(n) , em que > 0 e t 0.Fazendo 0, temos que _t0 f(t)dt = 1.Comandos do Scilab:t=-1:0.001:5; ll=length(t);y01=zeros(1,ll); yd=zeros(1,ll);for n=1:llif t(n)>=0 & t(n)=0 & t(n) 0, temos _t0 (u)du = 0.Exemplo:Captulo 3. Transformada de Laplace 36f(t) =___1, se t =121, se t = 10, caso contrrio1 0 2 3 4 50.20.00.20.40.60.81.01 0,5yxObs.: A funo nula pode ter innitos(contveis) pontos diferentes de zero, ou seja, t N tal quef(t) ,= 0.3.8.2 A srie binomial:Teorema 5(Expanso de uma srie binomial)Seja p uma constante qualquer positiva que no seja zero nem um inteiro positivo. Dene-se C0= 1e Cn=Qnk=1(pk+1)n!, para cada inteiro positivo n. Ento,(i) Cn+1=pnn+1Cn, para n0.(ii) A srie binomial k=0Ckxktem raio de convergncia R = 1.(iii) Para [x[ < 1, (1 +x)p=

k=0Ckxk= 1 +px +p(p1)2!x2+p(p1)(p2)3!x3+ .Exemplos:1) Usando o teorema do binmio, mostre que [x[ < 1,(1 +x)12= 1 12x +1.3)2.4 x21.3.52.4.6x3+ .2) EncontreLJ0(t), onde J0(t) a funo de Bessel de ordem zero.3) Usando o resultado de (a), encontrarLJ0(at).4) Prove que Lu(t a) =eass, onde u(t a) a funo escalo unitria de Heaviside.5) EncontreLf(t), onde f(t) denido por f(t) =_1, se 0 t 0, se t > .a) Usando a denio.b) Usando funo degrau.6) Mostre que L_costt_ =s12e14s , dado que L_sent_ =2s32e14s .3.9 Relao entre transformada de Fourier e de LaplaceConsidere a funof(t) =_ext(t), t > 00, t < 0,(3.3)Captulo 3. Transformada de Laplace 37usando a transformada de Fourier F() =_eiuf(u)du, com substitudo por y, temos:Ff(t) =_0eiytext(t)dt, ou (3.4)Ff(t) =_0e(x+iy)t(t)dt =_0est(t)dt, (3.5)em que escrevemos s=x + yi. O lado direito a transformada de Laplace de (t). Este resultadoindica uma relao entre as transformadas de Fourier e Laplace. Esta relao verdadeira na maioriados casos, por exemplo zemos (t) = u(t), a transformada de Laplace Lf(t) =_0estextdt =_0e(s+x)tdt =1s +xe(s+x)0=1s +x, (3.6)em que s +x > 0.Por outro lado, a transformada de Fourier Lf(t) =_0eiytextdt =_0e(iy+x)tdt =1iy +xe(iy+x)0=1iy +x, (3.7)em que iy +x > 0. Para que a transformada de Fourier seja realacionado diretamente transformadade Laplace basta fazer x = 0 e iy= s.A razo para esse comportamento peculiar tem algo a ver com a natureza da convergnciadasintegrais de Laplace e Fourier quando f(t) no absolutamente integrvel.Esta discusso mostra que apesar da transformada de Fourier ser considerada um caso especialda transformada de Laplace, precisamos limitar esse ponto de vista. Esse fato tambm pode ser vistoda anlise de que um sinal peridico possui transformada de Fourier, mas a transformada de Laplacedele no existe.Exerccios de transformada de Laplace:Resolver os exercciosdo Captulo 1 do livro SPIEGEL, M. R.,Transformadasde Laplace. SoPaulo: McGraw-Hill, 1971.Nmeros:51, 52 ,53, 54, 58, 60, 62, 63, 66, 67, 69, 75, 77, 78, 79, 83, 87, 88, 98, 99, 100, 103, 106, 117, 120,135 e 136.Captulo 4Transformada Inversa de Laplace4.1 A Transformada Inversa de LaplaceDenio 6Se a transformada de Laplace de uma funof(t) F(s)=Lf(t), entof(t)=L1F(s) chamada transformada inversa de Laplace que dada porf(t) =12i_+iiF(s)estds, (4.1)com t > 0 e f(t) = 0 para t < 0.A integral acima deve ser efectuada ao longo de uma retas= no plano complexo, ondes=x + vi. O nmero real escolhido de modo que s= esteja direita de todas as singularidades(plos, pontos de ramicao ou singularidades essenciais), mas, no mais, arbitrrio.Aqui, no iremos discutiressesdetalhes, usaremosdiretamenteas tabelase propriedadesparadeterminar a transformada inversa de Laplace.Exemplo:Como L_e3t_ =1s+3= F(s), ento podemos escrever f(t) =L1F(s) =L1_1s+3_ = e3t.Unicidade das Transformadas Inversas de LaplaceComo a transformada de Laplace de uma funo (t) nula zero, ento se Lf(t) = F(s), daiLf(t) +(t) = F(s).Seja f1(t) = e3te f2(t) =_0, se t = 1e3t, se t ,= 1temos a mesma transformada de Laplace,ou seja,Lf1(t) =Lf2(t) =1s+3. Portanto, duas funes diferentes tm a mesma transformadade Laplace.Como, em geral, as funesnulasnoaparecememcasosde interessefsico, entopodemosdesconsiderar esses casos.Teorema de LerchSe restringirmos as funes f(t) que sejam contnuas por partes e de ordem exponenciais , entoa transformada inversa de Laplace de F(s), isto , L1F(s) = f(t), nica.Captulo 4. Transformada Inversa de Laplace 394.2 Tabela de transformada inversa de Laplace de algumas funesTabela 4.1: Tabela de transformada inversa de Laplace.NoF(s) L1F(s) = f(t)..11s1..21s2t..31sn+1, n = 0, 1, 2, tnn!..41saeat..51s2+a2senata..6ss2+a2cos at..71s2a2senhata..8ss2a2cosh at..4.3 Algumas propriedades importantes da transformada inversa de Laplace4.3.1 Propriedade da linearidadeSe C1 e C2 so constantes quaisquer e F1(s) e F2(s) so as transformadas de Laplace def1(t)e f2(t), respectivamente, entoL1C1F1(s) +C2F2(s) = C1L1F1(s) + C2L1F2(s)=C1f1(t) +C2f2(t).Exemplo:Determine a transformada inversa de Laplace de F(s) =4s2 3ss2+16+5s2+4.4.3.2 Primeira propriedade da translao ou deslocamentoSe L1F(s) = f(t), entoL1F(s a) = eatf(t).Exemplo:Determine a transformada inversa de LaplaceL1_1s22s+5_.Captulo 4. Transformada Inversa de Laplace 404.3.3 Segunda propriedade da translao ou deslocamentoSe L1F(s) = f(t), entoL1easF(s) =_f(t a), se t > a0, se t < a.Exemplo:Determine a transformada inversa de LaplaceL1_es/3s2+1_.4.3.4 Propriedade de mudana de escalaSe L1F(s) = f(t), entoL1F(ks) =1kf_tk_.Exemplo:Determine L1_2s(2s)2+16_.4.3.5 Transformada inversa de Laplace de derivadasSe L1F(s) = f(t), entoL1_F(n)(s)_ = L1_dndsnF(s)_ = (1)ntnf(t).Exemplo:Determine L1_2s(s2+1)2_.4.3.6 Transformada inversa de Laplace de integraisSe L1F(s) = f(t), entoL1__sF(u)du_ =f(t)t.Exemplo:Determine L1__s_1u 1u+1_du_.4.3.7 Multiplicao por snSe L1F(s) = f(t) e f(0) = 0, entoL1sF(s) = f(t).SeL1F(s)=f(t)ef(0),=0, entoL1sF(s) f(0)=f(t), oudeoutraforma,L1sF(s) = f(t) + f(0)(t), em que (t) a funo delta de Dirac ou funo impulso unitrio.Exemplo:Determine a transformada inversa de LaplaceL11.4.3.8 Diviso por sSe L1F(s) = f(t), entoL1_F(s)s_ =_t0 f(u)du.Exemplo:Determine L1_1s(s2+4)_.Captulo 4. Transformada Inversa de Laplace 414.3.9 A propriedade (ou teorema) de convoluoSeL1F(s) = f(t) eL1G(s) = g(t), entoL1F(s)G(s) =_t0 f(u)g(t u)du =f g.Exemplo:Determine L1_1(s1)(s2)_.4.4 Mtodo das fraes parciais para encontrar transformada inversade LaplaceToda funo racionalP(s)Q(s), em queP(s) eQ(s) so polinmios, com grau deP(s) menor doque o de Q(s), pode ser escrito como soma de funes racionais (chamadas fraes parciais), tendo aformaA(as+b)r.ouAs+B(as2+bs+c)r. , em que r = 1, 2, 3,.Exemplos:Determine a transformada inversa de Laplace:1) L1_3s+7s22s3_.2) L1_2(s+1)2(s2+2s+3)_.4.5 A frmula ou teorema de desenvolvimento de HeavisideSejamP(s) eQ(s) polinmios em queP(s) tem grau menor do que o deQ(s). Suponha queQ(s) tem n zeros distintos k, k = 1, 2, 3,, n.Ento,L1_P(s)Q(s)_ =n

k=1P(k)Q(k)ekt(4.2)Exemplos:1) EncontreL1_2s24(s1)(s2)(s3)_.2) EncontreL1_3s+1(s1)(s2+1)_.4.6 Aplicaes s equaes diferenciaisDada a equao diferencial de segunda ordemy + y+ y=f(t), ento a transformada deLaplace da equao diferencial _s2Y (s) sy(0) y(0)+[sY (s) y(0)] +Y (s) = F(s)_s2+s +Y (s) = F(s) +sy(0)y(0) +y(0)Y (s) =F(s)+sy(0)+y(0)+y(0)s2+sCaptulo 4. Transformada Inversa de Laplace 42Dada as condiesiniciaisy(0) ey(0),podemos determinar a soluo da equao diferencialfazendo a transformada inversa de Laplace de Y (s), ou seja, y(t) =L1Y (s).Exemplos:1) Resolva a equao diferencial y(t) +y(t) = t com as condies iniciais y(0) = 1 e y(0) = 2.2) Resolva a equao diferencial y(t) 3y(t) +2y(t) = 4e2tcom as condies iniciais y(0) = 3e y(0) = 5.Exerccios de transformada inversa de Laplace:Exerccio 1:Resolver os exercciosdo Captulo 2 do livro SPIEGEL, M. R.,Transformadasde Laplace. SoPaulo: McGraw-Hill, 1971.Nmeros:47, 48, 49, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 66, 71, 73, 76, 79, 88, 89, 90, 91, 92, 98, 99,100.Exerccio 2:Resolva as equaes diferenciais com as condies iniciais, usando transformada de Laplace:1) y(t) + 4y(t) = 9t, y(0) = 0, y(0) = 7Resp.:y(t) = 3t + 2sen2t2) y(t) 3y(t) + 2y(t) = 4t + 12et, y(0) = 6, y(0) = 1Resp.:y(t) = 3et2e2t+ 2t + 3 + 2et3) y(t) 4y(t) + 5y(t) = 125t2, y(0) = y(0) = 0Resp.:y(t) = 25t2+ 40t + 22 + 2e2t(2sent 11 cos t)4) y(t) +y(t) = 8 cos t, y(0) = 1, y(0) = 1Resp.:y(t) = cos t 4sent + 4t cos t5) y(t) y(t) = et, y(0) = y(0) = y(0) = 0Resp.:y(t) =13tet+118e1/2t_9 cos32t +532sen32t_12et6) yiv(t) + 2y(t) +y(t) = sent, y(0) = y(0) = y(0) = y(0) = 0Resp.:y(t) =18__3 t2_sent 37 cos t_