6.Realimentação de variáveis de estado
Transcript of 6.Realimentação de variáveis de estado
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
1
6.Realimentação de variáveis de estado
Projecto de controladores para sistemas biológicos baseados na
realimentação linear de variáveis de estado.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
2
Problema (Projecto de um regulador por RLVE) Dada uma realização de estado controlável e observável
)()()()( tCxytbutAxtx =+=&
com polinómio característico
nnn asasAsIsa +++=−= − K1
1)det()(
Lei de controlo admissível:
)()( tKxrtu −=
Começaremos por considerar 0=r (problema de regulação).
Determinar o vector de ganhos K de modo a que o polinómio característico
da cadeia fechada seja nnn sss ααα +++= − K1
1)(
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
3
b+
+
r +
-
K
C
A
yx(t)x.
)()()()()( tKxrtutbutAxtx −=+=&
Sistema em cadeia fechada:
)()()()( tbrtxbKAtx +−=&
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
4
Polinómio característico do sistema em cadeia fechada:
)det()( bKAsIsak +−=
Objectivo:
Determinar K por forma a que
)()( ssaK α=
Polinómio característico do
sistema realimentado.
Depende do ganho K
Polinómio característico
especificado
Podemos ajustá-lo
por escolha do
ganho K
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
5
Método dos coeficientes indeterminados A equação a resolver é
)()det( sbKAsI α=+−
nnnn
Kn
Kn ssasas αα +++=+++ −− KK 1
111
)(saK=
Polinómio característico
que se obtém para um
dado K
Polinómio característico
especificado. Traduz a
dinâmica pretendida
para a cadeia fechada
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
6
nnnn
Kn
Kn ssasas αα +++=+++ −− KK 1
111
Igualando os coeficientes dos monómios do mesmo grau em ambos os
polinómios obtém-se o sistema de equações lineares verificado pelo ganho
K :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
nnK
K
a
a
α
αM
11
Quando é que este sistema tem solução nαα ,,1 K∀ ?
Veremos que existe sempre solução se o par ),( bA fôr controlável.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
7
Fórmula de Bass-Gura
Posicionamento arbitrário dos pólos da cadeia fechada sse ),( bA é
controlável. Nestas condições, o vector de ganhos é calculado por 1)( −−−= CMaK Tα
em que [ ]bAbAAbbbACC n 12 ||||),( −== L é a matriz de controlabilidade associadsa
ao par ),( bA e
[ ]nαααα L21=
[ ]naaaa L21= ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
− 10
1001
11
1
aa
aM
n L
OOM
MO
L
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
8
Exercício (fórmula de Bass-Gura) Considere o sistema definido pelo diagrama de blocos:
u 2 1s
1s
xx 12
a) Obtenha uma realização de estado com variáveis de estado 1x e 1x .
b) Através da fórmula de Bass-Gura determine os ganhos de um controlador
de realimentação de variáveis de estado que coloque os pólos em j±−1 .
c) Resolva o mesmo problema pelo método dos coeficientes indeterminados.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
9
uxxx22
21
==
&
&
uxx
xx
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡20
0010
2
1
2
1
&
&
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
0220
),( AbbbAC ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
02/12/10
),(1 bAC
Polinómio característicop associado à matriz A :
2
01
)det()( ss
sAsIsa =
−=−= (como era de esperar!)
Recorde-se a nomenclatura:
212)( asassa ++= donde [ ]0000 21 === aaa
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
10
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1001
101
1aM ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
1001TM
Polinómio característico desejado:
22)( 2 ++= sssα (pólos em j±−1 )
A aplicação da fórmula de Bass-Gura conduz aos ganhos
[ ] [ ]( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−= −−
021
210
1001
0022),()( 1 bACMaK Tα
[ ]11=K
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
11
Problema (que nos conduzirá à demonstração da fórmula de Bass-Gura):
Há alguma realização de estado em que o cálculo do ganho seja trivial?
Sugestão: Considere a forma canónica do controlador
1/s 1/s 1/su y
b1
b2
b3
-a1
-a2
-a3
x1x2x3
3213
322
1)(asasas
bsbsbsG+++
++=
Desenhe sobre este o
diagrama de blocos com a
realimentação das variáveis
de estado.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
12
1/s 1/s 1/su y
b1
b2
b3
-a1
-a2
-a3
x1x2x3
-k1
-k2
-k3
−α1
−α2
−α3
Conclusão:
Na forma canónica do controlador
o cálculo dos ganhos é feito
simplesmente por
aKc −= α
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
13
Realização
de estado
),,( cbA
Forma canónica
do controlador
),,( ccc cbA
Transformação de coordenadas
Tc MbACTTxx ),(==
Ganhos na forma canónica
do controlador
Ganhos na
realização original
Como inverter a transformação para os ganhos?
Difícil (Objectivo) Fácil
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
14
Sugestão para relacionar os ganhos nas coordenadas originais x e da forma
canónica do controlador, cx :
Exprimir o controlo u como retroacção de x e exprimir x em cx para obter
uma relação entre K e cK .
cKTxKxu ==
cK
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
15
Realização
de estado
),,( cbA
Forma canónica
do controlador
),,( ccc cbA
Transformação de coordenadas
Tc MbACTTxx ),(==
Ganhos na forma canónica
do controlador
aKc −= α
Ganhos na
realização original
1−= TKK c Transformação inversa aplicada aos ganhos
Difícil (Objectivo) Fácil
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
16
Fórmula de Ackerman Alternativamente, o vector de ganhos do controlador pode ser cálculado pela
fórmula de Ackerman, que não necessita do conhecimento explícito do
polinómio característico do sistema em cadeia aberta:
[ ] )(),(100 1 AbACK α−= L
Última linha da inversa da
matriz de controlabilidade
Polinómio característico
desejado calculado para
As =
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
17
Exemplo (integrador duplo) Retome-se o problema do acetato 8.
A última linha da inversa da matriz de controlabilidade é [ ]02/1 .
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=++=
2022
22)( 2 IAAAα
Os ganhos calculados pela fórmula de Ackerman são assim:
[ ] [ ]112022
02/1 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=K
que (como era de esperar) coincidem com os obtidos com a fórmula de Bass-
Gura.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
18
Questão (prática e da maior importância!) Porque não podemos transformar um FIAT PUNTO num Ferrari por
retroacção da velocidade com um ganho muito elevado?
⇔
Infelizmente (!…) a fórmula de Bass-Gura mostra que os ganhos são tanto
maiores quanto o deslocamento dos pólos, o que para ganhos muito elevados
leva a uma saturação da entrada manipulada.
C V
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
19
Problema: Estimação do estado
Dada a realização de estado { }cbA ,, de um sistema:
)()()()()(
tcxtytbutAxtx
=+=&
Determinar uma estimativa )(ˆ tx de )(tx por observação da entrada e da
saída. Esta estimativa deve ser recursiva, i.e. definida por uma equação
diferencial cuja integração “produza “ )(ˆ tx para todo o t .
u(t)y(t)
x(t)OBSERVADORSISTEMA
^
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
20
1ª SOLUÇÃO: Observador em cadeia aberta Réplica do sistema, excitada pela mesma entrada:
u(t)y(t)
SISTEMA
x(t)b
A
^
Será que funciona?
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
21
Erro de estimação no observador em cadeia aberta
Qual a equação satisfeita pelo erro de estimação xxx ˆ~ −= ?
Subtraindo a equação do estimador à do estado do sistema:
bubuxxAxx
buxAx
buAxx
−+−=−
+=
+=
)ˆ(ˆ
_____________________ˆˆ
&&
&
&
donde xAx ~~ =&
Conclusão: Com o observador em cadeia aberta, o erro de estimação do
estado apenas tende para zero para sistemas estáveis em cadeia aberta e
com uma taxa que depende dos valores próprios de A .
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
22
2ª SOLUÇÃO: Observador em cadeia fechada (assimptótico) u(t) y(t)
SISTEMA
x(t)b
A
^
L
Cy(t)^
y(t)-y(t)^+-
++
+
Qual a nova equação satisfeita pelo erro? Sugestão: Escreva as equações do sistema e do observador e subtrai-as usando a equação para y(t).
[ ])(ˆ)()()(ˆ)(ˆ txCtyLtbutxAtx −++=&
Vector coluna com
dim L= dim x
Quando a estimativa é a correcta, o termo de
correcção xcy ˆ− anula-se e a estimativa
segue a dinâmica do sistema verdadeiro.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
23
[ ]
[ ]xcyLbubuxxAxx
xcyLbuxAx
buAxx
ˆ)ˆ(ˆ
_______________________________ˆˆˆ
−−−+−=−
−++=
+=
&&
&
&
Conclusão: Para o observador em cadeia fechada, a equação diferencial que
traduz a evolução no tempo do erro de estimação é
[ ] )(~)(~ txLcAtx −=&
y=cx
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
24
Dinâmica do erro do observador assimptótico
[ ] )(~)(~ txLcAtx −=&
Se o par ),( cA fôr observável, podemos posicionar arbitrariamente os valores
próprios da matriz LcA − .
Pelo facto de (para realizações observáveis) o ganho L poder ser
dimensionado por forma a que o erro tenda assimptotiocamente para zero,
este tipo de observadores diz-se “assimptótico”.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
25
Exemplo: Observador para o integrador duplo Considere o sistema (integrador duplo):
u 1s
1s
x =yx 12
1. Desenhe um diagrama de blocos de um observador assimptótico do estado
dadas as observações da saída
2. Dimensione o vector de ganhos do estimador por forma a que a matriz da
dinâmica do erro tenha os valores próprios em –1.
Sugestão: Determine as matrizes A, b, c do sistema; Escreva a matriz A-Lc e determine o seu
polinómio característico para L genérico; Dimensione L aplicando o método dos coeficientes
indeterminados.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
26
u 1s
1s
x =yx 12
1
2
21
xyuxxx
===
&
&
[ ]xy
uxx
xx
0110
0010
2
1
2
1
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡&
&
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
01
010010
2
1
2
1
LL
LL
LCA 212
2
1 1)det( LsLs
sLLs
LcAsI ++=−+
=+−
Pretendemos os valores próprios da dinâmica do erro do observador nas
raízes do polinómio
22)1( 22 ++=+ sss
Pelo método dos coeficientes indeterminados:
22 21 == LL
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
27
Escolha dos valores próprios da dinâmica do erro
A escolha dos valores próprios de LcA − resulta do seguinte compromisso:
• Não podem ser muito pequenos, para que o erro não tenda lentamente para
zero;
• Não podem ser muito grandes pois, se o estimador fôr muito rápido, pode
ser “enganado” pelos erros de modelação. Em particular, o ganho de malha
resultante quando se fecha a cadeia realimentando as estimativas do
estado deve respeitar a condição de estabilidade robusta.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
28
Fórmula de Bass- Gura para o cálculo dos ganhos do Observador Demonstre o correspondente à fórmula de Bass-Gura para o dimensionamento dos ganhos do observador.
Sugestão: Escreva uma equação verificada pelo erro na estimativa do estado
com um observador assimptótico e faça uma transformação de coordenadas
que a leve à forma canónica do observador. A transformação de coordenadas
é
xo = Tx
T=M O(A,c)
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
29
M = 1 0 0
101
1
1 1
L
O M
M M O
L
a
a an−
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
e os ai são os coeficientes do polinómio característico do sistema em cadeia
aberta. A forma canónica do observador é tal como se mostra na figura
seguinte:
b3 b2 b1
x1=yx2x31/s 1/s 1/s
-a3 -a2 -a1
u
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
30
Quando o estado não está acessível para medida directa, uma ideia natural
consiste em realimentar a estimativa produzida por um observador
assimptótico. Tem-se a estrutura do compensador (a maneira correcta de
introduzir a referência será discutida posteriormente):
Sistema
Compensador
r +
-
K x(t)
u(t)b
A
c
L
b
A
c
+
-
++
+
++
y(t)x(t)
^
Sistema:
)()()()()( tcxtytbutAxtx =+=&
Observador:
)()()(ˆ)()(ˆ tbutLcytxLcAtx ++−=&
Lei de controlo:
)(ˆ)( txKtu −=
O sistema compensado é de ordem 2n.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
31
Teorema de Separação O polinómio característico do sistema global (sistema em cadeia aberta e
observador, com realimentação da estimativa do estado) é o produto dos
polinómios característicos de bKA − e de LcA − .
Este teorema diz-nos que podemos projectar o vector de ganhos K como se
realimentássemos o estado e não a sua estimativa, e o vector de ganhos do
observador L como se estimássemos o estado em cadeia aberta. O
observador e o controlador podem pois ser projectados separadamente.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
32
Nota sobre o Teorema de Separação: Em geral, para sistemas não lineares,
o controlador e o observador não podem ser projectados separadamente. Isto
axcontece porque a variável de controlo tem um efeito chamado dual: Por um
lado, permite efectuar a acção de regulação da saída; por outro lado
proporciona a excitação suficiente para se estimar o estado. Estes dois efeitos
conflituam e a escolha do controlo deve ser feito como um compromisso entre
ambos. O efeito de dualidade é conhecido (no âmbito do Controlo Adaptativo)
desde os anos 50, pelos trabalhos de Feld’baum. No caso linear, o conflito
não existe, tendo lugar o teorema de separação. Há classes de sistemas não
lineares para os quais é possível demonstrar “teoremas de separação”. Isto
constitui um tema de investigação actual.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
33
Lema
Sejam CA, matrizes quadradas. Então:
CACBA
⋅=0
Demonstração:
Tem-se: CC
I=
00
e ainda AIBA
=0
Como ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡IBA
CI
CBA
000
0 o resultado conclui-se por o determinante de um
produto de matrizes ser o produtos dos determinantes dos factores.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
34
Demonstração do teorema de separação Equações do sistema e do controlador/observador:
)()()()()( tcxtytbutAxtx =+=&
)()()(ˆ)()(ˆ tbutLcytxLcAtx ++−=&
)(ˆ)( txKtu −=
Em termos do estado x do sistema a controlar e do estado x̂ do observador,
estas equações escrevem-se
)(ˆ)()( txbKtAxtx −=&
)(ˆ)()()(ˆ txbKLcAtLcxtx −−+=&
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
35
)(ˆ)()( txbKtAxtx −=&
)(ˆ)()()(ˆ txbKLcAtLcxtx −−+=&
Convém trabalhar com o erro de estimação )(ˆ)()(~ txtxtx −= e não com a
estimativa do estado. Isto corresponde a fazer uma transformação invertível
de coordenadas no estado, pelo que os valores próprios do sistema global
não são alterados. Subtraindo as duas equações anteriores, obtém-se
)(~)()(~ txLcAtx −=&
O sistema global é pois descrito pelas equações
)(~)()(~)(~)()()(
txLcAtx
txbKtxbKAtx
−=
+−=&
&
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
36
Equações do estado do sistema global:
)(~)()(~)(~)()()(
txLcAtx
txbKtxbKAtx
−=
+−=&
&
Na forma matricial:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡xx
LcAbKbKA
xx
~0~&&
Pelo lema anterior, o polinómio característico desta matriz (dinâmica do
sistema global) é:
44 344 2144 344 21observadorrcontrolado
LcAsIbKAsILcAsI
bKbKAsI)det(.)det(
0+−+−=
+−−+−
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
37
Conclusão: As frequências naturais agrupam-se em dois tipos de termos:
• Uma parte dependem apenas do ganho K do controlador, como se fosse
feita uma retroacção do estado e não da sua estimativa.
• A outra parte pedende apenas do ganho L do observador, como se o
controlador estivesse ausente.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
38
Exemplo: Pêndulo invertido
mLsin φ
φ
zξ
)()()( tLttg φξφ &&&& +=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+==
)(sin)()()(sin)(tLttz
tmgtzmφξ
φ&&
Modelo linear válido para ângulos pequenos:
φφ ≅sin ⎩⎨⎧
+==
)()()()()(
tLttztgtzφξ
φ&&
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
39
)()()( tLttg φξφ &&&& +=
Definam-se:
Variáveis de estado: φφ &== 21 xx Entrada manipulada: Lu /ξ&&=
Obtém-se o modelo de estado:
uxLg
x ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
10
0/10
& [ ]xy 01=
Para concretizar toma-se 9/ =Lg .
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
40
uxx ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
10
0910
& [ ]xy 01=
Projecto do controlador supondo acesso ao estado:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
2121 9
101
00910
kkkkbKA
)9(9
1)det( 12
2
21
ksksksk
sbKAsI +−−=
−−−−
=+−
Polinómio característico especificado: 22)( 2 ++= sssα
Comparando os coeficientes dos dois polinómios, obtém-se
211 21 −=−= kk
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
41
A estrutura do observador é uma réplica do sistema com as derivadas dos
estados adicionadas do erro da saída amplificado pelos ganhos 1L e 2L :
9
1/s 1/s
9
+
-
xx
-
+
- +
+1/s 1/s
L
L
xx yu
^^
1
1
2
2
1
2
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
42
Para o dimensionamento dos ganhos do observador, temos de posicionar os
valores próprios da matriz LcA − .
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
091
010910
2
1
2
1
LL
LL
LcA
99
1)det( 21
2
2
1 −++=−
−+=+− LsLs
sLLs
LcAsI
Se desejarmos os valores próprios nas raízes de
3284)4()( 222 ++=++= ssssoα
Os ganhos do observador devem ser
418 21 == LL
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
43
O controlador é obtido realimentando as estimativas dos estados:
9
1/s 1/s
9
+
-
xx
-
+
- +
+1/s 1/s
L
L
xx yu
^^
1
1
2
2
1
2
-
k k12
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
44
Resposta na regulação de uma condição inicial não nula
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
45
Função de transferência do compensador Modelo do processo em cadeia aberta:
cxybuAxx
=+=&
bAsIcsGp1)()( −−=
Modelo de estado do observador:
LybuxLcAx ++−= ˆ)(&̂
LyxbKLcAx +−−= ˆ)(&̂
xKu ˆ−=
xKu ˆ−=
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
46
LyxbKLcAx +−−= ˆ)(&̂
xKu ˆ−= O compensador (conjunto observador+retroacção da estimativa do estado) é
descrito, por estas equações, como tendo dinâmica bKLcA −− , entrada y e
saída u . A função de transferência do compensador é pois
LbKLcAsIKsGc1)()( −++−−=
G (s)
G (s)u y
Processo
Compensadorc
p
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
47
Exemplo: Função de transferência do compensador
[ ]xy
uxx
xx
0110
0010
2
1
2
1
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡&
&
2
1)(s
sGp =
Pólos da cadeia fechada desejados, dados pelas raízes do polinómio
12)( 2 ++= sssα ⇒ Ganhos do controlador: [ ]21=K
Dinâmica do erro do observador:
12)( 2 ++= sssα ⇒ Ganhos do observador ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
255
L
Função de transferência do compensador: 77.421.3)62.0(4.40)(
jsssGc ±+
+−=
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
48
Como se vê, a função de transferência do compensador e, por conseguinte o
ganho de malha, dependem dos ganhos K e L . Estes ganhos podem pois
ser encarados como “botões de ajuste” que permitem moldar o ganho de
malha.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
49
Seguimento de referências não nulas Temos considerado até agora o problema de projectar controladores que
levem o estado do processo para zero, rejeitando assim perturbações que
tenham causado condições iniciais não nulas. Este problema é conhecido
como problema de regulação.
Em geral, no entanto, pretendem seguir-se referências não nulas,
eventualmente variáveis. Neste último caso o problema diz-se problema do
servomecanismo (isto é uma “herança dos tempos em que os controladores
visavam movimentar sistemas mecânicos, por exemplo lemes de navios –
anos 20 – ou canhões – anos 40).
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
50
Possibilidades de inclusão da referência Modelo do processo:
cxybuAxx =+=&
Controlador:
MrLyxLcbKAx ++−−= ˆ)(&̂
NrxKu +−= ˆ
Há várias possibilidades para a escolha de M (vector) e N (escalar).
De acordo com estas possibilidades resultam vários tipos de resposta à
referência. Vamos considerara duas hipóteses.
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
51
a) Escolher M e N por forma a que
a equação de erro não dependa da referência r Com a lei de controlo incorporando a referência, o erro satisfaz
MrLyxLcbKANrxKBAxxx
++−−−+−+=−
ˆ)()ˆ(&̂&
ou seja
rMbNxLcAx43421
&
0
)(~)(~
=
−+−=
Para que este termo se anule, deve escolher-se
bNM =
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
52
Com esta escolha ( NbM = ), tem-se:
NbrLyxLcbKAx ++−−= ˆ)(&̂
Reagrupando:
LyNrxKbxLcAxu
++−−=−=43421
& )ˆ(ˆ)(ˆ
Ou seja, as equações do controlador podem escrever-se:
LybuxLcAx ++−= ˆ)(&̂
NrxKu +−= ˆ
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
53
Estrutura do controlador por forma a que o erro de estimação do estado não dependa da referência
LybuxLcAx ++−= ˆ)(&̂
NrxKu +−= ˆ
r N
K
+
-
u y
x
Processo
Observador^
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
54
b) Escolher M e N por forma a que o erro de seguimento yre −= seja usado no controlador
MrLyxLcbKAx ++−−= ˆ)(&̂
NrxKu +−= ˆ Escolhendo
LMN −== 0
O controlador fica definido pelas equações
LexLcbKAx −−−= ˆ)(&̂
xKu ˆ−=
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
55
Estrutura do compensador por forma a usar o erro de seguimento
LexLcbKAx −−−= ˆ)(&̂
xKu ˆ−=
Observador ProcessoKuxer +
-
y^
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
56
Inclusão de efeito integral
Uma maneira de introduzir o efeito integral é aumentar o estado x do
processo com o estado Ix do integrador do erro. Repare-se que derivando
∫ −=t
I drytx0
))(()( ττ para .constr = , obtém-se )()( tcxtxI =&
O conjunto sistema+integrador é pois descrito pelo modelo de estado
aumentado:
ub
xx
cA
xx
II⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡00
0&
&
Modelação, Simulação e Controlo de Sistemas Biológicos – 6.Realimentação de variáveis de estado.
J. Miranda Lemos IST-DEEC-Área Científica de Sistemas, Decisão e Controlo
57
ub
xx
cA
xx
II⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡00
0&
&
A este modelo podem ser aplicadas as técnicas estudadas antes. Em
particular, se o estado fôr acessível,
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
II x
xkKu 0
e tem-se a estrutura seguinte para o controlador
r -
+
1s
-k
-k
Processo
x
yxI
o
I
+
+