Apostila de Calculo

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    30-Jul-2015
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Medianeira UTFPR UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN Campus Medianeira PR Departamento de Engenharia ___________________ Curso: ENGENHARIA ___________________ CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 2011/2 Agosto, 2011UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 2 CONJUNTOS NUMRICOS Osprimeirosnmerosconhecidosforamosnmeroscontveis,ouseja,oconjuntodos Nmeros Naturais, representado por IN, isto : N = {0, 1, 2, 3, ...} A = {x / x N} Asoperaescomosnmerosnaturaisforamresponsveispelacriaodosnmeros negativos, assim: x + a = b => x = b a, onde a e b so nmeros naturais. Estesnmeros,juntamentecomosnmerosnaturaisformamoconjuntodosNmeros Inteiros, representado por Z, isto : Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} A = {x / x Z} A resoluo de equaes do tipo bx = a =>bax =comaebnmerosinteirosondeb0,podelevaraosurgimentodenmerosnointeiros.Desta forma,osnmerosdaforma bacomaebnmerosinteiroseb0formamumconjuntode nmeros,denominadoNmerosRacionais,representadoporQ.Eosnmeros(fraes)decimais infinitos no peridicos so denominados Nmeros Irracionais, representados por I. So exemplos de nmeros irracionais: , e,2 ,3 ,5 , ... Observando a reta numerada, vemos que a todos os pontos foram atribudos nmeros. Temos, ento que, areunio dos nmeros racionais comos nmeros irracionais se denomina conjunto dos Nmeros Reais, representado por R. Comooclculoenvolvenmerosreais,vejamosalgumasdefiniesepropriedades fundamentais destes nmeros, embora no tenhamos interesse em mostrar como estas propriedades so tiradas dos axiomas e teoremas. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 3 1) Comutativa: a, b R=> =+ = +a b b aa b b a 2) Associativa: a, b e c R=> =+ + = + +c b a c b ac b a c b a) ( ) () ( ) ( 3) Existncia de elemento neutro: = = = + = + a a a R R aa a a R R a1 1 / 1 ,0 0 / 0 , 4) Elemento oposto: 0 ) ( ) ( / ) ( , = + = + a a a a R a R a5) Elemento inverso: 1 ) ( ) ( / ) ( ,1 1 1= = a a a a R a R a6) Distributiva: c a b a c b a R c b a + = + ) ( , , INTERVALOS NUMRICOS Intervalossoconjuntosinfinitosdenmerosreais.Geometricamente,correspondema segmentos de reta sobre um eixo coordenado. Por exemplo, se a < b, ento o intervalo aberto de a at b, denotado por (a , b), o segmento de reta que se estende de a at b, excluindo-se os extremos; e o intervalo fechado de a at b, denotado por [a , b], o segmento de reta que se estende de a at b, incluindo-se os extremos. Estes intervalos podem ser expressos na notao de conjuntos como (a , b) = {x R /a < x < b} [a , b] = {x R /a < x < b} .Umintervalopodeincluirumextremo,masnooutro.Estesintervalossochamadossemi-abertos(ou,algumasvezes,semi-fechados).Almdisso,possvelumintervaloestender-se indefinidamenteemumaouemoutradireo,escrevemos+nolugardoextremodireito,epara indicar que o intervalo se estende indefinidamente na direo negativa, escrevemos -, no lugar do extremoesquerdo.Osintervalosqueseestendementredoisnmerosreaissochamadosde intervalosfinitos,enquantoqueosqueseestendemindefinidamenteemumaouemambasas direes so chamados de intervalos infinitos. Notao de intervaloNotao de conjuntoRepresentao geomtrica [a , b]{x R /a < x < b} [a , b[{x R /a < x < b} ]a , b[{x R /a < x < b} ]- , b]{x R /x < b} ]a , [{x R /x > a} ]- , [{x / x R} UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 4 FUNES SITUAES - PROBLEMA Identifique as variveis envolvidas em cada situao e analise a veracidade das afirmaes: 1-Areadeumcrculodependedamedidadoraiodacircunferncia.Isto,A=r.Portanto, dizemos que A uma funo de r. 2- A populao P de um pas depende do tempo t. Isto , com o passar do tempo a populao pode aumentar ou diminuir, ento, dizemos que P funo de t. 3-Duranteumaviagemdeautomvelfeitaumatabelaassociandoacadahoraadistncia percorridapelocarrodesdeoinciodopercurso,medidaemquilmetrosmarcadosnoodmetro. Isso significa que a distncia percorrida funo do tempo gasto no percurso.t d 80 = 5-Amedidadoladodeumquadradodeterminasuarea,isto,areadoquadradofunoda medida do lado, ou seja, 2l = A . Definio: Uma funo f uma lei (uma relao) para a qual cada elemento x de um conjunto A faz corresponder exatamente um elemento chamado f(x), em um conjunto B. Exemplos: a)b) c)d) Otermofunosignificaquehumacorrespondncianicaeexprimeumarelaode dependncia entre as grandezas. Na prtica, identificamos as grandezas com seus valores e dizemos que a varivel y funo davarivelx.Muitasvezes,traduzimosaexpressoyfunodexpor:ydependedex;x determina y ou ainda a cada x associado um nico y. Muitas situaes reais envolvem vriasgrandezas. Para expressarmos uma das grandezas em funodaoutra,necessriofixar(considerarconstantes)asdemais.Assim,ogrficodeuma funoy= f(x), oconjunto dos pares ordenados (x, f(x)), e para cada valor de xexiste um nico correspondente f(x). AB 1 3 5 1 3 5 A B 2 -3 1 5 A B 1 3 -3 1 4 9 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 5 DOMNIO E IMAGEM DE UMA FUNO Paraidentificarmosodomniodeumafunoy=f(x),analisamososvaloresqueavarivel independente pode assumir, isto , se ela tem alguma restrio ou no. O domnio de uma funo ointervalorepresentadopelaprojeodogrficosobreoeixodasabscissas.Eaimagemo intervalo representado pela projeo do grfico sobre o eixo das ordenadas. CLASSIFICAO DAS FUNES As funes so classificadas em: inversas e diretas as Hiperbliclginversas e diretas ricas Trigonomtas Logartmicl Exponenciantes Transcendes Irracionaias FracionriInteirasRacionaiss Polinomiaibricas A Alguns exemplos de grficos de funes: Funo do 1 grau. f(x) = ax + b * O grfico corta o eixo y em b. * Se, a > 0, a funo crescente e o grfico inclinado p/ direita. * Se, a < 0, a funo decrescente e o grfico inclinado p/ esquerda. y = -x + 1y = x 1 y I y1 M y0 Ay2 G Ey3 M x0x1 x2x3x DOMNIO UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 6 Funo do 2 grau. f(x) = ax + bx + c * O grfico corta o eixo y em c. * Se, a > 0, a parbola tem concavidade para cima. * Se, a < 0, a parbola tem concavidade para baixo. * abxv2=e ayv4 = Funo Polinomial f : R > R definida por f(x) = anxn + an1xn 1 +... + a0, com ai, i = 0; 1;... ; n, constantes reais, an0,nNenograudopolinmio.Asfunesconstante,identidade,linearesequadrticas so exemplos de funes polinomiais. Exemplos)y = x3 xy = x4 5x + 4

Funo Modular: O mdulo de um n dado por < >=0 ,0 ,| |x se xx se xxExemplo 1) f(x) = | x + 1| = < +1 , 11 , 1x se xx se x y = x2 + 2x 3y = -x 2x + 3 a > 0 a < 0 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 7 Exemplo2) y = | x 4| = < < + 2 2 , 42 2 , 422x se xx ou x se x Exemplo 3) f(x) = -| x 2| = < + 2 , 22 , 2x se xx se x FunesRacionais:Sofunesdefinidascomooquocientededuasfunespolinomiais,isto, ) () () (x qx px f = , onde q(x) 0. O domnio da funo racional o conjunto dos reais excluindo todos os valores de x tais que q(x) 0:

UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 8 FUNES TRANSCENDENTES FunesExponenciais:Dadoumnmeroreala,talquea>0ea1,chamamosfuno exponencial de base a a funo f de R em R que associa a cada x real o nmero ax. f : R Rf(x) = k ax + b, com k e b R, sendo y = b assntota horizontal. Funes Logartmicas: Considerando-se dois nmeros x e a reais e positivos com a 1, a > 0 ex>0,existesempreumnmeroytalque:ay=x.Aesseexpoenteydamosonomede logaritmo de x na base a e definimos como:y = loga (x) ay = x De modo geral: y = k loga (x) + b, em que k e b R, sendo x = b assntota vertical.

FunesTrigonomtricas:Dadoumngulo,cujamedidaemradianosx,chamamosdefuno seno ou cosseno a funo que associa a cada x pertencente a R e indicamos: f(x) = sen(x) ou f(x) = cos(x). D = RIm = [-1,1]. Genericamente escreve-se: f(x) = a sen(bx + c) + d ou f(x) = a cos(bx + c) + d A funo peridica e o perodo bP 2=UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 9 b => a frequencia da funo d => o deslocamento vertical c => o deslocamento horizontal f(x) = 2sen(x) + 1) cos() () (xx senx tg y = =D = R;A = 2;im = [-1, 3])` + = Z k k x R x D ,2/ Exemplo 1) Analise o domnio, a imagem e esboce o grfico da funo y = 2x + 4. Soluo: Neste caso no h nenhuma restrio para a varivel x, que a varivel independente, portanto: D = {x R / x = R} ou D = R Im = {y R / y = R}ou Im = R y = tg(x) UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 10 Exemplo 2) Analise o domnio, a imagem e esboce o grfico da funo 21+=xy . Soluo: Aqui temos uma funo racional, isto , a varivel independente est no denominador. A restrio que temos que: x + 2 0 => x -2 D = {x R / x -2} ou D = R {2} Im = {y R / y = R*} Exemplo 3) Analise o domnio, a imagem e esboce o grfico da funo4 2 = x y . Soluo: Neste caso, temos uma funo irracional, isto , a varivel est no radicando. A restrio que: 2x 4 0 => x 2 D = { x R / x 2} ou D = [2 , ) Im = {y R / y 0} ou Im = [0 , ) Exemplo 4) Analise o domnio, a imagem e esboce o grfico da funo y = x + 5. Soluo: Aqui temos que: 5 + = x yx + 5 0 => x -5 D = { x R / x -5}ou D = [-5 , ) Im = {y R / y = R} ou Im = R ou Im = (- , ) UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 11 EXERCCIOS 1) Analise as seguintes funes determinando o domnio, a imagem e esboo do grfico. a) y = 8 5 x b) y =x216 c) y =x x25 4 +d) y =5 x12 e) xx f2) ( =f)821) (2 = x x fg) f(x) = 6 5x + x h) y = ex + 1

i) f(x) = 2sen(x) j) f(x) = sen(2x) k) y = 3cos(x) l) f(x) = cos(3x) PROPRIEDADES DAS FUNES Funo Injetora UmafunofdeAemBinjetorase,esomentese,doiselementosdistintosquaisquerdo domnio de f possuem imagens distintas em B. Sendo x1 A e x2 A, temos: x1 x2,f(x1) f(x2). Funo Sobrejetora Uma funo f de A em B sobrejetora se, e somente se, Im(f ) = B, onde B CD(f ). Funo Bijetora Uma funo f de A em B bijetora se, e somente se, injetora e sobrejetora. Reconhecimento de funo injetora, sobrejetora ou bijetora atravs do grfico Devemos analisar o nmero de pontos de interseo das retas paralelas ao eixo x, conduzidas por cada ponto (0, y) em que y B (contradomnio de f) UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 12 1) Se cada uma das retas cortar o grfico em um s ponto ou no cortar o grfico, ento a funo injetora. Exemplo 5) f: R R b) f: R+ R f(x) = xf(x) = x2

2) Se cada uma das retas cortar o grfico em um ou mais pontos, ento a funo sobrejetora. Exemplo 6) f: R R b) f: R R+ f(x) = x -1 f(x) = x2

3) Se cada uma dessas retas cortar o grfico em um s ponto, ento a funo bijetora. Exemplo 7) f: R R b) f: R R f(x) = 2x f(x) = x3 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 13 FUNO INVERSA Dada a funo f a sua inversa denotada por f 1 existe se o ponto (a , b) est no grfico de f e o ponto (b , a) est no grfico de f -1. Os pontos (a , b) e (b , a) so simtricos em relao bissetriz do 1 e 3 quadrantes, ou seja, o grfico de f e f 1 so simtricos em relao reta y = x , e ento o domnio de f a imagem de f 1 e a imagem de f o domnio de f -1. Obs: Para admitir inversa a funo deve ser bijetora. Para obtermos a inversa procedemos da seguinte forma: a) trocamos x por y na funo f; b) isolamos y. Exemplo 8) Seja y = 2x + 3. Determine a sua inversa, se existir. x = 2y + 3 231=xylogo 23) (1=xx f Grficos de outras inversas y = xf f -1 3x y =y = x3 y = log(x) y = 10x UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 14 Funes Trigonomtricas Inversas y = sen(x) f -1(x) = arcsen(x) ((

=2,2 De im = [-1 , 1]((

=2,2 im eD = [-1 , 1] y = sen(x) f -1(x) = arcsen(x) ((

=2,2 De im = [-1 , 1] im = R e D = [-1 , 1]

y = tg(x) f -1(x) = arctg(x)

(( =2,2 De im = ]- , [ D = ]- , [e

(( =2,2 imUTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 15

FUNES HIPERBLICAS Certas combinaes de exee-xaparecem to freqentemente em aplicaes da matemtica querecebemnomesespeciais.Trsdestasfunesso:senohiperblico,cossenohiperblicoe tangente hiperblica. Os valores destas funes esto relacionadas com as coordenadas dos pontos de uma hiprbole equiltera. E vale salientar que estas funes no so peridicas. Funo Seno Hiperblico: definida por y = senh x = 2e ex x , onde o D = R e a Im = R. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 16 Funo Cosseno Hiperblico: definida por y = cosh x = 2e ex x +, onde o D = R e a Im = [1, [. Funo Tangente Hiperblica: definida por y = tgh x = x xx xe ee e+, onde o D = R e a Im = ]-1, 1[. Funo Cotangente Hiperblica: definida por y = cotghx =x xx xe ee e+, onde o D = R* e a Im = ]-, -1[ ou ]1, [. Funo Secante Hiperblica: definida por y = sech x = x xe e2+, onde o D = R e a Im = ]0, 1]. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 17 Funo Cossecante Hiperblica: definida por y = cossechx =x xe e2, onde o D = R* e a Im = ]-, 0[ ou ]0, [. Muitasidentidadesanlogassconhecidasparafunestrigonomtricassovlidasparaas funes hiperblicas. Algumas identidades das funes hiperblicas esto abaixo relacionadas: i) cosh(x) senh(x) = 1; ii) senh(x) + cosh(x) = ex; iii) cosh(x) senh(x) = e-x; iv) 1 tgh2(x) = sech2(x); v) 1 cotgh2(x) = cossech2(x) ; vi) senh (x + y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y); vii) cosh (x + y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y); viii) senh(2x) = 2senh(x) cosh(x); ix) cosh(2x) = cosh2(x) + senh2(x); x)21 ) 2 cosh() (2=xx senh ; xi) 21 ) 2 cosh() ( cosh2+=xx UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 18 FUNES HIPERBLICAS INVERSAS Funo Arg Seno Hiperblico: definida por y = argsenh(x) =) 1 ( ln2+ + x x , onde o D = R e a Im = R. Determinao da expresso que define a funo argsenh(x), atravs da tcnica de determinao da funo inversa de y = senh(x) ) ( ) ( arg y senh x x senh y = =2 2y y y ye exe esenhy x = = =2x = ey - e-y => 2x - ey + e-y = 0 (. ey) e2y 2xey 1 = 0=>2) 1 .( 1 . 4 ) 2 ( 22 =x xey 1 x x e2 y+ =1 x x e2 y+ + ==> ) 1 x x ( ln e ln2 y+ + =) 1 ( ln2+ + = x x y Funo Arg Cosseno Hiperblico: definida por y = argcosh(x) =) 1 ( ln2 + x x , onde o D = [1, [ e a Im = [0, [. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 19 Funo Arg Tangente Hiperblica: definida por y = argtgh(x) = |||

\|+xx11ln , onde o D = ]-1, 1[ e a Im = R. Funo Arg Cotangente Hiperblica: definida por y = argcotgh(x) = |||

\|+11lnxx, ondeD = ]-, -1[ ou ]1, [ e a Im = R-{0} Funo Arg secante Hiperblica: definida por y = argsech(x) = |||

\| +xx21 1ln , onde D = ]0, 1[e a Im = R UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 20 Funo Arg cossecante Hiperblica: definida por y = argcossech(x) = |||

\|+ +| |1 1ln2xx, onde D = R*e a Im = R*

FUNO COMPOSTA DEFINIO: Sejam as funes f de A em B, e g de B em C. Funo composta de f em g (g o f)(x) a funo de A em C definida por (g o f)(x) = g(f(x)). Exemplo 9) Vamos supor que certo organismo tenha forma esfrica. Seu volume V pode ser obtido a partir de seu raio r (em mm), isto 3r34) r ( V V = = mm3. Suponhamos, ainda, que oraio varie com o tempo (em s) e que a relao entre r e t seja dada por r = r(t) = 0,02t2. Ento o volume V funo de t, mediante 6 3 2t 000008 , 034) t 02 , 0 (34) t ( V V = = = UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 21 Exemplo 10) Imaginemos que uma mancha de leo sobre uma superfcie de gua tenha a forma de um disco de raio r (em cm). Ento, sua rea A (em cm2) funo do raio, sendo dada por: A =A(r) =r2cm2 Por outro lado, considere que o raio cresa em funo do tempo t (em min), obedecendo seguinte relao r = r(t) = 15t + 0,5cm. Semdificuldades,usandoanoodefunocomposta,pode-sedeterminarareaocupada pela mancha em funo do tempo. De fato, quando t varia a partir do instante inicial (t = 0), o raio passa a crescer a partir de ro = 0,5cm. Como A = A(r) est definida para todos os valores de r 0, podemos calcular a funo composta: A(t) = (15t + 0,5)2cm2 Exemplo 11) Dadas as funes f(x) = 4x aeg(x) = 3x + 4. Calcule o valor de a para que f(g(x)) = g(f(x)). Soluo: para que f(g(x)) = g(f(x)) 4(3x + 4) a = 3(4x a) + 4=> a = -6 Exemplo 12) Seja f(x) = 3x + 2 e g(x) = 2x 5. Calcule f -1(g(x)). Soluo: Neste caso, devemos fazer a composta e depois a inversa f(g(x)) = 3(2x 5) + 2 => f(g(x)) = 6x 13 613)) ( (1+=xx g f EXERCCIOS:Achar o domnio e imagem das funes e esboar o grfico: 1) y = 2x + 12) 392=xxy3) < < =x sex sex sey2 42 1 11 34)3 = x y5)92 = x y 6) 22 x x y =UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 22 7) < =x se xx se xy11 2 328) y = x2 3x + 2 9) 522+=xxy 10) y = 2x + 1

11)2 = x y12) y = 3cos(x) 1 p/ 0 < x < 2 13) x2 + y2 = 414) 21xy =15) y = x3 + 216)x y = 317) xy1=18)62 = x x y19) 24 2+=xxy20) y = ln(x 1) EXERCCIOS GERAIS 1) Ache a equao da reta que passa pelos pontos (3,4) e (-5,2) 2) Ache o ponto de interseco das retas representadas pelas equaes 3x 4y + 6 = 0 ex 2y 3 = 0 3) Calcular f -1(x), de y = 2x 1 e represent-las graficamente no mesmo plano cartesiano. 4) Uma panela, contendo uma barra de gelo a 400C, colocada sobre a chama de um fogo. Nestas condies,ogrficoabaixonosmostraaevoluodatemperaturadaguaemfunodotempo. Pergunta-se: a)Qualaleiquedescreveessaevoluonosdoisprimeirosminutos?Enosoitominutos seguintes? E nos dez minutos que se seguem? b) O que significam as diferentes inclinaes dos trs segmentos que compem o grfico? UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 23 5)Oscabosdeumladodeumapontecomcargasuniformementedistribudastomamaformade uma parbola. As torresde suporte dos cabos tm 60 m de altura e o intervalo entre as torres de 600m.Opontomaisbaixoficaa18mdonveldaponte(conformefigura).Determineafuno que descreve o comprimento (L) dos fios e determine o comprimento de um dos fios de sustentao situado a 100 m do centro da ponte.L = 22,67m 6) Na fabricao de um determinado artigo, verificou-se que o custo total foi obtido atravs de uma taxafixadeR$4.000,00,adicionadaaocustodeproduo,quedeR$50,00porunidade. Determinar: a) a funo que representa o custo total em relao quantidade produzida; b) o grfico dessa produo; c) o custo de fabricao de 15 unidades; d) quantas unidades devem ser produzidas para que o custo total seja de R$ 5.250,00. 7)Umvendedordecarrosrecebeumordenadofixocalculadoem5salriosmnimosmaisuma comisso de 2 salrios para cada carro vendido. a) Num dado ms qual foi seu ordenado total bruto? b) No ms de abril ele recebeu 13 salrios mnimos. Quantos carros ele vendeu neste ms?8) Joo Carvoeiro e suafamlia trabalham para uma fbrica decarvo. Opatro paga R$ 0,20 por sacodecarvoproduzido.Todaacomidadafamliacompradanoarmazmdopatro,edum total de 120,00 u.m. por ms. Quantos sacos de carvo a famlia ter de produzir para pagar a conta do armazm? 9) O custo C de produo de x litros de uma certa substncia dado por uma funo de x, com x 0, cujo grfico est representado abaixo:0123456781 2 3 4 5 6 7 8 98520400C(x)x (litros) Nessas condies, o custo de R$ 700,00 corresponde produo de quantos litros? UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 24 10) Um homem deposita R$ 5000,00 a juros de 6% a.a. Em quanto tempo ele ter um montante de R$ 8954,24. a) se o juro pagvel anualmente; t 10 anos b) se o juro pagvel trimestralmente?t 9 anos e 9 meses Soluo a) M = 5000(1 + 0,06)t 8954,24 = 5000(1,06)t logo t 10 anos b) M = 5000(1+ 0,06/4)4t 8954,24 = 5000(1 + 0,015)4tlogo t 9 anos e 9 meses 11)UmadeterminadapopulaodebactriasnoinstantetdadoporP(t)=3031095t,sendoto tempo dado em minutos. Em quanto tempo esta populao chegar a 11100 bactrias? t 0,29 s 12)Nvelsonoro(N)deumsomoquocienteentresuasintensidadesiei0,ondei0amenor intensidade do som detectvel pelo ouvido humano dado por N = 10 log|||

\|0ii. A unidade do nvel sonoroodecibel(dB),sendoi(W/m2)aintensidadesonora.Submetidoanveissonoros superiores a 80 dB, o ouvido humano pode perder irrecuperavelmente a sensibilidade auditiva. No interior de um consultrio dentrio, os motores funcionam de forma inadequada e o nvel sonoro de 100dB. Considerando que a mnima intensidade sonora audvel i0 = 10-12 W/m2, determinar, a intensidade sonora (i).logo, i = 10-2W/m2 13) H dois sistemas comum para medir temperatura, Celsius e Fahrenheit. A gua congela a 0 C e a 32 F, e ferve a 100 C e 212 F. a) Sendo as temperaturas Celsius (Tc) e Fahrenheit (Tf) expressas como uma funo linear, encontre Tc em funo de Tf.9160 5 =xTC b) Qual a temperatura na qual a leitura em Celsius e Fahrenheit a mesma? -40 c) A temperatura normal do corpo humano 98,6 F. Quanto em C? TC = 37 C d) Esboce o grfico de Tc versus Tf e determine o domnio e a imagem. 14) Conforme mostra a figura em anexo, uma cmera montada em um ponto a 900 da base de um foguete.Quandolanado,ofoguetesobeverticalmenteeongulodeelevaodacmera constantemente ajustado para seguir a base dele. a) Expresse a altura como uma funo do ngulo de elevao.x = 900tg( ) b) Determine o domnio e a imagem da funo. c) Calcule a altura do foguete quando seu ngulo de elevao for /3. x = 1558,84m UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 25 15)Ocentrodegravidadedeumgolfinhosaltadordescreveumaparbolaconformeodesenho. Sendo assim, determine a altura mxima atingida pelo mesmo. 3,2 m 16)Umfogueteexperimentaldisparadodotopodeumacolina,tocaaextremidadesuperiorde uma rvore, sem mudar sua trajetria e atinge o solo, conforme a figura anexa. Determine a altura mxima atingida. 17)Segundodadosdeumapesquisa,apopulaodecertaregiodopasvemdecrescendoem relaoaotempot,contadoemanos,aproximadamente,segundoarelao: tP t P25 , 04 ) 0 ( ) ( = . Sendo P(0) uma constante que representa a populao inicial dessa regio e P(t) a populao t anos aps, determine quantos anos se passaro para que essa populao fique reduzida metade. R: 2 anos 18)OlucrodeumaempresaexpressopelafunoL(x)=100(10x)(x2),emquexa quantidadevendidanummsqualquer.Determineaquantidadevendidaparamaximizarolucro, diga qual o lucro mximo obtido e faa um esboo completo do grfico. R: 1600,00 19) Uma escada est encostada numa parede vertical formando com ela um ngulo de 60. Sabendo que o p da escada est a uma distncia de 5m da parede. Calcule o comprimento da escada.R: 5,77m 20)Combinecadafunocomseugrficocorrespondente:a) 5x ;b)y=2x5;c) 81xy = ; d) y = 8x;e) 42 = x y ;f) xy81=UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 26 21) Sejam as funes f(x) = x + 3 e g(x) =x . Determine f(g(x)) e g(f(x)). 22) Sejam as funes f(x) = ln(x), g(x) =xe h(x) = sen(x + 1). Determine f(g(x)) e g(f(h(x))). 23) Seja) 1 (2) ( = xxx f . Verifique se f(x + 1) = f(x) + x. 24) Seja f(x) = ln(x), verifique se: a) f(x) + f(y) = f(xy) b)) ( 2 ) ( 2 v f u fuvfvuf = ||

\| ||

\| UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 27 LIMITE Limiteumtemaqueestrelacionadocomtodososaspectosdanossavida.Nstemos limites tanto fsicos quanto psicolgicos, emocionais, etc. Matematicamenteoestudodelimitedeumafunomuitoimportante,pois,possibilitaa anlisedeumaseriedeinformaessobreocomportamentodogrficodestafuno,na vizinhana de um ponto, por exemplo. Navidaprticatemmuitarelevncia.Porexemplo:considereocusto(y)deumacontade energiaeltrica,sendoR$0,40porkw/hocustonumdeterminadoms.Suponhaque,nomsde maro,deseja-seterumacontadeR$40,00comumatolernciadeR$5,00paramaisoupara menos.Qualafaixadeconsumoxdeenergiaeltricaemkwparaqueacontafiquedentroda tolerncia do custo estabelecido? Soluo: x = consumo de energia em kw; y = custo final da conta de energia A funo custo : y = 0,4x com35 < y < 45 e a < x < b f(a) = 35 => 0,4a = 35 => a = 87,5 f(b) = 45 => 0,4b = 45 => b = 112,5 Conta (y)3536373839404142434445 Consumo (x)87,59092,59597,5?102,5105107,5110112,5 Pode-se observar que h uma relao direta entre a tolerncia do valor da conta de energia () com a tolerncia do consumo de energia eltrica (). Sendo assim, podemos escrever: seja uma tolerncia > 0 (na conta y), possvel determinar uma tolerncia > 0 (consumo de energia) tal que: | y 40 | < sempre que | x 100 | < Nota-se que medida que x se aproxima de 100, y se aproxima de 40, ou seja, quando x tende para 100 (x 100),y tende para 40 (y 40). Simbolicamente escreve-se: 40 4 , 0 lim100=xx Vemos que possvel fazer o valor de f(x) to prximo de 40 quanto desejarmos, tornando x suficientemente prximo de 100, isto , podemos tornar o valor absoluto da diferena entre f(x) e 40 topequenoquantodesejarmos,tornandoovalorabsolutodadiferenaentrexe100 suficientemente pequeno. x [87,5 ; 112,5] UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 28 DEFINIO:Sejaf(x)umafunodefinidanumintervaloabertoI,contendoa,exceto possivelmentenoprprioa.Dizemosqueolimitedef(x)quandoxaproxima-sedeaLe escrevemos, L x fa x=) ( lim se para todo > 0, existe um > 0, tal que < L x f ) (sempre que < a x . Exemplo 1) Provar que2 ) 1 3 ( lim1= xx < 2 ) 1 3 ( x sempre que < < 1 0 x < 3 3x < ) 1 ( 3 x 3 31= < xento, < 2 ) 1 3 ( x sempre que < < 1 0 x . Exemplo 2) Provar que= +) 1 3 ( lim2xx 7 Exemplo 3) Provar que=39lim23xxx 6 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 29 LIMITES LATERAIS Seja f uma funo definida em um intervalo aberto I (a, c). Dizemos que um nmero real L o limite direita da funo f quando x tende para "a" pela direita, e escrevemos: L x fa x=+) ( lim isto , todos os valores de x so sempre maiores do que "a". Seja f uma funo definida em um intervalo aberto I (a, c). Dizemos que um nmero real L o limite esquerda da funo f quando x tende para "a" pela esquerda, e escrevemos: L x fa x=) ( lim isto , todos os valores de x so sempre menores do que "a". TEOREMA:SejafumafunodefinidaemumintervaloabertoIcontendoa,exceto possivelmente no ponto a, ento: L x fa x=) ( lim se e somente se:L x f x fa x a x= = + ) ( lim ) ( lim L-se: limite de f de x, quando x tende a a L Exemplos 4) Verifique se existe o limite da funo f(x) = x + 1, quando x tende a 1. Soluo: 1 lim21+xx = (1) + 1 = 2 1 lim21++xx = (1) + 1 = 2 Como2 ) ( lim ) ( lim1 1= =+ x f x fx x, logo,2 1 lim21= +xx UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 30 Exemplo 5) Verifique se existe o limite de < +=1 , 21 , 1) (x se xx se xx f , em x = 1. Soluo: 1 lim1+xx = 1 + 1 = 2 xx+2 lim1 = 2 1 = 1 Como) ( lim ) ( lim1 1x f x fx x+ , Logo, existe no x fx=) ( lim1

LIMITES NO INFINITO Umafunof(x)temlimitebquandoxtendeaoinfinitopositivamente,separaqualquer nmero positivo por pequeno que seja, possvel indicar um M positivo, tal que, para todo x que satisfaz x > M se verifica | f(x) b | < . Isto , M x se b x f que tal M b x fx> < > > = + | ) ( | 0 , 0 ) ( limGeometricamente: Umafunof(x)temlimitebquandoxtendeaoinfinitonegativamente,separaqualquer nmero positivo por pequeno que seja, possvel indicar um N negativo, tal que, para todo x que satisfaz x < N se verifica | f(x) b | < . Isto , N x se b x f que tal N b x fx< < < > = + | ) ( | 0 , 0 ) ( limGeometricamente: UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 31 Exemplo 6) Considere a funo 1) (+=xxx f . Pelo grfico de f(x) podemos notar que o limite aproximadamente igual a 1. Este fato escrito da seguinte forma 11lim = ||

\|+ xxx Soluo: > 0, N < 0tal que | f(x) 1 | < se x < N. N = -101 DEFINIO: Sejaf:BRumafuno,Bumconjuntoquenolimitadosuperiormente (inferiormente) e L R. Dizemos que L x f x fx x= = + ) ( lim ) ( lim UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 32 LIMITES INFINITOS Uma funo y = f(x) torna-se infinitamente grande positivamente quando x a se o valor de f(x)setornaepermanecemaiordoquequalquernmeropositivoMdevidamenteescolhido,por maior que seja. Isto , < > > > + =| | ) ( 0 , 0 ) ( lim a x que sempre M x f que tal M x fa x Geometricamente: Uma funo y = f(x) torna-se infinitamente grande negativamente quando x a se o valor de f(x)setornaepermanecemenordoquequalquernmeronegativoNdevidamenteescolhido,por maior que seja. Isto , < < > < =| | ) ( 0 , 0 ) ( lim a x que sempre N x f que tal N x fa x Geometricamente: UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 33 Exemplo 7) Determine ||

\|12lim1xx Soluo: < > > > + =| | ) ( 0 , 0 ) ( lim a x que sempre M x f que tal M x fa x M Mxx que sempre Mx2 2| 1 || 1 |12= = < > se = 0,01 => M = 200 = ==021 1212lim1xx Propriedades dos Limites P1)c ca x=limP2)a xa x=limP3)) ( lim ) ( lim x f c x f ca x a x = P4)[ ] ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x fa x a x a x = P5)[ ] ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim x g x f x g x fa x a x a x = P6) ) ( lim) ( lim) () (limx gx fx gx fa xa xa x=P7)[ ]na xna xx f x f((

= ) ( lim ) ( limP8)na xna xx f x f ) ( lim ) ( lim =P9)) ( lim log ) ( log lim x f x fa xb ba x = comf(x) > 0 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 34 CLCULO DE LIMITES: LIMITES INDETERMINADOS Noestudodolimitedeumafunoconsideradaumaindeterminaoquandoocorreruma das seguintes situaes: 0, , 1 , ,00, 0 e 00. Para evitarmos (ou sairmos de) uma indeterminao de limite devemos simplificar a funo. Exemplo 8) Calcule o limite de 416 8lim24++ + xx xx. Soluo:004 416 ) 4 ( 8 ) 4 (lim24=+ + + xindeterminao. 0 4 4 4 lim4) 4 (lim416 8lim42424= + = + =++=++ + xxxxx xx x x Exemplo 9) Calcule 42lim4xxx. Soluo:004 42 4lim4= x indeterminao. 412 2121lim) 2 )( 4 (4lim2242lim4 4 4=+=+= =++ x x xxxxxxx x x UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 35 Exemplo 10) Calcule11lim31xxx Soluo:0011lim31=xxx indeterminao Definindo x = t6. Se x 1, ento, t 1, assim: 3211lim11lim11lim21321 63 61=+ ++== t ttttttt t t Exemplo 11) Calcule x xxx3 55 2lim22++ Soluo: =++ x xxx3 55 2lim22indeterminao Colocando x em evidncia, obtemos: 523552lim2 =++ xxx Exemplo 12) Calcule 32 1lim3 xxx Soluo:0032 1lim3= xxx indeterminao Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado, obtemos: 2 21) 2 1 ( ) 3 (3lim2 12 132 1lim3 3=+ =+ + x xxxxxxx x UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 36 EXERCCIOS 1) Para a funo cujo grfico est na figura em anexo determine: a)) ( lim3x fx=b)) ( lim3x fx+ =c)) ( lim3x fx = d) f(3) =e)) ( lim x fx =f)) ( lim x fx + = 2) Para a funo cujo grfico est na figura em anexo determine: a)) ( lim0x fx= b)) ( lim0x fx+ =c)) ( lim0x fx = d) f(0) =e)) ( lim x fx =f)) ( lim x fx + = 3) Para a funo cujo grfico est na figura em anexo determine: a)) ( lim0x fx= b)) ( lim0x fx+ =c)) ( lim0x fx = d) f(0) =e)) ( lim x fx =f)) ( lim x fx + = 4) Para a funo cujo grfico est na figura em anexo determine: a)) ( lim4x fx =b)) ( lim4x fx+ = c)) ( lim4x fx = d) f(-4) = e)) ( lim x fx = f)) ( lim x fx + = 5) < =1 ,21 , 1) (2x sexx se xx f) ( lim1x fx resp: existe 6) < +=0 , 00 , 1 2) (x sex se xx f ) ( lim0x fx resp: existe 7) 24lim22xxx resp:4 8) xxx11lim21resp:29) < +=2 ,2 , 2) (2x se xx se xx f) ( lim2x fx resp:4 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 37 10) 22lim22++ xx xxresp: -2 11) x xx xx+230lim resp: -1 12) 26 5 2lim2 32 +xx x xxrep: 15 13) x xx x x xx+ +22 3 412 5 2limresp: 3 14)8 3 2 lim2 41 + x x xxresp: -8 15) 5 21 2lim21++ +xx xxresp: 4/7 16) 46lim222 xx xxresp: 5/4 17)1 1 2 lim2 2 + + x xxresp: 18) 11lim31++ xxxresp: 3 19) 84lim322xxxresp: 1/3 20) x xxx32 4lim220+ +resp: 0 21) 64) 4 (1 2limxxxresp: 22) 11 4 2lim2 32 3+ + + + x x xx xxresp: 2 23) 1 23lim2++ + xx xxresp: e -24) 31lim3 3+ + xx xxresp: 1 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 38 25) x x xxx+ + ++ + 33lim2resp: 1/2 26)) ( lim x arctgx resp: /2 27) x xx1311lim1resp: 28) 11lim431xxx resp: 4/3 29) 23 3 21) 1 (1 2lim+ xx xx resp: 1/9 LIMITES NOTVEIS OU FUNDAMENTAIS Os limites fundamentais auxiliam no clculo de limites indeterminados do tipo 00, 1e0. I) Proposio 1) sen(lim0= ||

\|xxx TEOREMADOCONFRONTOOUSANDUCHE:Suponhamosqueg(x) ax = u + 1 ln(ax) = ln(u + 1) => x ln(a) = ln(u + 1) =>) ln() 1 ln(aux+=se x 0, u 0, assim: ) ln() 1 ln( lim) ln( lim) 1 ln() ln() 1 ln() ln() 1 ln() ln() ln() 1 ln(lim10010auauauuaua uauuuuuuu=+=+=+=+=+ Finalmente: ) ln(1lim0axaxx= UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 41 CONTINUIDADE DE UMA FUNO Continuidade de uma funo num ponto Ponto interior: Uma funo y = f(x) contnua em um ponto interior c do seu domnio quando: ) ( ) ( lim ) () ( lim ) () ( ) (c f x f IIIx f IIc f Ic xc x= Continuidadenumintervalo:Umafunoy=f(x)contnuadireitaemx=aoucontnua esquerda em x = b, ento a funo contnua no intervalo fechado x [a , b]. ) ( ) ( lim ) ( ) ( lim b f x f ou a f x fb x a x= = + TEOREMA: Se a funo f(x) no definida para x = a e se oL x fa x=) ( lim , ento, a funo f(x) ser contnua em x = a se o valor L for atribudo f(x) para x = a. Isto : ==a x se La x se x fx f,, ) () ( Exemplos 16)Analise a continuidade da funo 11) (2=xxx f Soluo:D = R {1}. No definida em x = 1. 2 1 lim1) 1 ( ) 1 (lim11lim1 121= + =+ =|||

\| xxx xxxx x x ) 1 ( ) ( lim1f x fx, portanto, a funo dada tem descontnua removvel em x = 1. Redefinindo a funo, obtemos:==1 , 21 ,11) (2x sex sexxx f UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 42 Exemplo 17) Analise a continuidade da funo: < + +=1 , 11 , 3) (x se xx se xx fSoluo:Seja a R. sea> -1, temos f(a) = a + 3 3 3 lim + = +a xa x sea< -1, temosf(a) = -a + 1 1 1 lim + = + a xa x sea = -1, temosf(-1) = -1 + 3 = 2 2 3 lim1= ++ xx, 2 1 lim1= + xx, logo,2 ) ( lim1= x fx A funo dada contnua em todos os pontos do seu domnio. Exemplo 18) Analise a continuidade da funo: = + =2 , 32 ,21) (x sex sex x gSoluo: D = R {-2} =+ 21lim2 x x portanto, a funo dada tem uma descontnua essencial em x = -2. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 43 EXERCCIOS 1) Analise as seguintes funes, verificando a continuidade. a) < =1 , 41 , 1) (2x se xx se xx fb) = +=2 , 22 , 3) (x sex se xx fc) 63) (2 +=x xx fd) 21) (2 +=x xxx fe)4 ) ( = x x ff) 12+=xxyg) xxy1 +=2) Calcule os seguintes limites: a) xxx) 5 sen(lim0 resp: 5 b)) ( cos . lim0x ec xx resp: 1 c) ||

\|xxx6sen lim0 resp: 0 d)||

\| xxsenx3 2lim resp: 23e) ) 15 sen() 9 sen(lim0xxx resp: 53 f) ) 2 sen() 8 sen(lim0xxx resp: 4 g) xxx7) sen(lim0 resp: 0 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 44 h)||

\| 2 82cos 3 limxxxresp: 22 3 i)||

\| xxx2 13cos 2 limresp:0 j)||

\|++ 112 lim2xxsenx resp:1,19 k) 30) ( ) (limxx sen x tgx resp: l)( ) ) ln( ) 1 ln( lim x xx + resp: 0 m) 2) 2 ( ) (lim2xsen x senx resp: cos(2) n) xe xxx21lim20+ resp: 3/2 o) 20) 2 cos( ) cos( 2 1limxx xx+ resp: -1 p) ) 2 (1lim) (0x senex senx resp: q) ) ( ) cos() ( 1lim4x sen xx tgx resp:2r) 11lim5 52 21xxxee resp: 2/5 s) xx sen xx) ( 3lim20 resp: -3 t) 3) 3 ln( ) ln(lim3xxx resp: 1/3 u)( )) ( cot202) ( 3 1 limxxx tg + resp: e3

v)||

\| + x x xxlimresp: x) ) ( ) 2 (5 2lim0x sen x senx xx resp: ||

\|52lnUTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 45 z) ) (5 4 3 4lim0x senx xx resp: ||

\|53ln 4aa) 116 3 16lim0 xxxe resp: 16 ln(3) bb) ) 1 ln(9 3lim20++xxx resp: 9 ln(3) UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 46 DERIVADA Introduo: A reta tangente Seja f uma funo contnua e P(x, f(x)) um ponto sobre acurvay=f(x).Analisaremosagora,oclculoda inclinao(coeficienteangular)daretatangentecurva traadaporfnopontoP.Paraanalisarmosestaquesto, escolhemos um nmero pequeno x = x xo, diferente de zero.Sobreogrfico,marcamosopontoQ(x+ x, f(x+ x)).Traamosumaretasecantequepassapelos pontos P e Q. A inclinao desta reta dada por: xx f x x fmPQ +=) ( ) ( (quociente de Newton) VamosfixaropontoP,emoverQaolongodacurva,aproximando-sedeP.Logo, x0 (dizemosque xtendea0).NotequearetasecantePQseaproximaaumaposiolimite. Desejamos que essa posio limite seja a reta tangente. Assim, caso a reta tangente curva de f no pontoPexista, PQm tambmseaproximadocoeficienteangulardestareta: xx f x x fmx += ) ( ) (lim0. Derivada de uma funo y = f(x) num ponto em que x = x0 Considereafiguraacima,querepresentaogrficodeumafunoy=f(x),definidanum intervalo de nmeros reais. A operao para encontrarmos a derivada de uma funo chama-se diferenciao. Calculamos a derivada utilizando o conceito de limites: aplicando a frmula: xx f x x fx fx += ) ( ) (lim ) ( '0 l-se: derivada de f em relao a x.xo = valor inicial no eixo x;f(xo) = valor inicial no eixo y x = valor final no eixo x;f(x) = valor final no eixo y x = x - xo; y = f(x) - f(xo)variaes de x e y OBSERVAO *ADerivadadeumafunoy=f(x)numpontox=xopodeserentendidacomoataxa instantnea da variao de y em relao a x no ponto (xo ; yo). *Geometricamente,aderivadadeumafunofnumpontoxoocoeficienteangularda reta tangente ao grfico de f no ponto de abscissa xo. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 47 Notaes para a derivada de uma funo y = f(x): f'(x),fx(x),Dxf(x),y e dxdy Se a funo diferencivel em xo, ento a equao da reta tangente ao grfico da funo f no ponto (xo , f(xo)) : y = f(xo)(x xo) + f(xo) Exemplo 1) Determinar a equao da reta tangente ao grfico de f(x) = 3x2 12 no ponto (1 , -9). Soluo:xx f x x fx fx += ) ( ) (lim ) ( '0 x x fx xxx x xxx x xxx x x x xxx x xx fx x xx x6 ) ( ') 6 ( lim) 6 (lim) ( 6lim12 3 12 ) ( 6 3lim) 12 3 ( 12 ) ( 3lim ) ( '0 0202 2 202 20= + = += + =+ + += += f(1) = 6(1) = 6 y = f(xo)(x xo) + f(xo) y = 6(x 1) 9 y = 6x - 15 INTERPRETAO MECNICA DA DERIVADA Velocidade mdia Velocidade instantnea Acelerao mdia Acelerao instantnea tSv=dtdstSvt== 0limtva=dtdvtvat== 0lim UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 48 REGRAS DE DIFERENCIAO Derivada da Funo Constante y = k => y = 0 0 lim '0== xk kyx Derivada da Funo Identidade y = x => y = 1 1 lim '0= += xx x xyx Derivada da Funo Potncia y = xn=> y = n xn 1 1 1 2 2 101 2 2 101 2 2 101 2 2 10) ( ) ( ... ) (2) 1 (lim ') ( ) ( ... ) (2) 1 (lim ') ( ) ( ... ) (2) 1 (lim ') ( ) ( ... ) (2) 1 () (:) (lim ' = + + + + = + + + + = + + + + += + + + + + = + +=n n n n nxn n n nxn n n n n nxn n n n n nn nxx n x x x n x xn nx n yxx x x n x xn nx x nyxx x x x n x xn nx x n xyx x x n x xn nx x n x x xque se tem Newton de binmio Peloxx x xy Finalmente:10) (lim ' = +=nn nxx nxx x xy UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 49 Derivada do produto de uma constante por uma funo Seja g(x) = k f(x) => g(x) = k f(x) ) ( ' ) ( ') ( ) (lim) ( ) (lim) ( ) (lim ) ( '0 0 0x f k x gxx f x x fkxx f x x fkxx f k x x f kx gx x x= += += += Derivada da soma e diferena de funes Seja h(x) = f(x) g(x) => h(x) = f(x) g(x) ( )xx g x x gxx f x x fx hxx g x x g x f x x fxx g x f x x g x x fx hx xx x + += + += + += ) ( ) (lim) ( ) (lim ) ( ') ( ) ( ) ( ) (lim) ( ) ( ) ( ) (lim ) ( '0 00 0 Finalmente:h(x) = f(x) g(x) Derivada do Produto de funes Seja f(x) = u(x)v(x) => f(x) = uv + u v [ ] [ ]xx v x x v x uxx u x x u x x vx fxx v x u x x v x u x x v x u x x v x x ux fxx x v x u x x v x u x v x u x x v x x ux fque se tem x x v x u termo o numerador no subtraindo e somandoxx v x u x x v x x ux fx xxxx ++ + += + + + + += + + + + += + + += ) ( ) ( ) (lim) ( ) ( ) (lim ) ( ') ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (lim ) ( ') ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (lim ) ( ': ) ( ) ( , ,) ( ) ( ) ( ) (lim ) ( '0 0000 Finalmente: f(x) = u(x) v(x) + u(x) v(x) UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 50 Derivada do Quociente de funes Seja ) () () (x vx ux f = =>2' ') ( 'vv u v ux f=[ ] [ ][ ] [ ]xx v x x vx v x x vx uxx u x x ux v x x vx vx fx x v x x vx v x x v x u x u x x u x vx fx x v x x vx v x u x v x u x x v x u x v x x ux fque se tem x v x u termo o numerador no subtraindo e somandox x v x x vx x v x u x v x x ux fxx v x x vx x v x u x v x x uxx vx ux x vx x ux fx xxxxx x + + + += + + += + + + += + + += + + += + += ) ( ) () ( ) () (lim) ( ) () ( ) () (lim ) ( ') ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (lim ) ( ') ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (lim ) ( ': ) ( ) ( , ,) ( ) () ( ) ( ) ( ) (lim ) ( ') ( ) () ( ) ( ) ( ) (lim) () () () (lim ) ( '0 00000 0 Finalmente:2' ') ( 'vv u v ux f= Derivada da Funo Exponencial Seja y = ax => y = ax ln(a) xaaxa axa adxdyxxxx xxx x xx=== + 1lim) 1 (lim lim0 0 0 Finalmente:) ln(a adxdyx= No caso particular de: y = ex => y = ex

UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 51 Derivada da Funo Logartmica Seja y = loga x => xx dxdyalog1= =||

\| + =||

\| +=||

\| += += u xu xxdo substituinxxxx xx xxx xxx x xdxdyxaxaxaxa ax, 0 ,11 log limlog1limloglimlog ) ( loglim100 0 0 = uauxuauu x u||

\|+ =||

\|+ 11 log1lim11 log lim1 por limite notvel Finalmente:ex dxdyalog1= No caso particular de: y = ln(x) =>xy1' = Derivada da Funo Seno Seja y = sen(x) => y = cos(x) ( )xx x sen x x senxx sen x x sen x x senxx sen x x sendxdyxx x + = + = += ) cos( ) ( 1 ) cos( ) (lim) ( ) cos( ) ( ) cos( ) (lim) ( ) (lim00 0 = ( )xx x senxx x senx x+ ) cos( ) (lim1 ) cos( ) (lim0 0 por limite notvel Finalmente:) cos(xdxdy= UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 52 Derivada da Funo Cosseno Seja y = cos(x) => y = -sen(x) ( )( ): lim ,) ( ) (lim1 ) cos( ) cos(lim) ( ) ( 1 ) cos( ) cos(lim) cos( ) ( ) ( ) cos( ) cos(lim) cos( ) cos(lim0 000 0notvel ite porxx sen x senxx xxx sen x sen x xxx x sen x sen x xxx x xdxdyx xxx x = = = += Finalmente:) (x sendxdy = Derivada da funo tangente Seja y = tg(x)=> y = sec(x) Afunotangenteescritacomoumarazo ) cos() () (xx senx tg y = = ,logosuaderivadapodeser encontrada pela regra do quociente, assim,2' 'vv u v udxdy = . ) ( cos1) ( cos) ( ) ( ) cos( ) cos(2 2x xx sen x sen x xdxdy=+=Finalmente:) ( sec2xdxdy= Aderivadadasdemaisfunestrigonomtricaspodeserobtida,comfacilidade,apartir das regras de derivadas j demonstradas. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 53 EXERCCIOS 1)UmapartculapercorreumacurvaobedecendoequaohorriaS=3t2(SI).Determine a sua velocidade no instante t = 5 s.R: v(5) = 30 m/s 2)Umpontomaterialdescreveumacurvatendoparaequaohorriat S = (SI).Determinar a sua velocidade no instante t = 1,5s.R: v(1,5) = 0,42 m/s 3) Um ponto em movimento tem equao da velocidade 2t t v + =(SI). Encontrar sua acelerao no instante t = 1s.R:a(1) = 2,5 m/s 4)Encontraraaceleraonoinstantet=8sdeumpontoquetemvelocidadevarivelsegundoa expresso 3t t v + =(SI).R: a(8) = 1,08 m/s 5) Determinar a equao da reta normal ao grfico de2 ) ( = x x fno ponto em que x = 3. R: y = -2x + 7 6) Encontrar a equao da reta tangente ao grfico de f(x) = 2sen(x) + x que paralela y x = -1. R: y = x + 2 7)Encontrarocoeficienteangularearetatangenteaogrficode2 ) ln( ) ( + = x x x f noponto em que x = 1.R: 2523 =xy 8) Determine a equao da reta normal f(x) = x2 + e3x no ponto (0 , 1). R:13 + =xy 9) Ache a equao da reta tangente ao grfico da funoy = x 3x + 4, no ponto (2 , 6).R:y = 9x 12 10) Seja f(x) =x ln(x+ 1) umacurva. Caso exista, determine aequao da reta tangente aesta curva, tal que seja normal a reta r: 3y + 3x = 6. R:y = x 0,7511) Ache a equao da reta tangente ao grfico da funo 83xy =, no ponto (4 , 8).R:y = 6x - 16 12) Ache a equao da reta tangente ao grfico da funo y = x4 4x, no ponto (0 , 0).R:y = -4x 13) Ache a equao da reta tangente ao grfico da funo y = 2cos(x) + 1, no ponto em que x = 0. R:y = 3 14) Determine a equao da reta tangente funo y = ex + 1 que seja paralela reta y = x 2.R:y = x + 2 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 54 DERIVADA DA FUNO COMPOSTA (REGRA DA CADEIA) As regras de derivao j estudadas so aplicadas a funes simples, porm para derivar uma funocompostaf(g(x))ou) ( )' ( x g f o nohregraquepossaseraplicadadiretamente.Por exemplo,paraderivarfunescomou y = eu=x+1,ento12+ = x y necessriousar outra forma de derivada que chamada Regra da Cadeia.DEFINIO: Se y = f(u), u = g(x), e as derivadas dudy e dxdu existem, ambas, ento a funo composta definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por:) ( ' )) ( ( ' ) ( ' ) ( ' x g x g f x g u fdxdududydxdy= = = Formaremos, separadamente, o quociente de Newton em ambas as funes, assim: y = f(u + u) f(u)=>uu f u u fuy += ) ( ) ( (i) u = g(x + x) g(x)=>xx g x x gxu += ) ( ) ( (ii) Note que, os primeiros membros de (i) e (ii), nos do uma razo entre o acrscimo de cada funo e oacrscimodacorrespondentevarivel.Ossegundosmembrosde(i)e(ii),nosdoasmesmas razes de outra forma. Escolhemos os primeiros membros por ser uma notao mais conveniente e faamos o produto, assim: xuuyxy= Fazendo x 0, ento, u 0, pois, u(x) varivel e, portanto, contnua logo, podemos escrever: xuuyxyx u x= 0 0 0lim lim lim) ( ' )) ( ( ' x g x g fdxdyoudxdududydxdy= = importanteobservarque dudyaderivadaemrelaoauquandoyconsideradocomo funo de u e que dxdu a derivada em relao a x quando y considerado uma funo (composta) de x. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 55 Exemplo 2) Determinar dxdy se12+ = x ySoluo: u = x + 1, 21u u y = = , a derivada :dxdududydxdy =ududy21=exdxdu2 = portanto, uxdxdyxudxdy= = 221 =>12+=xxdxdy A soluo tambm poderia ser obtida de forma mais simplificada, como: 212) 1 ( + = x yx x y 2 ) 1 (21'212 + = Exemplo 3) Achar dxdy se y = sen(cos(x))+ 3xex + 1 Soluo:Usando a regra da cadeia, obtemos:y' = -cos(cos(x)) sen(x) + 3ex + 1 + 6x ex + 1

Exemplo 4) Achar a derivada de y = (2x3 5x2 +4)10 y' = 10(2x3 5x2 + 4)9 (6x2 10x) 212) 1 ( '+ = x x y UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 56 Exemplo 5) Determine a derivada de 32 22) 1 (+=xxySoluo: reescrevendo a funo, obtemos: 3123322312 2322322 232 2 2) 1 (34) 1 ( 2 '2 ) 1 (32) 1 ( 2 ') 1 ( ) 1 (+ + + =+ + + =+ = + =xxx x yx x x x x yx x x x y Derivada da composta da funo logaritmo natural ( )uux u Dx'| ) ( | ln = Derivada da funo exponencial composta a) Sejay = eu(x) => y = eu u b) Sejay = u(x)v(x) => y = uv uv 1 + uv ln(u) v ) ln(vue y ==> y = ev ln(u)

) ' ) ln( ' ( ) ' ) ln( ' ( ') ' ) ln( ' (') ln( ' '1 1 ) ln(1 ) ln( ) ln( + = + =+ = ||

\|+ =u u v u v u u u v u v e yu u v u v euuv u v e yv uu v u vv y'=u v uv 1+uv ln(u) v UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 57 TABELA DE DERIVADAS FunoDerivadaFunoDerivada f(x) = k f'(x) = 0f(x) = sen(u(x)) f'(x) = cos(u) u' f(x) = u(x)n f'(x) = n un-1 uf(x) = cos(u(x)) f'(x) = - sen(u) u'f(x) = k u(x)nf'(x) = kn un-1 uf(x) = tg(u(x)) f'(x) = sec2(u) u' f(x) = u(x) v(x) f'(x) = u' v' f(x) = cotg(u(x)) f'(x) = -cosec2(u) u' f(x) = u(x) v(x) f'(x) = u' v + u v' f(x) = sec(u(x))f'(x) = sec(u) tg(u) u' ) () () (x vx ux f =2' ') ( 'vv u v ux f = f(x) = cosec(u(x))f'(x)=-cosec(u) cotg(u) u' f(x) = ln|u(x)|uux f') ( ' =f(x) = arcsen(u(x)) '11) ( '2uux f=f(x) = log a u(x) | | ln') ( 'a uux f =f(x) = arccos(u(x))'11) ( '2uux f=f(x) = eu(x) f'(x) = eu u'f(x) = arc tg(u(x))'11) ( '2uux f+=f(x) = au(x) f'(x) = au ln|a| u f(x) = u(v(x))f'(x) = u' v' IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS 1) sen2(x) + cos2(x) = 1 2) ) cos() () (xx senx tg = 3) ) () cos() ( cotx senxx g = 4) ) cos(1) sec(xx = 5) ) (1) sec( cosx senx =6) sec2(x) = 1 + tg2(x) 7) cosec2(x) = 1 + cotg2(x) 8) 2) 2 cos( 1) (2xx sen= 9) 2) 2 cos( 1) ( cos2xx+=10) sen2(x) = 2sen(x).cos(x) 11) cos(2x) = cos2(x) sen2(x) 12) cos(2x) = 1 - 2 sen2(x) 13) cos(a + b) = cos(a).cos(b) sen(a).sen(b) 14) sen(a b) = sen(a).cos(b) sen(b).cos(a) 15) sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a) UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 58 DERIVADA DAS FUNES HIPERBLICAS Seja( )x xe e x senh y = =21) (=> ( ) ) cosh(21' x e e yx x= + = Logo,y = senh(x) =>y = cosh(x) Seja( )x xe e x y+ = =21) cosh(=> ( ) ) (21x senh e e yx x= = Logo, y = cosh(x) =>y = senh(x) Seja x xx xe ee ex tgh y+= = ) (=>( )24'x xe ey+=Logo,y = tgh(x) => y = sech(x) Seja x xx xe ee ex gh y+= = ) ( cot=>( )24'x xe ey =Logo, y = cotgh(x) => y = - cossech(x) Seja y = sech(x) => y = - sech(x) tgh(x) Sejay = cossech(x) => y = - cossech(x) cotgh(x) As demonstraes da derivada das funes hiperblicas ficam como exerccio. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 59 EXERCCIOS 1) Calcule a derivada de cada uma das seguintes funes: a) f(x) = 7x 5f(x) = 7 b) g(x) = 1 2x xg(x) = -2 2x c) f(x) = x - 3x + 5x 2f(x) = 3x - 6x + 5 d) 4 881x x y = y = x7 4x e) 2 42141) ( t t t f = f(t) = t3 t f)( )4 3234) (++ =xe tg r r V V(r) = 4 r + 2x ex + 4 sec(ex + 4) g) 2213 ) (xx x x f + + = f(x) = 2x + 3 2/x h) 44414 ) (xx x g = g(x) = 16x3 + 1/x5 i) ( ) ) 3 ( ln31) (x sene x f = ) 3 ( ) 3 cos( ) ( '32x sen x x f=j) 4 25 3) (x xx g + = g(x) = -6/x3 20/x5 k)( ) 1 3 ) (2 = x sen x f ( ) 1 3 cos1 33) ( '22= xxxx fl) f(x) = (2x4 1)(5x3 + 6x)f(x) = 8x(5x + 6x) + (2x4 1)(15x + 6) m) 1) (=xxx f2) 1 (1) ( '=xx fn) 1 21 2) (22+ + +=x xx xx h 2 22) 1 2 () 1 ( 4) ( '+ =x xxx ho) 22 15) (ttt f+=2 22) 2 1 (10 5) ( 'ttt f+=p) 88) (33+=yyy h2 32) 8 (48) ( '+=yyy hUTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 60 q) xexxeex p|||

\|+=11ln ) (1 11ln2) ( '22+|||

\|+=xxxx xeeee ex pr) 4 3 2) ( x x x q + =43314132) ( ' + = x x x qs) 433 1) ( xx xx p + =33423421) ( ' x x x x p + += t) f(x) = x( ) 3 ln + x+ e2x 5xf(x) = x ln(x + 3) + 6 22+ xx + 2e2x 5 u) y = 3 ( ) ) ( ln2x sen+ e-3x x3 + 10 2 3 23 3 ) cot( 3 ' x e x x yx = v) y = 2xe-x + ln(5x) 2x 2 3616 2 '3 3xxe x e yx x + = x) y = 2x + 1 x + sen(3x) y = 2x + 1 ln(2) 3x + 6xcos(3x) y) f(x) = 5x ln(x + 1)125 ) 5 ln( 2 '22+ =xxx yx z) y = 32x + tg(2x) cossec(x) y = 2ln(3) 32x + 2sec(2x) + 2xcossec(x)cot(x) DIFERENCIAO IMPLCITA Funo Implcita: Dadaafunoy=2x23,costumamosdizerqueyumafunoexplcitadex,pois, podemos escrever: y = f(x), com f(x) = 2x2 3. A equao y 2x = -3 define a mesma funo f, pois, resolvendo em relao y, temos:y = 2x2 3. Paraocasoy2x+3=0,dizemosquey(ouf)umafunoimplcitadex,ouquef definida implicitamente. Substituindo y por f(x) em y 2x = -3, obtemos: f(x) 2x = -3=>2x2 3 2x = -3 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 61 Altimaequaoumaidentidade,poisvlida,xdodomniodef.Estauma caractersticadetodafunofdefinidaimplicitamenteporumaequaoemxey;isto,f implcita se e somente se a substituio de y por f(x) conduz a uma identidade. Como (x , f(x)) um pontodogrficodef,altimaafirmaoimplicaqueogrficodafunoimplcitacoincidecom uma parte do (ou todo o) o grfico da funo. Derivada implcita A derivada de uma funo implcita feita pelo mtodo da diferenciao implcita, segundo o qual derivamos cada termo da equao em relao a x. Ao aplicar a diferenciao implcita, muitas vezes necessrio considerar Dx(yn) para alguma funo desconhecida y de x, digamos y = f(x). Pela regra da potncia podemos escrever Dx(yn) em qualquer uma das seguintes formas: Dx(yn) = n yn-1 Dx(y)=n yn-1 y=dxdynyn1 Comoavariveldependenteyrepresentaaexpressof(x),essencialmultiplicarnyn-1pela derivada y ao diferenciarmos y em relao a x. Assim, Dx(yn) n yn-1, a menos que y = x. Exemplo 6) Encontre a derivada implcita da funo implcita: y 2x = -3. Soluo: Dx (y 2x) = Dx (-3) y 4x = 0=> Exemplo 7) Encontre a derivada implcita da funo implcita: y4 + 3y 4x3 = 5x + 1. Soluo: Dx (y4 + 3y 4x3) = Dx (5x + 1) 4y3y + 3y 12x2 = 5 Agora isolamos y, obtendo:y' (4y3 + 3) = 12x2 + 5=> y = 4x 3 45 12'32++=yxyUTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 62 Exemplo 8) Determine, se existir, a equao de uma reta normal curva C: x + xy + y = 3 no ponto que x = 1. Soluo: aretanormaltemcoef.Angularinversoopostodaretatangente.Derivando implicitamente. 2x + y + xy + 2yy = 0 =>x yy xdxdy++ =22 Se x = 1 => y + y 2 = 0y1 = 1 e y2 = -2 No ponto (1 , 1) => 11 == xdxdy No ponto (1 , -2) => 01== xdxdy, no inverso oposto ao da tangente. A equao da reta tangente em (1 , 1) : yn = -x + 2 A equao da reta normal em (1 , 1) : yn = x DERIVADA DA FUNO INVERSA Sejamasfunesy=f(x)esuainversay=f-1(x)suponhaqueambasasfunesso diferenciveis. A funo inversa pode ser escrita como x = f (y)(1) diferenciando (1) em relao a y, obtm-se: ) ( ' y fdydx=(2) e diferenciando (1) implicitamente em relao a x, obtm-se: ( )) ( '1) ( ' 1 ) ( ) (y f dxdydxdyy f y fdxdxdxd== = UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 63 Assim, podemos relacionar a derivada da funo original com a derivada da sua inversa por: ( )) ( '1) (1x f dydxx fdxd= = =>dydxx fdxdy 1) ( = = DERIVADA DAS FUNES TRIGONOMTRICAS INVERSAS Derivada da funoy = arcsen(x) Se f(x) = arcsen(x) => x = sen(y) ) ( '1) ( 'y xx f ==> x(y) = cos(y) ) cos(1) ( 'yx f ==> ) ( 1 ) cos(2y sen y =Finalmente:211) ( 'xx f= Derivada da funoy = arccos(x) Se f(x) = arccos(x) => x = cos(y) ) ( '1) ( 'y xx f ==> x(y) =-sen(y) ) (1) ( 'y senx f==> ) ( cos 1 ) (2y y sen =Finalmente:211) ( 'xx f= Derivada da funoy = arctg(x) Se f(x) = arctg(x) => x = tg(y) ) ( '1) ( 'y xx f ==> x(y) = sec(y) UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 64 ) ( sec1) ( '2yx f ==> sec(y) = 1 + tg(y) Finalmente:211) ( 'xx f+= As demais derivadas das trigonomtricas inversas seguem a mesma idia de raciocnio. '11' ) ( cot2uuy u g arc y+ = ='1 | |1' ) sec(2uu uy u arc y= ='1 | |1' ) sec( arccos2uu uy u y = = DERIVADA DAS FUNES HIERBLICAS INVERSAS Seja( ) 1 ln ) ( arg2+ + = = x x x senh y=>11'2+=xySeja |||

\|+= =xxx tgh y11ln ) ( arg =>211'xy= para | x | < 1Seja |||

\|+= =11ln ) ( cot argxxx gh y=>211'xy=para | x | > 1 Seja |||

\| += =xxx h y21 1ln ) ( sec arg=>211'x xy = para 0 < x< 1 Seja |||

\|+ += =xxx h y21 1ln ) ( sec cos arg=>21 | |1'x xy+ = para x 0 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 65 DERIVADA DE UMA FUNO NA FORMA PARAMTRICA Funo na forma paramtrica Uma funo y = f(x) escrita na forma paramtrica tem a forma: ==) () (t x yt x x, com t [a , b] (3) Para cada valor do parmetro t, obtm-se um ponto (x , y). Por exemplo, considere a equao da curva x + y = a (4) Na forma paramtrica, pode-se escrever: ==) () cos(t sen b yt a x, com t [0 , 2] (5) Seasfunesx=x(t)ey=y(t)socontnuas,quandotvariadeaatb,opontoP(x(t);y(t)) descreve uma curva no plano xy. As equaes (5) so chamadas equaes paramtricas da curva (4) e t chamado parmetro. Derivada de uma Funo Paramtrica Seja y uma funo de x, definida pelas equaes paramtricas (3). Suponhamos que as funes y = y(t), x = x (t) e sua inversa t = t(x) so derivveis. A funo y = y(x), atravs das equaes (3), pode ser vista como funo composta y = y (t(x)) (6) Aplicando a regra da cadeia na equao (6), obtm-se: dxdtdtdydxdy=(7) Como x = x(t)et = t(x) so derivveis, pela derivada da funo inversa, tem-se que: UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 66 ) ( '1) ( '1t xx tdtdxdxdt= =Logo, ) ( '1) ( 't xt ydxdy==>) ( ') ( 't xt ydxdy= Exemplo 9) Considereafunorepresentadaparametricamentepor ==) ( 2 ) () ( cos 2 ) (33t sen t yt t x. Determine as equaes das retas tangente e normal ao grfico da funo para 4= t . Soluo: As retas tangente e normal tm coef. angular inverso oposto, ento: ) ( ') ( 't xt ydxdy==>) ( ) ( cos 2 3) cos( ) ( 2 322t sen tt t sendxdy =) () cos() (t tgtt sendxdy = =Para 4= t , 14 ==tdxdy coef. angular da reta tg. E ainda para 4= t=>= ||

\|= ||

\|214214yx A equao da reta tg em ||

\|21,21 :yt = -x + 1 A equao da reta normal em ||

\|21,21 : yn = x UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 67 DERIVADAS SUCESSIVAS - f(n): Derivada de ordem n. exemplos: 1) f(x) = 5x3;f'(x) = 15x2;f'' (x) = 30x;f'''(x) = 30;fiv(x) = 0. 2) y = sen(3x); y = 3cos(3x); y = -9sen(3x); y = -27cos(3x). 3) y = e-2x;y = -2e-2x;y = 4e-2x; y = -8e-2x; yiv = 16e-2x. EXERCCIOS 1) Calcular a segunda derivada de: a) f(x) = sen(x) + cos(x)b) f(x) = arctg(x) c) f(x) = ln|x| - ex d) f(x) = - 4x2 + 1 e) y = e2x + sen(3x) x f)1 2 = x y EXERCCIOS: Determine, y em cada caso. 1) x + y = 16 yxy = '2) 4ex 9y2 = x ye xyx181 8'2=3) x + y = 7xy y xy xy2 77 2'=4) x + ln( y) = 8xy xyy x yy8 33 8'2 2=5)11 1= +y x 22'xyy =UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 68 6) = =31 243t yt x 32tdxdy=7)xy x23 3= 22 2 232 3'xy x yy+=8) y = tgh(e3x) +( )32) 1 ln x ) 1 ( 32) ( sec 3 '23 2 3+ =xxe h e yx x 9) x = sen(x + y) ) cos() cos( 1'y xy xy++ =10) xy = x + y ) 1 () 1 ('22=x yy xy11) xy = x4 y4

) 4 3 () 2 ( 2'2 23 2y x yy x xy+=12)4 = + y xxyy = '13) y = cos(x y) 1 ) sen() sen(' =y xy xy14)( ) ) 1 ln(2 = x arcsen y ) 1 ( ln 1 ) 1 (2'2 2 2 =x xxy15) |||

\|++ ||

\|=a xa xxaarctg y ln 4 432'a xay=16) ||

\|+ =212xarcsen x y 2 2411'x xxy+=17) y = 2senh(e3x) + esenh(x) y = 6e3x cosh(e3x) + cosh(x) esenh(x)

18) y =4 x cosh(x) 3senh(x) y = 4cosh(x) + 8x senh(x) 6x cosh(x) 19) ln(y) exy = xy xy xe xye y yy+=1'2 20) Se existir escreva a equao da reta normal a curva (x + 4) y = 4x x e que passe na origem do sistema cartesiano. R:yn = x 21) Determine a equao da reta normal curva C: xy + y = 2x 2y + 2 no ponto em que abcissa e ordenada tem o mesmo valor. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 69 22) Verifique se a funo definida parametricamente por ==)) ln(cos() sec(t yt x para todo t ((

2,2 satisfaz a equao022= +dxdyedxy dy. 23) ==) cos( 3) (t a yt sen a x

|||

\|||

\| = =axarcsen tg t tgdxdy3 ) ( 324) = =)) cos( 1 ()) ( (t a yt sen t a x

) cos( 1) (tt sendxdy=25) ==tte ye x2322 ||

\|= =2ln31332xeedxdytt 26) ==) cos(22tte ye x ) ( ) (2x sen e sendxdyt= =27) Considere a funo g(x) = cos(x) [f(x)], onde f : R R duas vezes diferencivel (derivvel), f(0) = -1, f(0) = f"(0) = 2. Calcule g(0). 28) Determine f(0) sabendo que( ) + =|||

\| x x f x sen f 3 323) (29) Sejam f: R R uma funo diferencivel at 2 ordem e g: R R definida porg(x) = f(x + 2cos(3x)). Determine: a) g(x) b) Supondo f(2) = 1 e f(2) = 8, calcule g(0). 30) Verifique se a funo y = x e-x soluo da equao x y = (1 x) y. 31) Verifique se a funo ) ln( 11x xy+ += soluo da equao x y = y (y ln(x) 1). 32) Verifique se a funo y = 3e2x soluo da y y = e2x. 33) Verifique se a funo xee x y 2 ) ( = soluo da equao y = y ex.

UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 70 DIFERENCIAIS E INCREMENTOS Incremento Sejay=f(x)umafuno.Semprepossvelconsiderarumavariaodavarivel independente x. Se x varia de x0 a x1, definimos o incremento ou acrscimo de x, denotado por x, como x = x1 x0 => x1 = x0 + x Se y = f(x) e se x varia de x0 a x1, ento h uma correspondente variao no valor de y que vai de y0 = f(x0) at y1 = f(x1), ou seja, o incremento x em x produz um incremento y em y, onde y = y1 y0 = f(x1) f(x0) Com esta notao pode-se escrever: y = f(x0 + x) f(x0) Em um ponto qualquer, omitindo-se os subscritos, tem-se que: y = f(x + x) f(x) Diferencial Ossmbolosdyedxqueaparecemnaderivadasochamadosdediferenciais,eonosso objetivo definir estes smbolos de tal forma que se possa tratar dy / dx como uma razo. Com essa finalidade, vamos considerar x como fixo e definir dx como uma varivel independente, para a qual possa ser atribudo um valor arbitrrio. Se f for diferencivel em x, ento definimos dy pela frmula dy = f(x0) dx Se dx 0, podemos dividir esta expresso por dx. Assim, ) ( ' x fdxdy=Como a inclinao da reta tangente a y = f(x) em x mt = f(x), os diferenciais dy e dx podemos ser vistas como o avano (dx) e a elevao (dy) correspondentes dessa reta tangente. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 71 Para ver a diferena entre o incremento y e o diferencial dy, vamos atribuir s variveis dx e x o mesmo valor (dx = x). Dessa forma tem-se que: a)y representa a variao ao longo da curva y = f(x) quando so percorridas x unidades na direo de x.b)dy representa a variaoao longo da reta tangente, quando so percorridas dx unidades na direo de x. Quantomenorforovalordedx,menorseradiferenaentreyedy(ydy)0.Ambos tendem a igualdade no ponto de tangncia. Outra forma de entender diferencial e incremento pela anlise darea de um quadrado, como segue: Considere um quadrado de lado x unidades, tendo um acrscimo dx em cada lado x, como mostra a figura anexa. A(x) = x A(x + dx) = (x + dx) = x + 2x dx + dx A rea achurrada o diferencial da rea original, isto , uma estimativa da variao da rea. dA = x dx + x dx = 2x dx Pela definio de diferencial: dA = A(x) dx=> dA = 2x dx A variao exata da rea : A = A(x + dx) A(x) => A = x + 2x dx + dx x A = 2x dx + dx Portanto, | A dA | = 2x dx + dx2x dx=dx quedesprezvelquandodxfor prximo de zero. x dx dx dx x dx UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 72 Exemplo 10) Deseja-seconstruirumacaixadaguacbicacomcapacidadeinternade8mde gua.Determine,aproximadamente,aquantidadedeconcretonecessriaparaconstru-lacom10 cm de espessura em todos os lados. Soluo: se x = 2 m => V(x) = x volume interno dx = 0,1 + ,01 = 0,2 m dV = 3x dx => dV = 2,4 m de concreto aproximadamente V = V(2 + 0,2) V(2) V = 2,648 m de concreto exatamente TAXAS RELACIONADAS Um problema envolvendo taxas de variao de variveis relacionadas chamado de problema deTaxasRelacionadas.Comearemosnossadiscussocomumexemploquedescreveuma situao real. Exemplo 11) Uma escada com 25m de comprimento est apoiada numa parede vertical. Se o p da escadaforpuxadohorizontalmente,afastando-sedaparedea3m/s,qualavelocidadecomquea escada est deslizando, quando seu p est a 15m de comprimento da parede? Soluo: t = tempo em (s) decorrido desde que a escada comeou a deslizar pela parede; y = distncia do cho ao topo da escada em t(s), y = f(t); x = distncia do p da escada at a parede em t(s), x = f(t); dtdx= velocidade ou taxa de variao em que a escada est sendo puxada horizontalmente; dtdy= velocidade ou taxa de variao em que a escada desliza pela parede, verticalmente. Comoopdaescadaestsendopuxadohorizontalmentedaparedea3m/s,s mdtdxx / 3 ' = = . Queremos encontrar dtdyy = 'quando x = 15m. Pelo teorema de Pitgoras, obtemos: y + x = 25 25 x y parede UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 73 y + x = 625(1) Como x e y so funes de t, derivamos x e y em relao a t, ento: 0 ' 2 ' 2 = + x x y y => dtdxyxdtdy =Da equao (1), quando x = 15, obtemos: y + 15 = 625 =>y = 20 Portanto, para achar dtdy, quando y = 20 e3 =dtdx, temos que: 32015 =dtdy=> avelocidadecomqueaescadaestdeslizandopela parede,quandox=15mlongedaparede.Osinalnegativosignificaqueydecrescentequandot cresce. Exemplo 12) Suponhamos que um leo derramado atravs da ruptura de um tanque se espalha no mar em forma circular cujo raio cresce em uma taxa constante de m/s. Com que velocidade a rea do derramamento de leo est crescendo quando o raio dele for 20m? Soluo: Sejam t : tempo (s); r : raio (m): A : rea do crculo (m); Determinar?20== rdtdA para r = 20, sendo s mdtdr/ 5 , 0 =Como o leo est derramando em forma circular, a rea do derramamento : A(r) = r Como r est variando com o tempo, pela regra da cadeia temos que: dtdrdrdAdtdA= =>dtdrrdtdA 2 =Finalmente:s mdtdAr/ 20220 == y = - 2,25m/s UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 74 Exemplo 13) Acumula-seareiaemmontecomaformadeumconecujaalturaigualaoraioda base.Seovolumedaareiacresceaumataxade10m/h,aquerazoaumentareadabase quando a altura do monte de 4 m. Soluo: h : altura: r : raio da base: A : rea da base: V : volume do cone h mdtdV/ 10 = . Determinar? =dtdA para h = 4m. 2r A ==>dtdrdrdAdtdA= =>dtdrrdtdA 2 =Como r = h, devemos usar a frmula do volume para encontrar dtdr, assim: 3 23131r h r V = ==>dtdrdrdVdtdV=dtdrrdtdV2 ==>210r dtdr=Portanto,h mdtdA/ 52= RESUMO: Para resolver problemas envolvendo taxas relacionadas deve-se: 1 Faa uma figura, se possvel. 2 Defina as variveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variveis usualmente dependem de t. 3 Escreva todos os fatos numricos conhecidos sobre as variveis e suas derivadas em relao a t. 4 Obtenha uma equao envolvendo as variveis dependentes de t. 5 Derive em relao a t ambos os lados da equao encontrada na etapa 4. 6Substituaosvalores dequantidadesconhecidasnaequaodaetapa5eresolvaemtermosda quantidade desejada. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 75 EXERCCIOS 1)Umaesferaaumentademodoqueseuraiocrescearazode12,5cm/s.Qualavariaodo volume no instante em que o raio de 15,2 cm? 2) Um ponto se move sobre a parte superior da parbola semicbica y = x3 de tal maneira que sua abscissacrescearazode5unidadesporsegundo.Quandox=4,comquerapidezvariaa ordenada? 3) Um corpo lanado no espao formando com a horizontal um ngulo , descreve no ar, por ao da gravidade uma curva cujas equaes so x = v0 t cos() e y = v0 t sen() g t2. Sabendo que = 60e v0 = 50 m/s, determine a direo do movimento quando t = 2s? 4) Dois carros, um dirigindo-se para lestecom velocidade de 77 km/h, ooutro se dirigindo para o sulcomvelocidadede57km/h,estoviajandoemdireoaoencontrodasduasrodovias.Aque velocidade os carros se aproximam um do outro, no momento em que o primeiro carro estiver 477 m e o segundo carro estiver 277 m da interseco das rodovias? 5) Um tanque de forma cnica invertido tem altura de 8 m, raio da base 2 m. O mesmo est sendo cheiodeguarazode7m/min.Comquevelocidadesobeonveldaguaquandoestese encontra a 4 m de profundidade? 6)Considerandoumblocodemadeiradeformacbica,setiradaumaplacade0,47cmde espessura de cada lado do bloco, e se o bloco tinha originalmente 1,7 cm de comprimento do lado, qual a razo de variao do volume por causa desse processo? 7) Uma piscina tem 18 m de largura, 28 m de comprimento, 2 m de profundidade em um extremo e 8mnooutro,ofundotemformadeumplanoinclinado.Seaguaestsendobombeadaparaa piscina razo de 0,8 m/min, com que velocidade se eleva o nvel da gua no instante em que ele de 1,8 m na extremidade mais profunda? 8)Umtringuloretnguloinscritonocrculox+y=25,temasextremidadesdahipotenusa situadas nos pontos A(5; 0) e B (-5; 0), enquanto que, o terceiro vrtice, situado no ponto P(x; y), se movesobreacircunfernciacomumavelocidadedx/dt=m/s.Calculeavelocidadecomquea rea deste tringulo est variando quando x = 4 m. 9)Emquepontosdaparbolay18x=0aordenadaycresceduasvezesmaisdepressaquea abscissa x? 10)Umapipaesta80mdealturasobreonveldosolo.Horizontalmente,seacrianaquea segurasemovea4m=s,comquevelocidadeacrianaestsoltandoacordaquandoestacorda medir 100 m. 11)Umpontosemoveaolongodogrficode 112+=xy detalmodoqueasuaabscissavariaa uma velocidade constante de 5 m/s. Qual a velocidade da ordenada no instante em que x = 10 m. 12) Uma piscina tem 10m de largura, 20m de comprimento, 1m de profundidade nas extremidades e 3mnomeio,demodoqueofundosejaformadodedoisplanosinclinados.Aguabombeada paraapiscinarazode0,3m/min.Sejahaalturadaguanapartemaisprofunda,comque velocidade estar variando h no instante em que h = 1m? UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 76 13) Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5m de raio da base a 10m de altura. No tempo t = 0 s, a gua comea a fluir no tanque razo de 25 m/h. Ento: a) com que velocidade sobe o nvel da gua? b) quanto tempo levar para o tanque ficar cheio? 14) Um balo est subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante de 1/3 m/s. Quando ele est a 17m acima do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de5m/spassaporbaixodele.Aquetaxaadistnciaentreabicicletaeobaloaumentar3s depois? 15)UmacidadeAatingidaporumamolstiaepidmica.Ossetoresdesadecalculamqueo nmerodepessoasatingidaspelamolstiadepoisdeumatempox,medidoemdiasapartirdo primeiro dia da epidemia, aproximadamente dado por 364 ) (3xx x f = . a) Qual a razo de expanso da epidemia no tempo x = 4 dias? b) Quantas pessoas sero atingidas pela epidemia no quinto dia? 16) A gua escoa a uma taxa de 6 m/min de um reservatrio hemisfrico com raio de 13m (figura anexo). Responda s questes a seguir, sendo que o volume de gua em um recipiente hemisfrico de raio r dado por) 3 (32y r y V = , quando a gua tem y metros de profundidade abaixo. a) Qual ser o raio r na superfcie da gua quando a gua tiver y metros de profundidade? b) A que taxa o nvel da gua variar quando a gua tiver 8m de profundidade? c) A que taxa o raio r variar quando a gua tiver 8m de profundidade? 17)Umalmpadacolocadanumposteesta4mdealtura.Seumacrianade90cmdealtura caminha afastando-se do poste razo de 5m=s, com que rapidez se alonga sua sombra? 18) s 13:00 h o navio A est a 100 km ao norte do navio B. O navio A est navegando rumo ao sul a20km/henquantoonavioBestivernavegandorumoaolestea15km/h.Qualavelocidadede afastamento dos navios s 19:00 hs? 19) Um bote puxado por uma corda presa proa e que passa por uma argola na cais a 2m acima da proa. A corda puxada com uma taxa de 0,6 m/s. a) A que velocidade o bote se aproxima do cais quando 3m de corda foram puxados? UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 77 b) A que taxa o ngulo varia neste momento? APLICAES DA DERIVADA TEOREMAS SOBRE FUNES DERIVVEIS REGRAS DE LHSOPITAL As regras de L'Hospital, so para calcular limites indeterminados, da forma 00 ou , usando derivadas. Estaremos tambm examinando grficos de funes envolvendo exponenciao. Diremos que o limite ) () (limx gx fa x tem a forma indeterminada 00, se f(x) e g(x) so contnuas e derivveis para x ae0 ) ( lim ) ( lim = = x g x fa x a x. Diremos que o limite ) () (limx gx fa x tema forma indeterminada , se f(x) e g(x) so contnuas e derivveis para x a = = ) ( lim ) ( lim x g x fa x a x. Os mesmos conceitos se aplicam se tivermos x a+ ou x a-. So duas as chamadas regras de L'Hospital. Uma para formas indeterminadas 00 e outra para formasindeterminadas .Noentanto,ambaspodemserenunciadasconjuntamenteemumnico teorema (que no demonstraremos). TEOREMA(RegrasdeL'Hospital):Se ) () (limx gx fa x temumaformaindeterminada 00ou , ento: ) ( ') ( 'lim) () (limx gx fx gx fa x a x = UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 78 caso o limite ) ( ') ( 'limx gx fa x exista (sendo finito ou infinito). O mesmo vale se a substitudo por a+ ou a-, ou se a = . Exemplo 14) Calcular2 5 32lim222 x xx xx Soluo:Um clculo direto nos d a forma indeterminada 00. Pelo mtodo tradicional, usando fatorao, fazemos: 731 31lim) 1 3 )( 2 () 1 )( 2 (lim2 5 32lim2 2222=++=+ + = xxx xx xx xx xx x x Aplicando LHopital, temos que: 735 61 2lim2 5 32lim2222== xxx xx xx x Mas s vezes, as regras de L'Hospital so o nico recurso no clculo de um limite: Exemplo 15) Calcular30) sen(limxx xx. Soluo: 00 ) sen(lim30=xx xx. Aplicando L'Hospital, temos: 003) cos( 1lim) sen(lim2030== xxxx xx x ( )= == xxxxxx xx x xsen61lim3) cos( 1lim) sen(lim02030

61 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 79 Exemplo 16) Calcular32limxexx Soluo:=== + 323232lim0 limlimxexexexxxxxx

Aplicando LHospital, temos que: = = + + 223232lim limxexexxxx = = = = + + + + 68lim64lim32lim lim2 22232 xxxxxxxxexexexe+ Forma indeterminada: 0 Noclculodelimitessabemostambmque0 representaumaindeterminao.Nestecaso, tambm podemos usar as regras de LHospital, aps uma conveniente representao das funes no limite. Suponhamos que = 0 ) ( ) ( lim x g x fa x, isto , 0 ) ( lim =x fa x e =) ( lim x ga x. Neste caso, primeiramente fazemos: ( ) 00) () (lim1=x gx fa x, ento utilizando LHospital calculamos: ( ) ( )'1) () ( 'lim x gx fa x. Exemplo 17) Calcular) ln( lim0x xx+ Soluo: ) ( 0 ) ln( lim0 =+x xx 0 lim ) (1lim lim) ln(lim02021010= = ==+ + + + x xx x xxx xxx x UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 80 Exemplo 18) Calcule o seguinte limitexx xx31 2 ) cos(lim0 +. Soluo:0031 2 ) cos(lim0= +xx xx, Aplicando LHospital, obteremos: 32 ) sen(lim31 2 ) cos(lim0 0+ = + xxx xx x= 32 Exemplo 19) Calcule o limite ) 2 cos( 12lim0xe ex xx + Soluo:00) 2 cos( 12lim0= +xe ex xx 42) 2 cos( 4lim) 2 sen( 2lim) 2 cos( 12lim0 0 0=+== +xe exe exe ex xxx xxx xx = 21 Forma indeterminada: Se f(x) = g(x) h(x) e o =) ( lim x fa x, ento, atravs de operaes elementares entre as funes g(x)e h(x) sempre possvel transformar o) ( lim x fa x numa das formas indeterminadas 00 ou . . Exemplo 20)Calcule) sec( ) ( lim2x x tgx Soluo: = ) sec( ) ( lim2x x tgxindeterminao ) cos(1 ) (lim) cos(1) cos() (lim2 2xx senx xx senx x= , Aplicando LHospital ) () cos(lim2x senxx= 0 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 81 Formas indeterminadas do tipo: 1 , 00 e 0

Sef(x)=[g(x)]h(x)e[ ]) () ( limx ha xx gassumeumadastrsformasindeterminadas1,00e0, ento, para qualquer uma das trs indeterminaes, define-se: [ ] L x gx ha x=) () ( limAplicando-se o logaritmo neperiano funo dada, temos que: [ ] ( ) ( ) L x gx ha xln ) ( ln lim) (= Assim,olimitepassaateraformaindeterminada0,queseresolveporLHospital.Para determinarasoluofinaldeve-seaplicarafunoexponencial(poisafunoinversado logaritmo) no limite encontrado. Exemplo 21) Calcule ||

\|21) 2 ( limxtgxx Soluo:||

\|= 1 ) 2 ( lim21xtgxx aplicando o logaritmo neperiano, obtemos: ( ) ( )( ) 22sec cos221lim' ,2cot) 2 ( lnlim) 2 ( ln2lim ln ) 2 ( ln lim11121=||

\|||

\| ||

\| =|||

\|||

\|xxHospital L Aplicandoxgxxxtg L xxxxxtgx ( )2ln = L=>2e L = UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 82 EXERCCIOS 1) Calcule os seguintes limites, se existirem. a) 252 1lim25 xxx R:401 b) 1 22 3lim231 + x xx xxR:0 c)( )21 lim2 xxe x R:0 d) x x tgx xx) () sen(lim0R: 21e)( ) 1 lim10xe xxR:indefinida f) 201limxe xxx +R: 21g) ( ))) ln(sen( ) ( lim2x x tgxR:0 h) |||

\|+ 1 1lim2 2xxxxxR:2 i) ) ( cos) sen( 1lim22 xxx+R: j) 2 44lim34 +xxxR: 12 k) ( )) ( 3) sec( 2lim2 x tgxx+R:31 l) ) ln(lim2xxx R: m) ) sen() sen( 2lim0x xx e ex xx R:0 n) 203 2limxe x ex xx R: UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 83 o) 2) 1 ln(lim2xxxR:1 p) xexx3) 2 ln(lim+ R:1/3 q)) ln( lim0x xx+ R:0 r) xxx) ln(lim R:0 s) ) (2lim0x sen xx e ex xx R:2 t) ) (0) ( cot limx senxx g R:1 u) ) cos( 11) (2lim20x x senx R: v)( )xxxx e10lim + R:e x) ) ln(111lim1x xx R:- z) ||

\|||

\|axtga xax22 lim R:2eaa)( ) ) ( 2 lim2x tg xx R:2 bb)( )( ) x gxx sencot0) ( 1 lim + R:e cc) ) 1 ln(1 ) (lim0+ xx sen exx R:0 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 84 TEOREMA DE ROLLE O teorema afirma que se o grfico de uma funo diferencivel cruza o eixo x em dois pontos, a eb,entoentreelesdeveexistiraomenosumpontoc ondearetatangentehorizontal.Isto significa que no intervalo [a , b] a funo tem pelo menos um ponto extremo, como na figura. Noexemploacimailustrado,emcadaumdospontoscujasabscissassoc1ec2ocoeficiente angular da reta tangente curva zero. Portanto, f(c) = 0. TEOREMA DE ROLLE Seja f uma funo tal que: i) f contnua em [a , b] ; ii) f derivvel em (a , b); iii) f (a) = f (b) Ento, existe pelo menos um c (a , b) tal que f(c) = 0. Demonstrao: Consideremos dois casos. 1 Caso: Se f(x) = k, x [a , b]. Ento f(x) = 0, x (a; b). Logo, qualquer nmero entre a e b pode ser escolhido como c. 2 Caso: Se f(x) f (a) = f (b), para algum x (a , b). Comofcontnuaem[a,b],pelaproposio2,fatingeseumximoeseumnimoem[a,b]. Sendo f(x) f (a) = f (b) existe pelo menos um valor extremo em algum c (a , b). E ainda, como f derivvel, pela proposio 1, conclui-se que f(c) = 0. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 85 Exemplo 22) A funo f(x) = x - x x [-1 , 1] verifica o teorema de Rolle? Soluo: I)Como f uma funo polinomial, logo contnua em [-1 , 1] II)f tambm derivvel em (-1 , 1) III)f(-1) = f(1) = 0 f(x) = 1 3x=> 1 3c = 0 =>33 = cLogo,afunoverificaoteoremadeRolleem[-1,1],isto,existemdoispontosextremosna funo neste intervalo. Exemplo 23) A funo f(x) = 32) 2 ( x x [0 , 4] verifica o teorema de Rolle? Soluo: I)f contnua em [0 , 4] II)f derivvel em (0 , 4)? f(x) = 32 32 x => f no derivvel em x = 2, logo, no verifica o Teorema de Rolle neste intervalo. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 86 TEOREMA DO VALOR MDIO (OU DE LAGRANGE) Seja f uma funo tal que I)f contnua em [a , b]; II)f derivvel em (a , b); Ento, existe pelo menos um a < c < b tal quea ba f b fc f=) ( ) () ( ' . Demonstrao: A equao da reta que passa pelos pontos A(a, f(a)) e B(b , f(b)) : ) () ( ) () ( a xa ba f b fa f y = Se y = h (x), ento: ) ( ) () ( ) () ( a f a xa ba f b fx h + =Observe que h(x) umafuno polinomial. Sendo assim, h uma funo contnua e diferencivel para todo x. Fazendo a funo g(x) = f(x) h(x). Assim, ) ( ) () ( ) () ( ) ( a f a xa ba f b fx f x g =Estafunorepresentaadistnciaverticalentreumpontodogrficoeopontocorrespondenteda reta secante. Note que: i) g(a) = g(b) = 0; ii) g uma funo contnua em [a , b]; iii) g derivvel em (a , b); Portanto, como a funo g satisfaz as condies do Teorema de Rolle, c (a , b) tal que: a ba f b fc f c g= =) ( ) () ( ' 0 ) ( 'Isto significa que a funo tem uma reta tangente em x = c e que paralela a reta secante que passa por (a, f(a)) e (b , f(b)). UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 87 Exemplo 24) Em que ponto da curva f(x) = ln(x) a reta tg paralela a corda que passa pelos pontos A(1 , 0) e B(e , 1). Soluo: Neste caso a soluo pelo TVM no intervalo 1 < x < e. I)f contnua em [1 , e] II)f derivvel em (1 , e) xx f1) ( ' ==>10 1 1=e c => 1 = e cPortanto, o ponto da curva em que a reta tg paralela a reta secante (e 1 , ln(e 1)). Exemplo 25) Verifique se a funo f(x) = x x verifica o Teorema do Valor Mdio em x [-2 , 1]. Soluo: Verificando as hipteses do teorema do valor mdio i) f definida e contnua em [-2; 1]; ii. f(x) = 1 3x contnua para todo x (-2 , 1); Logo,satisfazascondiesdoteorema.Assim,temosquec(-2;1)talque a ba f b fc f=) ( ) () ( '1 3c = -2 => 3c = 3 => 1 = cObserve que, apenas -1 (-2 , 1), portanto, apenas c = -1 verifica as condies do TVM . UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 88 EXTREMOS DE FUNES: MXIMOS E MNIMOS Asderivadasdeumafunoy=f(x)forneceminformaesimportantesacercado comportamento do grfico de f(x) no que se refere ao seu crescimento ou decrescimento e tambm sobre os valores extremos (mximos e mnimos).Definio: Seja f uma funo contnua em um intervalo [a , b] e diferencivel em (a, b). a) Crescimento: f(x) crescente no intervalo [a, b] se: { ) ( ) ( ] , [ ,2 1 2 1 2 1x f x f x x que tal b a x x < < Se a f(x) for diferencivel em [a, b], no constante, tem-se que: b) Decrescimento: f(x) decrescente no intervalo [a, b] se: { ) ( ) ( ] , [ ,2 1 2 1 2 1x f x f x x que tal b a x x > < Se a f(x) for diferencivel em [a, b], no constante, tem-se que: f'(x)0, a partir de, f'(x) = 0 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 89 Exemplo26)Determinarosintervalosemquecrescenteeosintervalosemquedecrescentea funo f(x) = x3 + x2 5x 5. Exemplo27)Determinarosintervalosemquecrescenteeosintervalosemquedecrescentea funo f(x) = -x3 + 6x2 - 9x + 5. c) Valores extremos (Teste da Primeira Derivada): Seja f(x) uma funo definida em [a, b] tal que xo [a, b], tem-se: c.1) Ponto de mnimo local (ponto crtico): Se xo um ponto de mnimo local ento, f(x) = 0 ou no existe e, numa vizinhana de xo, tem-se que: > > < > xoConcluso f(xo) = 0f(x) > 0 (crescente)f(x) < 0 (decrescente)xo ponto de mx. local f(xo) = 0f(x) < 0 (decrescente)f(x) > 0 (crescente)xo ponto de min. local RESUMO: Para determinar os extremos locais de uma funo f(x). I) Achar f(x). II) Achar os pontos crticos de f, isto , os valores de x para os quais f(x) = 0, ou para os quais f(x) no existe. III) Substituir os pontos crticos em f(x) e verificar os mximos e mnimos. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 91 d) Teste da Derivada Segunda Asegundaderivadadeumafunoy=f(x),geralmente,facilitaaverificaodospontos extremoslocaisemrelaoprimeiraderivada.Baseia-senaobservaogeomtricadeque,num mximo local, a funo f(x) cncava para baixo num intervalo aberto I, contendo o ponto crtico xo de f(x), enquanto que, num mnimo local, ela cncava para cima. TEOREMA1:Suponhaqueumafunofsejadiferencivelduasvezesemumponto(xo;yo) ento: Se f(xo) = 0 e f(xo) > 0, ento f tem em xo um mnimo local. Se f(xo) = 0 e f(xo) < 0, ento f tem em xo um mximo local . Se f(xo) = 0ef(xo) = 0, ento o teste inconclusivo, isto , a funo pode ter um mximo ou um mnimo local ou nenhum dos dois em xo. Ponto de inflexo: Se uma funo f contnua num intervalo aberto I contendo o ponto (x1 ; y1) e seafunomudaadireodaconcavidadenesteponto,ento,ftemumpontodeinflexoem (x1;y1). TEOREMA2:SejaumafunofdiferencivelatsegundaordememumintervaloabertoI contendo o ponto x1. Se f(x) > 0 em I, ento a funo tem concavidade para cima, ou seja, cncava em I. Se f(x) < 0 em I, ento a funo tem concavidade para baixo, ou seja, convexa em I. Exemplo 30) Seja f(x) = x 3x + 1. Ache os pontos de mximo e mnimo e o intervalo em que a funo tem concavidade para cima e para baixo. Soluo: f(x) = 3x 6x =>3x(x 2) = 0 =>x1 = 0 e x2 = 2 pontos crticos f(x) = 6x 6=>f (0) = -6 < 0 =>f(2) = 6 > 0 f(0) = 1 e f(2) = -3 Logo, a funo tem um ponto de mximo local em x = 0 e um ponto de mnimo local em x = 2. f(x) = 6(x 1) =>x = 1 ponto de inflexo. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 92 Se x < 1, f(x) < 0. A funo convexa. Se x > 1, f(x) > 0. A funo cncava. OBSERVAO:Ospontosdeinflexomarcamoslugaresnogrficodey=f(x)nosquaisa taxadevariaodeyemrelaoaxmudadecrescenteparadecrescenteouvice-versa.Isto, mudam as inclinaes das retas tangentes, ou seja, passa de crescente para decrescente ou vice-versa. tambm neste ponto que a funoy = f(x) cresce mais rapidamente. O exemplo fsico a seguir nos ajuda a clarear as idias: suponha que gua seja acrescentada ao frasco da figura abaixo, de tal forma que o volume aumenta a uma taxa constante e vamos examinar a taxa, segundo a qual se eleva o nvel y da gua, ele ir crescer at atingir o ponto mais estreito no gargalo do frasco. A partir deste ponto em diante, a taxa segundo a qual o nvel da gua se eleva ir decrescer, medida que o dimetro aumenta. Desta forma, o ponto onde o frasco fica mais estreito aquele onde a taxa de variao de y em relao a t muda de crescente para decrescente. Concavidade Para cima Concavidade para baixo. Ponto de inflexo ocorre quando o nvel da gua est no ponto mais estreito do frasco y (nvel da gua) t (tempo) UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 93 ASSNTOTAS Assntota Vertical A reta x = a dita assntota vertical do grfico de uma funo f se: =) ( lim x fa x Assntota Oblqua A reta y = kx + b dita assntota oblqua do grfico de uma funo f se: xx fkx) (lim = ; kx x f bx = ) ( lim Se k = 0 e b 0, a reta y = b dita assntota horizontal do grfico de uma funo f se: Exemplo 31) Identifique as assntotas, se existirem, de 8 65 32+=xxy . Soluo: A. V. se existir, est na restrio de domnio. =+8 65 3lim234xxx, logo 34= x assntota vertical. A. O. y = kx + b 0) 8 6 (5 3lim2= += kx xxkx + = =+= 63,63,6| | 3lim8 65 3lim2x sex sexxxxbx x As assntotas horizontais so:63= ye63 = y UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 94 Exemplo 32) Identifique as assntotas, se existirem, de 11 2) (2 +=xx xx fSoluo:x 1 0=>x 1 D = R {1} = + + = ++11 2lim11 2lim2121xx xxx xxx A funo tem uma A.V. em x = 1. 311 2lim1) 1 (1 2lim221= +== += xxx xbx xx xkxx A funo tem uma A.O. y = x + 3. Exemplo 33) Seja 1) (2=xxx f . Faa um esboo completo do grfico desta funo. Soluo: D = R {1} 2222) 1 (2) 1 () 1 ( 2) ( '= =xx xxx x xx f2 0 0) 1 (22 122= = =x e xxx xP.C. Pelo teste da 1 derivada: Se x < 0, f(x) > 0 e se 0 < x < 2, f(x) < 0, logo, f(x) tem um mx. em x = 0. Se x > 2, f(x) > 0 f(x) tem min. emx = 2. 3) 1 (2) ( ' '=xx f=> no existe f(x) = 0. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 95 Se x < 1, f(x) < 0 a funo convexa Se x > 1, f(x) > 0 a funo cncava =1lim21xxx a funo tem uma A. V. em x = 1. A. O. y = kx + b 1 111lim2= == kx xxkx 1 11lim2= = = b xxxbx a funo tem A. O. y = x + 1. PROBLEMAS DE OTIMIZAO Exemplo34)Acheasdimensesdeumretngulocompermetrode100m,cujareaamaior possvel. Soluo: x = comprimento y = largura A = rea A = xy(1) O permetro 100 m, ento: 2x + 2y = 100=>y = 50 x (2) Substituindo (2) em (1), obtm-se: A = x(50 x)=>A = 50x x(3) Comoxrepresentaocomprimento,estenopodesernegativoeopermetronopodeultrapassar 100 m, ento:0 x 50. A rea representada por (3) ser mxima quando encontrarmos um valor x que d a maior rea. Para isso, usaremos a derivada. x y UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 96 xdxdA2 50 = =>Para0 =dxdA, obtemos: 50 2x = 0=>x = 25 Portanto, o valor mximo da rea deve estar em [0 , 50] incluindo x = 25. A = 500 0=>A = 0 m A = 5025 25=>A = 625 m rea mximaA = 5050 50=>A = 0 P/S:Emqualquerfiguraretangularcompermetroconstante,areamximasersempreum quadrado. Exemplo 35) Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelo medindo 16 cm por 30 cm, destacando-sequadradosiguaisdosquatrocantosedobrando-seoslados.Qualotamanhodos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume? Soluo: x = comprimento dos lados dos quadrados cortados V = volume (em cm) da caixa resultante Comoestamoscortandoquadradosdeladosxdecadacanto,acaixaresultanteterdimensesx, 16 2x e 30 2x. O volume desta caixa o mesmo de um paraleleppedo, portanto: V(x) = x(16 2x)(30 2x) =>V(x) = 480x 92x + 4xSendo x o comprimento dos quadrados dos cantos, no pode ser negativo e a largura menor da caixa no pode ultrapassar 16 cm, portanto, x tem restries, logo:0 x 8 ou x [0 , 8]. 212 184 480 x xdxdV+ =Para encontrarmos os pontos crticos, fazemos V(x) = 0. 12x 184x + 480 = 0 => 3101 = xe x2 = 12 so os pontos crticos UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 97 Como x= 12 est fora do intervalo, ento o ponto crtico que nos interessa 3101 = x . V(0) = V(8) = 0, pois 0 e 8 so razes da equao do volume. 3726310cm V ||

\| o volume mximo. Portanto, o valor procurado cm x310= . Exemplo 36) Suponhaqueadisseminaodeumvrusdegripeemumdeterminadocampus universitriomodeladapelafuno tet y9 , 0999 11000) (+= ,emquey(t)onmerodepessoas infectadas no instante t (em dias, comeando em t = 0). Estime o dia em que o vrus se espalha mais rapidamente. Soluo: y(t) o nmero de pessoas infectadas t o n de dias, comeando em t = 0 2 9 , 09 , 0) 999 1 (899100) ( 'tteet y+= ; 2 9 , 09 , 03 9 , 08 , 1) 999 1 (809190) 999 1 (1616761620) ( "tttteeeet y++=0) 999 1 (809190) 999 1 (16167616202 9 , 09 , 03 9 , 08 , 1=++tttteeee 1616761620e-1,8 t 809190e-0,9 t (1 + 999e-0,9 t) = 0 1616761620e-1,8 t 809190e-0,9 t 808380810e-1,8 t = 0 808380810e-1,8 t - 809190e-0,9 t = 0 e-1,8 t = 0,001e-0,9 t =>e-1,8 t e0,9 t = 0,001e-0,9 t = 0,001 =>-0,9t = -6,908 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 98 t = 7,67 8 ponto de inflexo Como y(t) a taxa de variao de y em relao a t, temos que: y(8) 220. Resposta: No oitavo dia ocorrer o maior n de pessoas infectadas, 220 pessoas. Exemplo 37) Deve-se construir um tanque, para armazenamento de um gs propano, em forma de umcilindrocircularretocomdoishemisfriosesfricosnasextremidades.Ocustodometro quadrado dos hemisfrios o dobro do custo da parte cilndrica. Se a capacidade do tanque deve ser de 12 m, que dimenses minimizam o custo da construo? Soluo: Sejam C: funo custo; r: raio do hemisfrio = raio do cilindro; h: altura do cilindro. Objetivo: Determinar as dimenses r e h que minimizam o custo na construo do tanque. Como o custo est associado com a rea total do tanque, temos que: C = 2 [rea de uma esfera = rea de 2 hemisfrios)] + (rea lateral do cilindro) C = 2 (4r) + 2 rh = 8r + 2rh com r > 0 e h > 0. Precisamos encontrar uma relao entre r e h. Para isso, usaremos o volume do tanque V = volume da esfera + volume do cilindro 34 121234223rrh h rrV = = + = UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 99 322222490243320 ) ( '24332) ( '24316) (34 122 8 ) (= = = =+ = ||

\| + =rrrr Crrr Crrr Crrr r r C Pelo teste da 2 derivada, temos que: 049"48332) ( "33>|||

\| + = Crr C Logo,31 , 1493 = r m minimiza o custo da construo do tanque. Assim, a altura do tanque 24 , 52363 = h m. EXERCCIOS 1) Determinar o ponto crtico e dizer se mximo ou mnimo local da funo f(x) = x2 - 5x + 7. 2) Determinar o ponto crtico e dizer se mximo ou mnimo local da funo f(x) = -x + 2x - 13 3) Considere o grfico da funo abaixo e faa uma anlise grfica de f, observando, se existir(em), assntota(s)vertical(is),assntota(s)horizontal(is),osintervalosemquef(x)>0ef(x)0ef(x) 0 x (- , -1) (1 , +) e) f(x) < 0 x (-1 , 1) f) f(x) > 0 x (- , - 3 ) (0 ,3 ) g) f(x) < 0 x (- 3,0) ( 3, ) 15) Esboce o grfico da funo que satisfaz as seguintes condies: a) D = {x R / x 1}; b) f(x) > 0 x (- ,3 ) ( 3, +) c) f(x) < 0 x ( 3 , -1) (-1 , 1) (1 ,3 ) d) f(x) > 0 x (- , -